資源簡介

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第1講 實數
目 錄
一、考情分析
二、知識建構
考點一 實數的分類（高頻考點）
題型01 實數的分類
題型02 無理數估值
題型03 相反意義的量
考點二 實數的相關概念（高頻考點）
題型01 用數軸上的點表示數
題型02 求數軸上兩點之間的距離
題型03 根據點在數軸上的位置判斷式子正負
題型04 數軸上的動點問題
題型05 求一個數的相反數
題型06 多重符號化簡
題型07 相反數的應用
題型08 求一個數的絕對值
題型09 化簡絕對值
題型10 絕對值非負性的應用
題型11 利用幾何意義化簡絕對值
考點要求 新課標要求 命題預測
實數的分類 理解有理數、無理數的概念，知道實數是由有理數和無理數組成的 實數這一考點在中考數學中屬于較為簡單的一類考點，在中考，實數的分類及相關概念主要以選擇題或填空題形式考查，比較簡單；科學記數法、近似數多以選擇題或填空題形式考查，有大數和小數兩種形式，有時帶“億”“萬”“千萬”等單位，做題時要仔細審題，切忽略單位；實數的大小比較常以選擇題形式出現，常與數軸結合考查；實數的運算考查形式多樣，多數以解答題形式出現，結合絕對值、銳角三函數、二次根式、平方根、立方根等知識考查. 對于實數的復習，需要學生熟練掌握實數相關概念及其性質的應用、實數運算法則和順序等考點.
實數的相關概念 可以借助數軸理解相反數和絕對值的意義，會求實數的相反數、絕對值、倒數，知道實數與數軸上的點一一對應
科學記數法、近似數 利用科學記數法簡化表示非常大或非常小的數，了解近似數，會按問題的要求進行簡單的近似計算
實數比較大小 靈活運用多種方法比較實數大小
平方根、算術平方根、立方根 了解平方根、算術平方根、立方根的概念，會用根號表示數的平方根、算術平方根、立方根
實數的相關計算 掌握有理數的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算(以三步以內為主)；能運用有理數的運算解決簡單的問題，知道有理數的運算律在實數范圍內仍然適用．
考點一 實數的分類（高頻考點）
1、正負數的概念：大于0的數叫做正數.正數前面加上符號“-”的數叫負數.負數前面的負號“-”不能省略.0既不是正數，也不是負數.
2、正負數的意義：表示具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，通常先規定其中一個為正，則另一個就用負表示．
3、整數和分數統稱為有理數（本質：能夠化為分數的形式）.無限不循環小數叫做無理數.有理數和無理數統稱為實數.
4、實數的分類：
1）按定義分類： 2）按性質分類：
題型01 實數的分類
【例1】（2023·四川涼山·中考真題）下列各數中，為有理數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】根據立方根、無理數與有理數的概念即可得．
【詳解】解：A、，是有理數，則此項符合題意；
B、是無限不循環小數，是無理數，則此項不符合題意；
C、是無理數，則此項不符合題意；
D、是無理數，則此項不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查了立方根、無理數與有理數，熟記無理數與有理數的概念是解題關鍵．
【變式1-1】（2023·江蘇鹽城·中考真題）下列數中，屬于負數的是（ ）
A．2023 B． C． D．0
【答案】B
【提示】根據小于0的數即為負數解答可得．
【詳解】是負數，和是正數，0既不是正數也不是負數
故選：B．
【點睛】本題主要考查正數和負數，熟練掌握負數的概念是解題的關鍵．
【變式1-2】（2022·浙江金華·中考真題）在中，是無理數的是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【提示】根據無理數的定義判斷即可；
【詳解】解：∵-2，，2是有理數，是無理數，
故選： C．
【點睛】本題考查了無理數的定義：無限不循環小數叫做無理數，如開方開不盡的數的方根、π．
【變式1-3】（2022·山東日照·中考真題）在實數，x0（x≠0），cos30°，中，有理數的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【提示】根據零指數冪，特殊角的三角函數值，實數的意義，即可解答．
【詳解】解：在實數，x0（x≠0）=1，，中，有理數是，x0=1，
所以，有理數的個數是2，
故選：B．
【點睛】本題考查了零指數冪，特殊角的三角函數值，實數，熟練掌握這些數學概念是解題的關鍵．
【變式1-4】（2023·江西·中考真題）下列各數中，正整數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】根據有理數的分類即可求解．
【詳解】解：是正整數，是小數，不是整數，不是正數，不是正數，
故選：A．
【點睛】本題考查了有理數的分類，熟練掌握有理數的分類是解題的關鍵．
題型02 無理數估值
【例2】（2023·浙江臺州·中考真題）下列無理數中，大小在3與4之間的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根據無理數的估算可得答案．
【詳解】解：∵，，而，，
∴大小在3與4之間的是，
故選：C．
【點睛】本題考查了無理數的估算，熟練掌握基礎知識是解題的關鍵．
【變式2-1】（2023·浙江嘉興·中考真題）下面四個數中，比1小的正無理數是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【提示】根據正數負數，即可進行解答．
【詳解】解：∵
∴
∴
∴比1小的正無理數是．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了比較實數是大小，無理數的估算，解題的關鍵是掌握正數負數．
【變式2-2】（2023·天津·中考真題）估計的值應在 （）
A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之
【答案】B
【提示】由于4＜6＜9，于是，從而有．
【詳解】解：∵4＜6＜9，
∴，
∴，
故選B．
【點睛】本題考查了無理數的估算，解題關鍵是確定無理數的整數部分即可解決問題．
【變式2-3】（2023·內蒙古·中考真題）若為兩個連續整數，且，則 ．
【答案】3
【提示】根據夾逼法求解即可．
【詳解】解：∵，即，
∴，
∴，
∴．
故答案為：3．
【點睛】題目主要考查無理數的估算，熟練掌握估算方法是解題關鍵．
題型03 相反意義的量
【例3】（2023·廣東廣州·中考真題）負數的概念最早出現在我國古代著名的數學專著《九章算術》中，如果把收入5元記作元，那么支出5元記作（ ）
A．元 B．0元 C．元 D．元
【答案】A
【提示】根據相反數的意義可進行求解．
【詳解】解：由把收入5元記作元，可知支出5元記作元；
故選A．
【點睛】本題主要考查相反數的意義，熟練掌握相反數的意義是解題的關鍵．
【變式3-1】（2023·湖南永州·中考真題）我國古代數學名著《九章算術》中對正負數的概念注有“今兩算得失相反，要令正負以名之”、如：糧庫把運進30噸糧食記為“”，則“”表示（ ）
A．運出30噸糧食 B．虧損30噸糧食 C．賣掉30噸糧食 D．吃掉30噸糧食
【答案】A
【提示】根據題意明確“正”和“負”所表示的意義，再根據題意即可求解．
【詳解】解：糧庫把運進30噸糧食記為“”，則“”表示運出30噸糧食．
故選：A
【點睛】本題考查了正負數的意義，理解“正”和“負”分別表示相反意義的量是解題關鍵．
【變式3-2】（2023·吉林·中考真題）月球表面的白天平均溫度零上，記作，夜間平均溫度零下，應記作（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】根據正負數表示相反意義的量，平均溫度零上表示正，平均溫度零下表示負即可求解．
【詳解】解：平均溫度零上，記作，夜間平均溫度零下，應記作，
故選：B．
【點睛】本題主要考查正負數與實際問題的綜合，掌握正負數表示相反意義的量是解題的關鍵．
考點二 實數的相關概念（高頻考點）
相關概念 概念 補充與拓展
數軸 規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸. 數軸上的點與實數具有一一對應的關系.
將兩個數表示在同一條數軸上，右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大.
在數軸上距原點n個單位長度的點有2個.
數軸中點公式：數軸上有兩點A、B分別表示的數為x，y，若C是A、B兩點的中點， C所表示的數為c，則有：2c=a+b.
數軸兩點距離=數軸上右側的點所表示的數-左側的點表示的數
（簡稱大數-小數）.
相反數 只有符號不同的兩個數稱為互為相反數. 若a、b互為相反數，則a+b=0（反之亦成立）.
互為相反數的兩個數在數軸上對應的兩個點到原點的的距離相等且位于原點的兩側.
正數的相反數是負數；負數的相反數是正數；0的相反數是0.相反數是本身的數是0.
（a+b）的相反數是-（a+b），（a-b）的相反數是-（a-b）或b-a.
多重符號化簡口訣：數負號個數，奇負偶正.
絕對值 在數軸上表示數a的點到原點的距離叫做a的絕對值，記為|a|． 兩個正數比較，絕對值大數越大；兩個負數比較，絕對值大的反而小.
正數的絕對值是它本身；0絕對值是0；負數的絕對值是它的相反數
若|a|=a（或|a|-a=0），則a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），則a≤0.
若a=b或a=-b，則|a|=|b|（反之亦成立）.
若|a|+|b|=0，則a=0且b=0（a、b可以是多項式）.
幾何意義補充：|x|=|x-0|，數軸上表示x的點到原點的距離
|x-1|，數軸上表示x的點與表示1的點之間的距離
|x+2|，數軸上表示x的點與表示-2的點之間的距離
倒數 1除以一個不等于零的實數所得的商，叫做這個數的倒數． 0沒有倒數.
若a、b互為倒數，則ab=1
互為倒數的兩個數必定同號（同為正數或同為負數）.
倒數是本身的只有1和-1.
乘方 n個相同的因數a相乘記作an，其中a為底數，n為指數，
乘方的結果叫做冪. 負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數
正數的任何次冪都是正數.
規定：a0=1（a≠0）
題型01 用數軸上的點表示數
【例1】（2023·浙江溫州·中考真題）如圖，比數軸上點A表示的數大3的數是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【提示】根據數軸及有理數的加法可進行求解．
【詳解】解：由數軸可知點A表示的數是，所以比大3的數是；
故選D．
【點睛】本題主要考查數軸及有理數的加法，熟練掌握數軸上有理數的表示及有理數的加法是解題的關鍵．
【變式1-1】（2023·四川自貢·中考真題）如圖，數軸上點A表示的數是2023，，則點B表示的數是（ ）
A．2023 B． C． D．
【答案】B
【提示】根據數軸的定義求解即可．
【詳解】解；∵數軸上點A表示的數是2023，，
∴，
∴點B表示的數是，
故選：B．
【點睛】本題考查數軸上點表示有理數，熟練掌握數軸上點的特征是解題的關鍵．
【變式1-2】（2022·山東臨沂·中考真題）如圖，，位于數軸上原點兩側，且．若點表示的數是6，則點表示的數是（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-5
【答案】B
【提示】根據，點表示的數是6，先求解 再根據A的位置求解A對應的數即可．
【詳解】解：由題意可得：點表示的數是6，且B在原點的右側，
，
在原點的左側，
表示的數為
故選B
【點睛】本題考查的是線段的和差倍分關系，數軸上的點所對應的數的表示，熟悉數軸的組成與數軸上數的分布是解本題的關鍵．
【變式1-3】（2023·內蒙古赤峰·中考真題）如圖，數軸上表示實數的點可能是( )

A．點P B．點Q C．點R D．點S
【答案】B
【提示】根據先估算的大小，看它介于哪兩個整數之間，從而得解．
【詳解】解：∵
∴，即，
∴數軸上表示實數的點可能是Q，
故選：B．
【點睛】本題考查無理數的大小估算，推出介于哪兩個整數之間是解題的關鍵．
題型02 求數軸上兩點之間的距離
【例2】（2023·廣東汕頭·模擬預測）一只螞蟻從數軸上A點出發爬了4個單位到了相反數B點所在的位置，則點A所表示的是（　?。?br/>A．﹣2或2 B．﹣2 C．2 D．4或﹣4
【答案】A
【提示】由題意可知，兩數互為相反數，且兩數對應點的距離為4，即可提示出兩點到原點的距離為2
【詳解】由題意可知，兩數互為相反數，且兩數對應點的距離為4，
∴兩點到原點距離＝4÷2＝2，
∴這兩個數分別為2，-2，
故選：A．
【點睛】本題考查了數軸上兩點間的距離，相反數的意義，解題的關鍵是提示出互為相反數的兩數對應點距離為4．
【變式2-1】（2021·廣東廣州·中考真題）如圖，在數軸上，點A、B分別表示a、b，且，若，則點A表示的數為（ ）
A． B．0 C．3 D．
【答案】A
【提示】由AB的長度結合A、B表示的數互為相反數，即可得出A，B表示的數
【詳解】解：∵
∴，兩點對應的數互為相反數，
∴可設表示的數為，則表示的數為，
∵
∴，
解得：，
∴點表示的數為-3，
故選：A．
【點睛】本題考查了絕對值，相反數的應用，關鍵是能根據題意得出方程．
【變式2-2】（2023·寧夏·中考真題）如圖，點，，在數軸上，點表示的數是，點是的中點，線段，則點表示的數是 ．

【答案】
【提示】根據兩點間的距離公式和中點平分線段進行計算即可．
【詳解】解：∵點是的中點，線段，
∴，
∴點表示的數是：；
故答案為：．
【點睛】本題考查數軸上兩點間的距離，以及線段的中點．熟練掌握線段中點的定義，以及數軸上兩點間的距離公式，是解題的關鍵．
題型03 根據點在數軸上的位置判斷式子正負
【例3】（2023·山東濰坊·中考真題）實數a，b，c在數軸上對應的點如圖所示，下列判斷正確的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根據數軸的性質可得，，據此逐項判斷即可得．
【詳解】解：由數軸可知，，．
A、，則此項錯誤，不符合題意；
B、，則此項錯誤，不符合題意；
C、，
，則此項正確，符合題意；
D、，
，則此項錯誤，不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了數軸、絕對值的性質，熟練掌握數軸的性質是解題關鍵．
【變式3-1】（2023·山東·中考真題）實數a，b，c在數軸上對應點的位置如圖所示，下列式子正確的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根據數軸可得，，再根據逐項判定即可．
【詳解】由數軸可知，
∴，故A選項錯誤；
∴，故B選項錯誤；
∴，故C選項正確；
∴，故D選項錯誤；
故選：C．
【點睛】本題考查實數與數軸，根據進行判斷是解題關鍵．
【變式3-2】【多選】（2022·山東濰坊·中考真題）如圖，實數a，b在數軸上的對應點在原點兩側，下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【提示】根據數軸判斷出a、b的取值范圍，再根據有理數的乘除法，加減法運算對各選項提示判斷后利用排除法求解．
【詳解】解：由題意可知，a＜0＜b，且|a|＞|b|，
A、，故本選項符合題意；
B、-a＞b，故本選項不符合題意；
C、a-b＜0，故本選項不符合題意；
D、，故本選項符合題意．
故選：A D．
【點睛】本題考查了實數與數軸，有理數的乘除運算以及有理數的加減運算，判斷出a、b的取值范圍是解題的關鍵．
【變式3-3】（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，數軸上的點分別對應實數，則 0.(用“”“”或“”填空)

【答案】
【提示】根據數軸可得，進而即可求解．
【詳解】解：由數軸可得
∴
【點睛】本題考查了實數與數軸，有理數加法的運算法則，數形結合是解題的關鍵
題型04 數軸上的動點問題
【例4】（2022·廣東·惠州一中校考二模）如圖，直徑為1個單位長度的圓從原點開始沿數軸向右無滑動地滾動一周到達點 A，則點 A 表示的數是（ ）．
A．3 B．4 C．π D．2π
【答案】C
【提示】圓向前滾動了一個圓周長的距離，據此求解即可．
【詳解】解：∵圓的直徑為1，
∴圓周長為π，所以點A表示的數是π，
故選：C．
【點睛】本題考查數軸上表示的數，明確圓向前滾動了一個圓周長的距離是解題的關鍵．
【變式4-1】（2021·廣西百色·一模）正方形紙板在數軸上的位置如圖所示，點對應的數分別為1和0，若正方形紙板繞著頂點順時針方向在數軸上連續翻轉，則在數軸上與2020對應的點是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】D
【提示】先翻轉一次和兩次確認點B、C對應的數，再根據正方形的性質歸納類推出每個頂點對應的數的規律，從而即可得出答案．
【詳解】翻轉一次可得：點B對應的數為2；再翻轉一次可得：點C對應的數為3
在正方形紙板連續翻轉的過程中，各頂點對應的數的規律歸納類推如下：
點A對應的數分別為，n為非負整數
點B對應的數分別為，n為非負整數
點C對應的數分別為，n為非負整數
點D對應的數分別為，n為非負整數
由此可知，只有點D對應的數可以為2020，此時為非負整數，符合要求
故選：D．
【點睛】本題考查了數軸的定義的實際應用，讀懂題意，歸納類推出規律是解題關鍵．
【變式4-2】（2023·河北承德·二模）如圖，數軸上點M對應的數為，點N在點M右側，對應的數為a，矩形的邊在數軸上．矩形從點A與M重合開始勻速向正方向運動，到點D與點N重合時停止運動．同時一動點P以每秒2個單位長度的速度，從點A出發沿折線繞矩形勻速運動一周，且點P與矩形同時到達各自終點．已知，，設運動時間為t秒，過點Р作垂直于數軸的直線，將垂足對應的數稱為點Р對應的數．

(1)若矩形運動速度為每秒1個單位長度，則點A對應數軸上的數為 ；（用含t的代數式表示，不必寫范圍）．
(2)若，當，即點Р在邊上時，點Р對應數軸上的數為 ；（用含t的代數式表示）
(3)若運動過程中有一段時間，點Р對應數軸上的數不變，則 ．
【答案】(1)
(2)
(3)100
【提示】（1）根據線段的和與差可得，即可求得；
（2）根據P的速度和矩形的周長，求得P運動的總時間，進一步求得矩形的速度，即可求得；
（3）根據點Р對應數軸上的數不變，判定矩形和P的運動方向和運動速度，求解即可．
【詳解】（1）解：若矩形速度為l，則點A的速度也為l，則運動的距離為，故，
即的值為
故答案為：．
（2）解：點P的速度為2，則運動總時間為（秒），
從M到N，長度為70，所以矩形運動速度為，
所以當點Р在邊上時，點Р對應的數為，
故答案為：．
（3）解：點P對應的數不變，說明矩形向右運動，點Р向左運動，二者速度“抵消”了，
所以矩形的運動速度與點P的運動速度相等，
所以，
解得，
故答案為：100．
【點睛】本題看了數軸，矩形的周長，動點問題等，根據點Р對應數軸上的數不變，判定矩形和P的運動方向和運動速度是解題的關鍵．
【變式4-3】．（2022·河北石家莊·石家莊二十三中?？寄M預測）如圖，程序員在數軸上設計了A、B兩個質點，它們分別位于―6和9的位置，現兩點按照下述規則進行移動：每次移動的規則x分別擲兩次正方體骰子，觀察向上面的點數：
①若兩次向上面的點數均為偶數，則A點向右移動1個單位，B點向左移2個單位；
②若兩次向上面的點數均為奇數，則A點向左移動2個單位，B點向左移動5個單位；
③若兩次向上面的點數為一奇一偶，則A點向右移動5個單位，B點向右移2個單位．
(1)經過第一次移動，求B點移動到4的概率；
(2)從如圖所示的位置開始，在完成的12次移動中，發現正方體骰子向上面的點數均為偶數或奇數，設正方體骰子向上面的點數均為偶數的次數為a，若A點最終的位置對應的數為b，請用含a的代數式表示b，并求當A點落在原點時，求此時B點表示的數；
(3)從如圖所示的位置開始，經過x次移動后，若，求x的值．
【答案】(1)；
(2)B點表示的數為-21；
(3)x的值為4或6．
【提示】（1）利用概率公式計算即可；
（2）根據題意可知當向上的點數均為偶數時，A點向右移動a個單位，當向上的點數均為奇數時，A點向左移動2(12-a)個單位，再根據平移的規則推算出結果即可；
（3）剛開始的距離是15，根據三種情況算出縮小的距離，即可算出縮小的總距離，分別除以3即可得到結果．
【詳解】（1）解：根據題意，B點移動到4，則向左移5個單位，且第一次就移動到4，
故兩次向上的點數均為奇數(正方體骰子奇數為1，3，5，) ，
則P(奇數)=，
∴P(B點移動到4)=；
（2）解：當向上的點數均為偶數時，A點向右移動a個單位，
當向上的點數均為奇數時，A點向左移動2(12-a)個單位，
∴b=-6+a-2(12-a)=3a-30，
當b=0時，3a-30=0，
∴a=10，即均為偶數有10次，均為奇數有2次，
∴B點表示的數為9-10×2-2×5=-21；
（3）解：剛開始AB的距離等于15，
均為偶數時，AB距離縮短3，
均為奇數時，AB距離縮短3，
均為一奇一偶時，AB距離也縮短3，
當縮短至3時，(15-3)÷3=4，∴x=4；
當縮短至0再增長3時，(15+3)÷3=6，∴x=6；
∴x的值為4或6．
【點睛】本題考查概率公式，數軸，代數式等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
【變式4-4】（2022·河北邯鄲·校考三模）如圖，在數軸上，點P、A、B表示的數分別是﹣6、﹣3、2．點P以每秒2個單位長度的速度沿數軸向右運動，同時點B以每秒1個單位長度的速度沿數軸向右運動，設點P、B運動的時間為t秒時，點P、B分別位于數軸上P'、B'處．
(1)當t＝ 時，AB＝8．
(2)當P'A＝3P'B時，求t的值．
【答案】(1)3
(2)或
【提示】（1）首先表示出點B運動t秒對應的數，再根據AB＝8列出方程，求解即可；
（2）首先表示出數軸上P'對應的數，再根據P'A＝3P'B列出方程，求解即可．
【詳解】（1）點B運動t秒對應的數為2＋t，
∵AB＝8，
∴2＋t﹣（﹣3）＝8，
解得t＝3．
故答案為：3；
（2）由題意可得，數軸上P'對應的數為﹣6＋2t．
∵P'A＝3P'B，
∴|﹣6＋2t﹣（﹣3）|＝3|﹣6＋2t﹣2|，
即2t﹣3＝3（2t﹣8），或2t﹣3＝﹣3（2t﹣8），
解得t，或t．
故所求t的值為或．
【點睛】本題結合動點問題考查了一元一次方程的應用，數軸，兩點間的距離公式，表示出點P、B在數軸上運動t秒后對應的數是解題的關鍵．
題型05 求一個數的相反數
【例5】（2023·遼寧錦州·中考真題）的相反數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】根據只有符號不同的兩個數互為相反數進行解答即可得．
【詳解】解：的相反數是，
故選：B．
【點睛】本題考查了相反數的定義，熟練掌握相反數的定義是解題的關鍵．
【變式5-1】（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，數軸上點A所表示的數的相反數是（　?。?br/>A．9 B． C． D．
【答案】D
【提示】先根據數軸得到A表示的數，再求其相反數即可．
【詳解】解：由數軸可知，點A表示的數是9，相反數為，
故選：D．
【點睛】本題考查數軸和相反數，掌握相反數的定義是解題的關鍵．
【變式5-2】（2023·四川綿陽·中考真題）中國人最早使用負數，可追溯到兩千多年前的秦漢時期，﹣0.5的相反數是（ ）
A．0.5 B．±0.5 C．﹣0.5 D．5
【答案】A
【詳解】﹣0.5的相反數是0.5，
故選A．
題型06 多重符號化簡
【例6】（2023·廣東廣州·中考真題）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】的相反數是．
【詳解】，
故選：B．
【點睛】本題考查相反數等知識，掌握相反數的概念是解題的關鍵．
【變式6-1】（2023·廣東廣州·校考模擬預測）下列各對數中，互為相反數的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】D
【提示】先將各數化簡，再根據相反數的定義逐個進行判斷即可．
【詳解】解：A、與不是互為相反數，故A選項不符合題意；
B、與不是互為相反數，故B選項不符合題意；
C、與不是互為相反數，故C選項不符合題意；
D、與，是互為相反數，故D選項符合題意．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了多重符號的化簡，相反數的定義，解題的關鍵是掌握只有符號不同的數是相反數．
題型07 相反數的應用
【例7】（2021·河北·中考真題）能與相加得0的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【提示】利用加法與減法互為逆運算，將0減去即可得到對應答案，也可以利用相反數的性質，直接得到能與 相加得0的是它的相反數即可．
【詳解】解：方法一：；
方法二：的相反數為；
故選：C．
【點睛】本題考查了有理數的運算和相反數的性質，解決本題的關鍵是理解相關概念，并能靈活運用它們解決問題，本題側重學生對數學符號的理解，計算過程中學生應注意符號的改變．
【變式7-1】（2023·山東濰坊·一模）若實數a的相反數是﹣1，則a+1等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．0 D．
【答案】A
【提示】根據相反數的定義即可求解．
【詳解】解：∵1的相反數是﹣1，
∴a＝1，
∴a+1=2
故選：A．
【點睛】本題主要考查了相反數，熟記相反數的定義是解題的關鍵．
【變式7-2】（2022·內蒙古包頭·中考真題）若a，b互為相反數，c的倒數是4，則的值為（ ）
A． B． C． D．16
【答案】C
【提示】根據a，b互為相反數，可得，c的倒數是4，可得 ，代入即可求解．
【詳解】∵a，b互為相反數，
∴，
∵c的倒數是4，
∴，
∴ ，
故選：C
【點睛】本題考查了代數式的求值問題，利用已知求得，是解題的關鍵．
【變式7-3】（2021·甘肅隴南·一模）若與互為相反數，則的值為 .
【答案】1.
【提示】根據相反數的性質即可求解.
【詳解】m+1+(-2)＝0，所以m＝1.
【點睛】此題主要考查相反數的應用，解題的關鍵是熟知相反數的性質.
題型08 求一個數的絕對值
【例8】（2023·浙江·中考真題）計算： ．
【答案】2023
【提示】負數的絕對值是它的相反數，由此可解．
【詳解】解：的相反數是2023，
故，
故答案為：2023．
【點睛】本題主要考查了求一個數的絕對值，解題的關鍵是掌握正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數．
【變式8-1】（2022·湖北宜昌·中考真題）下列說法正確的個數是（ ）
①－2022的相反數是2022；②－2022的絕對值是2022；③的倒數是2022．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【提示】根據相反數、絕對值、倒數的定義逐個判斷即可．
【詳解】①－2022的相反數是2022，故此說法正確；
②－2022的絕對值是2022，故此說法正確；
③的倒數是2022，故此說法正確；
正確的個數共3個；
故選：A．
【點睛】本題考查相反數、絕對值、倒數的含義，只有符號相反的兩個數叫做互為相反數，數軸上一個數所對應的點與原點的距離叫做該數的絕對值，乘積為1的兩個數互為倒數，熟知定義是解題的關鍵．
【變式8-2】（2022·四川南充·中考真題）下列計算結果為5的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根據去括號法則及絕對值化簡依次計算判斷即可．
【詳解】解：A、-（+5）=-5，不符合題意；
B、+（-5）=-5，不符合題意；
C、-(-5)=5，符合題意；
D、，不符合題意；
故選：C．
【點睛】題目主要考查去括號法則及化簡絕對值，熟練掌握去括號法則是解題關鍵．
【變式8-3】（2023·山東淄博·中考真題）的運算結果等于（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【提示】根據絕對值的性質：負數的絕對值等于它的相反數直接求解即可得到答案；
【詳解】解：由題意可得，
，
故選：B；
【點睛】本題考查去絕對值符號，解題的關鍵是熟練掌握負數的絕對值等于它的相反數．
題型09 化簡絕對值
【例9】（2022·內蒙古·中考真題）實數a在數軸上的對應位置如圖所示，則的化簡結果是（ ）

A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
【答案】B
【提示】根據數軸得∶ 00， a-1<0，利用二次根式和絕對值的性質化簡求解即可．
【詳解】解∶∵根據數軸得∶ 0∴a>0， a-1<0，
∴原式=|a|+1+1-a
=a+1+1- a
=2．
故選∶B．
【點睛】本題考查二次根式的性質與化簡，實數與數軸，掌握是解題的關鍵．
【變式9-1】（2022·寧夏·中考真題）已知實數，在數軸上的位置如圖所示，則的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根據數軸上點的位置可得，，據此化簡求解即可．
【詳解】解：由數軸上點的位置可得，，
∴，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了化簡絕對值，根據數軸上點的位置判斷式子符號，有理數的除法，正確得到，是解題的關鍵．
【變式9-2】（2023·安徽蚌埠·模擬預測）有理數、、在數軸上的位置如圖所示，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】由圖可知，，，，，然后確定各項的符號，去掉絕對值號，計算答案．
【詳解】解：由圖可知，，，，，，，
．
故選：A．
【點睛】本題考查了數軸，絕對值，去括號，合并同類項，解題的關鍵是判斷出，，．
【變式9-3】（2023·湖北黃岡·校考模擬預測）已知有理數，，滿足，且，則 ．
【答案】
【提示】當時，則結合已知條件得到，不合題意舍去，從而＜ 可得＜再化簡代數式即可得到答案．
【詳解】解：當時，則
，
，
，所以不合題意舍去，
所以＜
，
＜
故答案為：
【點睛】本題考查的是絕對值的含義，絕對值的化簡，同時考查去括號，合并同類項，掌握以上知識是解題的關鍵．
【變式9-4】．（2023·山東青島·校考一模）設a，b，c為有理數，則由構成的各種數值是 ．
【答案】，0
【提示】此題要分類討論a，b，c與0的關系，然后根據絕對值的性質進行求解；
【詳解】解：∵a，b，c為有理數，
①若，
∴；
②若a，b，c中有兩個負數，則，
∴，
③若a，b，c中有一個負數，則，
∴，
④若a，b，c中有三個負數，則，
∴，
故答案為：，0．
【點睛】此題主要考查絕對值的性質，解題的關鍵是如何根據已知條件，去掉絕對值，還考查了分類討論的思想，正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0．
題型10 絕對值非負性的應用
【例10】（2023·西藏·中考真題）已知a，b都是實數，若，則的值是（ ）
A． B． C．1 D．2023
【答案】B
【提示】根據絕對值和偶次方的非負性可求解a，b的值，再代入計算可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
解得，
∴．
故選：B．
【點睛】此題考查了絕對值與偶次方非負性的應用，解題關鍵是利用非負性求出a、b的值．
【變式10-1】（2023·山東·中考真題）的三邊長a，b，c滿足，則是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【提示】由等式可分別得到關于a、b、c的等式，從而分別計算得到a、b、c的值，再由的關系，可推導得到為直角三角形．
【詳解】解∵
又∵ ∴，∴解得 ，
∴，且，
∴為等腰直角三角形，
故選：D．
【點睛】本題考查了非負性和勾股定理逆定理的知識，求解的關鍵是熟練掌握非負數的和為0，每一個非負數均為0，和勾股定理逆定理．
【變式10-2】（2022·廣西賀州·中考真題）若實數m，n滿足，則 ．
【答案】7
【提示】根據非負數的性質可求出m、n的值，進而代入數值可求解．
【詳解】解：由題意知，m，n滿足，
∴m-n-5=0，2m+n 4=0，
∴m=3，n=-2，
∴，
故答案為：7．
【點睛】此題主要考查了非負數的性質，初中階段有三種類型的非負數：（1）絕對值；（2）偶次方；（3）二次根式（算術平方根）．當它們相加和為0時，必須滿足其中的每一項都等于0．根據這個結論可以求解這類題目．
【變式10-3】（2023·河北邯鄲·校考三模）如圖，在數軸上點表示數，點表示數，且．

(1)______，______；
(2)點、點開始在數軸上運動，若點以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時點以每秒2個單位長度的速度向右運動．求秒后點、點之間的距離（用含的代數式表示）．
【答案】(1)，5
(2)
【提示】（1）由絕對值非負數的性質和平方非負數的性質可得，，即可求得的值；
（2）先表示出秒后點、點表示的數，再根據數軸上兩點之間的距離進行計算即可．
【詳解】（1）解：，且，
，，
，，
故答案為：，5；
（2）解：點以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時點以每秒2個單位長度的速度向右運動，
秒后點表示的數為：，點表示的數為：，
秒后點、點之間的距離為：．
【點睛】主要考查了絕對值非負性的應用，數軸上兩點之間的距離，數軸上的動點問題，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．
【變式10-4】（2023·湖南·模擬預測）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，12
【提示】原式中括號中利用完全平方公式，平方差公式化簡，去括號合并后利用多項式除以單項式法則計算得到最簡結果，利用非負數的性質求出a與b的值，代入計算即可求出值．
【詳解】解：
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴原式．
【點睛】本題考查了完全平方公式、非負數的和為0、及整式的化簡求值．解決本題的關鍵是利用非負數的和為0確定a、b的值．
題型11 利用幾何意義化簡絕對值
【例11】（2023·四川內江·?？既＃╅喿x下列材料：
我們知道的幾何意義是在數軸上數對應的點與原點的距離；即；這個結論可以推廣為表示在數軸上數，對應點之間的距離．絕對值的幾何意義在解題中有著廣泛的應用：
例1：解方程．
容易得出，在數軸上與原點距離為4的點對應的數為±4，即該方程的±4；
例2：解方程．
由絕對值的幾何意義可知，該方程表示求在數軸上與-1和2的距離之和為5的點對應的的值．在數軸上，-1和2的距離為3，滿足方程的對應的點在2的右邊或在-1的左邊．若對應的
點在2的右邊，如圖可以看出；同理，若對應點在-1的左邊，可得．所以原方程的解是或．
例3：解不等式．
在數軸上找出的解，即到1的距離為3的點對應的數為-2，4，如圖，在-2的左邊或在4的右邊的值就滿足，所以的解為或．
參考閱讀材料，解答下列問題：
（1）方程的解為　 ??；
（2）方程的解為　 ；
（3）若，求的取值范圍．
【答案】（1）x=2或x=-8（2）x=-2或x=2018（3）x≥5或x≤-6
【詳解】試題提示：1）分類討論：x<-3，x≥-3，可化簡絕對值，根據解方程，可得答案；
（2）分類討論：x<-1，-1≤x<2017，x≥2017，根據絕對值的意義，可化簡方程，根據解方程，可得答案；
（3）表示的幾何意義分情況討論即可求解.
試題解析：（1）當x< 3時，原方程等價于 x 3=5.解得x= -8；
當x 3時，原方程等價于x+3=5，解得x=2，
故答案為x=2或x=-8；
（2）當x< 1時，原方程等價于 x+2017 x-1=2020，解得x= 2，
當 1 x<2017時，原方程等價于 x+2017 +x+1=2020，不存在x的值；
當x 2017時，原方程等價于x 2017+x+1=2020，解得x=2018，
綜上所述：x=-2或x=2018是方程的解；
（3）∵表示的幾何意義是在數軸上分別與-4和3的點的距離之和，
而-4與3之間的距離為7，
當在-4和3時之間，
不存在，使成立，
當在3的右邊時，
如圖所示，
易知當時，滿足，
當在-4的左邊時，
如圖所示，易知當時，滿足，
所以的取值范圍是或．
點睛：本題主要考查了絕對值，通過閱讀材料，理解絕對值的幾何意義，結合數軸，通過數形結合對材料進行提示來解答題目..
【變式11-1】（2023·河北邢臺·模擬預測）我們知道，的幾何意義是：在數軸上數a對應的點到原點的距離，類似的，的幾何意義就是：數軸上數對應點之間的距離；比如：2和5兩點之間的距離可以用表示，通過計算可以得到他們的距離是3
（1）數軸上1和兩點之間的距離可以用 表示，通過計算可以得到他們的距離是_______
（2）數軸上表示x和的兩點A、B之間的距離可以表示為AB= ；如果AB=2，結合幾何意義，那么x的值為 ；
（3）代數式表示的幾何意義是 ，該代數式的最小值是
【答案】（1）；4；（2）；或-1；（3）數軸上表示數x的點到1和兩點的距離的和；3
【提示】（1）根據兩點間的距離表示即可得到結構；
（2）根據的幾何意義就是：數軸上數對應點之間的距離判斷即可；
（3）根據兩點間的距離表示幾何意義即可，然后根據，，計算最小值即可；
【詳解】（1）數軸上1和兩點之間的距離可以用表示，通過計算可以得到他們的距離是4；
故答案是：；4；
（2）數軸上表示x和的兩點A、B之間的距離可以表示為，
由AB=2，得，
∴或，
∴或；
故答案是：；或-1；
（3）由題意可知：代數式表示的幾何意義是數軸上表示數x的點到1和兩點的距離的和；
當時，原式；
當時，原式；
當時，原式；
∴最小值是3．
故答案是：數軸上表示數x的點到1和兩點的距離的和；3．
【點睛】本題主要考查了數軸上兩點間的距離，絕對值的性質，準確提示計算是解題的關鍵．
題型12 乘方運算
【例12】（2023·廣東佛山·校考一模）以下式子和的值相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】應用有理數的乘方運算法則和負整數指數冪計算法則進行計算即可得出答案．
【詳解】解：，，，，
∴與的值相同，
故選C．
【點睛】本題主要考查了有理數的乘方計算，負整數指數冪，熟知相關計算法則是解題的關鍵．
【變式12-1】（2023·江西贛州·贛州市第三中學?？寄M預測）下列各對數中，相等的一對數是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
【答案】C
【提示】先化簡，再比較即可．
【詳解】A. ∵=1，=-1，∴≠，故不符合題意；
B. ∵=-1，=1，∴≠，故不符合題意；
C. ∵=-1，=-1，∴=，故符合題意；
D. ∵=，=，∴≠，故不符合題意；
故選C．
【點睛】本題考查了有理數的乘方，絕對值，有理數的大小比較，正數大于0，負數小于0，正數大于一切負數，兩個負數，絕對值大的反而?。_化簡各數是解答本題的關鍵．
【變式12-2】（2023·福建泉州·南安市實驗中學?？寄M預測）若x、y、z是三個連續的正整數，若x2＝44944，z2＝45796，則y2＝（ ）
A．45 369 B．45 371 C．45 465 D．46 489
【答案】A
【提示】根據有理數的乘方運算求出x、y即可解答．
【詳解】解：∵x、y、z是三個連續的正整數，
∴y=x+1，
∵x2＝44944=2122，
∴x=212，
∴y=213，
∴y2=2132=45 369，
故選：A．
【點睛】本題考查有理數的乘方，熟練掌握有理數的乘方運算是解答的關鍵．
【變式12-3】（2023·山東東營·一模）的相反數是（ ）
A．－1 B．1 C．－2023 D．2023
【答案】B
【提示】先計算，然后根據相反數的定義即可求解．
【詳解】解：∵，
∴的相反數是1．
故選：B．
【點睛】本題考查了有理數的乘方法則，相反數的定義，掌握乘方法則是解題的關鍵．
題型13 乘方的應用
【例13】（2022·湖南婁底·中考真題）在古代，人們通過在繩子上打結來計數．即“結繩計數”．當時有位父親為了準確記錄孩子的出生天數，在粗細不同的繩子上打結（如圖），由細到粗（右細左粗），滿七進一，那么孩子已經出生了（ ）
A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天
【答案】B
【提示】根據題意以及圖形提示，根據滿七進一，即可求解．
【詳解】解：繩結表示的數為
故選B
【點睛】本題考查了有理數的混合運算，理解“滿七進一”是解題的關鍵．
【變式13-1】（2023·陜西西安·高新一中校考模擬預測）有一張厚度是0.1mm的紙，將它對折20次后，其厚度可表示為（ ）mm
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】根據有理數的乘方的定義，找出規律，即可得出答案．
【詳解】解：對折1次厚度為：mm；
對折2次厚度為mm；
對折3次厚度為mm；
……
依次規律即可得到對折20次后，厚度為mm，
故選：C
【點睛】本題考查了乘方的意義，根據折紙的過程找出規律是解題的關鍵．
【變式13-2】（2023·陜西西安·模擬預測）《莊子》中記載：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”這句話的意思是一尺長的木棍，每天截取它的一半，永遠也截不完，若按此方式截一根長為1的木棍，第4天截取后木棍剩余的長度是 ．
【答案】
【提示】根據題意依次每一天剩余木棍的長度，即可求得第4天截取后木棍剩余的長度．
【詳解】解：第一天截取后剩：（米）；
第二天截取后剩：（米）；
第三天截取后剩：（米）；
第四天截取后剩：（米）；
故答案為：．
【點睛】本題考查了有理數乘方，掌握有理數乘方的意義及性質，理解題意寫出算式是解題關鍵．
【變式13-3】（2023·河北滄州·?？寄M預測）若，則 ．
【答案】1，0，－2
【提示】根據， 的偶次方根為1，非零實數的0次冪等于1，即可求出答案.
【詳解】解：∵，
又∵， 的偶次方根為1，非零實數的0次冪等于1，
當時，則；
當時，則；
當時，則，
此時為偶數，
∴；
∴m的值為：1，0，－2；
故答案為：1，0，－2.
【點睛】本題考查了乘方的運算，解題的關鍵是熟練掌握乘方等于1的式子.
考點三 科學記數法與近似數（高頻考點）
相關概念 概念 補充與拓展
科學記數法 科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數． 用科學記數法表示數時，確定a，n的值是關鍵
當原數絕對值大于10時，寫成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數的整數位數減1
當原數絕對值小于1時，寫成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數左邊第一個非零的數字前的所有零的個數（包括小數點前面的零）.
小技巧：1萬=104，1億=1萬*1萬=108
近似數 近似數與準確數的接近程度通常用精確度來表示，近似數一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位. 近似數小數點后的末位數是0的，不能去掉0
一個近似數從左邊第一位非0的數字起，到末位數字止，所有的數字都是這個數的有效數字
一個近似數有幾個有效數字，就稱這個近似數保留幾個有效數字
題型01 用科學記數法表示數
【例1】（2023·四川成都·中考真題）2023年5月17日10時49分，我國在西昌衛星發射中心成功發射第五十六顆北斗導航衛星．北斗系統作為國家重要基礎設施，深刻改變著人們的生產生活方式．目前，某地圖軟件調用的北斗衛星日定位量超億次．將數據億用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【提示】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為，其中，為整數．
【詳解】解：億．
故選：D．
【點睛】本題考查了科學記數法，科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數．確定的值時，要看把原來的數，變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，是正數；當原數的絕對值時，是負數，確定與的值是解題的關鍵．
【變式1-1】（2023·貴州·中考真題）據中國經濟網資料顯示，今年一季度全國居民人均可支配收入平穩增長，全國居民人均可支配收入為10870元．10870這個數用科學記數法表示正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【提示】將10870寫成的形式，其中，n為正整數．
【詳解】解：，
故選：B．
【點睛】本題考查科學記數法，解題的關鍵是掌握中，n與小數點移動位數相同．
【變式1-2】（2023·湖北武漢·中考真題）新時代十年來，我國建成世界上規模最大的社會保障體系．其中基本醫療保險的參保人數由5.4億增加到13.6億，參保率穩定在95%．將數據13.6億用科學記數法表示為的形式，則的值是 （備注：1億＝100000000）．
【答案】9
【提示】將13.6億=寫成（，n為整數）的形式即可．
【詳解】解：13.6億==．
故答案為9．
【點睛】本題主要考查了科學記數法，將原數寫成（，n為整數）的形式，確定a和n的值是解答本題的關鍵．
【變式1-3】（2023·山東東營·中考真題）我國古代數學家祖沖之推算出的近似值為，它與的誤差小于0.0000003，將0.0000003用科學記數法可以表示為 ．
【答案】
【提示】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
【詳解】解：0.0000003用科學記數法表示為．
故答案為：．
【點睛】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為，其中，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
題型02 求一個數的近似數
【例2】（2022·山東濟寧·中考真題）用四舍五入法取近似值，將數0.0158精確到0.001的結果是（ ）
A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02
【答案】B
【提示】利用四舍五入的方法，從萬分位開始四舍五入取近似值即可．
【詳解】解：0.0158≈0.016．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了近似數和有效數字，正確利用四舍五入法取近似值是解題的關鍵．
【變式2-1】（2021·山東濰坊·中考真題）第七次全國人口普查數據顯示，山東省常住人口約為10152.7萬人，將101 527 000用科學記數法（精確到十萬位）（ ）
A．1.02×108 B．0.102×109 C．1.015×108 D．0.1015×109
【答案】C
【提示】先用四舍五入法精確到十萬位，再按科學記數法的形式和要求改寫即可．
【詳解】解：
故選：C
【點睛】本題考查了近似數和科學記數法的知識點，取近似數是本題的基礎，熟知科學記數法的形式和要求是解題的關鍵．
【變式2-2】（2021·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）用四舍五入法把某數取近似值為，精確度正確的是（ ）
A．精確到0.01 B．精確到0.1 C．精確到萬分位 D．精確到千分位
【答案】D
【提示】將數還原后，原數最后一個數字2所在的位置即是該數精確的位置．
【詳解】解：=0.052，
故選：D．
【點睛】此題考查數的精確度，正確將科學記數法表示的數還原是解題的關鍵．
考點四 實數比較大小
實數比較大小的6種基礎方法：
1. 數軸比較法: 將兩個數表示在同一條數軸上，右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大.
2. 類別比較法: 正數大于零；負數小于零；正數大于一切負數；兩個負數比較大小，絕對值大的反而?。?br/>3. 作差比較法: 若a，b是任意兩個實數，則
①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a4. 平方比較法：①對任意正實數a，b，若a2>b2a>b
②對任意負實數a，b，若a2>b2a5. 倒數比較法：若1/a>1/b，ab>0，則a6. 作商比較法：1)任意實數a，b，a/b=1a=b
2)任意正實數a，b，a/b>1a>b , a/b<1a>b
3)任意負實數a，b，a/b>1ab
題型01 利用數軸法比較實數大小
【例1】（2023·湖北黃石·中考真題）實數a與b在數軸上的位置如圖所示，則它們的大小關系是（ ）

A． B． C． D．無法確定
【答案】C
【提示】根據數軸上右邊的數總大于左邊的數求解即可．
【詳解】解：由圖可知，，
故選：C．
【點睛】本題考查利用數軸比較有理數的大小，熟知數軸上右邊的數總大于左邊的數是解答的關鍵．
【變式1-1】（22·23下·惠州·二模）已知有理數在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列式子成立的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據數軸的特征得到有理數的大小關系，逐項判斷即可得到答案．
【詳解】解：由有理數在數軸上的對應點的位置可知，且，則
A、由可知錯誤，不符合題意；
B、由、得到且，可知錯誤，不符合題意；
C、由題意可知，可知錯誤，不符合題意；
D、由得到，從而，即正確，符合題意，
故選：D．
【點睛】本題考查數軸的特征及數大小的比較，熟練掌握數軸的特征是解決問題的關鍵．
題型02利用類比法比較實數大小
【例2】（2022·遼寧阜新·中考真題）在有理數，，0，2中，最小的是（　　）
A． B． C．0 D．2
【答案】B
【提示】根據有理數大小比較的方法：正數負數，負數絕對值大的反而小，進行比較即可．
【詳解】解：根據題意可得：，
∴最小的是，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了有理數的大小比較，解題的關鍵是掌握有理數大小比較的方法：正數負數，負數絕對值大的反而?。?br/>【變式2-1】（2023·浙江金華·中考真題）某一天，哈爾濱、北京、杭州、金華四個城市的最低氣溫分別是，，，，其中最低氣溫是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【提示】根據有理數的大小比較，即可作出判斷．
【詳解】解：，
故溫度最低的城市是哈爾濱，
故選：A．
【點睛】本題考查了有理數的大小比較的知識，解答本題的關鍵是掌握有理數的大小比較法則．
【變式2-2】（2023·湖南益陽·中考真題）四個實數，0，2，中，最大的數是（ ）
A． B．0 C．2 D．
【答案】C
【提示】根據實數的大小比較法則，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴最大的數是2．
故選：C
【點睛】本題主要考查了實數的大小比較，熟練掌握實數的大小比較法則是解題的關鍵．
題型03 利用作差法比較實數大小
【例3】（2023·江蘇鹽城·中考真題）課堂上，老師提出了下面的問題：
已知，，，試比較與的大?。?br/>小華：整式的大小比較可采用“作差法”.
老師：比較與的大?。?br/>小華：∵，
∴．
老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？
…
(1)請用“作差法”完成老師提出的問題．
(2)比較大?。篲_________．（填“”“”或“”）
【答案】(1)
(2)
【提示】（1）根據作差法求的值即可得出答案；
（2）根據作差法求的值即可得出答案．
【詳解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
．
故答案為：．
【點睛】本題考查分式運算的應用，解題關鍵是理解材料，通過作差法求解，掌握分式運算的方法．
【變式3-1】（2023·山西臨汾·一模）閱讀理解下面內容，并解決問題.
用求差法比較大小 學習了不等式的知識后，我們根據等式和不等式的基本性質，可知比較兩個數或式子的大小可以通過求它們的差來判斷．如果兩個數或式子為和，那么 當時，一定有；當時，一定有；當時，一定有． 反過來也正確，即 當時，一定有；當時，一定有；當時，一定有． 因此，我們經常把要比較的對象先數量化，再求它們的差，根據差的正負判斷對象的大?。@種比較大小的方法被稱為“求差法”． 例如：已知，比較與的大小． 解： ∵，∴，，，∴，∴． “求差法”的實質是把兩個數（或式子）的大小判斷的問題，轉化為一個數（或式子）與0的大小比較的問題．一般步驟為①作差；②變形；③判斷符號；④得出結論．
請解決以下問題：(1)用“”或“”填空：______．
(2)制作某產品有兩種用料方案，方案：用塊型鋼板，塊型鋼板；方案：用塊型鋼板，塊型鋼板；已知型鋼板的面積比型鋼板的面積大，若型鋼板的面積為，型鋼板的面積為，則從省料的角度考慮，應選哪種方案？并說明理由．
(3)已知，比較與的大?。?br/>【答案】(1)
(2)應選方案，理由見解析
(3)當時，；當時，；當時，．
【提示】（1）利用求差法進行大小比較即可；
（2）先表示方案的面積，再表示方案的面積，最后求差比較方案和方案的大小即可；
（3）利用求差法分情況討論即可得到正確的結論．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
故答案為：；
（2）解：∵若型鋼板的面積為，型鋼板的面積為，
∴方案的面積為：；方案的面積為：，
∴，
∵型鋼板的面積比型鋼板的面積大，
∴，
∴，
∴方案省料．
（3）解：∵，
∵，
∴①當，即時，，
∴，
∴②當，即時，，
∴，
∴③當，即時，，
∴，
綜上可知：當時，；當時，；當時，．
【點睛】本題考查了求差法比較實數的大小，整式的加減，讀懂閱讀材料是解題的關鍵．
題型04 利用作商法比較實數大小
【例4】作商比較法的理論依據是，，若，則；若，則；若，則．請用作商法比較與的大?。?br/>【答案】
【提示】用除以，結果與1比較大小即可．
【詳解】解：，，
，
．
【點睛】本題考查作商法比較二次根式的大小，解題的關鍵是掌握二次根式的性質及乘除運算法則．
【變式4-1】若a＞0，b＞0，且，則a＞b；若a＜0，b＜0，且，則a＜b．以上這種比較大小的方法，叫做作商比較法．試利用作商比較法，比較與的大?。?br/>【答案】
【詳解】
因為，，，所以
題型05 利用平方法比較實數大小
【例5】（2023·四川甘孜·中考真題）比較大?。? （填“>”“=”或“<”）
【答案】
【提示】一個無理數和一個整數比較大小，可以采取把兩個數先分別平方，再來比較平方后的兩個數的大小，進而得到答案.
【詳解】解：∵，22 = 4,
∴5＞4
∴＞4.
故填 ＞.
【點睛】本題主要考查了無理數比較大小的方法, 對比較大小的數同時進行平方運算后, 化為我們熟悉的整數再比較大小.
【變式5-1】（2022·山東臨沂·中考真題）比較大?。? （填“”，“”或“”）．
【答案】
【提示】根據實數大小比較解答即可．
【詳解】解：∵，，，
∴，
故答案為：．
【點睛】此題考查實數大小的比較，關鍵是根據實數大小比較解答．
【變式5-2】（2023·江蘇鹽城·校聯考模擬預測）比較大小： ．（填“>”，“=”或“<”）
【答案】>
【提示】先利用平方法比較它們的絕對值的大小，再根據兩個負數比較大小，絕對值大的反而小，即可比較．
【詳解】解：∵，，，
∴，
∴，
故答案為：>．
【點睛】本題考查實數的大小比較，掌握平方法是解題關鍵．
題型06 利用其它方法比較實數大小
【例6】（2023·江蘇揚州·中考真題）已知，則a、b、c的大小關系是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【提示】由，，進行判斷即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了實數的大小比較，算術平方根．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握．
【變式6-1】（2022·西藏·中考真題）比較大小： 3．（選填“＞”“＜”“＝”中的一個）
【答案】＜
【提示】利用平方法比較兩數大小關系．
【詳解】解：∵7＜9，
∴＜，
即＜3，
故答案為：＜．
【點睛】本題考查實數比較大?。懈柕膶崝翟诒容^大小時，通常采用平方法進行比較．
【變式6-2】（2023·陜西西安·一模）比較大小： （填“＞”，“＜”或“=”）
【答案】
【提示】根據無理數的大小估算得出，進而即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了實數的大小比較，估算出的大小是解題的關鍵．
【變式6-3】（2023·陜西西安·一模）比較大小： 1．（填“”“ ”或“”）
【答案】
【提示】運用作差法進行比較大小即可．
【詳解】解：，
，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了實數的大小比較，運用作差法是解題的關鍵．
考點五 平方根、算術平方根、立方根
相關概念 概念 補充與拓展
算術平方根 如果一個正數x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數x叫做a的算術平方根.記為√a，a叫做被開方數. 正數只有一個算術平方根，且恒為正；0的算術平方根為0；負數沒有算術平方根
平方根 如果一個數的平方等于a，那么這個數就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根. 正數有兩個平方根，且它們互為相反數.
0的算術平方根為0；負數沒有算術平方根.
立方根 如果一個數的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根 正數只有一個正的立方根；0的立方根是0；負數只有一個負的立方根．
互為相反數的兩個數的立方根互為相反數
常見實數的平方根與立方根：
實數的非負性及性質：
1.在實數范圍內，正數和零統稱為非負數.
2.非負數有三種形式：①任何一個實數a的絕對值是非負數，即|a|≥0；
②任何一個實數a的平方是非負數，即≥0；
③任何非負數的算術平方根是非負數，即≥0
3.非負數具有以下性質 ：①非負數有最小值零；②非負數之和仍是非負數；
③幾個非負數之和等于0，則每個非負數都等于0
題型01 求一個數的算術平方根
【例1】（2023·甘肅武威·中考真題）9的算術平方根是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】由，可得9的算術平方根．
【詳解】解：9的算術平方根是3，
故選C
【點睛】本題考查的是算術平方根的含義，熟練的求解一個數的算術平方根是解本題的關鍵．
【變式1-1】（2023·山東·中考真題）面積為9的正方形，其邊長等于（　　）
A．9的平方根 B．9的算術平方根 C．9的立方根 D．5的算術平方根
【答案】B
【分析】根據算術平方根的定義解答即可．
【詳解】解：∵面積等于邊長的平方，
∴面積為9的正方形，其邊長等于9的算術平方根．
故選B．
【點睛】本題考查了算術平方根的意義，一般地，如果一個正數x的平方等于a，即，那么這個正數x叫做a的算術平方根．
【變式1-2】（2022·四川涼山·中考真題）化簡：＝（ ）
A．±2 B．－2 C．4 D．2
【答案】D
【分析】先計算（-2）2=4，再求算術平方根即可．
【詳解】解：，
故選：D．
【點睛】本題考查算術平方根，熟練掌握算術平方根的定義是解題的關鍵．
題型02 利用算術平方根的非負性解題
【例2】（2023·湖北荊門·中考真題）若，則 ．
【答案】
【分析】根據絕對值的非負性，平方的非負性求得的值進而求得的算術平方根即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了求一個數的算術平方根，熟練掌握絕對值的非負性，平方的非負性求得的值是解題的關鍵．
【變式2-1】（2023·四川內江·中考真題）在中，的對邊分別為a、b、c，且滿足，則的值為 ．
【答案】/
【分析】由，可得，求解，證明，再利用正弦的定義求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，算術平方根，絕對值，偶次方的非負性，勾股定理的逆定理的應用，銳角的正弦的含義，證明是解本題的關鍵．
題型03 求一個數的平方根
【例3】（2023·四川廣安·中考真題）的平方根是 ．
【答案】±2
【詳解】解：∵
∴的平方根是±2．
故答案為±2．
【變式3-1】（2023·湖北鄂州·校考模擬預測）64的算術平方根是 ，的平方根是 ．
【答案】 8
【分析】根據求一個數的算術平方根及平方根的方法，即可解答．
【詳解】解：，
的算術平方根是8，
，，
的平方根是，
故答案為：8，．
【點睛】本題考查了求一個數的算術平方根及平方根，熟練掌握和運用求一個數的算術平方根及平方根的方法是解決本題的關鍵．
題型04 已知一個數的平方根，求這個數
【例4】（2023·廣東廣州·廣東實驗中學?？级＃┤粽龜档膬蓚€平方根是與，則為（ ）
A．0 B．1 C． D．1或
【答案】C
【分析】根據一個正數有兩個平方根，它們互為相反數即可求解．
【詳解】解：∵正數的兩個平方根是與，
∴，
解得：，
故選C．
【點睛】本題主要考查了平方根，掌握平方根的性質是解題的關鍵．
題型05 求一個數的立方根
【例5】（2023·浙江嘉興·中考真題）﹣8的立方根是（　　）
A．±2 B．2 C．﹣2 D．不存在
【答案】C
【分析】根據立方根的定義進行解答．
【詳解】∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2，
故選C．
【點睛】本題主要考查了立方根，解決本題的關鍵是數積立方根的定義．
【變式5-1】（2023·湖南郴州·中考真題）計算： ．
【答案】3
【分析】求數a的立方根，也就是求一個數x，使得x3=a，則x就是a的一個立方根，根據立方根的定義計算可得．
【詳解】解： ∵33=27，
∴．
故答案為3．
【點睛】此題考查了求一個數的立方根，熟記立方根定義是解題的關鍵．
【變式5-2】（2023·湖南·中考真題）的立方根是 ．
【答案】2
【分析】的值為8，根據立方根的定義即可求解．
【詳解】解：，8的立方根是2，
故答案為：2．
【點睛】本題考查算術平方根和立方根的定義，明確算術平方根和立方根的定義是解題的關鍵．
【變式5-3】（2021·內蒙古·中考真題）一個正數a的兩個平方根是和，則的立方根為 ．
【答案】2
【分析】根據一個正數的平方根互為相反數，將和相加等于0，列出方程，解出b，再將b代入任意一個平方根中，進行平方運算求出這個正數a，將算出后，求立方根即可．
【詳解】∵和是正數a的平方根，
∴，
解得 ，
將b代入，
∴正數 ，
∴，
∴的立方根為：，
故填：2．
【點睛】本題考查正數的平方根的性質，求一個數的立方根，解題關鍵是知道一個正數的兩個平方根互為相反數．
考點六 實數的運算（高頻考點）
常見的實數運算：
三角函數 30° 45° 60°
1
實數的四則運算：
1.實數的加法法則：
1)同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；
2)異號兩數相加，絕對值不相等時，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.
2.實數的減法法則：
減去一個數等于加上這個數的相反數.
3.實數的乘方法則：
1）兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；
2）任何數同0相乘，都得0.
4.實數的除法法則：
1）除以一個不為0的數，等于乘以這個數的倒數；
2）0除以任何不為0的數，都得0.
5.運算順序：加和減屬于運算中的第一級運算，級別是最低的，通常放在最后面計算； 乘和除屬于運算中的第二級運算，級別中等，運算順序高于加和減； 而乘方和開方則屬于第三級運算，級別較高，通常是最優先計算的（如果有括號，先算括號內的；如果沒有括號，在同一級運算中，要從左至右進行運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算）.
題型01 實數的運算
【例1】（2023·云南·中考真題）計算：．
【答案】6
【分析】根據絕對值的性質、零指數冪的性質、負指數冪的性質和特殊角的三角函數值分別化簡計算即可得出答案．
【詳解】解：
．
【點睛】本題考查了實數的運算，熟練掌握絕對值的性質、零指數冪的性質、負指數冪的性質和特殊角的三角函數值是解題的關鍵．
【變式1-1】（2023·北京·中考真題）計算：．
【答案】
【分析】代入特殊角三角函數值，利用負整數指數冪，絕對值和二次根式的性質化簡，然后計算即可．
【詳解】解：原式
．
【點睛】本題考查了實數的混合運算，牢記特殊角三角函數值，熟練掌握負整數指數冪，絕對值和二次根式的性質是解題的關鍵．
【變式1-2】（2023·湖南懷化·中考真題）計算：
【答案】
【分析】先計算負整數指數冪、算術平方根、零指數冪、減法運算，再進行加減混合運算即可．
【詳解】解：
【點睛】此題考查了實數混合運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．
【變式1-3】（2023·遼寧沈陽·中考真題）計算：．
【答案】10
【分析】根據零指數冪和負整數指數冪運算法則，二次根式性質，特殊角的三角函數值，進行計算即可．
【詳解】解：
．
【點睛】本題主要考查了實數混合運算，解題的關鍵是熟練掌握零指數冪和負整數指數冪運算法則，二次根式性質，特殊角的三角函數值，準確計算．
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實數
目 錄
一、考情分析
二、知識建構
考點一 實數的分類（高頻考點）
題型01 實數的分類
題型02 無理數估值
題型03 相反意義的量
考點二 實數的相關概念（高頻考點）
題型01 用數軸上的點表示數
題型02 求數軸上兩點之間的距離
題型03 根據點在數軸上的位置判斷式子正負
題型04 數軸上的動點問題
題型05 求一個數的相反數
題型06 多重符號化簡
題型07 相反數的應用
題型08 求一個數的絕對值
題型09 化簡絕對值
題型10 絕對值非負性的應用
題型11 利用幾何意義化簡絕對值
考點要求 新課標要求 命題預測
實數的分類 理解有理數、無理數的概念，知道實數是由有理數和無理數組成的 實數這一考點在中考數學中屬于較為簡單的一類考點，在中考，實數的分類及相關概念主要以選擇題或填空題形式考查，比較簡單；科學記數法、近似數多以選擇題或填空題形式考查，有大數和小數兩種形式，有時帶“億”“萬”“千萬”等單位，做題時要仔細審題，切忽略單位；實數的大小比較常以選擇題形式出現，常與數軸結合考查；實數的運算考查形式多樣，多數以解答題形式出現，結合絕對值、銳角三函數、二次根式、平方根、立方根等知識考查. 對于實數的復習，需要學生熟練掌握實數相關概念及其性質的應用、實數運算法則和順序等考點.
實數的相關概念 可以借助數軸理解相反數和絕對值的意義，會求實數的相反數、絕對值、倒數，知道實數與數軸上的點一一對應
科學記數法、近似數 利用科學記數法簡化表示非常大或非常小的數，了解近似數，會按問題的要求進行簡單的近似計算
實數比較大小 靈活運用多種方法比較實數大小
平方根、算術平方根、立方根 了解平方根、算術平方根、立方根的概念，會用根號表示數的平方根、算術平方根、立方根
實數的相關計算 掌握有理數的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算(以三步以內為主)；能運用有理數的運算解決簡單的問題，知道有理數的運算律在實數范圍內仍然適用．
考點一 實數的分類（高頻考點）
1、正負數的概念：大于0的數叫做正數.正數前面加上符號“-”的數叫負數.負數前面的負號“-”不能省略.0既不是正數，也不是負數.
2、正負數的意義：表示具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，通常先規定其中一個為正，則另一個就用負表示．
3、整數和分數統稱為有理數（本質：能夠化為分數的形式）.無限不循環小數叫做無理數.有理數和無理數統稱為實數.
4、實數的分類：
1）按定義分類： 2）按性質分類：
題型01 實數的分類
【例1】（2023·四川涼山·中考真題）下列各數中，為有理數的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2023·江蘇鹽城·中考真題）下列數中，屬于負數的是（ ）
A．2023 B． C． D．0
【變式1-2】（2022·浙江金華·中考真題）在中，是無理數的是（ ）
A． B． C． D．2
【變式1-3】（2022·山東日照·中考真題）在實數，x0（x≠0），cos30°，中，有理數的個數是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式1-4】（2023·江西·中考真題）下列各數中，正整數是（ ）
A． B． C． D．
題型02 無理數估值
【例2】（2023·浙江臺州·中考真題）下列無理數中，大小在3與4之間的是（ ）．
A． B． C． D．
【變式2-1】（2023·浙江嘉興·中考真題）下面四個數中，比1小的正無理數是（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式2-2】（2023·天津·中考真題）估計的值應在 （）
A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之
【變式2-3】（2023·內蒙古·中考真題）若為兩個連續整數，且，則 ．
題型03 相反意義的量
【例3】（2023·廣東廣州·中考真題）負數的概念最早出現在我國古代著名的數學專著《九章算術》中，如果把收入5元記作元，那么支出5元記作（ ）
A．元 B．0元 C．元 D．元
【變式3-1】（2023·湖南永州·中考真題）我國古代數學名著《九章算術》中對正負數的概念注有“今兩算得失相反，要令正負以名之”、如：糧庫把運進30噸糧食記為“”，則“”表示（ ）
運出30噸糧食 B．虧損30噸糧食 C．賣掉30噸糧食 D．吃掉30噸糧食
【變式3-2】（2023·吉林·中考真題）月球表面的白天平均溫度零上，記作，夜間平均溫度零下，應記作（ ）
A． B． C． D．
考點二 實數的相關概念（高頻考點）
相關概念 概念 補充與拓展
數軸 規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸. 數軸上的點與實數具有一一對應的關系.
將兩個數表示在同一條數軸上，右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大.
在數軸上距原點n個單位長度的點有2個.
數軸中點公式：數軸上有兩點A、B分別表示的數為x，y，若C是A、B兩點的中點， C所表示的數為c，則有：2c=a+b.
數軸兩點距離=數軸上右側的點所表示的數-左側的點表示的數
（簡稱大數-小數）.
相反數 只有符號不同的兩個數稱為互為相反數. 若a、b互為相反數，則a+b=0（反之亦成立）.
互為相反數的兩個數在數軸上對應的兩個點到原點的的距離相等且位于原點的兩側.
正數的相反數是負數；負數的相反數是正數；0的相反數是0.相反數是本身的數是0.
（a+b）的相反數是-（a+b），（a-b）的相反數是-（a-b）或b-a.
多重符號化簡口訣：數負號個數，奇負偶正.
絕對值 在數軸上表示數a的點到原點的距離叫做a的絕對值，記為|a|． 兩個正數比較，絕對值大數越大；兩個負數比較，絕對值大的反而小.
正數的絕對值是它本身；0絕對值是0；負數的絕對值是它的相反數
若|a|=a（或|a|-a=0），則a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），則a≤0.
若a=b或a=-b，則|a|=|b|（反之亦成立）.
若|a|+|b|=0，則a=0且b=0（a、b可以是多項式）.
幾何意義補充：|x|=|x-0|，數軸上表示x的點到原點的距離
|x-1|，數軸上表示x的點與表示1的點之間的距離
|x+2|，數軸上表示x的點與表示-2的點之間的距離
倒數 1除以一個不等于零的實數所得的商，叫做這個數的倒數． 0沒有倒數.
若a、b互為倒數，則ab=1
互為倒數的兩個數必定同號（同為正數或同為負數）.
倒數是本身的只有1和-1.
乘方 n個相同的因數a相乘記作an，其中a為底數，n為指數，
乘方的結果叫做冪. 負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數
正數的任何次冪都是正數.
規定：a0=1（a≠0）
題型01 用數軸上的點表示數
【例1】（2023·浙江溫州·中考真題）如圖，比數軸上點A表示的數大3的數是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【變式1-1】（2023·四川自貢·中考真題）如圖，數軸上點A表示的數是2023，，則點B表示的數是（ ）
A．2023 B． C． D．
【變式1-2】（2022·山東臨沂·中考真題）如圖，，位于數軸上原點兩側，且．若點表示的數是6，則點表示的數是（ ）
A．-2 B．-3 C．-4 D．-5
【變式1-3】（2023·內蒙古赤峰·中考真題）如圖，數軸上表示實數的點可能是( )

A．點P B．點Q C．點R D．點S
題型02 求數軸上兩點之間的距離
【例2】（2023·廣東汕頭·模擬預測）一只螞蟻從數軸上A點出發爬了4個單位到了相反數B點所在的位置，則點A所表示的是（　　）
A．﹣2或2 B．﹣2 C．2 D．4或﹣4
【變式2-1】（2021·廣東廣州·中考真題）如圖，在數軸上，點A、B分別表示a、b，且，若，則點A表示的數為（ ）
A． B．0 C．3 D．
【變式2-2】（2023·寧夏·中考真題）如圖，點，，在數軸上，點表示的數是，點是的中點，線段，則點表示的數是 ．

題型03 根據點在數軸上的位置判斷式子正負
【例3】（2023·山東濰坊·中考真題）實數a，b，c在數軸上對應的點如圖所示，下列判斷正確的是（ ）

A． B． C． D．
【變式3-1】（2023·山東·中考真題）實數a，b，c在數軸上對應點的位置如圖所示，下列式子正確的是（ ）

A． B． C． D．
【變式3-2】【多選】（2022·山東濰坊·中考真題）如圖，實數a，b在數軸上的對應點在原點兩側，下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，數軸上的點分別對應實數，則 0.(用“”“”或“”填空)

題型04 數軸上的動點問題
【例4】（2022·廣東·惠州一中校考二模）如圖，直徑為1個單位長度的圓從原點開始沿數軸向右無滑動地滾動一周到達點 A，則點 A 表示的數是（ ）．
A．3 B．4 C．π D．2π
【變式4-1】（2021·廣西百色·一模）正方形紙板在數軸上的位置如圖所示，點對應的數分別為1和0，若正方形紙板繞著頂點順時針方向在數軸上連續翻轉，則在數軸上與2020對應的點是（ ）
A．A B．B C．C D．D
【變式4-2】（2023·河北承德·二模）如圖，數軸上點M對應的數為，點N在點M右側，對應的數為a，矩形的邊在數軸上．矩形從點A與M重合開始勻速向正方向運動，到點D與點N重合時停止運動．同時一動點P以每秒2個單位長度的速度，從點A出發沿折線繞矩形勻速運動一周，且點P與矩形同時到達各自終點．已知，，設運動時間為t秒，過點Р作垂直于數軸的直線，將垂足對應的數稱為點Р對應的數．

(1)若矩形運動速度為每秒1個單位長度，則點A對應數軸上的數為 ；（用含t的代數式表示，不必寫范圍）．
(2)若，當，即點Р在邊上時，點Р對應數軸上的數為 ；（用含t的代數式表示）
(3)若運動過程中有一段時間，點Р對應數軸上的數不變，則 ．
【變式4-3】．（2022·河北石家莊·石家莊二十三中?？寄M預測）如圖，程序員在數軸上設計了A、B兩個質點，它們分別位于―6和9的位置，現兩點按照下述規則進行移動：每次移動的規則x分別擲兩次正方體骰子，觀察向上面的點數：
①若兩次向上面的點數均為偶數，則A點向右移動1個單位，B點向左移2個單位；
②若兩次向上面的點數均為奇數，則A點向左移動2個單位，B點向左移動5個單位；
③若兩次向上面的點數為一奇一偶，則A點向右移動5個單位，B點向右移2個單位．
(1)經過第一次移動，求B點移動到4的概率；
(2)從如圖所示的位置開始，在完成的12次移動中，發現正方體骰子向上面的點數均為偶數或奇數，設正方體骰子向上面的點數均為偶數的次數為a，若A點最終的位置對應的數為b，請用含a的代數式表示b，并求當A點落在原點時，求此時B點表示的數；
(3)從如圖所示的位置開始，經過x次移動后，若，求x的值．
【變式4-4】（2022·河北邯鄲·?？既＃┤鐖D，在數軸上，點P、A、B表示的數分別是﹣6、﹣3、2．點P以每秒2個單位長度的速度沿數軸向右運動，同時點B以每秒1個單位長度的速度沿數軸向右運動，設點P、B運動的時間為t秒時，點P、B分別位于數軸上P'、B'處．
(1)當t＝ 時，AB＝8．
(2)當P'A＝3P'B時，求t的值．
題型05 求一個數的相反數
【例5】（2023·遼寧錦州·中考真題）的相反數是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，數軸上點A所表示的數的相反數是（　　）
A．9 B． C． D．
【變式5-2】（2023·四川綿陽·中考真題）中國人最早使用負數，可追溯到兩千多年前的秦漢時期，﹣0.5的相反數是（ ）
A．0.5 B．±0.5 C．﹣0.5 D．5
題型06 多重符號化簡
【例6】（2023·廣東廣州·中考真題）（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2023·廣東廣州·?？寄M預測）下列各對數中，互為相反數的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
題型07 相反數的應用
【例7】（2021·河北·中考真題）能與相加得0的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-1】（2023·山東濰坊·一模）若實數a的相反數是﹣1，則a+1等于（ ）
A．2 B．﹣2 C．0 D．
【變式7-2】（2022·內蒙古包頭·中考真題）若a，b互為相反數，c的倒數是4，則的值為（ ）
A． B． C． D．16
【變式7-3】（2021·甘肅隴南·一模）若與互為相反數，則的值為 .
題型08 求一個數的絕對值
【例8】（2023·浙江·中考真題）計算： ．
【變式8-1】（2022·湖北宜昌·中考真題）下列說法正確的個數是（ ）
①－2022的相反數是2022；②－2022的絕對值是2022；③的倒數是2022．
A．3 B．2 C．1 D．0
【變式8-2】（2022·四川南充·中考真題）下列計算結果為5的是（ ）
A． B． C． D．
【變式8-3】（2023·山東淄博·中考真題）的運算結果等于（ ）
A．3 B． C． D．
題型09 化簡絕對值
【例9】（2022·內蒙古·中考真題）實數a在數軸上的對應位置如圖所示，則的化簡結果是（ ）

A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
【變式9-1】（2022·寧夏·中考真題）已知實數，在數軸上的位置如圖所示，則的值是（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式9-2】（2023·安徽蚌埠·模擬預測）有理數、、在數軸上的位置如圖所示，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【變式9-3】（2023·湖北黃岡·?？寄M預測）已知有理數，，滿足，且，則 ．
【變式9-4】．（2023·山東青島·校考一模）設a，b，c為有理數，則由構成的各種數值是 ．
題型10 絕對值非負性的應用
【例10】（2023·西藏·中考真題）已知a，b都是實數，若，則的值是（ ）
A． B． C．1 D．2023
【變式10-1】（2023·山東·中考真題）的三邊長a，b，c滿足，則是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形
【變式10-2】（2022·廣西賀州·中考真題）若實數m，n滿足，則 ．
【變式10-3】（2023·河北邯鄲·校考三模）如圖，在數軸上點表示數，點表示數，且．

(1)______，______；
(2)點、點開始在數軸上運動，若點以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時點以每秒2個單位長度的速度向右運動．求秒后點、點之間的距離（用含的代數式表示）．
【變式10-4】（2023·湖南·模擬預測）先化簡，再求值：，其中．
題型11 利用幾何意義化簡絕對值
【例11】（2023·四川內江·?？既＃╅喿x下列材料：
我們知道的幾何意義是在數軸上數對應的點與原點的距離；即；這個結論可以推廣為表示在數軸上數，對應點之間的距離．絕對值的幾何意義在解題中有著廣泛的應用：
例1：解方程．
容易得出，在數軸上與原點距離為4的點對應的數為±4，即該方程的±4；
例2：解方程．
由絕對值的幾何意義可知，該方程表示求在數軸上與-1和2的距離之和為5的點對應的的值．在數軸上，-1和2的距離為3，滿足方程的對應的點在2的右邊或在-1的左邊．若對應的
點在2的右邊，如圖可以看出；同理，若對應點在-1的左邊，可得．所以原方程的解是或．
例3：解不等式．
在數軸上找出的解，即到1的距離為3的點對應的數為-2，4，如圖，在-2的左邊或在4的右邊的值就滿足，所以的解為或．
參考閱讀材料，解答下列問題：
（1）方程的解為　 　；
（2）方程的解為　 ；
（3）若，求的取值范圍．
【變式11-1】（2023·河北邢臺·模擬預測）我們知道，的幾何意義是：在數軸上數a對應的點到原點的距離，類似的，的幾何意義就是：數軸上數對應點之間的距離；比如：2和5兩點之間的距離可以用表示，通過計算可以得到他們的距離是3
（1）數軸上1和兩點之間的距離可以用 表示，通過計算可以得到他們的距離是_______
（2）數軸上表示x和的兩點A、B之間的距離可以表示為AB= ；如果AB=2，結合幾何意義，那么x的值為 ；
（3）代數式表示的幾何意義是 ，該代數式的最小值是
題型12 乘方運算
【例12】（2023·廣東佛山·校考一模）以下式子和的值相同的是（ ）
A． B． C． D．
【變式12-1】（2023·江西贛州·贛州市第三中學?？寄M預測）下列各對數中，相等的一對數是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
【變式12-2】（2023·福建泉州·南安市實驗中學?？寄M預測）若x、y、z是三個連續的正整數，若x2＝44944，z2＝45796，則y2＝（ ）
A．45 369 B．45 371 C．45 465 D．46 489
【變式12-3】（2023·山東東營·一模）的相反數是（ ）
A．－1 B．1 C．－2023 D．2023
題型13 乘方的應用
【例13】（2022·湖南婁底·中考真題）在古代，人們通過在繩子上打結來計數．即“結繩計數”．當時有位父親為了準確記錄孩子的出生天數，在粗細不同的繩子上打結（如圖），由細到粗（右細左粗），滿七進一，那么孩子已經出生了（ ）
A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天
【變式13-1】（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預測）有一張厚度是0.1mm的紙，將它對折20次后，其厚度可表示為（ ）mm
A． B． C． D．
【變式13-2】（2023·陜西西安·模擬預測）《莊子》中記載：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”這句話的意思是一尺長的木棍，每天截取它的一半，永遠也截不完，若按此方式截一根長為1的木棍，第4天截取后木棍剩余的長度是 ．
【變式13-3】（2023·河北滄州·校考模擬預測）若，則 ．
考點三 科學記數法與近似數（高頻考點）
相關概念 概念 補充與拓展
科學記數法 科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數． 用科學記數法表示數時，確定a，n的值是關鍵
當原數絕對值大于10時，寫成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數的整數位數減1
當原數絕對值小于1時，寫成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數左邊第一個非零的數字前的所有零的個數（包括小數點前面的零）.
小技巧：1萬=104，1億=1萬*1萬=108
近似數 近似數與準確數的接近程度通常用精確度來表示，近似數一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位. 近似數小數點后的末位數是0的，不能去掉0
一個近似數從左邊第一位非0的數字起，到末位數字止，所有的數字都是這個數的有效數字
一個近似數有幾個有效數字，就稱這個近似數保留幾個有效數字
題型01 用科學記數法表示數
【例1】（2023·四川成都·中考真題）2023年5月17日10時49分，我國在西昌衛星發射中心成功發射第五十六顆北斗導航衛星．北斗系統作為國家重要基礎設施，深刻改變著人們的生產生活方式．目前，某地圖軟件調用的北斗衛星日定位量超億次．將數據億用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2023·貴州·中考真題）據中國經濟網資料顯示，今年一季度全國居民人均可支配收入平穩增長，全國居民人均可支配收入為10870元．10870這個數用科學記數法表示正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2023·湖北武漢·中考真題）新時代十年來，我國建成世界上規模最大的社會保障體系．其中基本醫療保險的參保人數由5.4億增加到13.6億，參保率穩定在95%．將數據13.6億用科學記數法表示為的形式，則的值是 （備注：1億＝100000000）．
【變式1-3】（2023·山東東營·中考真題）我國古代數學家祖沖之推算出的近似值為，它與的誤差小于0.0000003，將0.0000003用科學記數法可以表示為 ．
題型02 求一個數的近似數
【例2】（2022·山東濟寧·中考真題）用四舍五入法取近似值，將數0.0158精確到0.001的結果是（ ）
A．0.015 B．0.016 C．0.01 D．0.02
【變式2-1】（2021·山東濰坊·中考真題）第七次全國人口普查數據顯示，山東省常住人口約為10152.7萬人，將101 527 000用科學記數法（精確到十萬位）（ ）
A．1.02×108 B．0.102×109 C．1.015×108 D．0.1015×109
【變式2-2】（2021·內蒙古呼倫貝爾·中考真題）用四舍五入法把某數取近似值為，精確度正確的是（ ）
A．精確到0.01 B．精確到0.1 C．精確到萬分位 D．精確到千分位
考點四 實數比較大小
實數比較大小的6種基礎方法：
1. 數軸比較法: 將兩個數表示在同一條數軸上，右邊的點表示的數總比左邊的點表示的數大.
2. 類別比較法: 正數大于零；負數小于零；正數大于一切負數；兩個負數比較大小，絕對值大的反而?。?br/>3. 作差比較法: 若a，b是任意兩個實數，則
①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a4. 平方比較法：①對任意正實數a，b，若a2>b2a>b
②對任意負實數a，b，若a2>b2a5. 倒數比較法：若1/a>1/b，ab>0，則a6. 作商比較法：1)任意實數a，b，a/b=1a=b
2)任意正實數a，b，a/b>1a>b , a/b<1a>b
3)任意負實數a，b，a/b>1ab
題型01 利用數軸法比較實數大小
【例1】（2023·湖北黃石·中考真題）實數a與b在數軸上的位置如圖所示，則它們的大小關系是（ ）

A． B． C． D．無法確定
【變式1-1】（22·23下·惠州·二模）已知有理數在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列式子成立的是（ ）

A． B． C． D．
題型02利用類比法比較實數大小
【例2】（2022·遼寧阜新·中考真題）在有理數，，0，2中，最小的是（　?。?br/>A． B． C．0 D．2
【變式2-1】（2023·浙江金華·中考真題）某一天，哈爾濱、北京、杭州、金華四個城市的最低氣溫分別是，，，，其中最低氣溫是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2023·湖南益陽·中考真題）四個實數，0，2，中，最大的數是（ ）
A． B．0 C．2 D．
題型03 利用作差法比較實數大小
【例3】（2023·江蘇鹽城·中考真題）課堂上，老師提出了下面的問題：
已知，，，試比較與的大?。?br/>小華：整式的大小比較可采用“作差法”.
老師：比較與的大?。?br/>小華：∵，
∴．
老師：分式的大小比較能用“作差法”嗎？
…
(1)請用“作差法”完成老師提出的問題．
(2)比較大?。篲_________．（填“”“”或“”）
【變式3-1】（2023·山西臨汾·一模）閱讀理解下面內容，并解決問題.
用求差法比較大小 學習了不等式的知識后，我們根據等式和不等式的基本性質，可知比較兩個數或式子的大小可以通過求它們的差來判斷．如果兩個數或式子為和，那么 當時，一定有；當時，一定有；當時，一定有． 反過來也正確，即 當時，一定有；當時，一定有；當時，一定有． 因此，我們經常把要比較的對象先數量化，再求它們的差，根據差的正負判斷對象的大?。@種比較大小的方法被稱為“求差法”． 例如：已知，比較與的大?。?解： ∵，∴，，，∴，∴． “求差法”的實質是把兩個數（或式子）的大小判斷的問題，轉化為一個數（或式子）與0的大小比較的問題．一般步驟為①作差；②變形；③判斷符號；④得出結論．
請解決以下問題：(1)用“”或“”填空：______．
(2)制作某產品有兩種用料方案，方案：用塊型鋼板，塊型鋼板；方案：用塊型鋼板，塊型鋼板；已知型鋼板的面積比型鋼板的面積大，若型鋼板的面積為，型鋼板的面積為，則從省料的角度考慮，應選哪種方案？并說明理由．
(3)已知，比較與的大?。?br/>題型04 利用作商法比較實數大小
【例4】作商比較法的理論依據是，，若，則；若，則；若，則．請用作商法比較與的大?。?br/>【變式4-1】若a＞0，b＞0，且，則a＞b；若a＜0，b＜0，且，則a＜b．以上這種比較大小的方法，叫做作商比較法．試利用作商比較法，比較與的大?。?br/>題型05 利用平方法比較實數大小
【例5】（2023·四川甘孜·中考真題）比較大小： （填“>”“=”或“<”）
【變式5-1】（2022·山東臨沂·中考真題）比較大?。? （填“”，“”或“”）．
【變式5-2】（2023·江蘇鹽城·校聯考模擬預測）比較大?。? ．（填“>”，“=”或“<”）
題型06 利用其它方法比較實數大小
【例6】（2023·江蘇揚州·中考真題）已知，則a、b、c的大小關系是( )
A． B． C． D．
【變式6-1】（2022·西藏·中考真題）比較大?。? 3．（選填“＞”“＜”“＝”中的一個）
【變式6-2】（2023·陜西西安·一模）比較大?。? （填“＞”，“＜”或“=”）
【變式6-3】（2023·陜西西安·一模）比較大?。? 1．（填“”“ ”或“”）
考點五 平方根、算術平方根、立方根
相關概念 概念 補充與拓展
算術平方根 如果一個正數x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數x叫做a的算術平方根.記為√a，a叫做被開方數. 正數只有一個算術平方根，且恒為正；0的算術平方根為0；負數沒有算術平方根
平方根 如果一個數的平方等于a，那么這個數就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根. 正數有兩個平方根，且它們互為相反數.
0的算術平方根為0；負數沒有算術平方根.
立方根 如果一個數的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根 正數只有一個正的立方根；0的立方根是0；負數只有一個負的立方根．
互為相反數的兩個數的立方根互為相反數
常見實數的平方根與立方根：
實數的非負性及性質：
1.在實數范圍內，正數和零統稱為非負數.
2.非負數有三種形式：①任何一個實數a的絕對值是非負數，即|a|≥0；
②任何一個實數a的平方是非負數，即≥0；
③任何非負數的算術平方根是非負數，即≥0
3.非負數具有以下性質 ：①非負數有最小值零；②非負數之和仍是非負數；
③幾個非負數之和等于0，則每個非負數都等于0
題型01 求一個數的算術平方根
【例1】（2023·甘肅武威·中考真題）9的算術平方根是（ ）
A． B． C．3 D．
【變式1-1】（2023·山東·中考真題）面積為9的正方形，其邊長等于（　?。?br/>A．9的平方根 B．9的算術平方根 C．9的立方根 D．5的算術平方根
【變式1-2】（2022·四川涼山·中考真題）化簡：＝（ ）
A．±2 B．－2 C．4 D．2
題型02 利用算術平方根的非負性解題
【例2】（2023·湖北荊門·中考真題）若，則 ．
【變式2-1】（2023·四川內江·中考真題）在中，的對邊分別為a、b、c，且滿足，則的值為 ．
題型03 求一個數的平方根
【例3】（2023·四川廣安·中考真題）的平方根是 ．
【變式3-1】（2023·湖北鄂州·?？寄M預測）64的算術平方根是 ，的平方根是 ．
題型04 已知一個數的平方根，求這個數
【例4】（2023·廣東廣州·廣東實驗中學?？级＃┤粽龜档膬蓚€平方根是與，則為（ ）
A．0 B．1 C． D．1或
題型05 求一個數的立方根
【例5】（2023·浙江嘉興·中考真題）﹣8的立方根是（　?。?br/>A．±2 B．2 C．﹣2 D．不存在
【變式5-1】（2023·湖南郴州·中考真題）計算： ．
【變式5-2】（2023·湖南·中考真題）的立方根是 ．
【變式5-3】（2021·內蒙古·中考真題）一個正數a的兩個平方根是和，則的立方根為 ．
考點六 實數的運算（高頻考點）
常見的實數運算：
三角函數 30° 45° 60°
1
實數的四則運算：
1.實數的加法法則：
1)同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；
2)異號兩數相加，絕對值不相等時，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.
2.實數的減法法則：
減去一個數等于加上這個數的相反數.
3.實數的乘方法則：
1）兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；
2）任何數同0相乘，都得0.
4.實數的除法法則：
1）除以一個不為0的數，等于乘以這個數的倒數；
2）0除以任何不為0的數，都得0.
5.運算順序：加和減屬于運算中的第一級運算，級別是最低的，通常放在最后面計算； 乘和除屬于運算中的第二級運算，級別中等，運算順序高于加和減； 而乘方和開方則屬于第三級運算，級別較高，通常是最優先計算的（如果有括號，先算括號內的；如果沒有括號，在同一級運算中，要從左至右進行運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算）.
題型01 實數的運算
【例1】（2023·云南·中考真題）計算：．
【變式1-1】（2023·北京·中考真題）計算：．
【變式1-2】（2023·湖南懷化·中考真題）計算：
【變式1-3】（2023·遼寧沈陽·中考真題）計算：．
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