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第04講 認識三角形
1.三角形的分類
（1）按角分：
三角形
2.三角形的三邊關系
三角形的任意兩邊之和 第三邊; 三角形任意兩邊之差 第三邊.
注：
（1）判斷給定三條線段能否構成一個三角形：看較小兩邊的和是否 最長邊.
（2）已知三角形的兩邊長,確定第三邊的范圍：兩邊之差的絕對值 第三邊 兩邊之和.
3.三角形的三條主要線段
（1）在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做三角形的 。三角形的三條中線交于三角形內部一點，叫做三角形的 .
（2）在三角形中，一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的 ，三角形的三條角平分線交于三角形內一點，叫做三角形的 .
（3）在三角形中，從一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點與垂足之間的線段叫做三角形的 ，簡稱三角形的高，三角形的三條高交于一點，叫做三角形的 .
4.三角形的角
（1）三角形的內角和為 .
(2) 三角形的一邊與他的鄰邊的延長線組成的角叫做三角形的 .
注：（1）直角三角形的兩個銳角 ；
（2）三角形的一個外角 與它不相鄰的兩內角和；
（3）三角形的一個外角 任意一個不相鄰的內角.
考點剖析
（三角形的分類）
例1：一個三角形三個內角的度數之比是，則這個三角形是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
變式1-1：在中，若，則的形狀是 ．（填“銳角三角形”“直角三角形”或“鈍角三角形”）
變式1-2：如圖，在每個小正方形邊長為1的方格紙中，的頂點都在方格紙格點上．
(1)通過觀察，可以發現是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．直角三角形或針角三角形
(2)僅利用無刻度的直尺畫出的中線與角平分線；
(3)的面積為______，的面積為_____．
（三角形穩定性與四邊形的不穩定性）
例2：下列圖形中具有穩定性的是（ ）
A．B．C． D．
變式2-1：如圖，為了使木門不變形，木工師傅在木門上加釘了一根木條，這樣是利用三角形的 ．
變式2-2：為使五邊形木架（用5根木條釘成）不變形，哥哥準備如圖①那樣再釘上兩根木條，弟弟準備如圖②那樣再釘上兩根木條，哪種方法能使木架不變形？為什么？

（三邊關系）
例3：下列長度的三條線段，能組成三角形的是（　　）
A．2cm，3cm，6cm B．5cm，20cm，20cm
C．7cm，1cm，3cm D．5cm，4cm，9cm
變式3-1：若a、 b、 c為的三條邊長， 化簡 = ．
變式3-2：在中，，．
(1)求的取值范圍；
(2)若的周長為偶數，求的周長為多少？
（三角形的高）
例4：在中，，則邊上的高的長度是（ ）．
A．5 B． C． D．
變式4-1：如圖，在中，，，，，P是到三邊距離相等的點，則點P到三邊的距離為 ．
變式4-2：數學課上，老師給大家展示了三幅圖，然后讓同學們任選一幅，自給條件，自設問題．有三名同學的作品如下：
圖1 圖2 圖3
(1)小香：如圖1，已知的高，面積為，求的長度．
(2)小涵：如圖2，已知D是中點，，，求．
(3)小宇：如圖3，已知平分，，，求．
（三角形的中線）
例5：若是的中線，已知比的周長大，則與的差為 （ ）
A． B． C． D．
變式5-1：如圖，在中，是中線的中點．若的面積是3，則的面積是 ．

變式5-2：閱讀理解：已知三角形的中線具有等分三角形面積的性質，即如圖①，是中邊上的中線，則，理由：，即：等底同高的三角形面積相等．
回答下列問題：
(1)如圖②，點分別是的中點，且，則圖②中陰影部分的面積為________；
(2)如圖③，已知四邊形的面積是分別是的中點，點是四邊形內一點，求出圖中陰影部分的面積．
（三角形的角平分線）
例6：如圖，在中，，是的角平分線，則（ ）

A． B． C． D．
變式6-1：如圖，中，是上的高，平分，，，則 度．
變式6-2：如圖，在中，點在上，點在上，交于點．已知交于點，平分，交于點．

(1)求的度數．
(2)若，，求的度數．
（三角形的內角和）
例7：一個缺角的三角形殘片如圖所示，量得，，則這個三角形殘缺前的的度數為（ ）
A． B． C． D．
變式7-1：如圖，將沿著對折，點A落到處，若，則 度．
變式7-2：已知中，平分，點P在射線上．
(1)如圖1，若，，求的度數；
(2)如圖2，若，，求的度數；
(3)若，，直線與的一條邊垂直，求的度數．
（三角形的外角）
例8：如圖所示平面圖形，若，則（ ）

A． B． C． D．
變式8-1：如圖，是的外角，與的平分線交于點，與的平分線交于點，與的平分線交于點，…，與的平分線交于點，若，則的度數為 °．（用含的式子表示）
變式8-2：（1）如圖1，在中，的平分線與高線交于點F，則與的數量關系______．

（2）如圖2，在中，，是高，的外角．的平分線交的延長線于F，其反向延長線與的延長線交于點E，試探究與的數量關系，并說明理由．
過關檢測
選擇題（共6題，每題4分）
1．將一副三角板按如圖所示放置，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
2．現有長度分別為6，8的兩條線段，不能與這兩條線段組成三角形的線段的長度是（　　）
A．1 B．5 C．9 D．13
3．如圖，四個圖形中，線段是的高的圖是（ ）
A．B．C．D．
4．一個等腰三角形，一個角的度數是另一個角度數的，這個等腰三角形頂角的度數是（ ）
A． B． C．或 D．或
5．如圖，在中，已知點，，分別是，的中點，且的面積是3，則的面積是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
6．如圖，，，，分別平分的內角，外角，外角．以下結論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結論有（ ）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
填空題（共8題，每題4分）
7．如圖，木工師傅做門框時，在門上斜著釘兩條木板，這樣做的數學原理是 ．
8．一個三角形的三邊長分別為4、8、x，那么x的取值范圍是 ．
9．已知的三邊長分別是1，2，a，化簡 ．
10．如圖，，，，則 ， ．

11．如圖所示，在中，于點D．E為上一點，且，，若，，則 ．
12．如圖，的度數為 ．
13．若a，b，c為的三邊，化簡： ．
14．已知（如圖）在四邊形中，，．點E是延長線上的一點，連接，的平分線與的平分線相交于點P．與，分別相交于點F，Q．平分，，．則 ．
解答題（共5題，前三題每題8分，后兩題每題10分）
15．如圖，．求的度數．
16．如圖，在中，，垂足分別為，若，，求：

(1)的面積；
(2)的長．
17．如圖，在中，于平分．
(1)若，求的度數
(2)若，求的度數
18．定義：在一個三角形中，如果有一個角是另一個角的2倍，我們稱這兩個角互為“開心角”
例如：在中，如果，為“開心三角形”
問題：如圖，中，，，點是線段上一點（不與重合），連接
(1)如圖1，若，則是“開心三角形”嗎？為什么？
(2)若是“開心三角形”，直接寫出的度數
19．【初步認識】
（1）如圖①，在中，平分，平分．若，則______；如圖②，平分，平分外角，則與的數量關系是______；
【繼續探索】
（2）如圖③，平分外角，平分外角．請探索與之間的數量關系；
【拓展應用】
（3）如圖④，點P是兩內角平分線的交點，點N是兩外角平分線的交點，延長交于點M．在中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，求的度數．
答案與解析
1.三角形的分類
（1）按角分：
三角形
2.三角形的三邊關系
三角形的任意兩邊之和大于第三邊; 三角形任意兩邊之差小于第三邊.
注：
（1）判斷給定三條線段能否構成一個三角形：看較小兩邊的和是否大于最長邊.
（2）已知三角形的兩邊長,確定第三邊的范圍：兩邊之差的絕對值＜第三邊＜兩邊之和.
3.三角形的三條主要線段
（1）在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做三角形的中線。三角形的三條中線交于三角形內部一點，叫做三角形的重心.
（2）在三角形中，一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線，三角形的三條角平分線交于三角形內一點，叫做三角形的內心.
（3）在三角形中，從一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點與垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高，三角形的三條高交于一點，叫做三角形的垂心.
4.三角形的角
（1）三角形的內角和為180°.
(2) 三角形的一邊與他的鄰邊的延長線組成的角叫做三角形的外角.
注：（1）直角三角形的兩個銳角互余；
（2）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內角和；
（3）三角形的一個外角大于任意一個不相鄰的內角.
考點剖析
（三角形的分類）
例1：一個三角形三個內角的度數之比是，則這個三角形是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】此題根據三角形的內角和是，求出最大的那個角的度數即可解決問題．
【詳解】解：∵最大的那個角是，
∴這個三角形是銳角三角形．
故選：A．
變式1-1：在中，若，則的形狀是 ．（填“銳角三角形”“直角三角形”或“鈍角三角形”）
【答案】直角三角形
【分析】本題考查了三角形角度的計算，三角形內角和定理，解題的關鍵在于按比例算出各角度．
【詳解】解：，
，，，
的形狀是直角三角形，
故答案為：直角三角形．
變式1-2：如圖，在每個小正方形邊長為1的方格紙中，的頂點都在方格紙格點上．
(1)通過觀察，可以發現是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．直角三角形或針角三角形
(2)僅利用無刻度的直尺畫出的中線與角平分線；
(3)的面積為______，的面積為_____．
【答案】(1)C
(2)作圖見解析
(3)12，6
【分析】（1）根據給定的三角形，結合三角形在格點的位置，得出為直角，進而可得答案；
（2）根據為線段的中點，為的平分線，結合格點確定的位置，然后作圖即可；
（3）割補法求的面積，根據，求的面積即可．
【詳解】（1）解：由格點可知，，
∴是直角三角形，
故選：C；
（2）解：∵為線段的中點，作圖如下，
由（1）可知，為的平分線，作圖如下：
（3）解：由題意知，
∴，
故答案為：12，6．
【點睛】本題考查了中線，角平分線，三角形與格點等知識．熟練掌握知識并靈活運用是解題的關鍵．
（三角形穩定性與四邊形的不穩定性）
例2：下列圖形中具有穩定性的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了三角形的穩定性，根據三角形具有穩定性，四邊形不具有穩定性，即可對圖形進行判斷．
【詳解】解：A、對角線兩側是三角形，具有穩定性，符合題意；
B、中間豎線的兩側是四邊形，不具有穩定性，不符合題意；
C、中間豎線的兩側是四邊形，不具有穩定性，不符合題意；
D、上部分是三角形具有穩定性，下部分是四邊形不具有穩定性，不符合題意；
故選A．
變式2-1：如圖，為了使木門不變形，木工師傅在木門上加釘了一根木條，這樣是利用三角形的 ．
【答案】穩定性
【分析】本題主要考查了三角形具有穩定性，解題的關鍵是熟練掌握三角形具有穩定性，根據三角形的穩定性求解即可．
【詳解】解：在木門上加釘了一根木條，把一個四邊形分成了兩個三角形，
這樣做的道理是三角形具有穩定性．
故答案為：穩定性．
變式2-2：為使五邊形木架（用5根木條釘成）不變形，哥哥準備如圖①那樣再釘上兩根木條，弟弟準備如圖②那樣再釘上兩根木條，哪種方法能使木架不變形？為什么？

【答案】見解析
【分析】根據三角形具有穩定性解答即可．
【詳解】解：哥哥的如圖①那樣釘上兩根木條能使木架不變形，
因為三角形具有穩定性．
【點睛】本題考查了三角形的穩定性，理解概念是解題的關鍵．
（三邊關系）
例3：下列長度的三條線段，能組成三角形的是（　　）
A．2cm，3cm，6cm B．5cm，20cm，20cm
C．7cm，1cm，3cm D．5cm，4cm，9cm
【答案】B
【分析】本題考查了三邊關系的應用．根據三角形三邊關系“兩邊之和大于第三邊；兩邊之差小于第三邊”進行判斷即可．
【詳解】解：A、，不能組成三角形，故本選項不符合題意；
B、，能組成三角形，故本選項符合題意；
C、，不能組成三角形，故本選項不符合題意；
D、，不能組成三角形，故本選項不符合題意；
故選：B．
變式3-1：若a、 b、 c為的三條邊長， 化簡 = ．
【答案】
【分析】本題主要考查了化簡絕對值，三角形的三邊關系，先根據三角形三邊關系確定，，再去掉絕對值，然后計算即可．
【詳解】根據題意可知，，
∴．
故答案為：．
變式3-2：在中，，．
(1)求的取值范圍；
(2)若的周長為偶數，求的周長為多少？
【答案】(1)
(2)16
【分析】本題考查了三角形的三邊關系，
（1）直接根據三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求解即可；
（2）先求出周長的范圍，再根據其為偶數進行求解即可；
熟練掌握知識點是解題的關鍵．
【詳解】（1）∵，，
∴，
即；
（2）∵，設的周長為x，
∴，即，
∵的周長為偶數，
∴其周長為16．
（三角形的高）
例4：在中，，則邊上的高的長度是（ ）．
A．5 B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形面積及三角形的高．過點作于點，根據三角形的面積公式求得即可．
【詳解】解：過點作于點，

，
，
，
故邊上的高長為．
故選：C．
變式4-1：如圖，在中，，，，，P是到三邊距離相等的點，則點P到三邊的距離為 ．
【答案】/3厘米
【分析】本題考查了點到直線的距離，一元一次方程的應用，三角形面積．連接、、，設，由列方程求解，求出的值，即可得到答案．
【詳解】解：如圖，連接、、，
設，
，
，
，
解得：，
即點P到三邊的距離為，
故答案為：
變式4-2：數學課上，老師給大家展示了三幅圖，然后讓同學們任選一幅，自給條件，自設問題．有三名同學的作品如下：
圖1 圖2 圖3
(1)小香：如圖1，已知的高，面積為，求的長度．
(2)小涵：如圖2，已知D是中點，，，求．
(3)小宇：如圖3，已知平分，，，求．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了三角形的高、中線、角平分線，掌握與三角形“三線”相關的結論是解題關鍵．
（1）根據即可求解；
（2）根據、、、即可求解；
（3）根據三角形的內角和定理求出即可求解．
【詳解】（1）解：∵，
又∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵D是中點，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴．
（三角形的中線）
例5：若是的中線，已知比的周長大，則與的差為 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了三角形的中線定理，根據中線定理得出，再根據周長定義即可求得結果．
【詳解】解：如下圖：
∵是的中線，
∴
∵比的周長大
∴．
故選∶B．
變式5-1：如圖，在中，是中線的中點．若的面積是3，則的面積是 ．

【答案】12
【分析】本題考查了三角形的面積，解題的關鍵是利用三角形的中線平分三角形面積進行計算．
根據的面積等于的面積，的面積等于的面積計算出各部分三角形的面積，最后即可算出的面積．
【詳解】解：是邊上的中線，E為的中點，
根據等底同高可知，，，
∴，
故答案為：12．
變式5-2：閱讀理解：已知三角形的中線具有等分三角形面積的性質，即如圖①，是中邊上的中線，則，理由：，即：等底同高的三角形面積相等．
回答下列問題：
(1)如圖②，點分別是的中點，且，則圖②中陰影部分的面積為________；
(2)如圖③，已知四邊形的面積是分別是的中點，點是四邊形內一點，求出圖中陰影部分的面積．
【答案】(1)12
(2)
【分析】本題主要考查了中線與三角形的面積關系應用：
（1）根據等底同高的三角形面積相等，可知道，陰影部分的面積為三個三角形，這三個三角形面積相等，于是得到結果．
（2）連接，根據等底同高的三角形面積相等，可求出結果．
【詳解】（1）連接，
∵，
∴，
∴，
同理可得：
∴，
∴陰影部分的面積為，
故答案為：12；
（2）連接，
∵是邊的中點，
∴，
同理，
∴圖中陰影部分的面積四邊形的面積．
（三角形的角平分線）
例6：如圖，在中，，是的角平分線，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了三角形角平分線的概念，正確理解三角形角平分線的概念是解題的關鍵．
【詳解】∵在中，，是的角平分線，
∴．
故選：B．
變式6-1：如圖，中，是上的高，平分，，，則 度．
【答案】10
【分析】本題考查的是三角形內角和定理，三角形的角平分線的定義，三角形高的含義．先由三角形的內角和定理求解的大小，再由角平分線的性質求解的大小，再利用直角三角形的兩銳角互余求解，最后利用角的和差關系可得答案．
【詳解】解：在中，，
，
平分，
，
在中，，，
，
，
．
故答案為：10．
變式6-2：如圖，在中，點在上，點在上，交于點．已知交于點，平分，交于點．

(1)求的度數．
(2)若，，求的度數．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了角平分線的定義、三角形內角和定理、三角形外角的定義及性質、平行線的性質，熟練掌握各性質，理清角之間的關系是解此題的關鍵．
（1）由垂線的定義可得，由角平分線的定義可得，最后由平行線的性質即可得到答案；
（2）根據三角形的外角的定義及性質結合得出，最后由三角形內角和定理進行計算即可得到答案．
【詳解】（1）解：，
，
平分，
，
，
；
（2）解：，，
，
，
．
（三角形的內角和）
例7：一個缺角的三角形殘片如圖所示，量得，，則這個三角形殘缺前的的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查三角形內角和定理，利用三角形內角和等于即可得出．
【詳解】解：如圖：
∵，，，
∴，
故選：C．
變式7-1：如圖，將沿著對折，點A落到處，若，則 度．

【答案】41
【分析】本題考查了折疊的性質、平角定義和三角形的內角和定理，熟練掌握折疊的性質是解答的關鍵．先根據折疊性質可求得，，再和平角性質可求得根據平角定義和已知可求得，然后利用三角形的內角和定理即可求得的度數．
【詳解】解：∵將沿著對折，A落到，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
變式7-2：已知中，平分，點P在射線上．
(1)如圖1，若，，求的度數；
(2)如圖2，若，，求的度數；
(3)若，，直線與的一條邊垂直，求的度數．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】本題考查了平行線的性質和三角形的內角和定理、外角的性質：
（1）根據角平分線的定義和平行線的性質可得結論；
（2）根據三角形的外角性質得：，可得結論；
（3）直線與的一條邊垂直，分三種情況：分別和三邊垂直，根據三角內角和列式可得結論．
【詳解】（1）∵平分，
∴，
∵，
∴；
（2）設，則，
中，，
，
∴，
中，，
∴，
∴；
（3）①當時，如圖3，則，
∵，
∴；
②當時，如圖4，則，
中，；
③當時，延長交直線于G，如圖5，則，
∵，
∴
中，；
綜上，的度數為或或．
（三角形的外角）
例8：如圖所示平面圖形，若，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了三角形的外角的性質，三角形內角和定理，首先根據三角形內角和定理得到，然后求出，最后利用三角形外角的性質求解即可．解題的關鍵是掌握“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和”．
【詳解】如圖所示，

∵
∴
∵，
∴
∴．
故選：C．
變式8-1：如圖，是的外角，與的平分線交于點，與的平分線交于點，與的平分線交于點，…，與的平分線交于點，若，則的度數為 °．（用含的式子表示）
【答案】
【分析】根據三角形外角的性質得到，，由角平分線的性質得到，，即可得到，同理可得，進一步得到答案即可．此題考查了三角形外角的性質、角平分線的相關計算等知識，熟練掌握三角形外角的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵是的外角，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
同理可得：，
…，
∴，
故答案為：．
變式8-2：（1）如圖1，在中，的平分線與高線交于點F，則與的數量關系______．

（2）如圖2，在中，，是高，的外角．的平分線交的延長線于F，其反向延長線與的延長線交于點E，試探究與的數量關系，并說明理由．
【答案】（1）；（2），理由見解析
【分析】本題考查的是三角形的高，角平分線的含義，三角形的內角和定理的應用，三角形的外角的性質，熟練的利用三角形的外角的性質解題是關鍵．
（1）先證明，，再結合三角形的外角的性質可得結論；
（2）設，先求解，結合角平分線可得，再由高的定義得出，再利用三角形的內角和定理可得答案．
【詳解】解：（1）解：，是高，
，，
，
是角平分線，
，
，，
．
故答案為：；
（2），理由如下：
設，
∵，
，
為的角平分線，
，
為邊上的高，
，
，
又，，
．
∴．
過關檢測
選擇題（共6題，每題4分）
1．將一副三角板按如圖所示放置，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了三角形的外角性質，牢記“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和”是解題的關鍵.利用“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和”，即可求出的度數.
【詳解】解：根據題意得：
.
故選：B.
2．現有長度分別為6，8的兩條線段，不能與這兩條線段組成三角形的線段的長度是（　　）
A．1 B．5 C．9 D．13
【答案】A
【分析】本題考查了三角形的三邊關系，解題關鍵是熟記三角形三邊關系“在一個三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，根據三角形三邊關系進行判斷即可得出答案．
【詳解】解：有兩條線段長分別為6和8，，，
第三邊，
只有1不能與這兩條線段組成三角形，
故選：A．
3．如圖，四個圖形中，線段是的高的圖是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了三角形高線的定義，熟練掌握從三角形的一個頂點向對邊所在直線作垂線，頂點與垂足間的線段叫做三角形的高是解題的關鍵．利用三角形高的定義即可求解．
【詳解】解：根據三角形高的定義，可得D選項中，線段是的高,
故選：D
4．一個等腰三角形，一個角的度數是另一個角度數的，這個等腰三角形頂角的度數是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，三角形內角和定理，利用分類討論的思想解決問題是關鍵．設頂角度數為，分兩種情況討論：①若底角度數是頂角度數的；②若頂角度數是底角度數的，分別列方程求解即可．
【詳解】解：設頂角度數為，
①若底角度數是頂角度數的，則底角度數為，
則，
解得：；
②若頂角度數是底角度數的，則底角度數為，
則，
解得：；
即這個等腰三角形頂角的度數是或，
故選：D．
5．如圖，在中，已知點，，分別是，的中點，且的面積是3，則的面積是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】B
【分析】本題考查三角形中線平分三角形面積的性質，根據性質即可解題．
【詳解】解：是的中點，
，
是中點，
，，
，
，
是中點，
，
是中點，
，
，
的面積的面積．
故選：B．
6．如圖，，，，分別平分的內角，外角，外角．以下結論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結論有（ ）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】D
【分析】根據角平分線的定義，三角形內角和定理以及三角形外角的性質對選項逐個判斷即可．
【詳解】∵平分
∴
∵，
∴
∴
∴，故①正確；
∵
∴，
∵平分，
∴，②正確；
∵，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴，③正確；
∵平分，
∴
∵
∴
∴
∵平分
∴
∵，
∴
∴，⑤正確；
∵
∴
∵，
∴即，④正確；
正確的個數為5
故選：D
【點睛】本題考查了三角形外角的性質，角平分線的定義，平行線的性質，三角形內角和定理的應用，主要考查了學生的推理能力，有一定難度．
填空題（共8題，每題4分）
7．如圖，木工師傅做門框時，在門上斜著釘兩條木板，這樣做的數學原理是 ．
【答案】三角形的穩定性
【分析】本題主要考查了三角形的穩定性，根據三角形具有穩定性進行求解即可．
【詳解】解：結合圖形，為防止變形釘上兩條斜拉的木板條，構成了三角形，這樣做根據的數學道理三角形的穩定性，
故答案為：三角形的穩定性．
8．一個三角形的三邊長分別為4、8、x，那么x的取值范圍是 ．
【答案】/
【分析】本題主要考查了三角形三邊之間的關系，根據“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”即可解答．
【詳解】解：∵三角形的三邊長分別為4、8、x，
∴，
即，
故答案為：．
9．已知的三邊長分別是1，2，a，化簡 ．
【答案】4
【分析】此題主要考查了三角形三邊關系以及絕對值的性質，整式的加減，正確得出a的取值范圍是解題關鍵．
利用三角形三邊關系進而得出a的取值范圍，進而利用絕對值的性質化簡得出答案．
【詳解】解：因為的三邊長分別為1，2，a，
所以．
解得．
∴，，
∴．
故答案為：4．
10．如圖，，，，則 ， ．

【答案】
【分析】本題主要考查了三角形的外角的定義根性質，根據，，問題即可得解．
【詳解】解：∵是的外角，
∴，
∵，，
∴；
∵是的外角，
∴，
∵，
∴．
故答案為：，．
11．如圖所示，在中，于點D．E為上一點，且，，若，，則 ．
【答案】1
【分析】本題考查了三角形，根據及即可求解，熟練掌握基礎知識是解題的關鍵．
【詳解】解：，
,
,
，
故答案為：1．
12．如圖，的度數為 ．
【答案】/180度
【分析】本題考查了三角形外角性質，平角的定義，根據，計算即可．
【詳解】∵，
∴，
故答案為：．
13．若a，b，c為的三邊，化簡： ．
【答案】
【分析】本題主要考查了三角形三邊之間的關系，絕對值化簡，合并同類項，解題的關鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，正數的絕對值等于它本身，負數的絕對值等于它的相反數，0的絕對值是0，以及合并同類項，字母和字母指數不變，只把系數相加減；根據三角形三邊之間的關系得出，則，再化簡絕對值，最后合并同類項即可．
【詳解】解：∵a，b，c為的三邊，
∴，
∴，
∴
，
故答案為：．
14．已知（如圖）在四邊形中，，．點E是延長線上的一點，連接，的平分線與的平分線相交于點P．與，分別相交于點F，Q．平分，，．則 ．
【答案】
【分析】利用平行線的性質證明，即有，設，即，根據角平分線的定義可得，，根據，，可得，進而有，即可得，再根據，可得，問題得解．
【詳解】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
設，即，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，解得：，
∵，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質，三角形內角和定理，三角形外角的定義與性質，角平分線的定義以及一元一次方程的應用等知識，耐心仔細地理清圖中各角度之間的關系是解答本題的關鍵．
解答題（共5題，前三題每題8分，后兩題每題10分）
15．如圖，．求的度數．
【答案】
【分析】本題考查了垂直的定義以及三角形內角和定理的應用，分別求出即可求解．
【詳解】解：
．
16．如圖，在中，，垂足分別為，若，，求：

(1)的面積；
(2)的長．
【答案】(1)70
(2)
【分析】（1）根據三角形面積公式求解即可；
（2）根據已知三角形的面積和底邊即可求解．
【詳解】（1）解：，，，
；
（2）解：，，，
，
．
【點睛】本題考查了三角形面積的公式的應用，熟練掌握面積公式是解題關鍵．
17．如圖，在中，于平分．
(1)若，求的度數
(2)若，求的度數
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查角平分線的性質及三角形的內角和定理，解答本題的關鍵在于熟練掌握角平分線的性質及三角形的內角和定理，運用已知條件和三角形的內角和定理表示出，本題即可求解．
【詳解】（1）解：，
；
又平分，
；
又，
，
．
（2）設
；
又平分，
，
又，
，
．
18．定義：在一個三角形中，如果有一個角是另一個角的2倍，我們稱這兩個角互為“開心角”
例如：在中，如果，為“開心三角形”
問題：如圖，中，，，點是線段上一點（不與重合），連接
(1)如圖1，若，則是“開心三角形”嗎？為什么？
(2)若是“開心三角形”，直接寫出的度數
【答案】(1)是“開心三角形”，理由見解析
(2)或或
【分析】本題主要考查了三角形內角和定理、直角三角形的性質，本題是新定義題型，理解新定義，并熟練運用是解題的關鍵．
（1）利用直角三角形的性質和三角形內角和定理求得，再利用“開心三角形”的定義解答即可；
（2）利用分類討論的方法，根據“開心三角形”的定義解答即可．
【詳解】（1）解：是“開心三角形”，
理由如下：
，
，
，
，
在中，，
，
為開心三角形”，
在中，，
，
為開心三角形”；
（2）解：若是“開心三角形”，由于點是線段上一點（不與，重合），
則或或，
當時，；
當時，；
當時，；
綜上，的度數為或或．
19．【初步認識】
（1）如圖①，在中，平分，平分．若，則______；如圖②，平分，平分外角，則與的數量關系是______；
【繼續探索】
（2）如圖③，平分外角，平分外角．請探索與之間的數量關系；
【拓展應用】
（3）如圖④，點P是兩內角平分線的交點，點N是兩外角平分線的交點，延長交于點M．在中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，求的度數．
【答案】（1），；（2）；（3）或或
【分析】本題考查了角平分線，三角形內角和定理，三角形外角的性質．明確角度之間的數量關系是解題的關鍵．
（1）如圖①，由角平分線可得，由三角形內角和可求，根據，計算求解即可；如圖②，由角平分線與外角可得，整理即可；
（2）由角平分線可得，由，可得，則根據，計算求解即可；
（3）由題意知，，，，當在中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，分①，②，③，④，四種情況求解即可．
【詳解】（1）解：如圖①，∵平分，平分，
∴，
∵，
∴；
如圖②，∵平分，平分外角，
∴，
∵，，
∴，
整理得，，
故答案為：；．
（2）解：∵平分外角，平分外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由題意知，，，，
∴當在中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，分①，②，③，④，四種情況求解：
①當時，；
②當時，，則；
③當時，，解得，；
④當時，，解得，；
綜上所述，的度數為或或．

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