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專題5.7 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)-重難點題型精講
1．正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象
(1)正弦函數(shù)的圖象
①根據(jù)三角函數(shù)的定義，利用單位圓，我們可以得到函數(shù)y=,x∈[0,2π]的圖象，如圖所示.
②五點法
觀察圖，在函數(shù)y=,x∈[0,2π]的圖象上，以下五個點：(0,0),(,1),( π,0),(,-1),(2π,0)在確定圖象形
狀時起關鍵作用.描出這五個點，函數(shù)y=,x∈[0,2π]的圖象形狀就基本確定了.因此，在精確度要求不高時，常先找出這五個關鍵點，再用光滑的曲線將它們連接起來，得到正弦函數(shù)的簡圖.這種作圖的方法叫做“五點(畫圖)法”.
(2)余弦函數(shù)的圖象
①圖象變換法作余弦函數(shù)的圖象
由誘導公式六，我們知道，而函數(shù),x∈R的圖象可以通過正弦函
數(shù)y=,x∈R的圖象向左平移個單位長度而得到.所以將正弦函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，就得到余弦函數(shù)的圖象，如圖所示.
②五點法作余弦函數(shù)的圖象
類似于正弦函數(shù)圖象的作法，從余弦函數(shù)y=,x∈R的圖象可以看出，要作出函數(shù)y=在[0,2]
上的圖象，起關鍵作用的五個點是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出這五個點，然后把這五個點用一條光滑的曲線連接起來就得到了函數(shù)y=在[0,2]上的簡圖，再通過左右平移(每次移動2個單位長度)即可得到余弦函數(shù)y=,x∈R的圖象.
(3)正弦曲線、余弦曲線
正弦函數(shù)的圖象和余弦函數(shù)的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線.它們是具有相同形狀的“波浪起伏”
的連續(xù)光滑曲線.
2．正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)
(1)周期函數(shù)
①定義：一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D都有x+T∈D，
且f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.
②最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)
的最小正周期.
(2)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)
正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)如下表：
3．正弦型函數(shù)及余弦型函數(shù)的性質(zhì)
函數(shù)和的性質(zhì)
4．正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象
(1)正切函數(shù)的圖象及性質(zhì)
(2)三點兩線法作正切曲線的簡圖
類比于正、余弦函數(shù)圖象的五點法，我們可以采用三點兩線法作正切函數(shù)的簡圖.“三點”是指點
(-,-1),(0,0),(,1);“兩線”是指直線x=-和x=.在三點、兩線確定的情況下,可以大致畫出正切函數(shù)在區(qū)間(-,)上的簡圖.
5．余切函數(shù)的圖象及性質(zhì)
正切函數(shù)的圖象及性質(zhì)：
=，即將的圖象先向右平移個單位長度，再以x軸為對
稱軸上下翻折，可得的圖象.余切函數(shù)的圖象與性質(zhì)如下表：
【題型1 正、余弦函數(shù)圖象的應用】
【方法點撥】
正、余弦函數(shù)圖象的應用主要有：函數(shù)圖象的識別問題、解三角不等式、利用圖象解決與函數(shù)零點或圖象交點個數(shù)有關的問題；需要結(jié)合具體條件，根據(jù)正、余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)進行求解.
【例1】（2022·上海高一期中）函數(shù)與函數(shù)的圖像的交點個數(shù)是（ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
【解題思路】作出函數(shù)和的圖象，由圖象可得交點個數(shù)，
【解答過程】的最小正周期是，，
時，，作出函數(shù)和的圖象，只要觀察的圖象，由圖象知它們有7個交點，
故選：C．
【變式1-1】（2022·湖南·高三開學考試）與圖中曲線對應的函數(shù)可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】判斷各選項中函數(shù)在區(qū)間或上的函數(shù)值符號以及奇偶性，可得出合適的選項.
【解答過程】對于A選項，當時，，A選項不滿足條件；
對于B選項，當時，，，B選項不滿足條件；
對于C選項，當時，，C選項不滿足條件；
對于D選項，令，該函數(shù)的定義域為，
，故函數(shù)為偶函數(shù)，
當時，，D選項滿足條件.
故選：D.
【變式1-2】（2021·江蘇·高一課時練習）從函數(shù)的圖象來看，當時，對于的x有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【解題思路】畫出和的圖象，看它們有幾個交點即可.
【解答過程】先畫出，的圖象，即A與D之間的部分，
再畫出的圖象，如下圖：
由圖象可知它們有2個交點B、C，
所以當時，的x的值有2個.
故選：C.
【變式1-3】（2021·全國·高一專題練習）在上，滿足的的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】作出和在的函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可求出.
【解答過程】作出和在的函數(shù)圖象，
根據(jù)函數(shù)圖象可得滿足的的取值范圍為.
故選：C.
【題型2 定義域、值域與最值問題】
【方法點撥】
求與三角函數(shù)有關的函數(shù)的值域(或最值)的常用方法有：
(1)借助正弦函數(shù)的有界性、單調(diào)性求解；
(2)轉(zhuǎn)化為關于的二次函數(shù)求解.注意求三角函數(shù)的最值對應的自變量x的值時，要考慮三角函數(shù)的周期
性.
【例2】（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)，的最大值和最小值分別為（ ）
A．1，-1 B．， C．1， D．1，
【解題思路】利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求區(qū)間最值即可.
【解答過程】由題設，，故，
所以最大值和最小值分別為1，.
故選：D.
【變式2-1】（2022·甘肅·高二開學考試）函數(shù)的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)正切函數(shù)的定義域可得結(jié)果.
【解答過程】因為，所以.
故的定義域為.
故選：A.
【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)在上的值域為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)正弦型函數(shù)的圖像和單調(diào)性即可求解.
【解答過程】當時，，當時，即 時，取最大值1，當，即 時，取最小值大于 ，
故值域為
故選：C.
【變式2-3】（2022·湖南高三階段練習）奇函數(shù)在區(qū)間上恰有一個最大值1和一個最小值-1，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由為奇函數(shù)且得，由已知有，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)及最值分布列不等式組，求參數(shù)范圍.
【解答過程】由為奇函數(shù)，則，，又，故，
所以，在，則，，
當，則，故無解；
當，則，可得；
當，則，無解.
綜上，的取值范圍是.
故選：B.
【題型3 單調(diào)性問題】
【方法點撥】
單調(diào)性問題主要有：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解、比較函數(shù)值的大小；結(jié)合具體條件，根據(jù)三角函數(shù)的圖象與
性質(zhì)進行求解即可.
【例3】（2022·廣東廣州·高二期中）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞減的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用代入檢驗的方式，分別得到的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論.
【解答過程】對于A，當時，，此時單調(diào)遞減，A正確；
對于B，當時，，此時先增后減，B錯誤；
對于C，當時，，此時先減后增，C錯誤；
對于D，當時，，此時先增后減，D錯誤.
故選：A.
【變式3-1】（2022·內(nèi)蒙古·高三階段練習（文））已知函數(shù)，若在上為增函數(shù)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由可得，然后結(jié)合條件可建立不等式求得，然后可分析出答案.
【解答過程】令，整理得，
故，解得，，
∵，∴k＝0時，；k＝1時，；
時，∵，故不符合題意．綜上所述，．
故選：D．
【變式3-2】（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A．， B．，
C． ， D． ，
【解題思路】利用正切函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，可令，求得x的范圍，即得答案.
【解答過程】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性可得，欲求的單調(diào)增區(qū)間，
令 ，，解得 ，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
故選：A.
【變式3-3】（2022·廣西南寧·高三階段練習（文））若函數(shù) 在上單調(diào)遞減，則ω的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．
【解題思路】根據(jù)題意得，即，再根據(jù)，的單調(diào)遞減區(qū)間為得，解得，進而得當時，即可得答案.
【解答過程】因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，所以.
所以
因為的單調(diào)遞減區(qū)間為，
所以，解得，
由于，故.
所以當時，得的最大區(qū)間：.
故的最大值是.
故選：C.
【題型4 奇偶性與對稱性問題】
【方法點撥】
掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的奇偶性和對稱性相關知識，結(jié)合具體題目，靈活求解.
【例4】（2022·全國·高三專題練習）下列函數(shù)中，偶函數(shù)是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)誘導公式化簡函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦、余弦、正切函數(shù)的奇偶性可得答案.
【解答過程】對于A，為奇函數(shù)，故A不正確；
對于B，為奇函數(shù)，故B不正確；
對于C， 為奇函數(shù)，故C不正確；
對于D， 為偶函數(shù)，故D正確.
故選：D.
【變式4-1】（2022·湖北·高一階段練習）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的值為（ ）
A． B．1 C．1或-1 D．
【解題思路】由函數(shù)為偶函數(shù)得到，求出的值，代入后用誘導公式即可得到結(jié)果.
【解答過程】由函數(shù)得，，，其中，
.
故選：B.
【變式4-2】（2023·北京市高三期中）函數(shù)f（x）的圖象是中心對稱圖形，如果它的一個對稱中心是（，0），那么f（x）的解析式可以是（ ）
A．sinx B．cosx C． D．
【解題思路】判斷各選項中函數(shù)是否有對稱中心即可得．
【解答過程】四個選項中函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，代入函數(shù)式，只有B選項函數(shù)值為0，其他三個均不為0，
由余弦函數(shù)性質(zhì)知，B正確．
故選：B．
【變式4-3】（2022·全國·高三專題練習）設函數(shù)的圖象關于點中心對稱，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用為對稱中心，列出方程，求出，，求出的最小值.
【解答過程】由題意得：，，
解得：，，
所以，，
當時，取得最小值為.
故選：D.
【題型5 三角函數(shù)的周期性】
【方法點撥】
證明一個函數(shù)是否為周期函數(shù)或求函數(shù)周期的大小常用以下方法：
(1)定義法：即對定義域內(nèi)的每一個x值，看是否存在非零常數(shù)T使f(x+T)=f(x)成立，若成立，則函數(shù)是周
期函數(shù)且T是它的一個周期.
(2)公式法：利用三角函數(shù)的周期公式來求解.
(3)圖象法：畫出函數(shù)的圖象，通過圖象直觀判斷即可.
【例5】在函數(shù)中，最小正周期為的函數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)正余弦、正切函數(shù)的性質(zhì)求各函數(shù)的最小正周期即可.
【解答過程】由正弦函數(shù)性質(zhì)，的最小正周期為，的最小正周期為；
由余弦函數(shù)性質(zhì)，的最小正周期為；
由正切函數(shù)性質(zhì)，的最小正周期為.
綜上，最小正周期為的函數(shù)是.
故選：A.
【變式5-1】（2022·河南安陽·高三期中（文））已知函數(shù)的最小正周期為，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由周期性得，再由對稱性與單調(diào)性判斷，
【解答過程】因為的最小正周期為，所以，
令得，
即在上單調(diào)遞增，同理得在上單調(diào)遞減，
而，，，
由三角函數(shù)性質(zhì)得
故選：D.
【變式5-2】（2020·福建省高三階段練習）給出下列函數(shù)：
①；②；③；④．
其中最小正周期為的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
【解題思路】結(jié)合函數(shù)周期的定義以及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可.
【解答過程】對于①，，其最小正周期為;
對于②，結(jié)合圖象，知的最小正周期為．
對于③，的最小正周期．
對于④，的最小正周期．
故選：A．
【變式5-3】（2022·河南省高一階段練習）下列四個函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且最小正周期為的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；
【解答過程】解：在區(qū)間上不單調(diào)，A不符合題意.
在區(qū)間上單調(diào)遞增，且最小正周期為，B符合題意.
在區(qū)間上單調(diào)遞減，C不符合題意.
的最小正周期為，D不符合題意.
故選：B.
【題型6 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應用】
【方法點撥】
解決正(余)弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應用問題的思路：
1.熟練掌握函數(shù)或的圖象，利用基本函數(shù)法得到相應的函數(shù)性質(zhì)，然后利用性質(zhì)解題.
2.直接作出函數(shù)圖象，利用圖象形象直觀地分析并解決問題.
【例6】（2022·湖北·高一階段練習）已知函數(shù)的最小正周期．
(1)求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若函數(shù)在上有零點，求實數(shù)的取值范圍．
【解題思路】（1）由最小正周期求得，函數(shù)式化簡后由正弦函數(shù)的單調(diào)性求得結(jié)論；
（2）轉(zhuǎn)化為求在上的值域．
【解答過程】（1）因為函數(shù)的最小正周期，
所以，由于，所以．
所以，
所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，只需求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，
令，解得，
所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為．
（2）因為函數(shù)在上有零點，
所以函數(shù)的圖像與直線在上有交點，
因為，
故函數(shù)在區(qū)間上的值域為
所以當時，函數(shù)的圖像與直線在上有交點，
所以當時，函數(shù)在上有零點．
【變式6-1】（2022·湖南·高二階段練習）已知函數(shù)（，）的圖象關于直線對稱：
(1)若的最小正周期為，求的解析式；
(2)若是的零點，是否存在實數(shù)，使得在上單調(diào)？若存在，求出的取值集合；若不存在，請說明理由.
【解題思路】（1）由題意，利用正弦函數(shù)的周期性和對稱性，求出和，可得函數(shù)的解析式；
（2）由題意，利用正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性，求出的取值集合.
【解答過程】（1）
∵函數(shù)，的圖象關于直線對稱，
最小正周期為，∴，，，
求得，，函數(shù).
（2）
若是的零點，由于的圖象關于直線對稱，
則，①，
根據(jù)在上單調(diào)，有②，
由②可得，由①可得，所以，
故的取值集合為：.
【變式6-2】（2022·湖北·高三階段練習）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點.
(1)若的最小正周期為，求的解析式；
(2)若，，是否存在實數(shù)，使得在上單調(diào)？若存在，求出的取值集合；若不存在，請說明理由.
【解題思路】（1）根據(jù)最小正周期為得到，再根據(jù)的圖象過點，得到，即可得到的解析式；
（2）根據(jù)得到是的一條對稱軸，代入得到，，再根據(jù)的圖象過點得到，，聯(lián)立得到，根據(jù)在上單調(diào)得到，最后驗證在上是否單調(diào)即可得到的取值集合.
【解答過程】（1）
因為的最小正周期為，所以.
因為，所以.
因為的圖象經(jīng)過點，所以，，
即，.因為，所以.
故.
（2）
因為，，所以直線為圖象的對稱軸，
又的圖象經(jīng)過點.
所以①，②，.
②-①得，所以
因為，，所以，即為正奇數(shù).
因為在上單調(diào)，所以，即，解得.
當時，，.
因為，所以，此時.
令，.
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故在上不單調(diào)，不符合題意；
當時，，.
因為，所以，此時.
令，.
在上單調(diào)遞減，
故在上單調(diào)，符合題意；
當時，，.
因為，所以，此時.
令，.
在上單調(diào)遞減，
故在上單調(diào)，符合題意，
綜上，存在實數(shù)，使得在上單調(diào)，且的取值集合為.
【變式6-3】（2022·湖北·高三階段練習）已知函數(shù)的最小值為1，最小正周期為，且的圖象關于直線對稱.
(1)求的解析式；
(2)將曲線向左平移個單位長度，得到曲線，求曲線的對稱中心的坐標.
【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)的最小值及最小正周期，求出，再根據(jù)函數(shù)圖象關于對稱，結(jié)合，求出，從而求出函數(shù)解析式；
（2）先求出平移后的解析式，再用整體法求解對稱中心.
【解答過程】（1）
依題意可得
解得，
則，因為的圖象關于直線對稱，所以，
又，所以.
故.
（2）
依題意可得，
令，得，
故曲線的對稱中心的坐標為.專題5.7 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)-重難點題型精講
1．正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象
(1)正弦函數(shù)的圖象
①根據(jù)三角函數(shù)的定義，利用單位圓，我們可以得到函數(shù)y=,x∈[0,2π]的圖象，如圖所示.
②五點法
觀察圖，在函數(shù)y=,x∈[0,2π]的圖象上，以下五個點：(0,0),(,1),( π,0),(,-1),(2π,0)在確定圖象形
狀時起關鍵作用.描出這五個點，函數(shù)y=,x∈[0,2π]的圖象形狀就基本確定了.因此，在精確度要求不高時，常先找出這五個關鍵點，再用光滑的曲線將它們連接起來，得到正弦函數(shù)的簡圖.這種作圖的方法叫做“五點(畫圖)法”.
(2)余弦函數(shù)的圖象
①圖象變換法作余弦函數(shù)的圖象
由誘導公式六，我們知道，而函數(shù),x∈R的圖象可以通過正弦函
數(shù)y=,x∈R的圖象向左平移個單位長度而得到.所以將正弦函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，就得到余弦函數(shù)的圖象，如圖所示.
②五點法作余弦函數(shù)的圖象
類似于正弦函數(shù)圖象的作法，從余弦函數(shù)y=,x∈R的圖象可以看出，要作出函數(shù)y=在[0,2]
上的圖象，起關鍵作用的五個點是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出這五個點，然后把這五個點用一條光滑的曲線連接起來就得到了函數(shù)y=在[0,2]上的簡圖，再通過左右平移(每次移動2個單位長度)即可得到余弦函數(shù)y=,x∈R的圖象.
(3)正弦曲線、余弦曲線
正弦函數(shù)的圖象和余弦函數(shù)的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線.它們是具有相同形狀的“波浪起伏”
的連續(xù)光滑曲線.
2．正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)
(1)周期函數(shù)
①定義：一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D都有x+T∈D，
且f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.
②最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)
的最小正周期.
(2)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)
正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)如下表：
3．正弦型函數(shù)及余弦型函數(shù)的性質(zhì)
函數(shù)和的性質(zhì)
4．正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象
(1)正切函數(shù)的圖象及性質(zhì)
(2)三點兩線法作正切曲線的簡圖
類比于正、余弦函數(shù)圖象的五點法，我們可以采用三點兩線法作正切函數(shù)的簡圖.“三點”是指點
(-,-1),(0,0),(,1);“兩線”是指直線x=-和x=.在三點、兩線確定的情況下,可以大致畫出正切函數(shù)在區(qū)間(-,)上的簡圖.
5．余切函數(shù)的圖象及性質(zhì)
正切函數(shù)的圖象及性質(zhì)：
=，即將的圖象先向右平移個單位長度，再以x軸為對
稱軸上下翻折，可得的圖象.余切函數(shù)的圖象與性質(zhì)如下表：
【題型1 正、余弦函數(shù)圖象的應用】
【方法點撥】
正、余弦函數(shù)圖象的應用主要有：函數(shù)圖象的識別問題、解三角不等式、利用圖象解決與函數(shù)零點或圖象交點個數(shù)有關的問題；需要結(jié)合具體條件，根據(jù)正、余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)進行求解.
【例1】（2022·上海高一期中）函數(shù)與函數(shù)的圖像的交點個數(shù)是（ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
【變式1-1】（2022·湖南·高三開學考試）與圖中曲線對應的函數(shù)可能是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2021·江蘇·高一課時練習）從函數(shù)的圖象來看，當時，對于的x有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【變式1-3】（2021·全國·高一專題練習）在上，滿足的的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【題型2 定義域、值域與最值問題】
【方法點撥】
求與三角函數(shù)有關的函數(shù)的值域(或最值)的常用方法有：
(1)借助正弦函數(shù)的有界性、單調(diào)性求解；
(2)轉(zhuǎn)化為關于的二次函數(shù)求解.注意求三角函數(shù)的最值對應的自變量x的值時，要考慮三角函數(shù)的周期
性.
【例2】（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)，的最大值和最小值分別為（ ）
A．1，-1 B．， C．1， D．1，
【變式2-1】（2022·甘肅·高二開學考試）函數(shù)的定義域為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)在上的值域為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2022·湖南高三階段練習）奇函數(shù)在區(qū)間上恰有一個最大值1和一個最小值-1，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型3 單調(diào)性問題】
【方法點撥】
單調(diào)性問題主要有：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解、比較函數(shù)值的大小；結(jié)合具體條件，根據(jù)三角函數(shù)的圖象與
性質(zhì)進行求解即可.
【例3】（2022·廣東廣州·高二期中）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞減的是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2022·內(nèi)蒙古·高三階段練習（文））已知函數(shù)，若在上為增函數(shù)，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A．， B．，
C． ， D． ，
【變式3-3】（2022·廣西南寧·高三階段練習（文））若函數(shù) 在上單調(diào)遞減，則ω的最大值為（ ）
A．1 B． C． D．
【題型4 奇偶性與對稱性問題】
【方法點撥】
掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的奇偶性和對稱性相關知識，結(jié)合具體題目，靈活求解.
【例4】（2022·全國·高三專題練習）下列函數(shù)中，偶函數(shù)是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2022·湖北·高一階段練習）已知函數(shù)是偶函數(shù)，則的值為（ ）
A． B．1 C．1或-1 D．
【變式4-2】（2023·北京市高三期中）函數(shù)f（x）的圖象是中心對稱圖形，如果它的一個對稱中心是（，0），那么f（x）的解析式可以是（ ）
A．sinx B．cosx C． D．
【變式4-3】（2022·全國·高三專題練習）設函數(shù)的圖象關于點中心對稱，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【題型5 三角函數(shù)的周期性】
【方法點撥】
證明一個函數(shù)是否為周期函數(shù)或求函數(shù)周期的大小常用以下方法：
(1)定義法：即對定義域內(nèi)的每一個x值，看是否存在非零常數(shù)T使f(x+T)=f(x)成立，若成立，則函數(shù)是周
期函數(shù)且T是它的一個周期.
(2)公式法：利用三角函數(shù)的周期公式來求解.
(3)圖象法：畫出函數(shù)的圖象，通過圖象直觀判斷即可.
【例5】在函數(shù)中，最小正周期為的函數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2022·河南安陽·高三期中（文））已知函數(shù)的最小正周期為，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-2】（2020·福建省高三階段練習）給出下列函數(shù)：
①；②；③；④．
其中最小正周期為的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
【變式5-3】（2022·河南省高一階段練習）下列四個函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且最小正周期為的是（ ）
A． B． C． D．
【題型6 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應用】
【方法點撥】
解決正(余)弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應用問題的思路：
1.熟練掌握函數(shù)或的圖象，利用基本函數(shù)法得到相應的函數(shù)性質(zhì)，然后利用性質(zhì)解題.
2.直接作出函數(shù)圖象，利用圖象形象直觀地分析并解決問題.
【例6】（2022·湖北·高一階段練習）已知函數(shù)的最小正周期．
(1)求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若函數(shù)在上有零點，求實數(shù)的取值范圍．
【變式6-1】（2022·湖南·高二階段練習）已知函數(shù)（，）的圖象關于直線對稱：
(1)若的最小正周期為，求的解析式；
(2)若是的零點，是否存在實數(shù)，使得在上單調(diào)？若存在，求出的取值集合；若不存在，請說明理由.
【變式6-2】（2022·湖北·高三階段練習）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點.
(1)若的最小正周期為，求的解析式；
(2)若，，是否存在實數(shù)，使得在上單調(diào)？若存在，求出的取值集合；若不存在，請說明理由.
【變式6-3】（2022·湖北·高三階段練習）已知函數(shù)的最小值為1，最小正周期為，且的圖象關于直線對稱.
(1)求的解析式；
(2)將曲線向左平移個單位長度，得到曲線，求曲線的對稱中心的坐標.

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