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專題5.9 三角恒等變換（重難點題型精講）
1．兩角差的余弦公式
對于任意角，有.
此公式給出了任意角,的正弦、余弦與其差角-的余弦之間的關系，稱為差角的余弦公式，簡記作
.
公式巧記為：兩角差的余弦值等于兩角的同名三角函數值乘積的和.
2．兩角和的余弦公式
(1)公式的結構特征
(2)兩角和與差的余弦公式的記憶技巧
兩角和與差的余弦公式可以記憶為“余余正正，符號相反”.
①“余余正正”表示展開后的兩項分別為兩角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；
②“符號相反”表示展開后兩項之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相反，即兩角和時用“-”，兩角差時用“+”.
3．兩角和與差的正弦公式
(1)兩角和與差的正弦公式的結構特征
(2)兩角和與差的正弦公式的記憶技巧
兩角和與差的正弦公式可以記憶為“正余余正，符號相同”.
①“正余余正”表示展開后的兩項分別為兩角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；
②“符號相同”表示展開后兩項之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相同，即兩角和時用“+”,兩角差時用“-”.
4．兩角和與差的正切公式
兩角和與差的正切公式的結構特征
符號變化規律可簡記為“分子同，分母反”.
5．三角恒等變換思想——角的代換、常值代換、輔助角公式
(1)角的代換
代換法是一種常用的思想方法，也是數學中一種重要的解題方法，在解決三角問題時，角的代換作用
尤為突出.
常用的角的代換形式：
①=(+)-；
②=-(-)；
③=[(+)+(-)]；
④= [(+)-(-)]；
⑤=(-)-(-)；
⑥-=(-)+(-).
(2)常值代換
用某些三角函數值代換某些常數，使之代換后能運用相關的公式，我們把這種代換稱為常值代換，其
中要特別注意的是“1”的代換.
(3)輔助角公式
通過應用公式[或將形如
(a,b都不為零)的三角函數式收縮為一個三角函數 [或].這種恒等變形實質上是將同角的正弦和余弦函數值與其他常數積的和收縮為一個
三角函數，這種恒等變換稱為收縮變換，上述公式也稱為輔助角公式.
6．二倍角公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式
7．二倍角公式的變形應用
(1)倍角公式的逆用
①：，，.
②：.
③：.
(2)配方變形
.
(3)因式分解變形
.
(4)升冪公式
；.
【題型1 兩角和與差的三角函數公式的應用】
【方法點撥】
公式運用之妙，存乎一心.使用時強調一個“活”字，而“活”的基礎來源于對公式結構本身的深刻理解.
【例1】（2022·四川省模擬預測（理））已知，都為銳角，，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2022·江蘇南京·高二期中）已知均為銳角，且，則（ ）
A． B． C．2 D．3
【變式1-2】（2022·湖北黃岡·高三階段練習）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2022·天津市高一階段練習）若，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【題型2 利用和（差）角公式求三角函數式的值】
【方法點撥】
解決三角函數求值的四個切入點：
(1)觀察角的特點.充分利用角之間的關系，盡量向同角轉化，利用已知角構建待求角.
(2)觀察函數特點.向同名函數轉化，弦切互化，通常是切化弦.
(3)利用輔助角公式求解.
(4)觀察結構特點，從整體出發，利用公式變形，并能正用、逆用、交替使用這些公式.
【例2】（2022·湖南·高三階段練習）的值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【變式2-1】（2022·寧夏·高三期末（文））（ ）
A． B． C． D．—
【變式2-2】（2022·河南高三階段練習（文））已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2022·山東·高一階段練習）若，則（ ）
A． B． C． D．
【題型3 利用和（差）角公式化簡三角函數式】
【方法點撥】
(1)化簡三角函數式的標準和要求：①能求出值的應求出值；②使三角函數式的種數、項數及角的種類盡可
能少；③使三角函數式的次數盡可能低；④使分母中盡量不合三角函數式和根式.
(2)化簡三角函數式的常用方法:
①切化弦；②異名化同名；③異角化同角；④高次降低次.
【例3】（2022·湖南·高一課時練習）化簡：
(1)；
(2)．
【變式3-1】設，化簡：．
【變式3-2】（2022·四川省高一階段練習（理））化簡下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
【變式3-3】（2022·全國·高一課前預習）化簡：
(1)(tan 10°－)·；
(2)sin(α＋β)cos α－[sin(2α＋β)－sin β]．
【題型4 利用和（差）角公式證明三角恒等式】
【方法點撥】
證明條件恒等式要充分關注已知條件與待證恒等式的關系，正確運用條件并合理切入，然后用證明恒等式
的一般方法處理.
【例4】（2022·全國·高一課時練習）已知，且，，.求證：.
【變式4-1】（2021·全國·高一課時練習）已知，，求證：
(1)；
(2).
【變式4-2】（2021·全國·高一課時練習）求證：（1）；
（2）.
【變式4-3】（2021·全國·高一專題練習）求證：
（1）；
（2）；
（3）．
【題型5 利用二倍角公式化簡】
【方法點撥】
解決三角函數式的化簡問題就是根據題目特點，利用相應的公式，對所給三角函數式進行適當變形.可從“冪”
的差異、“名”的差異、“角”的差異這三個方面，結合所給“形”的特征入手解決.一般采用切化弦、異角化同
角、異次化同次、異名化同名、通分、使被開方數化為完全平方式等進行變形，同時注意公式的逆用以及“1”
的恒等代換，在化簡時，要注意角的取值范圍.
【例5】（2021·全國·高一專題練習）化簡：
(1)coscos；
(2)cos4－sin4；
(3) .
【變式5-1】（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）化簡：（為銳角）
【變式5-2】（2022·江蘇·高一課時練習）化簡：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【變式5-3】（2022·全國·高一專題練習）化簡下列各式：
（1）；
（2）.
【題型6 利用二倍角公式求值】
【方法點撥】
對于給角求值問題，需觀察題中角之同的關系，并能根據式子的特點構造出二倍角的形式，正用、逆用、
變形用二倍角公式求值，注意利用誘導公式和同角三角函數的基本關系對已知式進行轉化.
【例6】（2022·全國·高一單元測試）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【變式6-1】（2022·湖北黃石·高一期中）已知
(1)求 ；
(2)求 的值.
【變式6-2】（2022·浙江·高一期末）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【變式6-3】（2022·北京高一期中）已知 ，求
(1) 的值;
(2) 的值.專題5.9 三角恒等變換（重難點題型精講）
1．兩角差的余弦公式
對于任意角，有.
此公式給出了任意角,的正弦、余弦與其差角-的余弦之間的關系，稱為差角的余弦公式，簡記作
.
公式巧記為：兩角差的余弦值等于兩角的同名三角函數值乘積的和.
2．兩角和的余弦公式
(1)公式的結構特征
(2)兩角和與差的余弦公式的記憶技巧
兩角和與差的余弦公式可以記憶為“余余正正，符號相反”.
①“余余正正”表示展開后的兩項分別為兩角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；
②“符號相反”表示展開后兩項之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相反，即兩角和時用“-”，兩角差時用“+”.
3．兩角和與差的正弦公式
(1)兩角和與差的正弦公式的結構特征
(2)兩角和與差的正弦公式的記憶技巧
兩角和與差的正弦公式可以記憶為“正余余正，符號相同”.
①“正余余正”表示展開后的兩項分別為兩角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；
②“符號相同”表示展開后兩項之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相同，即兩角和時用“+”,兩角差時用“-”.
4．兩角和與差的正切公式
兩角和與差的正切公式的結構特征
符號變化規律可簡記為“分子同，分母反”.
5．三角恒等變換思想——角的代換、常值代換、輔助角公式
(1)角的代換
代換法是一種常用的思想方法，也是數學中一種重要的解題方法，在解決三角問題時，角的代換作用
尤為突出.
常用的角的代換形式：
①=(+)-；
②=-(-)；
③=[(+)+(-)]；
④= [(+)-(-)]；
⑤=(-)-(-)；
⑥-=(-)+(-).
(2)常值代換
用某些三角函數值代換某些常數，使之代換后能運用相關的公式，我們把這種代換稱為常值代換，其
中要特別注意的是“1”的代換.
(3)輔助角公式
通過應用公式[或將形如
(a,b都不為零)的三角函數式收縮為一個三角函數 [或].這種恒等變形實質上是將同角的正弦和余弦函數值與其他常數積的和收縮為一個
三角函數，這種恒等變換稱為收縮變換，上述公式也稱為輔助角公式.
6．二倍角公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式
7．二倍角公式的變形應用
(1)倍角公式的逆用
①：，，.
②：.
③：.
(2)配方變形
.
(3)因式分解變形
.
(4)升冪公式
；.
【題型1 兩角和與差的三角函數公式的應用】
【方法點撥】
公式運用之妙，存乎一心.使用時強調一個“活”字，而“活”的基礎來源于對公式結構本身的深刻理解.
【例1】（2022·四川省模擬預測（理））已知，都為銳角，，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由同角三角函數的基本關系可得和，代入，計算可得．
【解答過程】解：，都是銳角，，，
，，
，
故選：A．
【變式1-1】（2022·江蘇南京·高二期中）已知均為銳角，且，則（ ）
A． B． C．2 D．3
【解題思路】根據兩角和差的正弦公式，結合商數關系化簡即可得解.
【解答過程】解：因為，
所以，
即，
又均為銳角，
所以，即.
故選：D.
【變式1-2】（2022·湖北黃岡·高三階段練習）已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據同角三角函數的基本關系求出，再根據利用兩角和的正弦公式計算可得.
【解答過程】解：因為，所以，又，
所以，
所以
，
故選：D.
【變式1-3】（2022·天津市高一階段練習）若，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意求得和的值，結合兩角差的余弦公式，即可求解.
【解答過程】由題意，可得，，
因為，，可得，，
則
.
故選：C.
【題型2 利用和（差）角公式求三角函數式的值】
【方法點撥】
解決三角函數求值的四個切入點：
(1)觀察角的特點.充分利用角之間的關系，盡量向同角轉化，利用已知角構建待求角.
(2)觀察函數特點.向同名函數轉化，弦切互化，通常是切化弦.
(3)利用輔助角公式求解.
(4)觀察結構特點，從整體出發，利用公式變形，并能正用、逆用、交替使用這些公式.
【例2】（2022·湖南·高三階段練習）的值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【解題思路】把分子中的化為，利用兩角差的余弦公式進行計算即可.
【解答過程】原式=
.
故選：C.
【變式2-1】（2022·寧夏·高三期末（文））（ ）
A． B． C． D．—
【解題思路】結合誘導公式、兩角和的正弦公式求得正確答案.
【解答過程】
.
故選：C.
【變式2-2】（2022·河南高三階段練習（文））已知，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用兩角和的余弦公式和三角函數的基本關系式，化簡的原式，代入即可求解.
【解答過程】由.
故選：B.
【變式2-3】（2022·山東·高一階段練習）若，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】化簡得 ，再代值計算即可.
【解答過程】解：因為
＝＝
＝.
故選：B.
【題型3 利用和（差）角公式化簡三角函數式】
【方法點撥】
(1)化簡三角函數式的標準和要求：①能求出值的應求出值；②使三角函數式的種數、項數及角的種類盡可
能少；③使三角函數式的次數盡可能低；④使分母中盡量不合三角函數式和根式.
(2)化簡三角函數式的常用方法:
①切化弦；②異名化同名；③異角化同角；④高次降低次.
【例3】（2022·湖南·高一課時練習）化簡：
(1)；
(2)．
【解題思路】（1）由結合和差角公式化簡即可；
（2）由結合和差角公式以及誘導公式化簡即可.
【解答過程】(1)
；
(2)
.
【變式3-1】設，化簡：．
【解題思路】利用誘導公式及兩角和與差的正弦公式化簡計算即可.
【解答過程】
，
，，
，
.
【變式3-2】（2022·四川省高一階段練習（理））化簡下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
【解題思路】（1）將67°寫成，結合兩角和的正弦、正切公式，即可求解；
（2）切化弦，結合輔助角公式，兩角和的正弦公式運算即可求解；．
（3）將改成，改成的形式，結合兩角和的正弦公式即可求解．
【解答過程】(1)
解：原式=
．
(2)
解：原式
．
(3)
解：原式
．
【變式3-3】（2022·全國·高一課前預習）化簡：
(1)(tan 10°－)·；
(2)sin(α＋β)cos α－[sin(2α＋β)－sin β]．
【解題思路】（1）結合同角三角函數的基本關系式、兩角差的正弦公式計算出正確答案.
（2）結合兩角和與差的正弦公式計算出正確答案.
【解答過程】(1)
原式＝(tan 10°－tan 60°)·＝·
＝·
＝－·＝－＝－2.
(2)
原式＝sin(α＋β)cos α－[sin(α＋α＋β)－sin(α＋β－α)]
＝sin(α＋β)cos α－[sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)－sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]
＝sin(α＋β)cos α－×2sin αcos(α＋β)
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β－α)＝sin β.
【題型4 利用和（差）角公式證明三角恒等式】
【方法點撥】
證明條件恒等式要充分關注已知條件與待證恒等式的關系，正確運用條件并合理切入，然后用證明恒等式
的一般方法處理.
【例4】（2022·全國·高一課時練習）已知，且，，.求證：.
【解題思路】轉化，，用正弦的和差角公式展開，再利用同角三角函數的商數關系，即得解.
【解答過程】由題意，，
故，
又，
，
，
由于，，，
故，，
兩邊同除以：，
可得，即得證.
【變式4-1】（2021·全國·高一課時練習）已知，，求證：
(1)；
(2).
【解題思路】（1）根據兩角和與差的正弦公式展開，然后兩式相加即可得證；
（2）根據兩角和與差的正弦公式展開，然后兩式相減即可得證；
【解答過程】(1)
證明：因為，即，
所以兩式相加可得，
所以得證；
(2)
證明：因為，即，
所以兩式相減可得，
所以得證.
【變式4-2】（2021·全國·高一課時練習）求證：（1）；
（2）.
【解題思路】（1）直接根據差角的正弦公式與同角三角函數的商關系證明即可；
（2）由（1）得，由此可證．
【解答過程】證明：（1）；
（2）由（1）得，
∴ ，
∴．
【變式4-3】（2021·全國·高一專題練習）求證：
（1）；
（2）；
（3）．
【解題思路】直接利用兩角和與差的三角函數化簡等式的左側，證明即可．
【解答過程】證明：（1）
；
（2）
；
（3）
等式成立．
【題型5 利用二倍角公式化簡】
【方法點撥】
解決三角函數式的化簡問題就是根據題目特點，利用相應的公式，對所給三角函數式進行適當變形.可從“冪”
的差異、“名”的差異、“角”的差異這三個方面，結合所給“形”的特征入手解決.一般采用切化弦、異角化同
角、異次化同次、異名化同名、通分、使被開方數化為完全平方式等進行變形，同時注意公式的逆用以及“1”
的恒等代換，在化簡時，要注意角的取值范圍.
【例5】（2021·全國·高一專題練習）化簡：
(1)coscos；
(2)cos4－sin4；
(3) .
【解題思路】（1）利用誘導公式及二倍角正弦公式計算可得；
（2）利用平方關系及二倍角余弦公式計算可得；
（3）利用二倍角的正切公式計算可得；
【解答過程】（1）
解：；
（2）
解：；
（3）
解：.
【變式5-1】（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習）化簡：（為銳角）
【解題思路】根據二倍角正弦公式與二倍角余弦公式對根式進行配方，再根據角的范圍去絕對值，即得結果.
【解答過程】
.
為銳角，.
∴ .
【變式5-2】（2022·江蘇·高一課時練習）化簡：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【解題思路】（1）根據同角的三角函數關系式，結合正弦二倍角公式進行求解即可；
（2）逆用正切二倍角公式，結合特殊角的正切值進行求解即可；
（3）運用切化弦法，結合輔助角公式、二倍角公式、誘導公式進行求解即可；
（4）運用平方差公式，結合同角的三角函數關系式、余弦的二倍角公式進行求解即可；
（5）運用切化弦法，結合正弦和余弦的二倍角公式進行求解即可；
（6）根據誘導公式，結合余弦二倍角公式進行求解即可.
【解答過程】(1)
；
(2)
；
(3)
(4)
；
(5)
(6)
.
【變式5-3】（2022·全國·高一專題練習）化簡下列各式：
（1）；
（2）.
【解題思路】（1）對原式通分化簡即得；
（2）利用誘導公式、同角的三角函數關系、二倍角的正弦余弦公式化簡即得解.
【解答過程】（1）原式=.
（2）原式=
.
【題型6 利用二倍角公式求值】
【方法點撥】
對于給角求值問題，需觀察題中角之同的關系，并能根據式子的特點構造出二倍角的形式，正用、逆用、
變形用二倍角公式求值，注意利用誘導公式和同角三角函數的基本關系對已知式進行轉化.
【例6】（2022·全國·高一單元測試）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解題思路】（1）根據給定條件，利用二倍角的正弦公式結合正余弦齊次式法計算作答.
（2）利用二倍角的正切公式及和角的正切公式計算作答.
【解答過程】（1）
因，則.
（2）
因，則，又，
所以．
【變式6-1】（2022·湖北黃石·高一期中）已知
(1)求 ；
(2)求 的值.
【解題思路】（1）根據兩角和的正切公式，結合正切二倍角公式進行求解即可；
（2）根據二倍角的正弦公式和余弦公式，結合同角的三角函數關系式進行求解即可.
【解答過程】（1）由，
所以；
（2）
【變式6-2】（2022·浙江·高一期末）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【解題思路】（1）利用同角三角函數的基本關系式求解即可.
（2）利用正弦及余弦的二倍角公式展開后分式上下同除以，然后代入的值即可求解.
【解答過程】(1)
∵
∴
∴.
(2)
.
【變式6-3】（2022·北京高一期中）已知 ，求
(1) 的值;
(2) 的值.
【解題思路】（1）將已知等式分子分母同除，可構造關于的方程，求得；
（2）將所求式子利用二倍角公式化為正余弦的二次式，配湊分母，分子分母同除可構造出關于的方程，代入可求得結果.
【解答過程】(1)
，
，解得：.
(2)
.

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