資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第四章 三角形及四邊形
第五節 多邊形與平行四邊形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 多邊形 ☆☆ 吉林中考中，有關多邊形與平行四邊形部分，每年考查1~2道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對于這部分的復習，需要熟練掌握多邊形及平行四邊形的判定及相關證明等考點。
考點2 平行四邊形的判定及相關證明 ☆☆☆
■考點一　多邊形
1.多邊形定義：在平面內，由一些線段 組成的圖形叫做 .
2.多邊形的內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的 .
3.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的 .
4.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的 .
5.正多邊形：
（1）定義：在平面內，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫 .
（2）正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫作這個 。
（3）正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫作正多形的 。
（4）正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫作正多邊形的 。
（5）正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫作正多邊形的 。
6.多邊形的性質：
（1）多邊形內角和公式：邊形的內角和等于 .
（2）多邊形的外角和：多邊形的外角和為 .
（3）多邊形對角線的條數：①從邊形的一個頂點出發可以引 條對角線，把多邊形分成 個三角形.②邊形共有 條對角線.
■考點二　平行四邊形的判定及相關證明
1.平行四邊形的概念
定義 表示方法及解讀 注意
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形 平行四邊形用符號“口”表示；平行四邊形ABCD記作“□ABCD”，讀作“平行四邊形 平行四邊形的表示一定按 依次注明各頂點
2.平行四邊形的性質
性質 符號語言
邊 平行四邊形的 分別平行且相等 ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD
角 平行四邊形的 分別相等， 互補 ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴(1)∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, (2∠ABC+∠BAD=180°,°
對角線 平行四邊形的 互相平分 ∵四邊形ABCD是平行四邊形，
此外，平行四邊形是 圖形，兩條對角線的交點是對稱中心且平行四邊形具有一般四邊形的一切性質。
3.平行四邊形的性質的應用
平行四邊形的 是我們研究平行四邊形的角或邊的重要依據.利用平行四邊形的性質，可以求角的 、線段的 。
4.平行四邊形的判定
(1)從邊看：①兩組對邊分別平行的四邊形是 (定義)。
②兩組對邊分別相等的四邊形是 。
③一組對邊平行且相等的四邊形是 。
(2)從角看：④兩組對角分別相等的四邊形是 。
(3)從對角線看：⑤對角線互相平分的四邊形是 。
5.三角形的中位線：連接三角形兩邊中點的線段叫做 。
中位線與中線的區別：中位線是 的連線，中線是 的連線。
6.三角形中位線定理：三角形的中位線 ，并且等于第三邊的 。
三角形中位線定理的作用：在已知兩邊中點的條件下，證明線段的平行關系及線段的倍分關系
■易錯提示
1.畫正n邊形的方法：（1）將一個圓n等份，（2）順次連結各等分點.
2.幾何圖形的學習關鍵在于考慮構成圖形的元素之間的關系（比如邊與邊的關系，角與角的關系，邊與角的關系 ）及相關元素之間的關系（比如對角線之間的關系）。
3.平行四邊形的基本元素：邊、角、對角線.
4.相鄰的兩邊為鄰邊，有四對；相對的邊為對邊，有兩對；相鄰的兩角為鄰角，有四對；相對的角為對角，有兩對；對角線有兩條.
5.平行四邊形的判定定理主要從三個元素方向認識：邊、角、對角線。注意性質與判定之間的互逆關系。
6.作對角線是解決四邊形問題常用的輔助線，通過作對角線，可以把未知四邊形問題轉化為已知的關于三角形的問題．
7.由平行四邊形的性質可得相等的邊和相等的角，借助這些邊和角證明三角形全等，利用全等三角形的性質解決問題。
■考點一　多邊形
◇典例1： （2023上·河南周口·七年級統考階段練習）五邊形至少可以分割成（ ）個三角形
A．2 B．3 C．4 D．5
◆變式訓練
1．（2023上·江西吉安·七年級統考階段練習）一個多邊形過一個頂點有7條對角線，則這個多邊形的邊數為（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
2．（2023上·河南三門峽·八年級統考期中）如圖，（ ）度．

A．450 B．540 C．630 D．720
■考點二　平行四邊形的判定及相關證明
◇典例2：（2023下·黑龍江大慶·七年級校考期末）如圖，在中，，D是的中點，，，若，，下列說法：①四邊形是平行四邊形；②是等腰三角形；③四邊形的周長是；④四邊形的面積是．正確的個數是（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
◆變式訓練
1．（2023上·廣東深圳·九年級統考開學考試）如圖，在平行四邊形中，，于F，于G，、交于E，、交于H，給出下列結論：①；②；③；④若點F是的中點，則；其中正確的結論有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
2．（2023上·浙江·九年級專題練習）如圖，在中，，點A、C、D分別在、、上，四邊形為平行四邊形，且，則的周長是（　　）
A．24 B．18 C．16 D．12
1．（2023·吉林·統考一模）如圖，在中，，，的平分線交邊于點E，則的長是（ ）

A．5 B．7 C．3.5 D．3
2．（2022·吉林·統考一模）如圖，在一束平行光線中插入一張對邊平行的紙板，如果光線與紙板右下方所成的，則光線與紙板左上方所成的的度數是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·吉林長春·二模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，以點A為圓心，適當長為半徑作弧，交AB于點D，交AC于點E，再以E為圓心，大于DE長為半徑作弧，兩弧交于點F，在射線AF上取點G，H為BG的中點，連接CH，若AG＝6，則CH長為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021·吉林長春·長春市解放大路學校校考模擬預測）如圖，在中，，對角線，則面積的最大值為（ ）
A．25 B．20 C．15 D．12
5．（2023·吉林延邊·統考一模）若正n邊形一個外角的度數為，則n的值為 ．
6．（2023·吉林長春·長春市第八十七中學校考三模）如圖①是15世紀藝術家阿爾布雷希特·丟勒利用正五邊形和菱形創作的鑲嵌圖案設計，圖②是鑲嵌圖案中的某一片段的放大圖，其中菱形的最小內角為 度．

7．（2021·吉林長春·校考二模）如圖，在中，，，P為邊上一動點，以為邊作平行四邊形，則對角線長度的最小值是 ．
8．（2023·吉林長春·校聯考一模）如圖將沿對角線折疊，使點落在處，若，，則的度數為 ．
9．（2021·吉林·統考中考真題）圖①、圖2均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長為1，點，點均在格點上，在給定的網格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上．
（1）在圖①中，以點，，為頂點畫一個等腰三角形；
（2）在圖②中，以點，，，為頂點畫一個面積為3的平行四邊形．
10．（2021下·吉林延邊·九年級統考階段練習）如圖，將平行四邊形的對角線向向兩個方向延長，分別至點和點，且使得，求證：四邊形為平行四邊形．

11．（2023·吉林松原·統考一模）如圖，在中，是它的一條對角線，求證：．

12．（2023·吉林·統考一模）如圖，在平行四邊形中，E，F分別是，的中點，點G，H分別在，上，且．求證：．
1．（2023上·廣西南寧·八年級統考期中）如圖，是在五邊形ABCDE的一個外角，若，則的度數是（ ）

A． B． C． D．
2．（2023上·河北廊坊·八年級校考期末）正六邊形的一個內角是正m邊形一個外角的4倍，則（ ）
A．6 B．8 C． D．
3．（2023上·甘肅慶陽·八年級統考期中）如圖．花瓣圖案中的正六邊形的內角和是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·浙江金華·九年級校考階段練習）已知正多邊形的一個外角等于，那么這個正多邊形的邊數為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（2023上·福建龍巖·八年級校考期中）一個多邊形的內角和是外角和的2倍，這個多邊形是（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
6．（2023上·江蘇南通·八年級校考階段練習）如圖，在中，，，，連接，若、分別為線段、的中點，則線段的長為（）
A． B． C． D．
7．（2023上·江蘇南通·八年級校考階段練習）如圖，中，，分別為的中點，平分，交于點F，則的長是（）

A． B．1 C．2 D．
8．（2023上·山東東營·八年級校考階段練習）小明是這樣畫平行四邊形的：如圖，將三角尺的一邊貼著直尺推移到的位置，這時四邊形就是平行四邊形．小明這樣做的依據是（ ）
A．有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
B．有兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
C．有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
D．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
9．（2023上·山東東營·八年級校考階段練習）如圖，已知是的中線，、分別是、邊上的中點，則下列說法正確的個數是（ ）
①；②；③和互相平分；④連接，則四邊形是平行四邊形；⑤．
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2023上·福建泉州·八年級泉州七中校考階段練習）如圖、在平行四邊形中，對角線交于點O，若，，，的周長為（　　）
A．13 B．16 C．18 D．21
11．（2022上·黑龍江哈爾濱·八年級統考期末）如圖，在和中，交于點F，，，，連接、、，延長交于點G，下列四個命題或結論：①；②若，則；③在②的條件下，則；④在②的條件下，當時，，則的面積是1．其中正確的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
12．（2023上·浙江·九年級校聯考階段練習）已知平行四邊形，點E為邊上任意一點，連結并延長，與的延長線相交于點H，連結，，要算出的面積，則只需知道（ ）的面積．

A． B． C． D．
13．（2024上·陜西寶雞·七年級校考階段練習）過多邊形的一個頂點能引出10條對角線，則這個多邊形的邊數是 ．
14．（2023上·吉林松原·八年級校聯考期末）如圖，A、B、C、D為一個外角為的正多邊形的頂點．若O為正多邊形的中心，則 ．
15．（2024上·甘肅隴南·九年級統考期末）如圖所示，點O是的對稱中心，，，是邊的三等分點；G，H是邊的三等分點．若，分別表示和的面積則與之間的關系是 ．
16．（2023上·重慶沙坪壩·九年級重慶八中校考期末）平行四邊形的長邊是短邊的2倍，一條對角線與短邊互相垂直，則這個平行四邊形的一個銳角為 ．
17．（2024下·寧夏中衛·八年級校考期末）如圖，在平行四邊形中，，點E，F分別是，的中點，則等于 米．

（2020下·江蘇揚州·七年級校聯考階段練習）已知一個正多邊形的內角和比外角和多，求這個多邊形的每個內角度數與邊數．
19．（2022下·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第十七中學校校考階段練習）如圖，平行四邊形的對角線、相交于點，、分別是、的中點．

(1)求證：；
(2)如果平行四邊形的面積為，在不添加任何輔助線的情況下，寫出圖中所有面積等于的三角形．
20．（2024上·江西南昌·九年級校考階段練習）已知四邊形是平行四邊形，請僅用無刻度的直尺按要求作圖．
(1)如圖①，點為上任意一點，在上找出另一點，使；
(2)如圖②，點為上任意一點，在上找出一點，使．
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第四章 三角形及四邊形
第五節 多邊形與平行四邊形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 多邊形 ☆☆ 吉林中考中，有關多邊形與平行四邊形部分，每年考查1~2道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對于這部分的復習，需要熟練掌握多邊形及平行四邊形的判定及相關證明等考點。
考點2 平行四邊形的判定及相關證明 ☆☆☆
■考點一　多邊形
1.多邊形定義：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.
2.多邊形的內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內角.
3.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.
4.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.
5.正多邊形：
（1）定義：在平面內，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫正多邊形.
（2）正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫作這個正多邊形的中心。
（3）正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫作正多形的半徑。
（4）正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫作正多邊形的中心角。
（5）正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫作正多邊形的邊心距。
6.多邊形的性質：
（1）多邊形內角和公式：邊形的內角和等于·180°.
（2）多邊形的外角和：多邊形的外角和為360°.
（3）多邊形對角線的條數：①從邊形的一個頂點出發可以引條對角線，把多邊形分成個三角形.②邊形共有條對角線.
■考點二　平行四邊形的判定及相關證明
1.平行四邊形的概念
定義 表示方法及解讀 注意
兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形 平行四邊形用符號“口”表示；平行四邊形ABCD記作“□ABCD”，讀作“平行四邊形 平行四邊形的表示一定按順時針或逆時針依次注明各頂點
2.平行四邊形的性質
性質 符號語言
邊 平行四邊形的兩組對邊分別平行且相等 ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD
角 平行四邊形的兩組對角分別相等，鄰角互補 ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴(1)∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC, (2)∠ABC+∠BAD=180°,°
對角線 平行四邊形的對角線互相平分 ∵四邊形ABCD是平行四邊形，
此外，平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是對稱中心且平行四邊形具有一般四邊形的一切性質。
3.平行四邊形的性質的應用
平行四邊形的性質是我們研究平行四邊形的角或邊的重要依據.利用平行四邊形的性質，可以求角的度數、線段的長度。
4.平行四邊形的判定
(1)從邊看：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義)。
②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。
③一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
(2)從角看：④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。
(3)從對角線看：⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
5.三角形的中位線：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。
中位線與中線的區別：中位線是中點與中點的連線，中線是頂點與對邊中點的連線。
6.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半。
三角形中位線定理的作用：在已知兩邊中點的條件下，證明線段的平行關系及線段的倍分關系
■易錯提示
1.畫正n邊形的方法：（1）將一個圓n等份，（2）順次連結各等分點.
2.幾何圖形的學習關鍵在于考慮構成圖形的元素之間的關系（比如邊與邊的關系，角與角的關系，邊與角的關系 ）及相關元素之間的關系（比如對角線之間的關系）。
3.平行四邊形的基本元素：邊、角、對角線.
4.相鄰的兩邊為鄰邊，有四對；相對的邊為對邊，有兩對；相鄰的兩角為鄰角，有四對；相對的角為對角，有兩對；對角線有兩條.
5.平行四邊形的判定定理主要從三個元素方向認識：邊、角、對角線。注意性質與判定之間的互逆關系。
6.作對角線是解決四邊形問題常用的輔助線，通過作對角線，可以把未知四邊形問題轉化為已知的關于三角形的問題．
7.由平行四邊形的性質可得相等的邊和相等的角，借助這些邊和角證明三角形全等，利用全等三角形的性質解決問題。
■考點一　多邊形
◇典例1： （2023上·河南周口·七年級統考階段練習）五邊形至少可以分割成（ ）個三角形
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】此題主要考查了多邊形的對角線，根據n邊形從一個頂點出發可引出條對角線，把多邊形分成個三角形進行計算，解題的關鍵是掌握n邊形從一個頂點出發引出的對角線把多邊形分成個三角形．
【詳解】從五邊形的一個頂點出發，連對角線，可以得到3個三角形，
所以至少能分割成3個三角形．
故選：B．
◆變式訓練
1．（2023上·江西吉安·七年級統考階段練習）一個多邊形過一個頂點有7條對角線，則這個多邊形的邊數為（ ）
A．5 B．7 C．9 D．10
【答案】D
【分析】本題考查了一個頂點出發的對角線條數，根據從多邊形的一個頂點可以作對角線的條數公式求出邊數即可得解．
【詳解】解：∵多邊形從一個頂點出發可引出7條對角線，
∴，
解得．
故選：D．
2．（2023上·河南三門峽·八年級統考期中）如圖，（ ）度．

A．450 B．540 C．630 D．720
【答案】B
【分析】本題考查了三角形的外角的性質，多邊形內角和定理，根據，，進而根據，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，

∵，
∴
故選：B．
■考點二　平行四邊形的判定及相關證明
◇典例2：（2023下·黑龍江大慶·七年級校考期末）如圖，在中，，D是的中點，，，若，，下列說法：①四邊形是平行四邊形；②是等腰三角形；③四邊形的周長是；④四邊形的面積是．正確的個數是（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】B
【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質、線段垂直平分線的性質、勾股定理、含角的直角三角形等知識點，熟記相關數學結論是解題關鍵．①根據兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，即可判斷；②根據，且D是的中點，即可判斷；③分別求出，即可判斷；④根據四邊形的面積，即可判斷．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，故①正確；
∵，且D是的中點，
∴垂直平分
∴
故是等腰三角形，故②正確；
∵，，
∴
∴，
∴四邊形的周長是：，故③正確；
四邊形的面積是：，故④錯誤；
故選：B
◆變式訓練
1．（2023上·廣東深圳·九年級統考開學考試）如圖，在平行四邊形中，，于F，于G，、交于E，、交于H，給出下列結論：①；②；③；④若點F是的中點，則；其中正確的結論有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】A
【分析】本題主要考查平行四邊形的性質、全等三角形的判定和性質及等腰三角形的判定和性質，根據題意得是等腰直角三角形，即可證明①正確；根據題意得成立，結合四邊形內角和即可證得②正確；利用上述結論即可得，則有③正確；連接，根據③得，進一步有是等腰直角三角形，得，由于，根據，即可證得④正確．
【詳解】解：①∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；故①正確；
②∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∵，，
∴AG⊥AD，CF⊥CD，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正確；
③∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，故③正確；
④連接，如圖，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵點F是的中點，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正確；
正確結論有4個，
故選：A．
2．（2023上·浙江·九年級專題練習）如圖，在中，，點A、C、D分別在、、上，四邊形為平行四邊形，且，則的周長是（　　）
A．24 B．18 C．16 D．12
【答案】D
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質以及平行線的性質，根據四邊形為平行四邊形，得出，，，，進而得出 ，，，即可得出答案．
【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，
∴，，，，
∴，，
∵，
∴，，，
∴，，，
∴平行四邊形的周長是，
故選：D．
1．（2023·吉林·統考一模）如圖，在中，，，的平分線交邊于點E，則的長是（ ）

A．5 B．7 C．3.5 D．3
【答案】D
【分析】根據角平分線及平行線的性質可得，繼而可得，根據即可．
【詳解】解: ∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∴，
又∵的平分線交邊于點E，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，解答本題的關鍵是得出，判斷三角形中，，難度一般．
2．（2022·吉林·統考一模）如圖，在一束平行光線中插入一張對邊平行的紙板，如果光線與紙板右下方所成的，則光線與紙板左上方所成的的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先可證得四邊形ABCD是平行四邊形，再根據平行四邊形的性質，即可求得．
【詳解】解：光線平行，紙板對邊平行，設平行光線標記字母如圖，
，，
四邊形ABCD是平行四邊形，
．
故選：C．
【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質，熟練掌握和運用平行四邊形的判定與性質是解決本題的關鍵．
3．（2021·吉林長春·二模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，以點A為圓心，適當長為半徑作弧，交AB于點D，交AC于點E，再以E為圓心，大于DE長為半徑作弧，兩弧交于點F，在射線AF上取點G，H為BG的中點，連接CH，若AG＝6，則CH長為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】延長交于點，根據作圖可知是的角平分線，證明可得，進而根據中位線的性質可得，即可求解
【詳解】如圖，延長交于點
根據作圖可知
∠ACB＝90°，
在與中
H為BG的中點，
故選B
【點睛】本題考查了作角平分線，全等三角形的性質與判定，三角形中位線的性質與判定，掌握三角形中位線的性質與判定，掌握三角形中位線的性質是解題的關鍵．
4．（2021·吉林長春·長春市解放大路學校校考模擬預測）如圖，在中，，對角線，則面積的最大值為（ ）
A．25 B．20 C．15 D．12
【答案】D
【分析】作DE⊥AB，根據平行四邊形面積公式即可求出面積的最大值．
【詳解】如圖，作DE⊥AB，
∵S四邊形ABCD=AB×DE，
故當BD與DE重合時，面積最大，為4×3=12
故選D．
【點睛】此題主要考查平行四邊形的面積，解題的關鍵是根據題意作出輔助線進行分析求解．
5．（2023·吉林延邊·統考一模）若正n邊形一個外角的度數為，則n的值為 ．
【答案】36
【分析】正多邊形每個外角都相等，外角和為，計算即可．
【詳解】解：,
故答案為：．
【點睛】本題考查正多邊形外角的相關知識，解題的關鍵是掌握正n邊形外角和扥等于360°．
6．（2023·吉林長春·長春市第八十七中學校考三模）如圖①是15世紀藝術家阿爾布雷希特·丟勒利用正五邊形和菱形創作的鑲嵌圖案設計，圖②是鑲嵌圖案中的某一片段的放大圖，其中菱形的最小內角為 度．

【答案】
【分析】根據平面鑲嵌的定義，結合正五邊形的內角，即可求解．
【詳解】解：正五邊形的每一個內角為
設菱形的最小內角為，根據題意得，
解得：
故答案為：．
【點睛】本題考查了正多邊形的內角和公式，平面鑲嵌，熟練掌握平面鑲嵌的定義以及多邊形的內角和公式是解題的關鍵．
7．（2021·吉林長春·校考二模）如圖，在中，，，P為邊上一動點，以為邊作平行四邊形，則對角線長度的最小值是 ．
【答案】
【分析】如圖，由平行四邊形的性質可知O是中點，最短也就是最短，過O作的垂線，根據勾股定理求出，進而可求出的最小值．
【詳解】如圖，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵最短也就是最短，
∴過O作與，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∵
∴，
∴的最小值，
故答案為：．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、等腰直角三角形判定與性質，勾股定理，以及垂線段最短的性質，解題的關鍵是判斷出最短的位置．
8．（2023·吉林長春·校聯考一模）如圖將沿對角線折疊，使點落在處，若，，則的度數為 ．
【答案】/度
【分析】根據平行四邊形的性質可得，根據折疊的性質可得，進一步可得，根據已知條件可得的度數，進一步求出的度數．
【詳解】解：在平行四邊形中，，
∴，
∵折疊，
∴，
∴，
∵，
∴
在中，，
故答案為：．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，折疊的性質，三角形的內角和定理等，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．
9．（2021·吉林·統考中考真題）圖①、圖2均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長為1，點，點均在格點上，在給定的網格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上．
（1）在圖①中，以點，，為頂點畫一個等腰三角形；
（2）在圖②中，以點，，，為頂點畫一個面積為3的平行四邊形．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）根據等腰三角形的定義畫出圖形即可：如以為頂點，為 底邊，即可做出等腰三角形；
（2）作底為1，高為3的平行四邊形即可．
【詳解】解：（1）如圖①中，此時以為頂點，為底邊，該即為所求（答案不唯一）．
（2）如圖②中，此時底，高，因此四邊形即為所求．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和平行四邊形的性質，解題的關鍵掌握等腰三角形和平行四邊形的基本性質．
10．（2021下·吉林延邊·九年級統考階段練習）如圖，將平行四邊形的對角線向向兩個方向延長，分別至點和點，且使得，求證：四邊形為平行四邊形．

【答案】見解析
【分析】連接，與交于點O，由平行四邊形的性質得，再證得，即可得出結論．
【詳解】連接，與交于點O．如圖所示：

∵四邊形是平行四邊形，
∴，
又∵，
∴，
即．
∴四邊形是平行四邊形．
【點睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定與性質，證出是解題的關鍵．
11．（2023·吉林松原·統考一模）如圖，在中，是它的一條對角線，求證：．

【答案】見解析
【分析】由平行四邊形的性質得出，，再由，即可證明
【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
在和中，
∵，
∴．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質和全等三角形的判定，正確掌握平行四邊形的性質和全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
12．（2023·吉林·統考一模）如圖，在平行四邊形中，E，F分別是，的中點，點G，H分別在，上，且．求證：．
【答案】見解析
【分析】根據題意易得，，則有，，然后可證，進而問題可求證．
【詳解】證明：在中，，，
∵E，F分別是，的中點
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴．
【點睛】本題主要是考查平行四邊形的性質及全等三角形的性質與判定，熟練掌握平行四邊形的性質及全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．
1．（2023上·廣西南寧·八年級統考期中）如圖，是在五邊形ABCDE的一個外角，若，則的度數是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了多邊形的內角和公式，關鍵是根據補角的定義得到，根據五邊形的內角和即可得到結論．
【詳解】解：∵,
∴,
∴，
故選B．
2．（2023上·河北廊坊·八年級校考期末）正六邊形的一個內角是正m邊形一個外角的4倍，則（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了正多邊形的內角和、外角和．熟練掌握正邊形的內角和為、外角和為是解題的關鍵．
由題意知，正六邊形的一個內角為，依題意得，，計算求解即可．
【詳解】解：由題意知，正六邊形的一個內角為，
依題意得，，
解得，，
故選：D．
3．（2023上·甘肅慶陽·八年級統考期中）如圖．花瓣圖案中的正六邊形的內角和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了多邊形的內角和，根據多邊形的內角和公式：多邊形的內角和，即可求解．
【詳解】解：正六邊形的內角和，
故選：A．
4．（2023上·浙江金華·九年級校考階段練習）已知正多邊形的一個外角等于，那么這個正多邊形的邊數為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】根據正多邊形的外角和以及一個外角的度數，即可求得邊數．本題主要考查了多邊形的外角和定理，熟練掌握多邊形的外角和等于度是解題的關鍵．
【詳解】正多邊形的一個外角等于，且外角和為，
則這個正多邊形的邊數是：，
故選C．
5．（2023上·福建龍巖·八年級校考期中）一個多邊形的內角和是外角和的2倍，這個多邊形是（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【答案】D
【分析】本題考查了多邊形的內角和公式與外角和定理，根據多邊形的內角和公式與多邊形的外角和定理列式進行計算即可解答．
【詳解】設這個多邊形是n邊形，根據題意，得
，
解得：，
∴這個多邊形是六邊形．
故選：D
6．（2023上·江蘇南通·八年級校考階段練習）如圖，在中，，，，連接，若、分別為線段、的中點，則線段的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，三角形的中位線定理，勾股定理，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．作，連接并延長交于，連接，首先證明，解直角三角形求出，利用三角形中位線定理即可．
【詳解】作，連接并延長交于，連接，
在和中，
在中
故選：B．
7．（2023上·江蘇南通·八年級校考階段練習）如圖，中，，分別為的中點，平分，交于點F，則的長是（ ）

A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【分析】本題考查了三角形中位線定理、勾股定理、平行線的性質，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．
根據勾股定理求出，根據三角形中位線定理結合平行線的性質、等腰三角形的判定定理推出，再代入計算即可．
【詳解】解：在Rt中，，
由勾股定理得：
平分，
分別為的中點，
故選A．
8．（2023上·山東東營·八年級校考階段練習）小明是這樣畫平行四邊形的：如圖，將三角尺的一邊貼著直尺推移到的位置，這時四邊形就是平行四邊形．小明這樣做的依據是（ ）
A．有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形
B．有兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
C．有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
D．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
【答案】C
【分析】本題考查了平移，平行四邊形的判定，熟練掌握一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形是解題的關鍵．
【詳解】根據平移的性質，得到，
故選：C．
9．（2023上·山東東營·八年級校考階段練習）如圖，已知是的中線，、分別是、邊上的中點，則下列說法正確的個數是（ ）
①；②；③和互相平分；④連接，則四邊形是平行四邊形；⑤．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質，三角形中位線定理，根據由三角形中位線定理逐一判斷①②⑤；由，，易得四邊形是平行四邊形，可判斷③④．
【詳解】解：如圖，連接，
是的中線，
點D是的中點，
、分別是、邊上的中點，
，故①②⑤正確；
，，
四邊形是平行四邊形，
和互相平分；故③④正確；
則正確的有5個，
故選：D．
10．（2023上·福建泉州·八年級泉州七中校考階段練習）如圖、在平行四邊形中，對角線交于點O，若，，，的周長為（　　）
A．13 B．16 C．18 D．21
【答案】A
【分析】此題主要考查了平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．利用平行四邊形的性質對角線互相平分，進而得出，的長，即可得出的周長．
【詳解】解：∵的兩條對角線交于點O，，，，
∴，，，
∴的周長為：．
故選：A．
11．（2022上·黑龍江哈爾濱·八年級統考期末）如圖，在和中，交于點F，，，，連接、、，延長交于點G，下列四個命題或結論：①；②若，則；③在②的條件下，則；④在②的條件下，當時，，則的面積是1．其中正確的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】根據SAS證明可判斷①；根據全等三角形的性質和互余可判斷②；以點C為圓心，以為半徑畫弧，交的延長線于點H，連接，，證明四邊形是平行四邊形可判斷③；④作交的延長線于點M，作于點N，作于點K，連接，則．先證明，再結合三線合一證明，然后證明，利用勾股定理求出的值，證明求出的值，進而求出的面積可判斷④．
【詳解】解：①∵，
∴，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，故①正確；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故②正確；
③如圖，以點C為圓心，以為半徑畫弧，交的延長線于點H，連接，，
則，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，故③正確；
④作交的延長線于點M，作于點N，作于點K，連接，則．
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
由等腰三角形三線合一知，，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正確．
故選D．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，以及勾股定理等知識，正確作出輔助線是解答本題的關鍵．
12．（2023上·浙江·九年級校聯考階段練習）已知平行四邊形，點E為邊上任意一點，連結并延長，與的延長線相交于點H，連結，，要算出的面積，則只需知道（ ）的面積．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查平行四邊形的性質，平行線間的距離，三角形的面積．熟練掌握同底等高的兩三角形面積相等是解題的關鍵．
連接，根據平行四邊形性質得，，根據平行線間的距離相等和同底等高的兩三角形面積相等，得到，，從而得出即可求解．
【詳解】解：連接，如圖，

∵
∴，，
∴與的邊的高相等， 與的邊的高相等，
∴，，
∴
即
∴，
∴要算出的面積，則只需知道的面積．
故選：C．
13．（2024上·陜西寶雞·七年級校考階段練習）過多邊形的一個頂點能引出10條對角線，則這個多邊形的邊數是 ．
【答案】13
【分析】本題考查了多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．根據邊形從一個頂點出發可引出條對角線即可解題．
【詳解】解：∵多邊形從一個頂點出發可引出10條對角線，
∴，
解得．
故答案為：13．
14．（2023上·吉林松原·八年級校聯考期末）如圖，A、B、C、D為一個外角為的正多邊形的頂點．若O為正多邊形的中心，則 ．
【答案】/30度
【分析】本題主要考查了正多邊形的外角以及內角，熟記公式是解答本題的關鍵．
連接，利用任意凸多邊形的外角和均為，正多邊形的每個外角相等即可求出多邊形的邊數，再根據多邊形的內角和公式計算即可．
【詳解】連接，
正多邊形的每個外角相等，且其和為，
據此可得正多邊形的邊數為：，
，
．
∴
故答案為：
15．（2024上·甘肅隴南·九年級統考期末）如圖所示，點O是的對稱中心，，，是邊的三等分點；G，H是邊的三等分點．若，分別表示和的面積則與之間的關系是 ．
【答案】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質，根據三等分點可得，；再結合點O是的對稱中心可得 ，即可求解．
【詳解】解：連接，則必過點，如圖所示：
∵，是邊的三等分點，
∴，
∵G，H是邊的三等分點，
∴，
∵點O是的對稱中心，
∴
∴
故答案為：
16．（2023上·重慶沙坪壩·九年級重慶八中校考期末）平行四邊形的長邊是短邊的2倍，一條對角線與短邊互相垂直，則這個平行四邊形的一個銳角為 ．
【答案】/60度
【分析】根據直角三角形一直角邊等于斜邊一半，可得直角邊所對的角是，然后利用余角性質，求出，再利用平行四邊形性質求出即可．
【詳解】解：如圖所示，
∵，，
∴，，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
∴這個平行四邊形的一個銳角為．
故答案為：．
【點睛】本題考查直角三角形性質，余角性質，平行四邊形性質，掌握直角三角形性質，余角性質，平行四邊形性質是解題關鍵．
17．（2024下·寧夏中衛·八年級校考期末）如圖，在平行四邊形中，，點E，F分別是，的中點，則等于 米．

【答案】2
【分析】本題考查了平行四邊形的性質和三角形的中位線定理，根據平行四邊形的性質和三角形中位線定理，即可得到答案．
【詳解】解：∵是平行四邊形，
∴，
∵點E，F分別是，的中點，
∴是的中位線，
∴；
故答案為：2．
18．（2020下·江蘇揚州·七年級校聯考階段練習）已知一個正多邊形的內角和比外角和多，求這個多邊形的每個內角度數與邊數．
【答案】每個內角的度數為，
【分析】本題主要考查了正多邊形內角和外角和綜合，n邊形的內角和為，外角和為，再根據該正多邊形的內角和比外角和多建立方程，解方程求出n的值，再用該多邊形的內角和度數除以邊數即可求出對應的每個內角的度數．
【詳解】解：由題意得，，
解得，
∴這個正多邊形是八邊形，
∴這個多邊形的每個內角的度數為．
19．（2022下·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第十七中學校校考階段練習）如圖，平行四邊形的對角線、相交于點，、分別是、的中點．

(1)求證：；
(2)如果平行四邊形的面積為，在不添加任何輔助線的情況下，寫出圖中所有面積等于的三角形．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的中線平分面積．
（1）證明，即可；
（2）根據三角形的中線平分面積，進行判斷即可．
掌握平行四邊形的性質，證明三角形全等，是解題的關鍵．
【詳解】（1）證明：∵平行四邊形的對角線、相交于點，
∴，
∴，
∵、分別是、的中點，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵平行四邊形的面積為，
∴，，
∴，
∵、分別是、的中點，
∴；
∴面積等于的三角形有：．
20．（2024上·江西南昌·九年級校考階段練習）已知四邊形是平行四邊形，請僅用無刻度的直尺按要求作圖．
(1)如圖①，點為上任意一點，在上找出另一點，使；
(2)如圖②，點為上任意一點，在上找出一點，使．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查作圖，平行四邊形的性質；
（1）連接交于點，作直線交于點，點即為所求作．
（2）連接交于點，作在交于點，作直線交于點，連接交于點，點即為所求作．
【詳解】（1）如圖，點即為所求作．
（2）如圖，點即為所求作．
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