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專題5.5 誘導公式-重難點題型精講
1．誘導公式
(1)誘導公式
(2)誘導公式的作用
2．一組重要公式
(1)(n∈Z).
①當n=2k(k∈Z)時，由誘導公式有(k∈Z).
②當n=2k+1(k∈Z)時，由誘導公式有
(k∈Z).
(2) (n∈Z).
①當n=2k(k∈Z)時，由誘導公式有(k∈Z).
②當n=2k+1(k∈Z)時，由誘導公式有
(k∈Z).
類似地，有：
(3)(n∈Z).
(4)(n∈Z).
【題型1 利用誘導公式求值】
【方法點撥】
利用誘導公式可把任意角的三角函數轉化為銳角的三角函數，口訣：負化正，大化小，化到銳角再查表.
【例1】（2022·山東·高二階段練習）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2022·四川省高三階段練習（理））已知則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2022·北京朝陽·高三階段練習）若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【題型2 利用誘導公式化簡】
【方法點撥】
在對給定的式子進行化簡時，要注意給定的角之間存在的特定關系，充分利用給定的關系結合誘導公式將
角進行轉化.特別要注意每一個角所在的象限，勿將符號及三角函數名稱搞錯.
【例2】（2022·全國·高一課時練習）化簡（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2022·全國·高一課時練習）（ ）
A． B．0 C． D．
【變式2-2】（2022·北京高一期中）化簡的結果為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2022·天津市高一期末）若，則化簡=（ ）
A． B． C． D．
【題型3 利用互余（互補）關系求值】
【方法點撥】
誘導公式的應用中，利用互余(互補)關系求值問題是最重要的問題之一，也是高考考查的重點、熱點，一般
解題步驟如下：
(1)定關系：確定已知角與所求角之間的關系.
(2)定公式：依據確定的關系，選擇要使用的誘導公式.
(3)得結論：根據選擇的誘導公式，得到已知值和所求值之間的關系，從而得到結果.
【例3】（2022·全國·高一單元測試）已知 ，，則cos()=（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2022·廣西梧州·高二期末（理））已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2022·北京市高一期中）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【題型4 誘導公式在三角形中的應用】
【方法點撥】
利用誘導公式解決三角形中有關問題時，既要注意綜合運用誘導公式、同角三角函數的基本關系式，還要
注意三角形的隱含條件——三角形內角和等于的靈活運用.
【例4】（2022·全國·高一課時練習）在中，，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2022·全國·高一專題練習）在中，下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2022·上海高一階段練習）已知、、是的內角，對于①；②；③；④；其中正確的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式4-3】（2021·全國·高一專題練習）設，，為的三個內角，則不管三角形的形狀如何變化，表達式：①；②；③ ；④始終是常數的有（　　）個．
A．1 B．2 C．3 D．4專題5.5 誘導公式-重難點題型精講
1．誘導公式
(1)誘導公式
(2)誘導公式的作用
2．一組重要公式
(1)(n∈Z).
①當n=2k(k∈Z)時，由誘導公式有(k∈Z).
②當n=2k+1(k∈Z)時，由誘導公式有
(k∈Z).
(2) (n∈Z).
①當n=2k(k∈Z)時，由誘導公式有(k∈Z).
②當n=2k+1(k∈Z)時，由誘導公式有
(k∈Z).
類似地，有：
(3)(n∈Z).
(4)(n∈Z).
【題型1 利用誘導公式求值】
【方法點撥】
利用誘導公式可把任意角的三角函數轉化為銳角的三角函數，口訣：負化正，大化小，化到銳角再查表.
【例1】（2022·山東·高二階段練習）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】結合，根據誘導公式求解即可.
【解答過程】解：因為，，
所以
故選：D.
【變式1-1】（2022·四川省高三階段練習（理））已知則的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由三角函數的誘導公式，化簡得，代入即可求解，得到答案.
【解答過程】由三角函數的誘導公式，
可得，
又，所以.
故選：C.
【變式1-2】（2022·北京朝陽·高三階段練習）若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據給定條件，利用誘導公式、同角公式計算作答.
【解答過程】因，則，即，而，于是得，
所以.
故選：A.
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據及誘導公式即可求解.
【解答過程】∵，
∴.
故選:D．
【題型2 利用誘導公式化簡】
【方法點撥】
在對給定的式子進行化簡時，要注意給定的角之間存在的特定關系，充分利用給定的關系結合誘導公式將
角進行轉化.特別要注意每一個角所在的象限，勿將符號及三角函數名稱搞錯.
【例2】（2022·全國·高一課時練習）化簡（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用誘導公式化簡可得結果.
【解答過程】.
故選：C.
【變式2-1】（2022·全國·高一課時練習）（ ）
A． B．0 C． D．
【解題思路】由誘導公式直接化簡可得.
【解答過程】
故選：A.
【變式2-2】（2022·北京高一期中）化簡的結果為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】應用誘導公式化簡即可得結果.
【解答過程】.
故選：D.
【變式2-3】（2022·天津市高一期末）若，則化簡=（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據誘導公式化簡即可得答案.
【解答過程】解：
.
故選：D.
【題型3 利用互余（互補）關系求值】
【方法點撥】
誘導公式的應用中，利用互余(互補)關系求值問題是最重要的問題之一，也是高考考查的重點、熱點，一般
解題步驟如下：
(1)定關系：確定已知角與所求角之間的關系.
(2)定公式：依據確定的關系，選擇要使用的誘導公式.
(3)得結論：根據選擇的誘導公式，得到已知值和所求值之間的關系，從而得到結果.
【例3】（2022·全國·高一單元測試）已知 ，，則cos()=（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據同角三角函數基本關系及誘導公式求解即可.
【解答過程】，，
，，
，
故選：A.
【變式3-1】（2022·廣西梧州·高二期末（理））已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】整體代換法用誘導公式進行計算
【解答過程】，
故選：A.
【變式3-2】（2022·北京市高一期中）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】找出與之間的關系，進行整體轉換即可.
【解答過程】.
故選：C.
【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用題目條件結合誘導公式即可得出答案.
【解答過程】
故選：B.
【題型4 誘導公式在三角形中的應用】
【方法點撥】
利用誘導公式解決三角形中有關問題時，既要注意綜合運用誘導公式、同角三角函數的基本關系式，還要
注意三角形的隱含條件——三角形內角和等于的靈活運用.
【例4】（2022·全國·高一課時練習）在中，，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用三角函數誘導公式對原式進行化簡可得的值，利用平方關系得到的值，再結合三角形的內角，求解的值，進而得到的值，即可求解.
【解答過程】解：在中，，
平方得，，
因為A為三角形的一個內角，所以，，
所以，，
所以，結合，可得，，
所以.
故選：A.
【變式4-1】（2022·全國·高一專題練習）在中，下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由已知可得，結合三角函數的誘導公式逐一核對四個選項即可得出答案.
【解答過程】在中，有，，故A錯誤；，故B錯誤；
，故C正確；
，故D錯誤．
等式一定成立的是C．
故選：C．
【變式4-2】（2022·上海高一階段練習）已知、、是的內角，對于①；②；③；④；其中正確的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解題思路】直接利用誘導公式判斷每一個命題即得解.
【解答過程】解：①,所以正確；
②，所以正確；
③，所以正確；
④，所以正確.
故選：D.
【變式4-3】（2021·全國·高一專題練習）設，，為的三個內角，則不管三角形的形狀如何變化，表達式：①；②；③ ；④始終是常數的有（　　）個．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】直接利用三角形的內角和，誘導公式化簡四個選項，求出數值即可．
【解答過程】解：，，為的三個內角，所以，則不管三角形的形狀如何變化，表達式：
①不是常數；
②是常數；
③是常數；
④是常數；
所以始終是常數的是3個．
故選：C．

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