資源簡(jiǎn)介

專(zhuān)題11 計(jì)數(shù)原理、概率
知識(shí)點(diǎn)一　分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理
完成一件事有n類(lèi)不同的方案，在第一類(lèi)方案中有m1種不同的方法，在第二類(lèi)方案中有m2種不同的方法，……，在第n類(lèi)方案中有mn種不同的方法，則完成這件事共有N＝__m1＋m2＋…＋mn__種不同的方法．
知識(shí)點(diǎn)二　分步乘法計(jì)數(shù)原理
完成一件事需要分成n個(gè)不同的步驟，完成第一步有m1種不同的方法，完成第二步有m2種不同的方法，……，完成第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝__m1·m2·…·mn__種不同的方法．
重要結(jié)論
分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別
分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類(lèi)”問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟相互聯(lián)系、相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事．
知識(shí)點(diǎn)三　排列與排列數(shù)
(1)排列的定義：從n個(gè)__不同__元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的__順序__排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．
(2)排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的__所有不同排列__的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)__A__表示．
(3)排列數(shù)公式：A＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__．
(4)全排列：n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列，A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝__n！__．排列數(shù)公式寫(xiě)成階乘的形式為A＝，這里規(guī)定0！＝__1__．
知識(shí)點(diǎn)四　組合與組合數(shù)
(1)組合的定義：一般地，從n個(gè)__不同__元素中取出m(m＜n)個(gè)元素__合成一組__，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．
(2)組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的__所有不同組合__的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)__C__表示．
(3)組合數(shù)的計(jì)算公式：C＝＝＝，這里規(guī)定C＝__1__．
(4)組合數(shù)的性質(zhì)：①C＝__C__；②C＝__C__＋__C__．
重要結(jié)論
對(duì)于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題，通常從三個(gè)途徑考慮
(1)以元素為主考慮，即先滿(mǎn)足特殊元素的要求，再考慮其他元素．
(2)以位置為主考慮，即先滿(mǎn)足特殊位置的要求，再考慮其他位置．
(3)先不考慮附加條件，計(jì)算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù)或組合數(shù)．
1. 二項(xiàng)式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N＋)．
這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式，其中的系數(shù)C(k＝0,1,2，…，n)叫做__二項(xiàng)式系數(shù)__，式中的__Can－kbk__叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的__通項(xiàng)__，用Tk＋1表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第__k＋1__項(xiàng)：Tk＋1＝__Can－kbk__．
2.二項(xiàng)展開(kāi)式形式上的特點(diǎn)
(1)項(xiàng)數(shù)為_(kāi)_n＋1__．
(2)各項(xiàng)的次數(shù)和都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為_(kāi)_n__．
(3)字母a按__降冪__排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減小1直到零；字母b按__升冪__排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增加1直到n．
3.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
(1)0≤k≤n時(shí)，C與C的關(guān)系是__C＝C__．
(2)二項(xiàng)式系數(shù)先增后減，中間項(xiàng)最大．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，第＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第項(xiàng)和項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．
(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：C＋C＋C＋…＋C＝__2n__，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝__2n－1__．
重要結(jié)論
1．二項(xiàng)式定理中，通項(xiàng)公式Tk＋1＝Can－kbk是展開(kāi)式的第k＋1項(xiàng)，不是第k項(xiàng)．
2．(1)二項(xiàng)式系數(shù)與展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，在Tk＋1＝Can－kbk中，C是該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，該項(xiàng)的系數(shù)還與a，b有關(guān)．
(2)二項(xiàng)式系數(shù)的最值和增減性與指數(shù)n的奇偶性有關(guān)．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值．
1. 計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
2. 排列數(shù)的應(yīng)用
3. 組合數(shù)的應(yīng)用
4. 求二項(xiàng)展開(kāi)式的第n項(xiàng).
5. 求二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng).
6. 已知二項(xiàng)展開(kāi)式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).
7. 二項(xiàng)式系數(shù)的最大值.
8. 隨機(jī)事件的概率；
9. 簡(jiǎn)單的古典概型；
10. 相互獨(dú)立事件的概率．
11. 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布．
12. 離散型隨機(jī)變量的分布列．
考點(diǎn)一 排列的應(yīng)用
例1．從6名學(xué)生中選出2名學(xué)生擔(dān)任數(shù)學(xué)，物理課代表的選法有（ ）
A.10種 B.15種
C.30種 D.45
例2．從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的兩位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為( ).
A. 20 B. 12
C. 10 D. 8
【變式探究】用0，1，2，3，4可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．16 B．36 C．48 D．60
考點(diǎn)二 組合的應(yīng)用
例3．從數(shù)字1,2,3,4,5中任取三個(gè)不同的數(shù)，可以作為直角三角形三條邊的概率是__________.
例4．袋中有5個(gè)紅球，5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，既有紅球又有黑球的概率為_(kāi)___________.
例4．計(jì)算的值是（ ）
A．62 B．102 C．152 D．540
例4．五一小長(zhǎng)假期間，旅游公司決定從6輛旅游大巴A B C D E F中選出4輛分別開(kāi)往紫蒙湖 美林谷 黃崗梁 烏蘭布統(tǒng)四個(gè)景區(qū)承擔(dān)載客任務(wù)，要求每個(gè)景區(qū)都要有一輛大巴前往，每輛大巴只開(kāi)往一個(gè)景區(qū)，且這6輛大巴中A B不去烏蘭布統(tǒng)，則不同的選擇方案共有（ ）
A．360 B．240 C．216 D．168
【變式探究】1. 某班計(jì)劃從3位男生和4位女生中選出2人參加辯論賽，并且至少1位女生入選，則不同的選法的種數(shù)為（ ）
A．12 B．18 C．21 D．24
2. 從4名男生和2名女生中選2人參加會(huì)議，至少有一名男生，不同的安排方法有（ ）種．
A．13 B．14 C．15 D．16
3.（ ）
A．110 B．98 C．124 D．148
4. 將3名醫(yī)護(hù)人員，6名志愿者分成3個(gè)小組，分別安排到甲、乙、丙三個(gè)新增便民核酸采樣點(diǎn)參加核酸檢測(cè)相關(guān)工作，每個(gè)小組由1名醫(yī)護(hù)人員和2名志愿者組成，則不同的安排方案共有（ ）
A．90種 B．540種 C．1620種 D．3240種
考點(diǎn)三 二項(xiàng)展開(kāi)式
例5．的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)等于( ).
A. B. C. D.
例6．的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)和為128，則=_____.
【變式探究】1. 二項(xiàng)式展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)是（ ）
A． B．
C． D．
2. 的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)四 古典概型
例7．已知集合和集合，分別在集合A和B中各取一個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)的概率是（ ）
A． B． C． D．
例8．拋兩枚均勻的骰子，結(jié)果“至少有一個(gè)向上數(shù)字是6點(diǎn)”的概率為 ．
【變式探究】1. 某學(xué)校舉辦作文比賽，共設(shè)6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文．則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到相同主題的概率為（ ）
A． B． C． D．
2. 拋兩枚均勻的骰子，結(jié)果“至少有一個(gè)向上數(shù)字是6點(diǎn)”的概率為 ．
考點(diǎn)五 相互獨(dú)立事件的概率
例10．甲乙兩人射擊，中靶的概率分別為0.9，0.8.若兩人同時(shí)獨(dú)立射擊，則恰有一人不中靶的概率為 .
例11．甲、乙、丙三人參加一次考試，他們合格的概率分別為，那么三人中恰有兩人合格的概率是 ．
【變式探究】1. 設(shè)甲乘汽車(chē) 動(dòng)車(chē)前往某目的地的概率分別為，汽車(chē)和動(dòng)車(chē)正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率分別為，則甲正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率為 .
2. 某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率都是，則這名射手在3次射擊中恰有2次擊中目標(biāo)的概率為（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)五 離散型隨機(jī)變量的分布列
例12.袋子中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球，從中任取2個(gè)球，
（1）求恰有1個(gè)紅球的概率；
（2）求取到紅球個(gè)數(shù)的概率分布.
【變式探究】(2020年河北對(duì)口)取一副撲克牌，去掉大小王牌，剩下梅花E、黑桃、紅桃、方片四種花色共52張，現(xiàn)在放回地隨AB機(jī)抽取3次，設(shè)ξ為抽到梅花產(chǎn)次數(shù)，求
（1）至少抽到1次梅花的概率；
（2）ξ的概率分布.
1. 展開(kāi)式中含項(xiàng)與含項(xiàng)的系數(shù)之比為（ ）
A、 B、 C、2 D、4
2. 設(shè)事件A與B為互斥事件，則下列式子一定成立的是（ ）
A.P(A)+P(B)<1 B. P(A)+P(B)>1 C. P(A)+P(B)=1 D. P(A)+P(B) ≤1
3.將桃樹(shù)、蘋(píng)果樹(shù)、梨樹(shù)、山楂樹(shù)、杏樹(shù)各一棵種成一排，則山楂樹(shù)與梨樹(shù)不能相鄰的種植方法有 種.
4.從4名數(shù)學(xué)教師和2名語(yǔ)文教師中任選3名教師到山區(qū)某一學(xué)校支教.ξ表示選到的語(yǔ)文教師人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的概率分布.
5.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（ ）
A．第5項(xiàng) B．第6項(xiàng)
C．第5項(xiàng)與第6項(xiàng) D．第6項(xiàng)與第7項(xiàng)
6.國(guó)家派5支醫(yī)療隊(duì)到4個(gè)疫區(qū)支援抗疫工作，每個(gè)地區(qū)至少分配1支醫(yī)療隊(duì)，則不同的分配方案有（ ）
A.60 種 B.120 種 C.240 種 D.480 種
7.現(xiàn)有長(zhǎng)度分別為1，2，3，4，5的五條線段，從中任取三條線段可以構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為 .
8.為備戰(zhàn)2022年北京冬奧會(huì)，某競(jìng)技滑雪運(yùn)動(dòng)員精心編排了一套難度系數(shù)較高的動(dòng)作，通過(guò)一段時(shí)間的訓(xùn)練，每次完美完成這套動(dòng)作的概率為0.9,求在賽前4次試滑中該運(yùn)動(dòng)員完美完成這套動(dòng)作的次數(shù)的概率分布.
9.某醫(yī)院為支援湖北疫情，從4名醫(yī)生和6名護(hù)士中選派3名醫(yī)生和3名護(hù)士參加援鄂醫(yī)療小分隊(duì)，不同的選派方法共有( )
A.20種 B.40種 C.60種 D.80種
10.某學(xué)校舉行元旦曲藝晚會(huì)，有5個(gè)小品節(jié)目，3個(gè)相聲節(jié)目，要求相聲節(jié)目不能相鄰，則不同的出場(chǎng)次序有 種.
11.同時(shí)擲2顆骰子，則擲出點(diǎn)數(shù)之和為7的概率為 。
12. 已知離散型隨機(jī)變量的概率分布為
0 1 2 3
P 0.12 0.36 0.24
則( )
A. 0.24 B.0.28
C. 0.48 D. 0.52
13.北京至雄安將開(kāi)通高鐵，共設(shè)有6 個(gè)高鐵站（包含北京站和雄安站），則需設(shè)計(jì)不同車(chē)票的種類(lèi)有（ ）
A.12 種 B.15 種 C.20 種 D.30 種
14. 某學(xué)校參加 2019 北京世界園藝博覽會(huì)志愿活動(dòng)，計(jì)劃從5名女生，3名男生中選出4人組成小分隊(duì)，則選出的4人中2名女生2名男生的選法有 種.
15．一口袋里裝有4個(gè)白球和4個(gè)紅球，現(xiàn)在從中任意取3個(gè)球，則取到既有白球又有紅球的概率為 。
16.一顆骰子連續(xù)拋擲3次，設(shè)出現(xiàn)能被3整除的點(diǎn)的次數(shù)為,
(1) 求 P(=2) ；
(2) 求 的概率分布 .
17.某體育興趣小組共有4名同學(xué)，如果隨機(jī)分為2組進(jìn)行對(duì)抗賽，每組二名隊(duì)員，分配方案共有（ ）種
A、2 B、 3 C、6 D、12
18．將一枚硬幣拋三次，則至少出現(xiàn)一次正面的概率為 。
19.從 4 名男生和 3 名女生中任選 3 人參加學(xué)校組織的“兩山杯”環(huán)保知識(shí)大賽，設(shè)ξ表示選中3人中女生的人數(shù)。求
（1）至少有 1 名女生的概率
（2）ξ的概率分布
20. 從4種花卉中任選3種，分別種在不同形狀的3個(gè)花盆中，不同的種植方法有（ ）
A．種 B．種
C．種 D．種
21.為加強(qiáng)精準(zhǔn)扶貧工作，某地市委計(jì)劃從8名處級(jí)干部（包括甲、乙、丙三位同志）中選派4名同志去4個(gè)貧困村工作，每村一人. 問(wèn)：
（1）甲、乙必須去，但丙不去的不同選派方案有多少種？
（2）甲必須去，但乙和丙都不去的不同選派方案有多少種？
（3）甲、乙、丙都不去的不同選派方案有多少種？
22．取一個(gè)正方形及其外接圓，在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，該點(diǎn)取自正方形內(nèi)的概率為 .
23. 某生態(tài)園有個(gè)出入口，若某游客從任一出入口進(jìn)入，并且從另外個(gè)出入口之一走出，進(jìn)出方案的種數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
242. 從中任選三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率是 ．
25.某實(shí)驗(yàn)室有名男研究員，名女研究員，現(xiàn)從中任選人參加學(xué)術(shù)會(huì)議，求所選人中女研究員人數(shù)的概率分布．專(zhuān)題11 計(jì)數(shù)原理、概
知識(shí)點(diǎn)一　分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理
完成一件事有n類(lèi)不同的方案，在第一類(lèi)方案中有m1種不同的方法，在第二類(lèi)方案中有m2種不同的方法，……，在第n類(lèi)方案中有mn種不同的方法，則完成這件事共有N＝__m1＋m2＋…＋mn__種不同的方法．
知識(shí)點(diǎn)二　分步乘法計(jì)數(shù)原理
完成一件事需要分成n個(gè)不同的步驟，完成第一步有m1種不同的方法，完成第二步有m2種不同的方法，……，完成第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝__m1·m2·…·mn__種不同的方法．
重要結(jié)論
分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別
分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類(lèi)”問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟相互聯(lián)系、相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事．
知識(shí)點(diǎn)三　排列與排列數(shù)
(1)排列的定義：從n個(gè)__不同__元素中取出m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的__順序__排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．
(2)排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的__所有不同排列__的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)__A__表示．
(3)排列數(shù)公式：A＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__．
(4)全排列：n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列，A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝__n！__．排列數(shù)公式寫(xiě)成階乘的形式為A＝，這里規(guī)定0！＝__1__．
知識(shí)點(diǎn)四　組合與組合數(shù)
(1)組合的定義：一般地，從n個(gè)__不同__元素中取出m(m＜n)個(gè)元素__合成一組__，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．
(2)組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的__所有不同組合__的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)__C__表示．
(3)組合數(shù)的計(jì)算公式：C＝＝＝，這里規(guī)定C＝__1__．
(4)組合數(shù)的性質(zhì)：①C＝__C__；②C＝__C__＋__C__．
重要結(jié)論
對(duì)于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題，通常從三個(gè)途徑考慮
(1)以元素為主考慮，即先滿(mǎn)足特殊元素的要求，再考慮其他元素．
(2)以位置為主考慮，即先滿(mǎn)足特殊位置的要求，再考慮其他位置．
(3)先不考慮附加條件，計(jì)算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù)或組合數(shù)．
1. 二項(xiàng)式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N＋)．
這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做(a＋b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式，其中的系數(shù)C(k＝0,1,2，…，n)叫做__二項(xiàng)式系數(shù)__，式中的__Can－kbk__叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的__通項(xiàng)__，用Tk＋1表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第__k＋1__項(xiàng)：Tk＋1＝__Can－kbk__．
2.二項(xiàng)展開(kāi)式形式上的特點(diǎn)
(1)項(xiàng)數(shù)為_(kāi)_n＋1__．
(2)各項(xiàng)的次數(shù)和都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為_(kāi)_n__．
(3)字母a按__降冪__排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減小1直到零；字母b按__升冪__排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增加1直到n．
3.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)
(1)0≤k≤n時(shí)，C與C的關(guān)系是__C＝C__．
(2)二項(xiàng)式系數(shù)先增后減，中間項(xiàng)最大．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，第＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第項(xiàng)和項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大．
(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：C＋C＋C＋…＋C＝__2n__，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝__2n－1__．
重要結(jié)論
1．二項(xiàng)式定理中，通項(xiàng)公式Tk＋1＝Can－kbk是展開(kāi)式的第k＋1項(xiàng)，不是第k項(xiàng)．
2．(1)二項(xiàng)式系數(shù)與展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，在Tk＋1＝Can－kbk中，C是該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，該項(xiàng)的系數(shù)還與a，b有關(guān)．
(2)二項(xiàng)式系數(shù)的最值和增減性與指數(shù)n的奇偶性有關(guān)．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值．
1. 計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用
2. 排列數(shù)的應(yīng)用
3. 組合數(shù)的應(yīng)用
4. 求二項(xiàng)展開(kāi)式的第n項(xiàng).
5. 求二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng).
6. 已知二項(xiàng)展開(kāi)式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).
7. 二項(xiàng)式系數(shù)的最大值.
8. 隨機(jī)事件的概率；
9. 簡(jiǎn)單的古典概型；
10. 相互獨(dú)立事件的概率．
11. 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布．
12. 離散型隨機(jī)變量的分布列．
考點(diǎn)一 排列的應(yīng)用
例1．從6名學(xué)生中選出2名學(xué)生擔(dān)任數(shù)學(xué)，物理課代表的選法有（ ）
A.10種 B.15種
C.30種 D.45種
【答案】C
【解析】，故選C。
例2．從1,2,3,4,5中任取兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的兩位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為( ).
A. 20 B. 12
C. 10 D. 8
【答案】D
【解析】首先排個(gè)位，從2，4中任取一個(gè)，共有2種，再排十位，從剩下的4個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，共有4種，所以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的兩位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為8.
【變式探究】1. 用0，1，2，3，4可以組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．16 B．36 C．48 D．60
【答案】C
【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可求出結(jié)果.
【詳解】第一步，從中任選一個(gè)數(shù)字排在百位，有種；
第二步，從剩下的個(gè)數(shù)字中任選個(gè)排在十位和個(gè)位，有種，
根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).
故選：C
考點(diǎn)二 組合的應(yīng)用
例3．從數(shù)字1,2,3,4,5中任取三個(gè)不同的數(shù)，可以作為直角三角形三條邊的概率是__________.
【答案】
【解析】從五個(gè)不同數(shù)中任取三個(gè)不同數(shù)的取法共有，而作為直角三角形的情況只有3,4,5一種，所以概率為
例4．袋中有5個(gè)紅球，5個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，既有紅球又有黑球的概率為_(kāi)___________.
【答案】
【解析】既有紅球又有黑球包括1紅2黑，2紅1黑，而10球中任取3球的取法總數(shù)為，既有紅球又有黑球的概率為
例4．計(jì)算的值是（ ）
A．62 B．102 C．152 D．540
【答案】A
【分析】利用組合和排列數(shù)公式計(jì)算
【詳解】
故選：A
例4．五一小長(zhǎng)假期間，旅游公司決定從6輛旅游大巴A B C D E F中選出4輛分別開(kāi)往紫蒙湖 美林谷 黃崗梁 烏蘭布統(tǒng)四個(gè)景區(qū)承擔(dān)載客任務(wù)，要求每個(gè)景區(qū)都要有一輛大巴前往，每輛大巴只開(kāi)往一個(gè)景區(qū)，且這6輛大巴中A B不去烏蘭布統(tǒng)，則不同的選擇方案共有（ ）
A．360 B．240 C．216 D．168
【答案】B
【分析】?jī)?yōu)先考慮去烏蘭布統(tǒng)，再把剩下的三個(gè)景區(qū)各安排一輛大巴前往，利用分步計(jì)算原理得解.
【詳解】這6輛旅游大巴，A B不去烏蘭布統(tǒng)，則不同的選擇方案共有種.
故選：B.
【變式探究】1. 某班計(jì)劃從3位男生和4位女生中選出2人參加辯論賽，并且至少1位女生入選，則不同的選法的種數(shù)為（ ）
A．12 B．18 C．21 D．24
【答案】B
【分析】分兩種情況：第一種情況，只有一位女生入選，第二種情況，有2位女生入選，根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.
【詳解】可分兩種情況：第一種情況，只有一位女生入選，不同的選法有 種，
第二種情況，有2位女生入選，不同的選法有 種，
根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，至少1位女生入選的不同的選法的種數(shù)為 種.
故選：B.
2. 從4名男生和2名女生中選2人參加會(huì)議，至少有一名男生，不同的安排方法有（ ）種．
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，用間接法分析：先計(jì)算全部的選法，排除其中“沒(méi)有女生，即全部為男生”的選法，分析可得答案．
【詳解】根據(jù)題意，從4名男生和2名女生中選2人參加會(huì)議，有種選法，
其中沒(méi)有男生，即全部為女生的選法有種，
則至少有一名男生的選法有．
故選：B．
3.（ ）
A．110 B．98 C．124 D．148
【答案】A
【分析】利用排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算公式即可得解.
【詳解】.
故選：A.
4. 將3名醫(yī)護(hù)人員，6名志愿者分成3個(gè)小組，分別安排到甲、乙、丙三個(gè)新增便民核酸采樣點(diǎn)參加核酸檢測(cè)相關(guān)工作，每個(gè)小組由1名醫(yī)護(hù)人員和2名志愿者組成，則不同的安排方案共有（ ）
A．90種 B．540種 C．1620種 D．3240種
【答案】B
【分析】根據(jù)分布計(jì)數(shù)原理，先求出醫(yī)護(hù)人員的安排方案，再求出志愿者的安排方案即可.
【詳解】第一步，醫(yī)護(hù)人員的安排方案有種，
第二步，志愿者的安排方案有種，
∴不同的安排方案共有種，
故選：B
考點(diǎn)三 二項(xiàng)展開(kāi)式
例5．的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)等于( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，當(dāng)10-2r=0時(shí)，即r=5時(shí)，該項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，等于.故選D
例6．的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)和為128，則=_____.
【答案】7
【解析】二項(xiàng)式系數(shù)和為=128，所以n=7.
【變式探究】1. 二項(xiàng)式展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理寫(xiě)出通項(xiàng)公式進(jìn)而求解.
【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，
令，則.
則二項(xiàng)式展開(kāi)式中含x項(xiàng)的系數(shù)是.
故選：C
2. 的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】使用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可.
【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)是，（）
由題意，，
因此，的系數(shù)是.
故選：B.
考點(diǎn)四 古典概型
例7．已知集合和集合，分別在集合A和B中各取一個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】列舉出所有基本事件，兩數(shù)之和為偶數(shù)的基本事件，即可求兩數(shù)之和為偶數(shù)的概率．
【詳解】從集合和集合中各取一個(gè)數(shù)，
基本事件為，
，共個(gè)基本事件，
∵兩數(shù)之和為偶數(shù)，
∴兩數(shù)中全是偶數(shù)或全是奇數(shù)，
包含的基本事件為，共有8個(gè)，
∴兩數(shù)之和為偶數(shù)的概率是．
故選：B．
例8．拋兩枚均勻的骰子，結(jié)果“至少有一個(gè)向上數(shù)字是6點(diǎn)”的概率為 ．
【答案】
【分析】對(duì)兩枚骰子進(jìn)行區(qū)分，再根據(jù)古典概型利用列舉法即可得解.
【詳解】對(duì)兩枚骰子進(jìn)行區(qū)分，則共有種，
其中“至少有一個(gè)向上數(shù)字是6點(diǎn)”有
共種，
則結(jié)果“至少有一個(gè)向上數(shù)字是6點(diǎn)”的概率為.
故答案為：.
【變式探究】1. 某學(xué)校舉辦作文比賽，共設(shè)6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文．則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到相同主題的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用古典概型計(jì)算即可.
【詳解】由題意可知甲乙兩人抽取主題的情況有種，相同的情況有6種，
所以其概率為.
故選：D
2. 拋兩枚均勻的骰子，結(jié)果“至少有一個(gè)向上數(shù)字是6點(diǎn)”的概率為 ．
【答案】
【分析】對(duì)兩枚骰子進(jìn)行區(qū)分，再根據(jù)古典概型利用列舉法即可得解.
【詳解】對(duì)兩枚骰子進(jìn)行區(qū)分，則共有種，
其中“至少有一個(gè)向上數(shù)字是6點(diǎn)”有
共種，
則結(jié)果“至少有一個(gè)向上數(shù)字是6點(diǎn)”的概率為.
故答案為：.
考點(diǎn)五 相互獨(dú)立事件的概率
例10．甲乙兩人射擊，中靶的概率分別為0.9，0.8.若兩人同時(shí)獨(dú)立射擊，則恰有一人不中靶的概率為 .
【答案】0.26
【分析】?jī)扇送瑫r(shí)獨(dú)立射擊，則恰有一人不中靶包括：甲中乙不中和甲不中乙中，利用獨(dú)立事件的概率公式求解
【詳解】解：因?yàn)榧滓覂扇松鋼簦邪械母怕史謩e為0.9，08，
所以恰有一人不中靶的概率為P＝0.9×（1﹣0.8）+（1﹣0.9）×0.8＝0.18+0.08＝0.26.
故答案為：0.26.
例11．甲、乙、丙三人參加一次考試，他們合格的概率分別為，那么三人中恰有兩人合格的概率是 ．
【答案】
【分析】計(jì)算出甲乙，甲丙，乙丙合格的概率，相加后得到答案.
【詳解】甲乙合格的概率為，
甲丙合格的概率為，
乙丙合格的概率為，
故三人中恰有兩人合格的概率為.
故答案為：
【變式探究】1. 設(shè)甲乘汽車(chē) 動(dòng)車(chē)前往某目的地的概率分別為，汽車(chē)和動(dòng)車(chē)正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率分別為，則甲正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率為 .
【答案】0.82/
【分析】利用全概率公式求解即可.
【詳解】設(shè)事件“甲乘汽車(chē)前往某目的地”， 事件“甲乘動(dòng)車(chē)前往某目的地”， 事件“甲正點(diǎn)到達(dá)目的地”.
.
故答案為：0.82
2. 某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率都是，則這名射手在3次射擊中恰有2次擊中目標(biāo)的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)恰好發(fā)生次的概率公式計(jì)算，即可求解.
【詳解】這名射手在3次射擊中有2次擊中目標(biāo)，有1次沒(méi)有擊中目標(biāo)，
所以概率為：，
故選：D
考點(diǎn)五 離散型隨機(jī)變量的分布列
例12．袋子中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球，從中任取2個(gè)球，
（1）求恰有1個(gè)紅球的概率；
（2）求取到紅球個(gè)數(shù)的概率分布.
【解析】（1）設(shè)A表示事件“恰有1個(gè)紅球”，
(2)設(shè)表示抽到紅球的個(gè)數(shù)，
所以，取到紅球個(gè)數(shù)的概率分布為
0 1 2
P
【變式探究】(2020年河北對(duì)口)取一副撲克牌，去掉大小王牌，剩下梅花E、黑桃、紅桃、方片四種花色共52張，現(xiàn)在放回地隨AB機(jī)抽取3次，設(shè)ξ為抽到梅花產(chǎn)次數(shù)，求
（1）至少抽到1次梅花的概率；
（2）ξ的概率分布.
【解析】(1)由于4種花色均為13張，故一次抽取到梅花的概率為，從而抽到其他3種花色的概率，故
（2）根據(jù)題意，隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為，，，3．并且
在賽前4次試滑中該運(yùn)動(dòng)員完美完成這套動(dòng)作的次數(shù) 的概率分布為：
3
1.展開(kāi)式中含項(xiàng)與含項(xiàng)的系數(shù)之比為（ ）
A、 B、 C、2 D、4
解析：D, ，故含項(xiàng)與含項(xiàng)的系數(shù)之比為4，故選D.
2. 設(shè)事件A與B為互斥事件，則下列式子一定成立的是（ ）
A.P(A)+P(B)<1 B. P(A)+P(B)>1 C. P(A)+P(B)=1 D. P(A)+P(B) ≤1
解析：D,由互斥事件概率加法公式可得P(A)+P(B) ≤1，故選D.
3. 將桃樹(shù)、蘋(píng)果樹(shù)、梨樹(shù)、山楂樹(shù)、杏樹(shù)各一棵種成一排，則山楂樹(shù)與梨樹(shù)不能相鄰的種植方法有 種.
解析：先將桃樹(shù)、蘋(píng)果樹(shù)、杏樹(shù)種成一排，三棵樹(shù)隔開(kāi)4個(gè)空位，再將山楂樹(shù)與梨樹(shù)在這4個(gè)位置中選2個(gè)排好，即種.
4. 從4名數(shù)學(xué)教師和2名語(yǔ)文教師中任選3名教師到山區(qū)某一學(xué)校支教.ξ表示選到的語(yǔ)文教師人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的概率分布.
【解析】設(shè)隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為，，．并且
；；
．
隨機(jī)變量ξ的概率分布為：
5.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（ ）
A．第5項(xiàng) B．第6項(xiàng)
C．第5項(xiàng)與第6項(xiàng) D．第6項(xiàng)與第7項(xiàng)
解析：B，二項(xiàng)式的展開(kāi)式有奇數(shù)項(xiàng)，所以中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，為第6項(xiàng)，故選B.
6.國(guó)家派5支醫(yī)療隊(duì)到4個(gè)疫區(qū)支援抗疫工作，每個(gè)地區(qū)至少分配1支醫(yī)療隊(duì)，則不同的分配方案有（ ）
A.60 種 B.120 種 C.240 種 D.480 種
解析：C, 5支醫(yī)療隊(duì)到4個(gè)疫區(qū)，每個(gè)地區(qū)至少分配1支醫(yī)療隊(duì)，可以先將5支醫(yī)療隊(duì)分成4組，其中一組兩支醫(yī)療隊(duì)，另外3組各一支，共，然后將這4組排隊(duì)分給4個(gè)疫區(qū)，共，所以共有.
7.現(xiàn)有長(zhǎng)度分別為1，2，3，4，5的五條線段，從中任取三條線段可以構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為 .
解析：五條線段從中任取三條線段共有種取法，而由三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊可知只有2，3，4；2，4，5；3，4，5三種情況可以構(gòu)成三角形，所以概率為
8.為備戰(zhàn)2022年北京冬奧會(huì)，某競(jìng)技滑雪運(yùn)動(dòng)員精心編排了一套難度系數(shù)較高的動(dòng)作，通過(guò)一段時(shí)間的訓(xùn)練，每次完美完成這套動(dòng)作的概率為0.9,求在賽前4次試滑中該運(yùn)動(dòng)員完美完成這套動(dòng)作的次數(shù)的概率分布.
【解析】隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為，，，3，4．并且
在賽前4次試滑中該運(yùn)動(dòng)員完美完成這套動(dòng)作的次數(shù) 的概率分布為：
3 4
9.某醫(yī)院為支援湖北疫情，從4名醫(yī)生和6名護(hù)士中選派3名醫(yī)生和3名護(hù)士參加援鄂醫(yī)療小分隊(duì)，不同的選派方法共有( )
A.20種 B.40種 C.60種 D.80種
【答案】D
【解析】，所以選D.
10.某學(xué)校舉行元旦曲藝晚會(huì)，有5個(gè)小品節(jié)目，3個(gè)相聲節(jié)目，要求相聲節(jié)目不能相鄰，則不同的出場(chǎng)次序有 種.
【答案】14400
【解析】.
11.同時(shí)擲2顆骰子，則擲出點(diǎn)數(shù)之和為7的概率為 。
【答案】
【解析】點(diǎn)數(shù)之和為7的結(jié)果為（1，6），（2，5），（3，4），（6，1），（5，2），（4，3），同時(shí)擲2顆骰子的結(jié)果為36種，故擲出點(diǎn)數(shù)之和為7的概率為
12. 已知離散型隨機(jī)變量的概率分布為
0 1 2 3
P 0.12 0.36 0.24
則( )
A. 0.24 B.0.28
C. 0.48 D. 0.52
【答案】B
【解析】1-0.12-0.36-0.24=0.28，故選B.
13.北京至雄安將開(kāi)通高鐵，共設(shè)有6 個(gè)高鐵站（包含北京站和雄安站），則需設(shè)計(jì)不同車(chē)票的種類(lèi)有（ ）
A.12 種 B.15 種 C.20 種 D.30 種
【答案】D
【解析】需設(shè)計(jì)不同車(chē)票的種類(lèi)有，故選D.
14.某學(xué)校參加 2019 北京世界園藝博覽會(huì)志愿活動(dòng)，計(jì)劃從5名女生，3名男生中選出4人組成小分隊(duì)，則選出的4人中2名女生2名男生的選法有 種.
【答案】30
【解析】選出的4人中2名女生2名男生的選法有
15．一口袋里裝有4個(gè)白球和4個(gè)紅球，現(xiàn)在從中任意取3個(gè)球，則取到既有白球又有紅球的概率為 。
【答案】
【解析】既有白球又有紅球1白2紅，2白1紅，共48種，8個(gè)球中任取3個(gè)共，故概率為
16.一顆骰子連續(xù)拋擲3次，設(shè)出現(xiàn)能被3整除的點(diǎn)的次數(shù)為,
(1) 求 P(=2) ；
(2) 求 的概率分布 .
【解析】(1)能被3整除的只有3和6，故在一次拋擲中取到的概率為，從而出現(xiàn)不能被3整除的的概率為，故
（2）根據(jù)題意，隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為，，，3．并且
故的概率分布為：
3
17.某體育興趣小組共有4名同學(xué)，如果隨機(jī)分為2組進(jìn)行對(duì)抗賽，每組二名隊(duì)員，分配方案共有（ ）種
A、2 B、 3 C、6 D、12
【答案】B
【解析】，故選B
18.將一枚硬幣拋三次，則至少出現(xiàn)一次正面的概率為 。
【答案】
【解析】至少出現(xiàn)一次正面事件的對(duì)立事件為全出現(xiàn)反面，其概率為，故至少出現(xiàn)一次正面的概率為
19.從 4 名男生和 3 名女生中任選 3 人參加學(xué)校組織的“兩山杯”環(huán)保知識(shí)大賽，設(shè)ξ表示選中3人中女生的人數(shù)。求
（1）至少有 1 名女生的概率
（2）ξ的概率分布
【解析】（1）
（2）的概率分布為：
3
20.從4種花卉中任選3種，分別種在不同形狀的3個(gè)花盆中，不同的種植方法有（ ）
A．種 B．種
C．種 D．種
【答案】C
【解析】，故選C
21.為加強(qiáng)精準(zhǔn)扶貧工作，某地市委計(jì)劃從8名處級(jí)干部（包括甲、乙、丙三位同志）中選派4名同志去4個(gè)貧困村工作，每村一人. 問(wèn)：
（1）甲、乙必須去，但丙不去的不同選派方案有多少種？
（2）甲必須去，但乙和丙都不去的不同選派方案有多少種？
（3）甲、乙、丙都不去的不同選派方案有多少種？
【解析】：（1）甲、乙必須去，但丙不去的選派方案的種數(shù)為
（2）甲去，乙、丙不去的選派方案的種數(shù)為
（3）甲、乙、丙都不去的選派方案的種數(shù)為
22.取一個(gè)正方形及其外接圓，在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，該點(diǎn)取自正方形內(nèi)的概率為 .
【答案】
【解析】設(shè)正方形外接圓半徑為1，則圓的面積為，正方形的邊長(zhǎng)為，面積為2，該點(diǎn)取自正方形內(nèi)的概率為
23.某生態(tài)園有個(gè)出入口，若某游客從任一出入口進(jìn)入，并且從另外個(gè)出入口之一走出，進(jìn)出方案的種數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】進(jìn)入口有4種選擇，出口有3種選擇，共12種。
242.從中任選三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率是 ．
【答案】
【解析】這個(gè)三位數(shù)是偶數(shù)的概率為
25.某實(shí)驗(yàn)室有名男研究員，名女研究員，現(xiàn)從中任選人參加學(xué)術(shù)會(huì)議，求所選人中女研究員人數(shù)的概率分布．
【解析】女生人數(shù)的所有可能取值為，，，．并且
；；
，．
所選3個(gè)人中女生人數(shù)的概率分布為：

展開(kāi)更多......

收起↑