資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第四章 三角形及四邊形
第四節 銳角三角函數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 特殊角的三角函數 ☆ 吉林中考中，有銳角三角函數部分，每年考查1~2道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對于這部分的復習，需要熟練掌握銳角三角函數及實際應用等考點。
考點2 銳角三角函數的實際應用 ☆☆☆
■考點一　特殊角的三角函數
1.銳角三角函數的概念
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
：sinA=；
：cosA=；
：tanA=．
2.特殊角的三角函數值
α sinα cosα tanα
30°
45° 1
60°
3. 解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有 元素，即 ，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做 ．
4.解直角三角形的常用關系：在Rt△ABC中，∠C=90°，則：
(1)三邊關系： ；
(2)兩銳角關系： ；
(3)邊與角關系：sinA=cosB= ，cosA=sinB= ，tanA= ；
(4)sin2A+cos2A=1．tan A=
■考點二　銳角三角函數的實際應用
1.仰角和俯角問題：
仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做 ．
俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做 ．
2.坡度和坡角問題：
坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做 （或坡比），記作i=．
坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度 ，α角越大，坡面 ．
3.方向角問題：
指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角叫做 ．
特別的，
北偏東45度也叫 ；北偏西45度也叫 ；
南偏東45度也叫 ；南偏西45度也叫 。
4.解直角三角形實際應用的一般步驟
（1） ，根據題意畫出相應圖形，建立數學模型；
（2） ：將實際條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形問題；
（3） ：選擇合適的邊角關系式，解決問題；
（4） ：檢驗答案是否符合實際生活．
■易錯提示
1.三角函數的本質是兩條線段的比值，它只是一個數值，大小只與銳角的大小有關，與所在三角形的大小無關.
2.正弦、余弦、正切是在一個直角三角形中引入的，實際上是兩條邊的比，它們是正實數，沒單位，其大小只與角的大小有關，而與所在直角三角形無關。
3.銳角三角函數是初中數學中最后一塊內容，也是中考必考內容之一。這塊內容比較抽象難懂，綜合性很強，所以難度一般較大，但掌握以下幾條，想拿高分，還是可以的。一是，基礎知識要掌握熟練；二是，對于常考題型要多練，熟能生巧；三是要多總結，多從不同角度思考問題，對于同一個問題從不同角度出發，考慮有沒有其它解法，做到融會貫通，運用自如；四是對于做過的錯題要注意整理，反思。記住：構造直角三角形是解決銳角三角函數問題的核心。
■考點一　特殊角的三角函數
◇典例1： （2023上·重慶沙坪壩·九年級校考階段練習）如圖，在中，，，，則的長度是( )
A．2 B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023上·甘肅張掖·九年級校考階段練習）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，的三個頂點均在格點上，則（　　）
A． B． C． D．
2．（2023上·山西臨汾·九年級校考階段練習）如圖，點為邊上的任意一點，作于點，于點，下列用線段比表示的值，錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
■考點二　銳角三角函數的實際應用
◇典例2：（2022上·安徽合肥·九年級合肥市第四十八中學校考期末）如圖，是半圓的直徑，弦相交于點P，那么（ ）

A． B． C． D．以上都不對
◆變式訓練
1．（2023下·浙江·九年級校聯考階段練習）如圖，中，，，，，則（　　）

B．
C． D．
2．（2023上·遼寧鐵嶺·九年級統考階段練習）如圖，菱形的對角線，，，則下列結論正確的是（ ）

A． B． C． D．
1．（2022·吉林長春·統考中考真題）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現場的一臺起重機的示意圖，該起重機的變幅索頂端記為點A，變幅索的底端記為點B，垂直地面，垂足為點D，，垂足為點C．設，下列關系式正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·吉林長春·吉林大學附屬中學校考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點為坐標原點，邊在軸正半軸上，，反比例函數的圖象經過點A，且交菱形對角線于點D，軸于點，則長為（ ）

A．1 B．3 C． D．
3．（2023·吉林長春·統考一模）如圖，某研究性學習小組為測量學校A與河對岸涼亭B之間的距離，在學校附近選一點C，利用測量儀器測得，，，則學校與涼亭之間的距離等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·吉林長春·校考二模）如圖是一架人字梯，已知，與地面的夾角為α，兩梯腳之間的距離米，則線段AB長為（　　）
A． B． C． D．
5．（2022·吉林長春·統考二模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊、分別在軸和軸上，已知對角線．．是邊上一點，過點的反比例函數的圖象與邊交于點，若將沿翻折后，點恰好落在上的點處，則的值為（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．（2021·吉林長春·統考一模）如圖小張同學的尺規作圖步驟，其具體做法如下：①在射線上順次截取，②分別以B、C為圓心，以a為半徑作圓弧，兩弧交于點E，③連結、、，則下列說法錯誤的是（　　）
A．為等邊三角形 B．的面積為
C． D．
7．（2021·吉林長春·統考一模）如圖，以O為圓心的圓與反比例函數的圖象交于兩點，已知點B的坐標為，則的長度為（ ）
A． B． C． D．
8.（2023·吉林松原·統考二模）如圖，矩形內接于圓中．若，則陰影部分圖形的面積是 （結果保留）．

9．（2023·吉林長春·長春市解放大路學校校考三模）如圖，在中，分別以點和為圓心，以大于的長度為半徑作弧，兩弧相交于點和點作直線分別交點和點若則的長為 ．

10．（2023·吉林長春·校聯考二模）如圖是中國古代數學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖的示意圖，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，恰好拼成一個大正方形，連結并延長交于點M．若，，則的長為 ．
11．（2023·吉林長春·校聯考二模）圓規兩腳形成的角α稱為圓規的張角，已知一個圓規兩腳的長均為，最大的張角為，將圓規直立放置；兩腳從并攏到形成最大張角，圓規高度下降 厘米．（腳的寬度忽略不計）（參考數據：，，）

1．（2023上·內蒙古呼和浩特·九年級校考期中）若正六邊形的邊長為4，則其外接圓半徑與內切圓半徑的大小分別是（ ）
A．4， B．4，2 C．，2 D．，
2．（2023上·浙江溫州·九年級校考階段練習）把一塊直尺與一塊三角板如圖放置，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·浙江寧波·九年級寧波市第七中學校考期中）如圖，在中，，若，則的長度為（ ）
A．5 B． C．4 D．3
4．（2023上·山西晉城·九年級校聯考期末）在中，各邊都擴大3借，則的正切值（ ）
A．擴大3倍 B．縮小為原來的 C．不變 D．不能確定
5．（2023上·四川成都·九年級四川省成都市石室聯合中學校考期中）在中，，若，則的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·安徽滁州·九年級校考階段練習）在中，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·遼寧營口·九年級校考階段練習）如圖，已知E是正方形中邊延長線上一點，且，連接與交于點N，F是的中點，連接交于點M，連接．有如下結論：①；②；③ ④，其中正確的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
8．（2023上·四川成都·九年級校聯考期中）如圖，在中，，，則（ ）
A． B．3 C． D．
9．（2023上·河北邢臺·九年級統考階段練習）在中，是的中線，則的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·陜西榆林·九年級校考期末）如圖，在中，，，，，則（ ）

A． B． C． D．
11．（2023上·江蘇泰州·九年級泰州市第二中學附屬初中校聯考階段練習）如圖，點A、B、C在邊長為1的正方形網格格點上，下列結論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023上·安徽滁州·九年級校聯考期中）如圖，在中，是上一點，若，則的長為（ ）．
A．2 B． C． D．1
13．（2023上·浙江溫州·九年級期末）如圖，在Rt中，，，，則的值為 ．
14．（2023上·山東濟南·九年級校考期末）已知α為銳角，且，則 度．
15．（2024上·湖北武漢·九年級統考期中）在平面直角坐標系中，將點繞點O逆時針旋轉，得到點，則點的坐標為 ．
16．（2023上·四川眉山·九年級校考期末）如圖，網格中的每個小正方形的邊長都是，的頂點都在格點上，則的正弦值是 ．
17．（2023上·遼寧沈陽·九年級統考期末）如圖，在矩形紙片中，，，將矩形紙片折疊，使點與點重合，則折痕的長為 ．
18．（2023上·福建福州·九年級福建省福州第十九中學校考階段練習）如圖，已知四邊形內接于圓O，直徑與交于E點，平分．
(1)尺規作圖：作，使得M、D在的兩側（保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)在（1）的條件下，若，求．
19．（2023上·遼寧沈陽·九年級統考期末）如圖，在中，，于點D，于點E，，連接， ，過點E作，交延長線于點G．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)當，時，求四邊形的周長．
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第四章 三角形及四邊形
第四節 銳角三角函數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 特殊角的三角函數 ☆ 吉林中考中，有銳角三角函數部分，每年考查1~2道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對于這部分的復習，需要熟練掌握銳角三角函數及實際應用等考點。
考點2 銳角三角函數的實際應用 ☆☆☆
■考點一　特殊角的三角函數
1.銳角三角函數的概念
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sinA=；
余弦：cosA=；
正切：tanA=．
2.特殊角的三角函數值
α sinα cosα tanα
30°
45° 1
60°
3. 解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形．
4.解直角三角形的常用關系：在Rt△ABC中，∠C=90°，則：
(1)三邊關系：a2+b2=c2；
(2)兩銳角關系：∠A+∠B=90°；
(3)邊與角關系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；
(4)sin2A+cos2A=1．tan A=
■考點二　銳角三角函數的實際應用
1.仰角和俯角問題：
仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角．
俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角．
2.坡度和坡角問題：
坡度：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作i=．
坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
3.方向角問題：
指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角叫做方向角．
特別的，
北偏東45度也叫東北方向；北偏西45度也叫西北方向；
南偏東45度也叫東南方向；南偏西45度也叫西南方向。
4.解直角三角形實際應用的一般步驟
（1）審題，根據題意畫出相應圖形，建立數學模型；
（2）轉化：將實際條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形問題；
（3）解決：選擇合適的邊角關系式，解決問題；
（4）檢驗：檢驗答案是否符合實際生活．
■易錯提示
1.三角函數的本質是兩條線段的比值，它只是一個數值，大小只與銳角的大小有關，與所在三角形的大小無關.
2.正弦、余弦、正切是在一個直角三角形中引入的，實際上是兩條邊的比，它們是正實數，沒單位，其大小只與角的大小有關，而與所在直角三角形無關。
3.銳角三角函數是初中數學中最后一塊內容，也是中考必考內容之一。這塊內容比較抽象難懂，綜合性很強，所以難度一般較大，但掌握以下幾條，想拿高分，還是可以的。一是，基礎知識要掌握熟練；二是，對于常考題型要多練，熟能生巧；三是要多總結，多從不同角度思考問題，對于同一個問題從不同角度出發，考慮有沒有其它解法，做到融會貫通，運用自如；四是對于做過的錯題要注意整理，反思。記住：構造直角三角形是解決銳角三角函數問題的核心。
■考點一　特殊角的三角函數
◇典例1： （2023上·重慶沙坪壩·九年級校考階段練習）如圖，在中，，，，則的長度是( )
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了余弦的定義；根據余弦的定義，即可求解．
【詳解】解：在中，，，，
∴，
故選：A．
◆變式訓練
1．（2023上·甘肅張掖·九年級校考階段練習）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，的三個頂點均在格點上，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了解直角三角形．由三角函數定義即可得出答案．
【詳解】解：由圖可得：，
∴．
故選：D．
2．（2023上·山西臨汾·九年級校考階段練習）如圖，點為邊上的任意一點，作于點，于點，下列用線段比表示的值，錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此題主要考查了銳角三角函數的定義，得出是解題關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
只有選項C錯誤，符合題意．
故選C．
■考點二　銳角三角函數的實際應用
◇典例2：（2022上·安徽合肥·九年級合肥市第四十八中學校考期末）如圖，是半圓的直徑，弦相交于點P，那么（ ）

A． B． C． D．以上都不對
【答案】B
【分析】由圖，可證，得．連接，則，得．
【詳解】解：由圖知，
∴．
∴．
連接，則，
∴．
故選：B

【點睛】本題考查圓周角定理，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數；添加輔助線，構造直角三角形是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023下·浙江·九年級校聯考階段練習）如圖，中，，，，，則（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用銳角三角函數關系分別表示出，的長進而得出答案．
【詳解】解：∵，，，，
∴，
則，
而，
故，
∵，
∴，
則．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了銳角三角函數的定義，正確表示出的長是解題關鍵．
2．（2023上·遼寧鐵嶺·九年級統考階段練習）如圖，菱形的對角線，，，則下列結論正確的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根據菱形的性質可得，，，再利用勾股定理計算出的長，然后根據銳角三角函數定義分別進行計算可得答案．
【詳解】
在菱形中，
有，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，，
故選：D．
【點睛】本題考查了菱形的性質及銳角三角函數，解題的關鍵是熟練掌握菱形的對角線互相垂直平分的性質及銳角三角函數的定義與計算．
1．（2022·吉林長春·統考中考真題）如圖是長春市人民大街下穿隧道工程施工現場的一臺起重機的示意圖，該起重機的變幅索頂端記為點A，變幅索的底端記為點B，垂直地面，垂足為點D，，垂足為點C．設，下列關系式正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據正弦三角函數的定義判斷即可．
【詳解】∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴，
故選：D．
【點睛】本題考查了正弦三角函數的定義．在直角三角形中任意銳角∠A的對邊與斜邊之比叫做∠A的正弦，記作sin∠A．掌握正弦三角函數的定義是解答本題的關鍵．
2．（2023·吉林長春·吉林大學附屬中學校考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點為坐標原點，邊在軸正半軸上，，反比例函數的圖象經過點A，且交菱形對角線于點D，軸于點，則長為（ ）

A．1 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】設點A的坐標為，過A點作軸，利用銳角三角函數和即可求出m，根據，設，根據點D經過反比例函數，即可求出n，進而求出答案．
【詳解】解：設點A的坐標為，
過A點作軸，如圖，

∵，，
∴，
∴，
∴，
，
，
或（舍），
∴，
∵四邊形是菱形，，
∴，
設，
則，
∴，
∵點D經過反比例函數，
，
或（舍），
，
故選：C．
【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征和菱形的性質，巧設未知數利用已知解析式是本題的突破口．
3．（2023·吉林長春·統考一模）如圖，某研究性學習小組為測量學校A與河對岸涼亭B之間的距離，在學校附近選一點C，利用測量儀器測得，，，則學校與涼亭之間的距離等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據余弦三角函數的定義即可得．
【詳解】解：在中，，，，
，
解得，
即學校與涼亭之間的距離等于，
故選：C．
【點睛】本題考查了余弦，熟練掌握余弦的概念是解題關鍵．
4．（2022·吉林長春·校考二模）如圖是一架人字梯，已知，與地面的夾角為α，兩梯腳之間的距離米，則線段AB長為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】過點A作于點D，根據等腰三角形的三線合一求出，然后根據余弦的定義求出即可．
【詳解】解：過點A作于點D，
∵，米，
∴米，
在中，，
∴，
∴．
故選：D．
【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用、等腰三角形的性質，熟記余弦的定義是解題的關鍵．
5．（2022·吉林長春·統考二模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊、分別在軸和軸上，已知對角線．．是邊上一點，過點的反比例函數的圖象與邊交于點，若將沿翻折后，點恰好落在上的點處，則的值為（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】作交OB于點G，利用．．求出，，表示出，，進一步求出，，，證明，利用相似的性質求出，再利用勾股定理即可求出k的值．
【詳解】解：作交OB于點G，
∵矩形的對角線．．
∴，，即，
∵E，F分別在AC，BC上，且在反比例函數上，
∴，，
∵將沿翻折后，點恰好落在上的點處，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
又∵，
即，解得：．
故選：D
【點睛】本題考查矩形性質，相似三角形的判定及性質，勾股定理，已知正切值求邊長及反比例函數圖象上點的坐標特征．解題的關鍵是求出，，表示出，，，利用相似的性質求出．
6．（2021·吉林長春·統考一模）如圖小張同學的尺規作圖步驟，其具體做法如下：①在射線上順次截取，②分別以B、C為圓心，以a為半徑作圓弧，兩弧交于點E，③連結、、，則下列說法錯誤的是（　　）
A．為等邊三角形 B．的面積為
C． D．
【答案】B
【分析】根據等邊三角形的判定和性質、特殊角的三角形函數值、三角形的外角性質分別求出正確答案，即可判斷．
【詳解】根據作圖步驟，知：BC=BE=CE=a，
∴△BCE是等邊三角形，
∴∠EBC=∠BEC=60，
∵AB=BE=a，
∴∠A=∠AEB=∠EBC=30，
∴，
∴∠AEC=∠AEB +∠BEC=90=3∠A，
故選項A、C、D正確，均不符合題意；
過E作EF⊥BC于F，
∴，
∴，故選項B錯誤，符合題意；
故選：B
【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質、特殊角的三角形函數值、三角形的外角性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．
7．（2021·吉林長春·統考一模）如圖，以O為圓心的圓與反比例函數的圖象交于兩點，已知點B的坐標為，則的長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】過B作BE⊥y軸于E，過A作AF⊥x軸于F，A、B兩點關于y=x對稱， 由B　求出A，利用勾股定理求出圓O的半徑，利用三角函數tan∠EOB=，求出∠EOB=30°，tan∠AOF=，求出∠AOF=30°，求弧長AB所對圓心角∠BOA=30°，利用弧長公式可求即可．
【詳解】解：過B作BE⊥y軸于E，過A作AF⊥x軸于F，
∵以O為圓心的圓與反比例函數的圖象都是關于y=x直線成軸對稱，
∴A、B兩點關于y=x對稱，
∵B　，
∴A，
在Rt△OBE中，BE=1，OE=，由勾股定理OB=，
∴tan∠EOB=，
∴∠EOB=30°，
在Rt△OAF中，AF=1，OF=，
∴tan∠AOF=，
∴∠AOF=30°，
∴∠BOA=90°-∠EOB- ∠AOF=90°-30°-30°=30°，
∴，
故選擇：D．
【點睛】本題考查反比例函數與圓的軸對稱性質，找出對稱軸，利用軸對稱性質求出A點坐標，利用三角函數求出AB弧所對圓心角，掌握弧長公式，勾股定理，利用銳角三角函數求角度是解題關鍵．
8.（2023·吉林松原·統考二模）如圖，矩形內接于圓中．若，則陰影部分圖形的面積是 （結果保留）．

【答案】
【分析】如圖，連接，，交點為，過作，由題意知為圓的圓心，則，則，，，，，，根據，計算求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，，交點為，過作，由題意知為圓的圓心，則，

∵，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
由題意知，
故答案為：．
【點睛】本題考查了矩形的性質，扇形的面積，正切，含的直角三角形．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
9．（2023·吉林長春·長春市解放大路學校校考三模）如圖，在中，分別以點和為圓心，以大于的長度為半徑作弧，兩弧相交于點和點作直線分別交點和點若則的長為 ．

【答案】
【分析】由可得出可知垂直平分在中，解直角三角形即可求出．
【詳解】解：
由作法得垂直平分
在中，
故答案為：
【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，垂直平分線的性這些質，解直角三角形，熟練掌握這些性質是解此題的關鍵．
10．（2023·吉林長春·校聯考二模）如圖是中國古代數學家趙爽用來證明勾股定理的弦圖的示意圖，它是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，恰好拼成一個大正方形，連結并延長交于點M．若，，則的長為 ．
【答案】
【分析】由大正方形是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，在中使用勾股定理可求出，過點M作于點N，由為等腰直角三角形可證得也為等腰直角三角形，設，則，由，可解得．進而可得．
【詳解】解：由圖可知，，
∵大正方形是由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，
故，設，
則在中，有，
即，解得：（舍去）．
過點M作于點N，如圖所示．
∵四邊形為正方形，為對角線，
∴為等腰直角三角形，
∴，
故為等腰直角三角形．
設，則，
∴，
解得：，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查了勾股定理的證明，正方形的性質、勾股定理、銳角三角函數、等腰三角形的性質、正確作出輔助線是解決本題的關鍵．
11．（2023·吉林長春·校聯考二模）圓規兩腳形成的角α稱為圓規的張角，已知一個圓規兩腳的長均為，最大的張角為，將圓規直立放置；兩腳從并攏到形成最大張角，圓規高度下降 厘米．（腳的寬度忽略不計）（參考數據：，，）

【答案】7.4
【分析】過點A作，根據銳角三角函數可求的長，即可求解．
【詳解】解：如圖：過點A作，垂足為D，

當時，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴將圓規直立放置，兩腳從并攏到形成最大張角，圓規高度下降，
故答案為：．
【點睛】本題考查借助圓規考查了銳角三角函數，作出輔助線是解題關鍵．
12.（2022·吉林·統考中考真題）動感單車是一種新型的運動器械．圖1是一輛動感單車的實物圖，圖2是其側面示意圖．△BCD為主車架，AB為調節管，點A，B，C在同一直線上．已知BC長為70cm，∠BCD的度數為58°．當AB長度調至34cm時，求點A到CD的距離AE的長度（結果精確到1cm）．（參考數據：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）
【答案】點A到CD的距離AE的長度約為88cm．
【分析】根據正弦的概念即可求解．
【詳解】解：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=34+70=104(cm)，
∵sin∠ACE=，即sin58°=，
∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm)，
∴點A到CD的距離AE的長度約為88cm．
【點睛】本題考查的是解直角三角形的知識，掌握銳角三角函數的概念是解題的關鍵．
13．（2021·吉林長春·統考中考真題）實踐與探究
操作一：如圖①，已知正方形紙片ABCD，將正方形紙片沿過點A的直線折疊，使點B落在正方形ABCD的內部，點B的對應點為點M，折痕為AE，再將紙片沿過點A的直線折疊，使AD與AM重合，折痕為AF，則 度．
操作二：如圖②，將正方形紙片沿EF繼續折疊，點C的對應點為點N．我們發現，當點E的位置不同時，點N的位置也不同．當點E在BC邊的某一位置時，點N恰好落在折痕AE上，則 度．
在圖②中，運用以上操作所得結論，解答下列問題：
（1）設AM與NF的交點為點P．求證：．
（2）若，則線段AP的長為 ．
【答案】操作一：45°，操作二：60°；（1）證明見解析；（2）
【分析】操作一：直接利用折疊的性質，得出兩組全等三角形，從而得出,從而得出∠EAF的值；
操作二：根據折疊的性質得出 ,從而得出的度數；
（1）首先利用 ,得出,從而得出△ANF為等腰直角三角形，即可證得；
（2）利用三角函數或者勾股定理求出BE的長，則,設DF=x，那么FC=，在Rt△EFC中，利用勾股定理得出DF的長，也就是MF的長，即可求得EF的長，進而可得結果．
【點睛】本題考查正方形的性質，折疊的性質，全等三角形的判定，勾股定理，解題的關鍵是熟練運用折疊的性質，找出全等三角形．
1．（2023上·內蒙古呼和浩特·九年級校考期中）若正六邊形的邊長為4，則其外接圓半徑與內切圓半徑的大小分別是（ ）
A．4， B．4，2 C．，2 D．，
【答案】A
【分析】此題主要考查了正多邊形和圓以及特殊角的三角函數值，根據題意畫出圖形，利用正六邊形中的等邊三角形的性質求解即可，正確應用正六邊形的性質是解題關鍵．
【詳解】如圖， 連接，，，
∵六邊形是邊長為的正六邊形，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴邊長為4的正六邊形外接圓的半徑為，其內切圓的半徑為．
故選：．
2．（2023上·浙江溫州·九年級校考階段練習）把一塊直尺與一塊三角板如圖放置，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查特殊角的三角函數值，與三角板有關的角度的計算．根據，得到，進而得到，平行，得到，再根據鄰補角進行求解即可．熟記特殊角的三角函數值，是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∵直尺的兩邊平行，
∴，
∴；
故選B．
3．（2023上·浙江寧波·九年級寧波市第七中學校考期中）如圖，在中，，若，則的長度為（ ）
A．5 B． C．4 D．3
【答案】D
【分析】本題考查三角函數的定義，在直角三角形中，銳角的正弦是角的對邊與斜邊的比值；余弦是角的鄰邊與斜邊的比值；正切是角的對邊與鄰邊的比值；熟練掌握三角函數的定義是解題關鍵．根據余弦的定義可求出的長，根據勾股定理即可求出的長．
【詳解】解：，，
，即，
，
故選：D．
4．（2023上·山西晉城·九年級校聯考期末）在中，各邊都擴大3借，則的正切值（ ）
A．擴大3倍 B．縮小為原來的 C．不變 D．不能確定
【答案】C
【分析】本題考查了正切函數的概念，根據銳角三角函數的定義，可得答案．屬于簡單題．理解正切函數的定義是解題關鍵．
【詳解】解：由題意，得，各邊都擴大3倍，則角A的正切值不變．
故選：C．
5．（2023上·四川成都·九年級四川省成都市石室聯合中學校考期中）在中，，若，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了勾股定理、三角函數正弦值的定義等知識．由已知條件設，，然后根據勾股定理求出，最后根據三角函數正弦值定義即可求出．
【詳解】解：在中，，若，
設，，
∴，
∴．
故選：A．
6．（2023上·安徽滁州·九年級校考階段練習）在中，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題主要考查了銳角三角函數關系，直接利用銳角三角函數關系得出答案．
【詳解】解： ∵在中，，
∴
故選D．
7．（2023上·遼寧營口·九年級校考階段練習）如圖，已知E是正方形中邊延長線上一點，且，連接與交于點N，F是的中點，連接交于點M，連接．有如下結論：①；②；③ ④，其中正確的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根據“角角邊”，證明，根據全等三角形的性質，得到，判斷①；根據兩邊對應成比例、夾角相等的兩個三角形相似判斷②；作于G，根據等腰直角三角形的性質、正切的定義求出，即可判斷③；根據三角形的面積公式計算，判斷④．
【詳解】解：∵四邊形為正方形，，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴，故①結論正確；
∵是的中點，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故②結論正確；
作于G，則，
∴，
∴，
，故③結論正確；
，
，即，
∵F是的中點，
∴，
∴，
∴，故④結論正確；
故選：D．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質、等腰直角三角形的性質、相似三角形的判定、全等三角形的判定與性質，正確證明兩三角形相似和全等是解答本題的關鍵．
8．（2023上·四川成都·九年級校聯考期中）如圖，在中，，，則（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了勾股定理和求角的正弦值，先利用勾股定理求出，再根據正弦的定義可得．
【詳解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
故選C．
9．（2023上·河北邢臺·九年級統考階段練習）在中，是的中線，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了含角的直角三角形的性質、勾股定理、三角形中線的定義、正切的定義，由含角的直角三角形的性質及勾股定理可得，，由中線的定義可得，最后根據正切的定義進行計算即可，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
【詳解】解：在中，，
，
，
，
是的中線，
，
，
故選：B．
10．（2023上·陜西榆林·九年級校考期末）如圖，在中，，，，，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了銳角三角函數的定義，根據正弦的定義即可求解．
【詳解】解：在中，，，，
即．
故選：A．
11．（2023上·江蘇泰州·九年級泰州市第二中學附屬初中校聯考階段練習）如圖，點A、B、C在邊長為1的正方形網格格點上，下列結論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查網格中的銳角三角函數．利用勾股定理求出，勾股定理逆定理，得到，根據銳角三角函數的定義，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：由圖，可知：，
∴，
∴，
∴，，，，
綜上：只有選項A是錯誤的，
故選A．
12．（2023上·安徽滁州·九年級校聯考期中）如圖，在中，是上一點，若，則的長為（ ）．
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理、正切的定義，由題意及勾股定理得出，，作于，則，證明出是等腰直角三角形，得到，結合正切的定義求出，最后由勾股定理計算即可，熟練掌握以上知識點，添加適當的輔助線，構造直角三角形是解此題的關鍵．
【詳解】解：在中，，
，，
如圖，作于，則，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
故選：A．
13．（2023上·浙江溫州·九年級期末）如圖，在Rt中，，，，則的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了銳角三角函數的定義，勾股定理，根據勾股定理求出，再根據正弦的定義：對邊比斜邊，進行計算即可，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，，，
∴，
∴，
故答案為：
14．（2023上·山東濟南·九年級校考期末）已知α為銳角，且，則 度．
【答案】60
【分析】本題主要考查了根據特殊級三角函數值求角的度數，熟知60度角的余弦值為是解題的關鍵．
【詳解】解：∵α為銳角，且，
∴，
故答案為：．
15．（2024上·湖北武漢·九年級統考期中）在平面直角坐標系中，將點繞點O逆時針旋轉，得到點，則點的坐標為 ．
【答案】
【分析】本題考查了勾股定理，正切，旋轉的性質．熟練掌握勾股定理，正切，旋轉的性質是解題的關鍵．
如圖，過作軸于，由，可得，由旋轉的性質可知，，，則，在軸的負半軸上，然后作答即可．
【詳解】解：如圖，過作軸于，
∵，
∴，
∵，
∴，
由旋轉的性質可知，，，
∴，
∴點的坐標為，
故答案為：．
16．（2023上·四川眉山·九年級校考期末）如圖，網格中的每個小正方形的邊長都是，的頂點都在格點上，則的正弦值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了網格與勾股定理，等腰三角形的性質，正弦的定義，連接，由勾股定理判斷出為等腰三角形，根據等腰三角形的性質得到，根據正弦的定義即可求解，添加輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖，連接，
由勾股定理可得，，，，
∵，
∴為等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
17．（2023上·遼寧沈陽·九年級統考期末）如圖，在矩形紙片中，，，將矩形紙片折疊，使點與點重合，則折痕的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了翻折變換的性質、矩形的性質、勾股定理、銳角三角函數的定義、全等三角形的判定與性質等知識，熟練掌握翻折變換的性質和銳角三角函數的定義以及全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．設折痕為，連接交于點，由勾股定理求出，再根據翻折變換的性質可得，，然后利用的正切列式求出的長，最后證≌，得出，即可得出答案．
【詳解】解：如圖，設折痕為，連接交于點，
四邊形是矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
折疊后點與點重合，
，
，
解得：，
在和中，
，
≌，
，
故答案為：．
18．（2023上·福建福州·九年級福建省福州第十九中學校考階段練習）如圖，已知四邊形內接于圓O，直徑與交于E點，平分．
(1)尺規作圖：作，使得M、D在的兩側（保留作圖痕跡，不寫作法）；
(2)在（1）的條件下，若，求．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）在上的延長線上截取，連接，則即為所求；
（2）由全等三角形的性質得到，，接著證明為等腰直角三角形得到，然后在中利用正切的定義得到，則可設，，所以，從而可計算出的值．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；
在上的延長線上截取，連接，
由圓內接四邊形的性質和平角的定義得到，則，
由角平分線的定義得到，則，
由此可由證明；
（2）解： ∵是直徑，
∴，
∵，
，，
，
為等腰直角三角形，
，
在中，，
設，，
，，
．
【點睛】本題考查了作圖—復雜作圖，全等三角形的判定與性質、圓周角定理和圓內接四邊形的性質，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性質與判定等等，通過證明進而證明為等腰直角三角形是解題的關鍵．
19．（2023上·遼寧沈陽·九年級統考期末）如圖，在中，，于點D，于點E，，連接， ，過點E作，交延長線于點G．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)當，時，求四邊形的周長．
【答案】(1)見解析
(2)26
【分析】（1）先根據等腰三角形的性質證明是的中點，根據中位線的性質證明，根據平行四邊形的判定證明四邊形是平行四邊形，根據直角三角形性質得出，，證明，即可證明結論；
（2）在中根據，得出，求出,根據勾股定理求出，根據直角三角形性質得出，即可求出結果．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，
∴是的中點，
∵，
∴F是的中點，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，，
∴、為直角三角形，
∵F是的中點，
∴，，
∴，
∴四邊形是菱形；
（2）解：∵，
∴，
∵在中，
∴，
∴,
根據勾股定理得：，
∴，
∴菱形的周長為．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形，菱形的判定和性質，勾股定理，直角三角形的性質，等腰三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握菱形的判定方法．
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