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專題4.3 指數函數-重難點題型精講
1．指數函數的定義
(1)一般地，函數y=(a>0,且a≠1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域是R.
(2)指數函數y=(a>0,且a≠1)解析式的結構特征：
①的系數為1;
②底數a是大于0且不等于1的常數.
2．指數函數的圖象與性質
3．底數對指數函數圖象的影響
指數函數y=(a>0,且a≠1)的底數對圖象的影響可以從不同角度來記憶理解.
(1)無論是a>1還是0(2)左右比較：在直線y=1的上面，a>1時，a越大，圖象越靠近y軸；0y軸.
(3)上下比較：比較圖象與直線x=1的交點，交點的縱坐標越大，對應的指數函數的底數越大.
4．比較冪值大小的方法
比較冪值大小的方法：
【題型1 指數函數的解析式、定義域與值域】
【方法點撥】
根據指數函數的定義，結合具體條件，進行求解即可.
【例1】（2021秋 南寧期末）函數f（x）＝2x的定義域為（　?。?br/>A．[1，+∞） B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．R
【解題思路】由指數函數的性質可得其定義域．
【解答過程】解：函數f（x）＝2x的定義域為R，
故選：D．
【變式1-1】（2021秋 閻良區期末）函數y＝2x（x≤0）的值域是（　?。?br/>A．（0，1） B．（﹣∞，1） C．（0，1] D．[0，1）
【解題思路】本題可利用指數函數的值域．
【解答過程】解：∵y＝2x（x≤0）為增函數，且2x＞0，
∴20＝1，
∴0＜y≤1．
∴函數的值域為（0，1]．
故選：C．
【變式1-2】（2021秋 城區校級期中）指數函數y＝f（x）的圖象過點（2，4），則f（3）的值為（　?。?br/>A．4 B．8 C．16 D．1
【解題思路】設出指數函數y＝f（x）的解析式，把點的坐標代入求出解析式，再計算f（3）的值．
【解答過程】解：設指數函數y＝f（x）＝ax，a＞0且a≠1；
由f（x）的圖象過點（2，4），
即a2＝4，解得a＝2；
所以f（x）＝2x，
所以f（3）＝23＝8．
故選：B．
【變式1-3】（2021秋 羅湖區校級期中）若函數f（x）＝（a2﹣2a﹣2）ax是指數函數，則a的值是（　?。?br/>A．﹣1 B．3 C．3或﹣1 D．2
【解題思路】根據指數函數的定義列出方程組，求出a的值．
【解答過程】解：∵函數f（x）＝（a2﹣2a+2）（a+1）x是指數函數，
∴a2﹣2a﹣2＝1，且a＞0，a≠1
解得a＝3．
故選：B．
【題型2 比較冪值的大小】
【方法點撥】
利用指數函數的單調性，來比較冪值的大小.
【例2】（2021秋 路南區校級期中）已知a＝0.32，b＝0.31.5，c＝20.3，則（　　）
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞b＞c
【解題思路】根據指數函數的圖象和性質，比較三個數的大小，可得答案．
【解答過程】解：∵y＝0.3x為減函數，2＞1.5＞0，
故a＝0.32＜b＝0.31.5＜0.30＝1，
∵y＝2x為增函數，0.3＞0，
故c＝20.3＞20＝1，
故c＞b＞a，
故選：C．
【變式2-1】（2021秋 廈門期末）下列選項正確的是（　　）
A．0.62.5＞0.63 B．1.71.7
C．1.11.5＜0.72.1 D．23
【解題思路】利用指數函數和冪函數的單調性求解．
【解答過程】解：對于選項A：∵指數函數y＝0.6x在R上單調遞減，且2.5＜3，∴0.62.5＞0.63，故選項A正確，
對于選項B：∵指數函數y＝1.7x在R上單調遞增，且，∵，故選項B錯誤，
對于選項C：∵1.11.5＞1.10＝1，0＜0.72.1＜0.70＝1，∴1.11.5＞0.72.1，故選項C錯誤，
對于選項D：∵23＝8，32＝9，∴，故選項D錯誤，
故選：A．
【變式2-2】（2021秋 懷仁市校級期末）設a＝0.60.6，b＝0.60.7，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關系為（　?。?br/>A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b
【解題思路】利用指數函數的性質求解．
【解答過程】解：∵0＜0.60.7＜0.60.6＜0.60＝1，∴0＜b＜a＜1，
∵1.50.6＞1.50＝1，∴c＞1，
∴c＞a＞b，
故選：D．
【變式2-3】（2021秋 天寧區校級期中）已知a＝0.3﹣0.2，，c＝3﹣0.2，則（　?。?br/>A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a
【解題思路】利用指數函數的單調性比較大小即可．
【解答過程】解：∵0.3﹣0.2＞0.30＝1，∴a＞1，
∵，∴b＜c＜1，
∴b＜c＜a，
故選：D．
【題型3 解指數不等式】
【方法點撥】
指數不等式的三種求解方法：
(1)性質法：解形如>的不等式，可借助函數y=的單調性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與
0(2)隱含性質法：解形如>b的不等式，可先將b轉化為以a為底數的指數冪的形式，再借助函數y=的
單調性求解.
(3)圖象法：解形如>的不等式.可利用對應的函數圖象求解.
【例3】（2020秋 興慶區校級期中）不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范圍是（　?。?br/>A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（2，+∞）
C．（﹣∞，2） D．（﹣2，2）
【解題思路】利用指數函數的單調性解不等式．
【解答過程】解：因為0＜a＜1，
所以由不等式ax﹣3＞a1﹣x可得：x﹣3＜1﹣x，
解得：x＜2，
所以不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范圍是：（﹣∞，2）．
故選：C．
【變式3-1】（2021秋 北碚區校級月考）不等式的解集是（　?。?br/>A．（﹣2，4） B．（﹣∞，﹣2）
C．（4，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）
【解題思路】由指數函數的性質，把等價轉化為x2﹣8＜2x，由此能求出不等式的解集．
【解答過程】解：∵，
∴x2﹣8＜2x，
解得﹣2＜x＜4．
故選：A．
【變式3-2】（2021秋 黃埔區校級期中）已知a＞0，且a≠1，若函數y＝xa﹣1在（0，+∞）內單調遞減，則不等式a3x+1＞a﹣2x中x的取值范圍是（　?。?br/>A．（﹣∞，） B．（，+∞）
C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．R
【解題思路】根據函數y＝xa﹣1在（0，+∞）內單調遞減，求出a的范圍，得到函數y＝ax的單調性，將a3x+1＞a﹣2x轉化為x的不等式即可．
【解答過程】解：依題意，a﹣1＜0，即0＜a＜1，
所以函數y＝ax為R上的減函數，
由a3x+1＞a﹣2x可得，3x+1＜﹣2x，
解得x，
故選：A．
【變式3-3】（2021秋 豐臺區期中）已知指數函數y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象過點（1，）．
（ I） 求函數y＝f（x）的解析式；
（ II）若不等式滿足f（2x+1）＞1，求x的取值范圍．
【解題思路】（Ⅰ）因為指數函數y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象過點（1，），構造方程，可得函數y＝f（x）的解析式；
（ II）利用指數函數的單調性，可將f（2x+1）＞1化為：2x+1＜0，解得答案．
【解答過程】
解：（Ⅰ）因為指數函數y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象過點（1，），
所以
所以指數函數的解析式為．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（2x+1）＞1等價于
因為函數在R上單調遞減，
所以2x+1＜0，解得
綜上，x的取值范圍是．
【題型4 指數函數的圖象及應用】
【方法點撥】
①指數函數圖象的識別：對于所給函數解析式，研究函數的單調性、特殊值等，利用排除法，得出正確的
函數圖象.
②指數函數圖象的應用：對于與指數函數有關的函數的作圖問題，一般宜用變換作圖法作圖，這樣有利于
從整體上把握函數的性質，從而指數函數的圖象來比較大小、解不等式、求最值等.
【例4】（2021秋 臨渭區期末）函數y＝x+a與y＝a﹣x（a＞0且a≠1）在同一坐標系中的圖像可能是（　?。?br/>A．
B．
C．
D．
【解題思路】分別討論a＞1和0＜a＜1時，函數y＝x+a與y＝a﹣x在同一坐標系中的圖像情況，即可得出答案．
【解答過程】解：根據指數函數的定義知，當a＞1時，函數y＝x+a與y＝a﹣x在同一坐標系中的圖像為圖（1）所示：
當0＜a＜1時，函數y＝x+a與y＝a﹣x在同一坐標系中的圖像為圖（2）所示：
只有選項B滿足題意．
故選：B．
【變式4-1】（2021秋 微山縣校級月考）若指數函數y＝ax，y＝bx，y＝cx（其中a、b、c均為不等于1的正實數）的圖象如圖所示，則a、b、c的大小關系是（　　）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c
【解題思路】由題意，做出直線x＝1，結合圖象可得結論．
【解答過程】解：對于指數函數y＝ax，y＝bx，y＝cx（其中a、b、c均為不等于1的正實數）的圖象，
做出直線x＝1，結合圖象可得，
直線x＝1和指數函數y＝ax，y＝bx，y＝cx 的圖象的交點的縱坐標分別為a、b、c，且c＞a＞b，
故選：B．
【變式4-2】（2021秋 中寧縣校級期中）如圖是指數函數①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小是（　?。?br/>A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．a＜b＜1＜d＜c D．1＜a＜b＜c＜d
【解題思路】作直線x＝1，根據直線x＝1與四個指數函數圖象交點的縱坐標即可判斷出a，b，c，d的大小關系．
【解答過程】解：作直線x＝1與四個指數函數圖象交點的坐標分別為（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），
由圖象可知縱坐標的大小關系為0＜b＜a＜1＜d＜c，
故選：B．
【變式4-3】（2021 長春模擬）如圖，①②③④中不屬于函數y＝2x，y＝3x，的一個是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【解題思路】直接根據函數的圖象和函數的單調性判斷即可．
【解答過程】解：根據函數的圖象，函數的底數決定函數的單調性，
當底數a＞1時，函數單調遞增，當0＜a＜1時，函數單調遞減，
當底數a＞1，滿足底數越大函數的圖象在x＞0時，越靠近y軸，
則③是對應函數y＝3x的圖象，④是對應函數y＝2x的圖象，
根據對稱性，①是對應函數y的圖象，∴②不是．
故選：B．
【題型5 指數型復合函數性質的應用】
【方法點撥】
借助指數函數的圖象和性質來研究指數型復合函數的性質，再結合具體問題，進行求解即可.
【例5】（2021秋 蚌埠月考）已知函數f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的圖象經過點（3，）．
（1）求a的值；
（2）求函數f（x）＝a2x﹣ax﹣2+8，當x∈[﹣2，1]時的值域．
【解題思路】（1）由題意：函數f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的圖象經過點（3，）．代入計算即可求a的值．
（2）求函數轉化為二次函數的問題求值域即可．
【解答過程】解：（1）由題意：函數f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的圖象經過點（3，）．
則有：
解得：．
（2）由（1）可知，
那么：函數f（x）＝a2x﹣ax﹣2+898
∵x∈[﹣2，1]
∴
則f（x）98
當，即x＝﹣2時，f（x）max＝8．
當， f（x）min
所以函數的值域為[，8]．
【變式5-1】（2021秋 凌源市期中）設函數f（x）＝（）10﹣ax，其中a為常數，且f（3）．
（1）求a的值；
（2）若f（x）≥4，求x的取值范圍．
【解題思路】（1）根據f（3），求出a的值即可；（2）根據指數函數的性質求出x的范圍即可．
【解答過程】解：（1）函數f（x）＝（）10﹣ax，
由f（3），得：，
得：3a﹣10＝﹣4，解得：a＝2；
（2）由（1）f（x）＝22x﹣10，
由f（x）≥4，得：22x﹣10≥22，
故2x﹣10≥2，解得：x≥6．
【變式5-2】（2021秋 欽州期末）已知函數f（x）＝2x﹣1+a（a為常數，且a∈R）恒過點（1，2）．
（1）求a的值；
（2）若f（x）≥2x，求x的取值范圍．
【解題思路】（1）將點（1，2）的坐標代入函數f（x）的解析式即可求出a的值；
（2）由f（x）≥2x化簡得到2x﹣1≤1，再利用指數函數的單調性即可求出x的范圍．
【解答過程】解：（1）由已知條件可得f（1）＝20+a＝1+a＝2，解得a＝1；
（2）由，得，即2x﹣1≤1＝20，即x﹣1≤0，解得x≤1，
因此，實數x的取值范圍是（﹣∞，1]．
【變式5-3】（2022秋 新華區校級月考）已知函數f（x）＝ax+b的圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式0對任意x∈（﹣∞，2]成立，求實數c的取值范圍．
【解題思路】（Ⅰ）由圖像可知函數f（x）過點（0，﹣2）和（2，0），利用待定系數法求出a，b的值，即可得到函數f（x）的解析式．
（Ⅱ）依題意不等式c 10x+6x＞0，對任意x∈（﹣∞，2]恒成立，再利用分離參數法轉化為求最值，結合指數函數的單調性即可求出實數c的取值范圍．
【解答過程】解：（I）因為函數f（x）＝ax+b的圖象經過點（0，﹣2）和（2，0），
又注意到a＞1，
∴，解得，
故函數f（x）的解析式為．
（Ⅱ）因為由（I）知對任意x∈（﹣∞，2]恒成立，
所以由題設得不等式c 10x+6x＞0，對任意x∈（﹣∞，2]恒成立，
即，亦即對任意x∈（﹣∞，2]恒成立，（*）
又易知函數在（﹣∞，2]上單調遞增，
所以根據（*）可得，
故所求實數c的取值范圍．
【題型6 指數函數的實際應用】
【方法點撥】
從實際問題出發，建立指數函數模型，借助指數函數的圖象和性質進行解題，注意要滿足實際條件.
【例6】（2022春 殷都區校級期末）某醫藥研究所開發一種新藥，據監測，如果成人按規定的劑量服用該藥，服藥后每毫升血液中的含藥量y（μg）與服藥后的時間t（h）之間近似滿足如圖所示的曲線．其中OA是線段，曲線段AB是函數y＝k at（t≥1，a＞0，k，a是常數）的圖象．
（1）寫出服藥后每毫升血液中含藥量y關于時間t的函數關系式；
（2）據測定：每毫升血液中含藥量不少于2（μg）時治療有效，假若某病人第一次服藥為早上6：00，為保持療效，第二次服藥最遲是當天幾點鐘？
（3）若按（2）中的最遲時間服用第二次藥，則第二次服藥后再過3h，該病人每毫升血液中含藥量為多少μg？（精確到0.1μg）
【解題思路】（1）由圖象知，0≤t＜1時函數的解析式是一個線段，再結合函數y＝k at（t≥1，a＞0，k，a是常數）即可得到函數的解析式；
（2）根據（1）中所求出的解析式建立不等式y≥2，解此不等式計算出第二次吃藥的時間即可；
（3）根據所求出的函數解析式分別計算出兩次吃藥的剩余量，兩者的和即為病人血液中的含藥量．
【解答過程】解：（1）當0≤t＜1時，y＝8t；
當t≥1時，把A（1，8）、B（7，1）代入y＝kat，得，解得，
故；
（2）設第一次服藥后最遲過t小時服第二次藥，則，解得t＝5，即第一次服藥后5h后服第二次藥，也即上午11：00服藥；
（3）第二次服藥3h后，每毫升血液中含第一次服藥后的剩余量為：，
含第二次服藥量為：，
所以此時兩次服藥剩余的量為，
故該病人每毫升血液中的含藥量為4.7μg.
【變式6-1】牛奶保鮮時間因儲藏時溫度的不同而不同，假定保鮮時間與儲藏溫度間的關系為指數型函數，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鮮時間約是192h，而在22℃的廚房中則約是42h
（1）寫出保鮮時間y（單位：h）關于儲藏溫度x（單位：℃）的函數解析式；
（2）利用（1）中結論，指出溫度在30℃和16℃的保鮮時間（精確到1h）.
【解題思路】（1）設y＝k ax（k≠0，a＞0且a≠1），則利用牛奶放在0℃的冰箱中，保鮮時間約為192h，放在22℃的廚房中，保鮮時間約為42h，即可得出函數解析式；
（2）x＝30°時，y＝192 （），x＝16°時，y＝192 （），運用解析式求解即可
【解答過程】解：（1）設y＝k ax（k≠0，a＞0且a≠1），則有，
∴，
∴y＝192 （）．x≥0．
（2）x＝30°時，y＝192 （），
x＝16°時，y＝192 （）90．
【變式6-2】（2021秋 朝陽區期末）已知某地區現有人口50萬．
（I）若人口的年自然增長率為1.2%，試寫出人口數y（萬人）與年份x（年）的函數關系；
（Ⅱ）若20年后該地區人口總數控制在60萬人，則人口的年自然增長率應為多少？（1.009）
【解題思路】（I）由于人口的年自然增長率為1.2%，由此即可得出人口數y（萬人）與年份x（年）的函數關系；
（II）可直接設年人口自然增長率為p，即可得出50（1+p）20＝60，解此方向2即可得出人口的年自然增長率
【解答過程】解：（I）x年后y＝50（1+1.2%）x．
（II）設年人口自然增長率為p，因此有50（1+p）20＝60，
即（1+p）20＝1.2．時 解得．于是p＝0.009．
即人口年自然增長率為0.9%．
【變式6-3】（2021秋 長豐縣校級期末）某醫藥研究所開發一種抗甲流新藥，如果成年人按規定的劑量服用，據監測：服藥后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間t（小時）之間近似滿足如圖所示的曲線．
（1）結合圖，求k與a的值；
（2）寫出服藥后y與t之間的函數關系式y＝f（t）；
（3）據進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.5微克時治療疾病有效，求服藥一次治療有效的時間范圍？
【解題思路】（1）由函數圖象我們不難得到這是一個分段函數，第一段是正比例函數的一段，第二段是指數型函數的一段，由于兩段函數均過M（1，4），故我們可將M點代入函數的解析式，即可求出參數值；
（2）利用（1）的結論，即可得到函數的解析式．
（3）構造不等式f（t）≥0.5，可以求出每毫升血液中含藥量不少于0.5微克的起始時刻和結束時刻，即服藥一次治療有效的時間范圍．
【解答過程】解：（1）由題意，當0≤t≤1時，函數圖象是一個線段，由于過原點與點（1，4），所以k＝4，
其解析式為y＝4t，0≤t≤1；
當t≥1時，函數的解析式為y，
此時M（1，4）在曲線上，將此點的坐標代入函數解析式得4，解得a＝3；
（2）由（1）知，；
（3）由（2）知，令f（t）≥0.5，即
∴．
答：（1）k＝4，a＝3；（2）函數關系式為；（3）服藥一次治療有效的時間范圍為．專題4.3 指數函數-重難點題型精講
1．指數函數的定義
(1)一般地，函數y=(a>0,且a≠1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域是R.
(2)指數函數y=(a>0,且a≠1)解析式的結構特征：
①的系數為1;
②底數a是大于0且不等于1的常數.
2．指數函數的圖象與性質
3．底數對指數函數圖象的影響
指數函數y=(a>0,且a≠1)的底數對圖象的影響可以從不同角度來記憶理解.
(1)無論是a>1還是0(2)左右比較：在直線y=1的上面，a>1時，a越大，圖象越靠近y軸；0y軸.
(3)上下比較：比較圖象與直線x=1的交點，交點的縱坐標越大，對應的指數函數的底數越大.
4．比較冪值大小的方法
比較冪值大小的方法：
【題型1 指數函數的解析式、定義域與值域】
【方法點撥】
根據指數函數的定義，結合具體條件，進行求解即可.
【例1】（2021秋 南寧期末）函數f（x）＝2x的定義域為（　　）
A．[1，+∞） B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．R
【變式1-1】（2021秋 閻良區期末）函數y＝2x（x≤0）的值域是（　?。?br/>A．（0，1） B．（﹣∞，1） C．（0，1] D．[0，1）
【變式1-2】（2021秋 城區校級期中）指數函數y＝f（x）的圖象過點（2，4），則f（3）的值為（　?。?br/>A．4 B．8 C．16 D．1
【變式1-3】（2021秋 羅湖區校級期中）若函數f（x）＝（a2﹣2a﹣2）ax是指數函數，則a的值是（　　）
A．﹣1 B．3 C．3或﹣1 D．2
【題型2 比較冪值的大小】
【方法點撥】
利用指數函數的單調性，來比較冪值的大小.
【例2】（2021秋 路南區校級期中）已知a＝0.32，b＝0.31.5，c＝20.3，則（　?。?br/>A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞b＞c
【變式2-1】（2021秋 廈門期末）下列選項正確的是（　?。?br/>A．0.62.5＞0.63 B．1.71.7
C．1.11.5＜0.72.1 D．23
【變式2-2】（2021秋 懷仁市校級期末）設a＝0.60.6，b＝0.60.7，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關系為（　?。?br/>A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b
【變式2-3】（2021秋 天寧區校級期中）已知a＝0.3﹣0.2，，c＝3﹣0.2，則（　?。?br/>A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a
【題型3 解指數不等式】
【方法點撥】
指數不等式的三種求解方法：
(1)性質法：解形如>的不等式，可借助函數y=的單調性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與
0(2)隱含性質法：解形如>b的不等式，可先將b轉化為以a為底數的指數冪的形式，再借助函數y=的
單調性求解.
(3)圖象法：解形如>的不等式.可利用對應的函數圖象求解.
【例3】（2020秋 興慶區校級期中）不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（2，+∞）
C．（﹣∞，2） D．（﹣2，2）
【變式3-1】（2021秋 北碚區校級月考）不等式的解集是（　　）
A．（﹣2，4） B．（﹣∞，﹣2）
C．（4，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）
【變式3-2】（2021秋 黃埔區校級期中）已知a＞0，且a≠1，若函數y＝xa﹣1在（0，+∞）內單調遞減，則不等式a3x+1＞a﹣2x中x的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，） B．（，+∞）
C．（﹣∞，）∪（，+∞） D．R
【變式3-3】（2021秋 豐臺區期中）已知指數函數y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象過點（1，）．
（ I） 求函數y＝f（x）的解析式；
（ II）若不等式滿足f（2x+1）＞1，求x的取值范圍．
【題型4 指數函數的圖象及應用】
【方法點撥】
①指數函數圖象的識別：對于所給函數解析式，研究函數的單調性、特殊值等，利用排除法，得出正確的
函數圖象.
②指數函數圖象的應用：對于與指數函數有關的函數的作圖問題，一般宜用變換作圖法作圖，這樣有利于
從整體上把握函數的性質，從而指數函數的圖象來比較大小、解不等式、求最值等.
【例4】（2021秋 臨渭區期末）函數y＝x+a與y＝a﹣x（a＞0且a≠1）在同一坐標系中的圖像可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【變式4-1】（2021秋 微山縣校級月考）若指數函數y＝ax，y＝bx，y＝cx（其中a、b、c均為不等于1的正實數）的圖象如圖所示，則a、b、c的大小關系是（　?。?br/>A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c
【變式4-2】（2021秋 中寧縣校級期中）如圖是指數函數①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小是（　?。?br/>A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．a＜b＜1＜d＜c D．1＜a＜b＜c＜d
【變式4-3】（2021 長春模擬）如圖，①②③④中不屬于函數y＝2x，y＝3x，的一個是（　?。?br/>A．① B．② C．③ D．④
【題型5 指數型復合函數性質的應用】
【方法點撥】
借助指數函數的圖象和性質來研究指數型復合函數的性質，再結合具體問題，進行求解即可.
【例5】（2021秋 蚌埠月考）已知函數f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的圖象經過點（3，）．
（1）求a的值；
（2）求函數f（x）＝a2x﹣ax﹣2+8，當x∈[﹣2，1]時的值域．
【變式5-1】（2021秋 凌源市期中）設函數f（x）＝（）10﹣ax，其中a為常數，且f（3）．
（1）求a的值；
（2）若f（x）≥4，求x的取值范圍．
【變式5-2】（2021秋 欽州期末）已知函數f（x）＝2x﹣1+a（a為常數，且a∈R）恒過點（1，2）．
（1）求a的值；
（2）若f（x）≥2x，求x的取值范圍．
【變式5-3】（2022秋 新華區校級月考）已知函數f（x）＝ax+b的圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式0對任意x∈（﹣∞，2]成立，求實數c的取值范圍．
【題型6 指數函數的實際應用】
【方法點撥】
從實際問題出發，建立指數函數模型，借助指數函數的圖象和性質進行解題，注意要滿足實際條件.
【例6】（2022春 殷都區校級期末）某醫藥研究所開發一種新藥，據監測，如果成人按規定的劑量服用該藥，服藥后每毫升血液中的含藥量y（μg）與服藥后的時間t（h）之間近似滿足如圖所示的曲線．其中OA是線段，曲線段AB是函數y＝k at（t≥1，a＞0，k，a是常數）的圖象．
（1）寫出服藥后每毫升血液中含藥量y關于時間t的函數關系式；
（2）據測定：每毫升血液中含藥量不少于2（μg）時治療有效，假若某病人第一次服藥為早上6：00，為保持療效，第二次服藥最遲是當天幾點鐘？
（3）若按（2）中的最遲時間服用第二次藥，則第二次服藥后再過3h，該病人每毫升血液中含藥量為多少μg？（精確到0.1μg）
【變式6-1】牛奶保鮮時間因儲藏時溫度的不同而不同，假定保鮮時間與儲藏溫度間的關系為指數型函數，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鮮時間約是192h，而在22℃的廚房中則約是42h
（1）寫出保鮮時間y（單位：h）關于儲藏溫度x（單位：℃）的函數解析式；
（2）利用（1）中結論，指出溫度在30℃和16℃的保鮮時間（精確到1h）.
【變式6-2】（2021秋 朝陽區期末）已知某地區現有人口50萬．
（I）若人口的年自然增長率為1.2%，試寫出人口數y（萬人）與年份x（年）的函數關系；
（Ⅱ）若20年后該地區人口總數控制在60萬人，則人口的年自然增長率應為多少？（1.009）
【變式6-3】（2021秋 長豐縣校級期末）某醫藥研究所開發一種抗甲流新藥，如果成年人按規定的劑量服用，據監測：服藥后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間t（小時）之間近似滿足如圖所示的曲線．
（1）結合圖，求k與a的值；
（2）寫出服藥后y與t之間的函數關系式y＝f（t）；
（3）據進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.5微克時治療疾病有效，求服藥一次治療有效的時間范圍？

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