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專題3.5 冪函數-重難點題型精講
1．冪函數的概念
(1)冪函數的概念：一般地，函數y＝xα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數．
(2)冪函數的特征：
①xα的系數為1；
②xα的底數是自變量；
③xα的指數為常數.
只有同時滿足這三個條件，才是冪函數.
2．常見冪函數的圖象與性質
溫馨提示：冪函數在區間(0，＋∞)上，當a>0時，y＝xα是增函數；當α<0時，y＝xα是減函數．
3．一般冪函數的圖象與性質
(1)一般冪函數的圖象：
①當α=1時，y=x的圖象是一條直線.
②當α=0時，y==1(x≠0)的圖象是一條不包括點(0,1)的直線.
③當α為其他值時，相應冪函數的圖象如下表：
(2)一般冪函數的性質：
通過分析冪函數的圖象特征，可以得到冪函數的以下性質：
①所有的冪函數在(0,+)上都有定義，并且圖象都過點(1,1).
②α>0時，冪函數的圖象過原點，并且在區間[0,+)上是增函數.
③α<0時，冪函數在區間(0,+)上是減函數.在第一象限內，當x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當x趨于+時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸.
④任何冪函數的圖象與坐標軸僅相交于原點，或不相交，任何冪函數的圖象都不過第四象限.
⑤任何兩個冪函數的圖象最多有三個公共點.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一點都不是兩個冪函數的公共點.
4．對勾函數的圖象與性質
參考冪函數的性質，探究函數的性質.
(1)圖象如圖：與直線y=x，y軸無限接近.
(2)函數的定義域為；
(3)函數的值域為(-,-2]∪[2,+).
(4)奇偶性：，函數為奇函數.
(5)單調性：由函數的圖象可知，函數在(-,-1)，(1,+)上單調遞增，在
(-1,0)，(0,1)上單調遞減.
【題型1 冪函數的概念、解析式】
【方法點撥】
(1)判斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否為y＝xα(α為常數)的形式，即函數的解析式為一個冪的形式，且需滿足：①指數為常數；②底數為自變量；③系數為1.
(2)對于冪函數過已知的某一點，求冪函數解析式問題：先設出冪函數的解析式y＝xα(α為常數)，再將已知點代入解析式，求出α，即可得出解析式.
【例1】（2022春 楊陵區校級期末）現有下列函數：①y＝x3；②；③y＝4x2；④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2；⑥y＝x；⑦y＝ax（a＞1），其中冪函數的個數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式1-1】（2021秋 陽春市校級月考）已知冪函數y＝f（x）的圖象過點，則f（4）的值為（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．4
【變式1-2】（2022春 榆林期末）下列函數是冪函數的是（　　）
A．y＝2x B．y＝x2﹣1 C．y＝x3 D．y＝2x
【變式1-3】（2022春 廣陵區校級月考）若冪函數f（x）＝xa的圖象經過點，則函數f（x）的解析式是（　　）
A． B． C． D．
【題型2 冪函數的定義域、值域】
【方法點撥】
根據冪函數的解析式，可以將分數指數冪化成根式形式，依據根式有意義求定義域，再根據定義域來求冪函數的值域.
【例2】（2021秋 房山區期末）下列函數中，值域是R的冪函數是（　　）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2021秋 呂梁期末）已知冪函數f（x）的圖象過點，則f（x）的定義域為（　　）
A．R B．（0，+∞）
C．[0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）
【變式2-2】（2021秋 廣南縣校級期中）已知冪函數f（x）＝xα的圖象過點，則函數f（x）的值域為（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，+∞）
【變式2-3】（2021秋 天山區校級期中）若冪函數的定義域為{x∈R|x≠0}，則m的取值是（　　）
A．﹣1≤m≤3 B．m＝﹣1或m＝3 C．m＝﹣1 D．m＝3
【題型3 冪函數的圖象】
【方法點撥】
根據一般冪函數的圖象特征，對所給的冪函數解析式或圖象進行分析，即可得解；
溫馨提示：①若冪函數的圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點.
②無論為何實數，冪函數的圖象最多只能出現在兩個象限內，且一定經過第一象限，一定不經過第四
象限.
【例3】（2021秋 成都校級期中）冪函數y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關系是 （　　）
A．a＞b＞c＞d B．d＞b＞c＞a C．d＞c＞b＞a D．b＞c＞d＞a
【變式3-1】（2021秋 涼山州期末）如圖，①②③④對應四個冪函數的圖像，其中①對應的冪函數是（　　）
A．y＝x3 B．y＝x2 C．y＝x D．
【變式3-2】（2021秋 湖北期末）冪函數y＝f（x）的圖象過點（4，2），則冪函數y＝f（x）的圖象是（　　）
A． B．
C． D．
【變式3-3】（2021秋 徐匯區校級期中）如圖是冪函數y＝xα的部分圖像，已知α分別取、3、﹣3、這四個值，則與曲線C1、C2、C3、C4相應的α依次為（　　）
A．3，，，﹣3 B．﹣3，，，3
C．，3，﹣3， D．3，，﹣3，
【題型4 比較冪值的大小】
【方法點撥】
(1)直接法：當冪指數相同時，可直接利用冪函數的單調性來比較.
(2)轉化法：當冪指數不同時，可以先轉化為相同冪指數，再運用單調性比較大小.
(3)中間量法：當底數不同且冪指數也不同時，不能運用單調性比較大小，可選取適當的中間值，從而達到比較大小的目的.
【例4】（2021秋 岳陽期中）設，則a，b，c的大小順序是（　　）
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【變式4-1】（2021秋 武昌區校級期末）已知冪函數y＝xa的圖象過點，則下列兩函數的大小關系為：（x2﹣2x+4）a（　　）（﹣3）a
A．≤ B．≥ C．＜ D．＞
【變式4-2】（2021 湖北開學）若，則a，b，c，d的大小關系是（　　）
A．a＞b＞c＞d B．b＞a＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．a＞b＞d＞c
【變式4-3】（2021秋 香坊區校級期中）三個數a＝0.32，b＝1.90.3，c＝20.3之間的大小關系是（　　）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【題型5 利用冪函數的性質求參數】
【方法點撥】
①根據所給函數解析式是冪函數，可列式求出參數的值；
②結合冪函數的單調性或奇偶性，進行分析，得出滿足條件的參數值.
【例5】（2021秋 張掖期末）已知冪函數f（x）＝（m2﹣4m﹣4） xm在（0，+∞）上單調遞減，則m＝（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1
【變式5-1】（2022春 延吉市校級期末）若函數為冪函數，且在（0，+∞）單調遞減，則實數m的值為（　　）
A．0 B．1或2 C．1 D．2
【變式5-2】（2021秋 凌河區校級期末）已知冪函數f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x在（0，+∞）上是減函數，則f（m）的值為（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【變式5-3】（2021秋 廣陵區校級月考）冪函數f（x）＝（m2﹣2m+1）x2m﹣1在（0，+∞）上為增函數，則實數m的值為（　　）
A．﹣2 B．0或2 C．0 D．2
【題型6 利用冪函數的性質解不等式】
【方法點撥】
利用冪函數解不等式，實質是已知兩個函數值的大小，判斷自變量或冪指數的大小，常與冪函數的單調性、
奇偶性等綜合命題.求解步驟如下:
(1)確定可以利用的冪函數；
(2)借助相應的冪函數的單調性、奇偶性，將不等式的大小關系轉化為自變量或冪指數的大小關系；
(3)解不等式(組)求參數范圍，注意分類討論思想的應用.
【例6】（2021秋 安徽期中）已知冪函數f（x）的圖象經過點（，9），且f（a+1）＜f（2），則a的取值范圍為（　　）
A．（﹣∞，1） B．（1，+∞）
C．（﹣3，1） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
【變式6-1】（2021秋 迎江區校級期中）已知f（x）＝（m2﹣2m﹣7）xm﹣2是冪函數，且在（0，+∞）上單調遞增，則滿足f（a﹣1）＞1的實數a的范圍為（　　）
A．（﹣∞，0） B．（2，+∞）
C．（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
【變式6-2】（2021秋 江蘇月考）已知冪函數f（x）＝xα（α∈R）的圖象經過點，且f（a+1）＜f（3），則a的取值范圍為（　　）
A．（﹣∞，2） B．（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞） D．（﹣4，2）
【變式6-3】（2021秋 雁塔區校級期中）已知f（x）是冪函數，且在（0，+∞）上單調遞增，則滿足f（a﹣1）＞1的實數a的范圍為（　　）
A．（﹣∞，0） B．（2，+∞）
C．（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）專題3.5 冪函數-重難點題型精講
1．冪函數的概念
(1)冪函數的概念：一般地，函數y＝xα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數．
(2)冪函數的特征：
①xα的系數為1；
②xα的底數是自變量；
③xα的指數為常數.
只有同時滿足這三個條件，才是冪函數.
2．常見冪函數的圖象與性質
溫馨提示：冪函數在區間(0，＋∞)上，當a>0時，y＝xα是增函數；當α<0時，y＝xα是減函數．
3．一般冪函數的圖象與性質
(1)一般冪函數的圖象：
①當α=1時，y=x的圖象是一條直線.
②當α=0時，y==1(x≠0)的圖象是一條不包括點(0,1)的直線.
③當α為其他值時，相應冪函數的圖象如下表：
(2)一般冪函數的性質：
通過分析冪函數的圖象特征，可以得到冪函數的以下性質：
①所有的冪函數在(0,+)上都有定義，并且圖象都過點(1,1).
②α>0時，冪函數的圖象過原點，并且在區間[0,+)上是增函數.
③α<0時，冪函數在區間(0,+)上是減函數.在第一象限內，當x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當x趨于+時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸.
④任何冪函數的圖象與坐標軸僅相交于原點，或不相交，任何冪函數的圖象都不過第四象限.
⑤任何兩個冪函數的圖象最多有三個公共點.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一點都不是兩個冪函數的公共點.
4．對勾函數的圖象與性質
參考冪函數的性質，探究函數的性質.
(1)圖象如圖：與直線y=x，y軸無限接近.
(2)函數的定義域為；
(3)函數的值域為(-,-2]∪[2,+).
(4)奇偶性：，函數為奇函數.
(5)單調性：由函數的圖象可知，函數在(-,-1)，(1,+)上單調遞增，在
(-1,0)，(0,1)上單調遞減.
【題型1 冪函數的概念、解析式】
【方法點撥】
(1)判斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否為y＝xα(α為常數)的形式，即函數的解析式為一個冪的形式，且需滿足：①指數為常數；②底數為自變量；③系數為1.
(2)對于冪函數過已知的某一點，求冪函數解析式問題：先設出冪函數的解析式y＝xα(α為常數)，再將已知點代入解析式，求出α，即可得出解析式.
【例1】（2022春 楊陵區校級期末）現有下列函數：①y＝x3；②；③y＝4x2；④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2；⑥y＝x；⑦y＝ax（a＞1），其中冪函數的個數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解題思路】由題意，利用冪函數的定義，得出結論．
【解答過程】解：∵形如y＝xα（α為常數）的函數叫做冪函數，
∴①y＝x3、⑥y＝x是冪函數，故①⑥滿足條件；
而②、⑦y＝ax（a＞1）是指數函數，故②⑦不滿足條件；
顯然，③y＝4x2、④y＝x5+1；⑤y＝（x﹣1）2不是冪函數，故③④⑤不滿足條件；
故其中冪函數的個數為2，
故選：B．
【變式1-1】（2021秋 陽春市校級月考）已知冪函數y＝f（x）的圖象過點，則f（4）的值為（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．4
【解題思路】設冪函數的解析式為f（x）＝xα，代入點可求α的值，從而可求f（4）的值．
【解答過程】解：設冪函數的解析式為f（x）＝xα，
因為冪函數y＝f（x）的圖象過點，所以3α，解得α．
所以f（x），f（4）2．
故選：C．
【變式1-2】（2022春 榆林期末）下列函數是冪函數的是（　　）
A．y＝2x B．y＝x2﹣1 C．y＝x3 D．y＝2x
【解題思路】由題意，利用冪函數的定義，得出結論．
【解答過程】解：根據形如y＝xα （α為常數）的函數為冪函數，
由選項可知，C符合．
故選：C．
【變式1-3】（2022春 廣陵區校級月考）若冪函數f（x）＝xa的圖象經過點，則函數f（x）的解析式是（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意，利用冪函數的定義和性質，用待定系數法求出它的解析式．
【解答過程】解：∵冪函數f（x）＝xa的圖象經過點，
∴2a，解得，∴，
故選：A．
【題型2 冪函數的定義域、值域】
【方法點撥】
根據冪函數的解析式，可以將分數指數冪化成根式形式，依據根式有意義求定義域，再根據定義域來求冪函數的值域.
【例2】（2021秋 房山區期末）下列函數中，值域是R的冪函數是（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意，利用冪函數、指數函數的單調性和值域，得出結論．
【解答過程】解：在R上，函數y的值域為R，故A滿足條件；
由于函數y的值域為（0，+∞），故B不滿足條件；
由于函數y 的值域為[0，+∞），故B不滿足條件；
由于函數y的值域為（0，+∞），故D不滿足條件；
故選：A．
【變式2-1】（2021秋 呂梁期末）已知冪函數f（x）的圖象過點，則f（x）的定義域為（　　）
A．R B．（0，+∞）
C．[0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）
【解題思路】先利用待定系數法求出函數f（x）的解析式，從而得到f（x）的定義域．
【解答過程】解：設f（x）＝xα，
因為f（x）的圖象過點，
所以，解得，
則，
所以f（x）的定義域為[0，+∞），
故選：C．
【變式2-2】（2021秋 廣南縣校級期中）已知冪函數f（x）＝xα的圖象過點，則函數f（x）的值域為（　　）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，+∞）
【解題思路】根據冪函數的圖象過點（2，），代入冪函數的解析式求得即可．
【解答過程】解：∵2α2﹣1，
解得α＝﹣1，
∴f（x），
故函數的值域是：（﹣∞，0）∪（0，+∞），
故選：C．
【變式2-3】（2021秋 天山區校級期中）若冪函數的定義域為{x∈R|x≠0}，則m的取值是（　　）
A．﹣1≤m≤3 B．m＝﹣1或m＝3 C．m＝﹣1 D．m＝3
【解題思路】根據函數y是冪函數得出m2﹣2m﹣2＝1，求出m的值再驗證是否滿足定義域為{x∈R|x≠0}即可．
【解答過程】解：函數是冪函數，
則m2﹣2m﹣2＝1，
即m2﹣2m﹣3＝0，
解得m＝3或m＝﹣1；
當m＝3時，﹣m2+m+3＝﹣3，冪函數y＝x﹣3的定義域為{x∈R|x≠0}，滿足題意；
當m＝﹣1時，﹣m2+m+3＝1，冪函數y＝x的定義域為R，不滿足題意；
所以m的值是3．
故選：D．
【題型3 冪函數的圖象】
【方法點撥】
根據一般冪函數的圖象特征，對所給的冪函數解析式或圖象進行分析，即可得解；
溫馨提示：①若冪函數的圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點.
②無論為何實數，冪函數的圖象最多只能出現在兩個象限內，且一定經過第一象限，一定不經過第四
象限.
【例3】（2021秋 成都校級期中）冪函數y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關系是 （　　）
A．a＞b＞c＞d B．d＞b＞c＞a C．d＞c＞b＞a D．b＞c＞d＞a
【解題思路】根據冪函數的性質結合函數的圖象判斷即可．
【解答過程】解：由圖象得：b＞c＞d＞a，
故選：D．
【變式3-1】（2021秋 涼山州期末）如圖，①②③④對應四個冪函數的圖像，其中①對應的冪函數是（　　）
A．y＝x3 B．y＝x2 C．y＝x D．
【解題思路】由題意，根據①對應的冪函數圖象是上凸型的，故有冪指數α∈（0，1），從而得出結論．
【解答過程】解：由于①對應的冪函數圖象是上凸型的，故有冪指數α∈（0，1），
故選：D．
【變式3-2】（2021秋 湖北期末）冪函數y＝f（x）的圖象過點（4，2），則冪函數y＝f（x）的圖象是（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】設出函數的解析式，根據冪函數y＝f（x）的圖象過點（4，2），構造方程求出指數的值，再結合函數的解析式研究其性質即可得到圖象．
【解答過程】解：設冪函數的解析式為y＝xa，
∵冪函數y＝f（x）的圖象過點（4，2），
∴2＝4a，
解得a，
∴，其定義域為[0，+∞），且是增函數，
當0＜x＜1時，其圖象在直線y＝x的上方．對照選項．
故選：C．
【變式3-3】（2021秋 徐匯區校級期中）如圖是冪函數y＝xα的部分圖像，已知α分別取、3、﹣3、這四個值，則與曲線C1、C2、C3、C4相應的α依次為（　　）
A．3，，，﹣3 B．﹣3，，，3
C．，3，﹣3， D．3，，﹣3，
【解題思路】根據冪函數的圖象與性質：圖象越靠近x軸的指數越小，即可判斷出．
【解答過程】解：根據冪函數的圖象與性質，當x＞1時，圖象越靠近x軸的指數越小，
因此相應于曲線C1、C2、C3、C4相應的α依次為3，，，﹣3．
故選：A．
【題型4 比較冪值的大小】
【方法點撥】
(1)直接法：當冪指數相同時，可直接利用冪函數的單調性來比較.
(2)轉化法：當冪指數不同時，可以先轉化為相同冪指數，再運用單調性比較大小.
(3)中間量法：當底數不同且冪指數也不同時，不能運用單調性比較大小，可選取適當的中間值，從而達到比較大小的目的.
【例4】（2021秋 岳陽期中）設，則a，b，c的大小順序是（　　）
A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a
【解題思路】先判斷b＞1，再化a、c，利用冪函數的性質判斷a、c的大小．
【解答過程】解：a1，
b1，
c1；
且01，函數y在（0，+∞）上是單調增函數，
所以，
所以c＜a；
綜上知，c＜a＜b．
故選：A．
【變式4-1】（2021秋 武昌區校級期末）已知冪函數y＝xa的圖象過點，則下列兩函數的大小關系為：（x2﹣2x+4）a（　　）（﹣3）a
A．≤ B．≥ C．＜ D．＞
【解題思路】冪函數y＝xa的圖象過點，解得a＝﹣2，從而（x2﹣2x+4）a﹣（﹣3）a＝[（x﹣1）2+3]﹣20．由此能求出結果．
【解答過程】解：冪函數y＝xa的圖象過點，
∴3a，解得a＝﹣2，
∴（x2﹣2x+4）a﹣（﹣3）a＝[（x﹣1）2+3]﹣20．
∴（x2﹣2x+4）a≤（﹣3）a．
故選：A．
【變式4-2】（2021 湖北開學）若，則a，b，c，d的大小關系是（　　）
A．a＞b＞c＞d B．b＞a＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．a＞b＞d＞c
【解題思路】由題意根據冪函數的單調性，得出結論．
【解答過程】解：∵，函數y是（0，+∞）上的增函數，
3＞2，∴b＞a＞c＞d，
故選：C．
【變式4-3】（2021秋 香坊區校級期中）三個數a＝0.32，b＝1.90.3，c＝20.3之間的大小關系是（　　）
A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【解題思路】利用冪函數和指數函數的單調性即可求解．
【解答過程】解：∵冪函數y＝x0.3在（0，+∞）上為增函數，
∴20.3＞1.90.3＞1.90，即c＞b＞1，
∵a＝0.32＜0.30＝1，
∴c＞b＞a，
故選：B．
【題型5 利用冪函數的性質求參數】
【方法點撥】
①根據所給函數解析式是冪函數，可列式求出參數的值；
②結合冪函數的單調性或奇偶性，進行分析，得出滿足條件的參數值.
【例5】（2021秋 張掖期末）已知冪函數f（x）＝（m2﹣4m﹣4） xm在（0，+∞）上單調遞減，則m＝（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1
【解題思路】由題意利用冪函數的定義和性質，求得m的值．
【解答過程】解：∵冪函數f（x）＝（m2﹣4m﹣4） xm在（0，+∞）上單調遞減，∴m2﹣4m﹣4＝1，且m＜0，
求得m＝﹣1，
故選：C．
【變式5-1】（2022春 延吉市校級期末）若函數為冪函數，且在（0，+∞）單調遞減，則實數m的值為（　　）
A．0 B．1或2 C．1 D．2
【解題思路】利用冪函數的定義和性質列方程組，能求出m．
【解答過程】解：∵函數為冪函數，且在（0，+∞）單調遞減，
∴，
解得m＝1．
故選：C．
【變式5-2】（2021秋 凌河區校級期末）已知冪函數f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x在（0，+∞）上是減函數，則f（m）的值為（　　）
A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1
【解題思路】由題意利用冪函數的定義和性質可得m2﹣2m﹣2＝1，且m2+m﹣2＜0，由此求得m的值，可得f（x）的解析式，從而求得f（m）的值．
【解答過程】解：∵冪函數f（x）＝（m2﹣2m﹣2）x 在（0，+∞）上是減函數，則m2﹣2m﹣2＝1，且m2+m﹣2＜0，
求得m＝﹣1，故f（x）＝x﹣2，故f（m）＝f（﹣1）1，
故選：C．
【變式5-3】（2021秋 廣陵區校級月考）冪函數f（x）＝（m2﹣2m+1）x2m﹣1在（0，+∞）上為增函數，則實數m的值為（　　）
A．﹣2 B．0或2 C．0 D．2
【解題思路】根據冪函數的定義和性質求解．
【解答過程】解：由題意可知m2﹣2m+1＝1，解得m＝0或2，
又∵冪函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，
∴2m﹣1＞0，∴m＝2，
故選：D．
【題型6 利用冪函數的性質解不等式】
【方法點撥】
利用冪函數解不等式，實質是已知兩個函數值的大小，判斷自變量或冪指數的大小，常與冪函數的單調性、
奇偶性等綜合命題.求解步驟如下:
(1)確定可以利用的冪函數；
(2)借助相應的冪函數的單調性、奇偶性，將不等式的大小關系轉化為自變量或冪指數的大小關系；
(3)解不等式(組)求參數范圍，注意分類討論思想的應用.
【例6】（2021秋 安徽期中）已知冪函數f（x）的圖象經過點（，9），且f（a+1）＜f（2），則a的取值范圍為（　　）
A．（﹣∞，1） B．（1，+∞）
C．（﹣3，1） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
【解題思路】由條件先求出f（x）的解析式，顯然f（x）為偶函數，所以有f（a+1）＝f（|a+1|），從而不等式轉化為f（|a+1|）＜f（2），借助f（x）在（0，+∞）的單調性可得a的取值范圍．
【解答過程】解：設f（x）＝xα，
因為圖象過（，9），
所以（）α＝9，
所以α＝﹣2，
故f（x），
因為f（x）為偶函數，
所以f（a+1）＝f（|a+1|），
所以由f（a+1）＜f（2），
得f（|a+1|）＜f（2），
當x≥0時，f（x）為減函數，
所以|a+1|＞2，
解得a＜﹣3或a＞1，
即a的取值范圍是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），
故選：D．
【變式6-1】（2021秋 迎江區校級期中）已知f（x）＝（m2﹣2m﹣7）xm﹣2是冪函數，且在（0，+∞）上單調遞增，則滿足f（a﹣1）＞1的實數a的范圍為（　　）
A．（﹣∞，0） B．（2，+∞）
C．（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
【解題思路】先由冪函數的定義和性質求出m的值，得到函數f（x）的解析式，再解不等式即可．
【解答過程】解：由冪函數的定義可知m2﹣2m﹣7＝1，
解得m＝﹣2或4，
又∵函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，
∴m﹣2＞0，
∴m＝4，
∴f（x）＝x2，
由f（a﹣1）＞1可得（a﹣1）2＞1，
∴a﹣1＜﹣1或a﹣1＞1，
∴a＜0或a＞2，
即實數a的范圍為（﹣∞，0）∪（2，+∞），
故選：D．
【變式6-2】（2021秋 江蘇月考）已知冪函數f（x）＝xα（α∈R）的圖象經過點，且f（a+1）＜f（3），則a的取值范圍為（　　）
A．（﹣∞，2） B．（2，+∞）
C．（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞） D．（﹣4，2）
【解題思路】根據已知條件可求出α的值，得到函數f（x）的解析式，再利用函數f（x）的奇偶性和單調性求解．
【解答過程】解：∵冪函數f（x）＝xα（α∈R）的圖象經過點，
∴4，∴α＝﹣2，
∴f（x）＝x﹣2，
∴函數f（x）是偶函數，在（0，+∞）上單調遞減，在（﹣∞，0）上單調遞增，
∵f（a+1）＜f（3），
∴|a+1|＞3，
解得：a＜﹣4或a＞2，
即a的取值范圍為（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞）．
故選：C．
【變式6-3】（2021秋 雁塔區校級期中）已知f（x）是冪函數，且在（0，+∞）上單調遞增，則滿足f（a﹣1）＞1的實數a的范圍為（　　）
A．（﹣∞，0） B．（2，+∞）
C．（0，2） D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）
【解題思路】由冪函數的定義先求出m的值，得到函數f（x）的解析式，進而得到函數f（x）的單調性和奇偶性，根據函數的單調性和奇偶性求出滿足f（a﹣1）＞1的實數a的范圍即可．
【解答過程】解：∵f（x）是冪函數，且在（0，+∞）上單調遞增，
∴，
解得m＝4，
∴f（x），定義域為R，且是偶函數，
∵f（x）在（0，+∞）上單調遞增，∴f（x）在（﹣∞，0）上單調遞減，
又∵f（﹣1）＝f（1）＝1，f（0）＝0，
∴由f（a﹣1）＞1可得：a﹣1＜﹣1或a﹣1＞1，
解得a＜0或a＞2，
∴實數a的范圍為（﹣∞，0）∪（2，+∞），
故選：D．

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