資源簡介

專題10 立體幾何
1. 平面的基本性質(zhì)
公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)．
公理2：過不共線的三點，有且只有一個平面．
公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
2.空間點、直線之間的位置關(guān)系
直線與直線
平行 關(guān)系 圖形語言
符號語言 a∥b
相交 關(guān)系 圖形語言
符號語言 a∩b＝A
獨有 關(guān)系 圖形語言
符號語言 a，b是異面直線
3．空間兩條直線的位置關(guān)系
(1)相交直線——同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點．
(2)平行直線——同一平面內(nèi)，沒有公共點．
(3)異面直線——不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點．
4.異面直線所成角、平行公理及等角定理
(1)異面直線所成的角
①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角或直角叫做異面直線a與b所成的角．
②范圍：.
(2)平行公理
平行于同一條直線的兩條直線平行.
(3)等角定理
空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.
5.直線與平面平行的判定與性質(zhì)
判定 性質(zhì)
定義 定理
圖形
條件 a∩α＝ a α，b α， _a∥b__ _a∥α__ a∥α，a β， _α∩β＝b__
結(jié)論 a∥α b∥α a∩α＝ _a∥b__
6.面面平行的判定與性質(zhì)
判定 性質(zhì)
定義 定理
圖形
條件 _α∩β＝ __ _a β，b β， a∩b＝P，a∥α，b∥α__ _α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b__ α∥β，a β
結(jié)論 α∥β α∥β a∥b a∥α
重要結(jié)論:
1．垂直于同一條直線的兩個平面平行，即“若a⊥α，a⊥β，則α∥β”．　
2．垂直于同一個平面的兩條直線平行，即“若a⊥α，b⊥α，則a∥b”．　
3．平行于同一個平面的兩個平面平行，即“若α∥β，β∥γ，則α∥γ”．
7. 直線與平面垂直
(1)直線與平面垂直
①定義：若直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α垂直．
②判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直(線線垂直 線面垂直)．即：a α，b α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P l⊥α.
③性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行.即：a⊥α，b⊥α a∥b.
(2)直線與平面所成的角
①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線和這個平面所成的角．
若直線與平面平行或直線在平面內(nèi)，直線與平面所成角為0，若直線與平面垂直，直線與平面所成角為.
②線面角θ的范圍：θ∈.
8.平面與平面垂直
(1)二面角的有關(guān)概念
①二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角．
③二面角θ的范圍：θ∈[0，π]．
(2)平面與平面垂直
①定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．
②判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．即：a α，a⊥β α⊥β.
③性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直．即：α⊥β，a α，α∩β＝b，a⊥b a⊥β.　
重要結(jié)論
1．若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．
2．若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法)．
3．垂直于同一條直線的兩個平面平行．
4．一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直．
1.平面概念
2.線線、線面、面面位置關(guān)系
3.線面、面面平行
4. 線面、面面垂直
5.線線、線面所成角
6. 二面角
7.幾何體
考點一 平面概念
例1．三個平面最多把空間分成 部分.
【答案】8
【解析】當兩個平面相交，第三個平面同時與兩個平面相交時，可以把空間分成8部分，所以空間中的三個平面最多把空間分成8部分.
例2．空間不共線的四點，可以確定平面的個數(shù)是(　C　)
A．0　 B．1
C．1或4　 D．無法確定
[解析]　當四個點在同一平面時，則確定一個平面；若四點不共面，由基本性質(zhì)2可判斷，任意不共線的三點都可以確定一個平面，故有4個．
【變式探究】下面是一些命題的敘述語(A，B表示點，a表示直線，α，β表示平面)：
(1)∵A∈α，B∈α，∴AB∈α； (2)∵A∈α，A∈β，∴α∩β＝A；
(3)∵A α，a α，∴A a； (4)∵A∈a，a α，∴A α.
其中命題和敘述方法都正確的個數(shù)是(　B　)
A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3
[解析]　(3)正確．(1)錯，其中的AB∈α應(yīng)為AB α.(2)錯，其中α，β應(yīng)該交于一條過A點的直線．(4)錯，因為點A可能是直線a與平面α的交點．
考點二 線線、線面、面面位置關(guān)系
例3．設(shè)直線m平行于平面α，直線n垂直于平面β，而且α⊥ β ，n α則必有（ ）
A.m//n B. m⊥n C.m⊥β D.n//α
答案：D
例4．下列說法不正確的是（ ）
A.兩條相交的直線確定一個平面 B.垂直于同一直線的兩條直線互相垂直
C.平行于同一條直線的兩條直線互相平行 D.不在同一直線上的三點確定一個平面
答案：B
【變式探究】1. 若a，b是異面直線，直線c//a，則c與b位置關(guān)系是( )
A.異面 B. 平行 C. 相交 D.相交或異面
【解析】由題意可得，直線a，b是異面直線，又c//a，則c與b的位置關(guān)系可能是相交，也可能是異面，綜上所述，故選：D；
2. 點M、N是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱A1A與A1B1的中點，P是正方形ABCD的中心，則MN與平面PCB1的位置關(guān)系是(　A　)
A．平行　　 B．相交
C．MN 平面PCB1　　 D．以上三種情形都有可能
[解析]　如圖，∵M、N分別為A1A和A1B1中點，
∴MN∥AB1，
又∵P是正方形ABCD的中心，
∴P、A、C三點共線，
∴AB1 平面PB1C，
∵MN 平面PB1C，
∴MN∥平面PB1C.
考點三 線面、面面平行
例5．下列命題中，錯誤的是（ ）
A. 平面內(nèi)一個三角形各邊所在的直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行
B. 平行于同一平面的兩個平面平行
C. 若兩個平面平行，則位于這兩個平面內(nèi)的直線也互相平行
D. 若兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面
【答案】C
【解析】若兩個平面平行，則位于這兩個平面內(nèi)的直線不一定互相平行，所以C選項錯誤，故選C.
例6．設(shè)α,β是兩個不同的平面，l，m為兩條不同的直線，給出下列三個命題：
①.若l⊥α,m⊥α,則l∥m.
②.若α∥β,l∥α,m∥β,則l∥m.
③.若l∥m,l∥α,m∥β,則α∥β.
則下列命題中的真命題是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
答案：B
【變式探究】1. （2019湖南對口升學高考）下列命題中，正確的是( )
A.垂直于同一條直線的兩條直線平行
B.垂直于同一個平面的兩個平面平行
C.若平面外一條直線上有兩個點到平面的距離相等，則直線與平面平行
D.一條直線與兩個平行平面中的一個垂直，則必與另一個垂直
[答案]D
[分析]根據(jù)直線與平面垂直的判斷定理可知選項 D 正確, 故選 D.
2. 下列命題中，錯誤的是（ ）
A.平行于同一個平面的兩個平面平行
B.平行于同一條直線的兩個平面平行
C.一個平面與兩個平行平面相交，交線平行
D.一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交
[答案]B
[分析] 找反例即可
B項平行于同一條直線的兩個平面可以相交，故B錯
考點四 線面、面面垂直
例7．在空間中垂直于同一條直線的兩條直線一定是（ ）
A. 平行 B．相交 C．異面 D．前三種情況都有可能
【答案】D
【解析】在空間中垂直于同一條直線的兩條直線可能相交，也可能平行，也可能異面，故選D.
例8．（2015年河南對口高考）垂直于同一個平面的兩個平面（ ）
A．互相垂直 B．互相平行
C．相交 D．前三種情況都有可能
【答案】D
【解析】垂直于同一個平面的兩個平面有可能互相垂直，也有可能互相平行，也有可能相交，故選D.
【變式探究】1. （2019年安徽省）如圖，在正方體中，點E，F(xiàn)分別是棱的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
2. 如圖，在四面體D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列正確的是 (　C　)
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
[解析]　∵AB＝CB，且E是AC的中點，∴BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.∵AC在平面ABC內(nèi)，∴平面ABC⊥平面BDE.又AC 平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDE，故選C．
考點五 線線、線面所成角
例9．在正方體中，異面直線與所成角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
例10．如圖正方體ABCD-中，直線與平面所成角的正切值為（ ）
A. B. C.1
[答案]B
［分析］找出垂線與線面角求出直角邊長即可
［詳解］如圖連接A
因為平面
所以AB為B與平面所成的角
在中，設(shè)正方體邊長為
【變式探究】1.在正方體中，異面直線與所成角的大小為 ( )
A． B． C． D．
[答案]C
[分析]線線平行平移至相交
連接
為異面直線 與 所成的角
為等邊三角形
2.若是直線與平面所成的角，則的取值范圍是______.
A.（0，] B. C. D.
答案：C
考點六 二面角
例11．右圖正方體中，二面角的平面角是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
【變式探究】（2016年河北對口高考）已知正方形所在平面與正方形所在平面成直二面角，則 .
【答案】
考點七 立體幾何的綜合問題
例12．如圖1，在三棱柱ABC -A1B1C1中，A1A底面ABC，AA1=，AB=AC=1， ABAC．
(1)證明：BA平面ACC1A1；
(2)求直線B1C與平面A CC1A1所成的角的正弦值．
[分析]（1）線面垂直的判定定理（2）線面角
(1) 在三棱柱 中,
(2)
例13．如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=1，∠ABC=90°，D為AC的中點.
(1)證明：BD⊥平面ACC1A1；
(2)若直線BA1與平面ACC1A1所成的角為30°，求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.
[分析]（1）線面垂直判定（2）根據(jù)線面角求出高
（1）證明：AB=AC，D為AC的中點
BD⊥AC.
又AA1⊥底面ABC BD 底面ABC
BD⊥AA1．
AC和AA1是平面ACC1A1內(nèi)兩相交直線
BD⊥平面ACC1A1；
（2）連接A1D
BD⊥平面ACC1A1，
BD⊥A1D，且A1D是BA1在平面ACC1A1的射影
∠BA1D=30°．
在Rt△ABC中，BD=
在Rt△ABC中，∠BA1D==30°，∠BDA1=90°，.
在Rt△ABA1中，∠BAA1=90°，AB=1，A=
三棱柱A
【變式探究】1.(2020湖南對口升學高考) (本小題滿分 10 分）
如圖, 四棱雉 的底面為正方形, 為 與 的交點, 底面 .
(1) 若 分別為 的中點, 求證: 平面 ;
(2) 若 , 求四棱雉 的體積.
[分析]（1）線面平行的判定定理 （2）椎體體積公式
解：(1) 在 中, 分別為 的中點.
又 平面 ，平面
平面 .
(2) 底面為正方形
則
為正方形的中心 平面 從而
在 Rt 中,
則
2.如圖，B , C為圓錐AO底面圓周上的兩點，E ,F分別為AB , BC的中點.
(I)證明：EF//平面ACO;
(II)若圓錐底面半徑為1,母線的長為，二面角B-AO-C的大小為,求點O到平面ABC的距離.
答案：(I)在△ABC中，E ,F分別為AB , BC的中點，所以E F∥AC，
又E F平面ACO，AC平面ACO，所以EF//平面ACO.
(II)連接AF，F(xiàn)O，如圖，
在圓錐AO中，AO⊥底面BCO，所以AO⊥BO，AO⊥CO，
所以∠BOC為二面角B-AO-C的平面角，即∠BOC=，
在直角△ABO中，，
在等腰△OBC中， ， ，
在直角△AFO中，，
則，
設(shè)點O到平面ABC的距離為d，
則，解得，
所以點O到平面ABC的距離為.
考點八 幾何體
例14．若圓柱的軸截面是面積為4的正方形，則該圓柱的表面積為（ ）
A． B． C． D．
答案：C
例15．若圓錐的軸截面是面積為1的等腰直角三角形，則該圓錐的體積為______.
A. B. C.π D.
答案：A
【變式探究】1. （2019年河南對口高考）已知正三棱錐的側(cè)棱和底面邊長都為1，則它的體積為 .
【答案】
【解析】正三棱錐的頂點在底面的投影為底面三角形的中心，底面三角形的高為：，三角形的重心分中線為2：1的關(guān)系，所以底面三角形重心到頂點的距離為，所以三棱錐的高為：，又因為底面三角形的面積為：，所以該正三棱錐的體積為：，故答案為：.
2. 若一個球的表面積為，則該球的半徑為（ ）
A．2 B． C． D．3
答案：B
1. 在正方體中，異面直線與之間的夾角是（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
解析：【答案】C
【分析】連接, 根據(jù)正方體的幾何特征及異面直線夾角的定義, 我們可得即為異面直線與所成的角, 連接BD后, 解即可得到異面直線與所成的角。
【解析】連接,由正方體的幾何特征可得，則即為異面直線與所成的角，連接BD，易得，∴，
故選：C.
2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=，則對角線BD1與底面ABCD所成的角是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，則直線與平面所成角的大小為（ ）
A． B． C． D．
答案：B
4. 如圖所示，在正方體中，異面直線與所成的角是 （ ）
A. 30° B. 45° C.90° D.60°
答案：C
5.如圖所示，在正方體中，點M、N分別是棱，的中點，則直線與直線所成的角等于（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案：B
6. 如圖所示，平面，且，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A. B. C.平面 D.平面
答案：D
7.如圖，在正方休中，直線與所成的角是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
8.在四面體ABCD中，平面，，從該四面體的四個面中任取兩個作為一對，其中相互垂直的共有（ ）
A.1對 B. 2對 C.3對 D.4對
答案：C
9.已知兩條不同的直線 與平面 , 則下列命題正確的是( )
A. 若 , 則 B. 若 , 則
C. 若 , 則 D. 若 , 則
[答案]D
A項m、n可以相交
B項n可平行
C項n可平行
D項線面垂直性質(zhì)定理
10. 一個圓錐高為4，母線長為5，則該圓錐的體積是
答案：12π
11.設(shè)正方體的邊長為1，則它的外接球的直徑為
答案：
12.如圖，正方體中，異面直線與所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案：D
13．已知正四棱錐的高為3，底面邊長為，則該棱錐的體積為（ ）
A．6 B．3 C．2 D．
答案：C
14．已知球的半徑為6cm，則它的體積為（ ）
A． B． C． D．
答案：C
15.下列命題中不正確的是（ ）
A.如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條垂直直線,那么這條直線垂直于這個平面
B.如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條相交直線,那么這條直線垂直于這個平面
C.如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任何一條直線,那么這條直線垂直于這個平面
D.如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條平行直線,那么這條直線垂直于這個平面
答案：D
16.設(shè)，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線.則下面四個命題正確的個數(shù)是（ ）
①若，，，則； ②若，，，則；
③若，，，則； ④若，，，則
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：C
分析：本題以空間的平行與垂直為載體,考查了命題的真假的判斷, 屬于基礎(chǔ)題著重考查空間直線與平面、 平面與平面的位置關(guān)系, 考查了空間想象的能力
解析：
對于①, ∵，，，∴,故①正確.
對于②, ∵，,直線和 相當于平面和的法向量,∵ ，∴,故②正確.
對于③, ∵，,直線和 相當于平面和的法向量,∵,∴故③不正確.
對于④, 若，, 直線和 相當于平面和的法向量, ∵, ∴,故④正確.
∴選C.
17.設(shè)，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線，則下列命題中的真命題是（ ）
A.如果，，，那么 B.如果，，那么
C.如果，，，那么 D.如果，，那么
【答案】D
【分析】本題A選項考查面面平行的判定定理，B選項考查線面平行的判定定理，C選項考查面面垂直的性質(zhì)定理，D選項考查面面垂直的判定定理,是基礎(chǔ)題.
【解析】
由面面平行的判定定理可得A錯誤；
由線面平行的判定定理可得B錯誤；
由面面垂直的性質(zhì)定理可得C錯誤；
由面面垂直的判定定理可得D正確.
∴選D.
18.若圓錐和圓柱的底面半徑均為R，高均為3R，則此圓錐與圓柱的側(cè)面積之比是
A. B. C. D.
【答案】A
19.設(shè),為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是( )
A.若,則 B. 若,則
C.若 ,則 D. 若 ,則
[答案]D
[分析] 為兩條不同的直線, 為兩個不同的 平面
對于 , 若 , 則 // 或 , 故 錯誤;
對于 , 若 , 則 與 相 交或平行, 故 錯誤;
對于 , 若 , 則 與 相交、平行或異面，故 錯誤;
對于 , 若 , 則由面面垂直的判定定理得 , 故 正確.
20.圓柱的軸截面是面積為4的正方形，則其體積為 .
【答案】
【解析】由題知圓柱的底面半徑為1，高為2，所以，，故答案為.
21.三棱柱的側(cè)棱長和兩個底面的邊長都為2，側(cè)棱垂直于底面，E,F分別為，的中點，直線與所成角的余弦值為（ ）
B. C. D.
【答案】C
【解析】取中點M，連接EM，F(xiàn)M，則FM∥，則即為直線與所成角，，，，，所以，故選C.
22.如圖，四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，E為PD的中點.
(1)證明:平面ACE;
(2)設(shè)PA=1，，直線PB與平面ABCD所成的角為45°，求四棱錐P-ABCD的體積.
[分析](1)找到中位線即可證明 （2）根據(jù)線面角求出底面邊長即可求出體積
(1)證明: 連接交 于點,連接
點是的中點,點是 的中點
即線段 是 的中 位線
//
又 平面
平面
平面
(2)
直線 與平面 所成的角為 , 平面
23．在四棱錐中，，，，，平面.
（Ⅰ）證明：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值.
答案：(Ⅰ) 略 （Ⅱ）
分析：
解析：(Ⅰ)連接 AC，作AE⊥BC，交BC于E，交BD于G ，
∵AD∥BC，AD⊥CD
∴BC⊥CD
∴四邊形AECD是矩形
∵AD=CD
∴四邊形AECD是正方形，
∴AD=CD=CE=AE，∠CAE=
∵2AD=2CD=BC，AE⊥BC
∴AE=BE
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠AEB=，∠BAE=，
則∠BAC=+=，即AB⊥AC
∵PA⊥面ABCD
∴PA⊥AC
∵AB⊥AC，
PA∩AB =A
∴AC⊥面PAB
∵AC面
∴平面平面
(Ⅱ)作AFBD ，交BD于F，
∵PA⊥面ABCD
∴PF⊥BD
∴∠PFA是二面角的平面角，
∵AE∥CD，2CE=CB，根據(jù)相似三角形定理可知GE是△BCD的中位線，
∴2GE=CD，
∴AG=GE=AE=AD
AE⊥AD，AF⊥BD
∴把用等面積法表示
∴
解得 ，
∵PA=AD，
∴，
因此二面角的正切值是.
24.如圖, 在三棱雉 中, 平面 .
(1) 證明：平面 平面 ;
(2) 若 , 直線 與平面 所成的角為 ,求三棱雉 的體積.
(1)證明：平面
平面
平面
平面
(2)
為PB與平面ABC所成角
中
平面PAB
=
25.如圖、在三棱柱中，底面，, ，為的中點，
(1)證明: 平面；
(2)求直線與平面所成的角.
[分析]（1）證明BD垂直平面內(nèi)兩條相交直線垂直 （2）找到垂線和垂足即可找到線面角
(1)證明: 在三棱柱 中， 底面， 底面
即直線 與平面 所成的角是專題10 立體幾何
1. 平面的基本性質(zhì)
公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)．
公理2：過不共線的三點，有且只有一個平面．
公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
2.空間點、直線之間的位置關(guān)系
直線與直線
平行 關(guān)系 圖形語言
符號語言 a∥b
相交 關(guān)系 圖形語言
符號語言 a∩b＝A
獨有 關(guān)系 圖形語言
符號語言 a，b是異面直線
3．空間兩條直線的位置關(guān)系
(1)相交直線——同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點．
(2)平行直線——同一平面內(nèi)，沒有公共點．
(3)異面直線——不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點．
4.異面直線所成角、平行公理及等角定理
(1)異面直線所成的角
①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角或直角叫做異面直線a與b所成的角．
②范圍：.
(2)平行公理
平行于同一條直線的兩條直線平行.
(3)等角定理
空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.
5.直線與平面平行的判定與性質(zhì)
判定 性質(zhì)
定義 定理
圖形
條件 a∩α＝ a α，b α， _a∥b__ _a∥α__ a∥α，a β， _α∩β＝b__
結(jié)論 a∥α b∥α a∩α＝ _a∥b__
6.面面平行的判定與性質(zhì)
判定 性質(zhì)
定義 定理
圖形
條件 _α∩β＝ __ _a β，b β， a∩b＝P，a∥α，b∥α__ _α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b__ α∥β，a β
結(jié)論 α∥β α∥β a∥b a∥α
重要結(jié)論:
1．垂直于同一條直線的兩個平面平行，即“若a⊥α，a⊥β，則α∥β”．　
2．垂直于同一個平面的兩條直線平行，即“若a⊥α，b⊥α，則a∥b”．　
3．平行于同一個平面的兩個平面平行，即“若α∥β，β∥γ，則α∥γ”．
7. 直線與平面垂直
(1)直線與平面垂直
①定義：若直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α垂直．
②判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直(線線垂直 線面垂直)．即：a α，b α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P l⊥α.
③性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行.即：a⊥α，b⊥α a∥b.
(2)直線與平面所成的角
①定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線和這個平面所成的角．
若直線與平面平行或直線在平面內(nèi)，直線與平面所成角為0，若直線與平面垂直，直線與平面所成角為.
②線面角θ的范圍：θ∈.
8.平面與平面垂直
(1)二面角的有關(guān)概念
①二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角．
③二面角θ的范圍：θ∈[0，π]．
(2)平面與平面垂直
①定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．
②判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．即：a α，a⊥β α⊥β.
③性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直．即：α⊥β，a α，α∩β＝b，a⊥b a⊥β.　
重要結(jié)論
1．若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．
2．若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法)．
3．垂直于同一條直線的兩個平面平行．
4．一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直．
1.平面概念
2.線線、線面、面面位置關(guān)系
3.線面、面面平行
4. 線面、面面垂直
5.線線、線面所成角
6. 二面角
7.幾何體
考點一 平面概念
例1．三個平面最多把空間分成 部分.
例2．空間不共線的四點，可以確定平面的個數(shù)是(　 　)
A．0　 B．1
C．1或4　 D．無法確定
【變式探究】下面是一些命題的敘述語(A，B表示點，a表示直線，α，β表示平面)：
(1)∵A∈α，B∈α，∴AB∈α； (2)∵A∈α，A∈β，∴α∩β＝A；
(3)∵A α，a α，∴A a； (4)∵A∈a，a α，∴A α.
其中命題和敘述方法都正確的個數(shù)是(　　)
A．0　　 B．1　　 C．2　　 D．3
考點二 線線、線面、面面位置關(guān)系
例3．設(shè)直線m平行于平面α，直線n垂直于平面β，而且α⊥ β ，n α則必有（ ）
A.m//n B. m⊥n C.m⊥β D.n//α
例4．下列說法不正確的是（ ）
A.兩條相交的直線確定一個平面 B.垂直于同一直線的兩條直線互相垂直
C.平行于同一條直線的兩條直線互相平行 D.不在同一直線上的三點確定一個平面
【變式探究】1. 若a，b是異面直線，直線c//a，則c與b位置關(guān)系是( )
A.異面 B. 平行 C. 相交 D.相交或異面
2. 點M、N是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱A1A與A1B1的中點，P是正方形ABCD的中心，則MN與平面PCB1的位置關(guān)系是(　　)
A．平行　　 B．相交
C．MN 平面PCB1　　 D．以上三種情形都有可能
考點三 線面、面面平行
例5．下列命題中，錯誤的是（ ）
A. 平面內(nèi)一個三角形各邊所在的直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行
B. 平行于同一平面的兩個平面平行
C. 若兩個平面平行，則位于這兩個平面內(nèi)的直線也互相平行
D. 若兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面
例6．設(shè)α,β是兩個不同的平面，l，m為兩條不同的直線，給出下列三個命題：
①.若l⊥α,m⊥α,則l∥m.
②.若α∥β,l∥α,m∥β,則l∥m.
③.若l∥m,l∥α,m∥β,則α∥β.
則下列命題中的真命題是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
【變式探究】1.下列命題中，正確的是( )
A.垂直于同一條直線的兩條直線平行
B.垂直于同一個平面的兩個平面平行
C.若平面外一條直線上有兩個點到平面的距離相等，則直線與平面平行
D.一條直線與兩個平行平面中的一個垂直，則必與另一個垂直
2. 下列命題中，錯誤的是（ ）
A.平行于同一個平面的兩個平面平行
B.平行于同一條直線的兩個平面平行
C.一個平面與兩個平行平面相交，交線平行
D.一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個相交
考點四 線面、面面垂直
例7．在空間中垂直于同一條直線的兩條直線一定是（ ）
A. 平行 B．相交 C．異面 D．前三種情況都有可能
例8．垂直于同一個平面的兩個平面（ ）
A．互相垂直 B．互相平行
C．相交 D．前三種情況都有可能
【變式探究】1.如圖，在正方體中，點E，F(xiàn)分別是棱的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
2. 如圖，在四面體D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列正確的是 (　 　)
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
考點五 線線、線面所成角
例9．在正方體中，異面直線與所成角的大小為（ ）
A． B． C． D．
例10．如圖正方體ABCD-中，直線與平面所成角的正切值為（ ）
A. B. C.1
【變式探究】1.在正方體中，異面直線與所成角的大小為 ( )
A． B． C． D．
2.若是直線與平面所成的角，則的取值范圍是______.
A.（0，] B. C. D.
考點六 二面角
例11．右圖正方體中，二面角的平面角是（ ）
A. B. C. D.
【變式探究】（2016年河北對口高考）已知正方形所在平面與正方形所在平面成直二面角，則 .
考點七 立體幾何的綜合問題
例12．如圖1，在三棱柱ABC -A1B1C1中，A1A底面ABC，AA1=，AB=AC=1， ABAC．
(1)證明：BA平面ACC1A1；
(2)求直線B1C與平面A CC1A1所成的角的正弦值．
例13．如圖，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=1，∠ABC=90°，D為AC的中點.
(1)證明：BD⊥平面ACC1A1；
(2)若直線BA1與平面ACC1A1所成的角為30°，求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.
【變式探究】1.(2020湖南對口升學高考) (本小題滿分 10 分）
如圖, 四棱雉 的底面為正方形, 為 與 的交點, 底面 .
(1) 若 分別為 的中點, 求證: 平面 ;
(2) 若 , 求四棱雉 的體積.
2. 如圖，B , C為圓錐AO底面圓周上的兩點，E ,F分別為AB , BC的中點.
(I)證明：EF//平面ACO;
(II)若圓錐底面半徑為1,母線的長為，二面角B-AO-C的大小為,求點O到平面ABC的距離.
考點八 幾何體
例14．若圓柱的軸截面是面積為4的正方形，則該圓柱的表面積為（ ）
A． B． C． D．
例15．若圓錐的軸截面是面積為1的等腰直角三角形，則該圓錐的體積為______.
A. B. C.π D.
【變式探究】1. （2019年河南對口高考）已知正三棱錐的側(cè)棱和底面邊長都為1，則它的體積為 .
2. 若一個球的表面積為，則該球的半徑為（ ）
A．2 B． C． D．3
1. 在正方體中，異面直線與之間的夾角是（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=，則對角線BD1與底面ABCD所成的角是 （ ）
A. B. C. D.
3.如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，則直線與平面所成角的大小為（ ）
A． B． C． D．
4.如圖所示，在正方體中，異面直線與所成的角是 （ ）
A. 30° B. 45° C.90° D.60°
5.如圖所示，在正方體中，點M、N分別是棱，的中點，則直線與直線所成的角等于（ ）
A.30° B.45° C.60° D.90°
6. 如圖所示，平面，且，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A. B. C.平面 D.平面
7. 如圖，在正方休中，直線與所成的角是（ ）
A. B. C. D.
8.在四面體ABCD中，平面，，從該四面體的四個面中任取兩個作為一對，其中相互垂直的共有（ ）
A.1對 B. 2對 C.3對 D.4對
9.已知兩條不同的直線 與平面 , 則下列命題正確的是( )
A. 若 , 則 B. 若 , 則
C. 若 , 則 D. 若 , 則
10.一個圓錐高為4，母線長為5，則該圓錐的體積是
11.設(shè)正方體的邊長為1，則它的外接球的直徑為
12.如圖，正方體中，異面直線與所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
13．已知正四棱錐的高為3，底面邊長為，則該棱錐的體積為（ ）
A．6 B．3 C．2 D．
14．已知球的半徑為6cm，則它的體積為（ ）
A． B． C． D．
15.下列命題中不正確的是（ ）
A.如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條垂直直線,那么這條直線垂直于這個平面
B.如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條相交直線,那么這條直線垂直于這個平面
C.如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任何一條直線,那么這條直線垂直于這個平面
D.如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的兩條平行直線,那么這條直線垂直于這個平面
16.設(shè)，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線.則下面四個命題正確的個數(shù)是（ ）
①若，，，則； ②若，，，則；
③若，，，則； ④若，，，則
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
17.設(shè)，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線，則下列命題中的真命題是（ ）
A.如果，，，那么 B.如果，，那么
C.如果，，，那么 D.如果，，那么
18. 若圓錐和圓柱的底面半徑均為R，高均為3R，則此圓錐與圓柱的側(cè)面積之比是
A. B. C. D.
19. 設(shè),為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是( )
A.若,則 B. 若,則
C.若 ,則 D. 若 ,則
20.圓柱的軸截面是面積為4的正方形，則其體積為 .
21.三棱柱的側(cè)棱長和兩個底面的邊長都為2，側(cè)棱垂直于底面，E,F分別為，的中點，直線與所成角的余弦值為（ ）
B. C. D.
22.如圖，四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，E為PD的中點.
(1)證明:平面ACE;
(2)設(shè)PA=1，，直線PB與平面ABCD所成的角為45°，求四棱錐P-ABCD的體積.
23．在四棱錐中，，，，，平面.
（Ⅰ）證明：平面平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值.
24．如圖, 在三棱雉 中, 平面 .
(1) 證明：平面 平面 ;
(2) 若 , 直線 與平面 所成的角為 ,求三棱雉 的體積.
25.如圖、在三棱柱中，底面，, ，為的中點，
(1)證明: 平面；
(2)求直線與平面所成的角.

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