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第四章 三角形及四邊形
第一節(jié) 角、相交線與平行線
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 角 ☆☆ 吉林中考中，有關(guān)角、相交線與平行線部分，每年考查1~2道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對(duì)于這部分的復(fù)習(xí)，需要熟練掌握角、相交線與平行線的性質(zhì)和求角的度數(shù)等考點(diǎn)。
考點(diǎn)2 相交線與平行線 ☆☆☆
考點(diǎn)3 平行線性質(zhì)和求角的度數(shù) ☆☆☆
■考點(diǎn)一　角
1.角的定義
（1）定義一：由具有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB．
（2）定義二：如圖2所示，把一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置時(shí)所成的圖形叫做角．射線原來所在的位置OA叫做角的始邊，旋轉(zhuǎn)后的位置OB叫做角的終邊，角的始邊和終邊統(tǒng)稱為角的邊．從始邊旋轉(zhuǎn)到終邊所掃過的區(qū)域叫做角的內(nèi)部．
2.角的表示
（1）角的幾何符號(hào)用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：
（2）在表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或字母．
3.角平分線：
（1）定義：在角的內(nèi)部，以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線；
（2）性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線，則∠AOC=∠BOC =∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．
4.角的度量：1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°．
5.余角和補(bǔ)角：
（1）余角：∠1＋∠2＝90° ∠1與∠2互為余角，∠1叫做∠2的余角；
（2）補(bǔ)角：∠1＋∠2＝180° ∠1與∠2互為補(bǔ)角，∠1叫做∠2的補(bǔ)角．
（3）性質(zhì)：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補(bǔ)角相等．
6.尺規(guī)作圖：作一個(gè)角等于已知角
7.對(duì)頂角
（1）定義：兩個(gè)角有一個(gè)公共的頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角．
（2）性質(zhì)：對(duì)頂角相等．（但相等的角不一定是對(duì)頂角）．
（3）n條直線交于一點(diǎn)，構(gòu)成的對(duì)頂角共有n(n-1)對(duì)。
■考點(diǎn)二　相交線與平行線
1.直線的性質(zhì)
（1）直線公理：經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)有且只有一條直線。
（2）過一點(diǎn)的直線有無數(shù)條。
（3）直線是向兩方面無限延伸的，無端點(diǎn)，不可度量，不能比較大小。
（4）直線上有無窮多個(gè)點(diǎn)。
（5）兩條不同的直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)。
2.平行線定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線．
3.兩條直線的位置關(guān)系
在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：⑴相交；⑵平行.
因此當(dāng)我們得知在同一平面內(nèi)兩直線不相交時(shí)，就可以肯定它們平行；反過來也一樣（這里，我們把重合的兩直線看成一條直線）
判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)它們的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來確定：
①有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩直線相交；
②無公共點(diǎn)，則兩直線平行；
③兩個(gè)或兩個(gè)以上公共點(diǎn)，則兩直線重合（因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線）
4.平行線公理及其推論
平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。
推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。
補(bǔ)充平行線的判定方法：
（1）平行于同一條直線的兩直線平行。
（2）在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行。
（3）平行線的定義。
5.垂直：
兩條直線相交成直角，就說這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足。
直線AB，CD互相垂直，記作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，讀作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。
6.垂線的性質(zhì)：
性質(zhì)1：平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。
性質(zhì)2：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)稱：垂線段最短。
7.點(diǎn)到直線的距離：過A點(diǎn)作l的垂線，垂足為B點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)A到直線l的距離。
■考點(diǎn)三　平行線性質(zhì)和求角的度數(shù)
1.平行線的性質(zhì)：
（1）兩直線平行，同位角相等．（2）兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．
2.平行線的判定方法：
（1）同位角相等，兩直線平行．（2）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．（3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．（4）平行于同一直線的兩直線互相平行．（5）垂直于同一直線的兩直線互相平行．
基本事實(shí)：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行。
3.平行線間的距離
（1）定義：同時(shí)垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩條平行線的距離．
（2）性質(zhì)：兩平行線間的距離處處相等，夾在兩平行線間的平行線段相等．
4.鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角
兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表：
圖形 頂點(diǎn) 邊的關(guān)系 大小關(guān)系
對(duì)頂角 ∠1與∠2 有公共頂點(diǎn) ∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長(zhǎng)線 對(duì)頂角相等 即∠1=∠2
鄰補(bǔ)角 ∠3與∠4 有公共頂點(diǎn) ∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長(zhǎng)線. ∠3+∠4=180°
注意點(diǎn)：⑴對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角；
⑵如果∠α與∠β是對(duì)頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對(duì)頂角。
⑶如果∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角.
⑶兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對(duì)頂角只有一個(gè).
■易錯(cuò)提示
互余、互補(bǔ)是指兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，與兩個(gè)角的位置無關(guān)
2.判定一條直線是線段的垂直平分線時(shí),需證明直線上有兩點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等,切忌只證明直線上有一個(gè)點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等,就說這條直線是線段的垂直平分線.如圖, AB=AC ,但直線 AD 不是線段 BC 的垂直平分線.
3.同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行；
4.兩條平行線之間的距離處處相等
5.點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度，是數(shù)值，垂線段是幾何圖形。
6.線段的垂直平分線是一條直線而非線段或射線
7.同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行
■考點(diǎn)一　角
◇典例1： （2024上·湖南郴州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，把一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在直線上，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了角度的運(yùn)算．熟練掌握，是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：由題意知，，
故選：B．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·山東東營(yíng)·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知，，垂足是，則圖中與相等的角是（ ）
A． B． C． D．和
【答案】B
【分析】本題考查了同角的余角相等；
根據(jù)題意求出，，然后可得答案．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
2．（2023上·江西上饒·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，平分，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了角的計(jì)算，準(zhǔn)確應(yīng)用角平分線的定義得到是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵，OC平分，
∴
∵，
∴．
故選C．
■考點(diǎn)二　相交線與平行線
◇典例2：（2023下·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，與構(gòu)成同位角的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了同位角，同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角．
【詳解】解：直線a，b被直線m所截，與構(gòu)成同位角的是，
故選：C．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023下·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，以下條件能判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了平行線的判定；
利用平行線的判定定理逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得，不符合題意；
B、當(dāng)時(shí)，不能判定兩直線平行，不符合題意；
C、當(dāng)時(shí)，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可得，符合題意；
D、當(dāng)時(shí)，不能判定兩直線平行，不符合題意；
故選：C．
2．（2023上·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在同一平面內(nèi)，經(jīng)過直線外一點(diǎn)的4條直線中，與相交的直線至少有（ ）
A．4條 B．3條 C．2條 D．1條
【答案】B
【分析】本題考查了平行公理及推論，注意：經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行．
根據(jù)經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行得出即可．
【詳解】解：根據(jù)經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行，得出如果有和直線平行的，只能是一條，
即與直線相交的直線至少有3條．
故選：B．
■考點(diǎn)三　平行線性質(zhì)和求角的度數(shù)
◇典例3：（2023上·重慶九龍坡·九年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語學(xué)校校考期中）如圖，直線a，b被直線c所截，，，則∠2的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角．根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：如圖，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故選：B
◆變式訓(xùn)練
1．（2022下·廣西南寧·七年級(jí)校考階段練習(xí)）下列命題是真命題的是（ ）
A．相等的角是直角 B．內(nèi)錯(cuò)角相等 C．對(duì)頂角相等 D．同旁內(nèi)角互補(bǔ)
【答案】C
【分析】本題考查判斷命題的真假，根據(jù)對(duì)頂角，平行線的性質(zhì)，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、相等的角不一定是直角，選項(xiàng)是假命題；
B、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，選項(xiàng)是假命題；
C、對(duì)頂角相等，選項(xiàng)是真命題；
D、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，選項(xiàng)是假命題；
故選C．
2．（2023上·陜西西安·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，將直尺與含角的三角尺疊放在一起．若，則的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，充分運(yùn)用三角板和直尺的幾何特征是解題的關(guān)鍵．由三角尺可知，由平角可求，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可知．
【詳解】解：如圖：
由三角尺可知，
∵，
∴，
由平行線的性質(zhì)可知．
故選：B．
1．（2023·吉林松原·統(tǒng)考一模）如圖是小明同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)后留下的腳印，他的跳遠(yuǎn)成績(jī)是線段（ ）的長(zhǎng)度，這樣測(cè)量的依據(jù)是（ ）
A．，兩點(diǎn)之間，線段最短 B．，兩點(diǎn)確定一條直線
C．，垂線段最短 D．，三角形兩邊之和大于第三邊
【答案】C
【分析】根據(jù)垂線段最短解答．
【詳解】解：他的跳遠(yuǎn)成績(jī)是線段的長(zhǎng)度，這樣測(cè)量的依據(jù)是垂線段最短．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂線段最短的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，需熟練掌握．
2．（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，如果，那么，其依據(jù)可以簡(jiǎn)單說成（ ）
A．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
C．兩直線平行，同位角相等 D．同位角相等，兩直線平行
【答案】D
【分析】根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”即可得．
【詳解】解：因?yàn)榕c是一對(duì)相等的同位角，得出結(jié)論是，
所以其依據(jù)可以簡(jiǎn)單說成同位角相等，兩直線平行，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵．
3．（2023·吉林·統(tǒng)考一模）斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過馬路．某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證斑馬線是由若干條平行線組成的，在保證安全的前提下，按照如圖方式分別測(cè)出，這種驗(yàn)證方法的數(shù)學(xué)依據(jù)是（ ）
A．兩直線平行，同位角相等 B．同位角相等，兩直線平行
C．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 D．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行
【答案】B
【分析】由圖可得和是一對(duì)同位角，根據(jù)平行線的判定方法即可求解．
【詳解】解：，
斑馬線互相平行．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定方法，掌握判定方法是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）含角的直角三角板與直線a、直線b的位置關(guān)系如圖所示，若，，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)已知可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由此即可得．
【詳解】解：由題意得：，
，，
，即，
解得，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
5．（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)D在直線EF上，若ABEF，則∠EDC 的度數(shù)為（ ）
A．30° B．45° C．60° D．105°
【答案】B
【分析】過點(diǎn)C作，利用平行線的性質(zhì)結(jié)合三角板的特點(diǎn)分析得出答案．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作，
因?yàn)椋瑒t，
，
由三角板的特點(diǎn)得出，
∴，
∴，
；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確得出度數(shù)是解題關(guān)鍵．
6．（2022·吉林長(zhǎng)春·校考模擬預(yù)測(cè)）將一塊含的直角三角尺ABC按如圖所示的方式放置，其中點(diǎn)A，C分別落在直線a，b上，若，，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
【答案】C
【分析】根據(jù)，得出，即，即可得出的度數(shù)．
【詳解】解：如圖，為含有30°角的直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故C正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，是解題的關(guān)鍵．
7.（2023·吉林長(zhǎng)春一模）如圖，在一塊長(zhǎng)為10米,寬為5米的矩形土地中間鋪一條彎曲的石子路 ,石子路的左邊線向右平移:米就是它的右邊線,其余部分種草,則草地面積為 。 平方米. ( 用含x的式子表示)
[知識(shí)點(diǎn)]用代數(shù)式表示式,利用平移的性質(zhì)求解
[答案] (50- 5x)
[分析]根據(jù)平移可知，綠地部分拼成的圖形長(zhǎng)為( 10-.x)米,寬為5米,然后進(jìn)行計(jì)算即可.
[詳解]解:依題意草地部分拼成的圖形長(zhǎng)為( 10-x)米,寬為5米,
草地面積為5x (10-x)=(50- 5x)平方米. ,
故答案為: (50- 5x).
[點(diǎn)睛]本題考查了列代數(shù)式，平移的性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
8.（2023·吉林長(zhǎng)春一模）如圖,將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，∠1=38°，則∠2=___度 .
[知識(shí)點(diǎn)]三角板中角度計(jì)算問題,求一個(gè)角的余角,兩直線平行同位角相等
[答案] 52
[分析]如圖,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠3=∠1=38°,再結(jié)合余角的性質(zhì)即可求解.
[詳解]解:如圖,
由題意可知a//b,
∠3=∠1=38°.
∠2=90°-∠3=90°- 38° =52°.
故答案為: 52.
[點(diǎn)睛]本題考查平行線的性質(zhì)，余角的性質(zhì).掌握兩直線平行，同位角相等是解題關(guān)鍵.
9.（2021·吉林長(zhǎng)春一模）如圖,直線l1//l2.直線l1、l2分別交于A、B兩點(diǎn).若∠1=57° ,則 ∠2的大小為 度.
[知識(shí)點(diǎn)]兩直線平行同位角相等，根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)
[答案] 123
[分析]根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
[詳解]解:如圖,
∠1=57°,
∠3=180°-∠1=123°，
“直線l1//l2。
∠2=∠3= 123°，
故答案為: 123.
[點(diǎn)睛]本題考查了平行線的性質(zhì),鄰補(bǔ)角的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出∠3的度數(shù),注意:兩直線平行，同位角相等.
10.（2022·吉林長(zhǎng)春模擬預(yù)測(cè)）已知l1//12,一個(gè)含有30°角的三角尺按照如圖所示的位置擺放，若∠1=65° ,則∠2=_____度.
[知識(shí)點(diǎn)]三角板中角度計(jì)算問題,兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等
[答案] 25
[分析]先利用平行線的性質(zhì)得出∠1=∠3，∠2=∠4,最后利用直角三角形的性質(zhì)即可.
[詳解]解:如圖，過直角頂點(diǎn)作直線l//l1，
∵l1//12
∴l(xiāng)1//12//l
∴∠1=∠3，∠2=∠4,
∵∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵∠1=65°，
∴∠2=90° -65°=25° .
故答案為: 25.
[點(diǎn)睛]此題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角板的特征，解題的關(guān)鍵是作出輔助線,是一道基礎(chǔ)題目.
11.（2022·吉林二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2.點(diǎn)P為線段AB(不與點(diǎn)和點(diǎn)重合)上一點(diǎn),連接CP ,將△ACP沿CP翻折得到△DCP.
(1)如圖1 , 當(dāng)點(diǎn)D落在AB上時(shí),AP= .
(2)如圖2 ,當(dāng)DP//AC時(shí),判斷四邊形ACDP的形狀,并說明理由;
(3)當(dāng)點(diǎn)D落在△ABC內(nèi)部時(shí),直接寫出AP的取值范圍.
[知識(shí)點(diǎn)]含30度角的直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)證明四邊形是菱形，折疊問題
[答案] (1)1
四邊形ACDP是菱形.
1[分析] (1) 根據(jù)折疊性質(zhì)可得出△ACD是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;
(2)根據(jù)折疊得出4P=DP. AC=DC,再利用平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)等角對(duì)等邊得出AP= AC.從而判定四邊形ACDP是菱形;
(3)根據(jù)臨界條件,分為當(dāng)點(diǎn)D落在△ABC的邊AB上時(shí);當(dāng)點(diǎn)D落在△ABC的邊CB上時(shí)，分別計(jì)算出AP長(zhǎng)度即可求出范圍.
[點(diǎn)睛]本題考查幾何綜合，涉及到翻折的性質(zhì).等邊三角形的判定與性質(zhì)。平行線的性質(zhì)、萎形的判定.外角的性質(zhì)、特殊角度直角三角形三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)幾何圖形的性質(zhì)與判定是解決問題的關(guān)鍵.
1．（2023上·全國(guó)·七年級(jí)期末）如圖，將一副三角尺按不同的位置擺放，下列擺放方式中，與互余的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查余角的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握余角的概念“如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說這兩個(gè)角互為余角”，根據(jù)圖形，結(jié)合互余的定義判斷即可．
【詳解】解：A.，與互余，故符合題意；
B.，但與不一定互余，故不符合題意；
C.，但與不互余，故不符合題意；
D.，和互補(bǔ)，故不符合題意．
故選：A．
2．（2023上·河北唐山·七年級(jí)唐山市第九中學(xué)校考期末）若，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了角的大小比較．根據(jù)，將轉(zhuǎn)換為度、分、秒的形式，即可比較大小．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故選：B．
3．（2023上·河南周口·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在直線上，，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了鄰補(bǔ)角的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：∵，
∴
．
故選：A．
4．（2023上·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校校考期中）下列生活中的實(shí)例，可以用基本事實(shí)：“兩點(diǎn)之間線段最短”解釋的是（ ）
A．小狗看到遠(yuǎn)處的食物，總會(huì)徑直奔向食物．
B．從一條河道能向集鎮(zhèn)引一條最短的水渠．
C．把一根木條固定到墻上至少需要兩顆釘子．
D．經(jīng)過刨平的木板上的兩個(gè)點(diǎn)，能彈出一筆直的墨線．
【答案】A
【分析】本題考查的是線段的性質(zhì)，掌握兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．兩點(diǎn)的所有連線中，可以有無數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短.簡(jiǎn)單說成，兩點(diǎn)之間線段最短．
【詳解】解：A、小狗看到遠(yuǎn)處的食物，總是徑直奔向食物，可以用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來解釋，符合題意；
B、從一條河道能向集鎮(zhèn)引一條最短的水渠，可以用“垂線段最短”來解釋，不符合題意；
C、用兩個(gè)釘子就可以把木條固定在墻上，可以用“兩點(diǎn)確定一條直線”來解釋，不符合題意；
D、經(jīng)過刨平木板上的兩個(gè)點(diǎn)，能彈出一條筆直的墨線，可以用“兩點(diǎn)確定一條直線”來解釋，不符合題意．
故選：A．
5．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，垂足為B，直線過點(diǎn)B，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】略
6．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考階段練習(xí)）下面是李強(qiáng)想出畫一條直線的平行線的方法，這種畫法的依據(jù)是（ ）
（1）作直線a和直線外一點(diǎn)p （2）過點(diǎn)作直線 （3）作，則
A．兩直線平行，同位角相等 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 D．同位角相等，兩直線平行
【答案】D
【分析】本題主要考查了平行線的判定條件，理解并掌握平行線的判定條件是解題關(guān)鍵．平行線的判定方法有：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．根據(jù)題意，結(jié)合平行線的判定條件，即可獲得答案．
【詳解】解：∵，
∴（同位角相等，兩直線平行）．
故選：D．
7．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）已知直線是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，過點(diǎn)畫一條直線與平行，則這樣的直線（ ）
A．有且僅有一條 B．有兩條 C．不存在 D．有一條或不存在
【答案】D
【解析】略
8．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）下列說法正確的是（ ）
A．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行 B．相等的角是對(duì)頂角
C．如果兩個(gè)角的和是180°，那么這兩個(gè)角互為余角 D．同角或等角的余角相等
【答案】D
【解析】略
9．（2023上·浙江溫州·八年級(jí)校考期中）下面四個(gè)值，能說明命題“對(duì)于任意偶數(shù)，都是8的倍數(shù)”是假命題的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握說明一個(gè)命題是假命題的方法：滿足命題條件，但不能得到命題的結(jié)論．根據(jù)說明一個(gè)命題是假命題的方法逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：是偶數(shù)，也是8的倍數(shù)，故A不能說明命題“對(duì)于任意偶數(shù)k，都是8的倍數(shù)”是假命題，不符合題意；
是偶數(shù)，也是8的倍數(shù)，故B不能說明命題“對(duì)于任意偶數(shù)k，都是8的倍數(shù)”是假命題，不符合題意；
是偶數(shù)，但不是8的倍數(shù)，故C能說明命題“對(duì)于任意偶數(shù)k，都是8的倍數(shù)”是假命題，符合題意；
不是偶數(shù)，故D不滿足命題“對(duì)于任意偶數(shù)k，都是8的倍數(shù)”的條件，不能說明命題是假命題，不符合題意；
故選：C．
10．（2023上·浙江溫州·八年級(jí)校考期中）對(duì)于命題“如果，那么”，能說明它是假命題的反例是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握舉反例說明假命題的方法．滿足條件，但不能得出結(jié)論的即為說明命題是假命題的反例．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，滿足條件，但不能得出的結(jié)論，
能說明命題“如果，那么”是假命題的反例是，
故選：B．
11．（2023上·四川達(dá)州·八年級(jí)校考期末）如圖，，，點(diǎn)、分別在、上，若，則的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，根據(jù)“兩直線平行，同位角相等”解答即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故選∶C．
12．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，若，則在①和；②和；③和；④和中，相等的有（ ）
A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)
【答案】C
【解析】略
13．（2023上·重慶萬州·九年級(jí)重慶市萬州國(guó)本中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，直線被直線所截，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角相等，先根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)得出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出，據(jù)此可求出的度數(shù)．熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：B．
14．（2023上·遼寧沈陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算： ．
【答案】
【分析】本題考查角度的減法運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
故答案為：．
15．（江蘇省南京市2023-2024學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，點(diǎn)在直線上，，垂足為，，則線段的長(zhǎng)是點(diǎn)到直線 的距離．
【答案】
【分析】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)行判斷即可，熟練掌握點(diǎn)到直線的距離是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
線段的長(zhǎng)是點(diǎn)到直線的距離，
故答案為：．
16．（2023上·黑龍江綏化·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，對(duì)于下列條件：①；②；③；④；其中一定能判定的條件有 （填寫所有正確條件的序號(hào)）．
【答案】①③/③①
【分析】本題考查了平行線的判定，準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)平行線的判定方法對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】解：①，
，符合題意；
②，
，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
③，
，故本選項(xiàng)正確；
④；
，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選答案為：①③．
17．（2023上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)校考期末）一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們用兩個(gè)大小、形狀都相同的三角板畫平行線、，并要說出自己做法的依據(jù)．小奇、小妙兩位同學(xué)的做法如圖：小奇說：“我做法的依據(jù)是：同位角相等，兩直線平行．”則小妙做法的依據(jù)是 ．
【答案】?jī)?nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
【分析】本題考查了平行線的判定；根據(jù)題意，，得出，即可求解．
【詳解】解：∵根據(jù)題意，，
∴，依據(jù)為：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
故答案為：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．
18．（2021下·湖北咸寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，若，則的度數(shù)為 ．
【答案】
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到，再根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”即可得出答案．
【詳解】解：∵，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，
∴，
∵，
∴，
∴的度數(shù)為．
故答案為：．
19．（2023上·廣東深圳·七年級(jí)紅嶺中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知，，求的度數(shù)．

【答案】
【分析】先根據(jù)垂直的定義求出，再求出，即可根據(jù)角的和差關(guān)系求出的度數(shù)．此題考查了垂直定義、角的和差等知識(shí)，熟練掌握各角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
20．（2023上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示的正方形網(wǎng)格，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、、均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，不要求寫作法．
(1)畫射線．
(2)過點(diǎn)畫的平行線，點(diǎn)在格點(diǎn)上．
(3)在射線上取一點(diǎn)，畫線段，使其長(zhǎng)度表示點(diǎn)到的距離．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】本題主要考查了射線、直線、線段作圖，作平行線，點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段、射線、直線的定義，點(diǎn)到直線的距離．
（1）根據(jù)線段的定義作圖即可；
（2）根據(jù)格點(diǎn)特點(diǎn)畫平行線即可；
（3）根據(jù)格點(diǎn)特點(diǎn)，過點(diǎn)B作的垂線即可．
【詳解】（1）解：如圖，射線即為所求；
（2）解：如圖，直線即為所求；
（3）解：如圖，線段即為所求．
21．（2021下·湖北咸寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：，點(diǎn)分別為上一點(diǎn)．
(1)如圖1，在之間有一點(diǎn)（點(diǎn)不在線段上），連接，試探究，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系．
①請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并在圖形下面寫出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系；
②選其中一種數(shù)量關(guān)系進(jìn)行證明．
(2)如圖2，在之間有兩點(diǎn)，連接，，，請(qǐng)直接寫出，，，存在的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．
【答案】(1)①見解析；②見解析
(2)或
【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平分線的性質(zhì)即可得出答案，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
（1）①根據(jù)題意畫出圖形即可；②過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：①如圖，
，
；
，
；
②證明：如圖，過點(diǎn)作，
，
則，
，
，
，
，
；
如圖，過點(diǎn)作，
，
則，
，
，
，
，
；
（2）解：如圖，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，
，
則，
，
，
，，
，，
；
如圖，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，
則，
，
，
，，
，，
，
．
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第四章 三角形及四邊形
第一節(jié) 角、相交線與平行線
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 角 ☆☆ 吉林中考中，有關(guān)角、相交線與平行線部分，每年考查1~2道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對(duì)于這部分的復(fù)習(xí)，需要熟練掌握角、相交線與平行線的性質(zhì)和求角的度數(shù)等考點(diǎn)。
考點(diǎn)2 相交線與平行線 ☆☆☆
考點(diǎn)3 平行線性質(zhì)和求角的度數(shù) ☆☆☆
■考點(diǎn)一　角
1.角的定義
（1）定義一：由具有 的兩條射線組成的圖形叫做 ，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的 ，這兩條射線是角的 ．如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB．
（2）定義二：如圖2所示，把一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置時(shí)所成的圖形叫做 ．射線原來所在的位置OA叫做角的 ，旋轉(zhuǎn)后的位置OB叫做角的 ，角的始邊和終邊統(tǒng)稱為角的邊．從始邊旋轉(zhuǎn)到終邊所掃過的區(qū)域叫做 ．
2.角的表示
（1）角的幾何符號(hào)用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：
（2）在表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上 ，且注上 ．
3.角平分線：
（1）定義：在角的內(nèi)部，以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)把這個(gè)角分成 的射線；
（2）性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線，則∠AOC=∠BOC =∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．
4.角的度量：1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角= 平角= 直角= ．
5.余角和補(bǔ)角：
（1）余角：∠1＋∠2＝90° ∠1與∠2互為余角，∠1叫做∠2的 ；
（2）補(bǔ)角：∠1＋∠2＝180° ∠1與∠2互為補(bǔ)角，∠1叫做∠2的 ．
（3）性質(zhì)：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的 ．
6.尺規(guī)作圖：作一個(gè)角等于已知角
7.對(duì)頂角
（1）定義：兩個(gè)角有 ，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為 ．
（2）性質(zhì)：對(duì)頂角 ．（但相等的角不一定是對(duì)頂角）．
（3）n條直線交于一點(diǎn)，構(gòu)成的對(duì)頂角共有 對(duì)。
■考點(diǎn)二　相交線與平行線
1.直線的性質(zhì)
（1）直線公理：經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn) 直線。
（2）過一點(diǎn)的直線有 。
（3）直線是向兩方面 的，無 ，不可 ，不能比較大小。
（4）直線上有 個(gè)點(diǎn)。
（5）兩條不同的直線至多有一個(gè) 。
2.平行線定義： ，不相交的兩條直線叫做 ．
3.兩條直線的位置關(guān)系
在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：⑴ ；⑵ .
因此當(dāng)我們得知在同一平面內(nèi)兩直線不相交時(shí)，就可以肯定它們 ；反過來也一樣（這里，我們把重合的兩直線看成一條直線）
判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)它們的 來確定：
①有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩直線 ；
②無公共點(diǎn)，則兩直線 ；
③兩個(gè)或兩個(gè)以上公共點(diǎn)，則兩直線 （因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線）
4.平行線公理及其推論
平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)， 與這條直線平行。
推論：如果兩條直線都和第三條直線平行，那么 。
補(bǔ)充平行線的判定方法：
（1）平行于同一條直線的兩直線 。
（2）在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的 。
（3）平行線的定義。
5.垂直：
兩條直線相交成直角，就說這兩條直線 。其中一條直線叫做另一條直線的 ，它們的交點(diǎn)叫做 。
直線AB，CD互相垂直，記作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，讀作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。
6.垂線的性質(zhì)：
性質(zhì)1：平面內(nèi)，過一點(diǎn) 與已知直線垂直。
性質(zhì)2：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短。簡(jiǎn)稱： 。
7.點(diǎn)到直線的距離：過A點(diǎn)作l的垂線，垂足為B點(diǎn)，線段AB的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)A到直線l的 。
■考點(diǎn)三　平行線性質(zhì)和求角的度數(shù)
1.平行線的性質(zhì)：
（1）兩直線平行， 相等．（2）兩直線平行， 相等．（3）兩直線平行， 互補(bǔ)．
2.平行線的判定方法：
（1） ，兩直線平行．（2） ，兩直線平行．（3） ，兩直線平行．（4） 的兩直線互相平行．（5） 的兩直線互相平行．
基本事實(shí)：過直線外一點(diǎn) 與這條直線平行。
3.平行線間的距離
（1）定義：同時(shí)垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線的線段的長(zhǎng)度，叫做這兩條平行線的 ．
（2）性質(zhì)：兩平行線間的距離 ，夾在兩平行線間的 ．
4.鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角
兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系的角，它們的概念及性質(zhì)如下表：
圖形 頂點(diǎn) 邊的關(guān)系 大小關(guān)系
對(duì)頂角 ∠1與∠2 有公共頂點(diǎn) ∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長(zhǎng)線 對(duì)頂角相等 即∠1=∠2
鄰補(bǔ)角 ∠3與∠4 有公共頂點(diǎn) ∠3與∠4有一條邊公共，另一邊互為反向延長(zhǎng)線. ∠3+∠4=180°
注意點(diǎn)：⑴對(duì)頂角是 出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具有 的兩個(gè)角；
⑵如果∠α與∠β是對(duì)頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是 。
⑶如果∠α與∠β互為 ，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角.
⑶兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有 個(gè)，而對(duì)頂角只有 個(gè).
■易錯(cuò)提示
互余、互補(bǔ)是指兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，與兩個(gè)角的位置無關(guān)
2.判定一條直線是線段的垂直平分線時(shí),需證明直線上有兩點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等,切忌只證明直線上有一個(gè)點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等,就說這條直線是線段的垂直平分線.如圖, AB=AC ,但直線 AD 不是線段 BC 的垂直平分線.
3.同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行；
4.兩條平行線之間的距離處處相等
5.點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度，是數(shù)值，垂線段是幾何圖形。
6.線段的垂直平分線是一條直線而非線段或射線
7.同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行
■考點(diǎn)一　角
◇典例1： （2024上·湖南郴州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，把一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在直線上，若，則（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·山東東營(yíng)·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知，，垂足是，則圖中與相等的角是（ ）
A． B． C． D．和
2．（2023上·江西上饒·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，平分，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
■考點(diǎn)二　相交線與平行線
◇典例2：（2023下·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，與構(gòu)成同位角的是（　　）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023下·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，以下條件能判定的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023上·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在同一平面內(nèi)，經(jīng)過直線外一點(diǎn)的4條直線中，與相交的直線至少有（ ）
A．4條 B．3條 C．2條 D．1條
■考點(diǎn)三　平行線性質(zhì)和求角的度數(shù)
◇典例3：（2023上·重慶九龍坡·九年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語學(xué)校校考期中）如圖，直線a，b被直線c所截，，，則∠2的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022下·廣西南寧·七年級(jí)校考階段練習(xí)）下列命題是真命題的是（ ）
A．相等的角是直角 B．內(nèi)錯(cuò)角相等 C．對(duì)頂角相等 D．同旁內(nèi)角互補(bǔ)
2．（2023上·陜西西安·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，將直尺與含角的三角尺疊放在一起．若，則的大小是（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·吉林松原·統(tǒng)考一模）如圖是小明同學(xué)在體育課上跳遠(yuǎn)后留下的腳印，他的跳遠(yuǎn)成績(jī)是線段（ ）的長(zhǎng)度，這樣測(cè)量的依據(jù)是（ ）
A．，兩點(diǎn)之間，線段最短 B．，兩點(diǎn)確定一條直線
C．，垂線段最短 D．，三角形兩邊之和大于第三邊
2．（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，如果，那么，其依據(jù)可以簡(jiǎn)單說成（ ）
A．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
C．兩直線平行，同位角相等 D．同位角相等，兩直線平行
3．（2023·吉林·統(tǒng)考一模）斑馬線的作用是為了引導(dǎo)行人安全地通過馬路．某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證斑馬線是由若干條平行線組成的，在保證安全的前提下，按照如圖方式分別測(cè)出，這種驗(yàn)證方法的數(shù)學(xué)依據(jù)是（ ）
A．兩直線平行，同位角相等 B．同位角相等，兩直線平行
C．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 D．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行
4．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）含角的直角三角板與直線a、直線b的位置關(guān)系如圖所示，若，，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)D在直線EF上，若ABEF，則∠EDC 的度數(shù)為（ ）
A．30° B．45° C．60° D．105°
6．（2022·吉林長(zhǎng)春·校考模擬預(yù)測(cè)）將一塊含的直角三角尺ABC按如圖所示的方式放置，其中點(diǎn)A，C分別落在直線a，b上，若，，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
7.（2023·吉林長(zhǎng)春一模）如圖，在一塊長(zhǎng)為10米,寬為5米的矩形土地中間鋪一條彎曲的石子路 ,石子路的左邊線向右平移:米就是它的右邊線,其余部分種草,則草地面積為 。 平方米. ( 用含x的式子表示)
8.（2023·吉林長(zhǎng)春一模）如圖,將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，∠1=38°，則 ∠2= 度 .
9.（2021·吉林長(zhǎng)春一模）如圖,直線l1//l2.直線l1、l2分別交于A、B兩點(diǎn).若∠1=57° ,則 ∠2的大小為 度.
10.（2022·吉林長(zhǎng)春模擬預(yù)測(cè)）已知l1//12,一個(gè)含有30°角的三角尺按照如圖所示的位置擺放，若∠1=65° ,則∠2=_____度.
11.（2022·吉林二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2.點(diǎn)P為線段AB(不與點(diǎn)和點(diǎn)重合)上一點(diǎn),連接CP ,將△ACP沿CP翻折得到△DCP.
(1)如圖1 , 當(dāng)點(diǎn)D落在AB上時(shí),AP= .
(2)如圖2 ,當(dāng)DP//AC時(shí),判斷四邊形ACDP的形狀,并說明理由;
(3)當(dāng)點(diǎn)D落在△ABC內(nèi)部時(shí),直接寫出AP的取值范圍.
1．（2023上·全國(guó)·七年級(jí)期末）如圖，將一副三角尺按不同的位置擺放，下列擺放方式中，與互余的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023上·河北唐山·七年級(jí)唐山市第九中學(xué)校考期末）若，，，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023上·河南周口·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在直線上，，則的度數(shù)是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校校考期中）下列生活中的實(shí)例，可以用基本事實(shí)：“兩點(diǎn)之間線段最短”解釋的是（ ）
A．小狗看到遠(yuǎn)處的食物，總會(huì)徑直奔向食物． B．從一條河道能向集鎮(zhèn)引一條最短的水渠．
C．把一根木條固定到墻上至少需要兩顆釘子． D．經(jīng)過刨平的木板上的兩個(gè)點(diǎn)，能彈出一筆直的墨線．
5．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，垂足為B，直線過點(diǎn)B，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考階段練習(xí)）下面是李強(qiáng)想出畫一條直線的平行線的方法，這種畫法的依據(jù)是（ ）
（1）作直線a和直線外一點(diǎn)p （2）過點(diǎn)作直線 （3）作，則
A．兩直線平行，同位角相等 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 D．同位角相等，兩直線平行
7．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）已知直線是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，過點(diǎn)畫一條直線與平行，則這樣的直線（ ）
A．有且僅有一條 B．有兩條 C．不存在 D．有一條或不存在
8．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）下列說法正確的是（ ）
A．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行 B．相等的角是對(duì)頂角
C．如果兩個(gè)角的和是180°，那么這兩個(gè)角互為余角 D．同角或等角的余角相等
9．（2023上·浙江溫州·八年級(jí)校考期中）下面四個(gè)值，能說明命題“對(duì)于任意偶數(shù)，都是8的倍數(shù)”是假命題的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·浙江溫州·八年級(jí)校考期中）對(duì)于命題“如果，那么”，能說明它是假命題的反例是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023上·四川達(dá)州·八年級(jí)校考期末）如圖，，，點(diǎn)、分別在、上，若，則的大小是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，若，則在①和；②和；③和；④和中，相等的有（ ）
A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)
13．（2023上·重慶萬州·九年級(jí)重慶市萬州國(guó)本中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，直線被直線所截，，則的度數(shù)為（ ）
B． C． D．
14．（2023上·遼寧沈陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算： ．
15．（江蘇省南京市2023-2024學(xué)年七年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，點(diǎn)在直線上，，垂足為，，則線段的長(zhǎng)是點(diǎn)到直線 的距離．
16．（2023上·黑龍江綏化·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，對(duì)于下列條件：①；②；③；④；其中一定能判定的條件有 （填寫所有正確條件的序號(hào)）．
17．（2023上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)校考期末）一節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們用兩個(gè)大小、形狀都相同的三角板畫平行線、，并要說出自己做法的依據(jù)．小奇、小妙兩位同學(xué)的做法如圖：小奇說：“我做法的依據(jù)是：同位角相等，兩直線平行．”則小妙做法的依據(jù)是 ．
18．（2021下·湖北咸寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，若，則的度數(shù)為 ．
19．（2023上·廣東深圳·七年級(jí)紅嶺中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，已知，，求的度數(shù)．

20．（2023上·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示的正方形網(wǎng)格，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，點(diǎn)A、、均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，不要求寫作法．
(1)畫射線．
(2)過點(diǎn)畫的平行線，點(diǎn)在格點(diǎn)上．
(3)在射線上取一點(diǎn)，畫線段，使其長(zhǎng)度表示點(diǎn)到的距離．
21．（2021下·湖北咸寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：，點(diǎn)分別為上一點(diǎn)．
(1)如圖1，在之間有一點(diǎn)（點(diǎn)不在線段上），連接，試探究，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系．
①請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并在圖形下面寫出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系；
②選其中一種數(shù)量關(guān)系進(jìn)行證明．
(2)如圖2，在之間有兩點(diǎn)，連接，，，請(qǐng)直接寫出，，，存在的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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