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第一章 數(shù)與式
第三節(jié) 分式及其運算
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 分式的相關概念 ☆ 在中考，主要考查分式的意義和分式值為零情況，常以選擇題、填空題為主；分式的基本性質和分式的運算考查常以選擇題、填空題、解答題的形式命題.
考點2 分式的基本性質 ☆☆
考點3分式的運算 ☆☆☆
1．分式的基本概念：
(1)形如(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．
(2)當B≠0時，分式有意義；當B＝0時，分式無意義；當A＝0且B≠0時，分式的值為零．
(3)最簡分式需滿足的條件：分子、分母沒有公因式．
2．分式的基本性質：
(1)基本性質：分式的分子與分母都乘(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變，用式子可表示為＝，＝(其中M是不等于零的整式)．
(2)符號法則：分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變．
用式子表示為：＝－＝＝－，－＝＝．
3．分式的約分、通分：
把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分．
把幾個異分母分式化為與原分式的值相等的同分母分式，叫做分式的通分．
4．分式的運算法則：
(1)分式的加減：
同分母相加減：±＝；
異分母相加減：±＝．
(2)分式的乘除：
·＝；÷＝．
(3)分式的乘方：
＝(n為正整數(shù))．
5．分式的混合運算：
在分式的混合運算中，應先算乘方，再將除法化為乘法，進行約分化簡，最后進行加減運算．若有括號，先算括號里面的．靈活運用運算律，運算結果必須是最簡分式或整式．
■考點一　分式的有關概念
◇典例1：（2023 海曙區(qū)一模）對于分式，下列說法錯誤的是（　　）
A．當x＝2時，分式的值為0 B．當x＝3時，分式無意義
C．當x＞2時，分式的值為正數(shù) D．當x＝時，分式的值為1
【考點】分式的值；分式有意義的條件；分式的值為零的條件．
【答案】C
【點撥】根據(jù)分式的值為0的條件，分式有意義的條件，分式的值為正，分式的值的求解分別判斷即可．
【解析】解：當x＝2時，2﹣x＝0，2x﹣6＝﹣2≠0，
所以當x＝2時，分式的值為0，
故A不符合題意；
當x＝3時，2x﹣6＝6﹣6＝0，
所以當x＝3時，分式無意義，
故B不符合題意；
當x＞2時，2﹣x＜0，2x﹣6＞﹣2，
所以分式的值有可能為正數(shù)，有可能為負數(shù)，有可能無意義，
故C選項符合題意；
當x＝時，1，
所以當x＝時，分式的值為1，
故D不符合題意，
故選：C．
【點睛】本題考查了分式的值，分式的值為零，分式有意義的條件，分式的值為正，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023 錢塘區(qū)三模）若在實數(shù)范圍內有意義，則實數(shù)x的取值范圍是 　x≠2　．
【考點】分式有意義的條件．
【答案】x≠2．
【點撥】根據(jù)分式有意義的條件列不等式組求解．
【解析】解：由題意可得x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故答案為：x≠2．
【點睛】本題考查分式有意義的條件，理解分式有意義的條件（分母不能為零）是解題關鍵．
2．（2022 湖州）當a＝1時，分式的值是 　2　．
【考點】分式的值．
【答案】2．
【點撥】把a＝1代入分式計算即可求出值．
【解析】解：當a＝1時，
原式＝＝2．
故答案為：2．
【點睛】此題考查了分式的值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
3．（2023 南潯區(qū)二模）若分式的值為0，則x的值為（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝3
【考點】分式的值為零的條件．
【答案】A
【點撥】分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零，據(jù)此求出x的值即可．
【解析】解：∵分式的值為0，
∴x+2＝0且x﹣3≠0，
解得：x＝﹣2．
故選：A．
【點睛】此題主要考查了分式值為零的條件，解答此題的關鍵是要明確：分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不為零”這個條件不能少．
■考點二 分式的基本性質
◇典例2：（2022 西寧二模）下列計算中，正確的是（　　）
A． B． C． D．
【考點】分式的基本性質．
【答案】D
【點撥】分別計算各選項，即可得出答案．
【解析】解：A.，不符合題意；
B．分子和分母都是整體，當分子分母都除以x的時候，y也要除以x，不符合題意；
C．分子和分母沒有公因式，不能約分，不符合題意；
D.，符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了分式的約分，分式的基本性質，考核學生的計算能力，約分的時候注意分子分母都是一個整體，有公因式才可以約分．
◆變式訓練
1．（2023 霞山區(qū)一模）下列運算中正確的是（　　）
A． B． C． D．
【考點】分式的基本性質．
【答案】C
【點撥】根據(jù)分式的基本性質即可求出答案．
【解析】解：（A）原式＝，故A錯誤；
（B）原式＝＝，故B錯誤；
（D）原式＝，故D錯誤；
故選：C．
【點睛】本題屬于基礎應用題，只需學生熟練掌握分式的基本性質，即可完成．
2．（2023 武安市二模）若m，n的值均擴大到原來的3倍，則下列分式的值保持不變的是（　　）
A． B． C． D．
【考點】分式的基本性質．
【答案】B
【點撥】利用分式的基本性質，進行計算逐一判斷即可解答．
【解析】解：A、＝≠，故A不符合題意；
B、＝＝，故B符合題意；
C、＝≠，故C不符合題意；
D、＝≠，故D不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了分式的基本性質，熟練掌握分式的基本性質是解題的關鍵．
■考點三 分式的運算
◇典例3：（2023 溫州）計算：．
【考點】分式的加減法．
【答案】a﹣1．
【點撥】直接利用分式的加減運算法則計算，再利用分式的性質化簡得出答案．
【解析】解：原式＝
＝
＝a﹣1．
【點睛】此題主要考查了實數(shù)的運算以及分式的加減運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
◆變式訓練
1．（2023 鹿城區(qū)校級模擬）計算：＝　y　．
【考點】分式的乘除法．
【答案】y．
【點撥】先把前面分式的分子、分母因式分解，再約分，再根據(jù)分式的乘法法則計算即可．
【解析】解：原式＝
＝
＝y(tǒng)，
故答案為：y．
【點睛】本題考查的是分式的乘法，分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母．
2．（2023 甌海區(qū)模擬）計算：＝　1　．
【考點】分式的加減法．
【答案】1．
【點撥】根據(jù)分式的運算法則即可求出答案．
【解析】解：原式＝
＝1．
【點睛】本題考查分式的運算，解題的關鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于基礎題型．
3．（2023 余姚市二模）化簡：；
【考點】分式的加減法；解一元一次不等式．
【答案】
【點撥】先通分，然后合并，化為最簡分式解題；
【解析】解：
＝
＝
＝
＝．
【點睛】本題考查分式的加減運算，掌握運算法則是解題的關鍵．
4．（2023 海寧市校級一模）計算：．
【考點】分式的混合運算．
【答案】．
【點撥】先算括號內的式子，然后計算括號外的除法即可．
【解析】解：
＝
＝
＝．
【點睛】本題考查分式的混合運算，靈活運用分式的相關運算法則是解題的關鍵．
■考點四　分式的化簡求值
◇典例4：（2022 金華模擬）已知a2+2a﹣1＝0，求代數(shù)式的值．
【考點】分式的化簡求值．
【答案】1．
【點撥】原式小括號內的式子先進行通分計算，然后算括號外面的除法，最后利用整體思想代入求值．
【解析】解：原式＝[] a（a﹣1）
＝（+） a（a﹣1）
＝ a（a﹣1）
＝a2+2a，
∵a2+2a﹣1＝0，
∴a2+2a＝1，
∴原式＝1．
【點睛】本題考查分式的化簡求值，掌握分式混合運算的運算順序（先算乘方，然后算乘除，最后算加減，有小括號先算小括號里面的）和計算法則，利用整體代入求值是關鍵．
◆變式訓練
1．（2021 衢州）先化簡，再求值：，其中x＝1．
【考點】分式的化簡求值．
【答案】x+3，4．
【點撥】根據(jù)分式的加法法則把原式化簡，把x的值代入計算，得到答案．
【解析】解：原式＝﹣
＝
＝
＝x+3，
當x＝1時，原式＝1+3＝4．
【點睛】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的加減混合運算法則是解題的關鍵．
2．（2023 余杭區(qū)二模）先化簡，再求值：，其中x＝﹣3．
【考點】分式的化簡求值．
【答案】x﹣1，﹣4．
【點撥】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把x的值代入進行計算即可．
【解析】解：原式＝
＝
＝x﹣1，
當x＝﹣3時，
原式＝﹣3﹣1＝﹣4．
【點睛】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解題的關鍵．
1．（2023 寧波）要使分式有意義，x的取值應滿足 　x≠2　．
【考點】分式有意義的條件．
【答案】x≠2．
【點撥】當分母不等于0時，分式有意義．
【解析】解：由題意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故答案為：x≠2．
【點睛】本題考查了分式有意義的條件，掌握解不等式的方法是解題的關鍵．
2．（2023 湖州）若分式的值為0，則x的值是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣3
【考點】分式的值為零的條件．
【答案】A
【點撥】直接利用分式的值為零的條件：分子為零，而分母不為零，即可得出結論．
【解析】解：∵分式的值為0，
∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，
解得：x＝1，
故選：A．
【點睛】此題主要考查了分式的值為零的條件，正確把握分式的定義是解題的關鍵．
3．（2021 金華）＝（　　）
A．3 B． C． D．
【考點】分式的加減法．
【答案】D
【點撥】根據(jù)同分母的分式的加減法法則計算即可．
【解析】解：+＝＝，
故選：D．
【點睛】本題考查了分式的加減法，屬于簡單題，可以類比小學的分數(shù)計算法則，熟練掌握分式的加減法法則．
4．（2023 樂清市模擬）下列式子一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【考點】分式的基本性質．
【答案】D
【點撥】根據(jù)分式的基本性質進行判斷．
【解析】解：A、分式的分子、分母同時加2，分式的值發(fā)生改變，則不成立；
B、分式的分子、分母同時減1，分式的值發(fā)生改變，故不成立；
C、分式的分子、分母同時平方，分式是值有可能改變，則不一定成立；
D、分式的分子、分母乘以3，分式是值不變，則成立；
故選：D．
【點睛】本題考查分式的基本性質，分式的基本性質：分式的分子分母同乘以或除以一個不等于0的分數(shù)（或分式），分式的值不變．靈活運用性質是解題的關鍵．
5．（2021 臺州）將x克含糖10%的糖水與y克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖（　　）
A．20% B．×100% C．×100% D．×100%
【考點】列代數(shù)式（分式）．
【答案】D
【點撥】根據(jù)x克含糖10%的糖水與y克含糖30%的糖水混合，可知含糖的質量為10%x+30%y，要求混合后的糖水含糖的百分比，只要用混合后糖的質量除以混合后糖水的質量再乘以100%即可．
【解析】解：由題意可得，
混合后的糖水含糖：×100%＝×100%，
故選：D．
【點睛】本題考查列代數(shù)式（分式），解答本題的關鍵是明確混合前后糖的質量等于混合前的質量之和，糖水前后總質量相等．
6．（2022 杭州）照相機成像應用了一個重要原理，用公式（v≠f）表示，其中f表示照相機鏡頭的焦距，u表示物體到鏡頭的距離，v表示膠片（像）到鏡頭的距離．已知f，v，則u＝（　　）
A． B． C． D．
【考點】分式的加減法．
【答案】C
【點撥】利用分式的基本性質，把等式＝+（v≠f）恒等變形，用含f、v的代數(shù)式表示u．
【解析】解：＝+（v≠f），
＝+，
，
，
u＝．
故選：C．
【點睛】考查分式的加、減法運算，關鍵是異分母通分，掌握通分法則．
7．（2021 西湖區(qū)一模）已知m，n是非零實數(shù)，設k＝，則（　　）
A．k2＝3﹣k B．k2＝k﹣3 C．k2＝﹣3﹣k D．k2＝k+3
【考點】分式的基本性質．
【答案】D
【點撥】利用分式的基本性質解答即可．
【解析】解：，
又∵，
∴，
∴k2＝k+3，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了分式的基本性質，熟練掌握分式的乘除法法則是解答本題的關鍵．
8．（2022 臺州）如圖的解題過程中，第①步出現(xiàn)錯誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的x的值是 　5　．
先化簡，再求值： +1，其中x＝★． 解：原式＝ （x﹣4）+（x﹣4）…① ＝3﹣x+x﹣4 ＝﹣1
【考點】分式的化簡求值．
【答案】5．
【點撥】先將題目中的分式化簡，然后令化簡后式子的值為﹣1，求出相應的x的值即可．
【解析】解：+1
＝
＝，
當＝﹣1時，可得x＝5，
檢驗：當x＝5時，4﹣x≠0，
∴圖中被污染的x的值是5，
故答案為：5．
【點睛】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關鍵是明確分式混合運算的運算法則和運算順序．
9．（2023 西湖區(qū)模擬）當x＝2時，分式沒有意義，則m＝　﹣2　．
【考點】分式有意義的條件．
【答案】﹣2
【點撥】根據(jù)分式無意義，分母等于零可得2+m＝0，解可得m的值．
【解析】解：由題意得：2+m＝0，
解得：m＝﹣2，
故答案為：﹣2．
【點睛】此題主要考查了分式有意義的條件關鍵是掌握分式無意義的條件是分母等于零．
10．（2023 衢州）化簡：+2．
【考點】分式的加減法．
【答案】a．
【點撥】根據(jù)分式的加法法則進行計算即可．
【解析】解：+2
＝
＝
＝
＝a．
【點睛】本題考查了分式的加法，能正確根據(jù)分式的加法法則進行計算是解題的關鍵．
11．（2023 上城區(qū)模擬）化簡代數(shù)式，然后判斷它的值能否等于﹣1，并說明理由．
【考點】分式的混合運算．
【答案】，它的值不能為﹣1，理由見解答過程．
【點撥】先通分算括號內的，把除化為乘，化簡后令其值為﹣1，求得a的值，再檢驗即可．
【解析】解：原式＝[+]
＝
＝，
若＝﹣1，則a＝0，
此時＝0，即原式無意義，
∴它的值不能為﹣1．
【點睛】本題考查分式化簡和分式的值，解題的關鍵是掌握分式基本性質，能通分和約分．
12．（2022 舟山）觀察下面的等式：＝+，＝+，＝+，……
（1）按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）．
（2）請運用分式的有關知識，推理說明這個結論是正確的．
【考點】分式的加減法；規(guī)律型：數(shù)字的變化類．
【答案】（1）＝+；
（2）推理說明見解答過程．
【點撥】（1）觀察已知等式，可得規(guī)律，用含n的等式表達即可；
（2）先通分，計算同分母分式相加，再約分，即可得到（1）中的等式．
【解析】解：（1）觀察規(guī)律可得：＝+；
（2）∵+
＝+
＝
＝，
∴＝+．
【點睛】本題考查探索規(guī)律及分式的運算，解題的關鍵是觀察得到已知等式中的規(guī)律．
1．（2023 鎮(zhèn)海區(qū)一模）要使分式有意義，則x應滿足的條件是（　　）
A．x≠﹣1 B．x≠1 C．x＞﹣1 D．x＞1
【考點】分式有意義的條件．
【答案】B
【點撥】根據(jù)分式有意義的條件列不等式求解．
【解析】解：由題意可得：x﹣1≠0，
解得：x≠1，
故選：B．
【點睛】本題考查分式有意義的條件，理解分式有意義的條件（分母不為零）是解題關鍵．
2．（2021 上城區(qū)一模）要使分式有意義，x的取值應該滿足（　　）
A．x≠﹣1 B．x≠2 C．x≠﹣1或x≠2 D．x≠﹣1且x≠2
【考點】分式有意義的條件．
【答案】D
【點撥】根據(jù)分式有意義的條件可得（x+1）（x﹣2）≠0，再解不等式即可．
【解析】解：由題意得：（x+1）（x﹣2）≠0，
解得：x≠﹣1且x≠2，
故選：D．
【點睛】此題主要考查了分式有意義的條件，關鍵是掌握分式有意義的條件是分母不等于零．
3．（2023 鹿城區(qū)校級三模）化簡的結果是（　　）
A． B． C． D．
【考點】分式的加減法．
【答案】D
【點撥】利用分式的減法法則進行計算即可．
【解析】解：原式＝
＝
＝
＝，
故選：D．
【點睛】本題考查分式的減法運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．
4．（2023 溫州二模）化簡的結果為（　　）
A．a B．a﹣1 C． D．a2﹣a
【考點】分式的加減法．
【答案】A
【點撥】根據(jù)分式的運算法則即可求出答案．
【解析】解：原式＝＝a，
故選：A．
【點睛】本題考查分式的運算，解題的關鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于基礎題型．
5．（2022 易縣二模）下列式子從左到右的變形一定正確的是（　　）
A． B． C． D．
【考點】分式的基本性質．
【答案】D
【點撥】根據(jù)分式的分子分母都乘或除以同一個不為零的整式，分式的值不變，可得答案．
【解析】解：A、分式的分子分母都乘或除以同一個不為零的整式，分式的值不變，故A錯誤；
B、c＝0時，原式不成立，故B錯誤；
C、分式的分子分母都乘或除以同一個不為零的整式，分式的值不變，故C錯誤；
D、分子分母都除以ab，故D正確；
故選：D．
【點睛】本題考查了分式的基本性質，利用了分式的基本性質．
6．（2023 新榮區(qū)三模）計算的結果為（　　）
A． B． C． D．
【考點】分式的乘除法．
【答案】A
【點撥】先把能分解的因式進行分解，再約分即可．
【解析】解：
＝
＝．
故選：A．
【點睛】本題主要考查分式的乘除法，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．
7．（2023 義烏市模擬）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是 　x≠4　．
【考點】分式有意義的條件．
【答案】x≠4
【點撥】根據(jù)分式有意義的條件，分母不能等于0，列不等式求解即可．
【解析】解：因為分式有意義的條件是分母不能等于0，
所以x﹣4≠0，
所以x≠4．
故答案為：x≠4．
【點睛】本題主要考查分式有意義的條件，解決本題的關鍵是要熟練掌握分式有意義的條件．
8．（2023 龍港市二模）計算：＝　2a　．
【考點】分式的乘除法．
【答案】2a．
【點撥】利用分式的乘法法則計算即可．
【解析】解：原式＝＝2a．
故答案為：2a．
【點睛】本題考查了分式的運算，掌握分式的乘法法則是解決本題的關鍵．
9．（2023 甌海區(qū)四模）＝　a﹣3　．
【考點】分式的加減法．
【答案】見試題解答內容
【點撥】因為分母相同，所以分母不變，分子直接相加，然后化簡．
【解析】解：＝．
故答案為a﹣3．
【點睛】此題分式分母相同，直接分子相減，結果一定化到最簡．
10．（2021 麗水）數(shù)學活動課上，小云和小王在討論張老師出示的一道代數(shù)式求值問題：
已知實數(shù)a，b同時滿足a2+2a＝b+2，b2+2b＝a+2，求代數(shù)式的值．
結合他們的對話，請解答下列問題：
（1）當a＝b時，a的值是 　﹣2或1　．
（2）當a≠b時，代數(shù)式的值是 　7　．
【考點】分式的化簡求值；一元二次方程的解．
【答案】（1）﹣2或1；（2）7．
【點撥】（1）將a＝b代入方程，然后解一元二次方程求解；
（2）聯(lián)立方程組，運用加減消元法并結合完全平方公式，求得a2+b2和ab的值，然后將原式通分化簡，代入求解．
【解析】解：（1）當a＝b時，a2+2a＝a+2，
a2+a﹣2＝0，（a+2）（a﹣1）＝0，
解得：a＝﹣2或1，
故答案為：﹣2或1；
（2）聯(lián)立方程組，
將①+②，得：a2+b2+2a+2b＝b+a+4，
整理，得：a2+b2+a+b＝4③，
將①﹣②，得：a2﹣b2+2a﹣2b＝b﹣a，
整理，得：a2﹣b2+3a﹣3b＝0，
（a+b）（a﹣b）+3（a﹣b）＝0，
（a﹣b）（a+b+3）＝0，
又∵a≠b，
∴a+b+3＝0，即a+b＝﹣3④，
將④代入③，得a2+b2﹣3＝4，即a2+b2＝7，
又∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝9，
∴ab＝1，
∴，
故答案為：7．
【點睛】本題考查分式的化簡求值及完全平方公式的運用，掌握完全平方公式的公式結構和分式的化簡計算法則準確計算是解題關鍵．
11．（2023 余杭區(qū)校級模擬）下面是小茜同學化簡分式的過程．
解，
＝2（x﹣3）﹣（x﹣9）…第二步
＝2x﹣6﹣x+9…第三步
①小茜的解法從第 　二　步開始出現(xiàn)錯誤．
②請你寫出正確的化簡過程．
【考點】分式的加減法．
【答案】（1）二；
（2）．
【點撥】①利用分式的相應的法則對過程進行分析即可；
②先通分，再進行分式的減法運算即可．
【解析】解：①小茜的解法從第二步開始出現(xiàn)錯誤；
故答案為：二；
②
＝
＝
＝
＝．
【點睛】本題主要考查分式的加減法，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．
12．（2023 蕭山區(qū)二模）以下是團團同學進行分式化簡的過程．
團團的解答過程是否有錯誤？若存在錯誤，請寫出正確的解答過程．
【考點】分式的混合運算．
【答案】有錯誤，見解答過程．
【點撥】利用分式的相應的運算法則進行分析即可．
【解析】解：有錯誤，
＝[]
＝
＝1．
【點睛】本題主要考查分式的混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．
13．（2023 余杭區(qū)模擬）先化簡，再求值：，其中x＝﹣1．
【考點】分式的化簡求值．
【答案】，當x＝﹣1時，原式＝1．
【點撥】先根據(jù)分式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將x的值代入計算可得．
【解析】解：原式＝﹣
＝﹣
＝，
當x＝﹣1時，原式＝＝1．
【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和運算法則．
14．（2023 桐廬縣一模）先化簡，再求值：，其中x＝+1．
【考點】分式的化簡求值．
【答案】，．
【點撥】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把x的值代入計算即可求出值．
【解析】解：原式＝
＝
＝，
當x＝+1時，原式＝＝．
【點睛】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
15．（2023 西湖區(qū)校級二模）先化簡：，再從﹣2＜x≤2中選出一個合適的x的整數(shù)值代入求值．
【考點】分式的化簡求值．
【答案】x+3，5．
【點撥】根據(jù)分式的除法法則把原式化簡，根據(jù)分式有意義的條件確定x的值，代入計算即可．
【解析】解：原式＝ +3
＝x+3，
在﹣2＜x≤2中，整數(shù)有﹣1、0、1、2，
由題意得：x≠0和±1，
當x＝2時，原式＝2+3＝5．
【點睛】本題考查的是分式的化簡求值、分式有意義的條件，掌握分式的除法法則是解題的關鍵．
16．（2022 婺城區(qū)校級模擬）先化簡，再求值：，從﹣2，0，2中取一個合適的數(shù)作為x的值代入求值．
【考點】分式的化簡求值．
【答案】，．
【點撥】先算括號內的式子，再算括號外的除法，然后從﹣2，0，2中取一個使得原分式有意義的值代入化簡后的式子計算即可．
【解析】解：
＝
＝
＝，
∵x＝﹣2，0時原式無意義，
∴x＝2，
當x＝2時，原式＝＝．
【點睛】本題考查分式的運算，解題的關鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于基礎題型．
17．（2022 舟山二模）老師設計了接力游戲，用合作的方式完成分式化簡，規(guī)則是：每人只能看到前一人給的式子，并進行一步計算，再將結果傳遞給下一人，最后完成化簡．過程如圖所示：
（1）接力中，自己負責的一步出現(xiàn)錯誤的是 　D　
A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁
（2）請你書寫正確的化簡過程，并在“1，0，2，﹣2”中選擇一個合適的數(shù)求值．
【考點】分式的混合運算．
【答案】（1）D；
（2）化簡過程見解析，0．
【點撥】（1）根據(jù)分式的加減運算以及乘除運算法則逐步分析即可；
（2）先根據(jù)分式的加減運算以及乘除運算法則進行化簡，然后將a的值代入原式即可求出答案．
【解析】解：（1）乙在計算時，把1﹣x變換成x﹣1沒有添加符號，丁在計算時，正確的結果應該是，
∴自己負責的一步出現(xiàn)錯誤的是乙和丙，
故選：D；
（2）正確的化簡過程如下：
÷
＝
＝﹣
＝﹣
＝，
當x＝2時，÷＝＝0．
【點睛】本題主要考查分式的乘除法，熟練掌握分式的加減運算以及乘除運算法則時解答此題的關鍵．
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第一章 數(shù)與式
第三節(jié) 分式及其運算
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 分式的相關概念 ☆ 在中考，主要考查分式的意義和分式值為零情況，常以選擇題、填空題為主；分式的基本性質和分式的運算考查常以選擇題、填空題、解答題的形式命題.
考點2 分式的基本性質 ☆☆
考點3分式的運算 ☆☆☆
1．分式的基本概念：
(1)形如 (A，B是整式，且 中含有字母， ≠0)的式子叫做分式．
(2)當 時，分式有意義；當 時，分式無意義；當 時，分式的值為零．
(3)最簡分式需滿足的條件：分子、分母 ．
2．分式的基本性質：
(1)基本性質：分式的分子與分母都乘(或除以) ，分式的值不變，用式子可表示為＝ ，＝ (其中M是不等于零的整式)．
(2)符號法則：分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何 個，分式的值不變．
用式子表示為：＝－＝＝－，－＝＝．
3．分式的約分、通分：
把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做 ．
把幾個異分母分式化為與原分式的值相等的同分母分式，叫做 ．
4．分式的運算法則：
(1)分式的加減：
同分母相加減：±＝ ；
異分母相加減：±＝ ．
(2)分式的乘除：
·＝ ；÷＝ ．
(3)分式的乘方：
＝ (n為正整數(shù))．
5．分式的混合運算：
在分式的混合運算中，應先算 ，再將除法化為 ，進行約分化簡，最后進行加減運算．若有括號，先算 ．靈活運用運算律，運算結果必須是 或 ．
■考點一　分式的有關概念
◇典例1：（2023 海曙區(qū)一模）對于分式，下列說法錯誤的是（　　）
A．當x＝2時，分式的值為0 B．當x＝3時，分式無意義
C．當x＞2時，分式的值為正數(shù) D．當x＝時，分式的值為1
◆變式訓練
1．（2023 錢塘區(qū)三模）若在實數(shù)范圍內有意義，則實數(shù)x的取值范圍是 　 　．
2．（2022 湖州）當a＝1時，分式的值是 　 　．
3．（2023 南潯區(qū)二模）若分式的值為0，則x的值為（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝3
■考點二 分式的基本性質
◇典例2：（2022 西寧二模）下列計算中，正確的是（　　）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023 霞山區(qū)一模）下列運算中正確的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023 武安市二模）若m，n的值均擴大到原來的3倍，則下列分式的值保持不變的是（　　）
A． B． C． D．
■考點三 分式的運算
◇典例3：（2023 溫州）計算：．
◆變式訓練
1．（2023 鹿城區(qū)校級模擬）計算：＝　　．
2．（2023 甌海區(qū)模擬）計算：＝　　．
3．（2023 余姚市二模）化簡：；
4．（2023 海寧市校級一模）計算：．
■考點四　分式的化簡求值
◇典例4：（2022 金華模擬）已知a2+2a﹣1＝0，求代數(shù)式的值．
◆變式訓練
1．（2021 衢州）先化簡，再求值：，其中x＝1．
2．（2023 余杭區(qū)二模）先化簡，再求值：
，其中x＝﹣3．
1．（2023 寧波）要使分式有意義，x的取值應滿足 　 　．
2．（2023 湖州）若分式的值為0，則x的值是（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣3
3．（2021 金華）＝（　　）
A．3 B． C． D．
4．（2023 樂清市模擬）下列式子一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021 臺州）將x克含糖10%的糖水與y克含糖30%的糖水混合，混合后的糖水含糖（　　）
A．20% B．×100% C．×100% D．×100%
6．（2022 杭州）照相機成像應用了一個重要原理，用公式（v≠f）表示，其中f表示照相機鏡頭的焦距，u表示物體到鏡頭的距離，v表示膠片（像）到鏡頭的距離．已知f，v，則u＝（　　）
A． B． C． D．
7．（2021 西湖區(qū)一模）已知m，n是非零實數(shù)，設k＝，則（　　）
A．k2＝3﹣k B．k2＝k﹣3 C．k2＝﹣3﹣k D．k2＝k+3
8．（2022 臺州）如圖的解題過程中，第①步出現(xiàn)錯誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的x的值是 　　．
先化簡，再求值： +1，其中x＝★． 解：原式＝ （x﹣4）+（x﹣4）…① ＝3﹣x+x﹣4 ＝﹣1
9．（2023 西湖區(qū)模擬）當x＝2時，分式沒有意義，則m＝　 　．
10．（2023 衢州）化簡：+2．
11．（2023 上城區(qū)模擬）化簡代數(shù)式，然后判斷它的值能否等于﹣1，并說明理由．
12．（2022 舟山）觀察下面的等式：，，，……
（1）按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）．
（2）請運用分式的有關知識，推理說明這個結論是正確的．
1．（2023 鎮(zhèn)海區(qū)一模）要使分式有意義，則x應滿足的條件是（　　）
A．x≠﹣1 B．x≠1 C．x＞﹣1 D．x＞1
2．（2021 上城區(qū)一模）要使分式有意義，x的取值應該滿足（　　）
A．x≠﹣1 B．x≠2 C．x≠﹣1或x≠2 D．x≠﹣1且x≠2
3．（2023 鹿城區(qū)校級三模）化簡的結果是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 溫州二模）化簡的結果為（　　）
A．a B．a﹣1 C． D．a2﹣a
5．（2022 易縣二模）下列式子從左到右的變形一定正確的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023 新榮區(qū)三模）計算的結果為（　　）
A． B． C． D．
7．（2023 義烏市模擬）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍是 　 ．
8．（2023 龍港市二模）計算：＝　 　．
9．（2023 甌海區(qū)四模）＝　 　．
10．（2021 麗水）數(shù)學活動課上，小云和小王在討論張老師出示的一道代數(shù)式求值問題：
已知實數(shù)a，b同時滿足a2+2a＝b+2，b2+2b＝a+2，求代數(shù)式的值．
結合他們的對話，請解答下列問題：
（1）當a＝b時，a的值是 　 　．
（2）當a≠b時，代數(shù)式的值是 　 　．
11．（2023 余杭區(qū)校級模擬）下面是小茜同學化簡分式的過程．
解：
＝2（x﹣3）﹣（x﹣9）…第二步
＝2x﹣6﹣x+9…第三步
①小茜的解法從第 　 　步開始出現(xiàn)錯誤．
②請你寫出正確的化簡過程．
12．（2023 蕭山區(qū)二模）以下是團團同學進行分式化簡的過程．
團團的解答過程是否有錯誤？若存在錯誤，請寫出正確的解答過程．
13．（2023 余杭區(qū)模擬）先化簡，再求值：，其中x＝﹣1．
14．（2023 桐廬縣一模）先化簡，再求值：，其中x＝+1．
15．（2023 西湖區(qū)校級二模）先化簡：，再從﹣2＜x≤2中選出一個合適的x的整數(shù)值代入求值．
16．（2022 婺城區(qū)校級模擬）先化簡，再求值：，從﹣2，0，2中取一個合適的數(shù)作為x的值代入求值．
17．（2022 舟山二模）老師設計了接力游戲，用合作的方式完成分式化簡，規(guī)則是：每人只能看到前一人給的式子，并進行一步計算，再將結果傳遞給下一人，最后完成化簡．過程如圖所示：
（1）接力中，自己負責的一步出現(xiàn)錯誤的是 　 　
A．只有乙B．甲和丁C．乙和丙D．乙和丁
（2）請你書寫正確的化簡過程，并在“1，0，2，﹣2”中選擇一個合適的數(shù)求值．
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