資源簡介

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第四章 三角形及四邊形
第三節 全等三角形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 全等三角形的判定與性質 ☆☆ 吉林中考中，有全等三角形部分，每年考查1~2道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對于這部分的復習，需要熟練掌握全等三角形的判定和性質、實際應用以及角的平分線的性質等考點。
考點2 全等三角形的實際應用 ☆☆☆
考點3 角的平分線的性質 ☆☆
■考點一　全等三角形的判定與性質
1.全等三角形的概念：能完全重合的三角形叫做全等三角形。完全重合即形狀相同，大小相等。
2.全等三角形的性質：（下表圖中AM,AM’為中線，AD,AD’為角平分線，AH,AH’為高）
文字語言 圖形語言 符號語言
全等三角形的對應邊相等，對應角相等； ∵ΔABC≌ΔA’B’C’ ∴AB=A’B’,BC=B’C’,CA=C’A’ ∠BAC=∠B’A’C’,∠B=∠B’,∠C=∠C’
全等三角形的周長相等， 面積相等； ∵ΔABC≌ΔA’B’C’ ∴CΔABC=CΔA’B’C’ SΔABC=SΔA’B’C’
全等三角形對應的中線、高線、角平分線都相等． ∵ΔABC≌ΔA’B’C’ ∴AM=AM’,AD=AD’,AH=AH’
3.全等三角形的判定方法
文字語言 圖形語言 符號語言 簡記
有三邊對應相等的兩個三角形全等 ∵AB=A’B’,BC=B’C’,CA=C’A ∴ΔABC≌ΔA’B’C’ SSS
有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等 ∵AB=A’B’,∠B=∠B’,BC=B’C’ ∴ΔABC≌ΔA’B’C’ SAS
有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等． ∵∠A=∠A’,AB=A’B’,∠B=∠B’ ∴ΔABC≌ΔA’B’C’ ASA
有兩角和它們所對的任意一邊對應相等的兩個三角形全等 ∵∠B=∠B’,∠C=∠C’,AB=A’B’ ∴ΔABC≌ΔA’B’C’ AAS
有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等 在RtΔABC和RtΔA’B’C’中 ∵AC=A’C’,AB=A’B’ ∴ΔABC≌ΔA’B’C’ HL
■考點二　全等三角形的實際應用
1.幾何變換中的全等模型
（1）平移全等模型，如下圖：
（2）翻折全等模型，如下圖：
（3）旋轉全等模型，如下圖：
2.一線三等角全等模型
3.三垂直全等模型，如圖：
4.手拉手全等模型
（1）等腰三角形中的手拉手全等模型
如圖1，△ABC與△ADE均為等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，連接BD、CE，則△ABD≌△ACE.
圖1 圖2 圖3
（2）等邊三角形中的手拉手全等模型
如圖2，△ABC與△CDE均為等邊三角形，點B、C、E三點共線，連接AE、BD，則△BCD≌△ACE.
（3）一般三角形中的手拉手全等模型
如圖3，在任意△ABC中，以AB為邊作等邊△ADB，以AC為邊作等邊△ACE，連接DC、BE，則△ADC≌△ACE.
■考點三　角的平分線的性質
1.角的平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.如圖，因為點P在△AOB的平分線上，PC上OA于點C，PD⊥OB于點D，所以PC=PD。
2.角的平分線的判定
角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.如上圖，因為PC⊥0A，PD⊥OB，PC=PD，所以點P在∠AOB的平分線上。
■易錯提示
1.全等三角形是平面幾何的基本工具，是后續學習的基礎，也是中考必考考點之一。掌握必要的常見全等模型是非常必要的，可以幫我們快速解決平面幾何相關證明和計算問題。
2.全等三角形的基本知識雖然很重要，但是更重要的是要掌握常見的幾何模型，比較重要的有平移全等型、翻折全等型、旋轉全等型，這三個是基礎型，其它的幾個：一線三直角模型、一線三等角模型，其中一線三直角模型是一線三等角模型的特殊情況。幾何模型切記不要死記硬背！理解這幾種模型之間的關系，是靈活使用模型幫助我們解決問題的關鍵！
3.合理選擇全等三角形的判定方法
（1）已知兩邊：①找夾角→SAS；②找第三邊→SSS；③找直角→HL。
（2）已知兩角：①找夾邊→ASA；②找其中一個已知角的對邊→AAS。
邊為角的對邊→找任一角→AAS
（3）已知一邊一角
①邊為角的對邊：找任意一角→AAS；
②邊為角的鄰邊：找夾角的另一邊→SAS；找夾邊的另一角→ASA；找邊的對角→AAS。
■考點一　全等三角形的判定與性質
◇典例1：（2023上·山東德州·八年級校考階段練習）已知，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的性質：對應角相等及三角形內角和定理應用，根據全等三角形的對應角相等求出，進而計算即可解決．
故選：C．
◆變式訓練
1．（2023上·河南信陽·八年級校考階段練習）如圖，圖中的兩個三角形全等，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形的性質，解題的關鍵是掌握全等三角形的對應角相等．
【詳解】解：由全等三角形的性質可知，兩幅圖中邊長為c、b的夾角對應相等，
∴，
故選：B．
2．（2023下·陜西寶雞·七年級統考期末）如圖，已知，，下列條件中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵；由選項可根據全等三角形的判定定理進行排除．
【詳解】解：∵，，
∴當添加時，可根據“”判定；
當添加時，可根據“”判定；
當添加時，不能判定，因為“”不是全等三角形的判定定理；
當添加時，則有，可根據“”判定；
故選C．
■考點二　全等三角形的實際應用
◇典例2：（2022下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十七中學校考階段練習）如圖所示，，，，垂足分別為D、E，則圖中的全等三角形共有（ ）對
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質；
根據，結合已知證明，可得，然后證明，可得，設交于O，可證明，問題得解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
如圖，設交于O，
∵，，，
∴，
∴圖中的全等三角形共有3對，
故選：C．
◆變式訓練
1.（2023上·內蒙古呼和浩特·八年級校考期中）如圖，在中，，的外角平分線CD與內角平分線BE的延長線交于點D，過點D作交BC的延長線于點F，連接AD，點E為BD中點，下列結論：①；②；③；④其中正確的個數有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【分析】在直角三角形中，由內角平分線和外角平分線可得，由此可證；根據三角形的三邊關系可知錯誤；如圖所示（見詳解），過點作于，可證，，由此可知，．
【詳解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
又∵是的外角，
∴，
∴，
∴，故①正確；
∵點為中點，
∴，
在中，，三角形中，兩邊之和大于第三邊，
∴，故②錯誤；
如圖所示，過點作于，
∵，
∴，
點是中點，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，為公共邊，
∴，
∴，
∴，即，故③正確；
如圖所示，過點作于，
由結論④可知，，，
∴，，，
在中，點是中點，
∴，
∴，故④正確．
綜上所述，正確的有①③④，共3個
故選：B．
【點睛】本題主要考查直角三角形的性質，內外角關系，三角形全等的判斷，中線分兩個三角形面積相等知識的綜合應用，分析圖形，根據條件找出三角形內角、外角的關系，直角三角形的全等，中線的性質是解題的關鍵．
2．（2022上·天津和平·八年級校考期中）如圖，平分，于E，于D，與的交點為C，則圖中全等三角形共有（　　）
A．2對 B．3對 C．4對 D．5對
【答案】C
【分析】根據全等三角形的判定方法和性質依次證明、、、即可，此題主要考查全等三角形的判定和性質，熟練掌握，即可解題.
【詳解】∵平分，
∴，
又∵于E，于D，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
綜上可知，圖中全等三角形共有4對，
故選：C.
■考點三　角的平分線的性質
◇典例3：（2023上·河南信陽·八年級校考階段練習）如圖所示，點是內一點，平分于點，連接，若，，點到直線的距離是5，則可求得的度數是，其依據可從下列條件中選擇：①角的平分線的定義；②角的平分線的性質；③角的平分線的判定；④點到直線的距離的定義；⑤兩點之間，線段最短．則下列選擇正確的是（ ）

A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①②③④⑤
【答案】C
【分析】過點O作于點E，于點F，根據點到直線的距離得出，根據角平分線的性質得出，根據角平分線的判定得出平分，根據角平分線的定義得出．
【詳解】解：過點O作于點E，于點F，如圖所示：

∵點到直線的距離是5，
∴，（點到直線的距離定義），
∵平分，，
∴，（角平分線的性質），
∴，
∵，，
∴平分（角平分線的判定），
∵，
∴．（角平分線的定義）；
綜上分析可知，求得的度數是的依據有①②③④，故C正確．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了角平分線的判定定理和性質定理，角平分線的定義，點到直線的距離，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握角平分線的判定和性質．
◆變式訓練
1．（2022下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十七中學校考階段練習）下面說法正確的有（ ）個．
①二元一次方程有無數組解；②不等式兩邊除以同一個正數，不等號的方向不變；③三角形的外角大于任何一個內角；④兩邊和一個角分別相等的兩個三角形一定全等；⑤到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本題考查了二元一次方程，不等式的除法運算，全等三角形的判定，三角形的外角的性質等知識以及角平分線性質，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．
【詳解】①二元一次方程有無數組解，正確．
②不等式兩邊除以同一個正數，不等號的方向不變，正確．
③三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，故③錯誤．
④兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形一定全等，故④錯誤．
⑤到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．錯誤，這個點必須在這個角的內部，故⑤錯誤．
故選B．
2．（2023上·陜西安康·八年級校聯考階段練習）如圖，在四邊形中，，平分，，，，則四邊形的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了角平分線的性質定理，三角形的面積的計算，過作交的延長線于，根據角平分線的性質定理得到，根據三角形的面積公式即可得到結論，熟練掌握角平分線的性質定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．
【詳解】如圖，過作交的延長線于，
∵平分，，，
∴，
∴四邊形的面積，
故選：．
1．（2023·吉林長春·統考中考真題）如圖，工人師傅設計了一種測零件內徑的卡鉗，卡鉗交叉點O為、的中點，只要量出的長度，就可以知道該零件內徑的長度．依據的數學基本事實是（ ）
A．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等 B．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等
C．兩條直線被一組平行線所截，所的對應線段成比例 D．兩點之間線段最短
【答案】A
【分析】根據題意易證，根據證明方法即可求解．
【詳解】解：O為、的中點，
，，
（對頂角相等），
在與中，
，
，
，
故選：A．
【點睛】本題考查了全等三角形的證明，正確使用全等三角形的證明方法是解題的關鍵．
2．（2021·吉林長春·統考一模）如圖，C是直線外一點，按下列步驟完成作圖：（ ）
（1）以點C為圓心，作能與直線相交于D、E點的圓弧．
（2）分別以點D和點E為圓心，長為半徑作圓弧，兩弧交于點F，連結、．
（3）作直線交于點G．
根據以上作圖過程及所作圖形，有如下結論：①；②；③；④．其中正確的結論是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．③④ D．①④
【答案】B
【分析】連接CD和CE，證明出，為等邊三角形，依次進行判定即可．
【詳解】連接CD和CE，
如圖所示：
∵，
，
，
∴，
∴，
故③正確，
由題可知，，
故為等邊三角形，，
故②錯誤，④正確，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故①正確，
故選：B
【點睛】本題主要考查了全等三角形及三角形的性質，正確讀懂題意是解題的關鍵．
3．（2023·吉林長春·統考一模）如圖，利用內錯角相等，兩直線平行，我們可以用尺規作圖的方法，過的邊上一點作的平行線．有以下順序錯誤的作圖步驟：①作射線；②以O為圓心，以任意長為半徑畫圓弧，分別交、于點C、D；③以F為圓心，長為半徑畫圓弧，交前面的圓弧于點G；④在邊上取一點E，以E為圓心，長為半徑畫圓弧，交于點F．這些作圖步驟的正確順序為（ ）
A．①②③④ B．③②④① C．②④③① D．④③①②
【答案】C
【分析】利用作一個角等于已知角的方法即可整理出作圖步驟的順序．
【詳解】用尺規作圖作一個角等于已知角的方法如下：
以O為圓心，以任意長為半徑畫圓弧，分別交、于點C、D；在邊上取一點E，以E為圓心，長為半徑畫圓弧，交于點F，以F為圓心，長為半徑畫圓弧，交前面的圓弧于點G；作射線；則正確的作圖步驟是②④③①．
故選：C．
【點睛】本題考查了平行線的相關作圖，熟練掌握作一個角等于已知角的方法是解此題的關鍵．
4．（2023·吉林長春·統考三模）如圖，在中，，按下列方式作圖：①以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點；②分別以點為圓心，大于的長度為半徑畫弧，兩弧交于點；③作射線交于點，若．則的面積為（ ）

A．7 B．8 C．14 D．16
【答案】A
【分析】過點E作于H，由圖可知是的平分線，利用角平分線的性質得，再由三角形面積公式求解即可．
【詳解】解：過點E作于H，如圖，

由題中作圖可知：是的平分線，
又∵，
∴，
∵
∴
∴
故選：A．
【點睛】本題考查尺規作角平分線，角平分線的性質，三角形面積公式．熟練掌握尺規作角平分線和角平分線的性質是解題的關鍵．
5．（2023·吉林長春·統考一模）某旅游景區內有一塊三角形綠地，現要在道路邊上建一個休息點M，使它到和兩邊的距離相等，下列作法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據題意可得點M在的角平分線上，即可求解．
【詳解】解：∵休息點M，到和兩邊的距離相等，
∴點M在的角平分線上，
只有B選項符合．
故選：B
【點睛】本題主要考查了角平分線的判定，尺規作圖——作已知角的平分線，根據題意得到點M在的角平分線上是解題的關鍵．
6．（2022·吉林長春·統考模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點B為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交AB、BC于點M、N，再分別以點M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線BP交邊AC于點D．若，AB＝12，則△ABD的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】過點D作DE⊥AB于點E，根據作圖得出BD平分∠ABC，由角平分線的性質得出DE=DC，即可求出△ABD的面積．
【詳解】解：過點D作DE⊥AB于點E，如圖所示：
根據作圖可知，BD平分∠ABC，
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥AB，
∴DE=DC，
，
∴，
∴，
故B正確．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，解題的關鍵是作出輔助線，求出DE的長度．
7．（2023.吉林中考真題）如圖,在△ABC中, AB=AC ,分別以點和點C為圓心,大于BC的長為半徑作弧,兩孤交于點D ,作直線AD交BC于點E.若∠BAC=110° , 則∠BAE的大小為 度.
[知識點]角平分線的有關計算,作角平分線
[答案] 55
[分析]首先根據題意得到AD是∠BAC的角平分線，進而得到∠BAE=∠CAE=55°.
[詳解] :由作圖可得，AD是∠BAC的角平分線
∠BAE=∠CAE=55°
故答案為: 55.
[點睛]此題考查了作角平分線，角平分線的定義，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點.
8.（2023·吉林·統考中考真題）如圖，點C在線段上，在和中，．
求證：．

【答案】證明見解析
【分析】直接利用證明，再根據全等三角形的性質即可證明．
【詳解】解：在和中，
∴
∴．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．
9．（2022·吉林·統考中考真題）如圖，，．求證：．
【答案】證明見解析
【分析】先利用三角形全等的判定定理（定理）證出，再根據全等三角形的性質即可得．
【詳解】證明：在和中，
，
，
．
【點睛】本題考查了三角形全等的判定與性質，熟練掌握三角形全等的判定與性質是解題關鍵．
10．（2022·吉林·三模）如圖，點A、D、C、F在同一條直線上，，求證：．
【答案】見解析
【分析】首先得出，再利用證明，即可得出答案．
【詳解】證明：∵
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，正確利用全等三角形的判定定理進行解答是解題的關鍵．
11．（2023·吉林松原·校聯考三模）已知，如圖，點、、、在同一直線上，、相交于點，，垂足為，，垂足為，且，．
求證：．

【答案】見解析
【分析】根據，，得到，根據，得到，結合，則可根據判定．
【詳解】證明：，，
，
，，
，
在和中，
，
．
【點睛】本題考查三角形全等的判定，熟記三角形全等的判定定理是解題的關鍵．
1．（2023上·廣東東莞·八年級統考期中）已知圖中的兩個三角形全等，則等于( )

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了全等三角形的性質，三角形內角和定理；根據全等三角形的性質得出，，，進而根據三角形內角和定理即可求解．
【詳解】解：如圖所示，

和全等，，，
，，，
，
故選：B．
2．（2023上·吉林·八年級統考期中）如圖，點D，E分別在，上，，，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形內角和定理和全等三角形的性質。
先根據三角形內角和定理求出的度數，再根據“全等三角形對應角相等”即可得的度數。
熟練掌握三角形內角和定理和全等三角形的性質是解題的關鍵。
【詳解】中，，
故選：C
3．（2023上·吉林長春·八年級校考期中）如圖，，若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查的是全等三角形的性質，掌握全等三角形的對應角相等是解題的關鍵．根據角的和差得到，再根據全等三角形的性質得到，再根據角的和差即可求出的度數．
【詳解】解：，，
，
，
，
．
故選：A．
4．（2023上·吉林長春·八年級校考階段練習）如圖，已知的面積為13，平分，且于點，則的面積是（ ）
A． B． C．6 D．7
【答案】B
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，三角形中線的性質，延長交于D，利用證明得到，再根據三角形中線平分三角形面積即可得到答案．
【詳解】解：如圖所示，延長交于D，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選B．
5．（2023上·吉林長春·八年級校聯考期末）如圖，在和中，已知，還需添加兩個條件才能使，不能添加的一組條件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的判定．熟練掌握全等三角形的判定條件是解題的關鍵．
根據全等三角形的判定定理進行判斷作答即可．
【詳解】解：，，則，故A不符合要求；
，，則，故B不符合要求；
，，無法使，故C符合要求；
，，則，故D不符合要求
故選：C．
6．（2023上·吉林白城·八年級校聯考階段練習）如圖，已知，添加一個條件，可使用“”判定與D全等．以下給出的條件正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了直角三角形的全等的判定，熟練掌握是解題的關鍵．根據直角三角形全等的判定方法即可確定答案．
【詳解】解∶ 在與中，已知，使用“”判定與D全等，則需要補充或．
故選：C．
7．（2023上·吉林·八年級統考期中） 如圖，點，，，在同一條直線上，已知：，，下列條件中不能判定的是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質，利用全等三角形的判定方法一一判斷即可．
【詳解】解：A、符合全等三角形的判定定理，能推出，故本選項不符合題意；
B、因為，所以，符合全等三角形的判定定理，能推出，故本選項不符合題意；
C、不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本選項符合題意；
D、因為，所以，所以符合全等三角形的判定定理，能推出，故本選項不符合題意．
故選：C．
8．（2023上·吉林長春·八年級統考期末）如圖的尺規作圖是作（　　）
A．線段的垂直平分線 B．一個角等于已知角
C．一條直線的平行線 D．一個角的平分線
【答案】D
【分析】本題考查了尺規作圖—作角平分線，根據作法解答即可．
【詳解】解：由圖形知，該尺規作圖的步驟依次是：以點O為圓心，任意長為半徑，交于點C，交于點D，
再分別以點C、D為圓心的長度為半徑畫弧，
則即為的平分線，
故選：D．
9．（2022上·遼寧大連·八年級統考期末）工人師傅常用角尺平分一個任意角，做法是：如圖在的邊、上分別取，移動角尺，得到的平分線，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【答案】A
【分析】本題考查全等三角形在實際生活中的應用，已知兩三角形三邊分別相等，可考慮證明三角形全等，從而證明角相等．對于難以確定角平分線的情況，利用全等三角形中對應角相等，從而確定角平分線．解題的關鍵是掌握全等三角形的判定定理：，，，，．
【詳解】解：由題意得，，
在和中，
，
∴
∴
∴為的平分線．
故選：A．
10．（2023上·吉林·八年級校考期中）如圖，在中，是的平分線，若，則的面積是（ ）

A．15 B．24 C．12 D．10
【答案】A
【分析】本題主要考查了角平分線的性質，過點作于，根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等求出，根據三角形的面積公式計算，得到答案即可．
【詳解】解：如圖所示，過點作于，
是的角平分線，，，
，
．
故選：A．

11．（2023·湖南懷化·統考模擬預測）如圖，在中，．用直尺和圓規在邊上確定一點P，使點P到，的距離相等，則符合要求的作圖痕跡是（　　）
A．
B．
C． D．
【答案】B
【分析】點P到點、的距離相等知點P在的角平分線上，據此可得答案．
【詳解】解：∵點P到點、的距離相等，
∴點P在的角平分線上，
故選：B．
【點睛】本題主要考查尺規作圖—作角平分線及角平分線的性質，解題的關鍵是掌握角平分線的性質與尺規作圖．
12．（2023下·湖南株洲·八年級統考期末）的位置如圖所示，到兩邊距離相等的點應是（ ）

A．M點 B．N點 C．P點 D．Q點
【答案】A
【分析】根據角平分線性質得出當點在的角平分線上時符合，根據圖形得出即可．
【詳解】解：∵當點在的角平分線上時，到角的兩邊的距離相等，
∴根據網格特點可知M點符合．
故選：A．
【點睛】本題考查了角平分線性質的應用，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．
13．（2023上·江蘇泰州·八年級校考期末）已知≌，點與點，點與點分別是對應頂點，若，，，則 ， ．
【答案】 20
【分析】考查“全等三角形對應邊相等，對應角相等”，利用全等三角形對應邊相等，對應角相等的性質即可解題，正確找出對應邊，對應角是解決本題的關鍵．
【詳解】在中， ，，
∴，
∵，點A與點D，點B與點E分別是對應頂點，
∴的對應角是，
∴，
∵
∴的對應邊是為，
故答案為， 20．
14．（2024上·北京朝陽·八年級校考期中）如圖是兩個全等的三角形，圖中字母表示三角形的邊長，則的度數為 ．

【答案】/70度
【分析】本題考查全等三角形的性質，先根據三角形內角和定理求出，再根據全等三角形的性質得出答案．掌握全等三角形的對應角相等是解題的關鍵．
【詳解】解：如圖所示：
，
∵兩個三角形全等，
∴，
∴的度數為．
故答案為：．

15．（2023上·寧夏吳忠·八年級校考期末）如圖，A，B，C三點在同一條直線上，，請添加一個適當的條件， ，使得．
【答案】（或或）
【分析】本題考查添加條件使三角形全等，通過導角可知已有兩組對角相等，因此根據或添加條件即可．
【詳解】解：，
，，
，
在和中，，，滿足兩組對角相等，
若利用證明，需添加，
若利用證明，需添加或，
故答案為：（或或）．
16．（2023上·江蘇連云港·八年級期末）如圖，，垂足為點，點為上一點，，，，則圖中長度為的線段還有 .
【答案】
【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質．利用證明，即可推出．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴圖中長度為的線段還有，
故答案為：．
17．（2023上·青海果洛·八年級統考期末）如圖，在中，，以頂點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點，再分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交邊于點，若，，則的面積為 ．
【答案】60
【分析】本題主要考查作圖—基本作圖及角平分線的性質，作，由作圖知平分，，據此得，再根據三角形的面積公式求解即可．解題的關鍵是掌握角平分線的尺規作圖及角平分線上的點到角兩邊的距離相等的性質．
【詳解】解：如圖，過點作于點．
由作圖知平分，．
∴，
∵，
∴的面積．
故答案為：60．
18．（2023上·湖南長沙·八年級校考階段練習）如圖，，，，，．
(1)求的長．
(2)求的度數．
【答案】(1)
(2)
【分析】此題主要考查了全等三角形的性質，三角形的內角和定理，理解全等三角形的對應邊相等、對應角相等；三角形的內角和等于是解決問題的關鍵．
（1）由全等三角形的性質得，然后根據可得出答案；
（2）由全等三角形的性質得，，然后根據三角形的內角和定理可求出的度數．
【詳解】（1）解：，，
，
又，
；
（2），，，
，，
．
19．（2023上·吉林松原·八年級校聯考期末）如圖，四邊形中，，，于點E，．求證：平分．
【答案】見解析
【分析】本題主要考查全等三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵；由題意易得，然后問題得以證明．
【詳解】證明：∵，
∴，
在與中，
，
∴，
∴，
∴平分．
20．（2024上·甘肅定西·八年級統考期末）如圖，在四邊形中，平分，，點E，F分別在，上，．求證：．
【答案】詳見解析
【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，連接，根據角平分線的性質得到，再證明得到，再根據線段之間的關系即可證明結論．
【詳解】證明：∵平分，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
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第四章 三角形及四邊形
第三節 全等三角形
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 全等三角形的判定與性質 ☆☆ 吉林中考中，有全等三角形部分，每年考查1~2道題,分值為3~6分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考察。對于這部分的復習，需要熟練掌握全等三角形的判定和性質、實際應用以及角的平分線的性質等考點。
考點2 全等三角形的實際應用 ☆☆☆
考點3 角的平分線的性質 ☆☆
■考點一　全等三角形的判定與性質
1.全等三角形的概念：能完全重合的三角形叫做 。完全重合即形狀 ，大小 。
2.全等三角形的性質：（下表圖中AM,AM’為中線，AD,AD’為角平分線，AH,AH’為高）
文字語言 圖形語言 符號語言
全等三角形的對應邊相等，對應角相等； ∵ΔABC≌ΔA’B’C’ ∴AB=A’B’,BC=B’C’,CA=C’A’ ∠BAC=∠B’A’C’,∠B=∠B’,∠C=∠C’
全等三角形的周長相等， 面積相等； ∵ΔABC≌ΔA’B’C’ ∴CΔABC=CΔA’B’C’ SΔABC=SΔA’B’C’
全等三角形對應的中線、高線、角平分線都相等． ∵ΔABC≌ΔA’B’C’ ∴AM=AM’,AD=AD’,AH=AH’
3.全等三角形的判定方法
文字語言 圖形語言 符號語言 簡記
的兩個三角形全等 ∵AB=A’B’,BC=B’C’,CA=C’A ∴ΔABC≌ΔA’B’C’ SSS
的兩個三角形全等 ∵AB=A’B’,∠B=∠B’,BC=B’C’ ∴ΔABC≌ΔA’B’C’ SAS
的兩個三角形全等． ∵∠A=∠A’,AB=A’B’,∠B=∠B’ ∴ΔABC≌ΔA’B’C’ ASA
等的兩個三角形全等 ∵∠B=∠B’,∠C=∠C’,AB=A’B’ ∴ΔABC≌ΔA’B’C’ AAS
的兩個直角三角形全等 在RtΔABC和RtΔA’B’C’中 ∵AC=A’C’,AB=A’B’ ∴ΔABC≌ΔA’B’C’ HL
■考點二　全等三角形的實際應用
1.幾何變換中的全等模型
（1）平移全等模型，如下圖：
（2）翻折全等模型，如下圖：
（3）旋轉全等模型，如下圖：
2.一線三等角全等模型
3.三垂直全等模型，如圖：
4.手拉手全等模型
（1）等腰三角形中的手拉手全等模型
如圖1，△ABC與△ADE均為等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，連接BD、CE，則△ABD≌△ACE.
圖1 圖2 圖3
（2）等邊三角形中的手拉手全等模型
如圖2，△ABC與△CDE均為等邊三角形，點B、C、E三點共線，連接AE、BD，則△BCD≌△ACE.
（3）一般三角形中的手拉手全等模型
如圖3，在任意△ABC中，以AB為邊作等邊△ADB，以AC為邊作等邊△ACE，連接DC、BE，則 .
■考點三　角的平分線的性質
1.角的平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的 .如圖，因為點P在△AOB的平分線上，PC上OA于點C，PD⊥OB于點D，所以 。
2.角的平分線的判定
角的內部到角的兩邊的距離相等的點在 .如上圖，因為PC⊥0A，PD⊥OB，PC=PD，所以點P在∠AOB的 。
■易錯提示
1.全等三角形是平面幾何的基本工具，是后續學習的基礎，也是中考必考考點之一。掌握必要的常見全等模型是非常必要的，可以幫我們快速解決平面幾何相關證明和計算問題。
2.全等三角形的基本知識雖然很重要，但是更重要的是要掌握常見的幾何模型，比較重要的有平移全等型、翻折全等型、旋轉全等型，這三個是基礎型，其它的幾個：一線三直角模型、一線三等角模型，其中一線三直角模型是一線三等角模型的特殊情況。幾何模型切記不要死記硬背！理解這幾種模型之間的關系，是靈活使用模型幫助我們解決問題的關鍵！
3.合理選擇全等三角形的判定方法
（1）已知兩邊：①找夾角→SAS；②找第三邊→SSS；③找直角→HL。
（2）已知兩角：①找夾邊→ASA；②找其中一個已知角的對邊→AAS。
邊為角的對邊→找任一角→AAS
（3）已知一邊一角
①邊為角的對邊：找任意一角→AAS；
②邊為角的鄰邊：找夾角的另一邊→SAS；找夾邊的另一角→ASA；找邊的對角→AAS。
■考點一　全等三角形的判定與性質
◇典例1：（2023上·山東德州·八年級校考階段練習）已知，，且，則（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023上·河南信陽·八年級校考階段練習）如圖，圖中的兩個三角形全等，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·陜西寶雞·七年級統考期末）如圖，已知，，下列條件中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
■考點二　全等三角形的實際應用
◇典例2：（2022下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十七中學校考階段練習）如圖所示，，，，垂足分別為D、E，則圖中的全等三角形共有（ ）對
A．1 B．2 C．3 D．4
◆變式訓練
1.（2023上·內蒙古呼和浩特·八年級校考期中）如圖，在中，，的外角平分線CD與內角平分線BE的延長線交于點D，過點D作交BC的延長線于點F，連接AD，點E為BD中點，下列結論：①；②；③；④其中正確的個數有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
2．（2022上·天津和平·八年級校考期中）如圖，平分，于E，于D，與的交點為C，則圖中全等三角形共有（　　）
A．2對 B．3對 C．4對 D．5對
■考點三　角的平分線的性質
◇典例3：（2023上·河南信陽·八年級校考階段練習）如圖所示，點是內一點，平分于點，連接，若，，點到直線的距離是5，則可求得的度數是，其依據可從下列條件中選擇：①角的平分線的定義；②角的平分線的性質；③角的平分線的判定；④點到直線的距離的定義；⑤兩點之間，線段最短．則下列選擇正確的是（ ）

A．①③④ B．②③④ C．①②③④ D．①②③④⑤
◆變式訓練
1．（2022下·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十七中學校考階段練習）下面說法正確的有（ ）個．
①二元一次方程有無數組解；②不等式兩邊除以同一個正數，不等號的方向不變；③三角形的外角大于任何一個內角；④兩邊和一個角分別相等的兩個三角形一定全等；⑤到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023上·陜西安康·八年級校聯考階段練習）如圖，在四邊形中，，平分，，，，則四邊形的面積是（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·吉林長春·統考中考真題）如圖，工人師傅設計了一種測零件內徑的卡鉗，卡鉗交叉點O為、的中點，只要量出的長度，就可以知道該零件內徑的長度．依據的數學基本事實是（ ）
A．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等 B．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等
C．兩條直線被一組平行線所截，所的對應線段成比例 D．兩點之間線段最短
2．（2021·吉林長春·統考一模）如圖，C是直線外一點，按下列步驟完成作圖：（ ）
（1）以點C為圓心，作能與直線相交于D、E點的圓弧．
（2）分別以點D和點E為圓心，長為半徑作圓弧，兩弧交于點F，連結、．
（3）作直線交于點G．
根據以上作圖過程及所作圖形，有如下結論：①；②；③；④．其中正確的結論是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．③④ D．①④
3．（2023·吉林長春·統考一模）如圖，利用內錯角相等，兩直線平行，我們可以用尺規作圖的方法，過的邊上一點作的平行線．有以下順序錯誤的作圖步驟：①作射線；②以O為圓心，以任意長為半徑畫圓弧，分別交、于點C、D；③以F為圓心，長為半徑畫圓弧，交前面的圓弧于點G；④在邊上取一點E，以E為圓心，長為半徑畫圓弧，交于點F．這些作圖步驟的正確順序為（ ）
A．①②③④ B．③②④① C．②④③① D．④③①②
4．（2023·吉林長春·統考三模）如圖，在中，，按下列方式作圖：①以點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點；②分別以點為圓心，大于的長度為半徑畫弧，兩弧交于點；③作射線交于點，若．則的面積為（ ）

A．7 B．8 C．14 D．16
5．（2023·吉林長春·統考一模）某旅游景區內有一塊三角形綠地，現要在道路邊上建一個休息點M，使它到和兩邊的距離相等，下列作法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·吉林長春·統考模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點B為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交AB、BC于點M、N，再分別以點M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線BP交邊AC于點D．若，AB＝12，則△ABD的面積為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023.吉林中考真題）如圖,在△ABC中, AB=AC ,分別以點和點C為圓心,大于BC的長為半徑作弧,兩孤交于點D ,作直線AD交BC于點E.若∠BAC=110° , 則∠BAE的大小為 度.
8.（2023·吉林·統考中考真題）如圖，點C在線段上，在和中，．
求證：．

9．（2022·吉林·統考中考真題）如圖，，．求證：．
10．（2022·吉林·三模）如圖，點A、D、C、F在同一條直線上，，求證：．
11．（2023·吉林松原·校聯考三模）已知，如圖，點、、、在同一直線上，、相交于點，，垂足為，，垂足為，且，．
求證：．

1．（2023上·廣東東莞·八年級統考期中）已知圖中的兩個三角形全等，則等于( )

A． B． C． D．
2．（2023上·吉林·八年級統考期中）如圖，點D，E分別在，上，，，，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
3．（2023上·吉林長春·八年級校考期中）如圖，，若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·吉林長春·八年級校考階段練習）如圖，已知的面積為13，平分，且于點，則的面積是（ ）
A． B． C．6 D．7
5．（2023上·吉林長春·八年級校聯考期末）如圖，在和中，已知，還需添加兩個條件才能使，不能添加的一組條件是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023上·吉林白城·八年級校聯考階段練習）如圖，已知，添加一個條件，可使用“”判定與D全等．以下給出的條件正確的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·吉林·八年級統考期中） 如圖，點，，，在同一條直線上，已知：，，下列條件中不能判定的是
A． B． C． D．
8．（2023上·吉林長春·八年級統考期末）如圖的尺規作圖是作（　　）
A．線段的垂直平分線 B．一個角等于已知角
C．一條直線的平行線 D．一個角的平分線
9．（2022上·遼寧大連·八年級統考期末）工人師傅常用角尺平分一個任意角，做法是：如圖在的邊、上分別取，移動角尺，得到的平分線，做法中用到三角形全等的判定方法是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
10．（2023上·吉林·八年級校考期中）如圖，在中，是的平分線，若，則的面積是（ ）

A．15 B．24 C．12 D．10

11．（2023·湖南懷化·統考模擬預測）如圖，在中，．用直尺和圓規在邊上確定一點P，使點P到，的距離相等，則符合要求的作圖痕跡是（　　）
A. B．
C． D．
12．（2023下·湖南株洲·八年級統考期末）的位置如圖所示，到兩邊距離相等的點應是（ ）

M點 B．N點 C．P點 D．Q點
13．（2023上·江蘇泰州·八年級校考期末）已知≌，點與點，點與點分別是對應頂點，若，，，則 ， ．
14．（2024上·北京朝陽·八年級校考期中）如圖是兩個全等的三角形，圖中字母表示三角形的邊長，則的度數為 ．

15．（2023上·寧夏吳忠·八年級校考期末）如圖，A，B，C三點在同一條直線上，，請添加一個適當的條件， ，使得．
16．（2023上·江蘇連云港·八年級期末）如圖，，垂足為點，點為上一點，，，，則圖中長度為的線段還有 .
17．（2023上·青海果洛·八年級統考期末）如圖，在中，，以頂點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點，再分別以點為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交邊于點，若，，則的面積為 ．
18．（2023上·湖南長沙·八年級校考階段練習）如圖，，，，，．
(1)求的長．
(2)求的度數．
19．（2023上·吉林松原·八年級校聯考期末）如圖，四邊形中，，，于點E，．求證：平分．
20．（2024上·甘肅定西·八年級統考期末）如圖，在四邊形中，平分，，點E，F分別在，上，．求證：．
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