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函數(shù)中的“對(duì)稱”之美
安徽省祁門縣第一中學(xué)—王茂滋
關(guān)于對(duì)稱
函數(shù)中的對(duì)稱問題是歷年高考熱點(diǎn)內(nèi)容之一，這類問題涉及到數(shù)學(xué)中的基本方法和常見題型。現(xiàn)行課改教材函數(shù)中也有不少地方涉及到這方面的內(nèi)容，因而要引起老師和學(xué)生的重視。
所謂對(duì)稱：是指圖形或物體相對(duì)的兩部分在大小、形狀和排列上都相等或相當(dāng)。對(duì)稱，是一種平衡；“對(duì)稱美”也是自然界最魅力的美，如飛機(jī)、輪船、蝴蝶、盛開的花朵、六角形的雪花晶體、建筑物和其在水中的倒影等等，都能讓我們感受到圖形或物體的對(duì)稱美。
函數(shù)中的對(duì)稱問題，是數(shù)學(xué)美的很好體現(xiàn)，學(xué)習(xí)對(duì)稱問題也能激發(fā)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)情感。
對(duì)稱的點(diǎn)滴
下面我們從幾個(gè)常見的方面來看一看函數(shù)中的對(duì)稱問題：
1.關(guān)于“原點(diǎn)”的對(duì)稱
若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則有f（-x）=-f(x)成立。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)又叫奇函數(shù)，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：
函數(shù)在x=0處未必有定義；
函數(shù)在對(duì)稱的區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性一致；
X是f(x)定義域D內(nèi)的任意值時(shí)，都有f(-x)=-f(x)成立。
已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，求證：若在區(qū)間【a,b】（b>a>0）上，f(x)有最大值M,f(x)在區(qū)間【-b,-a】上必有最小值-M.
略證：M是f(x)在區(qū)間【a,b】上的最大值，則對(duì)于任意的x∈【a,b】都有f(x)≤Ｍ.任取,則有,于是，,又
.即f(x)在區(qū)間【-b,-a】上的最小值是-M.
思考題：已知y=f(x)是定義在上的奇函數(shù)，且在上為增函數(shù)，f()=1,解不等式
2.關(guān)于“y軸”對(duì)稱
若對(duì)于函數(shù)y=f(x)定義域D內(nèi)的任意x，都有f（-x）=f(x),則稱這個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。在學(xué)習(xí)偶函數(shù)時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：
偶函數(shù)在其對(duì)稱的區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性相反；
函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)為奇偶性的必要條件。
已知函數(shù)y=f(x)是R上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
略解：為偶數(shù)，且在上為增函數(shù)。y=f(x)在為減函數(shù)，由得或
思考題：已知函數(shù)y=f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，求f(x)在（1，2）上的解析式。
3．關(guān)于“x=a”（a）對(duì)稱
若函數(shù)y=f(x)對(duì)定義域D內(nèi)的任意x，都有,即則y=f(x)圖象關(guān)于x=a對(duì)稱。
注：關(guān)于x=a對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的特征是：橫坐標(biāo)關(guān)于a對(duì)稱，縱坐標(biāo)相等。
設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱。求的值。
略解:f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，.又y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱，應(yīng)有,從而，的周期T=2，又f(1)與f(0)關(guān)于x=對(duì)稱，,即，
思考題：若函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是x=2，求非零實(shí)數(shù)a的值。
4．關(guān)于“y=x”對(duì)稱
關(guān)于“y=x”對(duì)稱的兩個(gè)圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)應(yīng)互為反函數(shù)，如與是互為反函數(shù)，且圖象關(guān)于y=x對(duì)稱。對(duì)關(guān)于“y=x”對(duì)稱的兩個(gè)函數(shù)學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：
（1）.反函數(shù)的定義域和值域是原函數(shù)的值域和定義域；
(2). 反函數(shù)的定義域不能由其解析式來求；
（3）.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性；
（4）.若點(diǎn)P(a,b)在y=f(x)圖象上，則關(guān)于y=x對(duì)稱的點(diǎn)一定在的圖象上。
例4．設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱，且存在反函數(shù) 求的值。
略解：f(4)=0,又點(diǎn)P（4，0）關(guān)于點(diǎn)（1，2）對(duì)稱的點(diǎn)為，,又f(x)與互為反函數(shù)，
思考題：已知f(x)是R上的增函數(shù)，點(diǎn)A（-1，1），B（1，3）在它的圖象上，是它的反函數(shù)，求不等式的解集。
5．關(guān)于“x軸”對(duì)稱
若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P（a,b）在y=f(x)上，則點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)（a,-b）一定在y=g(x)上。因而，y=f(x)與y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱。
求一個(gè)二次函數(shù)關(guān)于x軸對(duì)稱的函數(shù)解析式。
略解：所求函數(shù)的圖象與已知函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，用-y替y代入原函數(shù)，則有：-y=,即.
6.關(guān)于“點(diǎn)（a,b）”對(duì)稱
關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)函數(shù)一般為：與,即的形式。
求已知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)（a,b）對(duì)稱的函數(shù)一般要用到中點(diǎn)坐標(biāo)公式.
已知f(x)關(guān)于點(diǎn)（2，1）對(duì)稱的函數(shù)為y=g(x)，求y=g(x)的解析式。
略解：先設(shè)g(x)上任一點(diǎn)為（x,y）,它關(guān)于點(diǎn)（2，1）對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）,于是由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得:
,又（）在原函數(shù)f(x)上，應(yīng)滿足：,即.
在學(xué)習(xí)函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：
Ⅰ.設(shè)點(diǎn)P（X,Y）應(yīng)為所求的函數(shù)g(x)上任一點(diǎn)；
Ⅱ.關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱就是將原圖形旋轉(zhuǎn)，對(duì)稱后的圖形的類型不變。
（備注：嚴(yán)老師、張老師您們好。應(yīng)貴社的邀函，不誠(chéng)敬意寫了一篇稿子發(fā)給您們，敬請(qǐng)您們斧正定奪。我校是一所省示范高中，我現(xiàn)在是高級(jí)職稱，在校擔(dān)任數(shù)學(xué)備課組長(zhǎng)。若有可能錄用，也請(qǐng)?zhí)峤粎⒃u(píng)。謝謝！祝您們事業(yè)有成，身體健康！另如若貴社自發(fā)稿之日起一個(gè)月后沒有您們的答復(fù)我將另行處理。由于郵件沒法發(fā)給您，只好寄給您們。）

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