資源簡介

第01講 導數的概念及運算 (精講）
目錄
第一部分：知識點必背 2
第二部分：高考真題回歸 4
第三部分：高頻考點一遍過 5
高頻考點一：導數的概念 5
高頻考點二：導數的運算 8
高頻考點三：導數的幾何意義 10
角度1：求切線方程（在型） 10
角度2：求切線方程（過型） 11
角度3：已知切線方程（或斜率）求參數 12
角度4：導數與函數圖象 14
角度5：共切點的公切線問題 18
角度6：不同切點的公切線問題 21
角度7：與切線有關的轉化問題 24
第四部分：數學文化（高觀點）題 26
第五部分：高考新題型 28
①開放性試題 28
②探究性試題 30
第六部分：數學思想方法 31
①函數與方程的思想 31
②數形結合得思想 32
③轉化與化歸思想 34
第一部分：知識點必背
1、平均變化率
（1）變化率
事物的變化率是相關的兩個量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值.
（2）平均變化率
一般地，函數在區間上的平均變化率為：.
（3）如何求函數的平均變化率
求函數的平均變化率通常用“兩步”法：
①作差：求出和
②作商：對所求得的差作商，即.
2、導數的概念
（1）定義：函數在處瞬時變化率是，我們稱它為函數在處的導數,記作.
（2）定義法求導數步驟：
求函數的增量：；
求平均變化率：；
求極限，得導數：.
3、導數的幾何意義
函數在點處的導數的幾何意義，就是曲線在點處的切線的斜率，即.
4、基本初等函數的導數公式
基本初等函數 導數
(為常數)
()
()
(，)
5、導數的運算法則
若，存在，則有
（1）
（2）
（3）
6、復合函數求導
復合函數的導數和函數，的導數間的關系為，即對的導數等于對的導數與對的導數的乘積．
7、曲線的切線問題
（1）在型求切線方程
已知：函數的解析式.計算：函數在或者處的切線方程.
步驟：第一步：計算切點的縱坐標（方法：把代入原函數中），切點.
第二步：計算切線斜率.
第三步：計算切線方程.切線過切點，切線斜率。
根據直線的點斜式方程得到切線方程：.
（2）過型求切線方程
已知：函數的解析式.計算：過點（無論該點是否在上）的切線方程.
步驟：第一步：設切點
第二步：計算切線斜率；計算切線斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：計算切線方程.根據直線的點斜式方程得到切線方程：.
第二部分：高考真題回歸
1．（2022·全國（甲卷理，文）·高考真題）當時，函數取得最大值，則（ ）
A． B． C． D．1
2．（2022·全國（新高考Ⅰ卷）·高考真題）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________________．
3．（2021·全國（甲卷理）·高考真題）曲線在點處的切線方程為__________．
4．（2022·天津·高考真題）已知，函數
(1)求函數在處的切線方程；
5．（2022·北京·高考真題）已知函數．
(1)求曲線在點處的切線方程；
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：導數的概念
典型例題
例題1．（2023秋·遼寧錦州·高一統考期末）降低室內微生物密度的有效方法是定時給室內注入新鮮空氣，即開窗通風換氣.在某室內，空氣中微生物密度隨開窗通風換氣時間的關系如圖所示，則下列時間段內，空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2023秋·陜西·高二校聯考期末）設，則（ ）
A． B． C．3 D．12
例題3．（2023·全國·高二專題練習）函數的圖象如圖所示，是函數的導函數，則下列數值排序正確的是（ ）
A． B．
C． D．
練透核心考點
1．（2023·全國·高二專題練習）已知函數，則該函數在區間上的平均變化率為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·浙江嘉興·高二平湖市當湖高級中學校考階段練習）設函數在處的導數為2，則（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．（2023春·湖北武漢·高二校聯考階段練習）設函數，則（ ）
A．3 B． C． D．0
高頻考點二：導數的運算
典型例題
例題1．（2023春·天津和平·高二校考階段練習）已知函數，且，則（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2023秋·黑龍江雙鴨山·高二雙鴨山一中校考期末）已知函數，則（ ）
A．－1 B．0 C．－8 D．1
例題3．（2023春·浙江溫州·高二校考階段練習）已知函數，則__________．
練透核心考點
1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，則（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
2．（多選）（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學校考階段練習）下列函數求導運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·上海浦東新·高二華師大二附中校考階段練習）若函數滿足，則_____________
高頻考點三：導數的幾何意義
角度1：求切線方程（在型）
典型例題
例題1．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學統考二模）已知函數，那么在點處的切線方程為___________．
例題2．（2023·貴州貴陽·統考一模）函數在點處的切線方程為___________.
練透核心考點
1．（2023·黑龍江大慶·統考一模）函數的圖象在點處的切線方程為______．
2．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高三校聯考期末）函數的圖像在點處的切線方程為__________．
角度2：求切線方程（過型）
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習）已知直線l為函數的切線，且經過原點，則直線的方程為__________.
例題2．（2023春·上海浦東新·高三上海市實驗學校校考開學考試）已知曲線，過點作曲線的切線，則切線的方程為____________.
練透核心考點
1．（2023·山東·濰坊一中校聯考模擬預測）寫出曲線過點的一條切線方程__________．
2．（2023春·上海楊浦·高二復旦附中校考階段練習）已知函數，過點作曲線的切線，則其切線方程為______．
角度3：已知切線方程（或斜率）求參數
典型例題
例題1．（2023春·上海浦東新·高二華師大二附中校考階段練習）函數有一條斜率為2的切線，則切點的坐標為_____________
例題2．（2023春·天津河東·高二校考階段練習）已知函數在處的切線與直線垂直，則實數_______.
例題3．（2023·全國·高三專題練習）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是______．
練透核心考點
1．（2023春·湖北武漢·高二武漢市第四十九中學校考階段練習）已知函數的圖象在處的切線方程為，則__________.
2．（2023·全國·高二專題練習）直線是曲線的切線，則______.
3．（2023·全國·高二專題練習）若直線是曲線的切線，則________．
角度4：導數與函數圖象
典型例題
例題1．（2023春·山東·高二校聯考階段練習）如圖，已知函數的圖象在點處的切線為，則（ ）
A． B． C．0 D．2
例題2．（2022·高二課時練習）已知是的導函數，的圖象如圖所示，則的圖象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
例題3．（2022秋·湖南湘潭·高三湘潭一中校考期中）如圖，直線是曲線在處的切線，則___________.
練透核心考點
1．（2022·江蘇·高二專題練習）已知函數的部分圖象如圖所示，其中為圖上三個不同的點，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學校考階段練習）已知函數的圖象如圖所示，是函數的導函數，，，，則關于排序正確的是_____________．
3．（2022秋·湖北武漢·高二武漢市第六中學校考階段練習）如圖，直線是曲線在點處的切線，則的值等于______ ．
角度5：共切點的公切線問題
典型例題
例題1．（2023·江蘇·高三校聯考階段練習）已知點是曲線與曲線的公共切點，則兩曲線在點處的公共切線方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
例題2．（2023·重慶·統考二模）已知 的圖象在處的切線與與函數的圖象也相切，則該切線的斜率 __________.
例題3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，.
若點為函數與圖象的唯一公共點，且兩曲線存在以點為切點的公共切線，求的值：
練透核心考點
1．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習）已知函數，， 若曲線與曲線在公共點處的切線相同，則實數______.
2．（2023·全國·高二專題練習）若曲線和曲線存在有公共切點的公切線，則該公切線的方程為__________.
角度6：不同切點的公切線問題
典型例題
例題1．（多選）（2023春·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中學校考階段練習）若存在過點的直線與曲線和都相切，則的值可以是（ ）
A．1 B． C． D．
例題2．（2023·湖南邵陽·統考二模）已知直線是曲線與的公切線，則直線與軸的交點坐標為______．
例題3．（2023·全國·高三專題練習）已知曲線與有公共切線，求實數的取值范圍．
練透核心考點
1．（2023·全國·高二專題練習）已知函數與函數存在一條過原點的公共切線，則__________.
2．（2023秋·江蘇揚州·高三校聯考期末）若曲線與曲線有一條過原點的公切線，則m的值為__________．
角度7：與切線有關的轉化問題
典型例題
例題1．（2023·四川成都·川大附中校考二模）若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
例題2．（2023春·湖北武漢·高二武漢市第四十九中學校考階段練習）已知，則的最小值為（ ）
B． C． D．
練透核心考點
1．（2023春·山東·高二校聯考階段練習）已知，則y的最小值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高二專題練習）在平面直角坐標系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線的距離的最小值是_____.
第四部分：數學文化（高觀點）題
1．（2023·江蘇南京·高二南京市秦淮中學校聯考）牛頓迭代法又稱牛頓－拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀提出的一種在實數集上近似求解方程根的一種方法．具體步驟如下：設r是函數y＝f (x)的一個零點，任意選取x0作為r的初始近似值，作曲線y＝f (x)在點(x0，f (x0))處的切線l1，設l1與x軸交點的橫坐標為x1，并稱x1為r的1次近似值；作曲線y＝f (x)在點(x1，f (x1))處的切線l2，設l2與x軸交點的橫坐標為x2，并稱x2為r的2次近似值．一般的，作曲線y＝f (x)在點(xn，f (xn))(n∈N)處的切線ln＋1，記ln＋1與x軸交點的橫坐標為xn＋1，并稱xn＋1為r的n＋1次近似值．設f (x)＝x3＋x－1的零點為r，取x0＝0，則r的2次近似值為________．
2．（2023·全國·高三專題練習）人們很早以前就開始探索高次方程的數值求解問題.牛頓（1643-1727）給出了牛頓法——用“作切線”的方法求方程的近似解如圖，方程的根就是函數的零點r，取初始值處的切線與x軸的交點為在處的切線與x軸的交點為，一直這樣下去，得到，它們越來越接近r.若，則用牛頓法得到的r的近似值約為___________（結果保留兩位小數）.
3．（2023·全國·高三專題練習）在18世紀，法國著名數學家拉格日在他的《解析函數論》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陳述如下，如果函數f（x）區間[a，b]上連續不斷，在開區間（a，b）內可導（存在導函數），在區間（a，b）內至少存在一個點x0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝（b﹣a），則x＝x0稱為函數y＝f（x）在閉區間[a，b]上的中值點，則關于x的f（x）＝ex+mx在區間[﹣1，1]上的中值點x0的值為 __________________.
4．（2023·高二課時練習）我國魏晉時期的科學家劉徽創立了“割圓術”，實施“以直代曲”的近似計算，用正邊形進行“內外夾逼”的辦法求出了圓周率的精度較高的近似值，這是我國最優秀的傳統科學文化之一一．借用“以直代曲”的近似計算方法，在切點附近，可以用函數圖象的切線近似代替在切點附近的曲線來近似計算．設，則曲線在點處的切線方程為______；用此結論近似計算的值為______．
第五部分：高考新題型
①開放性試題
1．（2022·廣東佛山·統考模擬預測）寫出一個同時滿足下列條件①②的函數____________．
①的圖象關于點對稱；②曲線在點處的切線方程為
2．（2023·福建莆田·統考二模）直線l經過點，且與曲線相切，寫出l的一個方程_______．
3．（2022秋·廣東佛山·高三統考期中）已知函數經過點，且，請寫出一個符合條件的函數表達式：__________.
②探究性試題
1．（多選）（2022·全國·高三專題練習）英國數學家牛頓在17世紀給出了一種求方程近似根的方法—牛頓迭代法，做法如下：如圖，設r是的根，選取作為r的初始近似值，過點作曲線的切線，則l與x軸的交點的橫坐標，稱是r的一次近似值；過點作曲線的切線，則該切線與x軸的交點的橫坐標為，稱是r的二次近似值；重復以上過程，得r的近似值序列，其中，稱是r的次近似值，這種求方程近似解的方法稱為牛頓迭代法.若使用該方法求方程的近似解，則（ ）
A．若取初始近似值為1，則過點作曲線的切線
B．若取初始近似值為1，則該方程解的三次近似值為
C．
D．
第六部分：數學思想方法
①函數與方程的思想
1．（2022秋·湖南長沙·高三長郡中學校考階段練習）已知函數，則（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2023春·河北邯鄲·高二武安市第三中學校考階段練習）函數的導函數滿足關系式，則_____________．
3．（2022秋·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學校考階段練習）已知曲線和，若直線與，都相切，且與的相切于點，則的橫坐標為______.
②數形結合得思想
1．（2023·河南鄭州·高二校考）點在函數的圖象上.若滿足到直線的距離為的點有且僅有個，則實數的值為________.
2．（2023·全國·高二專題練習）點P是曲線上任意一點，且點P到直線的距離的最小值是，則實數a的值是__________.
③轉化與化歸思想
1．（2023·全國·高三專題練習）若存在實數使得關于的不等式成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高三專題練習）若實數，，，滿足，則的最小值為__．
第01講 導數的概念及運算 (精講）
目錄
第一部分：知識點必背 2
第二部分：高考真題回歸 4
第三部分：高頻考點一遍過 5
高頻考點一：導數的概念 5
高頻考點二：導數的運算 8
高頻考點三：導數的幾何意義 10
角度1：求切線方程（在型） 10
角度2：求切線方程（過型） 11
角度3：已知切線方程（或斜率）求參數 12
角度4：導數與函數圖象 14
角度5：共切點的公切線問題 18
角度6：不同切點的公切線問題 21
角度7：與切線有關的轉化問題 24
第四部分：數學文化（高觀點）題 26
第五部分：高考新題型 28
①開放性試題 28
②探究性試題 30
第六部分：數學思想方法 31
①函數與方程的思想 31
②數形結合得思想 32
③轉化與化歸思想 34
第一部分：知識點必背
1、平均變化率
（1）變化率
事物的變化率是相關的兩個量的“增量的比值”。如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值.
（2）平均變化率
一般地，函數在區間上的平均變化率為：.
（3）如何求函數的平均變化率
求函數的平均變化率通常用“兩步”法：
①作差：求出和
②作商：對所求得的差作商，即.
2、導數的概念
（1）定義：函數在處瞬時變化率是，我們稱它為函數在處的導數,記作.
（2）定義法求導數步驟：
求函數的增量：；
求平均變化率：；
求極限，得導數：.
3、導數的幾何意義
函數在點處的導數的幾何意義，就是曲線在點處的切線的斜率，即.
4、基本初等函數的導數公式
基本初等函數 導數
(為常數)
()
()
(，)
5、導數的運算法則
若，存在，則有
（1）
（2）
（3）
6、復合函數求導
復合函數的導數和函數，的導數間的關系為，即對的導數等于對的導數與對的導數的乘積．
7、曲線的切線問題
（1）在型求切線方程
已知：函數的解析式.計算：函數在或者處的切線方程.
步驟：第一步：計算切點的縱坐標（方法：把代入原函數中），切點.
第二步：計算切線斜率.
第三步：計算切線方程.切線過切點，切線斜率。
根據直線的點斜式方程得到切線方程：.
（2）過型求切線方程
已知：函數的解析式.計算：過點（無論該點是否在上）的切線方程.
步驟：第一步：設切點
第二步：計算切線斜率；計算切線斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：計算切線方程.根據直線的點斜式方程得到切線方程：.
第二部分：高考真題回歸
1．（2022·全國（甲卷理，文）·高考真題）當時，函數取得最大值，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【詳解】因為函數定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．
故選：B.
2．（2022·全國（新高考Ⅰ卷）·高考真題）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________________．
【答案】
【詳解】∵，∴，
設切點為,則,切線斜率,
切線方程為：,
∵切線過原點，∴,
整理得：,
∵切線有兩條，∴,解得或,
∴的取值范圍是,
故答案為：
3．（2021·全國（甲卷理）·高考真題）曲線在點處的切線方程為__________．
【答案】
【詳解】由題，當時，，故點在曲線上．
求導得：，所以．
故切線方程為．
故答案為：．
4．（2022·天津·高考真題）已知，函數
(1)求函數在處的切線方程；
【答案】(1)
【詳解】（1），故，而，
曲線在點處的切線方程為即.
5．（2022·北京·高考真題）已知函數．
(1)求曲線在點處的切線方程；
【答案】(1)
【詳解】（1）解：因為，所以，
即切點坐標為，
又，
∴切線斜率
∴切線方程為：
第三部分：高頻考點一遍過
高頻考點一：導數的概念
典型例題
例題1．（2023秋·遼寧錦州·高一統考期末）降低室內微生物密度的有效方法是定時給室內注入新鮮空氣，即開窗通風換氣.在某室內，空氣中微生物密度隨開窗通風換氣時間的關系如圖所示，則下列時間段內，空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】如圖分別令、、、、、、所對應的點為,
所以內空氣中微生物密度變化的平均速度最快；
故選：B
例題2．（2023秋·陜西·高二校聯考期末）設，則（ ）
A． B． C．3 D．12
【答案】B
【詳解】，.
故選：B
例題3．（2023·全國·高二專題練習）函數的圖象如圖所示，是函數的導函數，則下列數值排序正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】由圖知：，即.
故選：A
練透核心考點
1．（2023·全國·高二專題練習）已知函數，則該函數在區間上的平均變化率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為函數，
所以該函數在區間上的平均變化率為
，
故選：A
2．（2023春·浙江嘉興·高二平湖市當湖高級中學校考階段練習）設函數在處的導數為2，則（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【詳解】因為函數在處的導數為2，
所以.
故選：A
3．（2023春·湖北武漢·高二校聯考階段練習）設函數，則（ ）
A．3 B． C． D．0
【答案】A
【詳解】因為，
因為，所以，所以，
故選:A.
高頻考點二：導數的運算
典型例題
例題1．（2023春·天津和平·高二校考階段練習）已知函數，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】，所以，解得．
故選：A．
例題2．（2023秋·黑龍江雙鴨山·高二雙鴨山一中校考期末）已知函數，則（ ）
A．－1 B．0 C．－8 D．1
【答案】C
【詳解】解：因為函數，
所以，
則，
解得，
則，
所以，
故選：C
例題3．（2023春·浙江溫州·高二校考階段練習）已知函數，則__________．
【答案】6
【詳解】因為，
所以，
所以，，
所以，
故答案為：6.
練透核心考點
1．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，則（ ）
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
【答案】A
【詳解】由已知條件得，
則，解得，
故選：A．
2．（多選）（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學校考階段練習）下列函數求導運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【詳解】A：，故A錯誤；
B：，故B正確；
C：，故C正確；
D：，故D錯誤.
故選：BC.
3．（2023春·上海浦東新·高二華師大二附中校考階段練習）若函數滿足，則_____________
【答案】1
【詳解】因為，
所以，則，解得：，
則，則.
故答案為：1.
高頻考點三：導數的幾何意義
角度1：求切線方程（在型）
典型例題
例題1．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學統考二模）已知函數，那么在點處的切線方程為___________．
【答案】
【詳解】由，則，
所以，
又，
所以在點處的切線方程為，即．
故答案為：．
例題2．（2023·貴州貴陽·統考一模）函數在點處的切線方程為___________.
【答案】
【詳解】由得，
所以，又，
即為切點，所以切線方程為，即.
故答案為：．
練透核心考點
1．（2023·黑龍江大慶·統考一模）函數的圖象在點處的切線方程為______．
【答案】
【詳解】因為，所以．因為，，所以所求切線方程為，即.
故答案為：
2．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·高三校聯考期末）函數的圖像在點處的切線方程為__________．
【答案】
【詳解】由題意，得，
所以，
又，
則所求切線的方程為，
故答案為：
角度2：求切線方程（過型）
典型例題
例題1．（2023·全國·高三專題練習）已知直線l為函數的切線，且經過原點，則直線的方程為__________.
【答案】
【詳解】解：設切點坐標為，
所以直線l的斜率為，
所以直線l的方程為
又直線l過點，
所以，
整理得，解得，
所以，
直線l的斜率，
所以直線l的方程為，
故答案為：.
例題2．（2023春·上海浦東新·高三上海市實驗學校校考開學考試）已知曲線，過點作曲線的切線，則切線的方程為____________.
【答案】
【詳解】設切點坐標為，,則切線的斜率，
故切線方程為，又因為點在切線上，
所以，整理得到，
解得，所以切線方程為．
故答案為: .
練透核心考點
1．（2023·山東·濰坊一中校聯考模擬預測）寫出曲線過點的一條切線方程__________．
【答案】或（寫出其中的一個答案即可）
【詳解】解：因為點在曲線上，所以曲線在點處的切線方程符合題意．
因為，所以，
所以曲線在點處的切線方程為，即．
因為當或時，；當時，，
所以函數在處取得極大值，又極大值恰好等于點的縱坐標，所以直線也符合題意．
故答案為：或（寫出其中的一個答案即可）
2．（2023春·上海楊浦·高二復旦附中校考階段練習）已知函數，過點作曲線的切線，則其切線方程為______．
【答案】或
【詳解】設切點為，
因為，所以，
所以切線的斜率為，
所以切線方程為，
因為切線過，所以，解得或，
所以切線方程為或.
故答案為：或
角度3：已知切線方程（或斜率）求參數
典型例題
例題1．（2023春·上海浦東新·高二華師大二附中校考階段練習）函數有一條斜率為2的切線，則切點的坐標為_____________
【答案】
【詳解】設切點坐標為，由函數可得，
因為函數有一條斜率為2的切線，所以，
解得，所以切點坐標為，
故答案為：.
例題2．（2023春·天津河東·高二校考階段練習）已知函數在處的切線與直線垂直，則實數_______.
【答案】
【詳解】因為，其中，則，所以，，
易知直線的斜率存在，由題意可得，解得.
故答案為：.
例題3．（2023·全國·高三專題練習）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是______．
【答案】
【詳解】設直線與曲線的切點為，
對求導得，所以，即，
所以，所以切點為，
由切點在切線上，可得，
所以
，
當且僅當，即時，等號成立．
所以的最小值是．
故答案為：．
練透核心考點
1．（2023春·湖北武漢·高二武漢市第四十九中學校考階段練習）已知函數的圖象在處的切線方程為，則__________.
【答案】-1
【詳解】因為，所以.
又的 圖象在處的切線方程為，所以，解得，
則，所以，代入切線方程得，解得，
所以 ,
故答案為：-1.
2．（2023·全國·高二專題練習）直線是曲線的切線，則______.
【答案】
【詳解】設切點坐標為，其中，對函數求導得，
所以，切線斜率為，
所以，曲線在處的切線方程為，即，
所以，，解得.
故答案為：.
3．（2023·全國·高二專題練習）若直線是曲線的切線，則________．
【答案】2
【詳解】對函數求導得，設直線與曲線相切于點，則，由點在切線上得，即，所以，解得，．
故答案為：2
角度4：導數與函數圖象
典型例題
例題1．（2023春·山東·高二校聯考階段練習）如圖，已知函數的圖象在點處的切線為，則（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】C
【詳解】由圖象可得，切線過點和，切線斜率為，，
切線方程為，則切點坐標為，有，
所以.
故選：C.
例題2．（2022·高二課時練習）已知是的導函數，的圖象如圖所示，則的圖象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】由題中的圖象可以看出，在內，，
且在內，單調遞增，
在內，單調遞減，
所以函數在內單調遞增，
且其圖象在內越來越陡峭，
在內越來越平緩．
故選：D．
例題3．（2022秋·湖南湘潭·高三湘潭一中校考期中）如圖，直線是曲線在處的切線，則___________.
【答案】
【詳解】直線過點，，直線斜率，
又直線是在處的切線，，又，
.
故答案為：.
練透核心考點
1．（2022·江蘇·高二專題練習）已知函數的部分圖象如圖所示，其中為圖上三個不同的點，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【詳解】解：由圖可知函數在點的切線斜率小于，即，
在點的切線斜率等于，即，
在點的切線斜率大于，即，
所以；
故選：B
2．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗縣第一中學校考階段練習）已知函數的圖象如圖所示，是函數的導函數，，，，則關于排序正確的是_____________．
【答案】
【詳解】由圖象知在上單調遞增，
又過點和點的直線的斜率為，
由導數的幾何意義，知為曲線在處的切線方程的斜率，
為曲線在處的切線方程的斜率，如圖，
得，
即．
故答案為：
3．（2022秋·湖北武漢·高二武漢市第六中學校考階段練習）如圖，直線是曲線在點處的切線，則的值等于______ ．
【答案】##5.5
【詳解】由函數的圖像可得，直線過點和，則直線的斜率，
又由直線是曲線在點處的切線，則，
所以．
故答案為：
角度5：共切點的公切線問題
典型例題
例題1．（2023·江蘇·高三校聯考階段練習）已知點是曲線與曲線的公共切點，則兩曲線在點處的公共切線方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【詳解】設點的坐標為
對曲線求導得，
對曲線求導得，得解得，得點坐標為，切線為．
故答案為B.
例題2．（2023·重慶·統考二模）已知 的圖象在處的切線與與函數的圖象也相切，則該切線的斜率 __________.
【答案】
【詳解】函數的圖象在處的切線的切點為，
因為，所以切線斜率為，切線方程為，即，
設的圖象的切線的切點為，因為，所以切線斜率為，
切線方程為，即，
由題，解得，，斜率為.
故答案為：.
例題3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，.
（1）若點為函數與圖象的唯一公共點，且兩曲線存在以點為切點的公共切線，求的值：
【答案】（1）；（2）．
【詳解】（1）由題意可知，與的圖象在唯一公共點處的切線相同，
又因為，，
所以，即，
由得，可得或.
由點唯一可得或，即或，
所以，由可得，可得，合乎題意.
綜上可得，；
練透核心考點
1．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習）已知函數，， 若曲線與曲線在公共點處的切線相同，則實數______.
【答案】1
【詳解】，，
設公共點為，則，即，消得
，
令，
∴在上單調遞增，又，∴，．.
故答案為：1.
2．（2023·全國·高二專題練習）若曲線和曲線存在有公共切點的公切線，則該公切線的方程為__________.
【答案】
【詳解】，，則有，．
設公共切點的坐標為，，則
，，
，．
根據題意，有
，解得．
公切線的切點坐標為，切線斜率為2．
公切線的方程為，即．
故答案為：
角度6：不同切點的公切線問題
典型例題
例題1．（多選）（2023春·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中學校考階段練習）若存在過點的直線與曲線和都相切，則的值可以是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】AB
【詳解】由題意可得，，
因為在直線l上，當為的切點時，
則，所以直線l的方程為，
又直線l與相切，
所以滿足，得；
當不是的切點時，
設切點為，
則，
所以，得，
所以，所以直線的方程為.
由，得，
由題意得，所以.
綜上得或.
故選:AB
例題2．（2023·湖南邵陽·統考二模）已知直線是曲線與的公切線，則直線與軸的交點坐標為______．
【答案】
【詳解】設直線與曲線和分別相切于，兩點，
分別求導，得，，
故，整理可得．
同理得，整理可得．
因為直線為兩曲線的公切線，
所以，解得，
所以直線的方程為，令，則．
則直線與軸的交點坐標為．
故答案為：.
例題3．（2023·全國·高三專題練習）已知曲線與有公共切線，求實數的取值范圍．
【答案】．
【詳解】設切線與相切于點，則，
∴切線方程為，即，
聯立得，
∴，即，
即有解，令，
則，
當時，，當時，，
∴在上單調遞減，在上單調遞增，
∴，又時，，
故的值域為，
∴，即，
故實數a的取值范圍是
練透核心考點
1．（2023·全國·高二專題練習）已知函數與函數存在一條過原點的公共切線，則__________.
【答案】
【詳解】設該公切線過函數、函數的切點分別為，.
因為，所以該公切線的方程為
同理可得，該公切線的方程也可以表示為
因為該公切線過原點，所以，解得.
故答案為：
2．（2023秋·江蘇揚州·高三校聯考期末）若曲線與曲線有一條過原點的公切線，則m的值為__________．
【答案】8或
【詳解】因為過原點斜率不存在的直線為，該直線與曲線不相切，
所以設曲線的過原點的切線的方程為，切點為，
則，，，
所以，
當時，，
所以直線與曲線相切，設切點為，
則，，，
所以或，
當時，，
當時，，
當時，，
則，，，
滿足方程的解不存在，故不存在.
所以或，
故答案為：8或.
角度7：與切線有關的轉化問題
典型例題
例題1．（2023·四川成都·川大附中校考二模）若點是曲線上任意一點，則點到直線距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：過點作曲線的切線，當切線與直線平行時，點到直線距離的最小.
設切點為，，
所以，切線斜率為，
由題知得或（舍），
所以，，此時點到直線距離.
故選：C
例題2．（2023春·湖北武漢·高二武漢市第四十九中學校考階段練習）已知，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意可得：可以理解為點之間距離的平方，
即，
可知在函數的圖象上，在直線上，
可得，
設函數在點處的切線與直線平行，則直線的斜率為1，
可得，整理得，
∵在定義域內單調遞增，且，
∴方程有且僅有一個解，
則，
故的最小值為點到直線的距離，
故的最小值為.
故選：C.
練透核心考點
1．（2023春·山東·高二校聯考階段練習）已知，則y的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由題意可得：可以理解為點之間距離的平方，
即，
可知在函數的圖像上，在直線上，
可得，
設函數在點處的切線與直線平行，則直線的斜率為1，
可得，整理得，
∵在定義域內單調遞增，且，
∴方程有且僅有一個解，則，
故的最小值為點到直線的距離，
故的最小值為.
故選：C.
2．（2023·全國·高二專題練習）在平面直角坐標系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線的距離的最小值是_____.
【答案】
【詳解】設直線與相切，則切線的斜率為
且，令，則，即切點的橫坐標為，
將，代入，可得，即切點坐標為，
所以點P到直線的距離的最小值即為到直線的距離，
即，
故答案為:
第四部分：數學文化（高觀點）題
1．（2023·江蘇南京·高二南京市秦淮中學校聯考）牛頓迭代法又稱牛頓－拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀提出的一種在實數集上近似求解方程根的一種方法．具體步驟如下：設r是函數y＝f (x)的一個零點，任意選取x0作為r的初始近似值，作曲線y＝f (x)在點(x0，f (x0))處的切線l1，設l1與x軸交點的橫坐標為x1，并稱x1為r的1次近似值；作曲線y＝f (x)在點(x1，f (x1))處的切線l2，設l2與x軸交點的橫坐標為x2，并稱x2為r的2次近似值．一般的，作曲線y＝f (x)在點(xn，f (xn))(n∈N)處的切線ln＋1，記ln＋1與x軸交點的橫坐標為xn＋1，并稱xn＋1為r的n＋1次近似值．設f (x)＝x3＋x－1的零點為r，取x0＝0，則r的2次近似值為________．
【答案】##
【詳解】由，得，取，，
所以過點作曲線的切線的斜率為1，
所以直線的方程為，其與軸交點的橫坐標為1，即，
因為，所以過點作曲線的切線的斜率為4，
所以直線的方程為，其與軸交點的橫坐標為，即，
故答案為：
2．（2023·全國·高三專題練習）人們很早以前就開始探索高次方程的數值求解問題.牛頓（1643-1727）給出了牛頓法——用“作切線”的方法求方程的近似解如圖，方程的根就是函數的零點r，取初始值處的切線與x軸的交點為在處的切線與x軸的交點為，一直這樣下去，得到，它們越來越接近r.若，則用牛頓法得到的r的近似值約為___________（結果保留兩位小數）.
【答案】
【詳解】由，，所以在處的切線方程為：，令，
可得：，所以在處的切線方程為：，令，
故答案為：
3．（2023·全國·高三專題練習）在18世紀，法國著名數學家拉格日在他的《解析函數論》中，第一次提到拉格朗日中值定理，其定理陳述如下，如果函數f（x）區間[a，b]上連續不斷，在開區間（a，b）內可導（存在導函數），在區間（a，b）內至少存在一個點x0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝（b﹣a），則x＝x0稱為函數y＝f（x）在閉區間[a，b]上的中值點，則關于x的f（x）＝ex+mx在區間[﹣1，1]上的中值點x0的值為 __________________.
【答案】
【詳解】解：當x∈[﹣1，1]時，由拉格朗日中值定理可得＝，
∵f'（x）＝ex+m，
∴+m，即，
∴.
故答案為：.
4．（2023·高二課時練習）我國魏晉時期的科學家劉徽創立了“割圓術”，實施“以直代曲”的近似計算，用正邊形進行“內外夾逼”的辦法求出了圓周率的精度較高的近似值，這是我國最優秀的傳統科學文化之一一．借用“以直代曲”的近似計算方法，在切點附近，可以用函數圖象的切線近似代替在切點附近的曲線來近似計算．設，則曲線在點處的切線方程為______；用此結論近似計算的值為______．
【答案】 ##
【詳解】，則，，又，所以切線方程為，
由近似計算理論有，所以．
故答案為：；．
第五部分：高考新題型
①開放性試題
1．（2022·廣東佛山·統考模擬預測）寫出一個同時滿足下列條件①②的函數____________．
①的圖象關于點對稱；②曲線在點處的切線方程為
【答案】（答案不唯一）
【詳解】因為曲線在點處的切線方程為，
故切點為，，
由的圖象關于點對稱可得為一個奇函數向上平移1個單位長度得到，
結合以上條件，故不妨令，定義域為R，
且，
故的圖象關于點對稱，
又，，
且，
故在點處的切線方程為，
整理得：，滿足題意.
故答案為：.（答案不唯一）
2．（2023·福建莆田·統考二模）直線l經過點，且與曲線相切，寫出l的一個方程_______．
【答案】（答案不唯一）
【詳解】因為，
所以，
不妨設直線l與的切點為，斜率為，
則，解得或或，
當時，直線l為；
當時，直線l為，即；
當時，直線l為，即；
綜上：直線l的方程為或或.
故答案為：（答案不唯一）.
3．（2022秋·廣東佛山·高三統考期中）已知函數經過點，且，請寫出一個符合條件的函數表達式：__________.
【答案】（答案不唯一）
【詳解】不妨考慮為一次函數情況，設，滿足，
進而，由得，所以，
故答案為：
②探究性試題
1．（多選）（2022·全國·高三專題練習）英國數學家牛頓在17世紀給出了一種求方程近似根的方法—牛頓迭代法，做法如下：如圖，設r是的根，選取作為r的初始近似值，過點作曲線的切線，則l與x軸的交點的橫坐標，稱是r的一次近似值；過點作曲線的切線，則該切線與x軸的交點的橫坐標為，稱是r的二次近似值；重復以上過程，得r的近似值序列，其中，稱是r的次近似值，這種求方程近似解的方法稱為牛頓迭代法.若使用該方法求方程的近似解，則（ ）
A．若取初始近似值為1，則過點作曲線的切線
B．若取初始近似值為1，則該方程解的三次近似值為
C．
D．
【答案】ABD
【詳解】解：構造函數，則，取初始近似值，，，則，即，則A正確；
，，
，則B正確；
根據題意，可知，
上述式子相加，得，C不正確，則D正確.
故選：ABD.
第六部分：數學思想方法
①函數與方程的思想
1．（2022秋·湖南長沙·高三長郡中學校考階段練習）已知函數，則（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【詳解】因為，
所以，
故，即，
所以.
故選：B.
2．（2023春·河北邯鄲·高二武安市第三中學校考階段練習）函數的導函數滿足關系式，則_____________．
【答案】
【詳解】由，函數兩邊求導得：，
令，則，所以
代入函數得：．
故答案為：
3．（2022秋·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學校考階段練習）已知曲線和，若直線與，都相切，且與的相切于點，則的橫坐標為______.
【答案】
【詳解】由題意，，
設與相切于點，
在中， ，，，
在中，，，，
∵直線與，都相切，
∴，即，
在中，函數單調遞增，
∴
∵，即
∴，即，
∴解得
∴
故選：C.
②數形結合得思想
1．（2023·河南鄭州·高二校考）點在函數的圖象上.若滿足到直線的距離為的點有且僅有個，則實數的值為________.
【答案】
【詳解】設，則點到直線的距離，
滿足題意的點有且僅有個，有且僅有個不同解；
令，則，
當時，；當時，；
在上單調遞增，在上單調遞減，；
當，即時，圖象如下圖所示，
即與至多有個交點，即方程至多有個不同解，不合題意；
當，即時，圖象如下圖所示，
若與有且僅有個不同交點，則，解得：，
即當時，方程有且僅有個不同解；
綜上所述：.
故答案為：.
2．（2023·全國·高二專題練習）點P是曲線上任意一點，且點P到直線的距離的最小值是，則實數a的值是__________.
【答案】
【詳解】由題設且，
令，即；令，即，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
且，如圖所示，
當為平行于并與曲線相切直線的切點時，距離最近.
令，可得（舍）或，
所以，則曲線上切線斜率為1的切點為，
所以，即（舍去）或，
故答案為：.
③轉化與化歸思想
1．（2023·全國·高三專題練習）若存在實數使得關于的不等式成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】不等式成立，
即，即，
其幾何意義表示點與的距離的平方不超過，即最大值為．
∵為直線：即上一點，
∴設與平行，且與相切于點，
∴，由導數的幾何意義，在點處切線的斜率，
∴解得，∴，
∴直線：上的點與曲線的距離的最小值即點到直線的距離，
∴當且僅當時，，
∴解得，
綜上所述，的取值集合為．
故選：A．
2．（2023·全國·高三專題練習）若實數，，，滿足，則的最小值為__．
【答案】
【詳解】實數，，，滿足，
，．分別設，．
則的最小值可看做曲線和直線上的動點與的最小距離，
設直線與曲線相切于點，．
則，，解得，．
．點到直線的距離．
即的最小值為．
故答案為：．

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