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專題4.7 對數(shù)函數(shù)-重難點題型精講
1．對數(shù)函數(shù)的定義
(1)對數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y= (a>0,且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0,+
).
(2)判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的依據(jù)：
①形如y=；②底數(shù)a滿足a>0，且a≠1；③真數(shù)是x；④定義域為(0,+).
例如:y=是對數(shù)函數(shù)，而y=(x+1)，y=都不是對數(shù)函數(shù).
2．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
對數(shù)函數(shù)y= (a>0,且a≠1,x>0)的圖象和性質(zhì)如下表所示：
3．底數(shù)a對對數(shù)函數(shù)圖象的影響
(1)底數(shù)a與1的大小關系決定了對數(shù)函數(shù)圖象的“升降”.
當a>1時，對數(shù)函數(shù)的圖象“上升”;
當0(2)函數(shù)y=與y= (a>0,且a≠1)的圖象關于x軸對稱.
(3)底數(shù)的大小決定了圖象相對位置的高低：
無論是a>1還是0①上下比較：在直線x=1的右側(cè),a>1時,a越大,圖象越靠近x軸;0②左右比較：比較圖象與直線y=1的交點,交點的橫坐標越大,對應的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大.
4．反函數(shù)
比較冪值大小的方法：
【題型1 對數(shù)（型）函數(shù)的定義域與值域】
【方法點撥】
根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，結(jié)合具體條件，進行求解即可.
【例1】（2022·廣東·高一階段練習）函數(shù)y＝＋lg(5－3x)的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2022·浙江·高二學業(yè)考試）函數(shù)的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2022·山西運城·高二期末）已知函數(shù)，則的值域為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為（ ）
A． B． C． D．
【題型2 對數(shù)式的大小比較】
【方法點撥】
比較對數(shù)值的大小，主要依據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，同底時可直接利用相應的對數(shù)函數(shù)比較大小；不同底時，
可借助中間量進行比較.
【例2】（2022·黑龍江·高三開學考試）已知，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2022·陜西·高三階段練習（文））已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2022·河南·高三階段練習（理））若，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2022·貴州·高三階段練習（理））設，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【題型3 解對數(shù)不等式】
【方法點撥】
對數(shù)不等式的三種考查類型：
(1)形如m>n的不等式，借助y=x的單調(diào)性求解.
(2)形如m>b的不等式，應將b化成以a為底數(shù)的對數(shù)式的形式(b=)，再借助y=x的單調(diào)性
求解.
(3)形如 > (f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式，可利用換底公式化為同底的對數(shù)進行求解，
或利用函數(shù)圖象求解.
【例3】（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)，，則不等式的解集為（ ）
A． B．（3，4） C．（2，5） D．
【變式3-1】（2022·云南楚雄·高二期末）已知函數(shù)的圖象與的圖象關于軸對稱，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2022·四川自貢·高一期末）已知是定義在R上的奇函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習）定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【題型4 對數(shù)函數(shù)的圖象及應用】
【方法點撥】
①對數(shù)函數(shù)圖象的識別：對于所給函數(shù)解析式，研究函數(shù)的單調(diào)性、特殊值等，利用排除法，得出正確的
函數(shù)圖象.
②對數(shù)函數(shù)圖象的應用：對于與對數(shù)函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)有關的函數(shù)的作圖問題，一般宜用變換作圖法作圖，
這樣有利于從整體上把握函數(shù)的性質(zhì)，從而利用對數(shù)函數(shù)的圖象來比較大小、解不等式、求最值等.
【例4】（2022·廣東·高三階段練習）函數(shù)的圖像是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2022·浙江·高一期中）函數(shù)的圖像的大致形狀是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2022·全國·高一課時練習）如圖所示的曲線是對數(shù)函數(shù)，，，的圖象，則a，b，c，d，1的大小關系為（ ）
A．b>a>1>c>d B．a(chǎn)>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a(chǎn)>b>1>d>c
【變式4-3】（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)（且，，為常數(shù)）的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【題型5 對數(shù)型復合函數(shù)性質(zhì)的應用】
【方法點撥】
借助對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)來研究對數(shù)型復合函數(shù)的性質(zhì)，再結(jié)合具體問題，進行求解即可.
【例5】（2022·陜西·高三階段練習（文））已知函數(shù)（，且）.
(1)當時，求的單調(diào)性.
(2)是否存在實數(shù)，使得在上取得最大值2 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【變式5-1】（2022·甘肅·高三階段練習（文））已知函數(shù).
(1)求該函數(shù)的定義域；
(2)求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域.
【變式5-2】（2022·海南·高一期末）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間及最大值．
(2)設函數(shù)，若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【變式5-3】（2022·江蘇·高三開學考試）已知函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的定義域．
(2)若函數(shù)的值域為R，求實數(shù)m的取值范圍．
(3)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．
【題型6 對數(shù)函數(shù)的實際應用】
【方法點撥】
從實際問題出發(fā)，建立對數(shù)（型）函數(shù)模型，借助對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行解題，注意要滿足實際條件.
【例6】（2021·全國·高一專題練習）大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵．記鮭魚的游速為V(m/s)，鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q，研究中發(fā)現(xiàn)V與log3成正比，且當Q＝900時，V＝1.
（1）求出V關于Q的函數(shù)解析式；
（2）計算一條鮭魚的游速是1.5 m/s時耗氧量的單位數(shù)．
【變式6-1】（2022·全國·高一課時練習）近年來，我國在航天領域取得了巨大成就，得益于我國先進的運載火箭技術．據(jù)了解，在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式計算火箭的最大速度v（單位：m/s）．其中（單位m/s）是噴流相對速度，m（單位：kg）是火箭（除推進劑外）的質(zhì)量，M（單位：kg）是推進劑與火箭質(zhì)量的總和，稱為“總質(zhì)比”，已知A型火箭的噴流相對速度為2000m/s．
參考數(shù)據(jù)：，．
(1)當總質(zhì)比為230時，利用給出的參考數(shù)據(jù)求A型火箭的最大速度；
(2)經(jīng)過材料更新和技術改進后，A型火箭的噴流相對速度提高到了原來的1.5倍，總質(zhì)比變?yōu)樵瓉淼模粢够鸺淖畲笏俣仍黾?00 m/s，記此時在材料更新和技術改進前的總質(zhì)比為T，求不小于T的最小整數(shù)？
【變式6-2】（2022·全國·高二課時練習）每年紅嘴鷗都從西伯利亞飛越數(shù)千公里來到美麗的昆明過冬，科學家經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù)，單位是，其中x表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù)，常數(shù)x0表示測量過程中候鳥每分鐘的耗氧偏差.（結(jié)果保留到整數(shù)位.參考數(shù)據(jù)：lg5≈0.70，31.4≈4.66）
(1)若x0=5，候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量為多少個單位.
(2)若雄鳥的飛行速度為1.3，雌鳥的飛行速度為0.8，那么此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的多少倍.
【變式6-3】（2022·全國·高一課時練習）學校鼓勵學生課余時間積極參加體育鍛煉，每天能用于鍛煉的課余時間有90分鐘，現(xiàn)需要制定一個課余鍛煉考核評分制度，建立一個每天得分與當天鍛煉時間（單位：分）的函數(shù)關系，要求及圖示如下：（1）函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)；（2）每天運動時間為0分鐘時，當天得分為0分；（3）每天運動時間為30分鐘時，當天得分為3分；（4）每天最多得分不超過6分.現(xiàn)有三個函數(shù)模型①，
②，③供選擇.
(1)請你從中選擇一個合適的函數(shù)模型并說明理由，再根據(jù)所給信息求出函數(shù)的解析式；
(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要鍛煉多少分鐘.（注：，結(jié)果保留整數(shù)）專題4.7 對數(shù)函數(shù)-重難點題型精講
1．對數(shù)函數(shù)的定義
(1)對數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y= (a>0,且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0,+
).
(2)判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的依據(jù)：
①形如y=；②底數(shù)a滿足a>0，且a≠1；③真數(shù)是x；④定義域為(0,+).
例如:y=是對數(shù)函數(shù)，而y=(x+1)，y=都不是對數(shù)函數(shù).
2．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
對數(shù)函數(shù)y= (a>0,且a≠1,x>0)的圖象和性質(zhì)如下表所示：
3．底數(shù)a對對數(shù)函數(shù)圖象的影響
(1)底數(shù)a與1的大小關系決定了對數(shù)函數(shù)圖象的“升降”.
當a>1時，對數(shù)函數(shù)的圖象“上升”;
當0(2)函數(shù)y=與y= (a>0,且a≠1)的圖象關于x軸對稱.
(3)底數(shù)的大小決定了圖象相對位置的高低：
無論是a>1還是0①上下比較：在直線x=1的右側(cè),a>1時,a越大,圖象越靠近x軸;0②左右比較：比較圖象與直線y=1的交點,交點的橫坐標越大,對應的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大.
4．反函數(shù)
比較冪值大小的方法：
【題型1 對數(shù)（型）函數(shù)的定義域與值域】
【方法點撥】
根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，結(jié)合具體條件，進行求解即可.
【例1】（2022·廣東·高一階段練習）函數(shù)y＝＋lg(5－3x)的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)對數(shù)函數(shù)、根式的性質(zhì)列不等式求函數(shù)定義域.
【解答過程】由題設，，可得.
所以函數(shù)定義域為.
故選：B.
【變式1-1】（2022·浙江·高二學業(yè)考試）函數(shù)的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零，得到一元二次不等式，即可求解.
【解答過程】解：由題可知，即，解得或.
故函數(shù)的定義域為.
故選：D.
【變式1-2】（2022·山西運城·高二期末）已知函數(shù)，則的值域為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】首先求出的范圍，然后可得答案.
【解答過程】因為，所以，所以，
故選：D.
【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的值域為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由的值域為可得的值域為.
【解答過程】由對數(shù)函數(shù)的值域為，向右平移2個單位得函數(shù)的值域為，
則的值域為，
故選：A.
【題型2 對數(shù)式的大小比較】
【方法點撥】
比較對數(shù)值的大小，主要依據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，同底時可直接利用相應的對數(shù)函數(shù)比較大小；不同底時，
可借助中間量進行比較.
【例2】（2022·黑龍江·高三開學考試）已知，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)對數(shù)恒等式，運算法則以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷．
【解答過程】因為，，，而，，所以．
故選：B．
【變式2-1】（2022·陜西·高三階段練習（文））已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分別求出a，b，c的取值范圍，即可求解.
【解答過程】因為，
，
，
所以.
故選：B.
【變式2-2】（2022·河南·高三階段練習（理））若，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.
【解答過程】因為，，，
所以.
故選：D.
【變式2-3】（2022·貴州·高三階段練習（理））設，，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)指對數(shù)的性質(zhì)判斷大小關系即可.
【解答過程】由，
所以.
故選：D.
【題型3 解對數(shù)不等式】
【方法點撥】
對數(shù)不等式的三種考查類型：
(1)形如m>n的不等式，借助y=x的單調(diào)性求解.
(2)形如m>b的不等式，應將b化成以a為底數(shù)的對數(shù)式的形式(b=)，再借助y=x的單調(diào)性
求解.
(3)形如 > (f(x),g(x)>0且不等于1,a>0)的不等式，可利用換底公式化為同底的對數(shù)進行求解，
或利用函數(shù)圖象求解.
【例3】（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)，，則不等式的解集為（ ）
A． B．（3，4） C．（2，5） D．
【解題思路】根據(jù)，可得方程，進而解得，再列出不等式，可得，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域可得：，可得答案.
【解答過程】由題意得，，解得，
所以，所以.
因為，所以，
即，從而，解得 .
故不等式的解集為.
故選：A.
【變式3-1】（2022·云南楚雄·高二期末）已知函數(shù)的圖象與的圖象關于軸對稱，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由與 關于x軸對稱得到的解析式，又由的單調(diào)性得到不等式，從而解出范圍.
【解答過程】已知函數(shù)的圖象與 的圖象關于x軸對稱，
所以，
又 是上的增函數(shù)，
所以，解得.
故選：B.
【變式3-2】（2022·四川自貢·高一期末）已知是定義在R上的奇函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由奇函數(shù)知，再結(jié)合單調(diào)性及得，解不等式即可.
【解答過程】由題意知：，又在區(qū)間上為增函數(shù)，當時，，
當時，，由可得，解得.
故選：C.
【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習）定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用函數(shù)為奇函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化為，再利用函數(shù)的單調(diào)性求解.
【解答過程】因為函數(shù)為奇函數(shù)，
所以，又，，
所以不等式，可化為，
即，
又因為在上單調(diào)遞增，
所以在R上單調(diào)遞增，
所以，
解得.
故選：D.
【題型4 對數(shù)函數(shù)的圖象及應用】
【方法點撥】
①對數(shù)函數(shù)圖象的識別：對于所給函數(shù)解析式，研究函數(shù)的單調(diào)性、特殊值等，利用排除法，得出正確的
函數(shù)圖象.
②對數(shù)函數(shù)圖象的應用：對于與對數(shù)函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)有關的函數(shù)的作圖問題，一般宜用變換作圖法作圖，
這樣有利于從整體上把握函數(shù)的性質(zhì)，從而利用對數(shù)函數(shù)的圖象來比較大小、解不等式、求最值等.
【例4】（2022·廣東·高三階段練習）函數(shù)的圖像是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由函數(shù)的圖象與軸的交點是結(jié)合函數(shù)的平移變換得函數(shù)的圖象與軸的公共點是，即可求解.
【解答過程】由于函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象左移一個單位而得到，函數(shù)的圖象與軸的交點是，
故函數(shù)的圖象與軸的交點是，即函數(shù)的圖象與軸的公共點是，顯然四個選項只有A選項滿足.
故選：A.
【變式4-1】（2022·浙江·高一期中）函數(shù)的圖像的大致形狀是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】求解函數(shù)的零點，根據(jù)排除法判斷即可
【解答過程】求可得或，解得或，排除BCD；
故選：A.
【變式4-2】（2022·全國·高一課時練習）如圖所示的曲線是對數(shù)函數(shù)，，，的圖象，則a，b，c，d，1的大小關系為（ ）
A．b>a>1>c>d B．a(chǎn)>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a(chǎn)>b>1>d>c
【解題思路】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)即可求解.
【解答過程】由圖可知a>1，b>1，0a>1>d>c．
故選：C．
【變式4-3】（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)（且，，為常數(shù)）的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【解題思路】根據(jù)函數(shù)圖象及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求解.
【解答過程】因為函數(shù)為減函數(shù)，所以
又因為函數(shù)圖象與軸的交點在正半軸，所以，即
又因為函數(shù)圖象與軸有交點，所以，所以，
故選：D.
【題型5 對數(shù)型復合函數(shù)性質(zhì)的應用】
【方法點撥】
借助對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)來研究對數(shù)型復合函數(shù)的性質(zhì)，再結(jié)合具體問題，進行求解即可.
【例5】（2022·陜西·高三階段練習（文））已知函數(shù)（，且）.
(1)當時，求的單調(diào)性.
(2)是否存在實數(shù)，使得在上取得最大值2 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【解題思路】（1）先求出函數(shù)的定義域，再利用換元法求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）令，則由，得的值域為，然后分，求函數(shù)的最大值，使其等于2，列方程可求出的值.
【解答過程】（1）
由題意可得解得，即的定義域為.
當時，.
令（），則，
對稱軸為，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因為在定義域內(nèi)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.
（2）
，
令，
因為，
所以的值域為.
當時，在上的最大值是，
則，即，解得；
當時，在上的最大值是，
則，即，解得.
綜上，的值為或.
【變式5-1】（2022·甘肅·高三階段練習（文））已知函數(shù).
(1)求該函數(shù)的定義域；
(2)求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及值域.
【解題思路】（1）令，解不等式即可求得定義域；
（2）根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可確定的單調(diào)區(qū)間；利用二次函數(shù)最值的求法可求得，結(jié)合對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可求得值域.
【解答過程】（1）
由得：，的定義域為.
（2）
令，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；
又在上單調(diào)遞減，
的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為，
，，
的值域為.
【變式5-2】（2022·海南·高一期末）已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)區(qū)間及最大值．
(2)設函數(shù)，若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解題思路】（1）首先確定的定義域，將其整理為，利用復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法得到單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可求得最值；
（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可將恒成立不等式轉(zhuǎn)化為，采用分離變量法可得，結(jié)合對勾函數(shù)單調(diào)性可求得，由此可得結(jié)果.
【解答過程】(1)
由得：，的定義域為；
，
令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
由復合函數(shù)單調(diào)性可知：的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
由單調(diào)性可知：.
(2)
在上恒成立，，
即，在上恒成立，
；
令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，，即實數(shù)的取值范圍為.
【變式5-3】（2022·江蘇·高三開學考試）已知函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的定義域．
(2)若函數(shù)的值域為R，求實數(shù)m的取值范圍．
(3)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．
【解題思路】（1）由對數(shù)的性質(zhì)有求解集，即可得定義域.
（2）由題設是值域的子集，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)有即可求m的范圍.
（3）首先根據(jù)二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再由已知區(qū)間的單調(diào)性有，即可求m的范圍.
【解答過程】（1）
由題設，，則或，
所以函數(shù)定義域為.
（2）
由函數(shù)的值域為R，則是值域的子集，
所以，即.
（3）
由在上遞減，在上遞增，而在定義域上遞減，
所以在上遞增，在上遞減，
又在上是增函數(shù)，故，可得.
【題型6 對數(shù)函數(shù)的實際應用】
【方法點撥】
從實際問題出發(fā)，建立對數(shù)（型）函數(shù)模型，借助對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行解題，注意要滿足實際條件.
【例6】（2021·全國·高一專題練習）大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵．記鮭魚的游速為V(m/s)，鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q，研究中發(fā)現(xiàn)V與log3成正比，且當Q＝900時，V＝1.
（1）求出V關于Q的函數(shù)解析式；
（2）計算一條鮭魚的游速是1.5 m/s時耗氧量的單位數(shù)．
【解題思路】（1）根據(jù)成正比的性質(zhì)，結(jié)合代入法進行求解即可；
（2）利用代入法，結(jié)合對數(shù)與指數(shù)式互化公式進行求解即可.
【解答過程】解：（1）設V＝k·log3，
∵當Q＝900時，V＝1，∴1＝k·log3，
∴k＝，∴V關于Q的函數(shù)解析式為;
（2）令V＝1.5，則，∴Q＝2 700，
即一條鮭魚的游速是1.5 m/s時耗氧量為2700個單位．
【變式6-1】（2022·全國·高一課時練習）近年來，我國在航天領域取得了巨大成就，得益于我國先進的運載火箭技術．據(jù)了解，在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式計算火箭的最大速度v（單位：m/s）．其中（單位m/s）是噴流相對速度，m（單位：kg）是火箭（除推進劑外）的質(zhì)量，M（單位：kg）是推進劑與火箭質(zhì)量的總和，稱為“總質(zhì)比”，已知A型火箭的噴流相對速度為2000m/s．
參考數(shù)據(jù)：，．
(1)當總質(zhì)比為230時，利用給出的參考數(shù)據(jù)求A型火箭的最大速度；
(2)經(jīng)過材料更新和技術改進后，A型火箭的噴流相對速度提高到了原來的1.5倍，總質(zhì)比變?yōu)樵瓉淼模粢够鸺淖畲笏俣仍黾?00 m/s，記此時在材料更新和技術改進前的總質(zhì)比為T，求不小于T的最小整數(shù)？
【解題思路】（1）運用代入法直接求解即可；
（2）根據(jù)題意列出不等式，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)和已知題中所給的參考數(shù)據(jù)進行求解即可.
【解答過程】(1)
當總質(zhì)比為230時，，
即A型火箭的最大速度為.
(2)
A型火箭的噴流相對速度提高到了原來的1.5倍，所以A型火箭的噴流相對速度為，總質(zhì)比為，
由題意得：
，
因為，所以，
即，所以不小于T的最小整數(shù)為45．
【變式6-2】（2022·全國·高二課時練習）每年紅嘴鷗都從西伯利亞飛越數(shù)千公里來到美麗的昆明過冬，科學家經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù)，單位是，其中x表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù)，常數(shù)x0表示測量過程中候鳥每分鐘的耗氧偏差.（結(jié)果保留到整數(shù)位.參考數(shù)據(jù)：lg5≈0.70，31.4≈4.66）
(1)若x0=5，候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量為多少個單位.
(2)若雄鳥的飛行速度為1.3，雌鳥的飛行速度為0.8，那么此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的多少倍.
【解題思路】（1）將，代入函數(shù)解析式，求出的值即可答案；（2）設出雄鳥每分鐘的耗氧量和雌鳥每分鐘耗氧量，得到方程組，兩式相減后得到，得到答案.
【解答過程】（1）
將，代入函數(shù)，得：，
因為，所以，所以，所以.
答：候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量約為466個單位.
（2）
設雄鳥每分鐘的耗氧量為，雌鳥每分鐘耗氧量為，由題意可得：
，
兩式相減可得：，所以，即，
答：此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的3倍.
【變式6-3】（2022·全國·高一課時練習）學校鼓勵學生課余時間積極參加體育鍛煉，每天能用于鍛煉的課余時間有90分鐘，現(xiàn)需要制定一個課余鍛煉考核評分制度，建立一個每天得分與當天鍛煉時間（單位：分）的函數(shù)關系，要求及圖示如下：（1）函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)；（2）每天運動時間為0分鐘時，當天得分為0分；（3）每天運動時間為30分鐘時，當天得分為3分；（4）每天最多得分不超過6分.現(xiàn)有三個函數(shù)模型①，
②，③供選擇.
(1)請你從中選擇一個合適的函數(shù)模型并說明理由，再根據(jù)所給信息求出函數(shù)的解析式；
(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要鍛煉多少分鐘.（注：，結(jié)果保留整數(shù)）
【解題思路】（1）根據(jù)圖像和函數(shù)性質(zhì)選擇模型，再將（0，0），（30，3）代入求解系數(shù)即可.
（2）將代入解析式即可.
【解答過程】（1）
第一步：分析題中每個模型的特點
對于模型一，當時，勻速增長；
對于模型二，當時，先慢后快增長；
對于模型三，當時，先快后慢增長.
第二步：根據(jù)題中材料和題圖選擇合適的函數(shù)模型
從題圖看應選擇先快后慢增長的函數(shù)模型，故選.
第三步：把題圖中的兩點代入選好的模型中，得到函數(shù)解析式
將（0，0），（30，3）代入解析式得到，即，
解得，即.
第四步：驗證模型是否合適
當時，，
滿足每天得分最高不超過6分的條件.
所以函數(shù)的解析式為.
（2）
由，得，
得，得，
所以每天得分不少于4.5分，至少需要運動55分鐘.

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