資源簡介

專題十一 立體幾何
1．線面平行的判定定理和性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行 線面平行”) l∥α
性質定理 一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行 線線平行”) l∥b
2．面面平行的判定定理和性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行 面面平行”) α∥β
性質定理 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行 a∥b
3．直線與平面垂直的判定定理與性質定理：
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直 l⊥α
性質定理 垂直于同一個平面的兩條直線平行 a∥b
4．平面與平面垂直的判定定理與性質定理：
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直 α⊥β
性質定理 兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直 l⊥α
5．空間角
(1)直線和平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角，范圍：.
(2)二面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角，二面角的平面角的范圍：[0，π]．
6．圓柱、圓錐的側面展開圖及側面積公式
圓柱 圓錐
側面展開圖
側面積公式 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl
7．柱、錐、球的表面積和體積
名稱 幾何體 表面積 體積
柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側＋2S底 V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側＋S底 V＝Sh
球 S＝4πR2 V＝πR3
一 、空間中點、線、面的位置關系
1．下列命題正確的是（ ）
A．三點確定一個平面 B．一條直線和一個點確定一個平面
C．兩條直線確定一個平面 D．梯形可確定一個平面
【答案】D
【解析】A. 由于在一條直線上的三點不能確定一個平面，所以該選項錯誤；
B. 一條直線和該直線外的一點可以確定一個平面，所以該選項錯誤；
C. 兩條異面直線不能確定一個平面，所以該選項錯誤；
D. 梯形可確定一個平面，所以該選項正確.
故選：D.
2．下列命題中，所有正確命題的序號是___________.
①兩個相交平面把空間分成4部分.
②有兩個角是直角的四邊形是平面圖形.
③若兩個平面有一個公共點，則它們有無數個公共點.
④如果分別在兩個不同平面上的兩條直線有交點，那么交點在兩平面的交線上.
【答案】①③④
【解析】對①，兩個相交平面把空間分成4部分，故①正確；
對②，如圖所示：
，滿足題意，此時為立體圖形，故②錯誤；
對③，若兩個平面有一個公共點，則它們有無數個公共點，在兩個平面的交線上，故③正確。
對④，如果分別在兩個不同平面上的兩條直線有交點，此時交點為兩個平面的公共點，必在兩個平面的交線上，故④正確。
故答案為：①③④
3．在空間中，三個平面最多能把空間分成______部分．
【答案】8
【解析】三個平面兩兩平行時，可以把空間分成4部分，如圖1；三個平面中恰有兩個平面平行時，可把空間分成6部分，如圖2；三個平面兩兩相交于一條直線時，可以把空間分成6部分，如圖3；三個平面兩兩相交于三條直線，且三條直線互相平行時，可以把空間分成7部分，如圖4；三個平面兩兩相交于三條直線，且三條直線交于一點時，可以把空間分成8部分，如圖5，所以空間中的三個平面最多能把空間分成8部分．
故答案為：8．
二 、空間中的平行關系
4．下列條件中，能得出直線與平面平行的是（ ）
A．直線與平面內的所有直線平行
B．直線與平面內的無數條直線平行
C．直線與平面沒有公共點
D．直線與平面內的一條直線平行
【答案】C
【解析】對A，直線與平面內的所有直線平行不可能，故A錯誤；
對B，當直線在平面內時，滿足直線與平面內的無數條直線平行，但與不平行，故B錯誤；
對C，能推出與平行；
對D，當直線在平面內時，與不平行.
故選：C.
5．已知，且，那么直線b與平面α的位置關系是（ ）
A．必相交 B．必平行
C．相交或平行 D．平行或在平面內
【答案】D
【解析】因為，且，那么直線b在內或平行，故選：D.
6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點，且MN∥平面PAD，則（ ）
A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能
【答案】B
【解析】∵MN∥平面PAD，MN 平面PAC，平面PAD∩平面PAC=PA，∴MN∥PA，故選：B.
三 、空間中的垂直關系
7．垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在的平面的位置關系是（ ）
A．垂直 B．斜交 C．平行 D．在平面內
【答案】A
【解析】梯形的兩腰所在的直線相交，根據線面垂直的判定定理可知線面關系為垂直，故選：A.
8．空間四邊形ABCD中，若，，那么有（ ）
A．平面ABC平面ADC B．平面ABC平面ADB
C．平面ABC平面DBC D．平面ADC平面DBC
【答案】D
【解析】∵，，，平面，∴平面BDC．又∵AD平面ADC，∴平面平面DBC，故選：D.
9．已知直線、與平面，其中，則“”是“”的（ ）條件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】如圖1，滿足，但不垂直，充分性不成立，當時，因為，由線面垂直的定義可知：，必要性成立，故“”是“”的必要不充分條件，故選：B.
10．在正方體中，直線平面（l與直線不重合），則（ ）
A． B．
C．與l異面但不垂直 D．與l相交但不垂直
【答案】B
【解析】∵平面，直線平面，∴，故選：B．
一、選擇題
1．給出下列命題：
①垂直于同一條直線的兩條直線相互平行；
②如果兩條平行直線中的一條垂直于直線，那么另一條直線也與直線垂直；
③如果一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面互相平行；
④如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直.
以上命題中真命題的序號是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】D
【解析】①，垂直于同一條直線的兩條直線可能相交或異面，①錯誤.
②，，根據平行的傳遞性、線線角的知識可知，②正確.
③，如果一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面可能相交，③錯誤.
④，根據面面垂直的性質定理可知：如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直，④正確，所以真命題的序號是②④，故選：D.
2．已知直線l及兩個不重合的平面，，下列命題正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，且內有無數條直線與l垂直，則
【答案】C
【解析】A選項，如圖1，滿足，，但不滿足，A錯誤；
如圖1，滿足，，但不滿足，B錯誤；
若，，由面面平行的定義可知，C正確；
若內這無數條直線均平行，則不能推出，D錯誤，
故選：C．
3．若兩條直線和一個平面相交成等角，則這兩條直線的位置關系是（ ）
A．平行 B．異面 C．相交 D．平行、異面或相交
【答案】D
【解析】如圖，在正方體中，⊥平面ABCD，⊥平面ABCD， 與平面ABCD所成角均為，此時.則這兩條直線可能平行；、與平面ABCD所成角均為，此時兩直線、互為異面直線.則這兩條直線可能異面；、與平面ABCD所成角均為，此時.則這兩條直線可能相交，故選：D．
4．若一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長為1，則這個球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】正方體的體對角線長為，所以球的直徑，所以球的表面積為，故選：C.
5．已知m，n是空間中兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，，，則
C．若，，，則 D．若，，則
【答案】C
【解析】如圖，平面平面，平面，但平面，A錯誤；
分別是的中點，則平面，平面，平面，平面，顯然平面與平面不平行，B項錯誤；
平面平面，平面，而平面，D項錯誤；
對于C項，，，則或.又，則.
故選：C.
6．如圖，在長方體中，為的中點，則二面角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在長方體中，平面，平面，平面，所以，且，所以即為二面角的平面角，又，易得.
故選：B.
7．已知兩個球的表面積之比為，則這兩個球的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意知，兩球的表面積之比為，則，所以兩球的體積之比為，故選：C.
8．正方體中，直線和平面所成的角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖，連接，交于，連接，因為平面，在平面內，所以 ，因為，，所以平面，所以為直線和平面所成的角，設正方體的棱長為1，則，所以，因為，所以，所以直線和平面所成的角為，故選：A.9．
10．在正四面體ABCD中，點E，F，G分別為棱BC，CD，AC的中點，則異面直線AE，FG所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】連接DE，因為點F，G分別為棱CD，AC的中點，所以FGAD，所以或其補角為異面直線AE，FG所成角，設正四面體的邊長為a，則，，由余弦定理得：，所以異面直線AE，FG所成角的余弦值為.
故選：C.
二、填空題
11．下列推理正確的是 ．
①，，，
②，
③，
④，
⑤，
【答案】①②④
【解析】①，，，，即，故①對；
②，，故②對；
③，，可能l與相交，可能有，故③不對；
④，，必有故，④對；
⑤，，則l，m可能平行，也可能異面，⑤不對，
故答案為：①②④.
12．在正方體中，對角線與底面所成角的正弦值為 .
【答案】
【解析】底面，是與底面所成的角，設正方體的棱長為，則，，，，故答案為：.
13．若直線平面，直線在平面內，則直線與的位置關系為 ．
【答案】平行或異面
【解析】直線平面，直線在平面內，則直線與平面內任意直線無交點，，或與異面，故答案為：平行或異面.
14．已知長方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為 ．
【答案】
【解析】連接，根據長方體的性質可知，所以是異面直線與所成角（或其補角），在三角形中，，由余弦定理得，故答案為：.
15．圓柱的側面展開圖是邊長為和的矩形，則圓柱的體積為 .
【答案】或
【解析】設圓柱底面圓的半徑為，高為，若為底面圓的周長，則，則圓柱的體積為，
若為底面圓的周長，則，則圓柱的體積為，故答案為:或.
16．如圖，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，AC＝，BC＝1，E，F分別為AB，PC的中點，則三棱錐BEFC的體積為 ．
【答案】
【解析】因為F是PC的中點，PA⊥平面ABC，PA＝4，所以F到平面ABC的距離為2，所以三棱錐BEFC的體積為，故答案為：.
三、解答題
18．如圖，在三棱錐中，分別為的中點，，且，．求證：平面．
【答案】證明見解析
【解析】證明：∵在中，D是AB的中點，，∴，∵E是PB的中點，D是AB的中點，∴，∴，又，，平面，平面，∴平面，∵平面，∴，又，，平面，平面，
∴平面．
19．如圖,在三棱錐中,,D,E分別是的中點．
（1）求證：平面;
（2）求證：平面．
【答案】證明見解析
【解析】證明：（1）由題知D,E分別是的中點,,平面平面,
平面,得證;
（2）由題知,D是的中點,,平面,平面且,故平面得證．
20．如圖，四邊形是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直線與直線所成的角為60°.
（1）求證：平面⊥平面；
（2）求三棱錐的體積.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】（1）證明：∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B，∴PC⊥平面ABC，又PC 平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.
（2）解：取BC的中點為O，連接MO，
PM∥BC，又PM=BC=CO，∴四邊形PMOC為平行四邊形，
∴PC∥MO，∵PC⊥平面ABC，∴MO⊥平面ABC， ∠AMO為AM與PC所成的角，即∠AMO=，
∵AC=CO=1，∠ACO=，∴AO=，∴OM=1，則四邊形PMOC為正方形，
．專題十一 立體幾何
1．線面平行的判定定理和性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡記為“線線平行 線面平行”) l∥α
性質定理 一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行 線線平行”) l∥b
2．面面平行的判定定理和性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行 面面平行”) α∥β
性質定理 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行 a∥b
3．直線與平面垂直的判定定理與性質定理：
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直 l⊥α
性質定理 垂直于同一個平面的兩條直線平行 a∥b
4．平面與平面垂直的判定定理與性質定理：
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直 α⊥β
性質定理 兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直 l⊥α
5．空間角
(1)直線和平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角，范圍：.
(2)二面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角，二面角的平面角的范圍：[0，π]．
6．圓柱、圓錐的側面展開圖及側面積公式
圓柱 圓錐
側面展開圖
側面積公式 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl
7．柱、錐、球的表面積和體積
名稱 幾何體 表面積 體積
柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側＋2S底 V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側＋S底 V＝Sh
球 S＝4πR2 V＝πR3
一 、空間中點、線、面的位置關系
1．下列命題正確的是（ ）
A．三點確定一個平面 B．一條直線和一個點確定一個平面
C．兩條直線確定一個平面 D．梯形可確定一個平面
2．下列命題中，所有正確命題的序號是___________.
①兩個相交平面把空間分成4部分.
②有兩個角是直角的四邊形是平面圖形.
③若兩個平面有一個公共點，則它們有無數個公共點.
④如果分別在兩個不同平面上的兩條直線有交點，那么交點在兩平面的交線上.
3．在空間中，三個平面最多能把空間分成______部分．
二 、空間中的平行關系
4．下列條件中，能得出直線與平面平行的是（ ）
A．直線與平面內的所有直線平行
B．直線與平面內的無數條直線平行
C．直線與平面沒有公共點
D．直線與平面內的一條直線平行
5．已知，且，那么直線b與平面α的位置關系是（ ）
A．必相交 B．必平行
C．相交或平行 D．平行或在平面內
6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點，且MN∥平面PAD，則（ ）
A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能
三 、空間中的垂直關系
7．垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在的平面的位置關系是（ ）
A．垂直 B．斜交 C．平行 D．在平面內
8．空間四邊形ABCD中，若，，那么有（ ）
A．平面ABC平面ADC B．平面ABC平面ADB
C．平面ABC平面DBC D．平面ADC平面DBC
9．已知直線、與平面，其中，則“”是“”的（ ）條件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既不充分也不必要
10．在正方體中，直線平面（l與直線不重合），則（ ）
A． B．
C．與l異面但不垂直 D．與l相交但不垂直
一、選擇題
1．給出下列命題：
①垂直于同一條直線的兩條直線相互平行；
②如果兩條平行直線中的一條垂直于直線，那么另一條直線也與直線垂直；
③如果一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面互相平行；
④如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直.
以上命題中真命題的序號是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
2．已知直線l及兩個不重合的平面，，下列命題正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，且內有無數條直線與l垂直，則
3．若兩條直線和一個平面相交成等角，則這兩條直線的位置關系是（ ）
A．平行 B．異面 C．相交 D．平行、異面或相交
4．若一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長為1，則這個球的表面積是（ ）
A． B． C． D．
5．已知m，n是空間中兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，，，則
C．若，，，則 D．若，，則
6．如圖，在長方體中，為的中點，則二面角的大小為（ ）
A． B． C． D．
7．已知兩個球的表面積之比為，則這兩個球的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
8．正方體中，直線和平面所成的角為（ ）
A． B． C． D．
10．在正四面體ABCD中，點E，F，G分別為棱BC，CD，AC的中點，則異面直線AE，FG所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
11．下列推理正確的是 ．
①，，，
②，
③，
④，
⑤，
12．在正方體中，對角線與底面所成角的正弦值為 .
13．若直線平面，直線在平面內，則直線與的位置關系為 ．
14．已知長方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為 ．
15．圓柱的側面展開圖是邊長為和的矩形，則圓柱的體積為 .
16．如圖，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，AC＝，BC＝1，E，F分別為AB，PC的中點，則三棱錐BEFC的體積為 ．
三、解答題
18．如圖，在三棱錐中，分別為的中點，，且，．求證：平面．
19．如圖,在三棱錐中,,D,E分別是的中點．
（1）求證：平面;
（2）求證：平面．
20．如圖，四邊形是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直線與直線所成的角為60°.
（1）求證：平面⊥平面；
（2）求三棱錐的體積.

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