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專題4.9 函數(shù)的應(yīng)用（二）-重難點(diǎn)題型精講
1．函數(shù)的零點(diǎn)
(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于一般函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).即函數(shù)的零
點(diǎn)就是使函數(shù)值為零的自變量的值.
(2)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系
函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解，也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).所以方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn).
(3)幾種常見函數(shù)的零點(diǎn)
①二次函數(shù)的零點(diǎn)
一元二次方程+bx+c=0(a≠0)的實(shí)數(shù)根也稱為函數(shù)y=+bx+c(a≠0)的零點(diǎn).
②正比例函數(shù)y=kx(k≠0)僅有一個(gè)零點(diǎn)0.
③一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)僅有一個(gè)零點(diǎn).
④反比例函數(shù)y=(k≠0)沒有零點(diǎn).
⑤指數(shù)函數(shù)y=(a>0,且a≠1)沒有零點(diǎn).
⑥對(duì)數(shù)函數(shù)y=(a>0,且a≠1)僅有一個(gè)零點(diǎn)1.
⑦冪函數(shù)y=,當(dāng)a>0時(shí),僅有一個(gè)零點(diǎn)0;當(dāng)a≤0時(shí),沒有零點(diǎn).
2．函數(shù)零點(diǎn)存在定理
(1)函數(shù)零點(diǎn)存在定理：
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的解.
(2)函數(shù)零點(diǎn)存在定理的幾何意義：
在閉區(qū)間[a,b]上有連續(xù)不斷的曲線y=f(x)，且曲線的起始點(diǎn)(a,f(a))與終點(diǎn)(b,f(b))分別在x軸的兩側(cè)，則連續(xù)曲線與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn).
3．二分法
(1)二分法的定義：
對(duì)于在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，
使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.
(2)區(qū)間的中點(diǎn)：一般地，我們把x=稱為區(qū)間(a,b)的中點(diǎn).
(3)用二分法求方程的近似解：
用二分法求方程的近似解：先找一個(gè)包含根的區(qū)間，然后多次將包含根的區(qū)間一分為二，直至根落在
要求的區(qū)間內(nèi)，即用區(qū)間中點(diǎn)將區(qū)間(a,b)一分為二，從而得到兩個(gè)區(qū)間(a,)和(,b)，其中一個(gè)區(qū)間一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我們便知區(qū)間(a, )包含根，如圖，不斷重復(fù)上述步驟，根最終落在要求的區(qū)間內(nèi).
(4)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的步驟
給定精確度，用二分法求函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)的近似值的一般步驟如下：
1.確定零點(diǎn)的初始區(qū)間[a,b]，驗(yàn)證f(a)f(b)<0.
2.求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c.
3.計(jì)算f(c)，并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：
(1)若f(c)=0(此時(shí)=c)，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；
(2)若f(a)f(c)<0(此時(shí)∈(a,c))，則令b=c；
(3)若f(c)f(b)<0(此時(shí)∈(c,b))，則令a=c.
4.判斷是否達(dá)到精確度：若|a-b|<，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；
否則重復(fù)步驟2~4.
【題型1 求函數(shù)的零點(diǎn)】
【方法點(diǎn)撥】
(1)代數(shù)法：根據(jù)零點(diǎn)的定義，解方程f(x)=0，它的實(shí)數(shù)根就是函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).
(2)幾何法或性質(zhì)法：若方程f(x)=0的解不易求出，可以根據(jù)函數(shù)y=f(x)的性質(zhì)及圖象求出零點(diǎn).例如，已知
f(x)是定義在R上的減函數(shù)，且f(x)為奇函數(shù)，求f(x)的零點(diǎn)；因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，那么由奇函數(shù)的性質(zhì)可
知f(0)=0，因?yàn)閒(x)是定義在R上的減函數(shù)，所以不存在其他的x使f(x)=0，從而y=f(x)的零點(diǎn)是0.
【例1】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)為（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
【解題思路】令，解對(duì)數(shù)方程，求出x＝10.
【解答過程】令，即，所以，因此x＝10，所以函數(shù)的零點(diǎn)為10，
故選：A.
【變式1-1】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則的另一個(gè)零點(diǎn)為（ ）
A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）
【解題思路】由是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，可得值，再利用韋達(dá)定理列方程解出的另一個(gè)零點(diǎn)．
【解答過程】因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，所以，解得．設(shè)另一個(gè)零點(diǎn)為，則，解得，所以的另一個(gè)零點(diǎn)為1．
故選：A．
【變式1-2】（2022·河北·高一開學(xué)考試）函數(shù)的零點(diǎn)為（ ）
A．（1，0） B．（1，3）
C．1和3 D．（1，0）和（3，0）
【解題思路】令，即可得到方程，解得即可；
【解答過程】解：令，解得或，所以函數(shù)的零點(diǎn)為：1和3.
故選：C．
【變式1-3】（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過，則可以是（ ）．
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)題意，畫出函數(shù)與函數(shù)的圖像，得到的零點(diǎn)在區(qū)間上，結(jié)合選擇中的函數(shù)，求得相應(yīng)的零點(diǎn)，即可求解.
【解答過程】由題意，函數(shù)，令，則，
畫出函數(shù)與函數(shù)的圖像，如圖所示，
當(dāng)時(shí)，，
可得的零點(diǎn)在區(qū)間上，
對(duì)于A中，函數(shù)，令，解得；
對(duì)于B中，函數(shù)，令，解得；
對(duì)于C中，函數(shù)，令，解得；
對(duì)于D中，函數(shù)，令，解得.
故選：A.
【題型2 函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
確定函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)所在的區(qū)間時(shí)，通常利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理將問題轉(zhuǎn)化為判斷區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)對(duì)
應(yīng)的函數(shù)值是否異號(hào).
【例2】（2022·內(nèi)蒙古·高一階段練習(xí)（文））函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先判斷出函數(shù)的單調(diào)性，然后得出的函數(shù)符號(hào)，從而得出答案
【解答過程】由在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
又，
所以由零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)在(3，4)之間存在零點(diǎn)，
故選：C.
【變式2-1】（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)（文））函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解題思路】由函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理判斷
【解答過程】易得函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，所以，
故函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，
故選：B.
【變式2-2】（2022·天津·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可.
【解答過程】解：的定義域?yàn)椋?br/>又與在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
又，，，
所以，所以在上存在唯一的零點(diǎn).
故選：C.
【變式2-3】（2022·河南·高二期末（理））若函數(shù)在區(qū)間和上各有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用零點(diǎn)存在定理列不等式組，即可求解.
【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間和上各有一個(gè)零點(diǎn)，且函數(shù)的圖像開口向下，
所以，
解得，
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.
故選：A.
【題型3 利用圖象交點(diǎn)來處理函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）問題】
【方法點(diǎn)撥】
函數(shù)零點(diǎn)問題可看成與函數(shù)圖象有關(guān)的問題的行生與升華，研究此類問題除二分法外，多采用數(shù)形結(jié)合法，
把方程的根的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，解題時(shí)要準(zhǔn)確把握各類函數(shù)的性質(zhì)，畫出函數(shù)簡(jiǎn)圖，準(zhǔn)
確找到交點(diǎn)所在的位置.
【例3】（2022·江西·高三階段練習(xí)（文））函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【解題思路】當(dāng)時(shí)，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)，在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合即得；當(dāng)時(shí)，解方程，即得.
【解答過程】當(dāng)時(shí)，，
則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)與函數(shù)，的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，
作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如下圖所示，
由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)有兩個(gè)，
當(dāng)時(shí)，，可得或(舍去)
即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)有一個(gè)；
綜上，函數(shù)的零點(diǎn)有三個(gè).
故選：C.
【變式3-1】（2022·四川·高二階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】將問題轉(zhuǎn)化為方程有四個(gè)不等實(shí)根，令，可知有兩個(gè)不等實(shí)根，結(jié)合與和有四個(gè)不同交點(diǎn)可得，由二次函數(shù)根的分布可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.
【解答過程】有四個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程有四個(gè)不等實(shí)根；
作出圖象如下圖所示，
令，則需有兩個(gè)不等實(shí)根，
即，解得：；
要使有四個(gè)零點(diǎn)，則需與和有四個(gè)不同交點(diǎn)，
在圖象中平移直線和，要使與和有四個(gè)不同交點(diǎn)，則需，，
，解得：；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：A.
【變式3-2】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)若關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】畫出的圖象，根據(jù)并討論t研究其實(shí)根的分布情況，將問題化為在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)范圍.
【解答過程】如圖，畫出的圖象，設(shè)
結(jié)合圖象知：當(dāng)或時(shí)有且僅有1個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí)有2個(gè)實(shí)根；
問題轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
從而，解得.
故選：D.
【變式3-3】（2022·江蘇·高三階段練習(xí)）已知是定義在R上的奇函數(shù)，且是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)題意和函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的周期，利用函數(shù)奇偶性求出函數(shù)分別在、、、時(shí)的解析式，作出函數(shù)與的圖象，結(jié)合圖象即可得出結(jié)果.
【解答過程】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以函數(shù)的對(duì)稱軸為，而是定義在R上的奇函數(shù)，
所以有，因此有，所以，因此函數(shù)的周期為，
設(shè)，
易知是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，
所以，
因此有：
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
作出函數(shù)的圖象如下圖所示：
關(guān)于x的方程有5個(gè)不同的實(shí)根，
等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線有5個(gè)不同的交點(diǎn)，
當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，有6個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，
當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，有4個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有5個(gè)不同的交點(diǎn)
故選：B.
【題型4 用二分法確定函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）所在的區(qū)間】
【方法點(diǎn)撥】
根據(jù)二分法的步驟進(jìn)行求解，即可確定.
【例4】（2021·全國·高一課前預(yù)習(xí)）方程在區(qū)間上的根必定在（ ）
A．上 B．上 C．上 D．上
【解題思路】設(shè)，運(yùn)用二分法，依次計(jì)算，，，，的值，再利用零點(diǎn)的存在性定理，即可得解.
【解答過程】解析：設(shè)，
則，，
因?yàn)榍遥院瘮?shù)在上必有零點(diǎn).
又因?yàn)榍遥院瘮?shù)在上必有零點(diǎn).
又因?yàn)榍遥院瘮?shù)在上必有零點(diǎn).
即方程的根必在上.
故選：D.
【變式4-1】（2021·四川省高一階段練習(xí)）用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)，可以取的初始區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)二分法求函數(shù)零點(diǎn)的條件，結(jié)合即可判斷和選擇.
【解答過程】因?yàn)槭菃握{(diào)增函數(shù)，故是單調(diào)增函數(shù)，其零點(diǎn)至多有一個(gè)；
又，故用二分法求其零點(diǎn)，可以取得初始區(qū)間是.
故選：B.
【變式4-2】（2022·新疆昌吉·高一期末）在用“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)近似值時(shí)，若第一次所取區(qū)間為，則第三次所取區(qū)間可能是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)二分法求函數(shù)零點(diǎn)的步驟，結(jié)合已知條件進(jìn)行分析，即可判斷.
【解答過程】第一次所取區(qū)間為，則第二次所取區(qū)間可能是；
第三次所取的區(qū)間可能是.
故選：.
【變式4-3】（2021·湖北·高一階段練習(xí)）在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）內(nèi)近似根的過程中，已經(jīng)得到，則方程的根落在區(qū)間（ ）
A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能確定
【解題思路】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理即可確定零點(diǎn)所在區(qū)間.
【解答過程】∵f（1）<0，f（1.5）>0，
∴在區(qū)間（1，1.5）內(nèi)函數(shù)=3x+3x﹣8存在一個(gè)零點(diǎn)
又∵f（1.5）>0，f（1.25）<0，
∴在區(qū)間（1.25，1.5）內(nèi)函數(shù)=3x+3x﹣8存在一個(gè)零點(diǎn)，
由此可得方程的根落在區(qū)間（1.25，1.5）內(nèi)，
故選：B.
【題型5 用二分法求方程的近似解】
【方法點(diǎn)撥】
由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，我們可用二分法來求方程的近似解，即對(duì)于求形如f(x)=g(x)的方程的
近似解，可以通過移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解，然后按照用二分法求函數(shù)F(x)零點(diǎn)
近似值的步驟求解.
【例5】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)附近函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，列表如下：
x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125
－1 0.875 －0.2969 0.2246 －0.05151
則方程的一個(gè)近似根（誤差不超過0.05）為（ ）
A．1.375 B．1.34375 C．1.3125 D．1.25
【解題思路】由零點(diǎn)存在性定理即可求解.
【解答過程】因?yàn)椋覟檫B續(xù)函數(shù)，所以由零點(diǎn)存在定理知區(qū)間（1.3125，1.375）內(nèi)存在零點(diǎn)，又，所以取此區(qū)間中點(diǎn)與零點(diǎn)的距離不超過區(qū)間長度之半，故也不超過0.05，又，所有方程的一個(gè)近似根（誤差不超過0.05）為1.34375.
故選：B.
【變式5-1】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的部分函數(shù)值如下，那么方程的一個(gè)近似根（精確到0.1）可以是（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【解題思路】根據(jù)題干中所給的函數(shù)值，利用二分法求方程的近似解即可.
【解答過程】解：因?yàn)椋?.375與1.4375精確到0.1的近似值都為1.4，
所以原方程的一個(gè)近似根為1.4．
故選：C.
【變式5-2】（2021·廣東·高一階段練習(xí)）若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)（正數(shù)）附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下表：那么方程的一個(gè)近似解（精確度0.04）為（ ）
A．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375
【解題思路】根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷求解．
【解答過程】由表格結(jié)合零點(diǎn)存在定理知零點(diǎn)在上，區(qū)間長度為0.03125，滿足精度要求，觀察各選項(xiàng)，只有D中值1.4375是該區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)，可以作為近似解，
故選：D．
【變式5-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下：


那么方程的一個(gè)近似解（精確度為0.1）為（ ）
A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44
【解題思路】根據(jù)二分法的定義和精確度的要求分析判斷即可
【解答過程】由所給數(shù)據(jù)可知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)根，
因?yàn)椋?br/>所以根在內(nèi)，
因?yàn)椋圆粷M足精確度，
繼續(xù)取區(qū)間中點(diǎn)，
因?yàn)?，，
所以根在區(qū)間，
因?yàn)椋圆粷M足精確度，
繼續(xù)取區(qū)間中點(diǎn)，
因?yàn)椋?br/>所以根在區(qū)間內(nèi)，
因?yàn)闈M足精確度，
因?yàn)椋愿趦?nèi)，
所以方程的一個(gè)近似解為，
故選：C.
【題型6 用二分法求函數(shù)的近似值】
【方法點(diǎn)撥】
用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的步驟往往比較煩瑣，一般借助表格，利用表格可以清晰地表示逐步縮小零
點(diǎn)所在區(qū)間的過程，有時(shí)也利用數(shù)軸來表示這一過程.
【例6】（2022·陜西·模擬預(yù)測(cè)（理））某同學(xué)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，計(jì)算出如下結(jié)果：，，下列說法正確的有（ ）
A．是滿足精度為的近似值.
B．是滿足精度為的近似值
C．是滿足精度為的近似值
D．是滿足精度為的近似值
【解題思路】根據(jù)二分法基本原理滿足判斷即可.
【解答過程】，又
A錯(cuò)誤；
，又，
滿足精度為的近似值在內(nèi)，則B正確，D錯(cuò)誤；
， C錯(cuò)誤.
故選：B.
【變式6-1】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)過計(jì)算得，，則其中一個(gè)零點(diǎn)所在區(qū)間和第二次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值分別為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解題思路】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可知零點(diǎn)，結(jié)合對(duì)二分法的理解即可得出結(jié)果.
【解答過程】因?yàn)椋?br/>由零點(diǎn)存在性知：零點(diǎn)，
根據(jù)二分法，第二次應(yīng)計(jì)算，即，
故選：D.
【變式6-2】（2022·湖北省高一期末）已知函數(shù)的部分函數(shù)值如下表所示
那么函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似值（精確度為）為（ ）A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)給定條件直接判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷作答.
【解答過程】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
由數(shù)表知：，
由零點(diǎn)存在性定義知，函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，
所以函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似值為.
故選：B.
【變式6-3】（2021·全國·高一專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，經(jīng)計(jì)算，，，，則函數(shù)的一個(gè)精確到的正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值為（ ）
A． B． C． D．
【解答過程】由題意根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得，函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間為，從而得出結(jié)論．
【解題思路】解：由題意根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得，函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間為，
則函數(shù)的一個(gè)精確度為的正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值可以為，
故選：C．專題4.9 函數(shù)的應(yīng)用（二）-重難點(diǎn)題型精講
1．函數(shù)的零點(diǎn)
(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于一般函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).即函數(shù)的零
點(diǎn)就是使函數(shù)值為零的自變量的值.
(2)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系
函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解，也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).所以方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn).
(3)幾種常見函數(shù)的零點(diǎn)
①二次函數(shù)的零點(diǎn)
一元二次方程+bx+c=0(a≠0)的實(shí)數(shù)根也稱為函數(shù)y=+bx+c(a≠0)的零點(diǎn).
②正比例函數(shù)y=kx(k≠0)僅有一個(gè)零點(diǎn)0.
③一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)僅有一個(gè)零點(diǎn).
④反比例函數(shù)y=(k≠0)沒有零點(diǎn).
⑤指數(shù)函數(shù)y=(a>0,且a≠1)沒有零點(diǎn).
⑥對(duì)數(shù)函數(shù)y=(a>0,且a≠1)僅有一個(gè)零點(diǎn)1.
⑦冪函數(shù)y=,當(dāng)a>0時(shí),僅有一個(gè)零點(diǎn)0;當(dāng)a≤0時(shí),沒有零點(diǎn).
2．函數(shù)零點(diǎn)存在定理
(1)函數(shù)零點(diǎn)存在定理：
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的解.
(2)函數(shù)零點(diǎn)存在定理的幾何意義：
在閉區(qū)間[a,b]上有連續(xù)不斷的曲線y=f(x)，且曲線的起始點(diǎn)(a,f(a))與終點(diǎn)(b,f(b))分別在x軸的兩側(cè)，則連續(xù)曲線與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn).
3．二分法
(1)二分法的定義：
對(duì)于在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，
使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.
(2)區(qū)間的中點(diǎn)：一般地，我們把x=稱為區(qū)間(a,b)的中點(diǎn).
(3)用二分法求方程的近似解：
用二分法求方程的近似解：先找一個(gè)包含根的區(qū)間，然后多次將包含根的區(qū)間一分為二，直至根落在
要求的區(qū)間內(nèi)，即用區(qū)間中點(diǎn)將區(qū)間(a,b)一分為二，從而得到兩個(gè)區(qū)間(a,)和(,b)，其中一個(gè)區(qū)間一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我們便知區(qū)間(a, )包含根，如圖，不斷重復(fù)上述步驟，根最終落在要求的區(qū)間內(nèi).
(4)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的步驟
給定精確度，用二分法求函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)的近似值的一般步驟如下：
1.確定零點(diǎn)的初始區(qū)間[a,b]，驗(yàn)證f(a)f(b)<0.
2.求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c.
3.計(jì)算f(c)，并進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：
(1)若f(c)=0(此時(shí)=c)，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；
(2)若f(a)f(c)<0(此時(shí)∈(a,c))，則令b=c；
(3)若f(c)f(b)<0(此時(shí)∈(c,b))，則令a=c.
4.判斷是否達(dá)到精確度：若|a-b|<，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；
否則重復(fù)步驟2~4.
【題型1 求函數(shù)的零點(diǎn)】
【方法點(diǎn)撥】
(1)代數(shù)法：根據(jù)零點(diǎn)的定義，解方程f(x)=0，它的實(shí)數(shù)根就是函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn).
(2)幾何法或性質(zhì)法：若方程f(x)=0的解不易求出，可以根據(jù)函數(shù)y=f(x)的性質(zhì)及圖象求出零點(diǎn).例如，已知
f(x)是定義在R上的減函數(shù)，且f(x)為奇函數(shù)，求f(x)的零點(diǎn)；因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，那么由奇函數(shù)的性質(zhì)可
知f(0)=0，因?yàn)閒(x)是定義在R上的減函數(shù)，所以不存在其他的x使f(x)=0，從而y=f(x)的零點(diǎn)是0.
【例1】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)為（ ）
A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）
【變式1-1】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則的另一個(gè)零點(diǎn)為（ ）
A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）
【變式1-2】（2022·河北·高一開學(xué)考試）函數(shù)的零點(diǎn)為（ ）
A．（1，0） B．（1，3）
C．1和3 D．（1，0）和（3，0）
【變式1-3】（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的零點(diǎn)之差的絕對(duì)值不超過，則可以是（ ）．
A． B．
C． D．
【題型2 函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】
確定函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)所在的區(qū)間時(shí)，通常利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理將問題轉(zhuǎn)化為判斷區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)對(duì)
應(yīng)的函數(shù)值是否異號(hào).
【例2】（2022·內(nèi)蒙古·高一階段練習(xí)（文））函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)（文））函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式2-2】（2022·天津·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2022·河南·高二期末（理））若函數(shù)在區(qū)間和上各有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型3 利用圖象交點(diǎn)來處理函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）問題】
【方法點(diǎn)撥】
函數(shù)零點(diǎn)問題可看成與函數(shù)圖象有關(guān)的問題的行生與升華，研究此類問題除二分法外，多采用數(shù)形結(jié)合法，
把方程的根的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，解題時(shí)要準(zhǔn)確把握各類函數(shù)的性質(zhì)，畫出函數(shù)簡(jiǎn)圖，準(zhǔn)
確找到交點(diǎn)所在的位置.
【例3】（2022·江西·高三階段練習(xí)（文））函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【變式3-1】（2022·四川·高二階段練習(xí)（文））已知函數(shù)，若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)若關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2022·江蘇·高三階段練習(xí)）已知是定義在R上的奇函數(shù)，且是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型4 用二分法確定函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）所在的區(qū)間】
【方法點(diǎn)撥】
根據(jù)二分法的步驟進(jìn)行求解，即可確定.
【例4】（2021·全國·高一課前預(yù)習(xí)）方程在區(qū)間上的根必定在（ ）
A．上 B．上 C．上 D．上
【變式4-1】（2021·四川省高一階段練習(xí)）用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)，可以取的初始區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2022·新疆昌吉·高一期末）在用“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)近似值時(shí)，若第一次所取區(qū)間為，則第三次所取區(qū)間可能是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2021·湖北·高一階段練習(xí)）在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）內(nèi)近似根的過程中，已經(jīng)得到，則方程的根落在區(qū)間（ ）
A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能確定
【題型5 用二分法求方程的近似解】
【方法點(diǎn)撥】
由函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程根的關(guān)系，我們可用二分法來求方程的近似解，即對(duì)于求形如f(x)=g(x)的方程的
近似解，可以通過移項(xiàng)轉(zhuǎn)化為求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解，然后按照用二分法求函數(shù)F(x)零點(diǎn)
近似值的步驟求解.
【例5】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)附近函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，列表如下：
x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125
－1 0.875 －0.2969 0.2246 －0.05151
則方程的一個(gè)近似根（誤差不超過0.05）為（ ）
A．1.375 B．1.34375 C．1.3125 D．1.25
【變式5-1】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的部分函數(shù)值如下，那么方程的一個(gè)近似根（精確到0.1）可以是（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【變式5-2】（2021·廣東·高一階段練習(xí)）若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)（正數(shù)）附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下表：那么方程的一個(gè)近似解（精確度0.04）為（ ）
A．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375
【變式5-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法逐次計(jì)算，參考數(shù)據(jù)如下：


那么方程的一個(gè)近似解（精確度為0.1）為（ ）
A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44
【題型6 用二分法求函數(shù)的近似值】
【方法點(diǎn)撥】
用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的近似值的步驟往往比較煩瑣，一般借助表格，利用表格可以清晰地表示逐步縮小零
點(diǎn)所在區(qū)間的過程，有時(shí)也利用數(shù)軸來表示這一過程.
【例6】（2022·陜西·模擬預(yù)測(cè)（理））某同學(xué)用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，計(jì)算出如下結(jié)果：，，下列說法正確的有（ ）
A．是滿足精度為的近似值.
B．是滿足精度為的近似值
C．是滿足精度為的近似值
D．是滿足精度為的近似值
【變式6-1】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）用二分法研究函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)過計(jì)算得，，則其中一個(gè)零點(diǎn)所在區(qū)間和第二次應(yīng)計(jì)算的函數(shù)值分別為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式6-2】（2022·湖北省高一期末）已知函數(shù)的部分函數(shù)值如下表所示
那么函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似值（精確度為）為（ ）A． B． C． D．
【變式6-3】（2021·全國·高一專題練習(xí)）用二分法求函數(shù)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，經(jīng)計(jì)算，，，，則函數(shù)的一個(gè)精確到的正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值為（ ）
A． B． C． D．

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