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專題3.1 函數的概念及其表示-重難點題型精講
1．函數的概念
(1)一般地，設A，B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(function)，記作y=f(x)，xA.
(2)函數的四個特征：
①非空性：A，B必須為非空數集，定義域或值域為空集的函數是不存在的.
②任意性：即定義域中的每一個元素都有函數值.
③單值性：每一個自變量有且僅有唯一的函數值與之對應.
④方向性：函數是一個從定義域到值域的對應關系，如果改變這個對應方向，那么新的對應所確定
的關系就不一定是函數關系.
2．函數的三要素
(1)定義域：函數的定義域是自變量的取值范圍．
(2)值域：與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|xA}叫做函數的值域(range).
(3)對應關系：對應關系f是函數的核心，它是對自變量x實施“對應操作”的“程序”或者“方法”．
3．函數的相等
同一函數：只有當兩個函數的定義域和對應關系都分別相同時,這兩個函數才相等,即是同一個函數.
4．區間的概念
設a，b是兩個實數，而且a(1)滿足不等式的實數x的集合叫做閉區間，表示為[a,b]；
(2)滿足不等式a(3)滿足不等式或的實數x的集合叫做半開半閉區間，分別表示為[a,b),(a,b].
這里的實數a與b都叫做相應區間的端點.
5．函數的表示法
函數的三種表示法：解析法、列表法和圖象法.
(1)解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系；
(2)列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系；
(3)圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系.
6．抽象函數與復合函數
(1)抽象函數的概念：沒有給出具體解析式的函數，稱為抽象函數．
(2)復合函數的概念：若函數y=f(t)的定義域為A，函數t=g(x)的定義域為D，值域為C，則當CA時，稱函數y=f(g(x))為f(t)與g(x)在D上的復合函數，其中t叫做中間變量，t=g(x)叫做內層函數，y=f(t)叫做外層函數.
【題型1 對函數概念的理解】
【方法點撥】
定義法：對于給定的對應關系，判斷是否滿足函數的概念，即可判斷對應關系是否是函數.
【例1】（2021秋 海安市校級月考）下列對應中：
（1）x→y，其中y＝2x+1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x＜10，x∈N}；
（2）x→y，其中y2＝x，x∈[0，+∞），y∈R；
（3）x→y，其中y為不大于x的最大整數，x∈R，y∈Z；
（4）x→y，其中y＝x﹣1，x∈N*，y∈N*．
其中，是函數的是（　　）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4）
【變式1-1】（2022春 興慶區校級期末）設集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四個圖形中，能表示集合M到集合N的函數關系的有（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②
【變式1-2】（2021秋 賓縣校級月考）下列集合A、B及其對應法則不能構成函數的是（　　）
A．A＝B＝R，f（x）＝|x+1|
B．A＝B＝R，
C．A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6，7}，f（x）＝x+3
D．A＝{x|x＞0}，B＝{1}，f（x）＝x0
【變式1-3】（2021春 九龍坡區期末）設A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，圖中表示A到B的函數的是（　　）
A． B．
C． D．
【題型2 同一函數的判斷】
【方法點撥】
對于給定的兩個函數，分析兩函數的定義域、對應關系是否相同，即可判斷兩函數是否是同一函數．
【例2】（2022 民勤縣校級開學）下列四組函數中，表示相等函數的一組是（　　）
A．，
B．y1＝|x|，
C．，y2＝x+1
D．，
【變式2-1】（2022 河東區模擬）下列函數與f（x）＝x+1是同一個函數的是（　　）
A． B．
C． D．g（x）＝elnx+1
【變式2-2】（2021秋 黑龍江期末）下列函數中與函數y＝x表示同一個函數的是（　　）
A．y＝|x| B．y C．y＝（）2 D．y
【變式2-3】（2021秋 成都期末）下列函數表示同一函數的是（　　）
A．y＝x+1與 B．y＝x3與y＝（x﹣1）3
C．y＝|x|與 D．y＝x0與
【題型3 函數的定義域問題】
【方法點撥】
(1)根據解析式有意義的條件，列出關于自變量的不等式（組），即可求解，把不等式（組）的解集表示成集合或區間的形式.
(2)已知函數的定義域求參數，結合解析式有意義的條件，列出關于參數的關系式，即可得解.
【例3】（2022秋 開福區校級月考）函數f（x）的定義域為（　　）
A．[﹣2，2] B．[0，2] C．（0，2] D．[﹣2，0）∪（0，2]
【變式3-1】（2022秋 宛城區校級月考）若函數f（x+1）的定義域為[﹣1，15]，則函數的定義域為（　　）
A．[1，4] B．（1，4] C．[1，14] D．（1，14]
【變式3-2】（2022春 疏勒縣校級期末）函數中，自變量x的取值范圍是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠0 D．x≠0
【變式3-3】（2022春 閻良區校級期末）若函數的定義域為R，則a的范圍是（　　）
A．[0，4] B．[0，4） C．（0，4] D．（0，4）
【題型4 函數的值域問題】
【方法點撥】
(1)已知函數解析式求值域，觀察所給解析式，先得出函數的定義域，在由函數解析式求解；
(2)已知函數值域求參數問題時，將給出的值域轉化為方程的解或不等式的解集問題，然后來確定參數的值或取值范圍.
【例4】（2022春 定南縣校級月考）函數的值域為（　　）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2021秋 寧鄉市期末）下列函數中，值域為（0，+∞）的是（　　）
A．y B．y （x∈（0，+∞））
C．y （x∈N） D．y
【變式4-2】（2022春 水富市校級期中）若函數在區間[a，b]上的值域為[a，b]（b＞a≥2），則實數m的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2022春 天河區校級期中）高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數”為：設x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數，則y＝[x]稱為高斯函數，例如：[﹣0.5]＝﹣1，[1.5]＝1，已知函數，則函數y＝[f（x）]的值域為（　　）
A． B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{0，1，2}
【題型5 求函數值或由函數值求參】
【方法點撥】
(1)已知函數解析式求函數值，將自變量代入解析式，求解即可．
(2)由函數解析式，求對應函數值的自變量的值（或解析式中的參數值），只需將函數值代入解析式，建立關于自變量（或參數）的方程即可求解.
【例5】（2021秋 香坊區校級期中）已知函數，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2022春 祥云縣期末）已知函數y，若f（a）＝10，則a的值是（　　）
A．3或﹣3 B．﹣3或5 C．﹣3 D．3或﹣3或5
【變式5-2】（2021秋 凌河區校級期末）設函數，若f（a）＝a，則實數a的值為（　　）
A．±1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．±1或﹣2
【變式5-3】（2021秋 庫爾勒市校級期末）已知函數f（x），則f（f（﹣2））的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【題型6 函數的表示法】
【方法點撥】
根據函數的三種表示方法的特點，具體問題具體分析，用適合的表示法表示出函數關系.
【例6】（2021 青島模擬）甲、乙兩人在一次賽跑中，從同一地點出發，路程S與時間t的函數關系如圖所示，則下列說法正確的是（　　）
A．甲比乙先出發 B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙兩人的速度相同 D．甲比乙先到達終點
【變式6-1】（2021秋 城關區校級期中）給出函數f（x），g（x）如表，則f[g（x）]的值域為（　　）
x 1 2 3 4
f（x） 4 3 2 1
x 1 2 3 4
g（x） 1 1 3 3
A．{4，2} B．{1，3}
C．{1，2，3，4} D．以上情況都有可能
【變式6-2】（2021秋 欽州月考）一輛中型客車的營運總利潤y（單位：萬元）與營運年數x（x∈N）的變化關系如表所示，要使總利潤達到最大值，則該客車的營運年數是（　　）
x（年） 4 6 8 …
y＝ax2+bx+c 7 11 7 …
A．15 B．10 C．9 D．6
【變式6-3】（2022秋 青羊區校級月考）某同學到長城旅游，他租自行車由賓館騎行前往長城，前進了akm，覺得有點累，休息后沿原路返回bkm（b＜a）．想起“不到長城非好漢”，便調轉車頭繼續前進．則該同學離起點的距離s與時間t的圖象大致為（　　）
A． B．
C． D．專題3.1 函數的概念及其表示-重難點題型精講
1．函數的概念
(1)一般地，設A，B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(function)，記作y=f(x)，xA.
(2)函數的四個特征：
①非空性：A，B必須為非空數集，定義域或值域為空集的函數是不存在的.
②任意性：即定義域中的每一個元素都有函數值.
③單值性：每一個自變量有且僅有唯一的函數值與之對應.
④方向性：函數是一個從定義域到值域的對應關系，如果改變這個對應方向，那么新的對應所確定
的關系就不一定是函數關系.
2．函數的三要素
(1)定義域：函數的定義域是自變量的取值范圍．
(2)值域：與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|xA}叫做函數的值域(range).
(3)對應關系：對應關系f是函數的核心，它是對自變量x實施“對應操作”的“程序”或者“方法”．
3．函數的相等
同一函數：只有當兩個函數的定義域和對應關系都分別相同時,這兩個函數才相等,即是同一個函數.
4．區間的概念
設a，b是兩個實數，而且a(1)滿足不等式的實數x的集合叫做閉區間，表示為[a,b]；
(2)滿足不等式a(3)滿足不等式或的實數x的集合叫做半開半閉區間，分別表示為[a,b),(a,b].
這里的實數a與b都叫做相應區間的端點.
5．函數的表示法
函數的三種表示法：解析法、列表法和圖象法.
(1)解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系；
(2)列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系；
(3)圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系.
6．抽象函數與復合函數
(1)抽象函數的概念：沒有給出具體解析式的函數，稱為抽象函數．
(2)復合函數的概念：若函數y=f(t)的定義域為A，函數t=g(x)的定義域為D，值域為C，則當CA時，稱函數y=f(g(x))為f(t)與g(x)在D上的復合函數，其中t叫做中間變量，t=g(x)叫做內層函數，y=f(t)叫做外層函數.
【題型1 對函數概念的理解】
【方法點撥】
定義法：對于給定的對應關系，判斷是否滿足函數的概念，即可判斷對應關系是否是函數.
【例1】（2021秋 海安市校級月考）下列對應中：
（1）x→y，其中y＝2x+1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x＜10，x∈N}；
（2）x→y，其中y2＝x，x∈[0，+∞），y∈R；
（3）x→y，其中y為不大于x的最大整數，x∈R，y∈Z；
（4）x→y，其中y＝x﹣1，x∈N*，y∈N*．
其中，是函數的是（　　）
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4）
【解題思路】利用函數的定義，判斷即可．
【解答過程】解：（1）x→y，其中y＝2x+1，x∈{1，2，3，4}，y∈{x|x＜10，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，滿足函數的定義，（1）正確；
（2）x→y，其中y2＝x，x∈[0，+∞），x∈R；當x＝1時，對應的y＝±1，不滿足函數的定義，（2）不正確；
（3）x→y，其中y為不大于x的最大整數，x∈R，y∈Z，滿足函數的定義，（3）正確；
（4）x→y，其中y＝x﹣1，x∈N*，y∈N*．當x＝1時，y需等于0，而y∈N*中沒有0與之相對應，（4）不正確．
故選：B．
【變式1-1】（2022春 興慶區校級期末）設集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四個圖形中，能表示集合M到集合N的函數關系的有（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②
【解題思路】根據題意，由函數的定義，在集合M中的任一元素在集合N中都要有唯一的一個元素和它對應，進而可以得到答案．
【解答過程】解：根據題意，依次分析4個圖形，
對于①，其定義域為{x|0≤x≤1}，不符合題意，
對于②，符合題意，
對于③，符合題意，
對于④，集合M中有的元素在集合N中對應兩個值，不符合函數定義，
故選：C．
【變式1-2】（2021秋 賓縣校級月考）下列集合A、B及其對應法則不能構成函數的是（　　）
A．A＝B＝R，f（x）＝|x+1|
B．A＝B＝R，
C．A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6，7}，f（x）＝x+3
D．A＝{x|x＞0}，B＝{1}，f（x）＝x0
【解題思路】根據函數的定義判斷即可．
【解答過程】解：對于A，C，D，集合A中的任意一個元素，按照對應法則f（x），在集合B中都有唯一個元素與之對應，符合函數的定義，所以A，C，D正確，
對于B，對于集合A中元素0在集合B中沒有元素與之對應，不符合函數的定義，故B錯誤，
故選：B．
【變式1-3】（2021春 九龍坡區期末）設A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，圖中表示A到B的函數的是（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據函數的定義，舉反例，一一判斷即可．
【解答過程】解：對于A，B均有函數值不在集合B內；對于C，它是一對多，不是函數的圖象．
故選：D．
【題型2 同一函數的判斷】
【方法點撥】
對于給定的兩個函數，分析兩函數的定義域、對應關系是否相同，即可判斷兩函數是否是同一函數．
【例2】（2022 民勤縣校級開學）下列四組函數中，表示相等函數的一組是（　　）
A．，
B．y1＝|x|，
C．，y2＝x+1
D．，
【解題思路】根據兩個函數的定義域相同，對應關系也相同，判斷它們是同一函數即可．
【解答過程】解：對于選項A，第一個函數的定義域為R，第二個函數的定義域為[0，+∞），故錯誤；
對于選項B，第一個函數與第二個函數的定義域都為R，對應關系也相同，故正確；
對于選項C，第一個函數的定義域為{x|x≠1}，第二個函數的定義域為R，故錯誤；
對于選項D，第一個函數的定義域為[1，+∞），第二個函數的定義域為（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故錯誤；
故選：B．
【變式2-1】（2022 河東區模擬）下列函數與f（x）＝x+1是同一個函數的是（　　）
A． B．
C． D．g（x）＝elnx+1
【解題思路】根據同一函數的定義判斷．
【解答過程】解：f（x）＝x+1的定義域為R，
A． ，且定義域為R，故正確；
B． ，故錯誤；
C． ，故錯誤；
D．g（x）＝elnx+1＝x+1（x＞0），故錯誤；
故選：A．
【變式2-2】（2021秋 黑龍江期末）下列函數中與函數y＝x表示同一個函數的是（　　）
A．y＝|x| B．y C．y＝（）2 D．y
【解題思路】根據兩個函數的定義域相同，對應關系也相同，判斷它們是同一函數即可．
【解答過程】解：函數y＝x的定義域為R，
對于選項A：y＝|x|，兩個函數的對應法則不同，所以不是同一個函數，故選項A錯誤，
對于選項B：y的定義域為{x|x≠0}，兩個函數的定義域不同，所以不是同一個函數，故選項B錯誤，
對于選項C：y的定義域為[0，+∞），兩個函數的定義域不同，所以不是同一個函數，故選項C錯誤，
對于選項D：yx定義域為R，兩個函數的定義域相同，對應法則也相同，所以是同一個函數，故選項D正確，
故選：D．
【變式2-3】（2021秋 成都期末）下列函數表示同一函數的是（　　）
A．y＝x+1與 B．y＝x3與y＝（x﹣1）3
C．y＝|x|與 D．y＝x0與
【解題思路】根據同一函數的兩個條件即定義域與解析式完全相同對應各個選項判斷求解即可．
【解答過程】解：選項A：因為函數y＝x+1的定義域為R，而函數y1＝x+1，定義域為{x|x≠0}，故A錯誤，
選項B：兩個函數的解析式不同，故B錯誤，
選項C：因為函數y＝|x|的定義域為R，而函數y＝（）2的定義域為[0，+∞），故C錯誤，
選項D：因為y＝x0＝1，函數定義域為{x|x≠0}，函數y1，函數定義域為{x|x≠0}，故D正確，
故選：D．
【題型3 函數的定義域問題】
【方法點撥】
(1)根據解析式有意義的條件，列出關于自變量的不等式（組），即可求解，把不等式（組）的解集表示成集合或區間的形式.
(2)已知函數的定義域求參數，結合解析式有意義的條件，列出關于參數的關系式，即可得解.
【例3】（2022秋 開福區校級月考）函數f（x）的定義域為（　　）
A．[﹣2，2] B．[0，2] C．（0，2] D．[﹣2，0）∪（0，2]
【解題思路】由根式內部的代數式大于等于0，分式的分母不為0聯立不等式組求解．
【解答過程】解：由題意，，解得0＜x≤2．
∴函數f（x）的定義域為（0，2]．
故選：C．
【變式3-1】（2022秋 宛城區校級月考）若函數f（x+1）的定義域為[﹣1，15]，則函數的定義域為（　　）
A．[1，4] B．（1，4] C．[1，14] D．（1，14]
【解題思路】根據函數的解析式及函數的定義，列出使函數解析式有意義的不等式組，求出解集即可．
【解答過程】解：因為f（x+1）的定義域為[﹣1，15]，
所以0≤x+1≤16，
所以，
解得1＜x≤4．
故選：B．
【變式3-2】（2022春 疏勒縣校級期末）函數中，自變量x的取值范圍是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠0 D．x≠0
【解題思路】由根式內部的代數式大于等于0，分式的分母不為0聯立不等式組求解．
【解答過程】解：要使原式有意義，則，即x≥2．
∴自變量x的取值范圍是x≥2．
故選：B．
【變式3-3】（2022春 閻良區校級期末）若函數的定義域為R，則a的范圍是（　　）
A．[0，4] B．[0，4） C．（0，4] D．（0，4）
【解題思路】由題意，ax2+ax+1≥0恒成立．再利用二次函數的性質，分類討論，求出a的范圍．
【解答過程】解：∵函數的定義域為R，∴ax2+ax+1≥0恒成立．
當a＝0時，顯然滿足ax2+ax+1≥0恒成立．
當a＜0時，ax2+ax+1≥0不可能恒成立，
當a＞0時，應有Δ＝a2﹣4a≤0，求得0＜a≤4．
綜上可得，a∈[0，4]，
故選：A．
【題型4 函數的值域問題】
【方法點撥】
(1)已知函數解析式求值域，觀察所給解析式，先得出函數的定義域，在由函數解析式求解；
(2)已知函數值域求參數問題時，將給出的值域轉化為方程的解或不等式的解集問題，然后來確定參數的值或取值范圍.
【例4】（2022春 定南縣校級月考）函數的值域為（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】先進行換元，然后結合二次函數的性質可求．
【解答過程】解：令t，則x＝t2+1，t≥0，
2t2+2﹣t＝2（t）2，
根據二次函數的性質可知，當t時，函數取得最小值，即y．
故選：D．
【變式4-1】（2021秋 寧鄉市期末）下列函數中，值域為（0，+∞）的是（　　）
A．y B．y （x∈（0，+∞））
C．y （x∈N） D．y
【解題思路】A中的函數變成：y＝|x﹣1|≥0，B中的函數可以變成：y，由x∈（0，+∞）可得到y∈（1，2），C中的函數的值域顯然不連續，所以便選D．
【解答過程】解：A．y，∴該函數的值域為[0，+∞）；
B．y，∵x＞0，∴x+1＞1，，1，∴該函數的值域為（1，2）；
C．∵x∈N，即該函數的定義域是由孤立的自然數組成，所以值域也應是不連續的數構成；
D.，∴該函數的值域為（0，+∞），所以該選項正確．
故選：D．
【變式4-2】（2022春 水富市校級期中）若函數在區間[a，b]上的值域為[a，b]（b＞a≥2），則實數m的取值范圍為（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】由已知結合函數單調性及已知函數值域對問題進行轉化得m＝a，m＝b，問題轉化為m＝x在[2，+∞）上有兩個不同零點，然后利用換元法，結合二次函數性質可求．
【解答過程】解：因為在區間[a，b]上單調遞增且函數的值域為[a，b]（b＞a≥2），
所以，
即m＝a，m＝b，
問題轉化為m＝x在[2，+∞）上有兩個不同零點，
令t，x＝2+t2且t≥0，
所以xt2﹣t+2，t≥0，
令g（t）＝t2﹣t+2，t≥0，
所以y＝m與g（t）＝t2﹣t+2＝（t）2在t≥0時有兩個交點，
因為g（），g（2）＝2，
結合二次函數的性質可知，．
故選：C．
【變式4-3】（2022春 天河區校級期中）高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數”為：設x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數，則y＝[x]稱為高斯函數，例如：[﹣0.5]＝﹣1，[1.5]＝1，已知函數，則函數y＝[f（x）]的值域為（　　）
A． B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0，1，2} D．{0，1，2}
【解題思路】由，x∈（1，4），得函數在（1，3）上單調遞減，在（3，4）上單調遞增，從而，再由，f（4）＝0，得到，由此能求出y＝[f（x）]的值域．
【解答過程】解：因為，x∈（1，4），
所以函數在（1，3）上單調遞減，在（3，4）上單調遞增，
所以，又，f（4）＝0，
所以，
因為y＝[f（x）]，所以y∈{﹣1，0，1}．
故選：B．
【題型5 求函數值或由函數值求參】
【方法點撥】
(1)已知函數解析式求函數值，將自變量代入解析式，求解即可．
(2)由函數解析式，求對應函數值的自變量的值（或解析式中的參數值），只需將函數值代入解析式，建立關于自變量（或參數）的方程即可求解.
【例5】（2021秋 香坊區校級期中）已知函數，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】由已知中函數，先求出值，進而代入可求出的值．
【解答過程】解：∵已知函數，
∴，
1
故選：B．
【變式5-1】（2022春 祥云縣期末）已知函數y，若f（a）＝10，則a的值是（　　）
A．3或﹣3 B．﹣3或5 C．﹣3 D．3或﹣3或5
【解題思路】結合題意，需要對a進行分類討論，若a≤0，則f（a）＝1+a2；若a＞0，則f（a）＝2a，從而可求a
【解答過程】解：若a≤0，則f（a）＝a2+1＝10
∴a＝﹣3（a＝3舍去）
若a＞0，則f（a）＝2a＝10
∴a＝5
綜上可得，a＝5或a＝﹣3
故選：B．
【變式5-2】（2021秋 凌河區校級期末）設函數，若f（a）＝a，則實數a的值為（　　）
A．±1 B．﹣1 C．﹣2或﹣1 D．±1或﹣2
【解題思路】由分段函數的解析式知，當x≥0時，f（X）；當x＜0時，f（x）；分別令f（a）＝a，即得實數a的取值．
【解答過程】解：由題意知，f（a）＝a；
當a≥0時，有，解得a＝﹣2，（不滿足條件，舍去）；
當a＜0時，有，解得a＝1（不滿足條件，舍去）或a＝﹣1．
所以實數a 的值是：a＝﹣1．
故選：B．
【變式5-3】（2021秋 庫爾勒市校級期末）已知函數f（x），則f（f（﹣2））的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【解題思路】已知f（x）為分段函數，把x＝﹣2代入解析式y＝x2，得到f（﹣2），再把f（﹣2）看為一個整體，繼續代入求解；
【解答過程】解：∵已知函數，
∴f（﹣2）＝（﹣2）2，
∴f（f（﹣2））＝f（4）＝4，
故選：C．
【題型6 函數的表示法】
【方法點撥】
根據函數的三種表示方法的特點，具體問題具體分析，用適合的表示法表示出函數關系.
【例6】（2021 青島模擬）甲、乙兩人在一次賽跑中，從同一地點出發，路程S與時間t的函數關系如圖所示，則下列說法正確的是（　　）
A．甲比乙先出發 B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙兩人的速度相同 D．甲比乙先到達終點
【解題思路】根據圖象法表示函數，觀察甲，乙的出發時間相同；路程S相同；到達時間不同，速度不同來判斷即可．
【解答過程】解：從圖中直線的看出：K甲＞K乙；S甲＝S乙；
甲、乙同時出發，跑了相同的路程，甲先與乙到達．
故選：D．
【變式6-1】（2021秋 城關區校級期中）給出函數f（x），g（x）如表，則f[g（x）]的值域為（　　）
x 1 2 3 4
f（x） 4 3 2 1
x 1 2 3 4
g（x） 1 1 3 3
A．{4，2} B．{1，3}
C．{1，2，3，4} D．以上情況都有可能
【解題思路】當x＝1或x＝2時，g（1）＝g（2）＝1，f（g（1））＝f（g（2））＝f（1）＝4；當x＝3或x＝4時，g（3）＝g（4）＝3，由表中可得f（g（3））＝f（g（4））＝f（3）＝2．于是可得答案．
【解答過程】解：∵當x＝1或x＝2時，g（1）＝g（2）＝1，
∴f（g（1））＝f（g（2））＝f（1）＝4；
當x＝3或x＝4時，g（3）＝g（4）＝3，
∴f（g（3））＝f（g（4））＝f（3）＝2．
故f[g（x）]的值域為{2，4}．
故選：A．
【變式6-2】（2021秋 欽州月考）一輛中型客車的營運總利潤y（單位：萬元）與營運年數x（x∈N）的變化關系如表所示，要使總利潤達到最大值，則該客車的營運年數是（　　）
x（年） 4 6 8 …
y＝ax2+bx+c 7 11 7 …
A．15 B．10 C．9 D．6
【解題思路】根據二次函數的圖象和性質即可得到結論．
【解答過程】解：由表格數據可知，當f（4）＝f（8）＝7．f（6）＞f（8），
則二次函數開口向下，且對稱軸為x＝6，
則根據二次函數的性質可知，當x＝6時，營運總利潤y最大為11，
故選：D．
【變式6-3】（2022秋 青羊區校級月考）某同學到長城旅游，他租自行車由賓館騎行前往長城，前進了akm，覺得有點累，休息后沿原路返回bkm（b＜a）．想起“不到長城非好漢”，便調轉車頭繼續前進．則該同學離起點的距離s與時間t的圖象大致為（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據該同學在行進過程中的前進方式的不同確定函數圖象即可．
【解答過程】解：第一段時間，該生騎車為直線方程形式，單調遞增．第二段實際休息，此時距離起點的距離不變，此時休息期間為常數，然后原路返回，此時距離減小，為遞減函數，然后調轉車頭繼續前進，此時距離逐步增加，所以圖象C合適．
故選：C．

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