資源簡介

專題4.1 指數-重難點題型精講
1．根式
(1)n次方根的定義與性質
(2)根式的定義與性質
2．分數指數冪
注：分數指數冪是指數概念的又一推廣，分數指數冪是根式的一種新的寫法，不可理解為個a相乘.在這樣的規定下，根式與分數指數冪是表示相同意義的量，只是形式不同而已.
3．有理數指數冪的運算
(1)規定了分數指數冪的意義以后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數.整數指數冪的運算性質對于有理數指數冪也同樣適用，即對于任意有理數r，s，均有下面的運算性質：
①(a>0,r,s∈Q)；
②(a>0,r,s∈Q)；
③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
(2)指數冪的幾個常用結論：
①當a>0時，>0；
②當a≠0時，=1，而當a=0時，無意義；
③若(a>0,且a≠1)，則r=s；
④乘法公式仍適用于分數指數冪.
4．無理數指數冪及實數指數冪
(1)無理數指數冪
一般地，無理數指數冪(a>0,是無理數)是一個確定的實數.這樣，我們就將指數冪(a>0)中指數x
的取值范圍從整數逐步拓展到了實數.
(2)實數指數冪的運算性質：
整數指數冪的運算性質也適用于實數指數冪，區別只有指數的取值范圍不同.
【題型1 根式與分數指數冪的互化】
【方法點撥】
根據根式與分數指數冪的互化運算法則，進行計算即可.
【例1】（2022 揚中市校級開學）下列根式、分數指數冪的互化中，正確的是（　　）
A．（x≠0）
B．
C．（xy≠0）
D．（y＜0）
【解題思路】由已知結合二次根式與分數指數冪的相互轉化分別檢驗各選項即可判斷．
【解答過程】解：x，A錯誤；
，B錯誤；
（），C正確；
，D錯誤．
故選：C．
【變式1-1】（2022 茂名模擬）下列根式與分數指數冪的互化正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據指數冪的運算法則化簡判斷即可．
【解答過程】解：對于A：，故A不成立；
對于B：（x＞0），故B成立；
對于C：，故C不成立；
對于D：[]，x＜0，故D不成立．
故選：B．
【變式1-2】（2021秋 電白區期中）下列根式中，分數指數冪的互化，正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用根式與分數指數冪的關系得出A（x＞0），，（x＞0），，從而選出答案．
【解答過程】解：A．（x＞0）故A錯；
B. 故B錯；
C.（x＞0）故C正確；
D.故D錯
故選：C．
【變式1-3】（2021秋 水磨溝區校級月考）下列根式與分數指數冪的互化，正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據有理數指數冪與根式互化的運算性質對應各個選項逐個化簡即可．
【解答過程】解：選項A：由運算性質可得：），故A錯誤；
選項B：因為x≤0，所以，故B錯誤，
選項C：x，（x＞0），故C正確，
選項D：x，（x≠0），故D錯誤，
故選：C．
【題型2 指數式的化簡】
【方法點撥】
利用指數冪的運算性質，進行化簡計算即可．
【例2】（2021秋 惠陽區校級月考）（1）0﹣（1﹣0.5﹣2）的值為（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】根據指數冪的運算性質即可求出．
【解答過程】解：原式＝1﹣（1﹣4）÷（）2＝1+3．
故選：D．
【變式2-1】（2021秋 杭州期中）（　　）
A． B． C． D．32
【解題思路】利用有理數指數冪的運算性質求解．
【解答過程】解：原式2﹣1＝31，
故選：C．
【變式2-2】（2021秋 龍湖區校級期末）設a＞0，b＞0，化簡的結果是（　　）
A． B． C． D．﹣3a
【解題思路】利用有理數指數冪的性質進行運算即可．
【解答過程】解：abab3a．
故選：D．
【變式2-3】（2021秋 秦淮區校級月考）計算的值為（　　）
A． B．e C．e2 D．2
【解題思路】根據指數冪的運算性質計算即可．
【解答過程】解：原式1﹣1+ee，
故選：B．
【題型3 根據指數式求參】
【方法點撥】
根據所給的指數關系式，利用指數冪的運算性質，化簡求解參數的值.
【例3】（2021秋 海陵區校級月考）已知x7＝5，則x的值為（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】根據根式性質計算即可．
【解答過程】解：由根式的定義知x7＝5，則．
故選：B．
【變式3-1】（2021 廣東學業考試）已知4，則x等于（　　）
A． B．±8 C． D．
【解題思路】把已知等式變形，可得，進一步得到，則x值可求．
【解答過程】解：由4，得，即，
∴，得x．
故選：A．
【變式3-2】（2022秋 諸暨市校級月考）若，則實數a的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．R
【解題思路】先對進行化簡，然后根據絕對值方程|m|＝﹣m則m≤0進行求解即可．
【解答過程】解：∵，
∴|2a﹣1|＝1﹣2a
則2a﹣1≤0解得a
故選：B．
【變式3-3】（2021秋 聊城期中）若，則實數a的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（，+∞）
【解題思路】根據，以及|a|可得．
【解答過程】解：∵||，
∴1﹣3a≥0，∴a．
故選：B．
【題型4 指數式的給條件求值問題】
【方法點撥】
利用指數冪的運算性質解決帶有附加條件的求值問題，一般有三種思路：
(1)將條件中的式子用待求式表示出來，進而代入化簡得出結論.
(2)當直接代入不易求解時，可以從總體上把握已知,式和所求式的特點，從而快速巧妙求解.一般先利用平方
差、立方和(差)以及完全平方公式及其變形進行化簡，再用整體代入法來求值.
(3)適當應用換元法，能使公式的使用更清晰，過程更簡潔.
【例4】（2021秋 昌吉州期末）已知a4，則等于（　　）
A．2 B． C． D．±
【解題思路】推導出（）2＝a2，由此能求出的值．
【解答過程】解：∵a4，
∴（）2＝a2＝4﹣2＝2，
∴．
故選：D．
【變式4-1】（2022 長沙縣校級開學）若0＜a＜1，b＞0，且ab﹣a﹣b＝﹣2，則ab+a﹣b的值為（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意，由ab﹣a﹣b＝﹣2變形可得（ab﹣a﹣b）2＝a2b+a﹣2b﹣2＝4，由此求出a2b+a﹣2b的值，又由（ab+a﹣b）2＝a2b+a﹣2b+2，變形計算可得答案．
【解答過程】解：根據題意，ab﹣a﹣b＝﹣2，則（ab﹣a﹣b）2＝a2b+a﹣2b﹣2＝4，則有a2b+a﹣2b＝6，
又由（ab+a﹣b）2＝a2b+a﹣2b+2＝6+2＝8，則有ab+a﹣b＝±2，
又由0＜a＜1，b＞0，ab+a﹣b＞0，則有ab+a﹣b＝2，
故選：A．
【變式4-2】（2021秋 泉山區校級月考）已知10m＝2，10n＝3，則（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】利用指數冪的運算性質即可得出．
【解答過程】解：∵10m＝2，10n＝3，
∴10n33，
故選：D．
【變式4-3】（2021秋 甌海區校級月考）已知實數a，b滿足，則a+b＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
【解題思路】設m＝a，n＝b，則mn＝1，化簡a，所以a，同理b，進而可求出a+b的值．
【解答過程】解：∵實數a，b滿足，∴與（b）互為倒數，
設m＝a，n＝b，
則（a）a，
所以m（a）＝2a，則a，
同理可得b，
因為mn＝1，所以n，m，
所以a，b，
所以a+b0，
故選：D．
【題型5 指數冪等式及冪的方程問題】
【方法點撥】
指數方程常見的類型有：(1) f(x)=g(x)；(2)=0.
其中類型(1)利用同底法解，類型(2)利用換元法解.
【例5】（2021秋 興慶區校級期末）方程的解是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
【解題思路】利用指數的運算性質即可解出．
【解答過程】解：∵方程，∴3x﹣1＝3﹣2，∴x﹣1＝﹣2，∴x＝﹣1，因此方程的解是x＝﹣1．
故選：B．
【變式5-1】（2021 閻良區校級自主招生）方程5x﹣1 103x＝8x的解集是（　　）
A．{1，4} B．{} C．{1，} D．{4，}
【解題思路】先把103x轉化為53x23x，8x＝23x，然后再化簡求值即可．
【解答過程】解：原方程可化為：5x﹣153x23x＝23x，即54x﹣1＝1，解得：x．
故選：B．
【變式5-2】（2022春 汪清縣校級月考）方程4x﹣1的解為（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【解題思路】由4x﹣14﹣2，得x﹣1＝﹣2，由此能求出方程4x﹣1的解．
【解答過程】解：∵4x﹣14﹣2，
∴x﹣1＝﹣2，
∴x＝﹣1．
故選：C．
【變式5-3】（2021秋 青浦區期末）方程4x﹣10 2x+16＝0的解集是　{1，3}　．
【解題思路】利用換元法將方程轉化為一元二次方程進行求解即可．
【解答過程】解：由4x﹣10 2x+16＝0得（2x）2﹣10 2x+16＝0，
設t＝2x，則t＞0，
則原方程等價為t2﹣10t+16＝0，即（t﹣2）（t﹣8）＝0，
解得t＝2或t＝8．
由t＝2x＝2，解得x＝1．
由t＝2x＝8，解得x＝3．
故方程的解集為{1，3}．
故答案為：{1，3}．
【題型6 指數冪等式的證明】
【方法點撥】
指數冪等式的證明中，設輔助參數是對數學問題的“層次性”的深刻認識的體現，是把復雜問題轉化為兩個或多個基本問題的重要分析方法.
【例6】已知a＞0且a≠1，（2a）m＝a，（3a）m＝2a，求證：（）mn＝2n．
【解題思路】由，得到（）m＝2，由此能證明（）mn＝2n．
【解答過程】證明：∵a＞0且a≠1，（2a）m＝a，（3a）m＝2a，
∴，
∴（）m＝2，
∴（）mn＝[（）m]n＝2n．
∴（）mn＝2n．
【變式6-1】已知，求證：3k2+2＝2m2．
【解題思路】由，化為2|m|2+3k2，兩邊平方整理利用完全平方公式即可得出．
【解答過程】證明：∵，
∴2|m|2+3k2，
兩邊平方可得：4m2（3k2+2﹣m2）＝（2+3k2）2，
化為（3k2+2﹣2m2）2＝0，
∴3k2+2＝2m2．
【變式6-2】已知：a＞0，b＞0，且ab＝ba，求證：（）．
【解題思路】根據分式指數冪的定義和運算法則進行證明即可．
【解答過程】證明：要證明：（）．
只要證明，
即證明（）a＝aa﹣b，
即，
即證明ba＝ab，成立，
∵ab＝ba成立，
∴：（）．
【變式6-3】已知ax3＝by3＝cz3，且1，求證：（ax2+by2+cz2）．
【解題思路】設ax3＝by3＝cz3＝t3，則t（）＝t，再推導出（ax2+by2+cz2）t．由此能證明（ax2+by2+cz2）．
【解答過程】證明：∵ax3＝by3＝cz3，且1，
∴設ax3＝by3＝cz3＝t3，∴a，b，c，
∵t（）＝t，
（ax2+by2+cz2）t．
∴（ax2+by2+cz2）．專題4.1 指數-重難點題型精講
1．根式
(1)n次方根的定義與性質
(2)根式的定義與性質
2．分數指數冪
注：分數指數冪是指數概念的又一推廣，分數指數冪是根式的一種新的寫法，不可理解為個a相乘.在這樣的規定下，根式與分數指數冪是表示相同意義的量，只是形式不同而已.
3．有理數指數冪的運算
(1)規定了分數指數冪的意義以后，指數的概念就從整數指數推廣到了有理數指數.整數指數冪的運算性質對于有理數指數冪也同樣適用，即對于任意有理數r，s，均有下面的運算性質：
①(a>0,r,s∈Q)；
②(a>0,r,s∈Q)；
③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
(2)指數冪的幾個常用結論：
①當a>0時，>0；
②當a≠0時，=1，而當a=0時，無意義；
③若(a>0,且a≠1)，則r=s；
④乘法公式仍適用于分數指數冪.
4．無理數指數冪及實數指數冪
(1)無理數指數冪
一般地，無理數指數冪(a>0,是無理數)是一個確定的實數.這樣，我們就將指數冪(a>0)中指數x
的取值范圍從整數逐步拓展到了實數.
(2)實數指數冪的運算性質：
整數指數冪的運算性質也適用于實數指數冪，區別只有指數的取值范圍不同.
【題型1 根式與分數指數冪的互化】
【方法點撥】
根據根式與分數指數冪的互化運算法則，進行計算即可.
【例1】（2022 揚中市校級開學）下列根式、分數指數冪的互化中，正確的是（　　）
A．（x≠0）
B．
C．（xy≠0）
D．（y＜0）
【變式1-1】（2022 茂名模擬）下列根式與分數指數冪的互化正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2021秋 電白區期中）下列根式中，分數指數冪的互化，正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2021秋 水磨溝區校級月考）下列根式與分數指數冪的互化，正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【題型2 指數式的化簡】
【方法點撥】
利用指數冪的運算性質，進行化簡計算即可．
【例2】（2021秋 惠陽區校級月考）（1）0﹣（1﹣0.5﹣2）的值為（　　）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2021秋 杭州期中）（　　）
A． B． C． D．32
【變式2-2】（2021秋 龍湖區校級期末）設a＞0，b＞0，化簡的結果是（　　）
A． B． C． D．﹣3a
【變式2-3】（2021秋 秦淮區校級月考）計算的值為（　　）
A． B．e C．e2 D．2
【題型3 根據指數式求參】
【方法點撥】
根據所給的指數關系式，利用指數冪的運算性質，化簡求解參數的值.
【例3】（2021秋 海陵區校級月考）已知x7＝5，則x的值為（　　）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2021 廣東學業考試）已知4，則x等于（　　）
A． B．±8 C． D．
【變式3-2】（2022秋 諸暨市校級月考）若，則實數a的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．R
【變式3-3】（2021秋 聊城期中）若，則實數a的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，] C．[，+∞） D．（，+∞）
【題型4 指數式的給條件求值問題】
【方法點撥】
利用指數冪的運算性質解決帶有附加條件的求值問題，一般有三種思路：
(1)將條件中的式子用待求式表示出來，進而代入化簡得出結論.
(2)當直接代入不易求解時，可以從總體上把握已知,式和所求式的特點，從而快速巧妙求解.一般先利用平方
差、立方和(差)以及完全平方公式及其變形進行化簡，再用整體代入法來求值.
(3)適當應用換元法，能使公式的使用更清晰，過程更簡潔.
【例4】（2021秋 昌吉州期末）已知a4，則等于（　　）
A．2 B． C． D．±
【變式4-1】（2022 長沙縣校級開學）若0＜a＜1，b＞0，且ab﹣a﹣b＝﹣2，則ab+a﹣b的值為（　　）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2021秋 泉山區校級月考）已知10m＝2，10n＝3，則（　　）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2021秋 甌海區校級月考）已知實數a，b滿足，則a+b＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
【題型5 指數冪等式及冪的方程問題】
【方法點撥】
指數方程常見的類型有：(1) f(x)=g(x)；(2)=0.
其中類型(1)利用同底法解，類型(2)利用換元法解.
【例5】（2021秋 興慶區校級期末）方程的解是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
【變式5-1】（2021 閻良區校級自主招生）方程5x﹣1 103x＝8x的解集是（　　）
A．{1，4} B．{} C．{1，} D．{4，}
【變式5-2】（2022春 汪清縣校級月考）方程4x﹣1的解為（　　）
A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【變式5-3】（2021秋 青浦區期末）方程4x﹣10 2x+16＝0的解集是　 　．
【題型6 指數冪等式的證明】
【方法點撥】
指數冪等式的證明中，設輔助參數是對數學問題的“層次性”的深刻認識的體現，是把復雜問題轉化為兩個或多個基本問題的重要分析方法.
【例6】已知a＞0且a≠1，（2a）m＝a，（3a）m＝2a，求證：（）mn＝2n．
【變式6-1】已知，求證：3k2+2＝2m2．
【變式6-2】已知：a＞0，b＞0，且ab＝ba，求證：（）．
【變式6-3】已知ax3＝by3＝cz3，且1，求證：（ax2+by2+cz2）．

展開更多......

收起↑