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專題5.3 三角函數的概念-重難點題型精講
1．任意角的三角函數
(1)利用單位圓定義任意角的三角函數
設是一個任意角，∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P(x,y).
①把點P的縱坐標y叫做的正弦函數，記作，即y=；
②把點P的橫坐標x叫做的余弦函數，記作，即x=；
③把點P的縱坐標與橫坐標的比值叫做的正切，記作，即= (x≠0).
我們將正弦函數、余弦函數和正切函數統稱為三角函數，通常將它們記為：
(2)用角的終邊上的點的坐標表示三角函數
如圖，設是一個任意角，它的終邊上任意一點P(不與原點O重合)的坐標為(x,y)，點P與原點的距離
為r.則=，=，=.
2．三角函數的定義域和函數值的符號
(1)三角函數的定義域
(2)三角函數值在各象限的符號
由于角的終邊上任意一點P(x,y)到原點的距離r是正值，根據三角函數的定義，知
①正弦函數值的符號取決于縱坐標y的符號；
②余弦函數值的符號取決于橫坐標x的符號；
③正切函數值的符號是由x,y的符號共同決定的，即x,y同號為正，異號為負.
因此，正弦函數()、余弦函數()、正切函數()的值在各個象限內的符號如圖所示.
3．誘導公式一
由三角函數的定義，可以知道：終邊相同的角的同一三角函數的值相等.
由此得到一組公式(公式一)：
4．同角三角函數的基本關系
(1)同角三角函數的基本關系
(2)基本關系式的變形公式
【題型1 任意角的三角函數的定義及應用】
【方法點撥】
解決此類問題的關鍵是正確理解任意角的三角函數的定義.
【例1】（2022·廣東·高一開學考試）已知角的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用三角函數的定義可求得的值.
【解答過程】由三角函數的定義可得.
故選：B.
【變式1-1】（2022·陜西·高三階段練習（文））設是第二象限角，為其終邊上的一點，且，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由任意角的三角函數定義即可求解
【解答過程】因為為其終邊上的一點，且，
所以，解得，
因為是第二象限角，所以，
故選：C.
【變式1-2】（2022·河南·高三階段練習（文））已知角的終邊經過點，則的值為（ ）
A． B． C．1或 D．或
【解題思路】先求得點P與原點間的距離，再根據正弦函數和余弦函數的定義，分，兩種情況討論求解.
【解答過程】由題意可得：點P與原點間的距離，
∴.
當時，則，故；
當時，則，故.
故選：D.
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸非負半軸重合，若是角終邊上一點，且，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據三角函數的定義得到方程，解得即可.
【解答過程】解：因為，是角終邊上一點，所以，
由三角函數的定義，得，解得（正值舍去）.
故選：B.
【題型2 三角函數值在各象限的符號】
【方法點撥】
對于確定角是第幾象限角的問題，應先確定題目中所有三角函數值的符號，然后依據上述三角函數值的
符號來確定角是第幾象限角，則它們的公共部分即所求；對于已知角的終邊所在的象限來判斷角的三
角函數值的符號問題，則常依據三角函數的定義，或利用口訣“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來解決.
【例2】（2022·全國·高一課時練習）已知為第二象限角，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據三角函數在各象限的符號求解即可.
【解答過程】因為為第二象限角，
所以，故ABD錯誤，C正確.
故選：C.
【變式2-1】（2022·全國·高一課時練習）已知為第二象限的角，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據所在的象限，可以定的符號
【解答過程】因為為第二象限角，所以
所以
故選：A.
【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習）若且，則角所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解題思路】根據三角函數的正負，確定角所在的象限.
【解答過程】，則角在第三，四象限，，則角在第二，四象限，
所以滿足且，角在第四象限.
故選：D.
【變式2-3】（2022·北京高一期中）設是第一象限的角，且，則所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解題思路】由的范圍進而得出的范圍，結合即可得出結果.
【解答過程】因為是第一象限的角，所以，
所以，即為第一或第三象限角，
又因為，即，所以所在的象限是第一象限，
故選：A.
【題型3 誘導公式一的應用】
【方法點撥】
1.誘導公式一的實質是終邊相同的角的同名三角函數值相等.
2.利用誘導公式一可將負角或大于等于2π的角的三角函數化為0~2π之間的角的同名三角函數，實現了“負
化正，大化小”.
【例3】（2022·湖南·高一課時練習）求值：．
【解題思路】利用誘導公式及特殊角的三角函數計算可得；
【解答過程】解：
.
【變式3-1】（2021·全國·高一課前預習）計算下列各式的值：
(1)；
(2).
【解題思路】利用誘導公式化簡，再根據特殊角的三角函數值計算可得；
【解答過程】(1)
解：
；
(2)
解：
.
【變式3-2】（2021·全國·高一課時練習）化簡下列各式：
(1)；
(2)（其中是第二象限角）.
【解題思路】（1）利用誘導公式結合同角三角函數的基本關系可求得結果；
（2）利用同角三角函數的基本關系化簡可得結果.
【解答過程】(1)
解：.
(2)
解：為第二象限角，則，，
則.
【變式3-3】（2021·全國·高一課前預習）求下列各式的值：
(1)cos＋tan；
(2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°.
【解題思路】三角函數誘導公式的一個很大作用是把一個角的三角函數值轉化為某個相關銳角的三角函數值，以便于化簡或求值.
【解答過程】(1)
cos＋tan
；
(2)
sin＋tan＋cos
.
【題型4 根據同角三角函數的基本關系求值】
【方法點撥】
第一步：由已知三角函數的符號，確定其角終邊所在的象限；
第二步：依據角的終邊所在象限進行分類討論；
第三步：利用同角三角函數的基本關系式及其變形公式，求出其余三角函數值.
【例4】（2022·江西省高三階段練習（理））已知，則（ ）
A． B． C． D．5
【解題思路】根據同角三角函數的基本關系將弦化切，再代入即可.
【解答過程】解：因為，所以.
故選：D.
【變式4-1】（2022·貴州·高三階段練習（文））已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先把已知的等式平方得到，再化簡代入即得解.
【解答過程】由，
所以，
∴，
所以.
故選：A．
【變式4-2】（2021·河北·高二期中）已知，且，（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】將已知等式兩邊平方，利用三角函數的基本關系求得的值，結合的范圍確定與的正負，再利用完全平方公式及三角函數的基本關系可求得的值.
【解答過程】因為，兩邊平方得，
故，所以與導號，
又因為，所以，，
所以.
故選：C.
【變式4-3】（2022·山東·高二階段練習）已知,則的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用同角三角函數基本關系,分子分母同時除以,將弦化切,代入求解即可.
【解答過程】 ,
.
故選:A.
【題型5 三角函數式的化簡】
【方法點撥】
1.化簡原則：三角函數式的化簡就是代數式的恒等變形，使結果盡可能簡單，也就是項數盡可能少，次數盡
可能低，函數種類盡可能少，式子中盡量不含根號，能求值的一定要求值.
2.化簡常用的方法：(1)對于含有根號的，常把被開方數(式)化成完全平方數(式)，然后去根號達到化簡的目
的；(2)化切為弦，從而減少函數種類，達到化簡的目的；(3)對于含高次的三角函數式，往往借助于因式分
解或構造，以降低次數，達到化簡的目的.
【例5】（2021·福建·高一階段練習）（1）已知求的值；
（2）已知，且β為第四象限角，求的值.
【解題思路】（1）先求出，進而由，將所求的式子化為二次齊次式，進而得到含的式子，從而得解
（2）由，結合角的范圍可得解.
【解答過程】（1）由，得，
所以，
.
（2），
所以，
又為第四象限角，所以，
所以.
【變式5-1】（2022·全國·高一課時練習）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解題思路】（1）利用“1”的代換及弦切互化可求.
（2）利用“1”的代換及弦切互化可求三角函數式的值.
【解答過程】（1）
解法一：∵， ，
∴，
分子分母同時除以，得，
即，解得．
解法二：∵，∴，
即，∴
∴．
（2）
∵，∴．
【變式5-2】（2022·全國·高一課時練習）已知，求下列各式的值.
(1)；
(2).
【解題思路】（1）利用和將原式化簡計算即可，
（2）通分化簡后，再利用和化簡計算
【解答過程】（1）
因為
所以原式
（2）
因為，
所以
.
【變式5-3】（2022·天津·模擬預測）已知， .
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求 .的值
【解題思路】（1）根據可得，解方程并結合角的范圍求得；
（2）利用弦化切，將化為，可得答案；
（3）利用，將化為，繼而化為，求得答案.
【解答過程】（1）
由得，
解得或 ，
因為，故，則；
（2）
；
（3）
.
【題型6 三角恒等式的證明】
【方法點撥】
三角恒等式的證明方法非常多，其主要方法有：
(1)從左向右推導或從右向左推導，一般由繁到簡；
(2)左右歸一法，即證明左右兩邊都等于同一個式子；
(3)化異為同法，即針對題設與結論間的差異，有針對性地變形，以消除差異.
【例6】（2022·全國·高一課時練習）求證：
(1)；
(2).
【解題思路】（1）（2）利用同角三角函數的商數關系、平方關系，將等式左側化簡，證明結論即可.
【解答過程】（1）
.
所以原式成立.
（2）
.
所以原式成立.
【變式6-1】（2021·全國·高一課時練習）求證：
(1)
(2)
【解題思路】（1）根據同角的三角函數關系進行轉化證明即可．
（1）根據同角的三角函數關系進行轉化證明即可．
【解答過程】(1)
左邊右邊.
即證.
(2)
左邊
右邊.
即證：.
【變式6-2】（2021·全國·高一專題練習）求證：sin4α+cos4α＝1﹣2sin2αcos2α
【解題思路】利用同角三角函數平方關系進行證明，利用等式左邊完全平方公式變形，計算得到結果與右邊相等
【解答過程】證明：左邊＝（sin2α+cos2α）2﹣2sin2αcos2α＝1﹣2sin2αcos2α＝右邊，
則sin4α+cos4α＝1﹣2sin2αcos2α．
【變式6-3】（2022·全國·高一課時練習）求證：
(1)＝；
(2)
【解題思路】（1）將左邊化為，進而結合同角三角函數的平方關系進行證明；
（2）用立方和公式與完全平方公式并結合同角三角函數的平方關系將式子化簡.
【解答過程】（1）
左邊=
=右邊.
（2）
左邊=
=右邊.專題5.3 三角函數的概念-重難點題型精講
1．任意角的三角函數
(1)利用單位圓定義任意角的三角函數
設是一個任意角，∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P(x,y).
①把點P的縱坐標y叫做的正弦函數，記作，即y=；
②把點P的橫坐標x叫做的余弦函數，記作，即x=；
③把點P的縱坐標與橫坐標的比值叫做的正切，記作，即= (x≠0).
我們將正弦函數、余弦函數和正切函數統稱為三角函數，通常將它們記為：
(2)用角的終邊上的點的坐標表示三角函數
如圖，設是一個任意角，它的終邊上任意一點P(不與原點O重合)的坐標為(x,y)，點P與原點的距離
為r.則=，=，=.
2．三角函數的定義域和函數值的符號
(1)三角函數的定義域
(2)三角函數值在各象限的符號
由于角的終邊上任意一點P(x,y)到原點的距離r是正值，根據三角函數的定義，知
①正弦函數值的符號取決于縱坐標y的符號；
②余弦函數值的符號取決于橫坐標x的符號；
③正切函數值的符號是由x,y的符號共同決定的，即x,y同號為正，異號為負.
因此，正弦函數()、余弦函數()、正切函數()的值在各個象限內的符號如圖所示.
3．誘導公式一
由三角函數的定義，可以知道：終邊相同的角的同一三角函數的值相等.
由此得到一組公式(公式一)：
4．同角三角函數的基本關系
(1)同角三角函數的基本關系
(2)基本關系式的變形公式
【題型1 任意角的三角函數的定義及應用】
【方法點撥】
解決此類問題的關鍵是正確理解任意角的三角函數的定義.
【例1】（2022·廣東·高一開學考試）已知角的終邊經過點，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2022·陜西·高三階段練習（文））設是第二象限角，為其終邊上的一點，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2022·河南·高三階段練習（文））已知角的終邊經過點，則的值為（ ）
A． B． C．1或 D．或
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸非負半軸重合，若是角終邊上一點，且，則（ ）
A． B． C． D．
【題型2 三角函數值在各象限的符號】
【方法點撥】
對于確定角是第幾象限角的問題，應先確定題目中所有三角函數值的符號，然后依據上述三角函數值的
符號來確定角是第幾象限角，則它們的公共部分即所求；對于已知角的終邊所在的象限來判斷角的三
角函數值的符號問題，則常依據三角函數的定義，或利用口訣“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來解決.
【例2】（2022·全國·高一課時練習）已知為第二象限角，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2022·全國·高一課時練習）已知為第二象限的角，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習）若且，則角所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【變式2-3】（2022·北京高一期中）設是第一象限的角，且，則所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【題型3 誘導公式一的應用】
【方法點撥】
1.誘導公式一的實質是終邊相同的角的同名三角函數值相等.
2.利用誘導公式一可將負角或大于等于2π的角的三角函數化為0~2π之間的角的同名三角函數，實現了“負
化正，大化小”.
【例3】（2022·湖南·高一課時練習）求值：．
【變式3-1】（2021·全國·高一課前預習）計算下列各式的值：
(1)；
(2).
【變式3-2】（2021·全國·高一課時練習）化簡下列各式：
(1)；
(2)（其中是第二象限角）.
【變式3-3】（2021·全國·高一課前預習）求下列各式的值：
(1)cos＋tan；
(2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°.
【題型4 根據同角三角函數的基本關系求值】
【方法點撥】
第一步：由已知三角函數的符號，確定其角終邊所在的象限；
第二步：依據角的終邊所在象限進行分類討論；
第三步：利用同角三角函數的基本關系式及其變形公式，求出其余三角函數值.
【例4】（2022·江西省高三階段練習（理））已知，則（ ）
A． B． C． D．5
【變式4-1】（2022·貴州·高三階段練習（文））已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2021·河北·高二期中）已知，且，（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2022·山東·高二階段練習）已知,則的值為（ ）
A． B． C． D．
【題型5 三角函數式的化簡】
【方法點撥】
1.化簡原則：三角函數式的化簡就是代數式的恒等變形，使結果盡可能簡單，也就是項數盡可能少，次數盡
可能低，函數種類盡可能少，式子中盡量不含根號，能求值的一定要求值.
2.化簡常用的方法：(1)對于含有根號的，常把被開方數(式)化成完全平方數(式)，然后去根號達到化簡的目
的；(2)化切為弦，從而減少函數種類，達到化簡的目的；(3)對于含高次的三角函數式，往往借助于因式分
解或構造，以降低次數，達到化簡的目的.
【例5】（2021·福建·高一階段練習）（1）已知求的值；
（2）已知，且β為第四象限角，求的值.
【變式5-1】（2022·全國·高一課時練習）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【變式5-2】（2022·全國·高一課時練習）已知，求下列各式的值.
(1)；
(2).
【變式5-3】（2022·天津·模擬預測）已知， .
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求 .的值
【題型6 三角恒等式的證明】
【方法點撥】
三角恒等式的證明方法非常多，其主要方法有：
(1)從左向右推導或從右向左推導，一般由繁到簡；
(2)左右歸一法，即證明左右兩邊都等于同一個式子；
(3)化異為同法，即針對題設與結論間的差異，有針對性地變形，以消除差異.
【例6】（2022·全國·高一課時練習）求證：
(1)；
(2).
【變式6-1】（2021·全國·高一課時練習）求證：
(1)
(2)
【變式6-2】（2021·全國·高一專題練習）求證：sin4α+cos4α＝1﹣2sin2αcos2α
【變式6-3】（2022·全國·高一課時練習）求證：
(1)＝；
(2)

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