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第一章 數與式
第四節 二次根式及其運算
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 二次根式的相關概念 ☆ 中考中，對二次根式的考察主要集中在對其取值范圍、化簡計算等方面，其中取值范圍類考點多出選擇題、填空題形式出現，而化簡計算則多以解答題形式考察.此外，二次根式還常和銳角三角函數、實數、其他幾何圖形等結合出題，難度不大，但是也多屬于中考必考題.
考點2 二次根式的基本性質 ☆☆
考點3二次根式的運算 ☆☆
1．二次根式的有關概念：
(1)二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式．
(2)最簡二次根式需滿足兩個條件：
①被開方數不含分母．
②被開方數中不含開得盡方的因數或因式．
（3）二次根式有意義的條件，分式有意義的條件：
(1)當代數式是整式時，字母(未知數)可取全體實數；(2)當代數式是分式時，考慮分式的分母不能為0；(3)當代數式是二次根式時，被開方數非負
2．二次根式的性質：
（1）()2＝a(a≥0)．
（2）＝|a|＝
（3）＝·(a≥0，b≥0)．
（4）＝(a≥0，b＞0)．
二次根式的雙重非負性是指它的被開方數與結果均為非負數．
3．二次根式的運算：
(1)二次根式加減法的實質是合并同類二次根式．
(2)二次根式的乘法：·＝(a≥0，b≥0)．
(3)二次根式的除法：＝(a≥0，b＞0)．
運算結果中的二次根式，一般都要化成最簡二次根式或整式．
■考點一　二次根式的相關概念
◇典例1：（2023 婺城區一模）在二次根式中，字母x的取值范圍是 　x≥2　．
【考點】二次根式有意義的條件．
【答案】x≥2．
【點撥】根據被開方數大于等于0列式計算即可得解；
【解析】解：∵二次根式有意義，
∴x﹣2≥0，解得x≥2
故答案為：x≥2．
【點睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式的被開方數是非負數是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2021 麗水）要使式子有意義，則x可取的一個數是　4（答案不唯一）　．
【考點】二次根式有意義的條件．
【答案】4（答案不唯一）．
【點撥】根據二次根式有意義的條件得出x﹣3≥0，再求出不等式的解集，最后求出答案即可．
【解析】解：要使式子有意義，必須x﹣3≥0，
解得：x≥3，
所以x可取的一個數是4，
故答案為：4（答案不唯一）．
【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件和解一元一次不等式，注意：式子中a≥0．
2．（2022 江北區模擬）若式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（　　）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1且x≠0 C．x＞﹣1且x≠0 D．x≠0
【考點】二次根式有意義的條件；分式有意義的條件；零指數冪．
【答案】C
【點撥】利用分式分母不為0和二次根式、零指數冪有意義的條件確定關于x的不等式，從而確定答案．
【解析】解：根據題意得：x+1＞0且x≠0，
解得：x＞﹣1且x≠0，
故選：C．
【點睛】此題考查的是分式分母不為0和二次根式、零指數冪有意義的條件，掌握分式和二次根式有意義的條件是解題的關鍵．
■考點二 二次根式的性質
◇典例2：（2022 河北）下列正確的是（　　）
A．＝2+3 B．＝2×3 C．＝32 D．＝0.7
【考點】二次根式的性質與化簡．
【答案】B
【點撥】根據＝判斷A選項；根據＝ （a≥0，b≥0）判斷B選項；根據＝|a|判斷C選項；根據算術平方根的定義判斷D選項．
【解析】解：A、原式＝，故該選項不符合題意；
B、原式＝×＝2×3，故該選項符合題意；
C、原式＝＝92，故該選項不符合題意；
D、0.72＝0.49，故該選項不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了二次根式的性質與化簡，掌握＝ （a≥0，b≥0）是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2022 桂林）化簡的結果是（　　）
A． B．3 C． D．2
【考點】二次根式的性質與化簡．
【答案】A
【點撥】將被開方數12寫成平方數4與3的乘積，再將4開出來為2，易知化簡結果為2．
【解析】解：＝2，
故選：A．
【點睛】本題考查了二次根式的化簡，關鍵在于被開方數要寫成平方數乘積的形式再進行化簡．
2．（2022 內蒙古）實數a在數軸上的對應位置如圖所示，則+|a﹣1|的化簡結果是（　　）
【考點】二次根式的性質與化簡；實數與數軸．
【答案】B
【點撥】根據數軸得：0＜a＜1，得到a＞0，a﹣1＜0，根據＝|a|和絕對值的性質化簡即可．
【解析】解：根據數軸得：0＜a＜1，
∴a＞0，a﹣1＜0，
∴原式＝|a|+1+1﹣a
＝a+1+1﹣a
＝2．
故選：B．
【點睛】本題考查二次根式的性質與化簡，實數與數軸，掌握＝|a|是解題的關鍵．
■考點三 二次根式的運算
◇典例3：（2021 西寧）計算：．
【考點】二次根式的混合運算；完全平方公式；平方差公式．
【答案】﹣8+2．
【點撥】利用平方差公式和完全平方公式計算．
【解析】解：原式＝5﹣9﹣（3﹣2+1）
＝﹣4﹣4+2
＝﹣8+2．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質和乘法公式是解決問題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2022 拱墅區模擬）下列運算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【考點】二次根式的混合運算．
【答案】C
【點撥】利用二次根式的加減法法則計算A、B，利用二次根式的乘、除法法則計算C、D，根據計算結果判斷即可．
【解析】解：與不是同類二次根式，不能加減，故選項A錯誤；
3﹣＝2≠3，故選項B錯誤；
×＝，故選項C錯誤；
÷＝＝2≠4，故選項D錯誤．
故選：C．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的運算法則是解決本題的關鍵．
2．（2022 青島）計算的結果是（　　）
A． B．1 C． D．3
【考點】二次根式的混合運算．
【答案】B
【點撥】先根據二次根式的乘法進行計算，再根據二次根式的性質進行計算，最后算減法即可．
【解析】解：（﹣）×
＝﹣
＝﹣
＝3﹣2
＝1，
故選：B．
【點睛】本題考了二次根式的混合運算，能正確運用二次根式的運算法則進行計算是解此題的關鍵．
3．（2022 甘肅）計算：．
【考點】二次根式的混合運算．
【答案】﹣．
【點撥】根據二次根式的乘法法則和二次根式的化簡計算，再合并同類二次根式即可．
【解析】解：原式＝﹣2
＝﹣．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，掌握 ＝（a≥0，b≥0）是解題的關鍵．
4．（2023 金昌）計算：．
【考點】二次根式的混合運算．
【答案】6．
【點撥】直接利用二次根式的乘除運算法則計算，進而得出答案．
【解析】解：原式＝3××2﹣6
＝12﹣6
＝6．
【點睛】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
■考點四　 二次根式的化簡求值及應用
◇典例4：（2020 金華二模）先化簡，再求值：，其中a＝+1．
【考點】二次根式的化簡求值．
【答案】2a﹣2，2．
【點撥】原式利用平方差公式，以及單項式乘以多項式法則計算，去括號合并得到最簡結果，把a的值代入計算即可求出值．
【解析】解：原式＝a2﹣2﹣a2+2a
＝2a﹣2，
當a＝+1時，原式＝2（+1）﹣2＝2．
【點睛】此題考查了二次根式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2022 瑞安市校級三模）當時，代數式（a﹣1）2﹣2a+2的值為 　3﹣2　．
【考點】二次根式的化簡求值．
【答案】3﹣2．
【點撥】由a＝+1，得a﹣1＝，再代入所求式子計算即可．
【解析】解：∵a＝+1，
∴a﹣1＝，
∴（a﹣1）2﹣2a+2
＝（）2﹣2（+1）+2
＝3﹣2﹣2+2
＝3﹣2，
故答案為：3﹣2．
【點睛】本題考查二次根式的運算，解題的關鍵是整體思想的應用．
1．（2023 金華）要使有意義，則x的值可以是（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【考點】二次根式有意義的條件．
【答案】D
【點撥】根據二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式求出x的范圍，判斷即可．
【解析】解：由題意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
則x的值可以是2，
故選：D．
【點睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟記二次根式的被開方數是非負數是解題的關鍵．
2．（2021 杭州）下列計算正確的是（　　）
A． B． C．＝±2 D．
【考點】二次根式的性質與化簡．
【答案】A
【點撥】利用二次根式的性質可知答案．
【解析】解：A.，符合題意；
B.，不符合題意；
C.，不符合題意；
D.，不符合題意，
故選：A．
【點睛】本題考查了二次根式的性質，關鍵是熟記性質進行計算．
3．（2023 慈溪市模擬）若分式有意義，則x的取值范圍是（　　）
A．x＞2 B．x≤2 C．x＝2 D．x≠2
【考點】二次根式有意義的條件；分式有意義的條件．
【答案】A
【點撥】分式及二次根式有意義的條件列出關于x的不等式，求出x的取值范圍即可．
【解析】解：依題意得：x﹣2＞0，
解得x＞2．
故選：A．
【點睛】本題考查了分式及二次根式有意義的條件，根據題意列出關于x的不等式是解題的關鍵．
4．（2023 蕭山區一模）已知，則實數a的值為（　　）
A．9 B．3 C． D．±3
【考點】二次根式的性質與化簡．
【答案】D
【點撥】利用二次根式的化簡的法則進行求解即可．
【解析】解：∵，
∴a2＝9，
∴a＝±3．
故選：D．
【點睛】本題主要考查二次根式的化簡，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．
5．（2023 南湖區一模）下列各式中，正確的是（　　）
A．（﹣3）2＝9 B．（﹣2）3＝﹣6 C． D．
【考點】二次根式的乘除法；二次根式的性質與化簡．
【答案】A
【點撥】根據冪的運算，算術平方根，平方根的意義計算即可．
【解析】解：A、（﹣3）2＝9，符合題意；
B、（﹣2）3＝﹣8，不符合題意；
C、，不符合題意；
D、，不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查了冪的運算，算術平方根，平方根的意義，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．
6．（2022 杭州）計算：＝　2　；（﹣2）2＝　4　．
【考點】最簡二次根式；有理數的乘方．
【答案】2，4．
【點撥】根據二次根式的性質、有理數的乘方法則計算即可．
【解析】解：＝2，（﹣2）2＝4，
故答案為：2，4．
【點睛】本題考查的是二次根式的化簡、有理數的乘方，掌握二次根式的性質是解題的關鍵．
7．（2022 蕭山區一模）計算：＝　　．
【考點】二次根式的乘除法．
【答案】
【點撥】根據二次根式的乘法法則計算．
【解析】解：＝＝．
故答案為：．
【點睛】考查二次根式的乘法法則：（a≥0，b≥0）．
8．（2023 杭州）計算：＝　﹣　．
【考點】二次根式的加減法．
【答案】﹣．
【點撥】直接化簡二次根式，再利用二次根式的加減運算法則計算得出答案．
【解析】解：原式＝﹣2
＝﹣．
故答案為：﹣．
【點睛】此題主要考查了二次根式的加減，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
9．（2023 浙江模擬）若最簡根式與是同類二次根式，則m＝　2　．
【考點】同類二次根式；最簡二次根式．
【答案】2．
【點撥】根據同類根式及最簡二次根式的定義列方程求解．
【解析】解：∵最簡二次根式與是同類二次根式，
∴﹣2m+9＝5m﹣5，
解得m＝2，
故答案為：2．
【點睛】此題考查的是同類二次根式與最簡二次根式，掌握其概念是解決此題關鍵．
10．（2023 龍游縣一模）已知：：a＝，b＝，則＝　2　．
【考點】二次根式的化簡求值；平方差公式；零指數冪；負整數指數冪．
【答案】2．
【點撥】先計算出a，b的值，然后代入所求式子即可求得相應的值．
【解析】解：∵a＝（）﹣1+（﹣）0＝2+1＝3，b＝（+）（﹣）＝3﹣2＝1，
∴
＝
＝
＝2，
故答案為：2．
【點睛】本題考查二次根式的化簡求值、平方差公式、零指數冪、負整數指數冪，解答本題的關鍵是明確它們各自的計算方法．
11．（2021 麗水模擬）若方程組，設x+y＝a2，x﹣y＝b2，則代數式的值為（　　）
A． B． C． D．
【考點】二次根式的性質與化簡；解二元一次方程組．
【答案】B
【點撥】首先解方程組求得x，y的值，則a2，b2的值即可求得，然后代入代數式即可求解．
【解析】解：解方程組，得：，
則a2＝x+y＝9，b2＝x﹣y＝7﹣2＝5．
則＝＝3．
故選：B．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法，以及二次根式的化簡，正確求得x，y的值是關鍵．
12．（2023 蕭山區一模）婷婷對“化簡：”的解答過程如下：
解：原式＝．
試問婷婷的解答過程是否正確？若正確，請再寫出一種解答過程；若有錯誤，請寫出正確的解答過程．
【考點】二次根式的乘除法；二次根式的性質與化簡．
【答案】婷婷的解答過程正確，求解過程見解析．
【點撥】根據二次根式的性質和二次根式的乘法法則即可得出婷婷的解答過程正確，先根據二次根式的乘法法則進行計算，再根據二次根式的性質進行計算即可．
【解析】解：婷婷的解答過程正確，另一種解答過程如下：
×
＝
＝
＝12．
【點睛】本題考查了二次根式的乘除和二次根式的性質與化簡，能靈活運用二次根式的乘法法則和二次根式的性質進行計算是接此題的關鍵．
13．（2021 永嘉縣校級模擬）計算：．
【考點】二次根式的加減法．
【答案】3﹣．
【點撥】直接化簡二次根式，進而合并得出答案．
【解析】解：原式＝2﹣3+3×+2
＝2﹣3++2
＝3﹣．
【點睛】此題主要考查了二次根式的加減，正確化簡二次根式是解題關鍵．
14．（2023 舟山二模）閱讀材料：
小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如．善于思考的小明進行了以下探索：
設（其中a、b、m、n均為整數），則有．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．
請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
（1）當a、b、m、n均為正整數時，若，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝　m2+3n2　，b＝　2mn　；
（2）利用所探索的結論，找一組正整數a、b、m、n填空：7　+4　＝（ 2　+1　 ）2；
（3）若a+6＝（m+n）2，且a、m、n均為正整數，求a的值．
【考點】二次根式的混合運算；完全平方式．
【答案】m2+3n2，2mn；7，4，2，1．
【點撥】（1）利用完全平方公式展開得到（m+n）2＝m2+3n2+2mn，從而可用m、n表示a、b；
（2）先取m＝2，n＝1，則計算對應的a、b的值，然后填空即可；
（3）利用a＝m2+3n2，2mn＝6和a、m、n均為正整數可先確定m、n的值，然后計算對應的a的值．
【解析】解：（1）（m+n）2＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn；
（2）m＝2，n＝1，則a＝7，b＝4，
∴7+4＝（2+）2，
（3）a＝m2+3n2，2mn＝6，
∵a、m、n均為正整數，
∴m＝3，n＝1或m＝1，n＝3，
當m＝3，n＝1時，a＝9+3＝12，
當m＝1，n＝3時，a＝1+3×9＝28，
∴a的值為12或28．
故答案為m2+3n2，2mn；7，4，2，1．
【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍．
1．（2021 金華模擬）代數式在實數范圍內有意義時，x的取值范圍為（　　）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≥﹣1且x≠0 D．x≠0
【考點】二次根式有意義的條件；分式有意義的條件．
【答案】C
【點撥】根據被開方數為非負數并且分母不能為0可得問題的答案．
【解析】解：根據題意得x+1≥0，且x≠0．
∴x≥﹣1且x≠0．
故選：C．
【點睛】此題考查的是二次根式有意義的條件、分式有意義的條件，掌握被開方數為非負數并且分母不能為0是解決此題關鍵．
2．（2023 杭州二模）下列計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【考點】二次根式的性質與化簡．
【答案】C
【點撥】二次根式的被開方數是非負數，算術平方根的開方結果也是非負數，當a的值不確定時要分情況討論，即帶上絕對值符號．
【解析】解：∵a的值不確定，可取任意實數，
∴＝|a|．
故選：C．
【點睛】主要考查了二次根式的化簡．在化簡的過程中要注意：＝|a|．其中a可取任意實數．
3．（2022 湖北）下列各式計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【考點】二次根式的混合運算．
【答案】D
【點撥】利用二次根式的加減法的法則，二次根式的乘除法的法則對各項進行運算即可．
【解析】解：A、與不屬于同類二次根式，不能運算，故A不符合題意；
B、，故B不符合題意；
C、，故C不符合題意；
D、，故D符合題意；
故選：D．
【點睛】本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．
4．（2023 濱江區校級模擬）的值是（　　）
A． B． C． D．
【考點】二次根式的乘除法．
【答案】B
【點撥】根據二次根式的乘除運算法則即可求出答案．
【解析】解：原式＝2，
故選：B．
【點睛】本題考查二次根式的乘法，解題的關鍵是熟練運用乘法運算法則，本題屬于基礎題型．
5．（2023 溫嶺市一模）式子成立的條件是（　　）
A．x＜1且x≠0 B．x＞0且x≠1 C．0＜x≤1 D．0＜x＜1
【考點】二次根式的乘除法．
【答案】C
【點撥】利用二次根式的除法法則及負數沒有平方根求出x的范圍即可．
【解析】解：根據題意得：，
解得：0＜x≤1，
故選：C．
【點睛】此題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
6．（2021 上城區校級一模）計算，結果正確的是（　　）
A．+2 B．10 C．4 D．
【考點】二次根式的加減法．
【答案】C
【點撥】直接化簡二次根式，進而利用二次根式的加減運算法則計算得出答案．
【解析】解：+＝+3
＝4．
故選：C．
【點睛】此題主要考查了二次根式的加減，正確化簡二次根式是解題關鍵．
7．（2022 安順）估計的值應在（　　）
A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間
【考點】二次根式的混合運算；估算無理數的大小．
【答案】B
【點撥】直接利用二次根式的性質結合估算無理數的大小方法得出答案．
【解析】解：原式＝2+，
∵3＜＜4，
∴5＜2+＜6，
故選：B．
【點睛】此題主要考查了二次根式的混合運算，估算無理數的大小，正確估算無理數是解題關鍵．
8．（2022 衢州）計算 ＝　2　．
【考點】二次根式的乘除法．
【答案】2
【點撥】直接計算即可．
【解析】解：原式＝2．
故答案是2．
【點睛】本題考查了二次根式的乘方．掌握乘方的含義是關鍵．
9．（2021 金華）二次根式中，字母x的取值范圍是 　x≥3　．
【考點】二次根式有意義的條件．
【答案】x≥3
【點撥】由二次根式有意義的條件得出不等式，解不等式即可．
【解析】解：當x﹣3≥0時，二次根式有意義，
則x≥3；
故答案為：x≥3．
【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件、不等式的解法；熟記二次根式有意義的條件是解決問題的關鍵．
10．（2022 哈爾濱）計算的結果是 　2　．
【考點】二次根式的加減法；二次根式的性質與化簡．
【答案】2．
【點撥】先化簡各二次根式，再根據混合運算的順序依次計算可得答案．
【解析】解：原式＝+3×
＝
＝2．
故答案為：2．
【點睛】此題考查的是二次根式的運算，掌握其運算法則是解決此題的關鍵．
11．（2023 內蒙古）實數m在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡：＝　2﹣m　．
【考點】二次根式的性質與化簡；實數與數軸．
【答案】2﹣m．
【點撥】根據二次根式的非負性進行化簡去絕對值即可．
【解析】解：由數軸可知：1＜m＜2，
∴m﹣2＜0，
∴＝|m﹣2|＝2﹣m．
故答案為：2﹣m．
【點睛】本題考查了二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的非負性是解本題的關鍵．
12．（2021 衢州）若有意義，則x的值可以是 　2（答案不唯一）　．（寫出一個即可）
【考點】二次根式有意義的條件．
【答案】2（答案不唯一）．
【點撥】由題意可得：x﹣1≥0，解不等式即可得出答案．
【解析】解：由題意可得：
x﹣1≥0，
即x≥1．
則x的值可以是大于等于1的任意實數．
故答案為：2（答案不唯一）．
【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟練應用二次根式有意義的條件進行計算是解決本題的關鍵．
13．（2023 蘭州）計算：．
【考點】二次根式的混合運算．
【答案】．
【點撥】直接利用二次根式的乘法運算法則以及二次根式的性質化簡，進而計算得出答案．
【解析】解：原式＝3﹣2
＝．
【點睛】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
14．（2022 仙居縣二模）計算：．
【考點】二次根式的混合運算；平方差公式；負整數指數冪．
【答案】3．
【點撥】直接利用負整數指數冪的性質以及平方差公式化簡，進而計算得出答案．
【解析】解：原式＝+3﹣
＝3．
【點睛】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確運用乘法公式計算是解題關鍵．
15．（2023 南湖區二模）化簡：，以下是小曹同學的解答過程．思考并完成以下任務．解：原式＝①；＝②；＝2③；任務：
（1）小曹的解答過程是從第幾步開始出錯的，請指出錯誤的原因；
（2）請嘗試寫出正確的化簡過程．
【考點】二次根式的加減法；二次根式的性質與化簡．
【答案】（1）①，二次根式化簡出錯；
（2）2﹣2．
【點撥】（1）直接利用二次根式的性質判斷得出答案；
（2）利用二次根式的性質結合二次根式的加減運算法則計算得出答案．
【解析】解：（1）小曹的解答過程是從第①步開始出錯，錯誤的原因是二次根式化簡出錯；
（2）原式＝﹣（2﹣）
＝﹣2+
＝2﹣2．
【點睛】此題主要考查了二次根式的加減，正確化簡二次根式是解題關鍵．
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第一章 數與式
第四節 二次根式及其運算
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 二次根式的相關概念 ☆ 中考中，對二次根式的考察主要集中在對其取值范圍、化簡計算等方面，其中取值范圍類考點多出選擇題、填空題形式出現，而化簡計算則多以解答題形式考察.此外，二次根式還常和銳角三角函數、實數、其他幾何圖形等結合出題，難度不大，但是也多屬于中考必考題.
考點2 二次根式的基本性質 ☆☆
考點3二次根式的運算 ☆☆
1．二次根式的有關概念：
(1)二次根式：式子 叫做二次根式．
(2)最簡二次根式需滿足兩個條件：
①被開方數 ．
②被開方數中 的因數或因式．
（3）二次根式有意義的條件，分式有意義的條件：
(1)當代數式是整式時，字母(未知數)可取全體實數；(2)當代數式是分式時，考慮分式的分母不能為0；(3)當代數式是二次根式時，被開方數非負
2．二次根式的性質：
（1）()2＝ (a≥0)．
（2）＝ ＝
（3）＝ (a≥0，b≥0)．
（4）＝ (a≥0，b＞0)．
二次根式的雙重非負性是指它的被開方數與結果均為非負數．
3．二次根式的運算：
(1)二次根式加減法的實質是合并同類二次根式．
(2)二次根式的乘法：·＝ (a≥0，b≥0)．
(3)二次根式的除法：＝ (a≥0，b＞0)．
運算結果中的二次根式，一般都要化成最簡二次根式或整式．
■考點一　二次根式的相關概念
◇典例1：（2023 婺城區一模）在二次根式中，字母x的取值范圍是 　．
◆變式訓練
1．（2021 麗水）要使式子有意義，則x可取的一個數是　 　．
2．（2022 江北區模擬）若式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是（　　）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1且x≠0 C．x＞﹣1且x≠0 D．x≠0
■考點二 二次根式的性質
◇典例2：（2022 河北）下列正確的是（　　）
A．＝2+3 B．＝2×3 C．＝32 D．＝0.7
◆變式訓練
1．（2022 桂林）化簡的結果是（　　）
A． B．3 C． D．2
2．（2022 內蒙古）實數a在數軸上的對應位置如圖所示，則+|a﹣1|的化簡結果是（　　）
A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a
■考點三 二次根式的運算
◇典例3：（2021 西寧）計算：．
◆變式訓練
1．（2022 拱墅區模擬）下列運算正確的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2022 青島）計算的結果是（　　）
A． B．1 C． D．3
3．（2022 甘肅）計算：．
4．（2023 金昌）計算：．
■考點四　 二次根式的化簡求值及應用
◇典例4：（2020 金華二模）先化簡，再求值：，其中a＝+1．
◆變式訓練
（2022 瑞安市校級三模）當時，代數式（a﹣1）2﹣2a+2的值為 　．
1．（2023 金華）要使有意義，則x的值可以是（　　
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．2
2．（2021 杭州）下列計算正確的是（　　）
A． B． C．＝±2 D．
3．（2023 慈溪市模擬）若分式有意義，則x的取值范圍是（　　）
A．x＞2 B．x≤2 C．x＝2 D．x≠2
4．（2023 蕭山區一模）已知，則實數a的值為（　　）
A．9 B．3 C． D．±3
5．（2023 南湖區一模）下列各式中，正確的是（　　）
A．（﹣3）2＝9 B．（﹣2）3＝﹣6 C． D．
6．（2022 杭州）計算：＝　 　；（﹣2）2＝　 　．
7．（2022 蕭山區一模）計算：＝　 　．
8．（2023 杭州）計算：＝　 　．
9．（2023 浙江模擬）若最簡根式與是同類二次根式，則m＝　 　．
10．（2023 龍游縣一模）已知：a＝，b＝，則＝　　．
11．（2021 麗水模擬）若方程組，設x+y＝a2，x﹣y＝b2，則代數式的值為（　　）
A． B． C． D．
12．（2023 蕭山區一模）婷婷對“化簡：”的解答過程如下：
解：原式＝．
試問婷婷的解答過程是否正確？若正確，請再寫出一種解答過程；若有錯誤，請寫出正確的解答過程．
13．（2021 永嘉縣校級模擬）計算：．
14．（2023 舟山二模）閱讀材料：
小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如．善于思考的小明進行了以下探索：
設（其中a、b、m、n均為整數），則有．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把類似的式子化為平方式的方法．
請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：
（1）當a、b、m、n均為正整數時，若，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　；
（2）利用所探索的結論，找一組正整數a、b、m、n填空： 　+　　＝（ 　　+　　 ）2；
（3）若，且a、m、n均為正整數，求a的值．
1．（2021 金華模擬）代數式在實數范圍內有意義時，x的取值范圍為（　　）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1 C．x≥﹣1且x≠0 D．x≠0
2．（2023 杭州二模）下列計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022 湖北）下列各式計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 濱江區校級模擬）的值是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 溫嶺市一模）式子成立的條件是（　　）
A．x＜1且x≠0 B．x＞0且x≠1 C．0＜x≤1 D．0＜x＜1
6．（2021 上城區校級一模）計算，結果正確的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2022 安順）估計的值應在（　　）
A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間
8．（2022 衢州）計算 ＝　 　．
9．（2021 金華）二次根式中，字母x的取值范圍是 　 　．
10．（2022 哈爾濱）計算的結果是 　 　．
11．（2023 內蒙古）實數m在數軸上對應點的位置如圖所示，化簡：＝　 　．
12．（2021 衢州）若有意義，則x的值可以是 　 　．（寫出一個即可）
13．（2023 蘭州）計算：．
14．（2022 仙居縣二模）計算：．
15．（2023 南湖區二模）化簡：，以下是小曹同學的解答過程．思考并完成以下任務．解：原式＝①；＝②；＝2③；任務：
（1）小曹的解答過程是從第幾步開始出錯的，請指出錯誤的原因；
（2）請嘗試寫出正確的化簡過程．
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