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專題3.3 函數的基本性質-重難點題型精講
1．函數的單調性
(1)單調遞增、單調遞減：
(2)函數的單調性及單調區間：
①當函數f(x)在它的定義域上單調遞增(減)時,我們就稱它是增(減)函數.
②如果函數y=f(x)在區間D上單調遞增或單調遞減,那么就說函數y=f(x)在這一區間具有(嚴格的)單
調性,區間D叫做y=f(x)的單調區間.
(3)常見函數的單調性：
(4)單調函數的運算性質：
若函數f(x)，g(x)在區間D上具有單調性，則在區間D上具有以下性質：
①f(x)與f(x)+C(C為常數)具有相同的單調性.
②若a為常數，則當a>0時，f(x)與a f(x)具有相同的單調性；當a<0時，f(x)與a f(x)具有相反的
單調性.
③若f(x)恒為正值或恒為負值，a為常數，則當a>0時，f(x)與具有相反的單調性；當a<0時，
f(x)與具有相同的單調性.
④若f(x)≥0，則f(x)與具有相同的單調性.
⑤在f(x)，g(x)的公共單調區間上，有如下結論：
⑥當f(x)，g(x)在區間D上都是單調遞增(減)的，若兩者都恒大于零，則f(x) g(x)在區間D上也是單調遞增(減)的；若兩者都恒小于零，則f(x) g(x)在區間D上單調遞減(增).
(5)復合函數的單調性判定：
對于復合函數f(g(x))，設t=g(x)在(a,b)上單調，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也單調.
2．函數的最大（小）值
(1)函數的最大（小）值：
(2)利用函數單調性求最值的常用結論：
①如果函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞增，在區間[b,c]上單調遞減，那么函數y=f(x),x[a,c]在x=b處有最大值f(b)，如圖(1)所示；
②如果函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞減，在區間[b,c]上單調遞增，那么函數y=f(x), x[a,c]在x=b處有最小值f(b)，如圖(2)所示.
3．函數的奇偶性
(1)定義：
(2)奇偶函數的圖象特征（幾何意義）
①奇函數的圖象特征：若一個函數是奇函數，則這個函數的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，若一個函數的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數是奇函數.
②偶函數的圖象特征：若一個函數是偶函數，則這個函數的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，若一個函數的圖象關于y軸對稱，則這個函數是偶函數.
③奇偶函數的結論：奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性，偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數；奇函數在關于原點對稱的區間上的最值互為相反數，取最值時的自變量也互為相反數.
(3)函數圖象的對稱性：
①圖象關于點成中心對稱圖形：函數y=f(x)的圖象關于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數g(x)=f(x+a)-b為奇函數.
②圖象關于直線成軸對稱圖形：函數y=f(x)的圖象關于直線x=a成軸對稱圖形的充要條件是函數g(x)=f(x+a)為偶函數.
【題型1 函數單調性的判斷及單調區間的求解】
【方法點撥】
(1)定義法：利用函數單調性的定義討論函數的單調性或求單調區間.
(2)圖象法：根據函數解析式畫出函數圖象，通過函數圖象研究單調性.
注：①復合函數單調性的判斷方法：根據復合函數的單調性滿足“同增異減”，可判斷復合函數的單調性；
②抽象函數單調性的判斷方法：一種是“湊”，湊定義或湊已知，從而使用定義或已知條件得出結論；另一種是“賦值”，給變量賦值要根據條件與結論的關系，有時可能要進行多次嘗試.
【例1】（2021秋 邗江區期中）下列函數中，在（﹣∞，0）上為減函數的是（　　）
A． B．y＝2x+1 C．y＝x2 D．y＝x0
【解題思路】根據題意，依次分析選項中函數的單調性，綜合可得答案．
【解答過程】解：根據題意，依次分析選項：
對于A，y，為反比例函數，在（﹣∞，0）上為增函數，不符合題意；
對于B，y＝2x+1，為一次函數，在（﹣∞，0）上為增函數，不符合題意；
對于C，y＝x2，為二次函數，在（﹣∞，0）上為減函數，符合題意；
對于D，y＝x0＝1，（x≠0），在（﹣∞，0）上不是減函數，不符合題意；
故選：C．
【變式1-1】（2022春 天津期末）下列函數中，在（0，+∞）上為增函數的是（　　）
A．f（x）＝3﹣x B．f（x）＝x2﹣3x C． D．f（x）＝﹣|x|
【解題思路】根據題意，依次分析選項中函數的單調性，綜合即可得答案．
【解答過程】解：根據題意，依次分析選項：
對于A，f（x）＝3﹣x為一次函數，在（0，+∞）上為減函數，不符合題意；
對于B，f（x）＝x2﹣3x為二次函數，在（0，）上為減函數，不符合題意；
對于C，f（x）為反比例函數，在（0，+∞）上為增函數，符合題意；
對于D，f（x）＝﹣|x|，當x＞0時，f（x）＝﹣x，則函數f（x）在（0，+∞）上為減函數，不符合題意；
故選：C．
【變式1-2】（2020秋 福田區校級期末）函數的單調遞減區間為（　　）
A． B． C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣3]
【解題思路】確定函數的定義域，考慮內外函數的單調性，運用復合函數的單調性：同增異減，即可得到結論．
【解答過程】解：由題意，x2+3x≥0，可得x≥0或x≤﹣3，
函數的定義域為（﹣∞，﹣3]∪[0，+∞），
令t＝x2+3x，則y在[0，+∞）上單調遞增，
∵t＝x2+3x，在（﹣∞，﹣3]上單調遞減，在[0，+∞）上單調遞增，
∴函數的單調遞減區間為（﹣∞，﹣3]，
故選：D．
【變式1-3】（2021 白山開學）函數的單調增區間為（　　）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0），（0，+∞）
【解題思路】先分離常數，再結合復合函數的單調性求解即可．
【解答過程】解：∵函數1，定義域為{x|x≠0}，
且y的單調遞減區間為（﹣∞，0），（0，+∞），
故函數的單調增區間為（﹣∞，0），（0，+∞），
故選：D．
【題型2 利用函數的單調性求參數】
【方法點撥】
(1)已知函數的單調性求參數的取值范圍的方法是視參數為已知數，依據函數的圖象或單調性的定義，確定函數的單調區間，與已知單調區間比較求參數.
(2)借助常見函數(如一次函數、反比例函數、二次函數等)的單調性求解.
需注意，若一個函數在區間[a,b]上是單調的，則該函數在此區間的任意子集上也是單調的.
【例2】（2021 河北區學業考試）已知函數f（x）＝x2﹣kx﹣8在區間[5，20]上具有單調性，則實數k的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，10]∪[40，+∞） B．（﹣∞，﹣40]∪[﹣10，+∞）
C．[10，+∞） D．[40，+∞）
【解題思路】根據題意，求出二次函數f（x）＝x2﹣kx﹣8的對稱軸，結合函數單調性的定義可得5或20，再求出k的取值范圍即可．
【解答過程】解：根據題意，函數f（x）＝x2﹣kx﹣8為二次函數，其開口向上，對稱軸為x，
若函數f（x）＝x2﹣kx﹣8在區間[5，20]上具有單調性，
則5或20，解得k≤10或k≥40，
所以實數k的取值范圍是（﹣∞，10]∪[40，+∞）；
故選：A．
【變式2-1】（2021秋 懷仁市校級月考）若函數y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上單調遞增，則實數m的取值范圍是（　　）
A．[﹣2，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]
【解題思路】根據題意，求出二次函數的對稱軸，結合二次函數的性質可得﹣m≤2，解可得m的取值范圍，即可得答案．
【解答過程】解：根據題意，函數y＝x2+2mx+1為開口向上的拋物線，對稱軸為x＝﹣m，
函數y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上單調遞增，
則﹣m≤2，解得m≥﹣2，即m的取值范圍為[﹣2，+∞）；
故選：A．
【變式2-2】（2021秋 河北期中）若函數f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|在區間[﹣3，0]上不是單調函數，則實數a的取值范圍是（　　）
A．（﹣3，0）∪（0，9） B．（﹣9，0）∪（0，3）
C．（﹣9，3） D．（﹣3，9）
【解題思路】化簡f（x）的解析式，利用二次函數的性質得出f（x）的單調性，從而得出單調區間端點與區間[0，3]的關系，從而得出a的范圍．
【解答過程】解：f（x）．
（1）若a＝0，當x＜0時，f（x）＝x2在[﹣3，0]上單調遞減，不符合題意；
（2）若a＞0，在f（x）在（﹣∞，﹣a）上單調遞減，在（﹣a，+∞）上單調遞增，
若f（x）在[﹣3，0]上不是單調函數，則﹣3＜﹣a＜0，即0＜a＜3；
（3）若a＜0，則f（x）在（﹣∞，a）上單調遞減，在（a，）上單調遞減，在（，+∞）上單調遞增，
若f（x）在[﹣3，0]上不是單調函數，則﹣3，即﹣9＜a＜0．
綜上，a的取值范圍是（﹣9，0）∪（0，3）．
故選：B．
【變式2-3】（2022 湖南模擬）定義在R的函數f（x）＝﹣x3+m與函數g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的單調性，則k的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．[2，+∞）
C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
【解題思路】根據題意，分析易得f（x）在R上為減函數，求出g（x）的解析式，分析可得g（x）在[﹣1，1]上為減函數，結合二次函數的性質分析可得答案．
【解答過程】解：根據題意，函數f（x）＝﹣x3+m，其定義域為R，則R上f（x）為減函數，
g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx＝x2﹣kx+m在[﹣1，1]上為減函數，
必有x1，解可得k≥2，
即k的取值范圍為[2，+∞）；
故選：B．
【題型3 利用函數的單調性比較大小、解不等式】
【方法點撥】
(1)利用函數的單調性可以比較函數值或自變量的大小.在解決比較函數值的問題時，要注意將對應的自變量的值轉化到同一個單調區間上.
(2)解關于的不等式時，可利用函數的單調性脫去“f”，轉化不等式，進行求解即可.
【例3】（2021秋 福田區校級期末）已知函數f（x）是定義在[2，+∞）的單調遞增函數，若f（2a2﹣5a+4）＜f（a2+a+4），則實數a的取值范圍是（　　）
A． B．[2，6）
C． D．（0，6）
【解題思路】由函數的定義域和單調性可得2≤2a2﹣5a+4＜a2+a+4，再求出a的取值范圍．
【解答過程】解：函數f（x）是定義在[2，+∞）的單調遞增函數，
若f（2a2﹣5a+4）＜f（a2+a+4），則2≤2a2﹣5a+4＜a2+a+4，
解得0＜a或2≤a＜6，
所以實數a的取值范圍為（0，]∪[2，6），
故選：C．
【變式3-1】（2020秋 瀘縣校級月考）已知定義在[0，+∞）上的單調減函數f（x），若f（2a﹣1）＞f（），則a的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意，由函數的定義域和單調性，分析可得0≤2a﹣1，解可得a的取值范圍，即可得答案．
【解答過程】解：根據題意，f（x）是定義在[0，+∞）上的單調減函數，
若f（2a﹣1）＞f（），則有0≤2a﹣1，解可得a，
即a的取值范圍為[，），
故選：D．
【變式3-2】（2021秋 金鳳區校級月考）已知函數f（x）是區間（0，+∞）內的減函數，則f（a2﹣a+1）與的大小關系為（　　）
A． B．
C． D．不確定
【解題思路】由已知結合二次函數的性質及函數的單調性即可比較大小．
【解答過程】解：因為a2﹣a+1＝（a）2，
又f（x）是區間（0，+∞）內的減函數，
所以f（a2﹣a+1）．
故選：B．
【變式3-3】（2021秋 濱海新區期中）定義在R上函數y＝f（x）滿足以下條件：①函數y＝f（x）圖像關于x＝1軸對稱，②對任意x1，x2∈（﹣∞，1]，當x1≠x2時都有0，則f（0），，f（3）的大小關系為（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據已知條件判斷函數單調性，利用單調性比較函數值大小．
【解答過程】解：∵函數y＝f（x）圖像關于x＝1軸對稱，且對任意x1，x2∈（﹣∞，1]，當x1≠x2時都有0，
∴f（x）在（﹣∞，1]，上單調遞減，在[1，+∞）單調遞增，
f（0）＝f（2），
∴f（3）＞f（0）＞f（）．
故選：B．
【題型4 求函數的最值】
【方法點撥】
(1)配方法，主要適用于二次函數或可化為二次函數的函數，要特別注意自變量的取值范圍；
(2)換元法，用換元法時一定要注意新元的取值范圍；
(3)數形結合法，對于圖象較容易畫出的函數的最值問題，可借助圖象直觀求出；
(4)利用函數的單調性，要注意函數的單調性對函數最值的影響，特別是閉區間上函數的最值.
【例4】（2021 白山開學）函數在區間[1，2]上的最大值與最小值分別是（　　）
A． B．2，5 C．1，2 D．
【解題思路】先簡單判斷函數的單調性，進而求解結論．
【解答過程】解：∵y＝x2+1在（0，+∞）上單調遞增，且y＞1，
∴在區間[1，2]上單調遞減，
∴函數在區間[1，2]上的最大值與最小值分別是f（1），f（2），
故選：A．
【變式4-1】（2022春 銅鼓縣校級期末）若函數，則函數g（x）＝f（x）﹣4x的最小值為（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【解題思路】由已知求得函數解析式，代入g（x）＝f（x）﹣4x，整理后再由配方法求最值．
【解答過程】解：∵，
令t，則t≠1，
∴f（x）＝x2（x≠1）．
從而g（x）＝f（x）﹣4x＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
當x＝2時，g（x）取得最小值，且最小值為﹣4．
故選：D．
【變式4-2】（2022春 閻良區期末）設函數在區間[3，4]上的最大值和最小值分別為M，m，則M+m＝（　　）
A．4 B．6 C．10 D．24
【解題思路】將函數f（x）分離常數變形后，判斷出其單調性，根據單調性求出最值即可得解．
【解答過程】解：因為，
所以f（x）在[3，4]上是減函數．
所以m＝f（4）＝4，M＝f（3）＝6．
所以M+m＝6+4＝10．
故選：C．
【變式4-3】（2021秋 杭州期末）已知，設f（x）＝min{x﹣2，﹣x2+4x﹣2}，則函數f（x）的最大值是（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
【解題思路】由題意可得函數f（x）的解析式，作出圖象，數形結合得答案．
【解答過程】解：由x﹣2＝﹣x2+4x﹣2，得x2﹣3x＝0，解得x＝0或x＝3．
∴當0≤x≤3時，x﹣2≤﹣x2+4x﹣2，當x＜0或x＞3時，x﹣2＞﹣x2+4x﹣2，
則f（x）＝min{x﹣2，﹣x2+4x﹣2}．
作出f（x）的圖象如圖所示，
由圖可知，當x＝3時，函數f（x）取得最大值為1．
故選：B．
【題型5 由函數的最值求參數】
【方法點撥】
在求參數a的取值范圍時，可將參數a單獨分離出來求解.
若對于區間D上的任意x，a>f(x)恒成立，則a>；若對于區間D上的任意x，a；若在區間D上存在x使a>f(x)成立，則a>；若在區間D上存在x使a【例5】（2022春 愛民區校級期末）若函數在區間[0，1]上的最大值為，則實數m＝（　　）
A．3 B． C．2 D．或3
【解題思路】將函數化為f（x）＝2，x∈[0，1]，討論m＝2，m＞2和m＜2時函數的單調性，運用單調性可得最小值，解方程即可得到所求值．
【解答過程】解：函數，即f（x）＝2，x∈[0，1]，
當m＝2時，f（x）＝2不成立；
當m﹣2＞0，即m＞2時，f（x）在[0，1]遞減，可得f（0）為最大值，
即f（0），解得m，成立；
當m﹣2＜0，即m＜2時，f（x）在[0，1]遞增，可得f（1）為最大值，
即f（1），解得m＝3，不成立；
綜上可得m．
故選：B．
【變式5-1】（2021秋 香坊區校級期中）已知函數f（x）＝|x2﹣2x+a|+a在區間[0，2]上的最大值是1，則a的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】首先將函數的圖象進行左移，使函數的關系式變得簡單，進一步利用分類討論思想的應用去掉絕對值，進一步利用函數的值域建立關系式，最后求出參數a的取值范圍．
【解答過程】解：將函數f（x）＝|x2﹣2x+a|+a＝|（x﹣1）2+（a﹣1）|+a的圖象向左平移1個單位，得到函數g（x）＝|x2+a﹣1|+a，
則由﹣1≤x≤1，故0≤x2≤1，
①當a﹣1≥0時，即a≥1時，g（x）＝x2+a﹣1+a＝x2+2a﹣1≥2a﹣1≥1，此時函數g（x）的最小值為1，不合題意；
②當a﹣1≤﹣1時，即a≤0時，g（x）＝﹣（x2+a﹣1+a＝﹣x2+1≤1，符合題意；故a≤0；
③當﹣1＜a﹣1＜0，即0＜a＜1時，g（x），化簡得：．
又由0≤x2≤1﹣a，根據二次函數的性質，g（x）的值域滿足1﹣（1﹣a）2≤g（x）≤1，
當1﹣a＜x2≤1時，（1﹣a）2+2a﹣1≤g（x）≤2a，必有2a≤1，可得；
綜上所述：實數a的取值范圍為（．
故選：B．
【變式5-2】（2021秋 浉河區校級期末）函數f（x）＝x（|x|﹣1）在[m，n]上的最小值為，最大值為2，則n﹣m的最大值為（　　）
A． B． C． D．2
【解題思路】根據二次函數的圖象和性質，求出最大值和最小值對應的x的取值，然后利用數形結合即可得到結論．
【解答過程】解：當x≥0時，f（x）＝x（|x|﹣1）＝x2﹣x＝（x）2，
當x＜0時，f（x）＝x（|x|﹣1）＝﹣x2﹣x＝﹣（x）2，
作出函數f（x）的圖象如圖：
當x≥0時，由f（x）＝x2﹣x＝2，解得x＝2．
當x時，f（）．
當x＜0時，由f（x）＝）＝﹣x2﹣x．
即4x2+4x﹣1＝0，解得x，
∴此時x，
∵[m，n]上的最小值為，最大值為2，
∴n＝2，，
∴n﹣m的最大值為2，
故選：B．
【變式5-3】（2021秋 松山區校級月考）若關于x的函數的最大值為M，最小值為N，且M+N＝4，則實數a的值為（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．1
【解題思路】根據函數奇偶性求解即可．
【解答過程】解：a，
令g（x）＝f（x）﹣a，
g（﹣x）g（x），
∴g（x）為奇函數，
∴g（x）max+g（x）min＝0，
∴M+N＝g（x）max+a+g（x）min+a＝4，
∴a＝2．
故選：C．
【題型6 函數奇偶性的判斷】
【方法點撥】
(1)定義法：先求函數的定義域，再進行函數奇偶性的判斷.
(2)圖象法：根據解析式畫出函數圖象，根據函數的對稱性進行函數奇偶性的判斷.
(3)性質法：利用奇、偶函數的和、差、積、商的奇偶性，以及復合函數的奇偶性判斷.
【例6】（2021秋 海安市校級月考）設函數f（x），則下列函數中為奇函數的是（　　）
A．f（x﹣2）﹣1 B．f（x﹣2）+1 C．f（x+2）﹣1 D．f（x+2）+1
【解題思路】化簡函數f（x）＝1，分別寫出每個選項對應的解析式，利用奇函數的定義判斷．
【解答過程】解：由題意得，f（x）＝1．
對A，f（x﹣2）﹣1是奇函數；
對B，f（x﹣）+1＝2，關于（0，2）對稱，不是奇函數；
對C，f（x+2）﹣1，定義域為（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，+∞），不關于原點對稱，不是奇函數；
對D，f（x+2）+1＝2，定義域為（﹣∞，﹣4）∪（﹣4，+∞），不關于原點對稱，不是奇函數；
故選：A．
【變式6-1】（2022春 楊陵區校級期末）若函數f（x）＝ax2+bx+8（a≠0）是偶函數，則g（x）＝2ax3+bx2+9x是（　　）
A．奇函數 B．偶函數
C．非奇非偶函數 D．既奇又偶函數
【解題思路】根據題意，由二次函數的性質求出b的值，即可得g（x）的解析式，分析其奇偶性可得答案．
【解答過程】解：根據題意，函數f（x）＝ax2+bx+8（a≠0）是偶函數，而f（x）為二次函數，
則有b＝0，
則g（x）＝2ax3+9x，其定義域為R，有g（﹣x）＝﹣g（x），g（x）為奇函數，
故選：A．
【變式6-2】（2022春 祁東縣期末）設函數，則下列函數中為偶函數的是（　　）
A．f（x+1） B．f（x）+1 C．f（x﹣1） D．f（x）﹣1
【解題思路】根據題意，依次分析選項中函數的奇偶性，即可得答案．
【解答過程】解：根據題意，，
由此分析選項：
對于A，，是偶函數，符合題意；
對于B，f（x）+11，既不是奇函數又不是偶函數，不符合題意；
對于C，f（x﹣1），既不是奇函數又不是偶函數，不符合題意；
對于D，f（x）﹣11，既不是奇函數又不是偶函數，不符合題意；
故選：A．
【變式6-3】（2022春 云浮期末）已知f（x）為R上的奇函數，g（x）為R上的偶函數，且g（x）≠0，則下列說法正確的是（　　）
A．f（x）+g（x）為R上的奇函數
B．f（x）﹣g（x）為R上的奇函數
C．為R上的偶函數
D．|f（x）g（x）|為R上的偶函數
【解題思路】由已知結合函數奇偶性的定義即可判斷．
【解答過程】解：因為f（x）為R上的奇函數，g（x）為R上的偶函數，且g（x）≠0，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），
所以f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣f（x）+g（x）≠﹣[f（x）+g（x）]，
故f（x）+g（x）為非奇非偶函數，A錯誤；
同理，f（x）﹣g（x）為非奇非偶函數，B錯誤；
設F（x），則F（﹣x）F（x），
所以F（x）為奇函數，C錯誤；
設函數H（x）＝|f（x）g（x）|，
因為f（x）為R上的奇函數，g（x）為R上的偶函數，且g（x）≠0，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），
則由函數奇偶性的定義得，H（﹣x）＝|f（﹣x）g（﹣x）|＝|﹣f（x）g（x）|＝|f（x）g（x）|＝H（x），D正確．
故選：D．
【題型7 函數奇偶性的應用】
【方法點撥】
(1)求函數值、函數解析式：利用函數的奇偶性，進行轉化求解.
(2)求參數值：①若表示定義域的區間含有參數，則可利用對稱性列出關于參數的方程.
②一般化策略：對x取定義域內的任一個值，利用f(-x)與f(x)的關系式恒成立來確定參數的值.
【例7】（2022春 北京期末）f（x）是定義域為R的奇函數，且f（1+x）﹣f（x）＝0，若，則（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】由f（1+x）﹣f（x）＝0可得函數的周期為1，然后利用周期和奇函數的性質可求得結果．
【解答過程】解：因為f（1+x）﹣f（x）＝0，所以f（1+x）＝f（x），
所以函數的周期為1，
因為f（x）是定義域為R的奇函數，，
所以，
故選：C．
【變式7-1】（2022 成都開學）若定義在R上的偶函數f（x）滿足f（2﹣x）＝﹣f（x），且當1≤x≤2時，f（x）＝x﹣1，則f（）的值等于（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】根據題意，先分析函數的周期性，結合函數的解析式分析可得答案．
【解答過程】解：根據題意，定義在R上的偶函數f（x）滿足f（2﹣x）＝﹣f（x），則有f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），變形可得f（x+2）＝﹣f（x），
則有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），函數f（x）是周期為4的周期函數，
則f（）＝f（）＝﹣f（），
當1≤x≤2時，f（x）＝x﹣1，f（），
故f（），
故選：D．
【變式7-2】（2022春 長春期末）設函數f（x）的定義域為R，f（x﹣1）為奇函數，f（x+2）為偶函數，當x∈[﹣1，2]時，f（x）＝ax2+b．若f（1）＝0，f（﹣4）+f（3）＝﹣3，則（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】由已知可得出f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），f（﹣x+2）＝f（x+2），分別令x＝1、x＝3，結合已知條件可得出關于a、b的方程組，解出a、b的值，即可得出函數f（x）在[﹣1，2]上的解析式，再利用函數的對稱性求得結果．
【解答過程】解：由f（x﹣1）是奇函數，得f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1），①
由f（x+2）是偶函數，得f（﹣x+2）＝f（x+2），②
令x＝1，由①得f（﹣2）＝﹣f（0）＝﹣b，由②得：f（1）＝f（3）＝a+b，
令x＝3，由①得：f（﹣4）＝﹣f（2）＝﹣4a﹣b，
由f（1）＝0，f（﹣4）+f（3）＝﹣3，得，則a＝1，b＝﹣1，
∴x∈[﹣1，2]時，f（x）＝x2﹣1．
則f（）＝f（）＝f（）＝f（）＝f（）
＝﹣f（）＝﹣f（）＝﹣[1]．
故選：A．
【變式7-3】（2022春 遼寧期末）設f（x）的定義域為R，f（x﹣2）是奇函數，f（x﹣1）是偶函數，則f（﹣4）+f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝（　　）
A．﹣4 B．0 C．4 D．不確定
【解題思路】根據給定條件，可得函數f（x）的性質f（x﹣2）+f（x）＝0，且f（﹣2）＝0，借助此性質計算作答．
【解答過程】解：R上的函數f（x），由f（x﹣2）是奇函數，得f（﹣x﹣2）＝﹣f（x﹣2），f（﹣2）＝0，
由f（x﹣1）是偶函數，得f（﹣x﹣1）＝f（x﹣1），即f（﹣x﹣2）＝f（x），于是得f（x﹣2）+f（x）＝0，
因此f（﹣3）+f（﹣1）＝0，f（1）+f（3）＝0，由f（x﹣）+f（x）＝0得f（x）＝﹣f（x﹣2），
則f（4）＝﹣f（2）＝f（0）＝﹣f（﹣2）＝f（﹣4）＝0，
所以f（﹣4）+f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝0．
故選：B．
【題型8 函數圖象的識別、判斷】
【方法點撥】
①排除法：利用特殊點的值來排除；
②利用函數的奇偶性、單調性來判斷.
【例8】下列四個函數圖象中，當x＜0時，函數值y隨自變量x的增大而減小的是（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】當x＜0時，函數值y隨自變量x的增大而減小的是應是（﹣∞，0）上的減函數，逐個觀察圖象，得出結論即可．
【解答過程】解：當x＜0時，函數值y隨自變量x的增大而減小的是應是（﹣∞，0）上的減函數，
對于A，在（﹣∞，0）上是增函數；對于B，在（﹣∞，0）上是增函數；
對于C，在（﹣∞，0）上不單調，先增后減；對于D，在（﹣∞，0）上是減函數；
故選：D．
【變式8-1】根據下列函數圖象，既是奇函數又是增函數的是（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】結合圖象根據函數的奇偶性以及單調性判斷即可．
【解答過程】解：對于A，是奇函數且遞增，符合題意；
對于B，C，是非奇非偶函數，不合題意；
對于D，不是奇函數，不合題意；
故選：A．
【變式8-2】已知f（x）則關于圖中的函數圖象正確的是（　　）
A．是f（x﹣1）的圖象 B．是f（﹣x）的圖象
C．是f（|x|）或|f（x）|的圖象 D．以上答案都不對
【解題思路】畫出f（x）的圖象，根據圖象的變換可得答案．
【解答過程】解：畫f（x）的圖象
f（x﹣1）的圖象是由f（x）的圖象向右移一個單位，與題目中的圖不一樣，故A不正確
而f（﹣x）與f（x）的圖象關于y軸對稱，與題目中的圖不一樣，故B不正確
f（|x|）是偶函數或|f（x）|的圖象與f（x）的圖象一樣，故選項C不正確，
故選：D．
【變式8-3】反比例函數f（x）的圖象，如圖，則（　　）
A．常數k＜﹣1
B．函數f（x）在定義域范圍內，y隨x的增大而減小
C．若點A（﹣1，m），B（2，n）在f（x）上，則m＜n
D．函數f（x）圖象對稱軸的直線方程y＝x
【解題思路】根據反比例函數f（x）的圖象與性質，對題目中的選項進行分析判斷即可．
【解答過程】解：根據反比例函數f（x）的圖象在一、三象限知，k＞0，A錯誤；
又函數f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上是單調減函數，B錯誤；
當點A（﹣1，m），B（2，n）在f（x）上時，
m＝﹣k＜0，n0，∴m＜n，C正確；
函數f（x）圖象對稱軸的直線方程為y＝±x，∴D錯誤．
故選：C．專題3.3 函數的基本性質-重難點題型精講
1．函數的單調性
(1)單調遞增、單調遞減：
(2)函數的單調性及單調區間：
①當函數f(x)在它的定義域上單調遞增(減)時,我們就稱它是增(減)函數.
②如果函數y=f(x)在區間D上單調遞增或單調遞減,那么就說函數y=f(x)在這一區間具有(嚴格的)單
調性,區間D叫做y=f(x)的單調區間.
(3)常見函數的單調性：
(4)單調函數的運算性質：
若函數f(x)，g(x)在區間D上具有單調性，則在區間D上具有以下性質：
①f(x)與f(x)+C(C為常數)具有相同的單調性.
②若a為常數，則當a>0時，f(x)與a f(x)具有相同的單調性；當a<0時，f(x)與a f(x)具有相反的
單調性.
③若f(x)恒為正值或恒為負值，a為常數，則當a>0時，f(x)與具有相反的單調性；當a<0時，
f(x)與具有相同的單調性.
④若f(x)≥0，則f(x)與具有相同的單調性.
⑤在f(x)，g(x)的公共單調區間上，有如下結論：
⑥當f(x)，g(x)在區間D上都是單調遞增(減)的，若兩者都恒大于零，則f(x) g(x)在區間D上也是單調遞增(減)的；若兩者都恒小于零，則f(x) g(x)在區間D上單調遞減(增).
(5)復合函數的單調性判定：
對于復合函數f(g(x))，設t=g(x)在(a,b)上單調，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也單調.
2．函數的最大（小）值
(1)函數的最大（小）值：
(2)利用函數單調性求最值的常用結論：
①如果函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞增，在區間[b,c]上單調遞減，那么函數y=f(x),x[a,c]在x=b處有最大值f(b)，如圖(1)所示；
②如果函數y=f(x)在區間[a,b]上單調遞減，在區間[b,c]上單調遞增，那么函數y=f(x), x[a,c]在x=b處有最小值f(b)，如圖(2)所示.
3．函數的奇偶性
(1)定義：
(2)奇偶函數的圖象特征（幾何意義）
①奇函數的圖象特征：若一個函數是奇函數，則這個函數的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，若一個函數的圖象是以原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數是奇函數.
②偶函數的圖象特征：若一個函數是偶函數，則這個函數的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，若一個函數的圖象關于y軸對稱，則這個函數是偶函數.
③奇偶函數的結論：奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性，偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數；奇函數在關于原點對稱的區間上的最值互為相反數，取最值時的自變量也互為相反數.
(3)函數圖象的對稱性：
①圖象關于點成中心對稱圖形：函數y=f(x)的圖象關于點P(a,b)成中心對稱圖形的充要條件是函數g(x)=f(x+a)-b為奇函數.
②圖象關于直線成軸對稱圖形：函數y=f(x)的圖象關于直線x=a成軸對稱圖形的充要條件是函數g(x)=f(x+a)為偶函數.
【題型1 函數單調性的判斷及單調區間的求解】
【方法點撥】
(1)定義法：利用函數單調性的定義討論函數的單調性或求單調區間.
(2)圖象法：根據函數解析式畫出函數圖象，通過函數圖象研究單調性.
注：①復合函數單調性的判斷方法：根據復合函數的單調性滿足“同增異減”，可判斷復合函數的單調性；
②抽象函數單調性的判斷方法：一種是“湊”，湊定義或湊已知，從而使用定義或已知條件得出結論；另一種是“賦值”，給變量賦值要根據條件與結論的關系，有時可能要進行多次嘗試.
【例1】（2021秋 邗江區期中）下列函數中，在（﹣∞，0）上為減函數的是（　　）
A． B．y＝2x+1 C．y＝x2 D．y＝x0
【變式1-1】（2022春 天津期末）下列函數中，在（0，+∞）上為增函數的是（　　）
A．f（x）＝3﹣x B．f（x）＝x2﹣3x C． D．f（x）＝﹣|x|
【變式1-2】（2020秋 福田區校級期末）函數的單調遞減區間為（　　）
A． B． C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣3]
【變式1-3】（2021 白山開學）函數的單調增區間為（　　）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（﹣∞，0），（0，+∞）
【題型2 利用函數的單調性求參數】
【方法點撥】
(1)已知函數的單調性求參數的取值范圍的方法是視參數為已知數，依據函數的圖象或單調性的定義，確定函數的單調區間，與已知單調區間比較求參數.
(2)借助常見函數(如一次函數、反比例函數、二次函數等)的單調性求解.
需注意，若一個函數在區間[a,b]上是單調的，則該函數在此區間的任意子集上也是單調的.
【例2】（2021 河北區學業考試）已知函數f（x）＝x2﹣kx﹣8在區間[5，20]上具有單調性，則實數k的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，10]∪[40，+∞） B．（﹣∞，﹣40]∪[﹣10，+∞）
C．[10，+∞） D．[40，+∞）
【變式2-1】（2021秋 懷仁市校級月考）若函數y＝x2+2mx+1在[2，+∞）上單調遞增，則實數m的取值范圍是（　　）
A．[﹣2，+∞） B．[2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣∞，2]
【變式2-2】（2021秋 河北期中）若函數f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|在區間[﹣3，0]上不是單調函數，則實數a的取值范圍是（　　）
A．（﹣3，0）∪（0，9） B．（﹣9，0）∪（0，3）
C．（﹣9，3） D．（﹣3，9）
【變式2-3】（2022 湖南模擬）定義在R的函數f（x）＝﹣x3+m與函數g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的單調性，則k的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．[2，+∞）
C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
【題型3 利用函數的單調性比較大小、解不等式】
【方法點撥】
(1)利用函數的單調性可以比較函數值或自變量的大小.在解決比較函數值的問題時，要注意將對應的自變量的值轉化到同一個單調區間上.
(2)解關于的不等式時，可利用函數的單調性脫去“f”，轉化不等式，進行求解即可.
【例3】（2021秋 福田區校級期末）已知函數f（x）是定義在[2，+∞）的單調遞增函數，若f（2a2﹣5a+4）＜f（a2+a+4），則實數a的取值范圍是（　　）
A． B．[2，6）
C． D．（0，6）
【變式3-1】（2020秋 瀘縣校級月考）已知定義在[0，+∞）上的單調減函數f（x），若f（2a﹣1）＞f（），則a的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2021秋 金鳳區校級月考）已知函數f（x）是區間（0，+∞）內的減函數，則f（a2﹣a+1）與的大小關系為（　　）
A． B．
C． D．不確定
【變式3-3】（2021秋 濱海新區期中）定義在R上函數y＝f（x）滿足以下條件：①函數y＝f（x）圖像關于x＝1軸對稱，②對任意x1，x2∈（﹣∞，1]，當x1≠x2時都有0，則f（0），，f（3）的大小關系為（　　）
A． B．
C． D．
【題型4 求函數的最值】
【方法點撥】
(1)配方法，主要適用于二次函數或可化為二次函數的函數，要特別注意自變量的取值范圍；
(2)換元法，用換元法時一定要注意新元的取值范圍；
(3)數形結合法，對于圖象較容易畫出的函數的最值問題，可借助圖象直觀求出；
(4)利用函數的單調性，要注意函數的單調性對函數最值的影響，特別是閉區間上函數的最值.
【例4】（2021 白山開學）函數在區間[1，2]上的最大值與最小值分別是（　　）
A． B．2，5 C．1，2 D．
【變式4-1】（2022春 銅鼓縣校級期末）若函數，則函數g（x）＝f（x）﹣4x的最小值為（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【變式4-2】（2022春 閻良區期末）設函數在區間[3，4]上的最大值和最小值分別為M，m，則M+m＝（　　）
A．4 B．6 C．10 D．24
【變式4-3】（2021秋 杭州期末）已知，設f（x）＝min{x﹣2，﹣x2+4x﹣2}，則函數f（x）的最大值是（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
【題型5 由函數的最值求參數】
【方法點撥】
在求參數a的取值范圍時，可將參數a單獨分離出來求解.
若對于區間D上的任意x，a>f(x)恒成立，則a>；若對于區間D上的任意x，a；若在區間D上存在x使a>f(x)成立，則a>；若在區間D上存在x使a【例5】（2022春 愛民區校級期末）若函數在區間[0，1]上的最大值為，則實數m＝（　　）
A．3 B． C．2 D．或3
【變式5-1】（2021秋 香坊區校級期中）已知函數f（x）＝|x2﹣2x+a|+a在區間[0，2]上的最大值是1，則a的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【變式5-2】（2021秋 浉河區校級期末）函數f（x）＝x（|x|﹣1）在[m，n]上的最小值為，最大值為2，則n﹣m的最大值為（　　）
A． B． C． D．2
【變式5-3】（2021秋 松山區校級月考）若關于x的函數的最大值為M，最小值為N，且M+N＝4，則實數a的值為（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．1
【題型6 函數奇偶性的判斷】
【方法點撥】
(1)定義法：先求函數的定義域，再進行函數奇偶性的判斷.
(2)圖象法：根據解析式畫出函數圖象，根據函數的對稱性進行函數奇偶性的判斷.
(3)性質法：利用奇、偶函數的和、差、積、商的奇偶性，以及復合函數的奇偶性判斷.
【例6】（2021秋 海安市校級月考）設函數f（x），則下列函數中為奇函數的是（　　）
A．f（x﹣2）﹣1 B．f（x﹣2）+1 C．f（x+2）﹣1 D．f（x+2）+1
【變式6-1】（2022春 楊陵區校級期末）若函數f（x）＝ax2+bx+8（a≠0）是偶函數，則g（x）＝2ax3+bx2+9x是（　　）
A．奇函數 B．偶函數
C．非奇非偶函數 D．既奇又偶函數
【變式6-2】（2022春 祁東縣期末）設函數，則下列函數中為偶函數的是（　　）
A．f（x+1） B．f（x）+1 C．f（x﹣1） D．f（x）﹣1
【變式6-3】（2022春 云浮期末）已知f（x）為R上的奇函數，g（x）為R上的偶函數，且g（x）≠0，則下列說法正確的是（　　）
A．f（x）+g（x）為R上的奇函數
B．f（x）﹣g（x）為R上的奇函數
C．為R上的偶函數
D．|f（x）g（x）|為R上的偶函數
【題型7 函數奇偶性的應用】
【方法點撥】
(1)求函數值、函數解析式：利用函數的奇偶性，進行轉化求解.
(2)求參數值：①若表示定義域的區間含有參數，則可利用對稱性列出關于參數的方程.
②一般化策略：對x取定義域內的任一個值，利用f(-x)與f(x)的關系式恒成立來確定參數的值.
【例7】（2022春 北京期末）f（x）是定義域為R的奇函數，且f（1+x）﹣f（x）＝0，若，則（　　）
A． B． C． D．
【變式7-1】（2022 成都開學）若定義在R上的偶函數f（x）滿足f（2﹣x）＝﹣f（x），且當1≤x≤2時，f（x）＝x﹣1，則f（）的值等于（　　）
A． B． C． D．
【變式7-2】（2022春 長春期末）設函數f（x）的定義域為R，f（x﹣1）為奇函數，f（x+2）為偶函數，當x∈[﹣1，2]時，f（x）＝ax2+b．若f（1）＝0，f（﹣4）+f（3）＝﹣3，則（　　）
A． B． C． D．
【變式7-3】（2022春 遼寧期末）設f（x）的定義域為R，f（x﹣2）是奇函數，f（x﹣1）是偶函數，則f（﹣4）+f（﹣3）+f（﹣2）+f（﹣1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝（　　）
A．﹣4 B．0 C．4 D．不確定
【題型8 函數圖象的識別、判斷】
【方法點撥】
①排除法：利用特殊點的值來排除；
②利用函數的奇偶性、單調性來判斷.
【例8】下列四個函數圖象中，當x＜0時，函數值y隨自變量x的增大而減小的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式8-1】根據下列函數圖象，既是奇函數又是增函數的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式8-2】已知f（x）則關于圖中的函數圖象正確的是（　　）
A．是f（x﹣1）的圖象 B．是f（﹣x）的圖象
C．是f（|x|）或|f（x）|的圖象 D．以上答案都不對
【變式8-3】反比例函數f（x）的圖象，如圖，則（　　）
A．常數k＜﹣1
B．函數f（x）在定義域范圍內，y隨x的增大而減小
C．若點A（﹣1，m），B（2，n）在f（x）上，則m＜n
D．函數f（x）圖象對稱軸的直線方程y＝x

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