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第四章 三角形及四邊形
第六節(jié) 特殊的平行四邊形
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 矩形的判定及性質(zhì) ☆☆ 吉林中考中，有關(guān)特殊的平行四邊形部分，每年考查1~2道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對(duì)于這部分的復(fù)習(xí)，需要熟練掌握特殊的平行四邊形的判定及相關(guān)證明等考點(diǎn)。
考點(diǎn)2 菱形的判定及性質(zhì) ☆☆
考點(diǎn)3 正方形的判定及性質(zhì) ☆☆
■考點(diǎn)一　矩形的判定及性質(zhì)
1.矩形的定義：有一個(gè)角是 的 叫做矩形。
2.矩形的性質(zhì)
（1）邊：對(duì)邊 且 ；
（2）角：四個(gè)角都是 ；
（3）對(duì)角線：對(duì)角線互相 且 ；
（4）對(duì)稱性： 。
3.矩形的判定
（1）定義：有一個(gè)角是 的平行四邊形是矩形；
（2）有三個(gè)角是 的四邊形是矩形；
（3）對(duì)角線 的平行四邊形是矩形。
■考點(diǎn)二　菱形的判定及性質(zhì)
1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做 .
2.性質(zhì)
（1）菱形的四條邊都 .
（2）菱形的兩條對(duì)角線 ，并且每一條對(duì)角線 .
3.判定定理
（1） 的平行四邊形是菱形
（2） 的平行四邊形是菱形.
（3） 的四邊形是菱形.
（4） 的四邊形是菱形.
(5)菱形的面積：菱形被它的兩條對(duì)角線分成 ，它們的底和高都分別是兩條對(duì)角線的一半.利用三角形的面積公式可推得，菱形的面積等于它的對(duì)角線之積的一半.
■考點(diǎn)三　正方形的判定及性質(zhì)
1.定義：四條邊都 ，四個(gè)角都是 的四邊形是正方形，所以，正方形既是 ，又是 。
2.性質(zhì)：正方形既有 的性質(zhì)，又有 的性質(zhì).
(1)邊的性質(zhì)：正方形的4條邊都相等，對(duì)邊 .
(2)角的性質(zhì)：正方形的4個(gè)角都是 。
(3)對(duì)角線的性質(zhì)：正方形的對(duì)角線 ，并且每條對(duì)角線 .正方形還有特殊性質(zhì)：正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形兩條對(duì)角線把正方形分成4個(gè) .正方形是軸對(duì)稱圖形，有 對(duì)稱軸。
3.正方形的判定方法的應(yīng)用
(1)一組鄰邊相等的 是正方形.
(2)有一個(gè)角是直角的 是正方形.
(3)有 的平行四邊形是正方形.
(4)既是 又是 的四邊形是正方形.
規(guī)律判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：
①先證明它是 ，再證明它有 .
②先證明它是 ，再證明它有 .
在判定正方形時(shí)，要弄清是在“四邊形”還是在“平行四邊形”的基礎(chǔ)之上來求證的.要熟悉各判定定理的聯(lián)系和區(qū)別.解答此類問題時(shí)要認(rèn)真審題，通過對(duì)已知條件的分析、綜合，最后確定用哪一種判定方法是解決這類問題的關(guān)鍵.
4.矩形、菱形、正方形性質(zhì)的綜合運(yùn)用：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，所以矩形、菱形、正方形具有平行四邊形的所有性質(zhì).應(yīng)從 3個(gè)方面區(qū)分它們的性質(zhì)：
(1)從邊的角度：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，而菱形和正方形還具有 .
(2)從角的角度：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有 ，而矩形和正方形還具有 .
(3)從對(duì)角線的角度：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有 ，而矩形和正方形的 ；菱形和正方形的對(duì)角線還具有 。
■易錯(cuò)提示
矩形首先是平行四邊形，然后增加一個(gè)角是直角這一條件，即平行四邊形+一個(gè)角是直角=矩形。
矩形是特殊的平行四邊形，且是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸，兩組對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線就是它的對(duì)稱軸。
3.矩形的定義既可作為矩形的性質(zhì)運(yùn)用，又可作為矩形的判定運(yùn)用。
4.矩形是特殊的平行四邊形，因此它具有平行四邊形的所有性質(zhì)；
5.矩形是對(duì)稱軸圖形，它有兩條對(duì)稱軸，分別是對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線；
6.由于矩形的四個(gè)角都是直角，故常把關(guān)于矩形的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題來解決；
7.矩形的兩條對(duì)角線將矩形分成兩對(duì)全等的等腰三角形，因此在解決相關(guān)問題時(shí)，常常用到等腰三角形的性質(zhì)。
8.對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形，對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形
9.菱形的判定方法是說明一個(gè)四邊形是菱形的依據(jù)，應(yīng)注意分清四種判定方法的區(qū)別
10.正方形的兩條對(duì)角線把它分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；每一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，因此正方形的兩條對(duì)角線將正方形分成兩種大小不同的八個(gè)等腰直角三角形，解決有關(guān)正方形的問題時(shí)，通常歸結(jié)到這些等腰直角三角形中求解。
11.正方形的對(duì)角線也互相垂直，因此正方形的面積也可以用對(duì)角線長(zhǎng)乘積的一半來計(jì)算。
■考點(diǎn)一　矩形的判定及性質(zhì)
◇典例1： （2023上·福建漳州·九年級(jí)漳州三中校聯(lián)考期中）在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，若要使平行四邊形為矩形，則的長(zhǎng)度為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·廣東深圳·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如下圖，四邊形中，和是對(duì)角線．依據(jù)圖中線段所標(biāo)的長(zhǎng)度，下列四邊形不一定為矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·山東青島·九年級(jí)山東省青島第二十六中學(xué)校考期中）如圖，在矩形中，E、F分別是邊、上的點(diǎn)，，連接、與對(duì)角線交于點(diǎn)O，且，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．6
■考點(diǎn)二　菱形的判定及性質(zhì)
◇典例2：（2023上·四川達(dá)州·九年級(jí)校考期中）如圖所示，若，則等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·重慶沙坪壩·九年級(jí)校考階段練習(xí)）下列命題中，錯(cuò)誤的是（ ）
A．對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是菱形
B．對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是菱形
C．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
D．四條邊相等的四邊形是菱形
2．（2023上·福建漳州·九年級(jí)漳州三中校聯(lián)考期中）閱讀以下作圖步驟：
（1）以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交，于點(diǎn)N，M；
（2）分別以N，M為圓心，以長(zhǎng)為半徑在角的內(nèi)部畫弧交于點(diǎn)P；
（3）作射線，連接，，如圖所示．
根據(jù)以上作圖，不一定可以推得的結(jié)論是（ ）
A．平分 B．四邊形為菱形
C． D．
■考點(diǎn)三　正方形的判定及性質(zhì)
◇典例3：（2023上·四川達(dá)州·九年級(jí)校考期中）下列性質(zhì)中正方形具有而矩形沒有的（ ）
A．對(duì)角線互相平分 B．對(duì)角線相等 C．對(duì)角線互相垂直 D．四個(gè)角都是直角
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·重慶九龍坡·九年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語學(xué)校校考期中）如圖，在正方形中，O為對(duì)角線的中點(diǎn)，E為正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接，，，延長(zhǎng)，與的平分線交于點(diǎn)F，連接，若，則正方形的邊長(zhǎng)為（ ）

A． B．3 C． D．
2．（2023上·重慶南岸·九年級(jí)校考期中）下列命題中，假命題是（ ）
A．有一個(gè)角為的平行四邊形是矩形 B．正方形的對(duì)角線互相垂直平分
C．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 D．平行四邊形的對(duì)角線相等
1．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，連接，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)、，直線分別交于點(diǎn)、、下列說法不一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·吉林長(zhǎng)春·校考一模）如圖，在菱形中，是對(duì)角線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作，，若，，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，按如下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑作圓弧，交邊AB于點(diǎn)E；②分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心、大于線段DE長(zhǎng)的一半為半徑作圓弧，兩弧交于點(diǎn)P；③作射線AP，交邊CD于點(diǎn)F；④連結(jié)EF，下列結(jié)論不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使頂點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)E處，折痕交AB于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G．若，，則AB的長(zhǎng)為（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上，且，連接．若，則 ．
6．（2023·吉林長(zhǎng)春·校考二模）一個(gè)正方形和一個(gè)直角三角形的位置如圖擺放．若，則的大小為 度．
7．（2023·吉林長(zhǎng)春·校考一模）如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成正方形和正方形，即趙爽弦圖連結(jié)、，分別交、于點(diǎn)，已知，且，則圖中陰影部分的面積之和為 ．
8．（2023·吉林·統(tǒng)考一模）如圖，，分別以A，B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)．連接，則四邊形的面積為 ．
9．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）將兩個(gè)完全相同的含有角的直角三角板在同一平面內(nèi)按如圖所示位置擺放．點(diǎn)A，E，B，D依次在同一直線上，連結(jié)、．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)已知，當(dāng)四邊形是菱形時(shí)．的長(zhǎng)為__________．
10．（2021·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖①，在中，，，是斜邊上的中線，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．
（1）若．直接寫出的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）；
（2）若，垂足為，點(diǎn)與點(diǎn)在直線的異側(cè)，連接，如圖②，判斷四邊形的形狀，并說明理由；
（3）若，直接寫出的度數(shù)．
11．（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動(dòng)中，小亮同學(xué)選用了常見的A4紙，如圖①，矩形為它的示意圖．他查找了A4紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖①中．他先將A4紙沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，折痕為；再沿過點(diǎn)F的直線折疊，使點(diǎn)C落在上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕為；然后連結(jié)，沿所在的直線再次折疊，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，進(jìn)而猜想．
【問題解決】
(1)小亮對(duì)上面的猜想進(jìn)行了證明，下面是部分證明過程：
證明：四邊形是矩形，
∴．
由折疊可知，，．
∴．
∴．
請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過程．
【結(jié)論應(yīng)用】
(2)的度數(shù)為________度，的值為_________；
(3)在圖①的條件下，點(diǎn)P在線段上，且，點(diǎn)Q在線段上，連結(jié)、，如圖②，設(shè)，則的最小值為_________．（用含a的代數(shù)式表示）
1．（2022下·河南信陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，把矩形沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊的處，若，，，，則矩形的面積是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·浙江麗水·八年級(jí)期末）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)，將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連結(jié)，則的長(zhǎng)是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，，過點(diǎn)O作，交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作，垂足為F，則的值為（　　）
A． B． C． D．
4．（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級(jí)呼和浩特市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）如圖所示，折疊矩形，使點(diǎn)A落在邊的點(diǎn)E處，為折痕，已知，則的長(zhǎng)（ ）
A． B． C． D．
5．（2023下·西藏日喀則·八年級(jí)校考期末）矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是(　　)
A．對(duì)角線互相垂直 B．對(duì)角線互相平分
C．對(duì)角線相等 D．對(duì)角線平分一組對(duì)角
6．（2023上·江蘇南通·八年級(jí)校考階段練習(xí)）菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（ ）
A．兩組對(duì)邊分別平行 B．對(duì)角線相等
C．對(duì)角線互相垂直 D．兩組對(duì)角分別相等
7．（2023上·四川達(dá)州·九年級(jí)校考期末）如圖，已知某菱形花壇的周長(zhǎng)是24m，，則花壇對(duì)角線的長(zhǎng)是（ ）
A．3m B．6m C． D．
8．（2023下·廣東廣州·八年級(jí)校考期中）如圖，菱形的周長(zhǎng)為32，，，，垂足分別為E、F，連接，則的面積是（ ）
A．8 B． C． D．
9．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A（1，1），B（3，1），規(guī)定把正方形ABCD“先沿x軸翻折，再向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度”為一次變換，這樣連續(xù)經(jīng)過2023次變換后，正方形ABCD的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A．（-2018，3） B．（-2018，3）
C．（-2020，3） D．（-2020，-3）
10．（2023上·河南鄭州·九年級(jí)校考期中）下列判斷正確的是（ ）
A．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 B．對(duì)角線相等的菱形是正方形
C．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 D．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
11.（2023上·福建龍巖·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知正方形、正方形的邊長(zhǎng)分別為4和1，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則線段的最大值為（ ）．
A． B． C． D．+
12．（2023上·陜西渭南·九年級(jí)校考期末）如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，添加下列條件，能使菱形成為正方形的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023上·重慶江北·九年級(jí)重慶十八中校考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，將向內(nèi)翻折，點(diǎn)A落在上，記為，折痕為．若將沿向內(nèi)翻折，點(diǎn)B恰好落在上，記為，則點(diǎn)到的距離為 .
14．（2024上·黑龍江佳木斯·九年級(jí)校考期末）已知矩形中，．點(diǎn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)時(shí)，長(zhǎng)為 ．
15．（2022下·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)校考階段練習(xí)）菱形的周長(zhǎng)為，一條對(duì)角線長(zhǎng)是，則菱形較小的內(nèi)角為 度．
16．（2022上·安徽宿州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，菱形的對(duì)角線，，交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則菱形的周長(zhǎng)為 ．
17．（2022上·上海黃浦·八年級(jí)上海市黃浦大同初級(jí)中學(xué)校考期末）如圖，矩形（長(zhǎng)方形）中，對(duì)角線的垂直平分線分別交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)．
(1)求證：；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
18．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語學(xué)校校考期末）如圖，平行四邊形的對(duì)角線、交于點(diǎn)，點(diǎn)、在上，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)已知，，，若，求四邊形的面積．
19．（2023上·山東·九年級(jí)期末）如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)作交折線于點(diǎn)，以為邊在右側(cè)作正方形．設(shè)正方形與重疊部分圖形的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
(1)當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)為______（用含的代數(shù)式表示）．
(2)當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求的值．
(3)當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，求S與之間的函數(shù)關(guān)系式．
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第四章 三角形及四邊形
第六節(jié) 特殊的平行四邊形
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 矩形的判定及性質(zhì) ☆☆ 吉林中考中，有關(guān)特殊的平行四邊形部分，每年考查1~2道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對(duì)于這部分的復(fù)習(xí)，需要熟練掌握特殊的平行四邊形的判定及相關(guān)證明等考點(diǎn)。
考點(diǎn)2 菱形的判定及性質(zhì) ☆☆
考點(diǎn)3 正方形的判定及性質(zhì) ☆☆
■考點(diǎn)一　矩形的判定及性質(zhì)
1.矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。
2.矩形的性質(zhì)
（1）邊：對(duì)邊平行且相等；
（2）角：四個(gè)角都是直角（90°）；
（3）對(duì)角線：對(duì)角線互相平分且相等；
（4）對(duì)稱性：矩形是對(duì)稱軸圖形，它有兩條對(duì)稱軸，分別是對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線
3.矩形的判定
（1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；
（2）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；
（3）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。
■考點(diǎn)二　菱形的判定及性質(zhì)
1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
2.性質(zhì)
（1）菱形的四條邊都相等.
（2）菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.
3.判定定理
（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
（3）對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形.
（4）四條邊相等的四邊形是菱形.
(5)菱形的面積：菱形被它的兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形，它們的底和高都分別是兩條對(duì)角線的一半.利用三角形的面積公式可推得，菱形的面積等于它的對(duì)角線之積的一半.
■考點(diǎn)三　正方形的判定及性質(zhì)
1.定義：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形是正方形，所以，正方形既是矩形，又是菱形。
2.性質(zhì)：正方形既有矩形的性質(zhì)，又有菱形的性質(zhì).
(1)邊的性質(zhì)：正方形的4條邊都相等，對(duì)邊平行.
(2)角的性質(zhì)：正方形的4個(gè)角都是直角
(3)對(duì)角線的性質(zhì)：正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.正方形還有特殊性質(zhì)：正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形兩條對(duì)角線把正方形分成4個(gè)全等的等腰直角三角形.正方形是軸對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸。
3.正方形的判定方法的應(yīng)用
(1)一組鄰邊相等的矩形是正方形.
(2)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.
(3)有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.
(4)既是矩形又是菱形的四邊形是正方形.
規(guī)律判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：
①先證明它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等.
②先證明它是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角.
在判定正方形時(shí)，要弄清是在“四邊形”還是在“平行四邊形”的基礎(chǔ)之上來求證的.要熟悉各判定定理的聯(lián)系和區(qū)別.解答此類問題時(shí)要認(rèn)真審題，通過對(duì)已知條件的分析、綜合，最后確定用哪一種判定方法是解決這類問題的關(guān)鍵.
4.矩形、菱形、正方形性質(zhì)的綜合運(yùn)用：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，所以矩形、菱形、正方形具有平行四邊形的所有性質(zhì).應(yīng)從邊、角、對(duì)角線3個(gè)方面區(qū)分它們的性質(zhì)：
(1)從邊的角度：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，而菱形和正方形還具有4條邊相等的性質(zhì).
(2)從角的角度：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對(duì)角相等且鄰角互補(bǔ)的性質(zhì)，而矩形和正方形還具有4個(gè)角都等于90°的性質(zhì).
(3)從對(duì)角線的角度：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，而矩形和正方形的對(duì)角線還具有相等的性質(zhì)；菱形和正方形的對(duì)角線還具有互相垂直的性質(zhì)。
■易錯(cuò)提示
矩形首先是平行四邊形，然后增加一個(gè)角是直角這一條件，即平行四邊形+一個(gè)角是直角=矩形。
矩形是特殊的平行四邊形，且是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸，兩組對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線就是它的對(duì)稱軸。
3.矩形的定義既可作為矩形的性質(zhì)運(yùn)用，又可作為矩形的判定運(yùn)用。
4.矩形是特殊的平行四邊形，因此它具有平行四邊形的所有性質(zhì)；
5.矩形是對(duì)稱軸圖形，它有兩條對(duì)稱軸，分別是對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線；
6.由于矩形的四個(gè)角都是直角，故常把關(guān)于矩形的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題來解決；
7.矩形的兩條對(duì)角線將矩形分成兩對(duì)全等的等腰三角形，因此在解決相關(guān)問題時(shí)，常常用到等腰三角形的性質(zhì)。
8.對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形，對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形
9.菱形的判定方法是說明一個(gè)四邊形是菱形的依據(jù)，應(yīng)注意分清四種判定方法的區(qū)別
10.正方形的兩條對(duì)角線把它分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；每一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，因此正方形的兩條對(duì)角線將正方形分成兩種大小不同的八個(gè)等腰直角三角形，解決有關(guān)正方形的問題時(shí)，通常歸結(jié)到這些等腰直角三角形中求解。
11.正方形的對(duì)角線也互相垂直，因此正方形的面積也可以用對(duì)角線長(zhǎng)乘積的一半來計(jì)算。
■考點(diǎn)一　矩形的判定及性質(zhì)
◇典例1： （2023上·福建漳州·九年級(jí)漳州三中校聯(lián)考期中）在中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，若要使平行四邊形為矩形，則的長(zhǎng)度為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】本題主要考查了矩形的判定．根據(jù)“對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形”，即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴當(dāng)，即時(shí)，為矩形，
此時(shí)的長(zhǎng)度為3．
故選：B．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·廣東深圳·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如下圖，四邊形中，和是對(duì)角線．依據(jù)圖中線段所標(biāo)的長(zhǎng)度，下列四邊形不一定為矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的判定方法，分析每一個(gè)選項(xiàng)，只有選項(xiàng)符合題意，由此得到答案．
【詳解】解：根據(jù)題意得：
選項(xiàng)中，
，，
四邊形是平行四邊形，
，，，
，
，
平行四邊形是矩形，
故本選項(xiàng)不符合題意；
選項(xiàng)中，
四邊形的對(duì)角線互相平分且相等，所以四邊形是矩形，
故本選項(xiàng)不符合題意；
選項(xiàng)中，
，
四邊形是矩形，
故本選項(xiàng)不符合題意；
選項(xiàng)中，
由已知條件可以得到，不能判定四邊形是矩形，
故本選項(xiàng)符合題意；
故選：．
2．（2023上·山東青島·九年級(jí)山東省青島第二十六中學(xué)校考期中）如圖，在矩形中，E、F分別是邊、上的點(diǎn)，，連接、與對(duì)角線交于點(diǎn)O，且，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】連接，先證，得到，得到 ，求得，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，得到，從而得到．
【詳解】連接，
∵四邊形是矩形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
設(shè)，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一，直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
■考點(diǎn)二　菱形的判定及性質(zhì)
◇典例2：（2023上·四川達(dá)州·九年級(jí)校考期中）如圖所示，若，則等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本題運(yùn)用了平行線和直角三角形的性質(zhì)，并且需通過輔助線求解，難度中等偏上．過點(diǎn)P作交于M，可得，再結(jié)合題目推出四邊形為菱形，即可得，又由可得，由直角三角形性質(zhì)即可．
【詳解】解：如圖：過點(diǎn)P作交于M，
∴
∴四邊形為菱形，
∴
則，
又∵
∴．
故選：C
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·重慶沙坪壩·九年級(jí)校考階段練習(xí)）下列命題中，錯(cuò)誤的是（ ）
A．對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是菱形
B．對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是菱形
C．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
D．四條邊相等的四邊形是菱形
【答案】A
【分析】本題考查了命題與定理，菱形的判定；根據(jù)菱形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．
【詳解】A. 對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形，故該選項(xiàng)不正確，符合題意；
B. 對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；
C. 有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；
D. 四條邊相等的四邊形是菱形，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；
故選：A．
2．（2023上·福建漳州·九年級(jí)漳州三中校聯(lián)考期中）閱讀以下作圖步驟：
（1）以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧分別交，于點(diǎn)N，M；
（2）分別以N，M為圓心，以長(zhǎng)為半徑在角的內(nèi)部畫弧交于點(diǎn)P；
（3）作射線，連接，，如圖所示．
根據(jù)以上作圖，不一定可以推得的結(jié)論是（ ）
A．平分 B．四邊形為菱形
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查的是角平分線的作圖，菱形的判定與性質(zhì)，掌握作角平分線的方法是解本題的關(guān)鍵；由作圖可得，，再逐一分析可得答案．
【詳解】解：由作圖可得：，，
∴平分，四邊形為菱形，
∴，
而不一定成立，
故A，B，D不符合題意；C符合題意；
故選C
■考點(diǎn)三　正方形的判定及性質(zhì)
◇典例3：（2023上·四川達(dá)州·九年級(jí)校考期中）下列性質(zhì)中正方形具有而矩形沒有的（ ）
A．對(duì)角線互相平分 B．對(duì)角線相等 C．對(duì)角線互相垂直 D．四個(gè)角都是直角
【答案】C
【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟知正方形和矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、矩形和正方形的對(duì)角線都互相平分，不符合題意；
B、矩形和正方形的對(duì)角線都相等，不符合題意；
C、正方形的對(duì)角線互相垂直，矩形的對(duì)角線不一定互相垂直，符合題意；
D、矩形和正方形的四個(gè)角都是直角，不符合題意；
故選C．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·重慶九龍坡·九年級(jí)重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語學(xué)校校考期中）如圖，在正方形中，O為對(duì)角線的中點(diǎn)，E為正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接，，，延長(zhǎng)，與的平分線交于點(diǎn)F，連接，若，則正方形的邊長(zhǎng)為（ ）

A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)；
連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出，證明，求出，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出，即可得到正方形的邊長(zhǎng)．
【詳解】解：如圖，連接，

四邊形是正方形，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
平分，
，
，
在與中，
，
，
，
O為對(duì)角線的中點(diǎn)，
，
，
∴，即正方形的邊長(zhǎng)為3，
故選：B．
2．（2023上·重慶南岸·九年級(jí)校考期中）下列命題中，假命題是（ ）
A．有一個(gè)角為的平行四邊形是矩形 B．正方形的對(duì)角線互相垂直平分
C．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 D．平行四邊形的對(duì)角線相等
【答案】D
【分析】本題考查的是矩形，菱形的判定，正方形，平行四邊形的性質(zhì)，真假命題的判定，熟記特殊四邊形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵，根據(jù)判定方法與性質(zhì)逐一分析判斷即可．
【詳解】解：有一個(gè)角為的平行四邊形是矩形，是真命題，故A不符合題意；
正方形的對(duì)角線互相垂直平分，真命題，故B不符合題意；
對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，真命題，故C不符合題意；
平行四邊形的對(duì)角線不一定相等，故D符合題意；
故選D
1．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，連接，分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)、，直線分別交于點(diǎn)、、下列說法不一定正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)作圖可得是的垂直平分線，設(shè)與的交點(diǎn)為O，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可判斷C；根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形外角的性質(zhì)即可判斷B；，證明，得到，即可判斷D；根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明，即可判斷A．
【詳解】解：如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為O，
根據(jù)作圖可得是的垂直平分線，
∴，
∴，，
∴，故C不符合題意；
∵，
∴，故B不符合題意；
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故D不符合題意；
根據(jù)現(xiàn)有條件無法證明，故A符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·吉林長(zhǎng)春·校考一模）如圖，在菱形中，是對(duì)角線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作，，若，，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得出，由可得出，由，，可得四邊形和四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，
∴，，，
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴四邊形和四邊形是平行四邊形，
∴，，，，
∴陰影部分的周長(zhǎng)為：
．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想．合理應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，按如下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑作圓弧，交邊AB于點(diǎn)E；②分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心、大于線段DE長(zhǎng)的一半為半徑作圓弧，兩弧交于點(diǎn)P；③作射線AP，交邊CD于點(diǎn)F；④連結(jié)EF，下列結(jié)論不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)作圖可判斷，是的角平分線，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可判斷四邊形是菱形，然后逐項(xiàng)分析判斷即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
根據(jù)作圖可判斷，是的角平分線，
，
同理可得，
，故A選項(xiàng)正確，
，
四邊形是菱形，
而與不一定相等，故B選項(xiàng)不正確，
∴，故C選項(xiàng)正確，
，故D選項(xiàng)正確．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，基本作圖作角平分線，平行四邊形的性質(zhì)，掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考一模）如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使頂點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)E處，折痕交AB于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G．若，，則AB的長(zhǎng)為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出AF和EF的長(zhǎng)，再根據(jù)翻折變換的知識(shí)得到EF=BF， 進(jìn)而求出AB的長(zhǎng).
【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A= 90°，AE= 1，∠AFE= 30°
∴EF= 2，AF=，
∵正方形紙片ABCD折疊，使頂點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)E處，
EF= BF，
BF= 2，
∴AB= AF+ BF=2+，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換以及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)翻折變換得到EF=BF，此題難度不大．
5．（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在對(duì)角線上，且，連接．若，則 ．
【答案】/2.5
【分析】由矩形的性質(zhì)可得點(diǎn)F是OA的中點(diǎn)，從而EF是△AOD的中位線，則由三角形中位線定理即可求得EF的長(zhǎng)．
【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，
∴BD=AC=10，OA=AC，OD=BD=5，
∵，
∴，即點(diǎn)F是OA的中點(diǎn)．
∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，
∴EF是△AOD的中位線，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理等知識(shí)，掌握中位線定理是本題的關(guān)鍵．
6．（2023·吉林長(zhǎng)春·校考二模）一個(gè)正方形和一個(gè)直角三角形的位置如圖擺放．若，則的大小為 度．
【答案】48
【分析】如圖，根據(jù)鄰補(bǔ)角可知，然后根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余及同角的余角相等可進(jìn)行求解．
【詳解】解：如圖所示：
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案為48．
【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·吉林長(zhǎng)春·校考一模）如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成正方形和正方形，即趙爽弦圖連結(jié)、，分別交、于點(diǎn)，已知，且，則圖中陰影部分的面積之和為 ．
【答案】//4.2
【分析】根據(jù)正方形的面積可得正方形邊長(zhǎng)的平方，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得的平方的值，再根據(jù)題意可得，然后可得陰影部分的面積之和為梯形的面積．
【詳解】解：，
，
設(shè)，
則，
，
，
根據(jù)題意可知：
，，
，
，
，
陰影部分的面積之和為：
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明、全等圖形、梯形的面積，首先要正確理解題意，然后會(huì)利用勾股定理和梯形的面積解題．
8．（2023·吉林·統(tǒng)考一模）如圖，，分別以A，B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)．連接，則四邊形的面積為 ．
【答案】24
【分析】根據(jù)畫法得出四邊形四邊的關(guān)系進(jìn)而得出四邊形是菱形，由菱形的性質(zhì)以及勾股定理求出對(duì)角線的長(zhǎng)，代入菱形面積公式即可求解．
【詳解】解：如圖：連接，
∵分別以A和B為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于M、N，
∴，
∴四邊形是菱形，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴，
∴四邊形的面積 ，
故答案為：24
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，得出四邊形四邊關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
9．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）將兩個(gè)完全相同的含有角的直角三角板在同一平面內(nèi)按如圖所示位置擺放．點(diǎn)A，E，B，D依次在同一直線上，連結(jié)、．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)已知，當(dāng)四邊形是菱形時(shí)．的長(zhǎng)為__________．
【答案】(1)見解析；
(2)
【分析】（1）由題意可知易得，即，依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證明；
（2）如圖，在中，由角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半和直角三角形銳角互余易得，；由菱形得對(duì)角線平分對(duì)角得，再由三角形外角和易證即可得，最后由求解即可．
【詳解】（1）證明：由題意可知，
，，
，
四邊形地平行四邊形；
（2）如圖，在中，，，，
，，
四邊形是菱形，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半和直角三角形銳角互余，三角形外角及等角對(duì)等邊；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)綜合求解．
10．（2021·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖①，在中，，，是斜邊上的中線，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．
（1）若．直接寫出的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）；
（2）若，垂足為，點(diǎn)與點(diǎn)在直線的異側(cè)，連接，如圖②，判斷四邊形的形狀，并說明理由；
（3）若，直接寫出的度數(shù)．
【答案】（1）；（2）菱形，見解析；（3）或
【分析】（1）根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得；
（2）由題意可得，，由“直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”，得，得，則四邊形是平行四邊形，再由折疊得，于是判斷四邊形是菱形；
（3）題中條件是“點(diǎn)是射線上一點(diǎn)”，因此又分兩種情況，即點(diǎn)與點(diǎn)在直線的異側(cè)或同側(cè)，正確地畫出圖形即可求出結(jié)果．
【詳解】解：（1）如圖①，在中，，
∵是斜邊上的中線，，
∴．
（2）四邊形是菱形．
理由如下：
如圖②∵于點(diǎn)，
∴，
∴；
由折疊得，，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
∵，
∴，
∴四邊形是菱形．
（3）如圖③，點(diǎn)與點(diǎn)在直線異側(cè)，
∵，
∴；
由折疊得，，
∴；
如圖④，點(diǎn)與點(diǎn)在直線同側(cè)，
∵，
∴，
∴，
由折疊得，，
∴，
∴．
綜上所述，或．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、平行四邊形及特殊平行四邊形的判定等知識(shí)與方法，在解第（3）題時(shí)，應(yīng)進(jìn)行分類討論，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地畫出圖形，以免丟解．
11．（2022·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）【探索發(fā)現(xiàn)】在一次折紙活動(dòng)中，小亮同學(xué)選用了常見的A4紙，如圖①，矩形為它的示意圖．他查找了A4紙的相關(guān)資料，根據(jù)資料顯示得出圖①中．他先將A4紙沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，折痕為；再沿過點(diǎn)F的直線折疊，使點(diǎn)C落在上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕為；然后連結(jié)，沿所在的直線再次折疊，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)D與點(diǎn)F重合，進(jìn)而猜想．
【問題解決】
(1)小亮對(duì)上面的猜想進(jìn)行了證明，下面是部分證明過程：
證明：四邊形是矩形，
∴．
由折疊可知，，．
∴．
∴．
請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過程．
【結(jié)論應(yīng)用】
(2)的度數(shù)為________度，的值為_________；
(3)在圖①的條件下，點(diǎn)P在線段上，且，點(diǎn)Q在線段上，連結(jié)、，如圖②，設(shè)，則的最小值為_________．（用含a的代數(shù)式表示）
【答案】(1)見解析
(2)22.5°，
(3)
【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AD=AF，，由HL可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得 證明是等腰直角三角形，可求出GF的長(zhǎng)，從而可得結(jié)論 ；
（3）根據(jù)題意可知點(diǎn)F與點(diǎn)D關(guān)于AG對(duì)稱，連接PD，則PD為PQ+FQ的最小值，過點(diǎn)P作PR⊥AD，求出PR=AR=，求出DR，根據(jù)勾腰定理可得結(jié)論．
【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，
∴．
由折疊可知，，．
∴．
∴．
由折疊得，，
∴
∴
又AD=AF，AG=AG
∴
（2）由折疊得，∠
又∠
∴∠
由得，∠
∠
又∠
∴∠
∴∠
∴
設(shè)則
∴
∴
∴
（3）如圖，連接
∵
∴AG是FD的垂直平分線，即點(diǎn)F與點(diǎn)D關(guān)于AG軸對(duì)稱，
連接PD交AG于點(diǎn)Q，則PQ+FQ的最小值為PD的長(zhǎng)；
過點(diǎn)P作交AD于點(diǎn)R，
∵∠
∴∠
∴
又
∴
∴
在中，
∴
∴的最小值為
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，最短路徑問題，矩形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．
1．（2022下·河南信陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，把矩形沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊的處，若，，，，則矩形的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到為等邊三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求出，利用勾股定理求出，由此求出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意得：
把矩形沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊的處，
，，，，
，
，
在矩形中，，
，
在中，
，
為等邊三角形，
，
在中，
，
，
，
，
矩形的面積為：．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
2．（2023下·浙江麗水·八年級(jí)期末）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)，將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連結(jié)，則的長(zhǎng)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由折疊的性質(zhì)和中點(diǎn)性質(zhì)可得，所以，由勾股定理可求的長(zhǎng)，由面積法可求，的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可求解．
【詳解】解：如圖，連接于交于點(diǎn)，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
將沿折疊，
，
，
，
是直角三角形，
，，，
，
將沿折疊，
，，
，
，
，
，
．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的判定和性質(zhì)，求的長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵．
3．（2023上·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，，過點(diǎn)O作，交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作，垂足為F，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理．矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，，過點(diǎn)O作，交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作，垂足為F，則可求得的值．
【詳解】解：∵，
∴矩形的面積為48，，
∴，
∵對(duì)角線交于點(diǎn)O，
∴的面積為12，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
4．（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級(jí)呼和浩特市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）如圖所示，折疊矩形，使點(diǎn)A落在邊的點(diǎn)E處，為折痕，已知，則的長(zhǎng)（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】題目主要考查矩形及折疊的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，理解題意，結(jié)合圖形，熟練運(yùn)用勾股定理是解題關(guān)鍵．
根據(jù)矩形及折疊的性質(zhì)可得，，在中，利用勾股定理得出，求解即可得．
【詳解】解：∵四邊形為矩形，且經(jīng)過折疊，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴，
故選：A．
5．（2023下·西藏日喀則·八年級(jí)校考期末）矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是(　　)
A．對(duì)角線互相垂直 B．對(duì)角線互相平分
C．對(duì)角線相等 D．對(duì)角線平分一組對(duì)角
【答案】C
【分析】本題考查的是矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟記矩形與菱形的對(duì)角線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．矩形的對(duì)角線相等且互相平分，菱形的對(duì)角線互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，根據(jù)以上性質(zhì)逐一分析即可．
【詳解】解：矩形的對(duì)角線相等且互相平分，菱形的對(duì)角線互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角，
∴對(duì)角線互相垂直菱形具備，矩形不一定具有；故A不符合題意；
對(duì)角線互相平分矩形與菱形都有，故B不符合題意；
對(duì)角線相等矩形具有，而菱形不一定具有，故C符合題意；
對(duì)角線平分一組對(duì)角菱形具有，而矩形不一定有，故D不符合題意；
故選：C．
6．（2023上·江蘇南通·八年級(jí)校考階段練習(xí)）菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（ ）
A．兩組對(duì)邊分別平行 B．對(duì)角線相等
C．對(duì)角線互相垂直 D．兩組對(duì)角分別相等
【答案】C
【分析】本題考查了菱形和矩形的相關(guān)性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）菱形四邊相等；
（2）菱形對(duì)角線相互垂直平分且平分一組對(duì)角；（3）菱形的對(duì)邊平行、對(duì)角相等鄰角互補(bǔ)；（4）菱形的面積等于兩對(duì)角線乘積的一半．根據(jù)矩形及菱形的性質(zhì)，逐一分析即可進(jìn)
行解答．
【詳解】解：A、菱形和矩形兩組對(duì)邊都分別平行，故A選項(xiàng)不符合題意；
B、菱形對(duì)角線不相等，故B選項(xiàng)不符合題意；
C、菱形對(duì)角線互相垂直，矩形對(duì)角線互相不垂直，故C選項(xiàng)符合題意；
D、菱形和矩形兩組對(duì)角都分別相等，故D選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
7．（2023上·四川達(dá)州·九年級(jí)校考期末）如圖，已知某菱形花壇的周長(zhǎng)是24m，，則花壇對(duì)角線的長(zhǎng)是（ ）
A．3m B．6m C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意可求出，根據(jù)，可求出，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)即可求解，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，菱形的周長(zhǎng)為，
∴，，
∵，
∴，
設(shè)交于點(diǎn)，
∴在中，，，
∴，
∴，
故選：．
8．（2023下·廣東廣州·八年級(jí)校考期中）如圖，菱形的周長(zhǎng)為32，，，，垂足分別為E、F，連接，則的面積是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用菱形的性質(zhì)得到，，，則可判斷和都為等邊三角形，則根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，，，，所以，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可得，，于是可判斷為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的面積公式求解．
【詳解】解：菱形的周長(zhǎng)為32，
，
，
，，
和都為等邊三角形，
，，
，，，，
，，，
∴為等邊三角形，
的面積．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積解決此題的關(guān)鍵是判斷、和為等邊三角形．
9．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A（1，1），B（3，1），規(guī)定把正方形ABCD“先沿x軸翻折，再向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度”為一次變換，這樣連續(xù)經(jīng)過2023次變換后，正方形ABCD的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A．（-2018，3） B．（-2018，3）
C．（-2020，3） D．（-2020，-3）
【答案】D
【解析】略
10．（2023上·河南鄭州·九年級(jí)校考期中）下列判斷正確的是（ ）
A．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 B．對(duì)角線相等的菱形是正方形
C．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 D．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
【答案】B
【分析】本題考查特殊平行四邊形的判定，熟記判定定理是關(guān)鍵．根據(jù)菱形，矩形，正方形的判定逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故A錯(cuò)誤；
對(duì)角線相等的菱形是正方形，故B正確；
對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故C錯(cuò)誤；
對(duì)角線互相平分垂直且相等的四邊形是正方形，故D錯(cuò)誤．
故選B．
11．（2023上·福建龍巖·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知正方形、正方形的邊長(zhǎng)分別為4和1，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則線段的最大值為（ ）．
A． B． C． D．+
【答案】D
【分析】本題主要考查了、三角形中位線定理、正方形的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、勾股定理，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，，，由三角形中位線定理可得，由正方形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可得，，由三角形三邊關(guān)系可得，從而可得的最大值為，即可得解，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，，，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，，
是的中位線，
，
正方形、正方形的邊長(zhǎng)分別為4和1，
，，
，
的最大值為，
的最大值為，
故選：D．
12．（2023上·陜西渭南·九年級(jí)校考期末）如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，添加下列條件，能使菱形成為正方形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了正方形的判定方法，①對(duì)角線相等的菱形是正方形，②有一個(gè)角是直角的菱形是正方形，③對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形，④一組鄰邊相等的矩形是正方形．據(jù)此解答即可．
【詳解】解：要使菱形成為正方形，只要菱形滿足以下條件之一即可，（1）有一個(gè)內(nèi)角是直角，（2）對(duì)角線相等．即滿足條件．
故選：C．
13．（2023上·重慶江北·九年級(jí)重慶十八中校考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，將向內(nèi)翻折，點(diǎn)A落在上，記為，折痕為．若將沿向內(nèi)翻折，點(diǎn)B恰好落在上，記為，則點(diǎn)到的距離為 .
【答案】
【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，以及翻折的性質(zhì)，求出是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作于F，依據(jù)折疊可得對(duì)應(yīng)角相等，從而有，利于直角三角形的性質(zhì)可得，再利用三角函數(shù)求出的長(zhǎng)．
【詳解】解：過點(diǎn)作于F，
由第一次翻折知：，
由第二次翻折知：，
∴
∴，，
∴，
∴，
故答案為：
14．（2024上·黑龍江佳木斯·九年級(jí)校考期末）已知矩形中，．點(diǎn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，當(dāng)點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)時(shí)，長(zhǎng)為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查勾股定理，矩形的性質(zhì)，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．由矩形的性質(zhì)先求解，可分兩種情況：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由折疊的性質(zhì)及勾股定理可求解的長(zhǎng)，再利用勾股定理可求解的長(zhǎng)．
【詳解】解：矩形中，，

∵點(diǎn)F為線段的三等分點(diǎn)，
∴或2，
當(dāng)時(shí)，，
由折疊可知：，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
解得
當(dāng)時(shí)，，
由折疊可知：，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
解得
綜上：長(zhǎng)為．
故答案為：．
15．（2022下·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)校考階段練習(xí)）菱形的周長(zhǎng)為，一條對(duì)角線長(zhǎng)是，則菱形較小的內(nèi)角為 度．
【答案】
【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)及等邊三角形的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用，先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出菱形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)對(duì)角線長(zhǎng)為，可判斷出菱形一個(gè)角的度數(shù)，繼而可求得該菱形較大的內(nèi)角度數(shù)．
【詳解】菱形的周長(zhǎng)為，
菱形的邊長(zhǎng)為：，
一條對(duì)角線的長(zhǎng)是，
這條對(duì)角線跟相鄰的兩邊組成的三角形為等邊三角形，
則菱形的較小的內(nèi)角為，
故答案為：．
16．（2022上·安徽宿州·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，菱形的對(duì)角線，，交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則菱形的周長(zhǎng)為 ．
【答案】16
【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、三角形的中位線定理．根據(jù)菱形的性質(zhì)可得為的中點(diǎn)，由為的中點(diǎn)可得為的中位線，從而可得，即可得到菱形的周長(zhǎng)．
【詳解】解：菱形的對(duì)角線交于點(diǎn)，
為的中點(diǎn)，
為的中點(diǎn)，
為的中位線，
，
，
，
菱形的周長(zhǎng)為，
故答案為：16．
17．（2022上·上海黃浦·八年級(jí)上海市黃浦大同初級(jí)中學(xué)校考期末）如圖，矩形（長(zhǎng)方形）中，對(duì)角線的垂直平分線分別交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)．
(1)求證：；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)4
【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，線段的中垂線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．
（1）證明，即可；
（2）連接，中垂線的性質(zhì)，得到，勾股定理求的長(zhǎng)即可．
掌握相關(guān)性質(zhì)，證明，是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：∵矩形，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴；
（2）連接，則：，
∵矩形，
∴，
∵，
∴．
18．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春外國(guó)語學(xué)校校考期末）如圖，平行四邊形的對(duì)角線、交于點(diǎn)，點(diǎn)、在上，．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)已知，，，若，求四邊形的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，熟記平行四邊形與菱形的判定方法是解本題的關(guān)鍵；
（1）利用平行四邊形的性質(zhì)證明，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）先證明四邊形是菱形，再利用菱形的性質(zhì)求解面積即可；
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形．
（2）∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四邊形是菱形，
∴，即，
∴平行四邊形是菱形，
∴菱形的面積為．
19．（2023上·山東·九年級(jí)期末）如圖，在中，，，．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿邊向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)作交折線于點(diǎn)，以為邊在右側(cè)作正方形．設(shè)正方形與重疊部分圖形的面積為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
(1)當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，正方形的邊長(zhǎng)為______（用含的代數(shù)式表示）．
(2)當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求的值．
(3)當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，求S與之間的函數(shù)關(guān)系式．
【答案】(1)
(2)
(3)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
【分析】本題是四邊形的綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、重疊部分的面積等知識(shí)．
（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得：，可得；
（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可得：，即，可求t的值；
（3）分兩種情況討論，根據(jù)重疊部分的圖形的形狀，可求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
【詳解】（1）解：∵，，
∴，且，
∴，
∴，
（2）解：如圖，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：當(dāng)時(shí)，正方形與重疊部分圖形的面積為正方形的面積，
即，
當(dāng)時(shí)，如圖，正方形與重疊部分圖形的面積為五邊形的面積，
∵，
∴，
同理可得：，
∴，
而，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
綜上所述，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為．
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