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第01講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算(精講）
目錄
第01講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算(精講） 1
第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 2
1、向量的有關(guān)概念 2
2、向量的線性運(yùn)算 2
2.1向量的加法 2
2.2向量的減法 2
2.3向量的數(shù)乘 3
第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過 4
高頻考點(diǎn)一：平面向量的概念 4
角度1：平面向量的概念與表示 4
角度2：模 6
角度3：零向量與單位向量 10
角度4：相等向量 12
高頻考點(diǎn)二：向量的線性運(yùn)算 16
角度1：平面向量的加法與減法 16
角度2：平面向量的數(shù)乘 18
高頻考點(diǎn)三：共線向量定理的應(yīng)用 22
第三部分：數(shù)學(xué)文化題 29
第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背
1、向量的有關(guān)概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或模)
向量表示方法：向量或；模或.
（2）零向量：長度等于0的向量，方向是任意的，記作.
（3）單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量，常用表示.
特別的：非零向量的單位向量是.
（4）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量，與共線可記為；
特別的：與任一向量平行或共線.
（5）相等向量：長度相等且方向相同的向量，記作.
（6）相反向量：長度相等且方向相反的向量，記作.
2、向量的線性運(yùn)算
2.1向量的加法
①定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法.兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量.對(duì)于零向量與任意向量，我們規(guī)定.
②向量加法的三角形法則(首尾相接，首尾連）
已知非零向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量叫做與的和,記作,即.這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.
③向量加法的平行四邊形法則（作平移,共起點(diǎn),四邊形,對(duì)角線）
已知兩個(gè)不共線向量,,作,,以,為鄰邊作,則以為起點(diǎn)的向量(是的對(duì)角線)就是向量與的和.這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.
2.2向量的減法
①定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即.
②向量減法的三角形法則（共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量）
已知向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量.如圖所示
如果把兩個(gè)向量,的起點(diǎn)放在一起,則可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量.
2.3向量的數(shù)乘
向量數(shù)乘的定義:
一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作.它的長度與方向規(guī)定如下：
①
②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，.
3、共線向量定理
①定義：向量與非零向量共線，則存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，.
②向量共線定理的注意問題：定理的運(yùn)用過程中要特別注意；特別地，若，實(shí)數(shù)仍存在，但不唯一．
4、常用結(jié)論
4.1向量三角不等式
①已知非零向量，，則（當(dāng)與反向共線時(shí)左邊等號(hào)成立；當(dāng)與同向共線時(shí)右邊等號(hào)成立）；
②已知非零向量，，則（當(dāng)與同向共線時(shí)左邊等號(hào)成立；當(dāng)與反向共線時(shí)右邊等號(hào)成立）；
記憶方式：（“符異”反向共線等號(hào)成立；“符同”同向共線等號(hào)成立）如中，中間連接號(hào)一負(fù)一正“符異”，故反向共線時(shí)等號(hào)成立；右如：中中間鏈接號(hào)都是正號(hào)“符同”，故同向共線時(shí)等號(hào)成立；
4.2中點(diǎn)公式的向量形式：
若為線段的中點(diǎn)，為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則.
4.3三點(diǎn)共線等價(jià)形式：
（，為實(shí)數(shù)），若，，三點(diǎn)共線
第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：平面向量的概念
角度1：平面向量的概念與表示
典型例題
例題1．（2023春·廣東廣州·高一廣州市真光中學(xué)校考階段練習(xí)）關(guān)于向量，，下列命題中，正確的是（ ）．
A．若，則 B．若，則
C．若，，則 D．若，則
例題2．（2023春·陜西西安·高一西安市第六中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
①有向線段三要素是始點(diǎn)、方向、長度；
②向量兩要素是大小和方向；
③同向且等長的有向線段表示同一向量；
④在平行四邊形中，．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
例題3．（多選）（2023春·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．單位向量都相等 B．對(duì)于任意向量，，必有
C．平行向量不一定是共線向量 D．若，滿足且與同向，則
練透核心考點(diǎn)
1．（2023春·福建龍巖·高一福建省永定第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列命題中正確的是（ ）
A．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同
B．兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量
C．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線的向量，其終點(diǎn)必相同
D．若與是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上
2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）給出下列物理量：
①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時(shí)間．
其中不是向量的有（ ）
A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)
3．（2023春·浙江杭州·高一杭州市西湖高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）判斷下列命題：①兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的非零向量，其終點(diǎn)必相同；②若，則與的方向相同或相反；③若，且，則；④若，則．其中，正確的命題個(gè)數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
角度2：模
典型例題
例題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）正方形的邊長為1，則為（ ）
A．1 B． C．3 D．
例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)于非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
例題3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在長方體中，，，，以長方體的八個(gè)頂點(diǎn)中兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中．
（1）單位向量共有______個(gè)；
（2）模為的向量有______；
（3）與相等的向量有______；
（4）的相反向量有______．
例題4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知等腰的直角邊長為1，為斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
練透核心考點(diǎn)
1．（2023春·北京朝陽·高一校考階段練習(xí)）已知，，，則（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．2或者6
2．（2023春·安徽淮北·高一淮北師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，，，則______．
3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知為正三角形，則下列各式中成立的是___________.（填序號(hào)）
①；②；③；④.
4．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知網(wǎng)格小正方形的邊長為1，點(diǎn)P是陰影區(qū)域內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），O，A在格點(diǎn)上，則的最小值是____________；最大值是____________.
角度3：零向量與單位向量
典型例題
例題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列說法：
①零向量是沒有方向的向量；
②零向量的方向是任意的；
③零向量與任意一個(gè)向量共線.
其中，正確說法的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例題2．（2023春·陜西咸陽·高一咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如果，是兩個(gè)單位向量，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
例題3．（多選）（2023春·山東濰坊·高一山東省濰坊第四中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說法中正確的是（ ）
A．若，則
B．若與共線，則或
C．若為單位向量，則
D．是與非零向量共線的單位向量
練透核心考點(diǎn)
1．（2023春·貴州貴陽·高一校考階段練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．在正方形中,
B．已知向量,則A,B,C,D四點(diǎn)必在同一條直線上
C．零向量可以與任一向量共線
D．零向量可以與任一向量垂直
2．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列說法中不正確的是（ ）
A．零向量與任一向量平行 B．方向相反的兩個(gè)非零向量不一定共線
C．單位向量是模為1的向量 D．方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等
3．（2023春·天津和平·高一校考階段練習(xí)）下列說法正確的是（　　）
A．向量與向量的長度相等
B．兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長度相等的向量，它們的終點(diǎn)相同
C．零向量的大小為0，沒有方向
D．若兩個(gè)單位向量平行，則這兩個(gè)單位向量相等
4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）給出下列說法：①零向量是沒有方向的；②零向量的長度為0；③零向量的方向是任意的；④單位向量的模都相等.其中正確的有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
角度4：相等向量
典型例題
例題1．（2023春·福建龍巖·高一福建省永定第一中學(xué)校考階段練習(xí)）對(duì)于向量、，“”是“”的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
例題2．（多選）（2023春·廣東揭陽·高二校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，若，則圖中相等的向量是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
例題3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，四邊形，都是正方形，在如圖所示的向量中：
（1）分別找出與，相等的向量；
（2）找出與共線的向量；
（3）找出與模相等的向量；
（4）向量與是否相等？
例題4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）窗，古時(shí)亦稱為船牅，它伴隨著建筑的起源而出現(xiàn)，在中國建筑文化中是一種獨(dú)具文化意蘊(yùn)和審美魅力的重要建筑構(gòu)件．如圖，是某古代建筑群的窗戶設(shè)計(jì)圖，窗戶的輪廓ABCD是邊長為1米的正方形，內(nèi)嵌一個(gè)小正方形，且、、、分別是、、、的中點(diǎn)，則與相等的向量為________，的負(fù)向量為________．
練透核心考點(diǎn)
1．（2023春·天津?yàn)I海新·高一天津經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列敘述中正確的個(gè)數(shù)是：（ ）
①若，則；②若，則或；③若，則④若，則⑤若，則
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心，且，，．在以A，B，C，D，E，F(xiàn)，O這七個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，問：
（1）與相等的向量有哪些？
（2）的相反向量有哪些？
（3）與共線的向量有哪些？
3．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E，F(xiàn)，D分別是AC，AB，BC的中點(diǎn).
（1）寫出與共線的向量；
（2）寫出與的模大小相等的向量；
（3）寫出與相等的向量.
高頻考點(diǎn)二：向量的線性運(yùn)算
角度1：平面向量的加法與減法
典型例題
例題1．（2023春·山東煙臺(tái)·高一山東省招遠(yuǎn)第一中學(xué)校考期中）設(shè)為對(duì)角線的交點(diǎn)，為任意一點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2023春·浙江金華·高一校考階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)，，分別是的三邊，，的中點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
例題3．（多選）（2023春·江蘇常州·高一校考階段練習(xí)）下列四式可以化簡為的是（ ）
A． B．
C． D．
例題4．（2023春·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，，，，分別是梯形的邊，，，的中點(diǎn)，，，，，用，表示下列各式．
(1)；
(2)．
練透核心考點(diǎn)
1．（2023春·福建南平·高一校考階段練習(xí)）（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·天津和平·高一天津市第五十五中學(xué)校考階段練習(xí)）下列各式中不能化簡為的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·北京順義·高一北京市順義區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）化簡所得的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·新疆喀什·高一校考階段練習(xí)）化簡下列各式：
(1)；
(2)．
角度2：平面向量的數(shù)乘
典型例題
例題1．（2023·江蘇南通·二模）在平行四邊形中，，．若，則（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2023春·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若在線段上，且，則（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等腰直角三角形中，，，分別是邊，的中點(diǎn)，若，其中，為實(shí)數(shù)，則（ ）
A． B．1 C．2 D．
例題4．（2023春·云南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示.在趙爽弦圖”中若，則（ ）
A． B．
C． D．
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·天津?yàn)I海新·高一大港一中校考階段練習(xí)）在中，點(diǎn)D滿足，則（ ）
A． B． C． D．
3．（多選）（2023春·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，與交于點(diǎn)，，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023春·廣東東莞·高一校考階段練習(xí)）如圖，在中，，若，則__________．
高頻考點(diǎn)三：共線向量定理的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2023春·湖北十堰·高一校考階段練習(xí)）如圖所示，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交直線、于不同的兩點(diǎn)、，若，，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C． D．5
例題2．（2023春·山東棗莊·高一滕州市第一中學(xué)新校校考階段練習(xí)）在中，，，與相交于點(diǎn)，設(shè)，
(1)用，表示；
(2)過點(diǎn)作直線分別與線段，交于點(diǎn)，，設(shè)，，求的最小值.
例題3．（2023春·寧夏吳忠·高一吳忠中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，在中，，分別是，的中點(diǎn)，．
(1)用表示；
(2)求證：，，三點(diǎn)共線．
例題4．（2023春·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，直線與直線交于點(diǎn).
(1)若點(diǎn)滿足，證明，，三點(diǎn)共線；
(2)設(shè)，，以為基底表示.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023春·湖南長沙·高一雅禮中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交射線于不同的兩點(diǎn).設(shè)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)G在內(nèi)部，且，
(1)求證：G為的重心；
(2)過G作直線與AB，AC兩條邊分別交于點(diǎn)M，N，設(shè)，求的最小值.
3．（2023春·四川德陽·高一四川省德陽中學(xué)校校考階段練習(xí)）設(shè)兩個(gè)非零向量，不共線．
(1)若，，，求證：，，三點(diǎn)共線；
(2)若與共線，求的值．
4．（2023春·江蘇淮安·高一淮陰中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在長方形中，E為邊DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC上一點(diǎn)，且．，設(shè)，．
(1)試用基底，，表示，，；
(2)若G為長方形內(nèi)部一點(diǎn)，且，求證：E，G，F(xiàn)三點(diǎn)共線．
第三部分：數(shù)學(xué)文化題
1．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）黃金分割〔〕是一種數(shù)學(xué)上的比例關(guān)系.黃金分割具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值.應(yīng)用時(shí)一般取，就像圓周率在應(yīng)用時(shí)取一樣.高雅的藝術(shù)殿堂里，自然也留下了黃金數(shù)的足跡.人們還發(fā)現(xiàn)，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫面的處.藝術(shù)家們認(rèn)為弦樂器的琴馬放在琴弦的處，能使琴聲更加柔和甜美.黃金矩形的長寬之比為黃金分割率，換言之，矩形的長邊為短邊倍.黃金分割率和黃金矩形能夠給畫面帶來美感，令人愉悅.在很多藝術(shù)品以及大自然中都能找到它.希臘雅典的巴特農(nóng)神廟就是一個(gè)很好的例子，達(dá)芬奇的《維特魯威人》符合黃金矩形.《蒙娜麗莎》中蒙娜麗莎的臉也符合黃金矩形，《最后的晚餐》同樣也應(yīng)用了該比例布局.2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割.所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對(duì)于全部之比，等于另一部分對(duì)于該部分之比，黃金分割比為其實(shí)有關(guān)“黃金分割”，我國也有記載，雖沒有古希臘的早，但它是我國數(shù)學(xué)家獨(dú)立創(chuàng)造的.如圖，在矩形中，，相交于點(diǎn)，，，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）莊嚴(yán)美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系.在如圖所示的正五角星中，以為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且，則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）早在公元前十一世紀(jì)，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出“勾三股四弦五”，《周髀算經(jīng)》中曾有記載，大意為：“當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為（勾）和（股）時(shí)，徑隅（弦）則為”，故勾股定理也稱為商高定理.現(xiàn)有的三邊滿足“勾三股四弦五”，其中勾的長為，點(diǎn)在弦上的射影為點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全國·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形）.類比“趙爽弦圖”，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，且，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)P是內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，且，則的最大值為__________.
第01講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算(精講）
目錄
第01講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算(精講） 1
第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 2
1、向量的有關(guān)概念 2
2、向量的線性運(yùn)算 2
2.1向量的加法 2
2.2向量的減法 2
2.3向量的數(shù)乘 3
第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過 4
高頻考點(diǎn)一：平面向量的概念 4
角度1：平面向量的概念與表示 4
角度2：模 6
角度3：零向量與單位向量 10
角度4：相等向量 12
高頻考點(diǎn)二：向量的線性運(yùn)算 16
角度1：平面向量的加法與減法 16
角度2：平面向量的數(shù)乘 18
高頻考點(diǎn)三：共線向量定理的應(yīng)用 22
第三部分：數(shù)學(xué)文化題 29
第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背
1、向量的有關(guān)概念
（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或模)
向量表示方法：向量或；模或.
（2）零向量：長度等于0的向量，方向是任意的，記作.
（3）單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量，常用表示.
特別的：非零向量的單位向量是.
（4）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量，與共線可記為；
特別的：與任一向量平行或共線.
（5）相等向量：長度相等且方向相同的向量，記作.
（6）相反向量：長度相等且方向相反的向量，記作.
2、向量的線性運(yùn)算
2.1向量的加法
①定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫做向量的加法.兩個(gè)向量的和仍然是一個(gè)向量.對(duì)于零向量與任意向量，我們規(guī)定.
②向量加法的三角形法則(首尾相接，首尾連）
已知非零向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量叫做與的和,記作,即.這種求向量和的方法,稱為向量加法的三角形法則.
③向量加法的平行四邊形法則（作平移,共起點(diǎn),四邊形,對(duì)角線）
已知兩個(gè)不共線向量,,作,,以,為鄰邊作,則以為起點(diǎn)的向量(是的對(duì)角線)就是向量與的和.這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.
2.2向量的減法
①定義：向量加上的相反向量，叫做與的差，即.
②向量減法的三角形法則（共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量）
已知向量,,在平面內(nèi)任取一點(diǎn),作,,則向量.如圖所示
如果把兩個(gè)向量,的起點(diǎn)放在一起,則可以表示為從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量.
2.3向量的數(shù)乘
向量數(shù)乘的定義:
一般地,我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作.它的長度與方向規(guī)定如下：
①
②當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，.
3、共線向量定理
①定義：向量與非零向量共線，則存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，.
②向量共線定理的注意問題：定理的運(yùn)用過程中要特別注意；特別地，若，實(shí)數(shù)仍存在，但不唯一．
4、常用結(jié)論
4.1向量三角不等式
①已知非零向量，，則（當(dāng)與反向共線時(shí)左邊等號(hào)成立；當(dāng)與同向共線時(shí)右邊等號(hào)成立）；
②已知非零向量，，則（當(dāng)與同向共線時(shí)左邊等號(hào)成立；當(dāng)與反向共線時(shí)右邊等號(hào)成立）；
記憶方式：（“符異”反向共線等號(hào)成立；“符同”同向共線等號(hào)成立）如中，中間連接號(hào)一負(fù)一正“符異”，故反向共線時(shí)等號(hào)成立；右如：中中間鏈接號(hào)都是正號(hào)“符同”，故同向共線時(shí)等號(hào)成立；
4.2中點(diǎn)公式的向量形式：
若為線段的中點(diǎn)，為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則.
4.3三點(diǎn)共線等價(jià)形式：
（，為實(shí)數(shù)），若，，三點(diǎn)共線
第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過
高頻考點(diǎn)一：平面向量的概念
角度1：平面向量的概念與表示
典型例題
例題1．（2023春·廣東廣州·高一廣州市真光中學(xué)校考階段練習(xí)）關(guān)于向量，，下列命題中，正確的是（ ）．
A．若，則 B．若，則
C．若，，則 D．若，則
【答案】B
【詳解】向量是既有大小又有方向的量，大小相等，但方向不一定相同，故A錯(cuò)誤；
若，得方向相反，則，故B正確；
當(dāng)，與不一定平行，故C錯(cuò)誤；
盡管兩個(gè)向量的模有大小之分，但兩個(gè)向量是不能比較大小的，故D錯(cuò)誤；
故選：B．
例題2．（2023春·陜西西安·高一西安市第六中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
①有向線段三要素是始點(diǎn)、方向、長度；
②向量兩要素是大小和方向；
③同向且等長的有向線段表示同一向量；
④在平行四邊形中，．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【詳解】由有向線段、向量、同一向量的定義可以判斷①②③正確，
由平行四邊形的性質(zhì)可知，顯然④正確，
故選：D
例題3．（多選）（2023春·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．單位向量都相等 B．對(duì)于任意向量，，必有
C．平行向量不一定是共線向量 D．若，滿足且與同向，則
【答案】ACD
【詳解】對(duì)于A，單位向量模都為1，方向不一定相同，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若方向相同，則，
若方向相反，則，
若不共線，根據(jù)向量加法的三角形法則及兩邊之和大于第三邊可知.
綜上可知對(duì)于任意向量，必有，故B正確；
對(duì)于C，平行向量就是共線向量，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，兩個(gè)向量不能比較大小，故D錯(cuò)誤.
故選：ACD.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023春·福建龍巖·高一福建省永定第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列命題中正確的是（ ）
A．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同
B．兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量
C．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線的向量，其終點(diǎn)必相同
D．若與是共線向量，則點(diǎn)A，B，C，D必在同一條直線上
【答案】A
【詳解】兩個(gè)相等的向量方向相同且長度相等，因此起點(diǎn)相同時(shí)終點(diǎn)必相同，故A正確；
兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量，可能方向不同，也可能模長不同，故B錯(cuò)誤；
兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線的向量可能方向不同，也可能模長不同，終點(diǎn)未必相同，故C錯(cuò)誤；
與是共線向量，也可能是AB平行于CD，故D錯(cuò)誤.
故選：A
2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）給出下列物理量：
①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時(shí)間．
其中不是向量的有（ ）
A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)
【答案】C
【詳解】①質(zhì)量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨時(shí)間只有大小，沒有方向，故不是向量，其余均為向量，故共有5個(gè)不是向量.
故選：C
3．（2023春·浙江杭州·高一杭州市西湖高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）判斷下列命題：①兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的非零向量，其終點(diǎn)必相同；②若，則與的方向相同或相反；③若，且，則；④若，則．其中，正確的命題個(gè)數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【詳解】對(duì)于①，兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的非零向量，其終點(diǎn)一定相同，故正確；
對(duì)于②，當(dāng)是零向量時(shí)，不能說與方向相同或相反，故錯(cuò)；
對(duì)于③，如果，則與可以不共線，所以不正確；
對(duì)于④，向量不能比較大小，故不正確；
故選：B．
角度2：模
典型例題
例題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）正方形的邊長為1，則為（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【詳解】在正方形中，如圖所示,
根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，,
又因?yàn)檎叫蔚倪呴L為1，
所以，
故選：B.
例題2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)于非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【詳解】對(duì)于非零向量，，可得，所以，充分性成立，
但，此時(shí)的方向不定，不能推出，必要性不成立，
故選：A．
例題3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在長方體中，，，，以長方體的八個(gè)頂點(diǎn)中兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中．
（1）單位向量共有______個(gè)；
（2）模為的向量有______；
（3）與相等的向量有______；
（4）的相反向量有______．
【答案】 8 、、、、、、、 、、 、、、
【詳解】（1）由圖可知，，所以單位向量有個(gè)；
（2）由圖可知，，所以模為的向量有：、、、、、、、；
（3）由圖可知，，所以與相等的向量有：、、；
（4）由圖可知，，所以的相反向量有：、、、；
故答案為：；、、、、、、、；、、；、、、.
例題4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知等腰的直角邊長為1，為斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
，顯然當(dāng)為斜邊中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)最小為，即的最小值為.
故選：A.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023春·北京朝陽·高一校考階段練習(xí)）已知，，，則（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．2或者6
【答案】D
【點(diǎn)睛】，
與共線，
又，，則或，
或.
故選：D.
2．（2023春·安徽淮北·高一淮北師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，，，則______．
【答案】
【詳解】如圖所示，設(shè)菱形對(duì)角線交點(diǎn)為O,．
因?yàn)椋裕?br/>所以為等邊三角形．
又，，
所以．
在中，，
所以．
故答案為:
3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知為正三角形，則下列各式中成立的是___________.（填序號(hào)）
①；②；③；④.
【答案】①②③
【詳解】對(duì)于①，，故①成立；
對(duì)于②，設(shè)分別為的中點(diǎn)，
則，
，
，
所以，故②成立；
對(duì)于③，，
所以，故③正確；
對(duì)于④，，故④不成立.
故答案為：①②③.
4．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知網(wǎng)格小正方形的邊長為1，點(diǎn)P是陰影區(qū)域內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），O，A在格點(diǎn)上，則的最小值是____________；最大值是____________.
【答案】
【詳解】本題即求點(diǎn)A到陰影區(qū)域中的點(diǎn)距離的最值，如圖，
于是最小值為，最大值為.
故答案為：.
角度3：零向量與單位向量
典型例題
例題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列說法：
①零向量是沒有方向的向量；
②零向量的方向是任意的；
③零向量與任意一個(gè)向量共線.
其中，正確說法的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【詳解】由零向量定義及性質(zhì)知：其方向任意，且與任意向量共線，故①錯(cuò)誤，②③正確；
故選：C
例題2．（2023春·陜西咸陽·高一咸陽市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）如果，是兩個(gè)單位向量，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】對(duì)于A，若向量，的方向不同時(shí)，，A不一定正確；
對(duì)于B，若向量，不共線時(shí)，，B不一定正確；
對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，D正確．
故選：D．
例題3．（多選）（2023春·山東濰坊·高一山東省濰坊第四中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說法中正確的是（ ）
A．若，則
B．若與共線，則或
C．若為單位向量，則
D．是與非零向量共線的單位向量
【答案】AD
【詳解】依題意，
對(duì)于A：若，則，故A正確；
對(duì)于B：若與共線，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：若為單位向量，則，方向不一定相同，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：是與非零向量共線的單位向量，故D正確.
故選：AD.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023春·貴州貴陽·高一校考階段練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．在正方形中,
B．已知向量,則A,B,C,D四點(diǎn)必在同一條直線上
C．零向量可以與任一向量共線
D．零向量可以與任一向量垂直
【答案】C
【詳解】對(duì)于A:與模長相等,方向不同,故不成立.
對(duì)于B:向量共線指的是其方向相同或相反,不一定在同一條直線上,例如平行四邊形中,但四點(diǎn)不共線;
對(duì)于C、D:零向量與任意向量共線,但不能說零向量與任意向量垂直.向量垂直指的是兩個(gè)非零向量成°.
綜上,應(yīng)選C.
故答案為:C.
2．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列說法中不正確的是（ ）
A．零向量與任一向量平行 B．方向相反的兩個(gè)非零向量不一定共線
C．單位向量是模為1的向量 D．方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等
【答案】B
【詳解】根據(jù)規(guī)定：零向量與任一向量平行，A正確；
方向相反的兩個(gè)非零向量一定共線，B錯(cuò)誤；
單位向量是模為1的向量，C正確；
根據(jù)相等向量的定義：長度相等方向相同的兩個(gè)向量稱為相等向量，
所以方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等，D正確；
故選:B.
3．（2023春·天津和平·高一校考階段練習(xí)）下列說法正確的是（　　）
A．向量與向量的長度相等
B．兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長度相等的向量，它們的終點(diǎn)相同
C．零向量的大小為0，沒有方向
D．若兩個(gè)單位向量平行，則這兩個(gè)單位向量相等
【答案】A
【詳解】對(duì)于A：向量與向量的長度相等，正確；
對(duì)于B：有共同起點(diǎn)，且長度相等的向量，若方向不同，它們的終點(diǎn)不同，錯(cuò)誤；
對(duì)于C：零向量的大小為0，方向?yàn)槿我夥较颍e(cuò)誤；
對(duì)于D：若兩個(gè)單位向量平行，則它們的方向可能相反，此時(shí)它們不是相等向量，錯(cuò)誤；
故選：A.
4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）給出下列說法：①零向量是沒有方向的；②零向量的長度為0；③零向量的方向是任意的；④單位向量的模都相等.其中正確的有（ ）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】C
【詳解】解：對(duì)①：零向量的方向是任意的，故①錯(cuò)誤；
對(duì)②：零向量的長度為0，故②正確；
對(duì)③：零向量的方向是任意的，故③正確；
對(duì)④：單位向量的模都等于1，故④正確.
故選：C.
角度4：相等向量
典型例題
例題1．（2023春·福建龍巖·高一福建省永定第一中學(xué)校考階段練習(xí)）對(duì)于向量、，“”是“”的（　　）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【詳解】因?yàn)闀r(shí)一定有，
所以“”是“”的必要條件，
但時(shí)，兩個(gè)向量不一定相等，
如零向量與任意非零向量都平行，但不相等，
所以“”是“”的不充分條件.
所以“”是“”的必要不充分條件，
故選：B．
例題2．（多選）（2023春·廣東揭陽·高二校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，若，則圖中相等的向量是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
【答案】AD
【詳解】因?yàn)椋运倪呅蜛BCD是平行四邊形，
所以，，，
故選：AD
例題3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，四邊形，都是正方形，在如圖所示的向量中：
（1）分別找出與，相等的向量；
（2）找出與共線的向量；
（3）找出與模相等的向量；
（4）向量與是否相等？
【答案】（1），；（2），，；（3），，，，，，；（4）不相等．
【詳解】因?yàn)槭钦叫螌?duì)角線的交點(diǎn)，四邊形，都是正方形，
所以，；
（1）由題中圖形可得：，；
（2）由圖形可得，與共線的向量有：，，；
（3）與模相等的向量有：，，，，，，；
（4）向量與不相等，因?yàn)樗鼈兊姆较虿幌嗤?br/>例題4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）窗，古時(shí)亦稱為船牅，它伴隨著建筑的起源而出現(xiàn)，在中國建筑文化中是一種獨(dú)具文化意蘊(yùn)和審美魅力的重要建筑構(gòu)件．如圖，是某古代建筑群的窗戶設(shè)計(jì)圖，窗戶的輪廓ABCD是邊長為1米的正方形，內(nèi)嵌一個(gè)小正方形，且、、、分別是、、、的中點(diǎn)，則與相等的向量為________，的負(fù)向量為________．
【答案】
【詳解】因?yàn)樗倪呅螢檎叫危裕遥?br/>又E、F、G、H分別是AF、BG、CH、DE的中點(diǎn)，所以，
所以相等的向量有，
的負(fù)向量有.
故答案為：，.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023春·天津?yàn)I海新·高一天津經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列敘述中正確的個(gè)數(shù)是：（ ）
①若，則；②若，則或；③若，則④若，則⑤若，則
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【詳解】解：因?yàn)橄蛄坎荒鼙容^大小，所以①錯(cuò)誤，
如單位向量模都為1，方向任意，所以②錯(cuò)誤，
當(dāng)時(shí)，，但是與不一定相等，所以③錯(cuò)誤，
當(dāng)時(shí)，和可能不平行，所以④錯(cuò)誤，
兩個(gè)向量相等則它們一定平行，所以⑤正確，
故選：B
2．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心，且，，．在以A，B，C，D，E，F(xiàn)，O這七個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，問：
（1）與相等的向量有哪些？
（2）的相反向量有哪些？
（3）與共線的向量有哪些？
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）與長度相同，方向相同的向量有：；
（2）與長度相同，方向相反的向量有：；
（3）與方向相同或相反的向量有：.
3．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E，F(xiàn)，D分別是AC，AB，BC的中點(diǎn).
（1）寫出與共線的向量；
（2）寫出與的模大小相等的向量；
（3）寫出與相等的向量.
【答案】（1），，，，，，；（2），，，，；（3）與.
【詳解】（1）因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AC，AB的中點(diǎn)，
所以.所以與共線的向量有：，，，，，，；
（2）由（1）知且，又D是BC的中點(diǎn)，故與模相等的向量有： ，，，，；
（3）與相等的向量有：與.
高頻考點(diǎn)二：向量的線性運(yùn)算
角度1：平面向量的加法與減法
典型例題
例題1．（2023春·山東煙臺(tái)·高一山東省招遠(yuǎn)第一中學(xué)校考期中）設(shè)為對(duì)角線的交點(diǎn)，為任意一點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】解：在OAC中，因?yàn)槭瞧叫兴倪呅蜛BCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，
所以，即．
在OBD中，因?yàn)槭瞧叫兴倪呅蜛BCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，
所以，即．
所以．
故選：D．
例題2．（2023春·浙江金華·高一校考階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)，，分別是的三邊，，的中點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
.
故選：D.
例題3．（多選）（2023春·江蘇常州·高一校考階段練習(xí)）下列四式可以化簡為的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：，正確；
對(duì)選項(xiàng)B：，正確；
對(duì)選項(xiàng)C：，正確；
對(duì)選項(xiàng)D：，錯(cuò)誤．
故選：ABC
例題4．（2023春·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，，，，分別是梯形的邊，，，的中點(diǎn)，，，，，用，表示下列各式．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題知：．
（2）
．
練透核心考點(diǎn)
1．（2023春·福建南平·高一校考階段練習(xí)）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】，
故選：C
2．（2023春·天津和平·高一天津市第五十五中學(xué)校考階段練習(xí)）下列各式中不能化簡為的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】對(duì)于A：
，故A正確；
對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：，故C正確；
對(duì)于D：，故D正確；
故選：B
3．（2023春·北京順義·高一北京市順義區(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）化簡所得的結(jié)果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】.
故選：C.
4．（2023春·新疆喀什·高一校考階段練習(xí)）化簡下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）.
（2）
角度2：平面向量的數(shù)乘
典型例題
例題1．（2023·江蘇南通·二模）在平行四邊形中，，．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意可得
，
所以，，
所以，
故選：D
例題2．（2023春·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若在線段上，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】在線段上，，，，
對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.
故選：D.
例題3．（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知等腰直角三角形中，，，分別是邊，的中點(diǎn)，若，其中，為實(shí)數(shù)，則（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】D
【詳解】由題意可得：，
若，則，
可得，故.
故選：D.
例題4．（2023春·云南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示.在趙爽弦圖”中若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】依題意，，而，
因此，解得，
所以.
故選：C
練透核心考點(diǎn)
1．（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】由題意作出圖形,如圖,則
，
故選：A.
2．（2023春·天津?yàn)I海新·高一大港一中校考階段練習(xí)）在中，點(diǎn)D滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
得到，即.
故選：A.
3．（多選）（2023春·重慶·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，與交于點(diǎn)，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【詳解】對(duì)于A，，，，，
，即，A正確；
對(duì)于BC，由A知：，B正確，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，D正確.
故選：ABD.
4．（2023春·廣東東莞·高一校考階段練習(xí)）如圖，在中，，若，則__________．
【答案】
【詳解】解：
又，.
∴．
故答案為：．
高頻考點(diǎn)三：共線向量定理的應(yīng)用
典型例題
例題1．（2023春·湖北十堰·高一校考階段練習(xí)）如圖所示，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交直線、于不同的兩點(diǎn)、，若，，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C． D．5
【答案】C
【詳解】若三點(diǎn)共線，，則，
理由如下：
因?yàn)槿c(diǎn)共線，則有，即，
即，故，故，
其中，
、、三點(diǎn)共線，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
故選：C．
例題2．（2023春·山東棗莊·高一滕州市第一中學(xué)新校校考階段練習(xí)）在中，，，與相交于點(diǎn)，設(shè)，
(1)用，表示；
(2)過點(diǎn)作直線分別與線段，交于點(diǎn)，，設(shè)，，求的最小值.
【答案】(1)
(2).
【詳解】（1），C，Q三點(diǎn)共線，設(shè)，
即，，
同理由P，C，B三點(diǎn)共線可得：
，其中，
根據(jù)平面向量基本定理知：，解得，.
（2）由三點(diǎn)共線，
又由知，
所以
故
，當(dāng)且僅當(dāng)
故的最小值為.
例題3．（2023春·寧夏吳忠·高一吳忠中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，在中，，分別是，的中點(diǎn)，．
(1)用表示；
(2)求證：，，三點(diǎn)共線．
【答案】(1)，；
(2)證明見解析
【詳解】（1）在中，分別是的中點(diǎn)，
則，
故，；
（2）證明：因?yàn)椋?br/>，
所以，所以，
又因有公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線．
例題4．（2023春·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，直線與直線交于點(diǎn).
(1)若點(diǎn)滿足，證明，，三點(diǎn)共線；
(2)設(shè)，，以為基底表示.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1），，E為AC中點(diǎn)，
，
，，，
與共線，又與有公共點(diǎn)，所以，，三點(diǎn)共線.
（2）設(shè)，由，，E為AC中點(diǎn)，
，
，，三點(diǎn)共線，，，
，，.
練透核心考點(diǎn)
1．（2023春·湖南長沙·高一雅禮中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交射線于不同的兩點(diǎn).設(shè)，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【詳解】由圖象可知，
因?yàn)椋胰c(diǎn)共線，
所以，即，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，B正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，C正確；
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，D錯(cuò)誤，
故選：BC
2．（2023春·安徽淮南·高一淮南第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)G在內(nèi)部，且，
(1)求證：G為的重心；
(2)過G作直線與AB，AC兩條邊分別交于點(diǎn)M，N，設(shè)，求的最小值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）設(shè)BC的中點(diǎn)為D，
則，即，
∴點(diǎn)G在的中線AD上，且滿足，
故G為的重心.
（2）由點(diǎn)G為的重心，則，
∵三點(diǎn)共線，則，且，
由題意可得：，
則，消去可得，
∵點(diǎn)M，N分別在邊AB，AC上，則，
可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
解得，
故的最小值為.
3．（2023春·四川德陽·高一四川省德陽中學(xué)校校考階段練習(xí)）設(shè)兩個(gè)非零向量，不共線．
(1)若，，，求證：，，三點(diǎn)共線；
(2)若與共線，求的值．
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>又，有公共點(diǎn)，
，，三點(diǎn)共線；
（2）因?yàn)楹凸簿€，兩個(gè)非零向量，不共線，
存在實(shí)數(shù)，使得，
，
解得．
4．（2023春·江蘇淮安·高一淮陰中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在長方形中，E為邊DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC上一點(diǎn)，且．，設(shè)，．
(1)試用基底，，表示，，；
(2)若G為長方形內(nèi)部一點(diǎn)，且，求證：E，G，F(xiàn)三點(diǎn)共線．
【答案】(1)；；
(2)證明見解析
【詳解】（1）；
；
.
（2），，，設(shè)，
，
即，解得，故，，
故三點(diǎn)共線.
第三部分：數(shù)學(xué)文化題
1．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）黃金分割〔〕是一種數(shù)學(xué)上的比例關(guān)系.黃金分割具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值.應(yīng)用時(shí)一般取，就像圓周率在應(yīng)用時(shí)取一樣.高雅的藝術(shù)殿堂里，自然也留下了黃金數(shù)的足跡.人們還發(fā)現(xiàn)，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫面的處.藝術(shù)家們認(rèn)為弦樂器的琴馬放在琴弦的處，能使琴聲更加柔和甜美.黃金矩形的長寬之比為黃金分割率，換言之，矩形的長邊為短邊倍.黃金分割率和黃金矩形能夠給畫面帶來美感，令人愉悅.在很多藝術(shù)品以及大自然中都能找到它.希臘雅典的巴特農(nóng)神廟就是一個(gè)很好的例子，達(dá)芬奇的《維特魯威人》符合黃金矩形.《蒙娜麗莎》中蒙娜麗莎的臉也符合黃金矩形，《最后的晚餐》同樣也應(yīng)用了該比例布局.2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割.所謂黃金分割，指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部分對(duì)于全部之比，等于另一部分對(duì)于該部分之比，黃金分割比為其實(shí)有關(guān)“黃金分割”，我國也有記載，雖沒有古希臘的早，但它是我國數(shù)學(xué)家獨(dú)立創(chuàng)造的.如圖，在矩形中，，相交于點(diǎn)，，，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】解：，顯然，，
所以，
，
，
，
故選：D．
2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）莊嚴(yán)美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征，正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯(lián)系.在如圖所示的正五角星中，以為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】設(shè)，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
，
.
故選：A
3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）早在公元前十一世紀(jì)，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出“勾三股四弦五”，《周髀算經(jīng)》中曾有記載，大意為：“當(dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為（勾）和（股）時(shí)，徑隅（弦）則為”，故勾股定理也稱為商高定理.現(xiàn)有的三邊滿足“勾三股四弦五”，其中勾的長為，點(diǎn)在弦上的射影為點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】如下圖所示：
由題意可知，，，則，
，，所以，.
.
故選：B.
4．（2023·全國·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以直角三角形的斜邊為邊得到的正方形）.類比“趙爽弦圖”，構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由三個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，且，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)P是內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，且，則的最大值為__________.
【答案】2
【詳解】由得：，
又M為的中點(diǎn)，所以，
所以，過A作的平行線交于點(diǎn)Q，
當(dāng)P與Q重合時(shí)，的值最大.
因?yàn)镸為的中點(diǎn)，且，
所以D為的中點(diǎn)，此時(shí)，
所以的最大值為2.
故答案為：2

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