資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題03 一元二次函數、方程和不等式（考點清單）
目錄
TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc8626" 一、思維導圖 2
HYPERLINK \l "_Toc28826" 二、知識回歸 2
HYPERLINK \l "_Toc6348" 三、典型例題講與練 3
考點清單 HYPERLINK \l "_Toc6439" 01 作差法比大小 3
HYPERLINK \l "_Toc17970" 【期末熱考題型1】比較兩個代數式的大小 3
HYPERLINK \l "_Toc10734" 考點清單02基本不等式的應用 4
HYPERLINK \l "_Toc7825" 【期末熱考題型1】和定，求積的最值 4
HYPERLINK \l "_Toc32721" 【期末熱考題型2】積定，求和的最值 5
HYPERLINK \l "_Toc649" 【期末熱考題型3】配湊法 5
HYPERLINK \l "_Toc6955" 【期末熱考題型4】“1”的妙用 5
HYPERLINK \l "_Toc29271" 【期末熱考題型5】代入消元法 6
HYPERLINK \l "_Toc16206" 【期末熱考題型6】二次與二次（或一次）商式 6
HYPERLINK \l "_Toc32744" 考點清單03 基本不等式在實際中的應用 7
HYPERLINK \l "_Toc10956" 【期末熱考題型1】在實際問題中判斷使用基本不等式求最值 7
HYPERLINK \l "_Toc31353" 考點清單04 分類討論法解決一元二次不等式（含參）問題 9
HYPERLINK \l "_Toc5915" 【期末熱考題型1】二次項系數不含參數 9
HYPERLINK \l "_Toc26662" 【期末熱考題型2】二次項系數含參 10
HYPERLINK \l "_Toc25181" 【期末熱考題型3】不能十字相乘法分解的一元二次不等式 11
HYPERLINK \l "_Toc17697" 考點清單05 一元二次不等式與對應函數、方程的關系 12
HYPERLINK \l "_Toc7242" 【期末熱考題型1】一元二次不等式與對應函數、方程的關系 12
HYPERLINK \l "_Toc32099" 考點清單06 分式不等式的解法 13
HYPERLINK \l "_Toc14224" 【期末熱考題型1】解分式不等式 13
HYPERLINK \l "_Toc32014" 考點清單07 不等式恒成立問題（有解問題） 14
HYPERLINK \l "_Toc27439" 【期末熱考題型1】一元二次不等式在上恒（能）成立 14
HYPERLINK \l "_Toc21739" 【期末熱考題型2】不等式在區間上恒（能）成立 15
HYPERLINK \l "_Toc27534" 考點清單08 一元二次不等式的實際應用 16
HYPERLINK \l "_Toc7061" 【期末熱考題型1】一元二次不等式的實際問題 16
一、思維導圖
二、知識回歸
知識回顧1：重要不等式
一般地，，有，當且僅當時，等號成立.
知識回顧2：基本不等式鏈
（其中，當且僅當時，取“”號）
（注意：一正，二定，三相等，特別“一正”，“三相等”這兩類陷阱）
知識回顧3：四個二次的關系
判別式
二次函數(的圖象
一元二次方程()的根 有兩個不相等的實數根，() 有兩個相等的實數根 沒有實數根
()的解集
()的解集
知識回顧4：一元二次不等式的解法
1：先看二次項系數是否為正，若為負，則將二次項系數化為正數；
2：寫出相應的方程，計算判別式：
①時，求出兩根，且（注意靈活運用十字相乘法）；
②時，求根；
③時，方程無解
3：根據不等式，寫出解集.
知識回顧5：分式不等式的解法
①移項化零：將分式不等式右邊化為0：
②
③
④
⑤
三、典型例題講與練
01 作差法比大小
【期末熱考題型1】比較兩個代數式的大小
【解題方法】作差法
【典例1】（多選）（2023上·四川成都·高一樹德中學校考期中）下列命題中正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【典例2】（2022上·河北衡水·高一校考階段練習）已知關于的不等式的解集為．
(1)求的值；
(2)當時，比較與的大小．
【專訓1-1】（多選）（2023上·山東青島·高一青島大學附屬中學校考階段練習）在a克的糖水中含有b克的糖（），再添加少許的糖m克（），全部溶解后糖水更甜了，由此得糖水不等式，若，則（ ）
A．若，則 B．若，則
C． D．當時，．
【專訓1-2】（2023上·浙江金華·高一校考階段練習）（1）已知，試比較與的大小；
已知，為實數，試比較與的大小.
02基本不等式的應用
【期末熱考題型1】和定，求積的最值
【解題方法】基本不等式
【典例1】（2023上·甘肅酒泉·高一校考期中）若，則的最大值是（ ）
A． B．4 C．8 D．16
【典例2】（2023上·河南省直轄縣級單位·高一濟源市第四中學校考階段練習）已知正數a，b滿足，則的最大值為 .
【專訓1-1】（2023·江蘇·高一專題練習）若，則的最大值是 .
【期末熱考題型2】積定，求和的最值
【解題方法】基本不等式
【典例1】（2023上·廣東深圳·高一校考階段練習）設，則的最大值是（ ）
A．3 B． C． D．
【典例2】（2023上·上海普陀·高一校考期中）已知：，則的最小值是 ．
【專訓1-1】（2023上·上海閔行·高三校考期中）已知，則函數的最小值是 ．
【期末熱考題型3】配湊法
【解題方法】拼湊項，化整體，利用基本不等式
【典例1】（2024上·廣東·高三校聯考階段練習）若，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【典例2】（2023上·北京順義·高一校考期中）函數的最小值是 ；此時 .
【專訓1-1】（2023上·山西朔州·高一懷仁市第一中學校校考階段練習）已知，則的最小值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【專訓1-2】（2023上·廣東廣州·高一廣州空港實驗中學校考期中）設均為正數，且，則的最小值是 ．
【期末熱考題型4】“1”的妙用
【解題方法】將已知條件中的等式與目標式相乘
【典例1】（2023上·北京·高一北京市十一學校校考期末）已知實數，滿足，，且，則的最小值為（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
【典例2】（2023上·四川成都·高一成都市錦江區嘉祥外國語高級中學校考期中）若，則的最小值為（ ）
A．12 B． C． D．
【專訓1-1】（2023上·上海黃浦·高一上海市大同中學校考期中）已知，且，則的最小值為 ．
【專訓1-2】（2023上·江西贛州·高一贛州市第三中學校聯考期中）設，則的最小值為 .
【期末熱考題型5】代入消元法
【解題方法】帶入消元
【典例1】（2023上·黑龍江·高一校聯考期中）已知，，，則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【典例2】（2023上·重慶渝北·高三重慶市渝北中學校校考階段練習）已知，，且，則的最小值為 .
【專訓1-1】（2023上·江蘇無錫·高一輔仁高中校考階段練習）若，且，的最小值為（ ）
A．15 B． C．17 D．
【專訓1-2】（2023上·江蘇揚州·高三統考階段練習）已知正實數滿足，則的最小值是 ．
【期末熱考題型6】二次與二次（或一次）商式
【解題方法】分離變量法
【典例1】（2022上·四川成都·高一石室中學校考階段練習）設，則 （ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2021·高一課時練習）當時，求的最小值．
【專訓1-1】（2022上·湖南益陽·高一校考階段練習）已知，則函數的最小值是 ．
【專訓1-2】（2021·天津河西·統考模擬預測）函數的最小值為 .
03 基本不等式在實際中的應用
【期末熱考題型1】在實際問題中判斷使用基本不等式求最值
【解題方法】基本不等式
【典例1】（2023上·江蘇南通·高一統考期中）第十九屆亞運會于2023年9月23日在杭州舉辦，本屆亞運會吉祥物是一套名為“江南憶”的三個機器人模型，三個機器人模型分別取名“琮琮”、“蓮蓮”、“宸宸”.某公益團隊聯系亞運會組委會計劃舉辦一場吉祥物商品展銷會，成套出售“江南憶”，將所獲利潤全部用于體育設施建設.據市場調查：每套吉祥物紀念品的供貨價格分為固定價格和浮動價格兩部分，其中固定價格為60元，（單位：元，其中銷售量單位為：萬套）.而當每套吉祥物售價定為x元時，銷售量可達到萬套.注：利潤＝（售價－供貨價格）×銷售量（不計其他成本）
(1)每套吉祥物紀念品售價為125元時，能獲得的總利潤是多少萬元？
(2)每套吉祥物紀念品售價為多少元時，單套吉祥物的利潤最大？并求出最大值.
【典例2】（2023上·上海浦東新·高一上海市建平中學校考期中）已知某公司生產某款產品的年固定成本為30萬元，每萬件產品還需另外投入16萬元，設該公司一年內共生產萬件產品并全部銷售完，每萬件產品的銷售收入為萬元，且已知.
(1)求一年的總利潤W（萬元）關于年產量x（萬件）的函數解析式：
(2)已知某年的年產量超過40萬件，當年產量為多少萬件時，公司在該款產品的生產中所獲得的總利潤最大 并求出最大總利潤.（總利潤=總銷售收入-固定成本-額外投入）
【專訓1-1】（2023上·江蘇蘇州·高一江蘇省黃埭中學校考階段練習）某單位有員工1000名，平均每人每年創造利潤10萬元，為了增加企業競爭力，決定優化產業結構，調整出名員工從事第三產業，調整出的員工平均每人每年創造利潤為萬元，剩余員工平均每人每年創造的利潤可以提高.
(1)若要保證剩余員工創造的年總利潤不低于原來1000名員工創造的年總利潤，則最多調整出多少名員工從事第三產業？
(2)在（1）的條件下，若調整出的員工創造的年總利潤始終不高于剩余員工創造的年總利潤，則的取值范圍是多少？
【專訓1-2】（2023上·福建福州·高一福州高新區第一中學（閩侯縣第三中學）校聯考期中）某集裝箱碼頭在貨物裝卸與運輸上進行大力改進，改進后單次裝箱的成本（單位：萬元）與貨物量（單位：噸）滿足函數關系式，單次裝箱收入（單位：萬元）與貨物量的函數關系式已知單次裝箱的利潤，且當時，.
(1)求實數的值；
(2)當單次裝箱貨物量為多少噸時，單次裝箱利潤可以達到最大，并求出最大值.
04 分類討論法解決一元二次不等式（含參）問題
【期末熱考題型1】二次項系數不含參數
【解題方法】十字相乘法+分類討論法
【典例1】（2023上·貴州六盤水·高一統考期中）解關于的不等式.
【典例2】（2023上·福建南平·高一福建省南平市高級中學校考期中）設.
(1)當時，的解集；
(2)解關于的不等式.
【專訓1-1】（2023上·北京石景山·高一校考期中）已知函數，其中.
(1)當時，求的最小值；
(2)求不等式的解集.
【專訓1-2】（2023上·廣東廣州·高一廣州市第五中學校考期中）已知函數，.
(1)求不等式的解集；
【期末熱考題型2】二次項系數含參
【解題方法】十字相乘法+分類討論法
【典例1】（2023上·天津·高一校聯考期中）設
(1)若不等式對一切實數恒成立，求實數的取值范圍；
(2)解關于的不等式.
【典例2】（2023上·福建莆田·高一莆田第四中學校考期中）已知．
(1)若的解集為，求關于的不等式的解集；
(2)解關于的不等式．
【專訓1-1】（2023上·河南南陽·高三校考階段練習）解關于x的不等式．
【專訓1-2】（2023上·河北承德·高一承德市雙灤區實驗中學校考期中）已知不等式．
(1)若，解不等式．
(2)當時，求關于的不等式的解集．
【期末熱考題型3】不能十字相乘法分解的一元二次不等式
【解題方法】法
【典例1】（2023上·上海楊浦·高一上海市楊浦高級中學校考期中）（1）若對一切恒成立，求實數的取值范圍；
（2）解關于的不等式：.
【典例2】（2023上·北京·高一北京市十一學校校考期中）（1）解方程組；
（2）解關于的不等式；
（3）已知關于的不等式的解集為，求關于的不等式的解集.
【專訓1-1】（2023上·廣東佛山·高一佛山市順德區樂從中學校考階段練習）討論下列一元二次不等式的解集：
(1)，；
(2)，.
05 一元二次不等式與對應函數、方程的關系
【期末熱考題型1】一元二次不等式與對應函數、方程的關系
【解題方法】根與系數的關系
【典例1】（2023上·浙江臺州·高一校聯考期中）不等式的解集為，則下列選項正確的為（ ）
A．
B．
C．不等式的解集為
D．不等式的解集為或
【典例2】（多選）（2023上·河南南陽·高一校考階段練習）已知關于的不等式的解集為，則下列說法正確的有（　　）
A． B．不等式的解集是
C． D．不等式的解集為
【專訓1-1】（2023·全國·高一專題練習）已知關于x的不等式的解集為，求關于x的不等式的解集（ ）
A． B．或
C． D．或
【專訓1-2】（多選）（2020上·浙江溫州·高一溫州中學校考階段練習）已知關于x的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．不等式的解集為
C．不等式的解集為或
D．
06 分式不等式的解法
【期末熱考題型1】解分式不等式
【解題方法】轉化為一元二次不等式
【典例1】（2023上·江蘇蘇州·高一江蘇省蘇州第十中學校校考階段練習）不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·貴州黔西·高一校考期中）（1）求不等式的解集；
（2）解不等式：.
【專訓1-1】（2023上·山東泰安·高一泰安一中校考期中）關于的不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【專訓1-2】（2023上·北京·高一匯文中學校考期中）不等式的解集是 ．
07 不等式恒成立問題（有解問題）
【期末熱考題型1】一元二次不等式在上恒（能）成立
【解題方法】判別法+分類討論法
【典例1】（2023上·河北石家莊·高一石家莊市第二十四中學校考階段練習）若不等式對一切實數都成立，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·云南曲靖·高一宣威市第三中學校考階段練習）已知不等式的解集為或．
(1)求的值；
(2)為何值時，的解集為．
【典例3】（2023上·福建南平·高一校考階段練習）設函數.若關于的不等式有實數解，求實數的取值范圍.
【專訓1-1】（2023上·江蘇揚州·高一揚州中學校考期中）若不等式對于任意恒成立，則實數k的取值范圍為 ．
【專訓1-2】（2023上·新疆阿克蘇·高一校考階段練習）已知函數．
若對，有成立，求實數a的取值范圍；
【期末熱考題型2】不等式在區間上恒（能）成立
【解題方法】變量分離法
【典例1】（2023上·山西呂梁·高三統考階段練習）已知關于x的不等式在上恒成立，則a的最小值為 .
【典例2】（2023上·福建·高一福建省羅源第一中學校聯考期中）已知函數
(1)若的解集是或，求實數的值；
(2)當時，若時函數有解，求的取值范圍．
【專訓1-1】（2023上·山東青島·高一山東省青島第十七中學校考期中）命題：，.若為真命題，則實數的取值范圍是 .
【專訓1-2】（2023上·河南鄭州·高一校考階段練習）已知不等式的解集為．
(1)若，且，求實數a的取值范圍．
(2)若對于有解，求實數a的取值范圍．
08 一元二次不等式的實際應用
【期末熱考題型1】一元二次不等式的實際問題
【解題方法】分解因式解不等式
【典例1】2．（2023上·湖南株洲·高一校考階段練習）某公司生產某種產品，其年產量為x萬件時利潤為萬元.
(1)當時，年利潤為，若公司生產量年利潤不低于400萬時，求生產量x的范圍；
(2)在（1）的條件下，當時，年利潤為.求公司年利潤的最大值.
【典例2】（2023·高一課時練習）某旅店有200張床位．若每張床位一晚上的租金為50元，則可全部租出；若將出租收費標準每晚提高元（為正整數），則租出的床位會相應減少張．若要使該旅店某晚的收入超過12600元，則每張床位的出租價格可定在什么范圍內？
【專訓1-1】（2023·全國·高一專題練習）某小型雨衣廠生產某種雨衣,售價P(元/件)與月銷售量x(件)之間的關系為P＝160－2x,生產x件的成本R＝500＋30x.若每月獲得的利潤y不少于1300元,則該廠的月銷售量x的取值范圍為 .
參考答案：
【期末熱考題型1】比較兩個代數式的大小
【典例1】
【答案】CD
【詳解】對于A項：因為：，，所以得：，
又因為：，所以得：，故A項錯誤；
對于B項：令，，所以得：，但，故B項錯誤；
對于C項：由，得：，所以得：，故C項正確；
對于D項：由，，得：，
所以得：，故D項正確；
故選：CD.
【典例2】
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因為的解集為，
所以，解得.
故k的值為.
（2）由（1）知，，所以，
因為，所以，，
所以
，
所以，
即：.
【專訓1-1】
【答案】ABC
【詳解】由，則，
若，
若，則，故；
若，則，故；
由題設，結合不等式性質顯然有；
故選：ABC
【專訓1-2】
【答案】（1）答案見解析（2）≥
【詳解】（1）【作差比較法，分類討論】
∵，
又∵，，
∴當時，，所以；
當時，，所以；
當時，，所以.
綜上，當時，；當時，；當時，.
（2）【作差比較法，配方變形】
，
當且僅當，取等號.
所以≥.
【期末熱考題型1】和定，求積的最值
【典例1】
【答案】B
【詳解】因為，可得，則，
當且僅當時，即時，等號成立，所以的最大值為.
故選：B.
【典例2】
【答案】/
【詳解】因為正數a，b滿足，所以，平方化簡得，
當且僅當時，等號成立，所以的最大值為.
故答案為：
【專訓1-1】
【答案】
【詳解】由得，，，
因為，，所以利用基本不等式可得，
整理得，即，即，當且僅當即時，等號成立，
所以.故當時，的最大值為.
故答案為.
【期末熱考題型2】積定，求和的最值
【典例1】
【答案】B
【詳解】因為，則，
當且僅當，即時，等號成立，
可得，
所以的最大值是.
故選：B.
【典例2】
【答案】2
【詳解】由，得，因此，
當且僅當，即時取等號，
所以當時，取得最小值2.
故答案為：2
【專訓1-1】
【答案】
【詳解】因為，所以，
由基本不等式可得，
當且僅當，即時等號成立，
故答案為：
【期末熱考題型3】配湊法
【典例1】
【答案】D
【詳解】因為，所以，
所以，當且僅當，即時取等號.
故選：D.
【典例2】
【答案】 12 2
【詳解】，
因為，所以，；
當且僅當，即時，取到等號，所以的最小值為12.
故答案為：12，2.
【專訓1-1】
【答案】A
【詳解】，
當且僅當，即時，等號成立.
故選：A.
【專訓1-2】
【答案】
【詳解】因為均為正數，且，
所以，
當且僅當，即時取等，
所以的最小值是.
【期末熱考題型4】“1”的妙用
【典例1】
【答案】C
【詳解】因為，，且，
所以，
當且僅當，即時取等號，
則的最小值為12．
故選：C．
【典例2】
【答案】D
【詳解】因為，故，則，
故
，
當且僅當，即時等號成立，
即的最小值為，
故選：D
【專訓1-1】
【答案】
【詳解】，且，則，
當且僅當，即時取等號，
所以當時，取得最小值.
故答案為：
【專訓1-2】
【答案】
【詳解】因為，所以，，
則
，
當且僅當，即時，等號成立.
則的最小值為.
故答案為：.
【期末熱考題型5】代入消元法
【典例1】
【答案】A
【詳解】由，，，得，
故，故；
所以，
當且僅當，結合，即時等號成立．
即的最小值為2，
故選：A
【典例2】
【答案】/
【詳解】由，可得，因為，可得，
，
當時，即時，等號成立.
所以的最小值為.
故答案為：
【專訓1-1】
【答案】C
【詳解】∵，
∴，其中，
∴，
又∵，∴，
則
，
當且僅當即時，等號成立.
∴的最小值為17.
故選：C
【專訓1-2】
【答案】
【詳解】由題設且，則，
所以，
當且僅當，時等號成立，
所以的最小值是.
故答案為：
【期末熱考題型6】二次與二次（或一次）商式
【典例1】
【答案】D
【詳解】，則，
，
當且僅當時，等號成立，則.
故選：D.
【典例2】
【答案】5．
【詳解】，
當且僅當時，等號成立，即．
【專訓1-1】
【答案】
【詳解】因為，
當且僅當，即時，等號成立.
所以函數的最小值是
故答案為:.
【專訓1-2】
【答案】9
【詳解】因為，則，
所以
，
當且僅當即時等號成立，
∴已知函數的最小值為9.
故答案為：9.
【期末熱考題型1】在實際問題中判斷使用基本不等式求最值
【典例1】
【答案】(1)320
(2)售價為145元，利潤最大，最大值為80元
【詳解】（1）每套吉祥物紀念品售價為125元時，
銷售量為（萬套），
供貨單價為（元），
總利潤為（萬元）.
（2）設單套售價為元，此時銷售量為萬套，
供貨價格為元，
同時，所以.
所以單套利潤為
，
當且僅當，即時取等號.
所以每套吉祥物售價為145元時，單套的利潤最大，最大值是80元.
【典例2】
【答案】(1)，
(2)50; 5770萬元
【詳解】（1）一年的總利潤:
（2）年產量超過40萬件，即，此時
，
當且僅當，即時取等號.
故當年產量為50萬件時，公司在該款產品的生產中所獲得的總利潤最大，最大總利潤為5770萬元.
【專訓1-1】
【答案】(1)500名
(2)
【詳解】（1）由題意得：，
即，又，所以.
即最多調整500名員工從事第三產業.
（2）從事第三產業的員工創造的年總利潤為萬元，
從事原來產業的員工的年總利潤為萬元，
則
所以
所以，
即恒成立，
因為，
當且僅當，即時等號成立.
所以，又，所以，
即的取值范圍為.
【專訓1-2】
【答案】(1)
(2)每日產量為噸時，日利潤最大萬元
【詳解】（1）由題意得，每日利潤與日產量的函數關系式為:
，
當時，，即：，
解得.
（2）當時，為單調遞減函數，
故當時，的最大值為，
當時，，
當且僅當，
即時，的最大值為，
綜合上述情況，當每日產量為噸時，日利潤最大萬元.
【期末熱考題型1】二次項系數不含參數
【典例1】
【答案】時，解集為；時，解集為；時，解集為.
【詳解】由題可得，得，
①當時，即當時，解得；
②當時，即當時，原不等式無解；
③當時，即當時，解得，
綜上可得：
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為.
【典例2】
【答案】(1).
(2)答案見解析.
【詳解】（1）當時，，解得或，
所以不等式的解集為：.
（2）不等式等價于.
當即時，不等式可化為，不等式的解集為；
當即時，不等式可化為，不等式的解集為；
當即時，不等式可化為，此時.
綜上所述：
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為.
【專訓1-1】
【答案】(1)
(2)答案見解析
【詳解】（1）當時，，
所以，當時，有最小值.
（2）解可得，或.
當時，恒成立，
即此時不等式的解集為R；
當時，
解不等式可得，或，
此時不等式的解集為或；
當時，
解不等式可得，或，
此時不等式的解集為或.
綜上所述，當時，不等式的解集為R；
當時，不等式的解集為或；
當時，不等式的解集為或.
【專訓1-2】
【答案】(1)答案見解析
【詳解】（1）因為，
所以由，得，則，
當時，，所以的解集為；
當時，不等式為，故其解集為；
當時，，所以的解集為；
綜上：當時，的解集為；
當時，的解集為；
當時，的解集為；
【期末熱考題型2】二次項系數含參
【典例1】
【答案】(1)
(2)答案見解析
【詳解】（1）由題意可得對一切實數成立，
即對一切實數成立，
當時，不滿足題意；
當時，得， 解得，
所以實數的取值范圍為
（2）由題意可得，
即，
當時，不等式可化為，解集為，
當時，，即，即
解集為，
當時，，即，即，
①當，解集為，
②當，解集為，
③當，解集為.
綜上所述：
當時，
當時，不等式的解集為，
當，不等式的解集為，
當，不等式的解集為，
當，不等式的解集為.
【典例2】
【答案】(1)
(2)答案見解析
【詳解】（1）因為的解集為，即的解集為，
所以、為關于的方程的兩根且，
所以，解得，
所以等價于，解得或，
故關于的不等式的解集為.
（2）不等式，即，即，
當時，原不等式可化為，解得；
當時，原不等式可化為，解得或；
當時，原不等式可化為，
當，即時，解得；
當，即時，解得；
當，即時，解得．
綜上所述，當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為；
當時，原不等式的解集為．
【專訓1-1】
【答案】當時，不等式的解集為；
當時，則不等式的解集為；
當時，不等式的解集為，
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為.
【詳解】當時，即，則不等式的解集為；
當時，由，即，
當時，，則不等式的解集為；
當時，則，若，即時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為；
綜上：當時，不等式的解集為；
當時，則不等式的解集為；
當時，不等式的解集為，
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為.
【專訓1-2】
【答案】(1).
(2)當時，不等式的解集為：.
當時，不等式的解集為：.
當時，不等式的解集為：.
當時，不等式的解集為：.
【詳解】（1）當時，代入不等式得，
整理式子，
所以不等式的解集為：.
（2）當時，代入不等式得，解得.
當時，不等式整理得，對應得方程，有兩個根或.
所以對兩根大小進行討論：
當，即時，不等式的解集為：.
當，即時，不等式的解集為：.
當，即時，不等式的解集為：.
綜上所述：當時，不等式的解集為：.
當時，不等式的解集為：.
當時，不等式的解集為：.
當時，不等式的解集為：.
【期末熱考題型3】不能十字相乘法分解的一元二次不等式
【典例1】
【答案】（1）；（2）答案見解析
【詳解】（1）因為對一切恒成立，
當時，則有，合乎題意；
當時，則有，解得.
綜上所述，實數的取值范圍是；
（2）對于不等式，.
當時，即當時，不等式的解集為；
當時，即當或時，解不等式可得或，
此時，不等式的解集為或.
綜上所述，當時，不等式的解集為；
當當或時，不等式的解集為或.
【典例2】
【答案】（1）或；（2）答案見解析；（3）或
【詳解】（1）由，消得到，整理得到，
得到或，
當時，，當時，，
所以，方程組的解為或.
（2），
當，即時，不等式的解集為，
當，即或，
當時，不等式即為，得到，
當時，不等式即為，得到，
當，即或時，方程有兩解或，此時不等式的解為或，
綜上所述，當時，不等式的解集為，
當時，不等式的解集為，
當時，不等式的解集為，
當或時，不等式的解集為或.
（3）因為不等式的解集為，
則有，且的兩根為，由韋達定理得，得到，
不等式可化為，即，
解得或，
故不等式的解集為或.
【專訓1-1】
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【詳解】（1）解：不等式，化為，則
①當時，解得或；
②當時，解得；
③當時，解得或.
綜上所述：①當時，解集為或；
②當時，解集為；
③當時，解集為或.
（2）方程的，則
①當即時，由可解得；
②當即時，方程的兩個根為
，且，
所以由可解得或.
綜上所述：①當時，解集為；
②當時，解集為或.
【期末熱考題型1】一元二次不等式與對應函數、方程的關系
【典例1】
【答案】D
【詳解】記，因為
所以，故A錯誤；
因為
所以，故B錯誤；
由題知和2是方程的兩個實根，
所以，且
解得
故或，C錯誤；
或，D正確；
故選：D.
【典例2】
【答案】AC
【詳解】由已知可得且-1，2是方程的兩根，所以A選項正確；
由根與系數的關系可得，解得，，
則不等式可化為，即，所以，所以B選項不正確；
因為，所以C選項正確；
不等式可化為，化為，
解不等式得或，故不等式的解集為，
所以D選項不正確.
故選：AC.
【專訓1-1】
【答案】C
【詳解】因為不等式的解集為，
所以1和2是對應方程的解，且，
由根與系數的關系知,解得;
所以不等式化為，
即，解得，
所以不等式的解集為．
故選：C
【專訓1-2】
【答案】AC
【詳解】關于x的不等式的解集為，
所以二次函數的開口方向向上，即，故A正確；
且方程的兩根為－3、4，由韋達定理得，解得.
對于B，，由于，所以，
所以不等式的解集為，故B不正確；
對于C，因為，所以，即，
所以，解得或，
所以不等式的解集為或，故C正確；
對于D，，故D不正確.
故選：AC.
【期末熱考題型1】解分式不等式
【典例1】
【答案】A
【詳解】，即即，
∴，得，
∴不等式的解集為.
故選：A.
【典例2】
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）解：由不等式，可得化為，
解得或，即不等式的解集為.
（2）由不等式，即，解得或，
解不等式的解集為.
【專訓1-1】
【答案】D
【詳解】由，得，
解得，所以不等式的解集為.
故選：D
【專訓1-2】
【答案】
【詳解】由題設，則，解得.
故答案為：
【期末熱考題型1】一元二次不等式在上恒（能）成立
【典例1】
【答案】D
【詳解】當時，恒成立，即有，符合題意；
當時，，解得，
所以實數的取值范圍是.
故選：D.
【典例2】
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）不等式的解集為或，
所以1和是方程的實數根，
方程可化為，
由根與系數的關系知，，
解得.
（2）由（1）知：不等式為，
令，解得，
所以當時，不等式的解集為．
【典例3】
【答案】
【詳解】依題意，有實數解，即不等式有實數解，
當時，有實數解，則，
當時，取，則成立，
即有實數解，
于是得，
當時，二次函數的圖象開口向下，要有解，
當且僅當，從而得，
綜上，，
所以實數的取值范圍是.
【專訓1-1】
【答案】
【詳解】不等式對于任意恒成立，
即，設，
則，即實數k的取值范圍為.
故答案為：.
【專訓1-2】
【答案】(1)
【詳解】（1）因為，
則，
解得或，
故實數的范圍為.
【期末熱考題型2】不等式在區間上恒（能）成立
【典例1】
【答案】
【詳解】由不等式在上恒成立，
得在上恒成立，所以，
所以在上恒成立，
又，
所以，當且僅當，即時，等號成立.
所以，故a的最小值為.
故答案為：
【典例2】
【答案】(1)1
(2)
【詳解】（1）依題意，的解集是或，則，
且是方程的兩個根，
所以，解得．
（2）時，在有解，
即在有解，
法一：因為的開口向上，對稱軸
①即時，函數取得最小值.
②即時，當取得最小值，此時，
解得或.又.
③當即，當時取得最小值，此時不成立，
即無解.
綜上，．
法二：在有解，
當時不成立，
當時，即在有解，，
令，，
當且僅當即取“”，，.
【專訓1-1】
【答案】
【詳解】因為，為真命題，
則在上恒成立，
令，，
則，所以，
所以實數的取值范圍是.
故答案為：
【專訓1-2】
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題知在上恒成立，
又，所以，解得，
所以，實數a的取值范圍為.
（2）由，得到，
因為恒成立，故，
令，因為，所以，
故，
又因為對于有解，即在區間上有解，
故，所以實數a的取值范圍為.
【期末熱考題型1】一元二次不等式的實際問題
【典例1】
【答案】(1)
(2)480萬元
【詳解】（1）當時，令，
即，解得：，
所以生產量x的范圍是；
（2）當時，，
則，
當時，，
當且僅當時，等號成立，
則此時最大值為萬元，
綜上，公司年利潤的最大值為480萬元.
【典例2】
【答案】每個床位的出租價格應定在70元到180元之間（不包括70元，180元）
【詳解】設該旅店某晚的收入為y元，則
由題意，則
即，即，
解得：，且
所以每個床位的出租價格應定在70元到180元之間（不包括70元，180元）
【專訓1-1】
【答案】
【詳解】由題意,得:
,令,得,
,.
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