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專題十 平面向量
1．向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的長度(或稱模).的模記作．
(2)零向量：長度為0的向量叫做零向量，其方向是任意的．
(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量.是一個與a同向的單位向量．－是一個與a方向相反的單位向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又叫共線向量，任一組平行向量都可以移到同一直線上．規(guī)定：0與任一向量平行．
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量叫做相反向量．
(7)向量的表示方法：用字母表示；用有向線段表示；用坐標(biāo)表示．
2．向量的線性運算
向量運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律
加法 求兩個向量和的運算 交換律：a＋b＝b＋a； 結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法 求a與b的相反向量－b的和的運算 a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘 求實數(shù)λ與向量a的積的運算 |λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時，λa與a的方向相同； 當(dāng)λ<0時，λa與a的方向相反； 當(dāng)λ＝0時，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a (λ＋μ)a＝λa＋μa λ(a＋b)＝λa＋λb
3．向量共線定理
向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個實數(shù)λ，使得b＝λa.
4．平面向量的坐標(biāo)運算
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2).
(2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1).
(3)若a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy).
(4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0．
5．向量的夾角
已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是[0，π]．
6．平面向量的數(shù)量積
定義：已知兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|·cos θ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b.
7．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.
結(jié)論 符號表示 坐標(biāo)表示
模 |a|＝ |a|＝
夾角的余弦 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要條件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
一 、向量的基本概念及線性運算
1．下列命題中正確的是（ ）
A．單位向量都相等 B．相等向量一定是共線向量
C．若，則 D．任意向量的模都是正數(shù)
【答案】B
【解析】對于A，單位向量的模長相等，方向不一定相同，故A錯誤；
對于B，相等向量一定是共線向量，故B正確；
對于C，若，，而與不一定平行，故C錯誤；
對于D，零向量的模長是，故D錯誤，
故選：B.
2．已知單位向量，，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】對于A，向量，為單位向量，向量，的方向不一定相同，A錯誤；
對于B，向量，為單位向量，但向量， 不一定為相反向量，B錯誤；
對于C，向量，為單位向量，則，C正確；
對于D，向量，為單位向量，向量，的方向不一定相同或相反，即與不一定平行，D錯誤，
故選：C.
3．下列各式化簡正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】對于A，，故錯誤；
對于B，，故錯誤；
對于C，，故錯誤；
對于D，，故正確；
故選：D．
二 、向量共線定理及坐標(biāo)表示
4．已知向量，，若與共線，則實數(shù)的值為（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】向量，，而與共線，則，解得，所以實數(shù)的值為，故選：C．
5．已知，，，若，則銳角等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】C
【解析】因為，，所以，又因為，且，
所以，即，所以，故選：C.
6．已知是平面上的兩個不共線向量，向量，，若，則實數(shù)　（ ）
A．6 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】，．向量，，，，
是平面上的兩個不共線向量，，，故選：B．
三 、向量的數(shù)量積
7．設(shè)，，，則（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【解析】因為，，，所以，故選：B.
8．已知向量，，，則向量，的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為向量，所以，由，可得，所以，因為，所以，故選：A.
9．已知向量，，且，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知向量，，所以，因為，所以，
解得，則，故選：A.
10．已知向量，，若與的夾角為，則（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】B
【解析】因為，，且與的夾角為，所以，所以，故選：B.
一、選擇題
1．關(guān)于向量，，下列命題中，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，，則
【答案】B
【解析】A.由平面向量的定義可知，向量的模相等，向量不一定相等，故A錯誤；B.兩個向量是相反向量，則兩個向量平行，故B正確；C.向量不能比較大小，故C錯誤；D.當(dāng)向量時，與不一定平行，故D錯誤；故選：B．
2．已知向量，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】因為向量，所以，所以，故選：D.
3．已知向量，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意，解得，故，故選：A.
4．若向量，，則（ ）
A． B．25 C． D．19
【答案】A
【解析】因為，，所以，故，故選：A.
5．若向量，為單位向量，，則向量與向量的夾角為（ ）
A．30° B．60° C．120° D．15°
【答案】C
【解析】由，以及，可得，則，即，又，所以夾角120°．故選：C.
6．已知平面向量，若與垂直，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題可知：，因為，所以，
故選：A．
7．已知向量，，，且，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【解析】由已知得，，又，所以，即。解得，，故選：D.
8．已知，，且，，則的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)，由，得 ，所以,故選：C
9．設(shè)，向量，且，則等于（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【解析】由知：且，則，可得，即，由知：，可得，即，所以，故,故選：B.
10．已知平面向量，的夾角為，且，，則與的夾角是（　 ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
所以，，則，故選：D.
二、填空題
11．已知向量，若，則 ．
【答案】-2
【解析】因為向量，且，所以，所以，故答案為：-2.
12．已知向量、滿足，，則 .
【答案】
【解析】因為，，解得，故答案為：.
13．已知向量，且，則向量與的夾角為 .
【答案】
【解析】因為，故，而，故即，故，而，故，故答案為：.
14．已知向量 ， 且， 則 ．
【答案】2
【解析】因為，由，，則，所以，解得，故答案為: 2.
15．已知向量，，若，則實數(shù) ．
【答案】
【解析】由已知可得，，若，則，解得，故答案為：.
16．已知，若滿足且，則 ．
【答案】
【解析】設(shè)，，由于且，所以，解得，所以，故答案為：.
三、解答題
18．已知平面向量已知平面向量，，，且與的夾角為.
（1）求；
（2）求．
【答案】(1)；(2)
【解析】解：（1），，.
（2），∴．
19．已知向量，向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】(1)2；(2)
【解析】解：（1）∵，且，∴，∴.
（2）∵，∴，即，∴，∴.
20．已知向量，，且與的夾角為．
（1）求及；
（2）若與垂直，求實數(shù)的值．
【答案】(1)，；(2)
【解析】解：（1）因為向量，且與的夾角為，所以，
解得，所以 ，則.
（2）由（1）知m = 1，故，故，，因為 與 垂直，所以，解得．專題十 平面向量
1．向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的長度(或稱模).的模記作．
(2)零向量：長度為0的向量叫做零向量，其方向是任意的．
(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量.是一個與a同向的單位向量．－是一個與a方向相反的單位向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又叫共線向量，任一組平行向量都可以移到同一直線上．規(guī)定：0與任一向量平行．
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量叫做相反向量．
(7)向量的表示方法：用字母表示；用有向線段表示；用坐標(biāo)表示．
2．向量的線性運算
向量運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律
加法 求兩個向量和的運算 交換律：a＋b＝b＋a； 結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法 求a與b的相反向量－b的和的運算 a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘 求實數(shù)λ與向量a的積的運算 |λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時，λa與a的方向相同； 當(dāng)λ<0時，λa與a的方向相反； 當(dāng)λ＝0時，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a (λ＋μ)a＝λa＋μa λ(a＋b)＝λa＋λb
3．向量共線定理
向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個實數(shù)λ，使得b＝λa.
4．平面向量的坐標(biāo)運算
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2).
(2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1).
(3)若a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy).
(4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0．
5．向量的夾角
已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是[0，π]．
6．平面向量的數(shù)量積
定義：已知兩個非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|·cos θ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b.
7．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.
結(jié)論 符號表示 坐標(biāo)表示
模 |a|＝ |a|＝
夾角的余弦 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要條件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
一 、向量的基本概念及線性運算
1．下列命題中正確的是（ ）
A．單位向量都相等 B．相等向量一定是共線向量
C．若，則 D．任意向量的模都是正數(shù)
2．已知單位向量，，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式化簡正確的是（ ）
A． B．
C． D．
二 、向量共線定理及坐標(biāo)表示
4．已知向量，，若與共線，則實數(shù)的值為（ ）
A．3 B．2 C． D．
5．已知，，，若，則銳角等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．已知是平面上的兩個不共線向量，向量，，若，則實數(shù)　（ ）
A．6 B． C．3 D．
三 、向量的數(shù)量積
7．設(shè)，，，則（ ）
A． B． C．5 D．
8．已知向量，，，則向量，的夾角為（ ）
A． B． C． D．
9．已知向量，，且，則（　　）
A． B． C． D．
10．已知向量，，若與的夾角為，則（ ）
A．18 B．20 C．22 D．24
一、選擇題
1．關(guān)于向量，，下列命題中，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，，則
2．已知向量，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知向量，，且，則（ ）
A． B． C． D．
4．若向量，，則（ ）
A． B．25 C． D．19
5．若向量，為單位向量，，則向量與向量的夾角為（ ）
A．30° B．60° C．120° D．15°
6．已知平面向量，若與垂直，則（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量，，，且，則實數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．3
8．已知，，且，，則的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
9．設(shè)，向量，且，則等于（ ）
A． B． C．3 D．4
10．已知平面向量，的夾角為，且，，則與的夾角是（　 ）
A． B． C． D．
二、填空題
11．已知向量，若，則 ．
12．已知向量、滿足，，則 .
13．已知向量，且，則向量與的夾角為 .
14．已知向量 ， 且， 則 ．
15．已知向量，，若，則實數(shù) ．
16．已知，若滿足且，則 ．
三、解答題
18．已知平面向量已知平面向量，，，且與的夾角為.
（1）求；
（2）求．
19．已知向量，向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
20．已知向量，，且與的夾角為．
（1）求及；
（2）若與垂直，求實數(shù)的值．

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