資源簡介

第01講 集合(精講）
目錄
第一部分：思維導圖 2
第二部分：知識點必背 2
第三部分：高考真題回歸 4
第四部分：高頻考點一遍過 5
高頻考點一：集合的基本概念 5
高頻考點二：元素與集合的關系 6
高頻考點三：集合中元素的特性 7
高頻考點四：集合的表示方法 7
高頻考點五：集合的基本關系 9
高頻考點六：集合的運算 11
高頻考點七：圖的應用 13
高頻考點八：集合新定義問題 14
第五部分：數學思想方法 15
①數形結合 15
②分類討論 16
第六部分：核心素養 17
①數學運算 17
②邏輯推理 17
第一部分：思維導圖
第二部分：知識點必背
1、元素與集合
（1）集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.
（2）元素與集合的關系：屬于 或 不屬于，數學符號分別記為：和.
（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）.
（4）常見數集和數學符號
數集 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 或
說明：
①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了.給定集合，可知,在該集合中，,不在該集合中；
②互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復出現的.
集合應滿足.
③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分。集合和是同一個集合.
④列舉法
把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.
具體方法是：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.
2、集合間的基本關系
（1）子集（subset）：一般地，對于兩個集合、，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合為集合的子集 ，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作.
（4）空集的性質： 我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本運算
（1）交集：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作，即．
（2）并集：一般地，由所有屬于集合或屬于集合的元素組成的集合，稱為與的并集，記作，即．
（3）補集：對于一個集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補集，簡稱為集合的補集，記作，即．
4、集合的運算性質
（1），，．
（2），，．
（3），，．
5、高頻考點結論
（1）若有限集中有個元素，則的子集有個，真子集有個，非空子集有個，非空真子集有個．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
第三部分：高考真題回歸
1．（2022·全國（乙卷（文））·統考高考真題）集合，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全國（甲卷（文））·統考高考真題）設集合，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全國（乙卷（理））·統考高考真題）設全集，集合M滿足，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全國（甲卷（理））·統考高考真題）設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全國（新高考Ⅰ卷）·統考高考真題）若集合，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全國（新高考Ⅱ卷）·統考高考真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
第四部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：集合的基本概念
典型例題
例題1．（2023·高一課時練習）下列說法正確的是（ ）
A．方程的解集是
B．方程的解集為{(-2，3)}
C．集合與集合表示同一個集合
D．方程組的解集是
例題2．（2023·高一單元測試）下面關于集合的表示正確的是（ ）
①；②；
③；④
A．① B．② C．③ D．④
練透核心考點
1．（2023·湖南永州·高一校考階段練習）以下元素的全體不能夠構成集合的是
A．中國古代四大發明 B．周長為的三角形
C．方程的實數解 D．地球上的小河流
2．（2023·全國·高三專題練習）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
高頻考點二：元素與集合的關系
典型例題
例題1．（多選）（2023秋·湖南長沙·高一長沙市明德中學校考期末）已知集合，且，則實數的取值不可以為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知集合，若，則實數的取值范圍是____________．
例題3．（2023·高一課時練習）數集滿足條件：若，則.
（1）若，求集合中一定存在的元素；
（2）集合內的元素能否只有一個？請說明理由；
（3）請寫出集合中的元素個數的所有可能值，并說明理由.
練透核心考點
1．（多選）（2023秋·海南儋州·高一校考期末）下列關系中表述正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·高一課時練習）已知關于x的不等式的解集是M，若且，則實數a的取值范圍是______．
3．（2023·高三課時練習）由實數構成的非空集合A滿足條件：①；②若，則.試證明：
(1)若，則在集合A中必有另外兩個數；
(2)若，則集合A不可能是單元素集合；
(3)若，且，則集合A中至少有三個元素.
高頻考點三：集合中元素的特性
典型例題
例題1．（2023秋·浙江紹興·高三期末）已知集合，集合，且，則（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2023·河北·高三學業考試）設集合，，，則中的元素個數為______．
例題3．（2023·高三課時練習）設集合，，且，求實數、的值.
練透核心考點
1．（2023·廣東惠州·統考模擬預測）已知集合，，且，則實數（ ）
A． B．1 C．或1 D．0
2．（2023秋·江蘇徐州·高一統考期末）集合，若，則__________
3．（2022秋·天津河西·高三統考期中）含有3個實數的集合既可表示成，又可表示成，則 _____．
高頻考點四：集合的表示方法
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習）已知集合，則集合中所含元素個數為（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
例題2．（2023秋·四川雅安·高一統考期末）集合用列舉法表示為（ ）
A． B． C． D．
例題3．（2023秋·福建寧德·高一統考期末）下列集合與區間表示的集合相等的是（ ）
A． B．
C． D．
例題4．（2023·陜西渭南·高三校考階段練習）已知集合，寫出一個滿足集合至少有5個元素的的值：______．
練透核心考點
1．（2023·全國·高三專題練習）已知集合A滿足，，若，則集合A所有元素之和為（ ）
A．0 B．1 C． D．
2．（2023春·四川雅安·高一雅安中學校考開學考試）設集合，，則集合（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·河北·高二統考學業考試）直角坐標平面中除去兩點 可用集合表示為（ ）
A．
B．或
C．
D．
4．（2023上海浦東新·高一上海南匯中學校考階段練習）用列舉法表示集合，______．
高頻考點五：集合的基本關系
典型例題
例題1．（2023·吉林·統考二模）已知集合，，則的子集個數（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例題2．（多選）（2023秋·遼寧葫蘆島·高一統考期末）已知集合有且僅有兩個子集，則下面正確的是（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集為，則
D．若不等式的解集為，且，則
例題3．（2023秋·湖南永州·高一統考期末）已知集合，集合.
(1)當時，求；
(2)若，求實數的取值范圍.
例題4．（2023春·浙江寧波·高一寧波市北侖中學校考開學考試）集合，集合，集合．
(1)求集合；
(2)若，求實數的取值范圍．
練透核心考點
1．（2023·全國·高三專題練習）已集合，若，則實數a的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·廣東深圳·高一統考期末）已知全集，集合.
(1)若，求的值；
(2)若，求實數的取值范圍.
3．（2023秋·湖南張家界·高一統考期末）已知集合，，．
(1)求；
(2)若，求實數的取值范圍．
4．（2023秋·海南·高一海南華僑中學校考期末）已知集合，，全集
(1)當時，求；
(2)若，求實數的取值范圍.
高頻考點六：集合的運算
典型例題
例題1．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高三校聯考期末）已知集合滿足，若，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2023秋·山東淄博·高一山東省淄博實驗中學校考期末）已知集合，.
(1)當時，求；
(2)若，求實數的取值范圍.
例題3．（2023秋·云南昆明·高一統考期末）從①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題橫線處，并進行解答．
問題：已知集合___________，集合．
(1)當時，求，；
(2)若，求實數的取值范圍．
例題4．（2023秋·重慶南岸·高一重慶市第十一中學校校考期末）已知集合，，.
(1)求；
(2)若，求的取值范圍.
練透核心考點
1．（2023春·廣西南寧·高一統考開學考試）已知集合，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中校考開學考試）已知集合，，若，則實數___________
3．（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中學校考期末）已知集合，集合，定義集合且
(1)若，求．
(2)若，求a的取值范圍．
4．（2023秋·湖北襄陽·高一統考期末）已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要條件；③這三個條件中任選一個，補充到本題第②問的橫線處，求解下列問題.
(1)當時，求；
(2)若______，求實數的取值范圍.
5．（2023秋·四川雅安·高一統考期末）已知集合.
(1)求集合A；
(2)若，求實數a的取值范圍.
高頻考點七：圖的應用
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習）如圖，全值，集合，，則陰影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
例題2．（2023秋·四川成都·高三成都七中校考階段練習）年春節影市火爆依舊，《無名》、《滿江紅》、《交換人生》票房不斷刷新，為了解我校高三名學生的觀影情況，隨機調查了名在校學生，其中看過《無名》或《滿江紅》的學生共有位，看過《滿江紅》的學生共有位，看過《滿江紅》且看過《無名》的學生共有位，則該校高三年級看過《無名》的學生人數的估計值為（ ）
A． B． C． D．
練透核心考點
1．（2023·全國·高三專題練習）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·重慶南岸·高一重慶市第十一中學校校考期末）某班有40名同學參加數學、物理、化學課外研究小組，每名同學至多參加兩個小組．已知參加數學、物理、化學小組的人數分別為，，，同時參加數學和化學小組的有人，同時參加物理和化學小組的有人，則同時參加數學和物理小組的人數為 _______．
高頻考點八：集合新定義問題
1．（2023春·山西晉城·高三校考階段練習）定義，集合，，則（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．（2023秋·四川成都·高一成都實外校考期末）定義若則中元素個數為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
3．（2023·全國·高三專題練習）設P和Q是兩個集合，定義集合且，如果，，那么（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全國·高三專題練習）給定數集 ，若對于任意、，有，且，則稱集合為閉集合，則下列所有正確命題的序號是______：
①集合是閉集合；
②正整數集是閉集合；
③集合是閉集合；
④若集合、為閉集合，則為閉集合．
第五部分：數學思想方法
①數形結合
1．（2023·上海黃浦·高三校考階段練習）設為全集，、為非空子集，，則下列關系中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多選）（2023·福建福州·高一統考期末）已知集合，是全集的兩個子集，，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（多選）（2023秋·廣東廣州·高一校考期末）設集合，若，則a的可能取值為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·上海黃浦·統考一模）已知集合，，則______.
5．（2023·上海虹口·高一上海市復興高級中學校考階段練習）已知集合，且，則實數的取值范圍為____．
②分類討論
1．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知集合，集合．
(1)求；
(2)若集合，，且．求實數的取值范圍．
2．（2023春·安徽·高一合肥市第八中學校聯考開學考試）已知命題：“，使得不等式成立”是真命題，設實數取值的集合為.
(1)求集合；
(2)設不等式的解集為，若“”是“”的充分條件，求實數的取值范圍.
3．（2023·福建泉州·高一泉州五中校考開學考試）設集合，，．
(1)若，求實數的取值范圍．
(2)若，求實數的取值范圍．
4．（2023·湖南懷化·高一校聯考期末）已知集合，.若，求實數的取值范圍.
第六部分：核心素養
①數學運算
1．（2023·云南曲靖·高一曲靖一中校考階段練習）定義集合運算，若集合，則（ ）
A． B． C． D．
2．（多選）（2023江蘇連云港·高一連云港高中校考階段練習）對于非空集合，，我們把集合且叫做集合與的差集，記作．例如，，2，3，4，，，5，6，7，，則有，2，，如果，集合與之間的關系為（ ）
A． B． C． D．
3．（多選）（2023秋·遼寧錦州·高一統考期末）關于的方程的解集中只含有一個元素，則的可能取值是（ ）
A． B．0 C．1 D．5
②邏輯推理
1．（2023·江蘇徐州·高一徐州市第七中學校考階段練習）整數集合Z中，被4所除余數為K的所有整數組成一個“類”，記作，以下判斷正確的是（ ）.
A． B．
C． D．，，則
2．（2022·福建·）設P是一個數集，且至少含有兩個數，若對任意，都有、、、（除數），則稱P是一個數域．例如有理數集是數域，有下列命題：①數域必含有0，1兩個數；②整數集是數域；③若有理數集，則數集M必為數域；④數域必為無限集．其中正確的命題的序號是____________．（把你認為正確的命題的序號填上）
3．（2023·北京·高一北京市第十七中學校考期中）對于給定的數集A． 若對于任意，有，且，則稱集合A為閉集合.
(1)判斷集合是否為閉集合；
(2)若集合A，B為閉集合，則是否一定為閉集合？請說明理由；
(3)若集合A，B為閉集合，且，，證明：.
第01講 集合(精講）
目錄
第一部分：思維導圖 2
第二部分：知識點必背 2
第三部分：高考真題回歸 4
第四部分：高頻考點一遍過 5
高頻考點一：集合的基本概念 5
高頻考點二：元素與集合的關系 7
高頻考點三：集合中元素的特性 10
高頻考點四：集合的表示方法 12
高頻考點五：集合的基本關系 15
高頻考點六：集合的運算 19
高頻考點七：圖的應用 24
高頻考點八：集合新定義問題 26
第五部分：數學思想方法 27
①數形結合 27
②分類討論 29
第六部分：核心素養 32
①數學運算 32
②邏輯推理 33
第一部分：思維導圖
第二部分：知識點必背
1、元素與集合
（1）集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.
（2）元素與集合的關系：屬于 或 不屬于，數學符號分別記為：和.
（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖（圖）.
（4）常見數集和數學符號
數集 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 或
說明：
①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了.給定集合，可知,在該集合中，,不在該集合中；
②互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復出現的.
集合應滿足.
③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分。集合和是同一個集合.
④列舉法
把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法.
具體方法是：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.
2、集合間的基本關系
（1）子集（subset）：一般地，對于兩個集合、，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關系，稱集合為集合的子集 ，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我們稱集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此時，集合與集合中的元素是一樣的，因此，集合與集合相等，記作.
（4）空集的性質： 我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本運算
（1）交集：一般地，由屬于集合且屬于集合的所有元素組成的集合，稱為與的交集，記作，即．
（2）并集：一般地，由所有屬于集合或屬于集合的元素組成的集合，稱為與的并集，記作，即．
（3）補集：對于一個集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補集，簡稱為集合的補集，記作，即．
4、集合的運算性質
（1），，．
（2），，．
（3），，．
5、高頻考點結論
（1）若有限集中有個元素，則的子集有個，真子集有個，非空子集有個，非空真子集有個．
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（3）．
（4）,．
第三部分：高考真題回歸
1．（2022·全國（乙卷（文））·統考高考真題）集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為，，所以．
故選：A.
2．（2022·全國（甲卷（文））·統考高考真題）設集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為，，所以．
故選：A.
3．（2022·全國（乙卷（理））·統考高考真題）設全集，集合M滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題知,對比選項知，正確,錯誤
故選:
4．（2022·全國（甲卷（理））·統考高考真題）設全集，集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意，，所以,
所以.
故選：D.
5．（2022·全國（新高考Ⅰ卷）·統考高考真題）若集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】，故，
故選：D
6．（2022·全國（新高考Ⅱ卷）·統考高考真題）已知集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【詳解】[方法一]：直接法
因為，故，故選：B.
[方法二]：【最優解】代入排除法
代入集合，可得，不滿足，排除A、D；
代入集合，可得，不滿足，排除C.
故選：B.
第四部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：集合的基本概念
典型例題
例題1．（2023·高一課時練習）下列說法正確的是（ ）
A．方程的解集是
B．方程的解集為{(-2，3)}
C．集合與集合表示同一個集合
D．方程組的解集是
【答案】D
【詳解】對于A，方程的解集是，故A錯誤；
對于B，方程的解集為，故B錯誤；
對于C，集合表示數集，集合表示點集，故不是同一集合，故C錯誤；
對于D，由解得，故解集為{(x，y)|x=-1且y=2}，故D正確.
故選：D.
例題2．（2023·高一單元測試）下面關于集合的表示正確的是（ ）
①；②；
③；④
A．① B．② C．③ D．④
【答案】CD
【詳解】根據集合元素的無序性和集合的表示，可得，所以①不正確；
根據集合的表示方法，可得集合為點集，集合表示數集，
所以，所以②不正確；
根據集合的表示方法，可得集合，所以③正確；
根據集合的表示方法，可得集合，
所以，所以④是正確的.
故選：CD.
練透核心考點
1．（2023·湖南永州·高一校考階段練習）以下元素的全體不能夠構成集合的是
A．中國古代四大發明 B．周長為的三角形
C．方程的實數解 D．地球上的小河流
【答案】D
【詳解】地球上的小河流不確定，因此不能夠構成集合，選D.
2．（2023·全國·高三專題練習）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【詳解】A.、都是點集，與是不同的點，則、是不同的集合，故錯誤；
B.，，根據集合的無序性，集合，表示同一集合，故正確；
C.，集合的元素表示點的集合，，表示直線的縱坐標，是數集，故不是同一集合，故錯誤；
D.集合M的元素是兩個數字2，3，，集合的元素是一個點，故錯誤；
故選：B.
高頻考點二：元素與集合的關系
典型例題
例題1．（多選）（2023秋·湖南長沙·高一長沙市明德中學校考期末）已知集合，且，則實數的取值不可以為（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【詳解】因為集合，且，則或，解得.
當時，集合中的元素不滿足互異性；
當時，，集合中的元素不滿足互異性；
當時，，合乎題意.
綜上所述，.
故選：ACD.
例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知集合，若，則實數的取值范圍是____________．
【答案】
【詳解】由集合M＝，得(ax－5)(x2－a)<0，
當a＝0時，得，顯然不滿足題意，
當a>0時，原不等式可化為，
若，則解得或，
所以只需滿足，解得；
若，則解得或，
所以只需滿足，解得9當a<0時，當時，(ax－5)(x2－a)<0恒成立，不符合題意，
綜上，實數a的取值范圍是．
例題3．（2023·高一課時練習）數集滿足條件：若，則.
（1）若，求集合中一定存在的元素；
（2）集合內的元素能否只有一個？請說明理由；
（3）請寫出集合中的元素個數的所有可能值，并說明理由.
【答案】（1）；（2）不能，理由見解析；（3）見解析.
【詳解】（1）由，令，則由題意關系式可得：，，，而，所以集合M中一定存在的元素有：.
（2）不，理由如下：
假設M中只有一個元素a，則由，化簡得，無解，所以M中不可能只有一個元素.
（3）M中的元素個數為，理由如下：
由已知條件，則，以此類推可得集合M中可能出現4個元素分別為：，由(2)得，
若，化簡得，無解，故；
若，化簡得，無解，故；
若，化簡得，無解，故；
若，化簡得，無解，故；
若，化簡得，無解，故；
綜上可得：，所以集合M一定存在的元素有，當取不同的值時，集合M中將出現不同組別的4個元素，所以可得出集合M中元素的個數為.
練透核心考點
1．（多選）（2023秋·海南儋州·高一校考期末）下列關系中表述正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【詳解】對A：寫法不對，應為或，A錯誤；
對B：是任何集合的子集，故成立，B正確；
對C：是不含任何元素的集合，故，C錯誤；
對D：是所有自然數組成的集合，故成立，D正確.
故選：BD.
2．（2023·高一課時練習）已知關于x的不等式的解集是M，若且，則實數a的取值范圍是______．
【答案】
【詳解】若，則有，解得或，
若，則有或，解得，
，
即實數的取值范圍為.
故答案為：.
3．（2023·高三課時練習）由實數構成的非空集合A滿足條件：①；②若，則.試證明：
(1)若，則在集合A中必有另外兩個數；
(2)若，則集合A不可能是單元素集合；
(3)若，且，則集合A中至少有三個元素.
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析；
(3)證明見解析.
【詳解】（1）由，得，即，
由，得，即，
所以，若，則集合A中必有另外兩個數和；
（2）假設集合A是單元素集合，即，
所以，得，
，該方程無實數根，于是，
所以，若，則集合A不可能是單元素集合；
（3）由，得，
由，得，即，
由（2）知，同理可得，，
所以，集合A中至少有三個元素a，，.
高頻考點三：集合中元素的特性
典型例題
例題1．（2023秋·浙江紹興·高三期末）已知集合，集合，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】因為集合，集合，且，
所以，
所以若，不滿足元素互異性，
則或，滿足互異性，
所以.
故選：C．
例題2．（2023·河北·高三學業考試）設集合，，，則中的元素個數為______．
【答案】4
【詳解】因為集合中的元素，，，所以當時，，2，3，此時，6，7．當時，，2，3，此時，7，8．
根據集合元素的互異性可知，，6，7，8．即，共有4個元素．
故答案為：4．
例題3．（2023·高三課時練習）設集合，，且，求實數、的值.
【答案】.
【詳解】因為集合，，
所以或，
解得或或 ，
根據集合的元素的互異性可得，且，
所以.
練透核心考點
1．（2023·廣東惠州·統考模擬預測）已知集合，，且，則實數（ ）
A． B．1 C．或1 D．0
【答案】A
【詳解】解：∵集合，，，
∴由集合元素的互異性及子集的概念可知，
解得實數．
故選：A．
2．（2023秋·江蘇徐州·高一統考期末）集合，若，則__________
【答案】
【詳解】解：因為，
所以，若，則可得或2，
當時，，不滿足互異性，舍去，
當時，，滿足題意;
若，則，此時，不滿足互異性，舍去；
綜上
故答案為：
3．（2022秋·天津河西·高三統考期中）含有3個實數的集合既可表示成，又可表示成，則 _____．
【答案】1
【詳解】因為，
顯然，故，則；
此時兩集合分別是，
則，解得或.
當時，不滿足互異性，故舍去；
當時，滿足題意.
所以
故答案為：.
高頻考點四：集合的表示方法
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習）已知集合，則集合中所含元素個數為（ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
【答案】B
【詳解】當時，有，6個元素；
當時，有，5個元素；
當時，有，4個元素；
當時，有，3個元素；
當時，有，2個元素；
當時，有，1個元素，
綜上，一共有21個元素．
故選：B．
例題2．（2023秋·四川雅安·高一統考期末）集合用列舉法表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】.
故選：C.
例題3．（2023秋·福建寧德·高一統考期末）下列集合與區間表示的集合相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】區間表示的集合為，
A.集合表示點集，只有一個元素，故A錯誤；
B. ，故B正確；
C. ，表示數集，其中只有2個元素，故C錯誤；
D. ，故D錯誤.
故選：B
例題4．（2023·陜西渭南·高三校考階段練習）已知集合，寫出一個滿足集合至少有5個元素的的值：______．
【答案】（答案不唯一）
【詳解】當時，，
此時滿足題目要求，
故答案為：（答案不唯一）
練透核心考點
1．（2023·全國·高三專題練習）已知集合A滿足，，若，則集合A所有元素之和為（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【詳解】集合A滿足，，，故，，，
，故，
則集合A所有元素之和為：
故選：C
2．（2023春·四川雅安·高一雅安中學校考開學考試）設集合，，則集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題知，，，
所以.故A，B，C錯誤.
故選：D.
3．（2023春·河北·高二統考學業考試）直角坐標平面中除去兩點 可用集合表示為（ ）
A．
B．或
C．
D．
【答案】C
【詳解】直角坐標平面中除去兩點、，其余的點全部在集合中，
選項中除去的是四條線；
選項中除去的是或除去或者同時除去兩個點，共有三種情況，不符合題意；
選項，則且，即除去兩點 ，符合題意；
選項，則任意點都不能，即不能同時排除，兩點．
故選：C
4．（2023上海浦東新·高一上海南匯中學校考階段練習）用列舉法表示集合，______．
【答案】
【詳解】因為,所以且,即且,
又因為,所以,對應的,
其中,所以只能取,
故,
故答案為: .
高頻考點五：集合的基本關系
典型例題
例題1．（2023·吉林·統考二模）已知集合，，則的子集個數（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【詳解】集合表示以為圓心，為半徑的圓上的所有點，
集合表示直線上的所有點，
因為直線經過圓心，所以直線與圓相交，
所以的元素個數有2個，則的子集個數為4個，
故選：.
例題2．（多選）（2023秋·遼寧葫蘆島·高一統考期末）已知集合有且僅有兩個子集，則下面正確的是（ ）
A．
B．
C．若不等式的解集為，則
D．若不等式的解集為，且，則
【答案】CD
【詳解】由于集合有且僅有兩個子集，
所以方程只有一解，所以，所以，
由于，所以.
A，，當時等號成立，故A錯誤.
B，，當且僅當時等號成立，故B錯誤.
C，不等式的解集為，所以方程的兩根為，所以，故C正確.
D，不等式的解集為，即不等式的解集為，且，則，
則，所以，故D正確，
故選：CD
例題3．（2023秋·湖南永州·高一統考期末）已知集合，集合.
(1)當時，求；
(2)若，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），，
故；
（2）因為，所以，
故要想，則，解得：，
故實數的取值范圍是.
例題4．（2023春·浙江寧波·高一寧波市北侖中學校考開學考試）集合，集合，集合．
(1)求集合；
(2)若，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由得：，即，；
由得：，解得：，即；
.
（2）由得：，解得：；
當時，滿足，此時，解得：（舍）；
當時，由得：，解得：；
綜上所述：實數的取值范圍為.
練透核心考點
1．（2023·全國·高三專題練習）已集合，若，則實數a的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】，
∴當時，，滿足；
當時，若，則時，時，．
的取值集合是．
故選：C．
2．（2023秋·廣東深圳·高一統考期末）已知全集，集合.
(1)若，求的值；
(2)若，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）由對數函數的單調性可知：
集合，
又因為，所以，解得：，
所以實數.
（2）由（1）可知：集合，
因為，所以當時，；
當時，所以，解得：；
所以實數的取值范圍為或.
3．（2023秋·湖南張家界·高一統考期末）已知集合，，．
(1)求；
(2)若，求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：因為，則或，
又因為，因此，.
（2）解：當時，，解得，合乎題意；
當時，，即當，
因為，，，則，解得.
綜上所述，.
4．（2023秋·海南·高一海南華僑中學校考期末）已知集合，，全集
(1)當時，求；
(2)若，求實數的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）當時，，所以或.
由以及指數函數的單調性，可解得，所以.
所以.
（2）當時，有時，即，此時滿足；
當時，由得，，解得，
綜上，實數的取值范圍為.
高頻考點六：集合的運算
典型例題
例題1．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高三校聯考期末）已知集合滿足，若，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為,所以，解得．
故選:D
例題2．（2023秋·山東淄博·高一山東省淄博實驗中學校考期末）已知集合，.
(1)當時，求；
(2)若，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）當時，，，
；
（2）①當時，，解得，符合題意，
②當時，則或，
解得或，
綜上所述，實數的取值范圍為，，.
例題3．（2023秋·云南昆明·高一統考期末）從①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題橫線處，并進行解答．
問題：已知集合___________，集合．
(1)當時，求，；
(2)若，求實數的取值范圍．
【答案】(1)，.
(2)
【詳解】（1）若選①：因為，
當時，，
因為，所以，
又因為或，所以.
若選②：，
當時，，
因為，所以，
又因為或，所以.
若選③：，
當時，，
因為，所以，
又因為或，所以.
（2）由（1）可知，，
因為，所以，故，
所以，解得：，
故實數的取值范圍為．
例題4．（2023秋·重慶南岸·高一重慶市第十一中學校校考期末）已知集合，，.
(1)求；
(2)若，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），
所以.
（2）因為，所以，
若，則，解得：，
若，則，解得：，
所以m的取值范圍為：.
練透核心考點
1．（2023春·廣西南寧·高一統考開學考試）已知集合，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】由題意得，，
則.
故選：C
2．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中校考開學考試）已知集合，，若，則實數___________
【答案】0或2
【詳解】∵，∴，
顯然，若，則，滿足題意；
若，則或，不合題意，代入可知滿足題意，
綜上，或2.
故答案為：0或2.
3．（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中學校考期末）已知集合，集合，定義集合且
(1)若，求．
(2)若，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），
.
由，則，故.
（2）由得，即有或，故.
故a的取值范圍為.
4．（2023秋·湖北襄陽·高一統考期末）已知集合.在①；②“”是“”的充分不必要條件；③這三個條件中任選一個，補充到本題第②問的橫線處，求解下列問題.
(1)當時，求；
(2)若______，求實數的取值范圍.
【答案】(1)或
(2)答案見解析
【詳解】（1）當時，，而，
所以，則或.
（2）選①：
因為，所以，
當時，則，即，滿足，則；
當時，，由得，解得；
綜上：或，即實數的取值范圍為；
選②：
因為“”是“”的充分不必要條件，所以是的真子集，
當時，則，即，滿足題意，則；
當時，，則，且不能同時取等號，解得；
綜上：或，即實數的取值范圍為；
選③：
因為，
所以當時，則，即，滿足，則；
當時，，由得或，解得或，
又，所以或；
綜上：或，實數的取值范圍為.
5．（2023秋·四川雅安·高一統考期末）已知集合.
(1)求集合A；
(2)若，求實數a的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由有，即，
所以，解得，
所以集合；
（2）因為，所以，
由（1）知，而，顯然，
則有，解得，
即實數a的取值范圍是.
高頻考點七：圖的應用
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習）如圖，全值，集合，，則陰影部分表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：解不等式得，故，
解不等式得或，故或
所以，
所以陰影部分表示的集合是.
故選：B
例題2．（2023秋·四川成都·高三成都七中校考階段練習）年春節影市火爆依舊，《無名》、《滿江紅》、《交換人生》票房不斷刷新，為了解我校高三名學生的觀影情況，隨機調查了名在校學生，其中看過《無名》或《滿江紅》的學生共有位，看過《滿江紅》的學生共有位，看過《滿江紅》且看過《無名》的學生共有位，則該校高三年級看過《無名》的學生人數的估計值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】以集合表示調查的名在校學生看過《無名》的學生構成的集合，
集合表示調查的名在校學生看過《滿江紅》的學生構成的集合，如下圖所示：
所以，調查的名在校學生看過《無名》的學生人數為，
所以，該校高三年級看過《無名》的學生人數的估計值為，
故選：C.
練透核心考點
1．（2023·全國·高三專題練習）已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由，得，則，所以.\
由，得，則，則圖中陰影部分表示的集合為.
故選:B.
2．（2023秋·重慶南岸·高一重慶市第十一中學校校考期末）某班有40名同學參加數學、物理、化學課外研究小組，每名同學至多參加兩個小組．已知參加數學、物理、化學小組的人數分別為，，，同時參加數學和化學小組的有人，同時參加物理和化學小組的有人，則同時參加數學和物理小組的人數為 _______．
【答案】4
【詳解】設參加數學、物理、化學小組的同學組成的集合分別為，、，同時參加數學和物理小組的人數為，因為每名同學至多參加兩個小組，所以同時參加三個小組的同學的人數為，如圖所示：
由圖可知：，解得，
所以同時參加數學和化學小組有人.
故答案為：4
高頻考點八：集合新定義問題
1．（2023春·山西晉城·高三校考階段練習）定義，集合，，則（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【詳解】，
由已知表示除去集合B中那些在集合A中的元素之后構成的集合，
或.
故選：D.
2．（2023秋·四川成都·高一成都實外校考期末）定義若則中元素個數為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】D
【詳解】因為且，
當時，可能為，此時的取值為：；
當時，可能為，此時的取值為：；
當時，可能為，此時的取值為：；
綜上可知：，所以集合中元素個數為5，
故選：D.
3．（2023·全國·高三專題練習）設P和Q是兩個集合，定義集合且，如果，，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】∵，，
∴.
故選：B.
4．（2023·全國·高三專題練習）給定數集 ，若對于任意、，有，且，則稱集合為閉集合，則下列所有正確命題的序號是______：
①集合是閉集合；
②正整數集是閉集合；
③集合是閉集合；
④若集合、為閉集合，則為閉集合．
【答案】③
【詳解】對于①，，，所以錯誤；
對于②，因為正整數減正整數可能不為正整數，所以錯誤，
對于③，當時，設，
則，所以集合是閉集合，所以正確；
對于④, 設，
由③可知，集合為閉集合，，而，故不為閉集合，所以錯誤．
故答案為：③.
第五部分：數學思想方法
①數形結合
1．（2023·上海黃浦·高三校考階段練習）設為全集，、為非空子集，，則下列關系中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】如下圖所示：
由圖可知，，，因為，則，
，ACD選項都對，B錯.
故選：B.
2．（多選）（2023·福建福州·高一統考期末）已知集合，是全集的兩個子集，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【詳解】由，根據子集的定義，如圖，
對于A，，所以A正確；
對于B，，所以B不正確；
對于C，由韋恩圖知，，所以C正確；
對于D，由韋恩圖知，，所以D不正確；
故選：AC.
3．（多選）（2023秋·廣東廣州·高一校考期末）設集合，若，則a的可能取值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【詳解】因為，如圖：
所以，所以， 故a的可能取值為，.
故選：CD.
4．（2023·上海黃浦·統考一模）已知集合，，則______.
【答案】
【詳解】
如圖所示，則.
故答案為：.
5．（2023·上海虹口·高一上海市復興高級中學校考階段練習）已知集合，且，則實數的取值范圍為____．
【答案】
【詳解】
根據，結合數軸可知，在的左側或與之重合，故.
故答案為：.
②分類討論
1．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）已知集合，集合．
(1)求；
(2)若集合，，且．求實數的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題設得，
（2），
當時，，解得
當時，，解得
綜上所述：的取值范圍是
2．（2023春·安徽·高一合肥市第八中學校聯考開學考試）已知命題：“，使得不等式成立”是真命題，設實數取值的集合為.
(1)求集合；
(2)設不等式的解集為，若“”是“”的充分條件，求實數的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）令，
因為函數在時取最小值，
所以“，使得不等式成立”是真命題，
需滿足，解得，
即；
（2）因為不等式的解集為，
且“”是“”的充分條件，則是的子集；
①當，即時，解集，
所以,解得
綜合得；
②當，即時，不滿足題設條件；
③當，即時，解集，
所以,解得
綜合可得，
綜上所述，實數的取值范圍是.
3．（2023·福建泉州·高一泉州五中校考開學考試）設集合，，．
(1)若，求實數的取值范圍．
(2)若，求實數的取值范圍．
【答案】(1)，；
(2)，．
【詳解】（1），
，
因為，，所以，
解得；
即實數的取值范圍為，；
（2）因為，所以，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
①當時，；
②當時，恒成立，
而，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為，故；
綜上所述，實數的取值范圍為，.
4．（2023·湖南懷化·高一校聯考期末）已知集合，.若，求實數的取值范圍.
【答案】或.
【詳解】由，則.
，
為方程的解集.
①若，則，
或或，
當時有兩個相等實根，即不合題意，同理，
當時，符合題意；
②若則，即，
綜上所述，實數的取值范圍為或
第六部分：核心素養
①數學運算
1．（2023·云南曲靖·高一曲靖一中校考階段練習）定義集合運算，若集合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：因為，
所以或
所以或，
或
所以或，
，
代入驗證，
故.
故選：D.
2．（多選）（2023江蘇連云港·高一連云港高中校考階段練習）對于非空集合，，我們把集合且叫做集合與的差集，記作．例如，，2，3，4，，，5，6，7，，則有，2，，如果，集合與之間的關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【詳解】差集的定義，且，
，，
故選：．
3．（多選）（2023秋·遼寧錦州·高一統考期末）關于的方程的解集中只含有一個元素，則的可能取值是（ ）
A． B．0 C．1 D．5
【答案】ABD
【詳解】由已知方程得：，解得：且；
由得：；
若的解集中只有一個元素，則有以下三種情況：
①方程有且僅有一個不為和的解，，解得：，
此時的解為，滿足題意；
②方程有兩個不等實根，其中一個根為，另一根不為；
由得：，，此時方程另一根為，滿足題意；
③方程有兩個不等實根，其中一個根為，另一根不為；
由得：，，此時方程另一根為，滿足題意；
綜上所述：或或.
故選：ABD
②邏輯推理
1．（2023·江蘇徐州·高一徐州市第七中學校考階段練習）整數集合Z中，被4所除余數為K的所有整數組成一個“類”，記作，以下判斷正確的是（ ）.
A． B．
C． D．，，則
【答案】AD
【詳解】對于A：因為，所以，故A正確；
對于B：因為，所以，故B錯誤；
對于C：因為，所以，故C錯誤；
對于D：，則，
，
因為，所以，
所以，故D正確；
故選：AD
2．（2022·福建·）設P是一個數集，且至少含有兩個數，若對任意，都有、、、（除數），則稱P是一個數域．例如有理數集是數域，有下列命題：①數域必含有0，1兩個數；②整數集是數域；③若有理數集，則數集M必為數域；④數域必為無限集．其中正確的命題的序號是____________．（把你認為正確的命題的序號填上）
【答案】①④
【詳解】數域P有兩個元素（設），則一定有，，故①正確；
因為，但是，所以整數集不是數域，故②錯誤；
令數集，，，但，則不是數域，故③錯誤；
數域含有1，則一定有1＋1＝2，1＋2＝3，…，依此推算下去，可知數域必然包含整數集，因而數域必有無限多個元素，數域必為無限集，故④正確．
故答案為：①④．
3．（2023·北京·高一北京市第十七中學校考期中）對于給定的數集A． 若對于任意，有，且，則稱集合A為閉集合.
(1)判斷集合是否為閉集合；
(2)若集合A，B為閉集合，則是否一定為閉集合？請說明理由；
(3)若集合A，B為閉集合，且，，證明：.
【答案】(1)不是閉集合，是閉集合
(2)不一定，理由見解析
(3)證明詳見解析
【詳解】（1）對于集合，，但，所以不是閉集合.
對于集合，任取，設，
則，，所以，
，，所以，
所以是閉集合.
（2）不一定，理由如下：
令，，
同理（1）可證得是閉集合，
，但，不是閉集合.
（3）反證法：
若，
因為閉集合滿足，存在，則.
同理，因為閉集合滿足，存在，則.
因為，所以或.
若，則由于為閉集合，，與矛盾.
若，則由于為閉集合，，與矛盾.
綜上所述，存在，使得，即.

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