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專題八 三角函數的和差公式、正余弦定理
1．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝.
3．常用的部分三角公式
(1)sin2α＝，cos2α＝.(降冪公式)
(2)asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.(輔助角公式)
4．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理 正弦定理 余弦定理
內容 (1)＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C
變形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝
5．三角形常用面積公式及變形公式
(1)S＝a·ha(ha表示邊a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)A＋B＋C＝π，則A＝π－(B＋C)，從而sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C).
一 、兩角和與差的余弦、正弦、正切公式
1．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，故選：C.
2．若，則的值為（　　）
A．－ B． C．－3 D．3
【答案】A
【解析】∵，∴，故選：A.
3．在中，若，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為在中，，，則，，故選：D.
二 、二倍角的正弦、余弦、正切公式
4． 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】：，故選：A．
5．已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，即，等式兩邊同時平方，得，所以，故選：B.
6．已知角終邊上一點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由角終邊上一點得，.故選：C.
7．____________.
【答案】
【解析】依題意，，故答案為：.
三 、正弦定理、余弦定理、面積公式
8．在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則b＝（ ）
A．8 B．6 C．5 D．3
【答案】C
【解析】在中，，∵，∴，由正弦定理得，
故選：C．
9．在中，，，分別是的對邊，，，，則等于（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】在中，，，，由余弦定理得：，即，化簡得 解得：，或 （舍去），故選：D.
10．在中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．若，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】依題意，由正弦定理得，故選：A.
一、選擇題
1．（ ）
A． B． C． D．—
【答案】C
【解析】
，故選：C.
2．的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，故選：B.
3．的內角的對邊分別是，若，且的面積為，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因為，所以，解得，故選：C．
4．化簡的結果為（ ）
A．x B．
C． D．
【答案】B
【解析】，故選：B.
5．若，則的值為（　?。?br/>A．－ B． C．－3 D．3
【答案】A
【解析】∵，∴，故選：A.
6．在中，角，，的對邊分別為，，，已知，，，則　　
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根據題意，在中，，則，又由，，則有
，即，故選：．
7．在中,內角,,所對的邊分別為,,,且,則此三角形中的最大角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】中，設，由余弦定理可得，因為為三角形的內角,所以此三角形中的最大角,
故選：B.
8．在中，若，則A=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】可整理為，所以，又，所以，故選：B.
9．中，，則（ ）
A． B． C．或 D．0
【答案】D
【解析】由，所以，即，由，又，所以，則，故，又，故選：D.
10．已知中，內角，，的對邊分別為，，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據正弦定理，由
因為，所以，于是有，故選：A.
二、填空題
11．已知，則 .
【答案】
【解析】因為，所以，，所以，故答案為：.
12．已知,且,則 ．
【答案】
【解析】由題意得：，，解得：，，故答案為：.
13．在中，分別是角的對邊．若成等比數列，且，則A的大小是 ．
【答案】
【解析】由已知成等比數列，所以，由，得，所以，得，由余弦定理得，因為，所以，故答案為：.
14．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a＝2，b＝1，，則△ABC的面積為 .
【答案】
【解析】由同角三角函數關系：，由三角形面積公式得：，故答案為：.
15．在△ABC中，已知，則 .
【答案】4
【解析】由正弦定理得，由余弦定理得，故答案為：.
16．在中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，且， 則的面積為 ．
【答案】
【解析】由邊化角得, ，，所以，即,即,,所以，因為函數在上單調遞減，∴，故，又，∴，從而，結合可得，∴，，故．
三、解答題
18．已知均為銳角，求的值．
【答案】
【解析】由均為銳角，可知 ,，由得，由得，所以
.
19．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，，求c．
【答案】(1)；(2)7
【解析】解：（1）變形為：，所以，因為，所以.
（2）因為，且，所以，由正弦定理得：，即，解得：．
20．在△中，角的對邊分別為，若，且.
（1）求的值；
（2）若，求△的面積.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵, ∴，∴
（2）由（1）可得
，在△中，由正弦定理得 ，∴．專題八 三角函數的和差公式、正余弦定理
1．兩角和與差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝.
3．常用的部分三角公式
(1)sin2α＝，cos2α＝.(降冪公式)
(2)asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.(輔助角公式)
4．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理 正弦定理 余弦定理
內容 (1)＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C
變形 (3)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (6)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A (7)cos A＝； cos B＝； cos C＝
5．三角形常用面積公式及變形公式
(1)S＝a·ha(ha表示邊a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)A＋B＋C＝π，則A＝π－(B＋C)，從而sinA＝sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，tanA＝－tan(B＋C).
一 、兩角和與差的余弦、正弦、正切公式
1．（ ）
A． B． C． D．
2．若，則的值為（　?。?br/>A．－ B． C．－3 D．3
3．在中，若，，則等于（ ）
A． B． C． D．
二 、二倍角的正弦、余弦、正切公式
4． 的值是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
6．已知角終邊上一點，則（ ）
A． B． C． D．
7．____________.
三 、正弦定理、余弦定理、面積公式
8．在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則b＝（ ）
A．8 B．6 C．5 D．3
9．在中，，，分別是的對邊，，，，則等于（ ）
A． B．2 C． D．
10．在中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．若，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．
一、選擇題
1．（ ）
A． B． C． D．—
2．的值為（ ）
A． B． C． D．
3．的內角的對邊分別是，若，且的面積為，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．化簡的結果為（ ）
A．x B．
C． D．
5．若，則的值為（　　）
A．－ B． C．－3 D．3
6．在中，角，，的對邊分別為，，，已知，，，則　　
A． B． C． D．
7．在中,內角,,所對的邊分別為,,,且,則此三角形中的最大角的大小為（ ）
A． B． C． D．
8．在中，若，則A=（ ）
A． B． C． D．
9．中，，則（ ）
A． B． C．或 D．0
10．已知中，內角，，的對邊分別為，，，若，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
11．已知，則 .
12．已知,且,則 ．
13．在中，分別是角的對邊．若成等比數列，且，則A的大小是 ．
14．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a＝2，b＝1，，則△ABC的面積為 .
15．在△ABC中，已知，則 .
16．在中，內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，且， 則的面積為 ．
三、解答題
18．已知均為銳角，求的值．
19．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，，求c．
20．在△中，角的對邊分別為，若，且.
（1）求的值；
（2）若，求△的面積.

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