資源簡介

第一單元 四則運算
2.乘、除法的意義和各部分間的關系
知識點一 乘、除法的意義和各部分間的關系
（見課本第5頁例題2）
（1）每個花瓶里插3枝花，4個花瓶一共插了多少枝花？
（2）有12枝花，每3枝插一瓶，可以插幾瓶？
（3）有12枝花，平均插到4個花瓶里，每個花瓶插幾枝？
【講解過程】
1.解決問題（1）。
（1）理解題意。
已知每個花瓶里插3枝花，求4個花瓶一共插了多少枝花，就是求4個3的和是多少。
（2）探究計算方法。
方法一：用加法計算：3+3+3+3=12（枝）
方法二：用乘法計算：3×4=12（枝）
比較發現，根據乘法口訣，用乘法計算比較簡便。
（3）乘法的意義。
求幾個相同加數的和的簡便運算，叫做乘法。相乘的兩個數叫做因數，乘得的數叫做積。上面的乘法式子中3和4都是因數，12是積。
2.解決問題（2）。
（1）理解題意。
已知有12枝花，每3枝插一瓶，求可以插幾瓶，就是求12里面有多少個3，也就是把12平均分成3份，求每份是多少。用除法計算，列式為12÷3。
（2）解決問題。
12÷3=4（瓶）
答：可以插4瓶。
3.解決問題（3）。
（1）理解題意。
已知有12枝花，平均插到4個花瓶里，求每個花瓶插幾枝，就是求12里面有多少個4，也就是把12平均分成4份，求每份是多少。用除法計算，列式為12÷4。
（2）解決問題。
12÷4=3（枝）
答：每個花瓶插3枝。
4.除法的意義。
與問題（1）相比，問題（2）和問題（3）都是已知兩個數的積與其中一個因數，求另一個因數。像這樣，已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算，叫做除法。在除法中，已知的積叫做被除數，已知的因數叫做除數，求得的因數叫做商。除法是乘法的逆運算。
5.乘、除法各部分間的關系。
（1）乘法各部分間的關系。
根據3×4=12，可以知道12=3×4，12÷4=3，即積=因數×因數，因數=積÷另一個因數。
除法各部分間的關系。
3 = 12 ÷ 4
商 被除數 除數
4 = 12 ÷ 3
12 = 3 × 4
所以商=被除數÷除數，除數=被除數÷商，被除數=商×除數。
1.乘、除法間的關系：除法是乘法的逆運算。
2.乘法各部分間的關系：積=因數×因數，因數=積÷另一個因數。
3.除法各部分間的關系：商=被除數÷除數，除數=被除數÷商，被除數=商×除數。
根據36×14=504，直接寫出下面兩道算式的得數。（見課本第6頁“做一做”）
504÷14=＿＿＿＿＿＿ 504÷36=＿＿＿＿＿＿
【講解過程】根據乘、除法各部分間的關系：積÷一個因數=另一個因數。
【參考答案】36 14
知識點二 與0與有關的計算
你知道哪些有關0的運算？具體描述一下這些運算。（見課本第6頁例題3）
注意：0不能作除數。例如，5除以0不可能得到商，因為找不到一個數同0相乘得到5。0除以0不可能得到一個確定的商，因為任何數同0相乘都得0。
【講解過程】
1.方法探究。
（1）明確0在四則運算中的特性。
①在加法中，一個數加上0，還得原數，如5+0=5。
②在減法中，一個數減去0，仍得原數，如5-0=5；當被減數等于減數時，差是0，如5-5=0。
③在乘法中，一個數和0相乘，仍得0，如5×0=0。
④在除法中，0除以一個非0的數，還得0，如0÷5=0。
（2）探究0為什么不能做除數。
在沒有余數的除法算式中，除數×商=被除數，如果0可以作除數，那么在5÷0=（ ）中，0乘括號里的數結果應是5，而0和任何數相乘都得0，找不到一個與0相乘得5的數，所以0作除數沒有意義；而在0÷0=（ ）中，因為0和任何數相乘都得0，所以0÷0沒有一個確定的商，因此0作除數沒有意義。
（3）探究0為什么能作被除數。
在0÷5=（ ）中，根據除法是乘法的逆運算可得5×（ ）=0，因為5×0=0，所以0÷5=0，因此0可以作被除數。
2.規范解答。
在加法中，一個數加上0，還得原數，如0+5=5；在減法中，一個數減去0，仍得原數，如5-0=5；被減數等于減數，差是0，如5-5=0；在乘法中，任何數和0相乘，仍得0，如5×0=0；在除法中，0除以一個非0的數，還得0，如0÷5=0；0不能作除數。
因為一個數加上0或減去0還得原數，所以0在加減法中就像笨蛋，不起作用；一個數乘0得0，0除以任何一個非0的數得0，所以0在乘除法中就像一顆定時炸彈，誰見到它都完蛋。
0在四則運算中的地位和作用：加減法中零是笨蛋，見到它就滾蛋；乘除法中零是炸彈，碰到它就完蛋。
易錯點1 混淆“除”和“除以”。
例題：判斷：除和除以表示的意義相同。（ √ ）
【分析過程】在讀除法算式時，如果從被除數讀起，“÷”讀作“除以”；如果從2除數讀起，“÷”讀作“除”。例如，12÷3，可以讀作12除以3；也可以讀作3除12。“除”和“除以”是兩個不同的數學概念。如4除20，列式為20÷4；20除以4，列式為20÷4。
【參考答案】×
易錯點2 忽略了在除法算式中0不能作除數這一條件，導致判斷錯誤。
例題：判斷：0除以任何數都得0。（ √ ）
【分析過程】本題錯在沒有掌握0在運算中的作用。這句話錯在表述不嚴謹，忽略了0不能作除數。表述時語言一定要嚴謹，應該說：0除以任何非0的數都得0，0不能作除數。
【參考答案】×
例題1：已知540-□×15=135，求所代表的數。
【分析過程】在等式中，135是540減去×15的積得到的差，所以根據減數=被減數一差，可以求出×15的積。再根據一個因數=積÷另一個因數，可以求出所代表的數。
【參考答案】由540-□×15=135可得□×15=540-135=405；由□×15=405可得=405÷15=27。
答：□所代表的數是27。
例題2：小軍今年16歲，爸爸今年48歲，幾年前，爸爸的年齡是小軍的5倍？
【分析過程】今年爸爸與小軍的年齡差是48-16=32（歲），兩個人的年齡差不隨時間的變化而變化，因此當爸爸的年齡是小軍年齡的5倍時，兩個人的年齡差仍然是32歲，可借助“差倍問題”來計算。
【參考答案】當爸爸的年齡是小軍年齡的5倍時，
小軍的年齡：（48-16）÷（5-1）=8（歲） 16-8=8（年）
答：8年前，爸爸的年齡是小軍的5倍。
例題3：兩個數相乘，如果第一個因數增加12，第二個因數不變，那么積增加96，如果第一個因數不變，第二個因數增加12，那么積增加168。原來的積是多少？
【分析過程】：要求原來的積是多少，關鍵是要求出原來的兩個因數分別是多少。第一個因數增加12，第二個因數不變，積就增加12個第二個因數，因為積增加96，所以12個第二個因數是96，由此可求出第二個因數是96÷12=8，同理，可求出第一個因數。
【參考答案】第二個因數：96÷12=8
第一個因數：168÷12=14
原來的積：14×8=112
答：原來的積是112。

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