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【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
第02講 常用邏輯用語(yǔ)（精講）
題型目錄一覽
充分、必要條件的判斷
根據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍
全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍
1.充分條件、必要條件、充要條件
（1）定義
如果命題“若，則”為真(記作)，則是的充分條件；同時(shí)是的必要條件.
（2）從邏輯推理關(guān)系上看
①若且，則是的充分不必要條件；
②若且，則是的必要不充分條件；
③若且，則是的的充要條件(也說和等價(jià))；
④若且，則不是的充分條件，也不是的必要條件.
對(duì)充分和必要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義的實(shí)質(zhì)：，則是的充分條件，同時(shí)是的必要條件.所謂“充分”是指只要成立，就成立；所謂“必要”是指要使得成立，必須要成立(即如果不成立，則肯定不成立).
2.全稱量詞與存在童詞
（1）全稱量詞與全稱量詞命題.短語(yǔ)“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“”表示.含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對(duì)中的任意一個(gè)，有成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“”，讀作“對(duì)任意屬于，有成立”.
（2）存在量詞與存在量詞命題.短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“”表示.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.存在量詞命題“存在中的一個(gè)，使成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“”，讀作“存在中元素，使成立”（存在量詞命題也叫存在性命題）.
3.含有一個(gè)量詞的命題的否定
（1）全稱量詞命題的否定為，.
（2）存在量詞命題的否定為.
注：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見考點(diǎn)之一.
【常用結(jié)論】
1．從集合與集合之間的關(guān)系上看：設(shè).
（1）若，則是的充分條件()，是的必要條件；若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，即且；
注：關(guān)于數(shù)集間的充分必要條件滿足：“小大”.
（2）若，則是的必要條件，是的充分條件；
（3）若，則與互為充要條件.
2.常見的一些詞語(yǔ)和它的否定詞如下表
原詞語(yǔ) 等于 大于 小于 是 都是 任意 （所有） 至多 有一個(gè) 至多 有一個(gè)
否定詞語(yǔ) 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某個(gè) 至少有 兩個(gè) 一個(gè)都 沒有
(1)要判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必須對(duì)限定集合中的每一個(gè)元素證明其成立，要判斷全稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合中的一個(gè)，使得其不成立即可，這就是通常所說的舉一個(gè)反例.
(2)要判斷一個(gè)存在量詞命題為真命題，只要在限定集合中能找到一個(gè)使之成立即可，否則這個(gè)存在量詞命題就是假命題.
題型一 充分、必要條件的判斷
策略方法 判斷充分、必要條件的幾種方法
【典例1】已知是無窮等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則“為遞增數(shù)列”是“存在使得”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.
【詳解】解：因?yàn)槭菬o窮等差數(shù)列，若為遞增數(shù)列，
所以公差，
令，解得，
表示取整函數(shù)，
所以存在正整數(shù)，有，故充分；
設(shè)數(shù)列為5，3，1，-1，…，滿足，但，
則數(shù)列是遞減數(shù)列，故不必要，
故選：A
【典例2】條件，，則的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】對(duì)于命題，由參變量分離法可得，求出函數(shù)在上的最大值，可得出實(shí)數(shù)的取值范圍，再利用必要不充分條件的定義可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】若，使得，則，可得，則，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且，
故當(dāng)時(shí)，，即，
所以，的一個(gè)必要不充分條件是.
故選：A.
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2021春·廣東梅州·高三校考期中）設(shè)均為單位向量，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則和公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合充分條件和必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】由，則，即，
可得，所以，即充分性成立；
反之：由，則，可得且，
所以，即必要性成立，
綜上可得，是的充分必要條件.
故選：C.
2．（2023春·湖北·高三安陸第一高中校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則“”是“，，成等比數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合充分不必要條件的判定即可得到答案.
【詳解】因?yàn)椋瑒t，且，所以，，成等比數(shù)列，故前者可以推出后者，
若，，成等比數(shù)列，舉例，則不滿足，故后者無法推出前者，
所以“”是“，，成等比數(shù)列”的充分不必要條件.
故選：A.
3．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】將已知轉(zhuǎn)化為集合的關(guān)系再利用充分條件和必要條件的定義處理即可.
【詳解】由可得其解集為：，由可得其解集為：.
而，即由“”可以推出“”，反過來“”不能推出“”，故“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
4．（2023·天津?yàn)I海新·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)向量，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】首先根據(jù)，求的值，再判斷充分，必要條件.
【詳解】由條件可知，，
得，化簡(jiǎn)得，
得或，
即或
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
二、填空題
5．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·高三校考階段練習(xí)）王昌齡《從軍行》中兩句詩(shī)為“黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，其中后一句中“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的___________條件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”）
【答案】必要不充分
【分析】根據(jù)古詩(shī)的含義依次判斷充分性和必要性即可.
【詳解】由題意知：“攻破樓蘭”未必“返回家鄉(xiāng)”，充分性不成立；“返回家鄉(xiāng)”則必然“攻破樓蘭”，必要性成立；
“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的必要不充分條件.
故答案為：必要不充分.
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，；，則p是q的______條件．（在充分不必要 必要不充分、充要、既不充分也不必要中選一個(gè)正確的填入）
【答案】必要不充分
【分析】將全稱命題為真命題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，利用充分必要條件判斷即可求解
【詳解】因?yàn)椋瑸檎婷}等價(jià)于不等式在上恒成立，
當(dāng)時(shí)，顯然不成立；
當(dāng)時(shí)，，解得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為，
所以，
又因?yàn)椋?br/>所以p是q的必要不充分條件．
故答案為：必要不充分.
7．（2023·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考二模）命題，命題，則是的____________條件.
（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）
【答案】充分不必要
【分析】先解，然后根據(jù)條件判斷即可.
【詳解】因?yàn)榛颍?br/>而，
所以是的充分不必要條件.
故答案為：充分不必要.
8．（2023春·江蘇南京·高三南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校校聯(lián)考階段練習(xí)）“”是“”的_________條件．（請(qǐng)從“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中選擇一個(gè)）
【答案】充分不必要．
【分析】利用弦化切得，將整體代入即可證明其充分性成立，令，解得，必要性不成立.
【詳解】若，則，
反之，若，則，則，則，
則”是“”的充分不必要條件．
故答案為：充分不必要．
三、解答題
9．（2023秋·河南許昌·高三校考期末）已知集合，．
(1)求A；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，求m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法解出即可；
（2）由題意知若“”是“”的充分不必要條件則集合是集合的真子集，求出m的取值范圍，再討論即可.
【詳解】（1）由，可得，
所以，所以集合.
（2）若“”是“”的充分不必要條件，
則集合是集合的真子集，
由集合不是空集，故集合也不是空集，
所以，
當(dāng)時(shí)，滿足題意，
當(dāng)時(shí)，滿足題意，
故，即m的取值范圍為.
10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，求證：數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是．
【答案】證明見解析
【分析】先證明必要性，再證明充分性.
【詳解】必要性：數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，
則，，
所以
滿足恒成立，
所以，解得；
充分性：
因?yàn)闀r(shí)，①，②，
①－②得：時(shí)，．
即的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均為公差為2的等差數(shù)列．
因?yàn)椋裕?br/>所以，，
所以，數(shù)列為等差數(shù)列．
綜上，數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是．
題型二 根據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍
策略方法
1．充分、必要條件的探求方法(與范圍有關(guān))
先求使結(jié)論成立的充要條件，然后根據(jù)“以小推大”的方法確定符合題意的條件．
2．利用充要條件求參數(shù)的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)巧用轉(zhuǎn)化求參數(shù)：把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．
(2)端點(diǎn)取值慎取舍：在求參數(shù)范圍時(shí)，要注意邊界或區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，從而確定取舍．
【典例1】若關(guān)于的不等式 成立的充分條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由化簡(jiǎn)得到，根據(jù)不等式 成立的充分條件是，列出不等式組，求得答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，不成立，故 ，此時(shí)由得，
因?yàn)椴坏仁?成立的充分條件是，即，
故，解得，
故選:D
【典例2】已知p：“”，q：“”，若p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由p、q分別定義集合和，用集合法求解.
【詳解】由選項(xiàng)可判斷出m≥0.
由q：“”可得：.
由p：“”可得：.
因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以 A.
若m=0時(shí)，， A不滿足，舍去；
若m>0時(shí)，.
要使 A，只需m>1.
綜上所述：實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故選：D
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022秋·河南安陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【分析】解方程得或-3，再將“”是“”的必要不充分條件轉(zhuǎn)化為 且，然后根據(jù)集合間的包含關(guān)系求即可.
【詳解】解的或-3，設(shè)集合，方程的解集為集合，則 且，所以或，
當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，不成立；
故選：B.
2．（2022秋·山東臨沂·高三統(tǒng)考期中）已知，若是的必要不充分條件，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由條件，解得范圍．根據(jù)是的必要不充分條件，即可得出的取值范圍．
【詳解】條件，解得或．
條件，
是的必要不充分條件，
是的真子集，
．
故選：A．
3．（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考二模）已知集合，．若“”是“”的充分不必要條件，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】若“”是“”的充分不必要條件，則 ，列出不等式組求解即可.
【詳解】若“”是“”的充分不必要條件，則 ，
所以，解得，即的取值范圍是.
故選：B.
4．（2022·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預(yù)測(cè)）使得不等式對(duì)恒成立的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由不等式對(duì)恒成立得，再由充分不必要條件的概念即可求解
【詳解】由不等式對(duì)恒成立，得，即，解得，
從選項(xiàng)可知是的充分不必要條件，
故選：A.
5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“當(dāng)時(shí)，不等式恒成立”的一個(gè)必要不充分條件為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分三種情況求出使不等式恒成立的的取值范圍，從而可求出使其成立的一個(gè)必要不充分條件
【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，
當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，等價(jià)于，
當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，等價(jià)于，
令，
，令，
則， ，
可知函數(shù)在上遞增，在上遞減，
所以當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即，所以，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以，
綜上，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立的充要條件為，
所以是“當(dāng)時(shí)，不等式恒成立”的一個(gè)必要不充分條件，
故選：B
6．（2023·四川南充·四川省南部中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性和最小值，結(jié)合題意，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>且，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立，
令，可得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以，所以，
結(jié)合選項(xiàng)，可得時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增的一個(gè)充分不必要條件.
故選：A.
二、填空題
7．（2021秋·四川南充·高三四川省南充高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知p：，q：，若p是q的必要不充分條件，則a的取值范圍是___________.
【答案】
【分析】利用p是q的必要不充分條件,轉(zhuǎn)化為集合與集合之間的關(guān)系求解即可.
【詳解】由已知得命題為，
由是q的必要不充分條件可知，且，
設(shè)集合，集合，
則集合是集合的真子集，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意
則a的取值范圍是，
故答案為：.
8．（2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考二模）若“”是“”的充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________．
【答案】
【分析】由充分條件定義直接求解即可.
【詳解】“”是“”的充分條件，，，
即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
9．（2022秋·安徽滁州·高三校考階段練習(xí)）已知集合A={x|-10}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為___________.
【答案】
【分析】根據(jù)必要不充分條件的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】由題意可知，當(dāng)B為空集時(shí)，1-m≥1+2m，解得m≤0，與m>0矛盾，故舍去；
當(dāng)B不是空集時(shí)，需滿足1-m<1+2m，且1-m≥-1，或1-m<1+2m，且1-m>-1，且1+2m≤2，解得0故答案為：
10．（2022秋·河南駐馬店·高三校考階段練習(xí)）已知p：，q：，（），若p是q的充分非必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．
【答案】
【分析】命題對(duì)應(yīng)的集合為，命題對(duì)應(yīng)的集合為，由p是q的充分非必要條件，可得是的真子集，根據(jù)集合的包含關(guān)系列出不等式組，解之即可.
【詳解】解：由不等式，解得，
設(shè)命題對(duì)應(yīng)的集合為，則，
由不等式，解得，
設(shè)命題對(duì)應(yīng)的集合為，則，
因?yàn)閜是q的充分非必要條件，
所以是的真子集，
則（不同時(shí)取等號(hào)），解得，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故答案為：.
題型三 全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
策略方法
全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
(1)改量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再對(duì)量詞進(jìn)行改寫．
(2)否結(jié)論：對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定．
【典例1】命題“，使得”的否定形式是（ ）
A．，使得 B．都有
C．，使得 D．，都有
【答案】D
【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，即可求解.
【詳解】“，使得”是全稱命題，全稱命題的否定是特稱命題
故否定形式是，都有.
故選：D
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022秋·遼寧本溪·高三本溪高中校考期中）若命題，則為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題改寫即可.
【詳解】因?yàn)槊}，
所以為，故選：C.
2．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）命題，的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】根據(jù)特稱命題的否定：存在改任意并否定原結(jié)論，即可得答案.
【詳解】由特稱命題的否定為全稱命題，故原命題的否定為，.
故選：C
3．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）命題p：，，則為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】對(duì)全稱量詞的否定用特稱量詞，直接寫出.
【詳解】因?yàn)閷?duì)全稱量詞的否定用特稱量詞，
所以命題p：，的否定為：，.
故選：D
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知命題p：，，，則（ ）
A．p是假命題，p否定是，，
B．p是假命題，p否定是，，
C．p是真命題，p否定是，，
D．p是真命題，p否定是，，
【答案】A
【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定的知識(shí)確定正確答案.
【詳解】由于是整數(shù)，是偶數(shù)，所以是假命題.
原命題是存在量詞命題，
其否定是全稱量詞，注意到要否定結(jié)論，
所以的否定是“，，”.
故選：A
5．（2022秋·陜西咸陽(yáng)·高三武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知命題，．下列說法正確的是（ ）
A．p為真命題，：，
B．p為假命題，：，
C．p為真命題，：，
D．p為假命題，：，
【答案】C
【分析】根據(jù)方程與函數(shù)的關(guān)系結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷命題，再由含存在量詞的命題的否定方法求其否定，由此確定正確選項(xiàng).
【詳解】方程可化為，設(shè)，則方程的根就是函數(shù)的零點(diǎn)，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由零點(diǎn)存在性定理知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，故方程在上有解，故p為真命題，根據(jù)存在量詞的命題的否定方法可得命題為，，所以C正確，
故選：C．
6．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第一二二中學(xué)校校考階段練習(xí)）給出如下幾個(gè)結(jié)論:
①命題“”的否定是“”;
②命題“”的否定是“”;
③對(duì)于;
④，使.
其中正確的是（ ）
A．③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題可判斷①，②；利用基本不等式判斷③;結(jié)合三角函數(shù)恒等變換以及性質(zhì)判斷④,可得答案.
【詳解】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，
知①不正確，
命題“”的否定是“或 ”,故②不正確；
因?yàn)椋?br/>當(dāng)且僅當(dāng)即 時(shí)取等號(hào)，③正確；
由，比如時(shí),,
故，使，④正確，
故選：B
題型四 根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍
策略方法
1.在解決求參數(shù)的取值范圍問題上，可以先令兩個(gè)命題都為真命題，如果哪個(gè)是假命題，去求真命題的補(bǔ)級(jí)即可.
2.全稱量詞命題和存在量詞命題的求參數(shù)問題相對(duì)較難，要注重端點(diǎn)出點(diǎn)是否可以取到.
【典例1】已知命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先得出題設(shè)假命題的否命題“，”，則等價(jià)于，，求最小值即可.
【詳解】因?yàn)槊}“，”為假命題，則命題的否定“，”為真命題，所以，．
易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，所以．所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
故選：D．
【典例2】已知命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可知該命題的否定是真命題，再根據(jù)一元二次不等式恒成立即可求解.
【詳解】由題意可知，命題“”是假命題
則該命題的否定“”是真命題，
所以，解得；
故選：D.
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022秋·江西宜春·高三校考開學(xué)考試）已知命題，若命題是假命題，則的取值范圍為（ ）
A．1≤a≤3 B．-1【答案】C
【分析】先寫出命題的否定，然后結(jié)合一元二次不等式恒成立列不等式，從而求得的取值范圍.
【詳解】命題是假命題，
命題的否定是：，且為真命題，
所以，
解得.
故選：C
2．（2023·江西九江·統(tǒng)考二模）已知命題：，，若p為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先由為假命題，得出為真命題，即，恒成立，由，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【詳解】因?yàn)槊}：，，
所以：，，
又因?yàn)闉榧倜}，所以為真命題，
即，恒成立，
所以，即，
解得，
故選：D．
3．（2023·陜西安康·統(tǒng)考二模）下列命題正確的是（ ）
A．“，”的否定為假命題
B．若“，”為真命題，則
C．若，，且，則
D．的必要不充分條件是
【答案】C
【分析】A選項(xiàng)，由題可知“，”的否定，后可判斷選項(xiàng)正誤；
B選項(xiàng)，利用全稱命題定義可判斷選項(xiàng)正誤；
C選項(xiàng)，由基本不等式可判斷選項(xiàng)正誤；
D選項(xiàng)，由充分條件，必要條件定義可判斷選項(xiàng)正誤.
【詳解】對(duì)于A：，∴恒成立，則，為假命題，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，不恒成立，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：∵，∴，∴，解得，故C正確；
對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，得不到，但當(dāng)時(shí)，必有，所以是的充分不必要條件，故D錯(cuò)誤．
故選：C
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列命題中是真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）
（2）
（3）若為真命題，則
（4）為真命題，則
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】對(duì)（1）（2），由二次函數(shù)圖象即可判斷；
對(duì)（3），對(duì)稱軸為，圖象開口向上，命題為真等價(jià)于，求解即可；
對(duì)（4），，由均值不等式得，故命題為真等價(jià)于
【詳解】對(duì)（1），由得與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故命題（1）為假命題；
對(duì)（2），圖象開口向上，故命題（2）為真命題；
對(duì)（3），對(duì)稱軸為，圖象開口向上，故為真命題等價(jià)于，故命題（3）為真命題；
對(duì)（4），，∵，故命題（4）為真命題；
故選：C
5．（2021秋·吉林長(zhǎng)春·高三校考期中）若命題“，”是假命題，則（ ）
A．的最小值 B．的最小值
C．的最大值 D．無最大值
【答案】A
【分析】根據(jù)命題的真假，找到真命題的形式，再根據(jù)二次函數(shù)的恒成立問題列式即可求解.
【詳解】因?yàn)椤埃笔羌倜}，
所以“，”是真命題，
所以，
所以，
所以，
故選：A.
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若命題“”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)全稱命題的真假，轉(zhuǎn)化為可求解.
【詳解】命題“”是真命題，
則，
又因?yàn)椋?br/>所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：A.
7．（2023春·安徽亳州·高三校考階段練習(xí)）已知命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題知時(shí)，，再根據(jù)二次函數(shù)求最值即可得答案.
【詳解】解：因?yàn)槊}“，”為真命題，
所以，命題“，”為真命題，
所以，時(shí)，，
因?yàn)椋?br/>所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào).
所以，時(shí)，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是
故選：C
二、填空題
8．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.
【答案】
【分析】分析可知命題“，”為真命題，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，在時(shí)，直接驗(yàn)證即可；當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次不等式恒成立可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由題意可知，命題“，”為真命題.
當(dāng)時(shí)，由可得，不合乎題意；
當(dāng)時(shí)，由題意可得，解得.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
9．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知命題“存在，使等式成立”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.
【答案】
【分析】根據(jù)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由等式得到函數(shù)，求出值域，再取補(bǔ)集即可.
【詳解】由，可得：.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
所以在上的值域?yàn)?
若命題“存在，使等式成立”是真命題，則.
所以命題“存在，使等式成立”是假命題時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是或.
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故答案為：.
10．（2023春·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知命題：，，使得方程成立，命題：，不等式恒成立.若命題為真命題，命題為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.
【答案】
【分析】先求出命題和命題為真時(shí)對(duì)應(yīng)的的取值范圍，即可求出.
【詳解】對(duì)于命題，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
若命題為真，則，即，解得.
對(duì)于命題，當(dāng)時(shí)，，，
若命題為真，則，則，
若命題為真命題，命題為假命題，則，所以，
綜上可得的取值范圍為.
故答案為：.【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）
第02講 常用邏輯用語(yǔ)（精講）
題型目錄一覽
充分、必要條件的判斷
根據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍
全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍
1.充分條件、必要條件、充要條件
（1）定義
如果命題“若，則”為真(記作)，則是的充分條件；同時(shí)是的必要條件.
（2）從邏輯推理關(guān)系上看
①若且，則是的充分不必要條件；
②若且，則是的必要不充分條件；
③若且，則是的的充要條件(也說和等價(jià))；
④若且，則不是的充分條件，也不是的必要條件.
對(duì)充分和必要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義的實(shí)質(zhì)：，則是的充分條件，同時(shí)是的必要條件.所謂“充分”是指只要成立，就成立；所謂“必要”是指要使得成立，必須要成立(即如果不成立，則肯定不成立).
2.全稱量詞與存在童詞
（1）全稱量詞與全稱量詞命題.短語(yǔ)“所有的”、“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“”表示.含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.全稱量詞命題“對(duì)中的任意一個(gè)，有成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“”，讀作“對(duì)任意屬于，有成立”.
（2）存在量詞與存在量詞命題.短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“”表示.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.存在量詞命題“存在中的一個(gè)，使成立”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為“”，讀作“存在中元素，使成立”（存在量詞命題也叫存在性命題）.
3.含有一個(gè)量詞的命題的否定
（1）全稱量詞命題的否定為，.
（2）存在量詞命題的否定為.
注：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見考點(diǎn)之一.
【常用結(jié)論】
1．從集合與集合之間的關(guān)系上看：設(shè).
（1）若，則是的充分條件()，是的必要條件；若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，即且；
注：關(guān)于數(shù)集間的充分必要條件滿足：“小大”.
（2）若，則是的必要條件，是的充分條件；
（3）若，則與互為充要條件.
2.常見的一些詞語(yǔ)和它的否定詞如下表
原詞語(yǔ) 等于 大于 小于 是 都是 任意 （所有） 至多 有一個(gè) 至多 有一個(gè)
否定詞語(yǔ) 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某個(gè) 至少有 兩個(gè) 一個(gè)都 沒有
(1)要判定一個(gè)全稱量詞命題是真命題，必須對(duì)限定集合中的每一個(gè)元素證明其成立，要判斷全稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合中的一個(gè)，使得其不成立即可，這就是通常所說的舉一個(gè)反例.
(2)要判斷一個(gè)存在量詞命題為真命題，只要在限定集合中能找到一個(gè)使之成立即可，否則這個(gè)存在量詞命題就是假命題.
題型一 充分、必要條件的判斷
策略方法 判斷充分、必要條件的幾種方法
【典例1】 已知是無窮等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則“為遞增數(shù)列”是“存在使得”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【典例2】條件，，則的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
A． B． C． D．
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2021春·廣東梅州·高三校考期中）設(shè)均為單位向量，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2023春·湖北·高三安陸第一高中校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則“”是“，，成等比數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（2023·天津?yàn)I海新·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)向量，，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
二、填空題
5．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·高三校考階段練習(xí)）王昌齡《從軍行》中兩句詩(shī)為“黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”，其中后一句中“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”的___________條件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”）
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，；，則p是q的______條件．（在充分不必要 必要不充分、充要、既不充分也不必要中選一個(gè)正確的填入）
7．（2023·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考二模）命題，命題，則是的____________條件.
（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）
8．（2023春·江蘇南京·高三南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校校聯(lián)考階段練習(xí)）“”是“”的_________條件．（請(qǐng)從“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中選擇一個(gè)）
三、解答題
9．（2023秋·河南許昌·高三校考期末）已知集合，．
(1)求A；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，求m的取值范圍．
10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，求證：數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是．
題型二 根據(jù)充分必要條件求參數(shù)的取值范圍
策略方法
1．充分、必要條件的探求方法(與范圍有關(guān))
先求使結(jié)論成立的充要條件，然后根據(jù)“以小推大”的方法確定符合題意的條件．
2．利用充要條件求參數(shù)的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)巧用轉(zhuǎn)化求參數(shù)：把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．
(2)端點(diǎn)取值慎取舍：在求參數(shù)范圍時(shí)，要注意邊界或區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，從而確定取舍．
【典例1】若關(guān)于的不等式 成立的充分條件是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】已知p：“”，q：“”，若p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022秋·河南安陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若“”是“”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（2022秋·山東臨沂·高三統(tǒng)考期中）已知，若是的必要不充分條件，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考二模）已知集合，．若“”是“”的充分不必要條件，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預(yù)測(cè)）使得不等式對(duì)恒成立的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“當(dāng)時(shí)，不等式恒成立”的一個(gè)必要不充分條件為（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·四川南充·四川省南部中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
7．（2021秋·四川南充·高三四川省南充高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知p：，q：，若p是q的必要不充分條件，則a的取值范圍是___________.
8．（2023·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考二模）若“”是“”的充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________．
9．（2022秋·安徽滁州·高三校考階段練習(xí)）已知集合A={x|-10}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為___________.
10．（2022秋·河南駐馬店·高三校考階段練習(xí)）已知p：，q：，（），若p是q的充分非必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．
題型三 全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
策略方法
全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
(1)改量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再對(duì)量詞進(jìn)行改寫．
(2)否結(jié)論：對(duì)原命題的結(jié)論進(jìn)行否定．
【典例1】命題“，使得”的否定形式是（ ）
A．，使得 B．都有
C．，使得 D．，都有
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022秋·遼寧本溪·高三本溪高中校考期中）若命題，則為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）命題，的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2023·四川達(dá)州·統(tǒng)考二模）命題p：，，則為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知命題p：，，，則（ ）
A．p是假命題，p否定是，，
B．p是假命題，p否定是，，
C．p是真命題，p否定是，，
D．p是真命題，p否定是，，
5．（2022秋·陜西咸陽(yáng)·高三武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知命題，．下列說法正確的是（ ）
A．p為真命題，：，
B．p為假命題，：，
C．p為真命題，：，
D．p為假命題，：，
6．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第一二二中學(xué)校校考階段練習(xí)）給出如下幾個(gè)結(jié)論:
①命題“”的否定是“”;
②命題“”的否定是“”;
③對(duì)于;
④，使.
其中正確的是（ ）
A．③ B．③④ C．②③④ D．①②③④
題型四 根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍
策略方法
1.在解決求參數(shù)的取值范圍問題上，可以先令兩個(gè)命題都為真命題，如果哪個(gè)是假命題，去求真命題的補(bǔ)級(jí)即可.
2.全稱量詞命題和存在量詞命題的求參數(shù)問題相對(duì)較難，要注重端點(diǎn)出點(diǎn)是否可以取到.
【典例1】已知命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】已知命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2022秋·江西宜春·高三校考開學(xué)考試）已知命題，若命題是假命題，則的取值范圍為（ ）
A．1≤a≤3 B．-12．（2023·江西九江·統(tǒng)考二模）已知命題：，，若p為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·陜西安康·統(tǒng)考二模）下列命題正確的是（ ）
A．“，”的否定為假命題
B．若“，”為真命題，則
C．若，，且，則
D．的必要不充分條件是
4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列命題中是真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）
（2）
（3）若為真命題，則
（4）為真命題，則
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2021秋·吉林長(zhǎng)春·高三校考期中）若命題“，”是假命題，則（ ）
A．的最小值 B．的最小值
C．的最大值 D．無最大值
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若命題“”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·安徽亳州·高三校考階段練習(xí)）已知命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
8．（2023·吉林·統(tǒng)考二模）命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.
9．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知命題“存在，使等式成立”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______.
10．（2023春·四川內(nèi)江·高三四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考階段練習(xí)）已知命題：，，使得方程成立，命題：，不等式恒成立.若命題為真命題，命題為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.

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