資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第四章 三角形及四邊形
第二節 三角形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 與三角形有關的線段 ☆☆ 吉林中考中，有三角形部分，每年考查1~5道題,分值為3~15分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對于這部分的復習，需要熟練掌握與三角形有關有線段、角、等腰三角形和等邊三角形、勾股定理及直角三角形的性質和計算等考點。
考點2 與三角形有關的角 ☆☆☆
考點3 等腰三角形及等邊三角形 ☆☆
考點4 直角三角形勾股定理及其應用 ☆☆☆
考點5 直角三角形的性質及計算 ☆☆☆
■考點一　與三角形有關的線段
1.三角形的三邊關系：
文字語言：三角形任意兩邊之和 第三邊，任意兩邊之差 第三邊．
2.三角形三邊關系的作用：
(1)判斷三條已知線段能否組成 ；
(2)當已知兩邊時，可確定第三邊的 ；
(3)解決線段的最值問題．
3.三角形中的四線：角平分線、中線、高線、中位線
4.三角形的中線性質：三角形的中線平分三角形的 。
5.三角形的中位線定理：三角形的中位線 于第三邊，并且等于第三邊的 。
■考點二　與三角形有關的角
1.三角形的內角
(1)三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于 .
(2)證明方法:剪拼成平角、通過作平行線構造平角，構造兩平行線下的 。
2.三角形的外角
（1）定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的 .
（2）性質：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的 ；三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個內角；三角形的外角和為 。
3.三角形內角和定理及推論
■考點三　等腰三角形及等邊三角形
等腰三角形的定義
文字語言：有兩條邊相等的三角形叫做 。
符號語言：AB=AC,則△ABC叫做 。
等腰三角形的性質
性質1：等腰三角形的 。
性質2：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱： ）。
∵AB=AC,∴∠B=∠C
性質3：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的 的高重合．（簡稱： ）
性質4：等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是 ．
3．等腰三角形的兩個判定方法
方法1：有兩條邊相等的三角形是 （定義）。
符號語言：∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形
方法2：有兩個角相等的三角形是 。（簡稱：等角對等邊）
符號語言：∵∠B=∠C ,∴△ABC是等腰三角形
4．等邊三角形的定義：
三條邊都相等的三角形是 ．
AB=AC=BC,則△ABC叫做 。
5．等邊三角形的性質：
性質1：等邊三角形的 。
性質2：等邊三角形的 ，且都等于 。
性質3：三線合一
性質4：等邊三角形是軸對稱圖形，對稱軸是頂角平分線所在 ，有 條對稱軸．
6．等邊三角形的三個判定方法：
方法1： 的三角形是等邊三角形；
方法2： 的三角形是等邊三角形；
方法3： 的等腰三角形是等邊三角形．
■考點四　直角三角形勾股定理及其應用
1.直角三角形的性質與判定
(1)性質：直角三角形的兩個銳角 。
直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC。
(2)判定： 的三角形是直角三角形。
2.勾股定理：
直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即： ）
3.勾股定理的應用
勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用是：
（1）已知直角三角形的兩邊，求 ；
（2）利用勾股定理可以證明 的問題；
（3）解決與勾股定理有關的 計算；
（4）勾股定理在實際生活中的應用．
4.勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長，滿足 ，那么這個三角形是直角三角形.
要點詮釋：
應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的基本步驟：
（1）首先確定最大邊，不妨設最大邊長為；
（2）驗證：與是否具有相等關系：
　　 若，則△ABC是以∠C為 的直角三角形；
　　 若時，△ABC是 三角形；
　　　若時，△ABC是 三角形．
5.勾股數
滿足不定方程的三個正整數，稱為 （又稱為高數或畢達哥拉斯數），顯然，以為三邊長的三角形一定是 .
■考點五　直角三角形的性質及計算
1. 直角三角形的定義：有一個角是 的三角形叫做直角三角形．
2. 直角三角形的性質：
性質1：（邊關系）
性質2：（角關系）直角三角形兩銳角互余
性質3：（邊角關系）三角函數
性質4：在直角三角形中， 30°角所對的直角邊等于斜邊的一半
性質5：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半
3.直角三角形的判定方法：
方法1：通過計算證明一個角為 ；
方法2：證明三角形中有 ；
方法3：勾股定理的逆定理；
如果三角形的三條邊a、b、c有關系： ，那么這個三角形是直角三角形。
方法4：利用圓的知識（直徑對的圓周角是直角）證明；
方法5：利用等腰三角形 證明垂直（即90°）；
方法6：利用菱形或正方形的 證明。
■易錯提示
1.三角形是平面幾何的基礎，三角形部分重要考點有三個方面：其一是三角形內角和定理及推論；其二是三角形三邊關系；其三是三角形的角平分線、中線、高線和中位線。
2.關于角和平行，垂直這部分內容，其核心是角，重點理解同位角、內錯角、同旁內角的概念和角平分線的概念，通過一定量的練習鞏固即可。這部分內容有兩個重點類型問題要重視：
1.角的和差問題；2.折疊問題中關于角度的計算。
3.等腰三角形重在性質的靈活運用，尤其是三線合一性質的理解和運用，三種形式一定要深度理解，把三種不同的形式結合文字語言、圖形語言、符號語言統一起來，做到見其一，想其二；對于等邊三角形的性質和判定可以對照等腰三角形的性質和判定，找到其不同，這樣理解和記憶的效果都是比較好的；直角三角形的考點更是復雜，因為初中數學中的幾何計算問題，基本上都得借助直角三角形，所以掌握好直角三角形的性質，直接影響到中考成績的好壞，一定要重視直角三角形的性質和判定方法，在解決幾何計算和證明問題時，通常不好解決時，一定要想到通過作輔助線將普通三角形轉化為直角三角形來解決。
4.等腰三角形和直角三角形的定義、性質、判定方法是初中數學的核心之一，是中考數學考查的重點。它們可以和四邊形、方程、不等式、函數等任何的知識搭配綜合，難度一般較大。
5.勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯系
區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；
聯系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關.
■考點一　與三角形有關的線段
◇典例1： （2022下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十七中學校考階段練習）下列長度的三條線段能組成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．1，2，4 C．3，4，5 D．7，7，14
◆變式訓練
2．（2022上·甘肅定西·八年級校考階段練習）若三角形的三邊長分別為3，4，x則x的值可能是（ ）
A．11 B．6 C．7 D．10
3．（2023上·遼寧大連·八年級校考階段練習）如圖，中，D、E分別為、的中點，，則陰影部分的面積是（ ）
A． B． C． D．
■考點二　與三角形有關的角
◇典例2：（2023上·山東德州·八年級?？茧A段練習）在下列條件中：①；②；③；④；⑤，不能確定是直角三角形的條件有（ ）個
A．1 B．2 C．3 D．4
◆變式訓練
1．（2023上·遼寧大連·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，，沿圖中虛線截去，則（ ）
A． B． C． D．
■考點三　等腰三角形及等邊三角形
◇典例3：（2022上·甘肅定西·八年級?？茧A段練習）等腰三角形三邊中有兩邊的長分別是4和9，則這個等腰三角形的周長是（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．不能確定
◆變式訓練
1．（2023上·山東臨沂·八年級校考階段練習）等腰三角形的一個角為，則這個等腰三角形的頂角可能為( )
A． B． C． D．或
2．（2023上·河北廊坊·八年級?？计谀┤鐖D，在等邊三角形中，是中線，點P，Q分別在，上，且，動點E在上，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
■考點四　直角三角形勾股定理及其應用
◇典例4：（2023上·山東濟寧·九年級?？茧A段練習）如圖，某地修建高速公路，要從B地向C地修一條隧道（B，C在同一水平面上）．為了測量B，C兩地之間的距離，某工程師乘坐熱氣球從C地出發，垂直上升到達A處，在A處觀察B地的俯角為，則B，C兩地之間的距離為（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（吉林省長春市2023-2024學年九年級上學期期末數學試題）如圖，一架梯子斜靠在墻上，梯子的長為米，梯子與地面形成的夾角為，則墻的高度為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．（2023上·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？计谥校┤鐖D，是的直徑，點、點是上任意兩點，連接，若點是弧的中點，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
■考點五　直角三角形的性質及計算
◇典例5：（2022·吉林·統考二模）如圖，人字梯中間設計一“拉桿”，在使用梯子時，固定拉桿會增加安全性．這樣做蘊含的數學道理是（ ）
A．三角形具有穩定性 B．兩點之間線段最短
C．經過兩點有且只有一條直線 D．垂線段最短
◆變式訓練
1．（2020·吉林·統考中考真題）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·吉林松原·校聯考一模）將一副三角板按如圖所示放置，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·吉林長春·長春市第八十七中學?？既＃┤鐖D，在中，根據圖中圓規作圖的痕跡，可用無刻度直尺畫一條直線將的周長分成相等兩部分的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·吉林長春·統考二模）如圖，在中，，，以為圓心，任意長為半徑畫弧分別交、于點和，再分別以、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點，以下結論錯誤的是( )

A．是的平分線 B．
C．點在線段的垂直平分線上 D．
3．（2023·吉林長春·一模）如圖，已知線段，分別以點A、B為圓心，長為半徑作圓弧，兩弧相交于點C、D，連接，交線段于點E，以點E為圓心，長為半徑作圓弧，交線段于點F，連接、，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·吉林長春·吉林大學附屬中學校考模擬預測）如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以為圓心，任意長為半徑作弧，分別交于兩點；②分別以為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點；③作射線，交邊于點．若，點到的距離為3，則的周長為（ ）

A．6 B．12 C．15 D．20
5．（2023·吉林長春·統考二模）如圖，在中，，以點B為圓心，長為半徑畫圓弧，交邊于點D，再分別以點為圓心，大于長為半徑畫圓弧，兩圓弧相交于點E，作射線交于點F．若，，則的長為( )

A． B． C． D．
6．（2023·吉林長春·?？级＃┰谥?，，尺規作圖的痕跡如圖所示．若，，則線段的長為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·吉林長春·統考中考真題）學校開放日即將來臨，負責布置的林老師打算從學校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩到地面，如圖所示．已彩旗繩與地面形成角（即）、彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即米），則彩旗繩的長度為（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
8．（2021·吉林長春·統考中考真題）如圖是凈月潭國家森林公園一段索道的示意圖．已知A、B兩點間的距離為30米，，則纜車從A點到達B點，上升的高度（BC的長）為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．（2023·吉林中考真題）如圖,鋼架橋的設計中采用了三角形的結構,其數學道理是 .
10.（2023.吉林一模）如圖,將等腰三角形紙片ABC折疊,使底邊AC落在腰AB上,展開后得到折痕AD,若∠C=70°，則∠ADB=___。
11.（2023·吉林一模）如圖，ΔABC是等邊三角形. AB=4 ,若⊙O的半徑為2 ,圓心在線段BC上運動,則點A到⊙00上的點的距離最小值為 .
12.（2022·吉林長春二模）如圖.在四邊形ABCD中,已知BE平分∠ABC.∠AEB=∠ABE , BE的延長線交CD的延長線于F，∠A=110° .
(1)求證: AD//BC .
(2)若∠ADC=70° .則∠F的度數是 .
13.（2023·吉林松原二模）在等腰△ABC中，AB=AC , AD為中線,以點A為中心,把線段AC逆時針旋轉90° ,得到線段AE，連接BE交直線AD于點F，連接CF .
(1)如圖1，若∠BAC=30°，則∠ABF= .
(2)若∠BAC是鈍角時,請在圖2依題意補全圖形并標出對應字母;
(3)證明圖2中ΔBCF是等腰直角三角形:
(4)直接寫出AB , BF , EF之間的數量關系.
1．（2022下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十七中學校考階段練習）下列各圖形中，具有穩定性的是（ ）
A．長方形 B．平行四邊形 C．等腰三角形 D．正六邊形
2．（2023上·河北廊坊·八年級?？计谀?0米長的木條兩邊各截取一根x米長的木條．若得到的三根木條首尾順次相接能組成三角形，則x的值可能為（ ）
A．2 B． C．3 D．6
3．（2023上·甘肅隴南·八年級校聯考期中）如圖所示，分別是，的兩條角平分線，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·內蒙古烏蘭察布·八年級校考期中）如圖，，點B，C，D在同一直線上，若，，則的度數是（ ）

A． B． C． D．
5．（2023上·內蒙古呼和浩特·八年級呼和浩特市實驗中學?？计谥校┤鐖D，在中，D，E是上兩點，且，平分，垂直于的延長線于F，那么下列說法中不一定正確的是（ ）
A．是的高
B．若，，重合，則為等腰三角形
C．
D．
6．（2024下·全國·七年級假期作業）如圖，在中，為邊上的中線，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·河北廊坊·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，，，則的長為（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．（2023上·重慶南岸·九年級?？计谥校┤鐖D，直線，是等邊三角形，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·遼寧本溪·八年級?？茧A段練習）如圖，長方體的底面邊長分別為2厘米和4厘米，高為5厘米．若一只螞蟻從P點開始經過4個側面爬行一圈到達Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長為（ ）厘米．
A．8 B． C． D．
10．（2023上·浙江金華·八年級校考階段練習）如圖，直線上有三個正方形，若的面積分別為 4和 25，則的面積為（ ）
A．20 B．26 C．29 D．32
11．（2023上·浙江溫州·九年級校考階段練習）如圖為樓梯的示意圖，，，米．現要在樓梯上鋪一塊地毯，則地毯的長度需要（ ）米．
A． B． C． D．
12．（2022下·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）如圖，四邊形內接于半徑為6的，，連交于E，若E為的中點，且，則四邊形的面積是（ ）

A． B． C． D．
13．（2023上·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？计谥校┤鐖D，在中，，，為線段延長線一點，為線段上一點，連接交于點，連接，若，設，則可表示為（ ）
A． B． C． D．
14.（2023上·山東青島·八年級階段練習）如圖，以直角三角形各邊向外作正方形，其中兩個正方形的面積分別為和，則正方形的邊長為 ．
15．（2023上·山東東營·七年級校考階段練習）如圖，，，，垂足分別為D，E．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
16．（2023上·浙江溫州·八年級溫州市第十二中學校聯考期中）如圖，在正方形網格中，每個小正方形邊長都為1，請按要求畫出圖形．
(1)已知點A在格點上，畫一條線段，使，且點B在格點上；
(2)以（1）中線段為腰畫一個等腰直角，使點C在格點上．
17．（2023下·江蘇·七年級專題練習）三角形三邊長分別為，，，則的取值范圍是
18．（2023上·全國·八年級期末）如圖，中，，，將沿EF折疊，A點落在形內的，則的度數為 ．
19．（2023上·全國·八年級期末）如圖，在中，和分別是和的平分線，過點D，且，若，則的長為 ．
20．（2023上·吉林長春·八年級統考期末）如圖，在四邊形中，，分別以它的四條邊為斜邊，向外作等腰直角三角形．若、和的面積分別為4、9、5，則的面積為 ．

21．（2023上·河南周口·八年級統考階段練習）已知的三邊長分別為，，，則邊上的高為 ．
22．（2023上·吉林白山·八年級統考期末）如圖，在中，是高，是角平分線，它們相交于點O，，，求、的度數．
23．（2023上·寧夏吳忠·八年級校考期末）如圖中，，，平分，若，求的長.
24．（2023上·廣東茂名·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，．若點P從點A出發，以每秒的速度沿邊運動，設運動時間為．當時，求t的值．
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第四章 三角形及四邊形
第二節 三角形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 與三角形有關的線段 ☆☆ 吉林中考中，有三角形部分，每年考查1~5道題,分值為3~15分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對于這部分的復習，需要熟練掌握與三角形有關有線段、角、等腰三角形和等邊三角形、勾股定理及直角三角形的性質和計算等考點。
考點2 與三角形有關的角 ☆☆☆
考點3 等腰三角形及等邊三角形 ☆☆
考點4 直角三角形勾股定理及其應用 ☆☆☆
考點5 直角三角形的性質及計算 ☆☆☆
■考點一　與三角形有關的線段
1.三角形的三邊關系：
文字語言：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．
2.三角形三邊關系的作用：
(1)判斷三條已知線段能否組成三角形；
(2)當已知兩邊時，可確定第三邊的范圍；
(3)解決線段的最值問題．
3.三角形中的四線：角平分線、中線、高線、中位線
4.三角形的中線性質：三角形的中線平分三角形的面積。
5.三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。
■考點二　與三角形有關的角
1.三角形的內角
(1)三角形內角和定理：三角形三個內角的和等于180°.
(2)證明方法:剪拼成平角、通過作平行線構造平角，構造兩平行線下的同旁內角。
2.三角形的外角
（1）定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.
（2）性質：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個內角；三角形的外角和為360°。
3.三角形內角和定理及推論
■考點三　等腰三角形及等邊三角形
等腰三角形的定義
文字語言：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。
符號語言：AB=AC,則△ABC叫做等腰三角形。
等腰三角形的性質
性質1：等腰三角形的兩腰相等。
性質2：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）。
∵AB=AC,∴∠B=∠C
性質3：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．（簡稱：三線合一）
性質4：等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是頂角平分線所在直線．
3．等腰三角形的兩個判定方法
方法1：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形（定義）。
符號語言：∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形
方法2：有兩個角相等的三角形是等腰三角形。（簡稱：等角對等邊）
符號語言：∵∠B=∠C ,∴△ABC是等腰三角形
4．等邊三角形的定義：
三條邊都相等的三角形是等邊三角形．
AB=AC=BC,則△ABC叫做等邊三角形。
5．等邊三角形的性質：
性質1：等邊三角形的三邊相等。
性質2：等邊三角形的三角相等，且都等于60°。
性質3：三線合一
性質4：等邊三角形是軸對稱圖形，對稱軸是頂角平分線所在直線，有三條對稱軸．
6．等邊三角形的三個判定方法：
方法1：三條邊都相等的三角形是等邊三角形；
方法2：三個角都相等的三角形是等邊三角形；
方法3：有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．
■考點四　直角三角形勾股定理及其應用
1.直角三角形的性質與判定
(1)性質：直角三角形的兩個銳角互余。
直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形ABC可以寫成Rt△ABC。
(2)判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形。
2.勾股定理：
直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）
3.勾股定理的應用
勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關系，是直角三角形的重要性質之一，其主要應用是：
（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；
（2）利用勾股定理可以證明有關線段平方關系的問題；
（3）解決與勾股定理有關的面積計算；
（4）勾股定理在實際生活中的應用．
4.勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.
要點詮釋：
應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的基本步驟：
（1）首先確定最大邊，不妨設最大邊長為；
（2）驗證：與是否具有相等關系：
　　 若，則△ABC是以∠C為90°的直角三角形；
　　 若時，△ABC是銳角三角形；
　　　若時，△ABC是鈍角三角形．
5.勾股數
滿足不定方程的三個正整數，稱為勾股數（又稱為高數或畢達哥拉斯數），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.
■考點五　直角三角形的性質及計算
1. 直角三角形的定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形．
2. 直角三角形的性質：
性質1：（邊關系）勾股定理
性質2：（角關系）直角三角形兩銳角互余：
性質3：（邊角關系）三角函數
性質4：在直角三角形中， 30°角所對的直角邊等于斜邊的一半
性質5：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半
3.直角三角形的判定方法：
方法1：通過計算證明一個角為90°；
方法2：證明三角形中有兩個角的和互余；
方法3：勾股定理的逆定理；
如果三角形的三條邊a、b、c有關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。
方法4：利用圓的知識（直徑對的圓周角是直角）證明；
方法5：利用等腰三角形三線合一證明垂直（即90°）；
方法6：利用菱形或正方形的對角線互相垂直證明。
■易錯提示
1.三角形是平面幾何的基礎，三角形部分重要考點有三個方面：其一是三角形內角和定理及推論；其二是三角形三邊關系；其三是三角形的角平分線、中線、高線和中位線。
2.關于角和平行，垂直這部分內容，其核心是角，重點理解同位角、內錯角、同旁內角的概念和角平分線的概念，通過一定量的練習鞏固即可。這部分內容有兩個重點類型問題要重視：
1.角的和差問題；2.折疊問題中關于角度的計算。
3.等腰三角形重在性質的靈活運用，尤其是三線合一性質的理解和運用，三種形式一定要深度理解，把三種不同的形式結合文字語言、圖形語言、符號語言統一起來，做到見其一，想其二；對于等邊三角形的性質和判定可以對照等腰三角形的性質和判定，找到其不同，這樣理解和記憶的效果都是比較好的；直角三角形的考點更是復雜，因為初中數學中的幾何計算問題，基本上都得借助直角三角形，所以掌握好直角三角形的性質，直接影響到中考成績的好壞，一定要重視直角三角形的性質和判定方法，在解決幾何計算和證明問題時，通常不好解決時，一定要想到通過作輔助線將普通三角形轉化為直角三角形來解決。
4.等腰三角形和直角三角形的定義、性質、判定方法是初中數學的核心之一，是中考數學考查的重點。它們可以和四邊形、方程、不等式、函數等任何的知識搭配綜合，難度一般較大。
5.勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯系
區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；
聯系：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關.
■考點一　與三角形有關的線段
◇典例1： （2022下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十七中學?？茧A段練習）下列長度的三條線段能組成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．1，2，4 C．3，4，5 D．7，7，14
【答案】C
【分析】本題考查了能夠組成三角形三邊的條件：用兩條較短的線段相加，如果大于最長的那條線段就能夠組成三角形．據此進行分析判斷即可．
【詳解】解：根據三角形任意兩邊的和大于第三邊，得
A中，，不能組成三角形；
B中，，不能夠組成三角形；
C中，，能組成三角形；
D中，，不能組成三角形．
故選：C．
◆變式訓練
2．（2022上·甘肅定西·八年級?？茧A段練習）若三角形的三邊長分別為3，4，x則x的值可能是（ ）
A．11 B．6 C．7 D．10
【答案】B
【分析】本題考查了構成三角形的條件：即三角形任意一邊大于其它兩邊的差，同時小于其它兩邊之和，解題的關鍵是熟知構成三角形的條件．
根據能構成三角形的條件，逐個判斷即可．
【詳解】A．因，故不能構成三角形，A不符合題意；
B．因，所以能構成三角形，B符合題意；
C．因，不滿足三角形兩邊之和大于第三邊的條件，所以不能構成三角形，C不符合題意；
D．因，故不能構成三角形，D不符合題意；
故選：B．
3．（2023上·遼寧大連·八年級校考階段練習）如圖，中，D、E分別為、的中點，，則陰影部分的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形中線的性質，解題的關鍵是掌握三角形的中線將三角形的面積平均分為兩份．根據三角形中線的性質可得，，即可求解．
【詳解】解：∵點D為中點，，
∴，
∵點E為中點，
∴，
即陰影部分的面積為，
故選：C．
■考點二　與三角形有關的角
◇典例2：（2023上·山東德州·八年級?？茧A段練習）在下列條件中：①；②；③；④；⑤，不能確定是直角三角形的條件有（ ）個
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】此題考查了三角形的內角和定理，根據三角形內角和定理依次計算并判斷即可．
【詳解】①∵，，
∴，得，
∴是直角三角形；
②設
∴，得，
∴，
∴是直角三角形；
③∵，
∴，，
∴是直角三角形；
④∵，，
∴，
∴不是直角三角形；
⑤設，則
∴，得，
∴
∴是直角三角形；
故選：D．
◆變式訓練
1．（2023上·遼寧大連·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，，沿圖中虛線截去，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了三角形外角的性質，三角形內角和定理；
如圖，根據三角形外角的性質求出，，再根據三角形內角和定理計算即可．
【詳解】解：如圖，
∵，，
∴，
故選：C．
2．（2022下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十七中學?？茧A段練習）在中，，則是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【分析】本題考查了三角形內角和定理，三角形分類，利用三角形內角和定理建立方程求解是解題關鍵．設，根據三角形內角和定理建立方程求解即可得出答案．
【詳解】解：設，
∵，
∴，
，
∴，，，
∴是銳角三角形，
故選：A．
■考點三　等腰三角形及等邊三角形
◇典例3：（2022上·甘肅定西·八年級?？茧A段練習）等腰三角形三邊中有兩邊的長分別是4和9，則這個等腰三角形的周長是（ ）
A．17 B．22 C．17或22 D．不能確定
【答案】B
【分析】本題考查了三角形的三邊關系定理和等腰三角形的性質，解題的關鍵是注意構成三角形的條件：即三角形兩邊之和大于第三邊，同時滿足兩邊之差小于第三邊．
分三邊為9，9，4與三邊為9，4，4時兩種情況討論，看看是否符合構成三角形三邊關系的條件，然后求解．
【詳解】解：分為兩種情況：①當等腰三角形的三邊為9，9，4時，符合三角形的三邊關系定理，此時三角形的周長是：，
②當等腰三角形的三邊為9，4，4時，
∵，
∴不符合三角形的三邊關系定理，此時三角形不存在，
故選B．
◆變式訓練
1．（2023上·山東臨沂·八年級?？茧A段練習）等腰三角形的一個角為，則這個等腰三角形的頂角可能為( )
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質， 根據角為頂角和底角兩種情況進行討論即可得出答案，解題的關鍵是熟練掌握等腰三角形兩底角相等，注意進行分類討論．
【詳解】解：當角為等腰三角形的頂角時，則等腰的頂角為；
當角為等腰三角形的一個底角時，由于等腰三角形兩個底角相等，則等腰的頂角為：．
綜上所述：等腰的頂角為或．
故選：D．
2．（2023上·河北廊坊·八年級?？计谀┤鐖D，在等邊三角形中，是中線，點P，Q分別在，上，且，動點E在上，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本題考查等邊三角形的性質和判定，軸對稱最短問題等知識，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．作點P關于的對稱點，連接交于，此時的值最?。钚≈担?br/>【詳解】解：是等邊三角形，
，，
，，，
，，
如圖，作點P關于的對稱點，連接交于，
此時的值最?。钚≈担?br/>
，
∴，
∴，而，
是等邊三角形，
，
的最小值為3．
故選B．
■考點四　直角三角形勾股定理及其應用
◇典例4：（2023上·山東濟寧·九年級?？茧A段練習）如圖，某地修建高速公路，要從B地向C地修一條隧道（B，C在同一水平面上）．為了測量B，C兩地之間的距離，某工程師乘坐熱氣球從C地出發，垂直上升到達A處，在A處觀察B地的俯角為，則B，C兩地之間的距離為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，根據題意在中，據此代入熟知求解即可．
【詳解】解：由題意得，，
∴在中，
∴B，C兩地之間的距離為．
故選A．
◆變式訓練
1．（吉林省長春市2023-2024學年九年級上學期期末數學試題）如圖，一架梯子斜靠在墻上，梯子的長為米，梯子與地面形成的夾角為，則墻的高度為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】本題考查的是解直角三角形的應用坡度坡角問題，熟記銳角三角函數的定義是解題的關鍵．
【詳解】解：在中，米，，
，
（米），
故選：．
2．（2023上·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？计谥校┤鐖D，是的直徑，點、點是上任意兩點，連接，若點是弧的中點，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查垂徑定理，三角函數，勾股定理，根據，及勾股定理求出，，根據等積法求出，結合垂徑定理得到，結合三角形面積公式求解即可得到答案；
【詳解】解：∵點是弧的中點，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∴，
故選：D．
■考點五　直角三角形的性質及計算
◇典例5：（2022·吉林·統考二模）如圖，人字梯中間設計一“拉桿”，在使用梯子時，固定拉桿會增加安全性．這樣做蘊含的數學道理是（ ）
A．三角形具有穩定性 B．兩點之間線段最短
C．經過兩點有且只有一條直線 D．垂線段最短
【答案】A
【分析】人字梯中間設計一“拉桿”后變成一個三角形，穩定性提高．
【詳解】三角形的穩定性如果三角形的三條邊固定，那么三角形的形狀和大小就完全確定了，三角形的這個特征，叫做三角形的穩定性.
故選A
【點睛】本題考查三角形的穩定性，理解這一點是本題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2020·吉林·統考中考真題）將一副三角尺按如圖所示的方式擺放，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根據直角三角板的性質得出∠ACD的度數，再由三角形內角和定理即可得出結論．
【詳解】解：如圖所示，
由一副三角板的性質可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°，
∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°，
∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°，
故選：B．
【點睛】本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形內角和是180°是解答此題的關鍵．
2．（2023·吉林松原·校聯考一模）將一副三角板按如圖所示放置，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據外角的性質即可得出結果．
【詳解】解：由三角形外角性質，可得：
故選：
【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質，熟練掌握三角形外角的性質定理是解此題的關鍵．
1．（2023·吉林長春·長春市第八十七中學校考三模）如圖，在中，根據圖中圓規作圖的痕跡，可用無刻度直尺畫一條直線將的周長分成相等兩部分的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據三角形內角和定理求得，則，根據三線合一即可求解．
【詳解】解：∵在中，
∴，
∴，
∴，
則作圖為的角平分線，將的周長分成相等兩部分，
A選項作圖為的角平分線，B選項為的角平分線，不合題意，
C選項為的角平分線，符合題意，
D選項為的垂直平分線，不合題意，
故選：C．
【點睛】本題考查了作角平分線，垂直平分線，等腰三角形的性質與判定，熟練掌握等腰三角形的性質與判定是解題的關鍵．
2．（2023·吉林長春·統考二模）如圖，在中，，，以為圓心，任意長為半徑畫弧分別交、于點和，再分別以、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接并延長交于點，以下結論錯誤的是( )

A．是的平分線 B．
C．點在線段的垂直平分線上 D．
【答案】D
【分析】A根據作圖的過程可以判定是的角平分線；B利用角平分線的定義可以推知，則由直角三角形的性質來求的度數；C利用等角對等邊可以證得，由線段垂直平分線的判定可以證明點在的垂直平分線上；D利用角所對的直角邊是斜邊的一半求出，進而可得，則．
【詳解】解：根據作圖方法可得是的平分線，故A正確，不符合題意；
∵，
∴，
∵是的平分線，
∴，
∴，故B正確，不符合題意；
∵，
∴，
∴點在的垂直平分線上，故C正確，不符合題意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
則，故D錯誤，符合題意，
故選：D．
【點睛】本題主要考查角平分線的尺規作圖，角平分線的定義，等角對等邊，線段垂直平分線的判定，含直角三角形的性質等知識，能夠熟練通過尺規作圖的痕跡得出是角平分線是解題關鍵．
3．（2023·吉林長春·一模）如圖，已知線段，分別以點A、B為圓心，長為半徑作圓弧，兩弧相交于點C、D，連接，交線段于點E，以點E為圓心，長為半徑作圓弧，交線段于點F，連接、，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】連接，由作法可知，垂直平分，，，進而推出是等邊三角形，，再利用垂直平分線的性質，證明是等腰直角三角形，得到，即可求出的度數．
【詳解】解：連接，
由作法可知，垂直平分，，，
是等邊三角形，
，
垂直平分，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
故選D．
【點睛】本題考查了作圖——基本作圖，等邊三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，理解題意，靈活運用所學知識解決問題是解題關鍵．
4．（2023·吉林長春·吉林大學附屬中學校考模擬預測）如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以為圓心，任意長為半徑作弧，分別交于兩點；②分別以為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點；③作射線，交邊于點．若，點到的距離為3，則的周長為（ ）

A．6 B．12 C．15 D．20
【答案】B
【分析】由角平分線的性質即可得出，根據勾股定理求出，進而求出的周長．
【詳解】解：由作圖可知是的平分線，
∵點到的距離為3，，
∴，
在中，根據勾股定理得：，
∴的周長為，
故選：B．
【點睛】本題考查的是勾股定理及角平分線的性質，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解題的關鍵．
5．（2023·吉林長春·統考二模）如圖，在中，，以點B為圓心，長為半徑畫圓弧，交邊于點D，再分別以點為圓心，大于長為半徑畫圓弧，兩圓弧相交于點E，作射線交于點F．若，，則的長為( )

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意可知是線段的垂直平分線，利用，可知，從而得到，從而利用計算即可．
【詳解】解：依題意可知：，
∴是線段的垂直平分線，
∴，
又∵
∴
∴
∵在中，，，
∴
∴．
又∵，，
∴，
∴，
∴．
故選：D．
【點睛】本題考查垂直平分線的畫法和判定，等腰直角三角形的性質，根據題意推斷是線段的垂直平分線是解題的關鍵．
6．（2023·吉林長春·?？级＃┰谥校?，尺規作圖的痕跡如圖所示．若，，則線段的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由作法得：平分，，根據角平分線的性質定理可得，可證明，從而得到，，再由勾股定理求出的長，設，則，在中，利用勾股定理求出x，即可求解．
【詳解】解：由作法得：平分，，
∵，即，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
，
設，則，
在中，，
∴，
解得：，
即．
故選：D
【點睛】本題主要考查了尺規作圖，角平分線的性質定理，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識，熟練掌握角平分線的性質定理，全等三角形的判定和性質，勾股定理是解題的關鍵．
7．（2023·吉林長春·統考中考真題）學校開放日即將來臨，負責布置的林老師打算從學校圖書館的頂樓拉出一條彩旗繩到地面，如圖所示．已彩旗繩與地面形成角（即）、彩旗繩固定在地面的位置與圖書館相距32米（即米），則彩旗繩的長度為（ ）

A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】根據余弦值的概念即鄰邊與斜邊之比，即可求出答案.
【詳解】解：表示的是地面，表示是圖書館，
，
為直角三角形，
（米）.
故選：D.
【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，涉及到余弦值，解題的關鍵在于熟練掌握余弦值的概念.
8．（2021·吉林長春·統考中考真題）如圖是凈月潭國家森林公園一段索道的示意圖．已知A、B兩點間的距離為30米，，則纜車從A點到達B點，上升的高度（BC的長）為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【分析】在Rt△ABC中，已知∠BAC和斜邊AB，求∠BAC的對邊，選擇∠BAC的正弦，列出等式即可表示出來．
【詳解】在Rt△ABC中，
,
即，
故選：A．
【點睛】本題考查解直角三角形，解題關鍵是根據解三角函數的定義，列出方程．
9．（2023·吉林中考真題）如圖,鋼架橋的設計中采用了三角形的結構,其數學道理是 .
[知識點]三角形的穩定性及應用
[分析]根據三角形結構具有穩定性作答即可.
[詳解]解:其數學道理是三角形結構具有穩定性.
故答案為:三角形具有穩定性.
[點睛]本題考查了三角形具有穩定性，解題的關鍵是熟練的掌握三角形形狀對結構的影響.
10.（2023.吉林一模）如圖,將等腰三角形紙片ABC折疊,使底邊AC落在腰AB上,展開后得到折痕AD,若∠C=70°，則∠ADB=___。
[知識點]三角形的外角的定義及性質，根據等邊對等角求角度，折疊問題
[答案] 105
[分析]由翻折的性質得出AD平分∠BAC,再結合等腰三角形的性質得出∠CAD的度數，最后結合三角形的外角的性質即可求出∠ADB的值.
[詳解]解:將等腰三角形紙片ABC折疊.使底邊AC落在腰AB上
∠BAD=∠CAD=∠BAC,
BA= BC，∠C= 70° ,
∠BAC=∠C= 70°，
∠BAD= ∠CAD=35°，
∠ADB=∠C+∠CAD=70°+35° = 105° .
故答案為: 105.
[點睛]本題考查了翻折變換，等腰三角形的性質，三角形外角的性質等知識，解題的關鍵是理解題意,靈活運用所學知識解決問題.
11.（2023·吉林一模）如圖，ΔABC是等邊三角形. AB=4 ,若⊙O的半徑為2 ,圓心在線段BC上運動,則點A到⊙00上的點的距離最小值為 .
[知識點]垂線段最短，等邊三角形的性質，用勾股定理解三角形
[答案] 4
[分析]連接A0，交⊙O于點D,由圖可知:點A到⊙O上的點的距離為AD=40- OD.根據AD= AO- 2.可知當A0最小時, AD也最小，根據垂線段最短可知:當A0⊥BC時，A0最小，問題隨之得解.
[點睛]本題考查了等邊三角形的性質，勾股定理以及垂線段最短等知識，靈活運用垂線段最短，構造合理的輔助線，是解答本題的關鍵.
12.（2022·吉林長春二模）如圖.在四邊形ABCD中,已知BE平分∠ABC.∠AEB=∠ABE , BE的延長線交CD的延長線于F，∠A=110° .
(1)求證: AD//BC .
(2)若∠ADC=70° .則∠F的度數是 .
[知識點]角平分線的有關計算，根據平行線判定與性質證明，三角形的外角的定義及性質
[答案] (1)見解析
(2)35
[分析] (1) 先證明∠ABE=∠CBE，再證明∠AEB=∠CBE,從而可得結論;
(2)先證明∠F= ∠FED,再利用三角形的外角的性質可得答案.
[詳解] (1) 證明: BE平分∠ABC.
∠ABE=∠CBE,
∠AEB=∠ABE.
∠AEB=∠CBE.
AD//BC;
(2)∠A=110°，∠ADC= 70°，
∠A+∠ADC=180°，
AB//CD,
∠F=∠ABE，.
∠AEB=∠FED,∠ABE=∠AEB,
∠ADC=∠F+∠FED=70°,
∠F=35°
[點睛]本題考查的是平行線的判定與性質，角平分線的定義，三角形的外角的性質,清晰的邏輯思維推理是解本題的關鍵.
13.（2023·吉林松原二模）在等腰△ABC中，AB=AC , AD為中線,以點A為中心,把線段AC逆時針旋轉90° ,得到線段AE，連接BE交直線AD于點F，連接CF .
(1)如圖1，若∠BAC=30°，則∠ABF= .
(2)若∠BAC是鈍角時,請在圖2依題意補全圖形并標出對應字母;
(3)證明圖2中ΔBCF是等腰直角三角形:
(4)直接寫出AB , BF , EF之間的數量關系.
[知識點]線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質和判定，用勾股定理解三角形
[答案] (1)30
(2)證明略
(3)證明略
(4)2AB2= BF2+ EF2
[分析] (1) 利用等腰三角形的性質求出∠ABC, ∠ABF即可解決問題.
(2)根據要求畫出圖形卿可.
(3)利用垂直平分線的性質證明FB= FC,再用三角形內角和得出∠BFC = 90即可判斷.
(4)連接EC,利用勾股定理列出等式即可.
[點睛]本題考查等腰三角形的性質和垂直平分線的性質與判定，解題的關鍵是熟練運用等腰三角形的性質和垂直平分線的性質進行推理證明.
1．（2022下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十七中學?？茧A段練習）下列各圖形中，具有穩定性的是（ ）
A．長方形 B．平行四邊形 C．等腰三角形 D．正六邊形
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形的穩定性，解題的關鍵是熟練掌握三角形的性質．
【詳解】解：因為三角形具有穩定性，所以具有穩定性的是等腰三角形，
故選：C．
2．（2023上·河北廊坊·八年級?？计谀?0米長的木條兩邊各截取一根x米長的木條．若得到的三根木條首尾順次相接能組成三角形，則x的值可能為（ ）
A．2 B． C．3 D．6
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形三邊的關系，關鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差的絕對值小于第三邊． 依據題意，三根木條的長度分別為x m，x m，，再根據三角形的三邊關系即可判斷．
【詳解】解：由題意可知，三根木條的長度分別為x m，x m，，
∵三根木條要組成三角形，
∴，
解得：．
故選C．
3．（2023上·甘肅隴南·八年級校聯考期中）如圖所示，分別是，的兩條角平分線，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了三角形的角平分線，三角形的內角和定理，根據三角形的內角和定理求出，再根據角平分線的定義求出，然后利用三角形的內角和定理列式計算即可得解．
【詳解】解：∵，
在中，
，
∵分別是，的兩條角平分線，
，
，
在中，
．
故選：A．
4．（2023上·內蒙古烏蘭察布·八年級校考期中）如圖，，點B，C，D在同一直線上，若，，則的度數是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查平行線的性質、三角形外角和內角的關系，解答本題的關鍵是求出的度數．根據三角形外角和內角的關系，可以得到的度數，再根據平行線的性質，可以得到，從而可以得到的度數．
【詳解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
5．（2023上·內蒙古呼和浩特·八年級呼和浩特市實驗中學?？计谥校┤鐖D，在中，D，E是上兩點，且，平分，垂直于的延長線于F，那么下列說法中不一定正確的是（ ）
A．是的高
B．若，，重合，則為等腰三角形
C．
D．
【答案】C
【分析】本題考查的是三角形的角平分線、中線和高，等腰三角形的判定，熟記它們的定義是解題的關鍵．
【詳解】解：A、∵，交的延長線于，
∴是的邊上的高，本選項說法正確，不符合題意；
B、若，，重合，則為等腰三角形，本選項說法正確，不符合題意；
C、與的大小不能確定，故本選項說法不一定正確，符合題意；
D、∵，
∴，本選項說法正確，不符合題意；
故選：C．
6．（2024下·全國·七年級假期作業）如圖，在中，為邊上的中線，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】略
7．（2023上·河北廊坊·八年級?？计谀┤鐖D，在中，，，，則的長為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本題考查了三角形內角和定理，含的直角三角形．熟練掌握三角形內角和定理，含的直角三角形的性質是解題的關鍵．
由題意知，，根據，計算求解即可．
【詳解】解：由題意知，，
∴，
故選：C．
8．（2023上·重慶南岸·九年級?？计谥校┤鐖D，直線，是等邊三角形，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題考查等邊三角形的性質，關鍵是根據等邊三角形的性質得出解答．
根據等邊三角形的性質得出，進而利用平行線的性質和三角形的內角和定理解答即可．
【詳解】解：如圖所示
是等邊三角形，
∥
故選：Ｂ
9．（2023上·遼寧本溪·八年級校考階段練習）如圖，長方體的底面邊長分別為2厘米和4厘米，高為5厘米．若一只螞蟻從P點開始經過4個側面爬行一圈到達Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長為（ ）厘米．
A．8 B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了勾股定理求最短路徑問題，熟練掌握先把立體圖形展開成平面圖形，構造直角三角形，根據兩點之間，線段最短，計算求解即可．
將長方體展開，然后連接，利用勾股定理求的長即可．
【詳解】解：如圖，長方體的展開圖如下：
∴，，
由勾股定理得，，
∴最短的路徑長為厘米，
故選：D．
10．（2023上·浙江金華·八年級?？茧A段練習）如圖，直線上有三個正方形，若的面積分別為 4和 25，則的面積為（ ）
A．20 B．26 C．29 D．32
【答案】C
【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質、勾股定理，證明得到，，再利用勾股定理，進行計算即可，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
【詳解】解：如圖，
，
都是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
故選：C．
11．（2023上·浙江溫州·九年級?？茧A段練習）如圖為樓梯的示意圖，，，米．現要在樓梯上鋪一塊地毯，則地毯的長度需要（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了解直角三角形，熟練掌握正切三角函數的定義是解題關鍵．先解直角三角形求出的長，從而可得地毯的長度，再根據矩形的面積公式即可得．
【詳解】解：由題意，在中，（米），
所以地毯的長度為米，
故選：B．
12．（2022下·湖北武漢·九年級校考階段練習）如圖，四邊形內接于半徑為6的，，連交于E，若E為的中點，且，則四邊形的面積是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】過點O作，垂足為F，連接．由等腰三角形的三線合一的性質可知：，然后由特殊銳角三角函數值可知，從而得到，根據圓周角定理可知：，過點A作，垂足為N，過點C作，垂足為M，首先證明，從而得到，然后由圓周角定理證明，從而得到，然后等腰三角形三線合一的性質可知：．在中，求得AN，證明．得，根據四邊形的面積便可得結果．
【詳解】解：如圖所示，過點O作，垂足為F，連接．

∵，
∴．
在中，，
∴．
∴．
∴．
如圖所示，過點A作，垂足為N，過點C作，垂足為M．

∵E為的中點，，
∴
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴．
在中，．
∴，
在和中，
，
∴．
∴．
∴四邊形的面積．
故選：C．
【點睛】本題主要考查的圓周角定理、等腰三角形的性質、相似三角形的性質和判定、解直角三角形，全等三角形的性質和判定的綜合應用，由若E為的中點，，得到，從而證得是解題的關鍵．
13．（2023上·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？计谥校┤鐖D，在中，，，為線段延長線一點，為線段上一點，連接交于點，連接，若，設，則可表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查三角形全等的性質與判定，解直角三角形，直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半，三角形內外角關系，過點F作，證明，結合內外角關系求解即可得到答案；
【詳解】解：過點F作，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故選：C．
14.（2023上·山東青島·八年級階段練習）如圖，以直角三角形各邊向外作正方形，其中兩個正方形的面積分別為和，則正方形的邊長為 ．
【答案】
【分析】本題考查勾股定理，以直角三角形的兩直角邊為邊長所構成的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積，即可直接計算得出結論.
【詳解】以直角三角形的兩直角邊為邊長所構成的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積
∴正方形A的面積
∴正方形的邊長為
故答案為:
15．（2023上·山東東營·七年級?？茧A段練習）如圖，，，，垂足分別為D，E．
(1)求證：；
(2)若，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理；
（1）利用“”可證明；
（2）先利用全等三角形的性質得到，，
再利用勾股定理計算出，然后根據計算即可．
【詳解】（1）證明：，，
，
在和中，，
；
（2）解：，
，，
在中，，
．
16．（2023上·浙江溫州·八年級溫州市第十二中學校聯考期中）如圖，在正方形網格中，每個小正方形邊長都為1，請按要求畫出圖形．
(1)已知點A在格點上，畫一條線段，使，且點B在格點上；
(2)以（1）中線段為腰畫一個等腰直角，使點C在格點上．
【答案】(1)見詳解
(2)見詳解
【分析】本題考查作圖應用與設計作圖，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質等知識，
（1）利用數形結合的思想畫出圖形即可；
（2）根據等腰直角三角形的判定和性質畫出圖形即可．
【詳解】（1）解：如圖，線段即為所求；
（2）如圖，即為所求（答案不唯一）．
17．（2023下·江蘇·七年級專題練習）三角形三邊長分別為，，，則的取值范圍是 。
【答案】
【分析】本題考查了三角形三邊關系，熟練掌握三角形三邊關系定理是解答本題的關鍵．
根據三角形三邊關系，即兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，列出不等式，由此得到答案．
【詳解】解：根據題意得：
三角形三邊長分別為，，，
由三角形三邊關系可得：，
解得，
故答案為．
18．（2023上·全國·八年級期末）如圖，中，，，將沿EF折疊，A點落在形內的，則的度數為 ．
【答案】/60度
【分析】本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形內角和是是解答此題的關鍵．先根據三角形內角和定理求出的度數，進而可得出的度數，根據圖形翻折變換的性質得出的度數，再由四邊形的內角和為即可得出結論．
【詳解】解：∵中，，，
∴，
∴，
∴，
∵由翻折而成，
∴，
∴．
故答案為：．
19．（2023上·全國·八年級期末）如圖，在中，和分別是和的平分線，過點D，且，若，則的長為 ．
【答案】7
【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質，平行線的性質，熟練掌握角平分線與平行兩個條件，可以證明等腰三角形是解題的關鍵．根據角平分線與平行兩個條件，可證出等腰三角形即可解答．
【詳解】解：∵和分別是和的平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：7．
20．（2023上·吉林長春·八年級統考期末）如圖，在四邊形中，，分別以它的四條邊為斜邊，向外作等腰直角三角形．若、和的面積分別為4、9、5，則的面積為 ．

【答案】8
【分析】本題考查了勾股定理的知識，要求能夠運用勾股定理證明4個等腰直角三角形的面積之間的關系．
連接，根據等腰直角三角形的面積公式可求，根據勾股定理可求再根據等腰直角三角形的面積公式即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，

、和是等腰直角三角形，
，
、和的面積分別為、、，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
則的面積為．
故答案為∶8．
21．（2023上·河南周口·八年級統考階段練習）已知的三邊長分別為，，，則邊上的高為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了勾股定理逆定理，先根據勾股定理逆定理，可得是直角三角形，且斜邊長為10，再根據直角三角形的面積，即可求解．
【詳解】解∶∵的三邊長分別為6、8、10，且，
∴是直角三角形，且斜邊長為10，
設邊上的高為．
根據三角形的面積為：，
∵，，，
∴，
故答案為：．
22．（2023上·吉林白山·八年級統考期末）如圖，在中，是高，是角平分線，它們相交于點O，，，求、的度數．
【答案】；．
【分析】本題考查三角形內角和定理，角平分線的定義．中，兩銳角互余，求得；由內角和定理，得，由角平分線，得，，進而求得．
【詳解】解：中，，
∴；
中，，
∵是角平分線，
∴，．
∴．
23．（2023上·寧夏吳忠·八年級?？计谀┤鐖D中，，，平分，若，求的長.
【答案】
【分析】本題考查等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性質，三角形內角和定理，先證，根據等角對等邊得出，再根據含30度角的直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可求解．
【詳解】解：中，，，
，
平分，
，
，
，
在中，，
．
24．（2023上·廣東茂名·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，．若點P從點A出發，以每秒的速度沿邊運動，設運動時間為．當時，求t的值．
【答案】//
【分析】本題主要考查了勾股定理的運用，先根據勾股定理求出，因為，此時設，，根據勾股定理列方程即可求出的值．
【詳解】連接，如圖，
為直角三角形，，
由勾股定理可得：，
即，
點從點出發，以每秒的速度向點運動，運動時間為秒，
又∵，
∴，則，
∵在中， ，
由勾股定理可得：，
即，
解得，
∴當點運動到時，的值為．
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