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九年級(jí)下冊(cè)26章《反比例函數(shù)》導(dǎo)學(xué)案 【編號(hào)：01】 26.1.1反比例函數(shù)
多少事，從來(lái)急；天地轉(zhuǎn)，光陰迫，一萬(wàn)年太久，只爭(zhēng)朝夕
九年級(jí)下冊(cè)27章《相似》導(dǎo)學(xué)案 【編號(hào)：07】 27.2 圖形的相似
27.2.1 相似三角形的判定
第2課時(shí) 利用三邊關(guān)系、邊角關(guān)系判定三角形相似
目標(biāo)導(dǎo)學(xué)
1．掌握利用三邊來(lái)判定兩個(gè)三角形相似的方法，并能進(jìn)行相關(guān)計(jì)算. (重點(diǎn)、難點(diǎn))
2．會(huì)根據(jù)邊和角的關(guān)系來(lái)判定兩個(gè)三角形相似，并進(jìn)行相關(guān)計(jì)算. (重點(diǎn)、難點(diǎn))
二、新知導(dǎo)入
我們現(xiàn)在判定兩個(gè)三角形是否相似，必須要知道它們的對(duì)應(yīng)角是否相等，對(duì)應(yīng)邊是否成比例．那么是否存在判定兩個(gè)三角形相似的簡(jiǎn)便方法呢？
在如圖所示的方格上任畫(huà)一個(gè)三角形，再畫(huà)第二個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是原來(lái)三角形的三邊長(zhǎng)的相同倍數(shù)．畫(huà)完之后，用量角器比較兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？大家的結(jié)論都一樣嗎？
三、新知探究
知識(shí)點(diǎn)一：利用“三邊成比例”判定三角形相似
如圖，在△與△中，，求證△∽△。
證明：在線(xiàn)段(或它的延長(zhǎng)線(xiàn))上截取=，過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E。根據(jù)前面的定理（平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似），可得△∽△
∴______________________。
又∵，=，
∴，
∴___________________，__________________。
∴.
∴△∽△
由此我們得到利用三邊判定三角形相似的定理
三邊成比例的兩個(gè)三角形相似
符號(hào)語(yǔ)言：
∵
∴ △∽△
【典例一】在△ABC中，AB=2，BC=3，AC=4，將△ABC的各邊進(jìn)行下列變換：①各邊的長(zhǎng)度分別擴(kuò)大為原來(lái)的3倍；②各邊的長(zhǎng)度分別縮小為原來(lái)的；③各邊的長(zhǎng)度分別增加2；④各邊的長(zhǎng)度分別平方。其中得到的三角形與△ABC相似的有（ ）
A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)
（跟蹤訓(xùn)練）1、有甲、乙兩個(gè)三角形木框，甲三角形木框的三邊長(zhǎng)分別為1，，，乙三角形木框的三邊長(zhǎng)分別為5，，，則甲、乙兩個(gè)三角形木框（ ）
一定相似 B、一定不相似 C、不一定相似 D、無(wú)法判斷
（跟蹤訓(xùn)練）2、已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為6cm，7.5cm，9cm，△DEF的一邊長(zhǎng)為4cm，當(dāng)△DEF的另兩邊長(zhǎng)是下列哪一組值時(shí)，這兩個(gè)三角形相似？（ ）
A、2cm，3cm B、4cm，5cm C、5cm，6cm D、6cm，7cm
（跟蹤訓(xùn)練）3、如圖，4×4的正方形網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則與△ABC相似的三角形所在的網(wǎng)格三角形是（ ）
知識(shí)點(diǎn)二：利用“兩邊成比例且?jiàn)A角相等”判定三角形相似
如圖，在△與△中，，,求證△∽△。
證明：在線(xiàn)段(或它的延長(zhǎng)線(xiàn))上截取=，過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E。根據(jù)前面的定理（平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似），可得△∽△
∴
又∵，=，
∴，
∴
又∵
∴.
∴△∽△
由此我們得到利用三邊判定三角形相似的定理
兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似
符號(hào)語(yǔ)言：
∵ ，,
∴ △∽△
【典例二】如圖，在 △ABC中，D，E分別是AB和AC上的點(diǎn)，且AD=4，BD=2，AE=3，CE=5。
（1）求證：△ABC∽△AED；
（2）求的值。
（跟蹤訓(xùn)練）4、在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，如果AD=1，BD=3，那么由下列條件能夠判斷DE//BC的是（ ）
A、 B、 C、 D、
（跟蹤訓(xùn)練）5、在圖①②所示的△ABC中，AB=4，AC=6，將△ABC沿圖示中的虛線(xiàn)剪開(kāi)，對(duì)于各圖中剪下的兩個(gè)陰影三角形而言，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A、只有①中的與△ABC相似
B、只有②中的與△ABC相似
C、都與△ABC相似
D、都與△ABC不相似
四、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)
基礎(chǔ)
1、網(wǎng)格圖中每個(gè)方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，若A，B，C，D，E，F(xiàn)都是格點(diǎn)，求證：△ABC∽△DEF.
2、如圖，在△ABC中，AB=9，AC=6。點(diǎn)M在邊AB上，且AM=3，點(diǎn)N在AC邊上。當(dāng)AN=_______時(shí)，△AMN與原三角形相似。
第2題圖 第3題圖 第4題圖
3、如圖，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，若，則（ ）
A、△ADC∽△CBD B、△BDC∽△BCA C、△ADC∽△ACB D、以上都不對(duì)
4、如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC和△EDF的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則∠ABC+∠EFD的度數(shù)為_(kāi)_____________。
綜合
5、如圖，在四邊形ABCD中，E是對(duì)角線(xiàn)AC上的一點(diǎn)，且，求證∽。
6、如圖，在△ABC中，AB=8cm，BC=6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以1cm/s的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若要使以點(diǎn)B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少？
中考
7、如圖，在象棋盤(pán)（各個(gè)正方形的邊長(zhǎng)均相等）中，根據(jù)“馬走日”的規(guī)則，“馬”應(yīng)落在下列那個(gè)位置處，能使“馬”“車(chē)”“炮”所在位置的格點(diǎn)構(gòu)成的三角形與“帥”“相”“兵”所在位置的格點(diǎn)構(gòu)成的三角形相似？（ ）
A、①處 B、②處 C、③處 D、④處
8、如圖，在△PAB中，C，D是AB上兩點(diǎn)。已知.
求證：PC=PD；
求證：△PDB∽△APB
若∠APB=120°，求證：△PCD為等邊三角形。
五、課后總結(jié)
三角形相似的判定定理：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；
2、三角形相似的判定定理：兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似；九年級(jí)下冊(cè)26章《反比例函數(shù)》導(dǎo)學(xué)案 【編號(hào)：01】 26.1.1反比例函數(shù)
多少事，從來(lái)急；天地轉(zhuǎn)，光陰迫，一萬(wàn)年太久，只爭(zhēng)朝夕
九年級(jí)下冊(cè)27章《相似》導(dǎo)學(xué)案 【編號(hào)：08】 27.2 圖形的相似
27.2.1 相似三角形的判定
第3課時(shí) 利用兩角分別相等判定三角形相似、直角三角形相似判定
目標(biāo)導(dǎo)學(xué)
1. 探索兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似的判定定理.
2. 掌握利用兩角來(lái)判定兩個(gè)三角形相似的方法，并能進(jìn)行相關(guān)計(jì)算. (重點(diǎn)、難點(diǎn))
3. 掌握判定兩個(gè)直角三角形相似的方法，并能進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.
二、新知導(dǎo)入
與同伴合作，一人畫(huà)△ABC，另一人畫(huà)△A′B′C′，使得∠A和∠A ′都等于給定的∠α，∠B和∠B′都等于給定的∠β，比較你們畫(huà)的兩個(gè)三角形，∠C與∠C′相等嗎？對(duì)應(yīng)邊的比，，相等嗎？這樣的兩個(gè)三角形相似嗎？和同學(xué)們交流．
三、新知探究
知識(shí)點(diǎn)一：利用“兩角分別相等”判定三角形相似
如圖，在△與△中，，，求證△∽△。
證明：在線(xiàn)段(或它的延長(zhǎng)線(xiàn))上截取=，過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E。根據(jù)前面的定理（平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似），可得△∽△
∴______________________。
又∵，
∴
又∵,
∴______________________，
∴△∽△
由此我們得到利用兩角判定三角形相似的定理
兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似
符號(hào)語(yǔ)言：
∵ ,
∴ △∽△
【典例一】在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°,求證：△ABC∽△DEF。
（跟蹤訓(xùn)練）1、如圖，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 內(nèi)一點(diǎn) P，求證：PA · PB=PC · PD.
證明:連接AC，DB.
∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所對(duì)的圓周角，
∴ ∠A= _______，
同理 ∠C= _______，
∴ △PAC ∽ △PDB，
∴_______________，即PA ·PB = PC · PD.
（跟蹤訓(xùn)練）2、如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AC上的點(diǎn)，若AB=6，AE=4，∠ADE=∠C，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)___________。
（跟蹤訓(xùn)練）3、如圖，已知△ABC和△ADE，點(diǎn)D在BC邊上，若∠1=∠2=∠3，求證：△ABC∽△ADE
第2題圖 第3題圖
知識(shí)點(diǎn)二：利用“直角邊、斜邊分別成比例”判定直角三角形相似
如圖，在Rt△與Rt△中，，，
求證Rt△∽R(shí)t△。
證明：參照課本P36的證明過(guò)程，思考如果利用前面判定方法類(lèi)似的方法怎么證明？
由此我們得到判定直角三角形相似的方法
斜邊和一直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似
符號(hào)語(yǔ)言：
∵
∴ Rt△∽R(shí)t△
注意：如果兩個(gè)直角三角形滿(mǎn)足一個(gè)銳角相等，或兩組直角邊成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似
【典例二】在△ABC和△A B C 中，∠C=∠C =90°，AC=3，AB=5，A C =6，當(dāng)B C =__________時(shí)，△ABC∽△A B C 。
（跟蹤訓(xùn)練）4、如圖，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一點(diǎn)，AE = 5，ED⊥AB，垂足為D. 求AD的長(zhǎng).
（跟蹤訓(xùn)練）5、如圖，已知：∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD =，當(dāng) AB 的長(zhǎng)為_(kāi)______時(shí)，△ACB 與△ADC相似．
（跟蹤訓(xùn)練）6、如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，D為AB為中點(diǎn)，ED⊥AB交AC于點(diǎn)E，若AC=3，，則AE的長(zhǎng)為_(kāi)___________。
跟蹤訓(xùn)練5 跟蹤訓(xùn)練6 基礎(chǔ)第1題 基礎(chǔ)第3題
四、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)
基礎(chǔ)
如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，要判定△ABP∽△ACB，再添加一個(gè)條件，不正確的是（ ）
B、 C、 D、
2、已知一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是50°和70°，另一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是50°和60°，則這兩個(gè)三角形（ ）
A、一定不相似 B、不一定相似 C、一定相似 D、不能確定
3、如圖，⊙O 的弦 AB，CD 相交于點(diǎn) P，若 PA=3，PB=8，PC=4，則 PD=_________。
綜合
4、如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)圓上，弦AC，BD相交于點(diǎn)P，AD，BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，則圖中相似三角形共有（ ）
A、2對(duì) B、3對(duì) C、4對(duì) D、5對(duì)
5、如圖，在平行四邊ABCD中，E為DC上一點(diǎn)，連接AE，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且∠BFE=∠C。求證：△ABF∽△EAD。
6、如圖，在8×8的正方形網(wǎng)格中，△ACB和△DCE的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，延長(zhǎng)ED交AB于點(diǎn)F。
求證：△ACB∽△DCE。
中考
7、如圖所示，正方形ABCD的頂點(diǎn)A在等腰直角三角形DEF的斜邊EF上，EF與BC相交于點(diǎn)G，連接CF。
（1）求證：△ADE≌△CDF；
（2）求證：△ABG∽△CFG。
8、如圖，AB是圓的直徑，BE是圓的切線(xiàn)，△ACD內(nèi)接于圓，連接AE,若∠ADC=125°，，則∠E的度數(shù)為_(kāi)_____________。
五、課后總結(jié)九年級(jí)下冊(cè)26章《反比例函數(shù)》導(dǎo)學(xué)案 【編號(hào)：01】 26.1.1反比例函數(shù)
多少事，從來(lái)急；天地轉(zhuǎn)，光陰迫，一萬(wàn)年太久，只爭(zhēng)朝夕
九年級(jí)下冊(cè)27章《相似》導(dǎo)學(xué)案 【編號(hào)：06】 27.2 圖形的相似
27.2.1 相似三角形的判定
第1課時(shí) 平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例
目標(biāo)導(dǎo)學(xué)
1．了解相似比的定義；(重點(diǎn))
2．掌握平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理的基本事實(shí)以及利用平行線(xiàn)法判定三角形相似；(重點(diǎn))
3．應(yīng)用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理及平行線(xiàn)法判定三角形相似來(lái)解決問(wèn)題．(難點(diǎn))
二、新知導(dǎo)入
上一節(jié)我們已經(jīng)學(xué)過(guò)相似多邊形，其中最簡(jiǎn)單的就是相似三角形，如圖，在 和 中，如果，，，，即三個(gè)角分別相等，三條邊成比例，我們就說(shuō) 與 相似，相似比是。相似用符號(hào)“ ∽ ”表示，讀作“相似于”。 與 相似記作“ ∽ ”
三、新知探究
知識(shí)點(diǎn)一：平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的基本事實(shí)
如圖，任意畫(huà)兩條直線(xiàn)，再畫(huà)三條與都相交的平行線(xiàn)，交點(diǎn)如圖所示。
通過(guò)測(cè)量和計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，有，，，，等
歸納：兩條直線(xiàn)被一組平行線(xiàn)所截，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例。
【典例一】如圖，，下列等式成立的是（ ）
B、 C、 D、
（跟蹤訓(xùn)練）1、如圖，，直線(xiàn)與分別相交于點(diǎn)A，B，C，D和點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，若,，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________。
典例一 跟蹤訓(xùn)練1
知識(shí)點(diǎn)二：平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的基本事實(shí)的推論
把平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的基本事實(shí)應(yīng)用到三角形中國(guó)，會(huì)出現(xiàn)下面兩種情況：
在圖（1）中，把看成平行于△ABC的邊BC的直線(xiàn)；在圖（2）中，把看成平行于△ABC的邊BC的直線(xiàn)，那么我們可以得到結(jié)論：
平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)），所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例
【典例二】如圖，AB//CD//EF，AF與BE交于點(diǎn)G，且CE=2，BC=6，AD=8，DG=3，則CG的長(zhǎng)為_(kāi)_____；DF的長(zhǎng)為_(kāi)_______。
典例二 跟蹤訓(xùn)練2
（跟蹤訓(xùn)練）2、如圖，在△ABC中，，AD=9，BD=3，CE=2，則AC的長(zhǎng)為（ ）
A、6 B、7 C、8 D、9
知識(shí)點(diǎn)三：利用平行線(xiàn)判斷三角形相似
已知：在△ABC中，DE//BC，且分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，
求證：△ADE與△ABC相似。
證明：在△ADE與△ABC中，。
∵ DE//BC
∴_______________,_______________.
過(guò)點(diǎn)E作EF//AB，交BC于點(diǎn)F（如右圖）。
∵ DE//BC，EF//AB
∴ _______________,_______________
∵ 四邊形DBFE是平行四邊形，
∴ DE=BF
∴ _______________,
∴ _________________________,
這樣，我們證明了△ADE與△ABC的角分別相等，邊成比例，所以△ADE∽△ABC。因此我們有如下判定三角形相似的定理：
平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。
【典例三】如圖，在△ABC中，DE//BC，且DE分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，M為邊BC上一點(diǎn)，連接AM交DE于點(diǎn)N，則圖中相似三角形的組數(shù)是（ ）
A、2組 B、3組 C、4組 D、5組
典例三 跟蹤訓(xùn)練3
（跟蹤訓(xùn)練）3、如圖E是平行四邊形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，且，連接BE并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F。
寫(xiě)出圖中任意一對(duì)相似三角形，并證明；
若DF=3，計(jì)算AD的長(zhǎng)。
四、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)
基礎(chǔ)
1、如右下圖，直線(xiàn) ，直線(xiàn)被直線(xiàn)所截，截得的線(xiàn)段分別為AB，BC，DE，EF。若AB=4，BC=6，DE=3，則DF的長(zhǎng)是（ ）
2、如圖，，直線(xiàn)于分別相較于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)。若AB=3，DE=2，BC=6，則EF=___________。
3、如圖，在△ABC中，DE//BC，∠ADE=∠EFC，AD：BD=5：3，CF=6，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)_______。
4、如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，點(diǎn)E在AC邊上，過(guò)點(diǎn)E作EF//BC，交AD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EG//AB，交BC于點(diǎn)G，則下列式子一定正確是（ ）
A、 B、 D、 C、
第1題圖 第2題圖 第3題圖 第4題圖
綜合
如圖是一架梯子的示意圖，其中，且AB=BC=CD。為使其更穩(wěn)固，在，間加綁一條安全繩（線(xiàn)段），量得AE=0.4m，則=________m。
如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AC邊上，AD：DC=1：2，O是BD的中點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)E，則BE：EC=___________。
第5題圖 第6題圖 第7題圖 第8題圖
中考
如圖，在△ABC中，D為AC的中點(diǎn)，連接BD，點(diǎn)E在BD上，且，連接AE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，DG//AF交BC于點(diǎn)G，則的值為_(kāi)_______
如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，連接DE，BE，若BE=DE，,則的值為_(kāi)__________。
9、四邊形ABCD是平行四邊形，E是對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，射線(xiàn)DE分別交射線(xiàn)CB，AB于點(diǎn)F，G。
如圖，如果點(diǎn)F在CB邊上，點(diǎn)G在AB邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上，求證：.
如果點(diǎn)F在CB邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)G在AB邊上，試寫(xiě)出與之間的一種等量關(guān)系，并給出證明。
五、課后總結(jié)
1．相似三角形的定義及有關(guān)概念；
2．平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理及推論；
3．相似三角形的引理．

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