資源簡介

重難點突破：平面向量最值問題全梳理
模塊一、題型梳理
數量積的最值問題
平面向量滿足，則最小值是______
已知點為等邊三角形的中心，，直線過點交邊于點，交邊于點，則的最大值為 .
如圖，半徑為1的扇形中，，是弧上的一點，且滿足，分別是線段上的動點，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．
在矩形中，，，若，分別在邊，上運動（包括端點，且滿足，則的取值范圍是__________．
已知圓的方程，是橢圓上一點，過作圓的兩條切線，切點為，，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
已知△中，，，（）的最小值為，若為邊上任意一點，則的最小值是
向量模長的最值問題
已知為單位向量，且，向量滿足，則范圍為
向量滿足 與的夾角為，，則的最大值為（ ）
已知向量夾角為，，對任意，有，則的最小值是__________．
向量夾角的最值問題
已知非零向量滿足，若函數 在R 上存在極值，則和夾角的取值范圍為
非零向量滿足=，，則夾角最小值是
已知向量滿足，且關于的函數在實數集上單調遞增，則向量的夾角的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
平面向量系數的最值問題
已知，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是
【分析】與的夾角為銳角等價于，且與不共線同向，所以由，得，再除去與共線同向的情形．
已知是的重心，過點作直線與，交于點，且，，，則的最小值是
如右圖所示，已知點是的重心，過點作直線與兩邊分別交于兩點，且，則的最小值為
直角梯形中，，，是邊長為的正三角形，是平面上的動點，，設（，），則的最大值為________
平面向量與三角函數相結合的最值問題
已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）記，求的最大值和最小值以及對應的的值．
平面向量與二次函數相結合的最值問題
在平面直角坐標系中，已知點，，，是軸上的兩個動點，且，則的最小值為______．
在四邊形中，，，，，，點在線段的延長線上，且，點在邊所在直線上，則的最大值為（ ）
B． C． D．
平面向量與基本不等式相結合的最值問題
若平面向量，滿足：；則的最小值是．
在等腰梯形中,已知,,,．動點和分別在線段和上，且，，則的最小值為 ．
已知點A在線段BC上（不含端點），O是直線BC外一點，且,則的最小值是___________
平面向量與圓相結合的最值問題
在平面直角坐標系中，為原點，動點滿足，則的最大值是 ．
已知是單位向量，．若向量滿足，則的最大值為
A． B． C． D．
若過點的直線與相交于兩點，則取值范圍______
已知，且的夾角為，點是的外接圓上優弧上的一個動點，則的最大值是________
給定兩個長度為的平面向量，它們的夾角為.如圖1所示，點在以為圓心的圓弧上變動.若其中，則的最大值是
平面向量與三角形相結合的最值問題
在中，已知，，，則的面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
已知平面向量滿足 ，且與的夾角為，則的取值范圍是___________
如圖，在直角三角形中，，點分別是的中點，點是內及邊界上的任一點，則的取值范圍是_______
模塊二、真題賞析
已知正方形的邊長為1，當每個取遍時，的最小值是________；最大值是_______.
如圖，在平面四邊形中，，，，
． 若點為邊上的動點，則的最小值為
A． B． C． D．
在矩形中，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上．若，則的最大值為
A．3 B． C． D．2
已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內一點，則的最小值是
A． B． C． D．
已知，，是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是
A． B． C．2 D．
模塊三、模擬題匯編
1．在平面內，定點A，B，C，D滿足 ==，===2，動點P，M滿足=1，=，則的最大值是
A． B． C． D．
2．已知點在圓上運動，且．若點的坐標為，則的最大值為
A．6 B．7 C．8 D．9
3．點是單位圓上不同的三點，線段與線段交于圓內一點M，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
4．已知等邊△ABC內接于圓：x2+ y2=1，且P是圓τ上一點，則的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．2
5．已知， ， ，若點是所在平面內一點，且 ，則 的最大值等于
A．13 B．15 C．19 D．21
6．設為兩個非零向量，的夾角，已知對任意實數，是最小值為1
A．若確定，則唯一確定 B．若確定，則唯一確定
C．若確定，則唯一確定 D．若確定，則唯一確定
7．設，為單位向量，非零向量，，若，的夾角為，則的最大值等于________．
8．已知向量，，，若對任意單位向量，均有，則的最大值是 ．
9．已知向量,滿足,,則的最小值是 ，最大值是 ．
10．設向量
（I）若，求的值；
（II）設函數，求的最大值．重難點突破：平面向量最值問題全梳理
模塊一、題型梳理
數量積的最值問題
平面向量滿足，則最小值是______
分析：本題條件中有，而可利用向量數量積的投影定義得到在上的投影分別為1,2，通過作圖可發現能夠以的起點為原點，所在直線為軸建立坐標系，則起點在原點，終點分別在的直線上，從而可坐標化，再求出的最值即可
【解析】如圖建系可得：
由可得：
而，由輪換對稱式不妨設，則
，
已知點為等邊三角形的中心，，直線過點交邊于點，交邊于點，則的最大值為 .
【分析】本題由于為過的任一直線，所以的值不確定，從而不容易利用三邊向量將進行表示，所以考慮依靠等邊三角形的特點，建立直角坐標系，從而坐標可解，再借助解析幾何的思想設出直線方程，與方程聯立解出坐標，從而可解出最大值
【解析】以為軸建立直角坐標系，
設直線，由可得：
得：；得：
若直線與相交，則；
如圖，半徑為1的扇形中，，是弧上的一點，且滿足，分別是線段上的動點，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．
在矩形中，，，若，分別在邊，上運動（包括端點，且滿足，則的取值范圍是__________．
已知圓的方程，是橢圓上一點，過作圓的兩條切線，切點為，，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解析】，設
，
設，
又的取值范圍為，故選C
已知△中，，，（）的最小值為，若為邊上任意一點，則的最小值是
【解析】令＝＝＋＋＝，
當時，＝，
因為，所以，則建立直角坐標系，，，
設，則，，
所以＝＝；
當時，＝＋≥，
解得，所以，則建立直角坐標系，，，
設，則，，
所以＝＝．
綜上所述，當時，取得最小值
向量模長的最值問題
已知為單位向量，且，向量滿足，則范圍為
【解析】如圖，，又
向量滿足 與的夾角為，，則的最大值為（ ）
【分析】根據已知條件可建立直角坐標系，用坐標表示有關點（向量），確定變量滿足的等式和目標函數的解析式，結合平面幾何知識求最值或范圍．
【解析】設；以OA所在直線為x，O為坐標原點建立直角坐標系
∵ 與的夾角為，則A（4，0），B（2，2），設C（x，y）
∵，∴x2+y2-6x-2y+9=0，即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3，1）為圓心，以1為半徑的圓，表示點A，C的距離即圓上的點與點A（4，0）的距離．
∵圓心到B的距離為，∴的最大值為
已知向量夾角為，，對任意，有，則的最小值是__________．
【解析】
，
表示與的距離之和的倍，
當共線時，取得最小值，
即有，故答案為．
向量夾角的最值問題
已知非零向量滿足，若函數 在R 上存在極值，則和夾角的取值范圍為
【解析】，設和夾角為，因為有極值，所以，即，即，所以
非零向量滿足=，，則夾角最小值是
【解析】由題意得，，整理得，即，，，夾角的最小值為
已知向量滿足，且關于的函數在實數集上單調遞增，則向量的夾角的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
平面向量系數的最值問題
已知，，且與的夾角為銳角，則的取值范圍是
【分析】與的夾角為銳角等價于，且與不共線同向，所以由，得，再除去與共線同向的情形．
【解析】由于與的夾角為銳角，，且與不共線同向，由，解得，當向量與共線時，得，得，因此的取值范圍是且．
已知是的重心，過點作直線與，交于點，且，，，則的最小值是
【解析】
如圖 三點共線，
∵是的重心，
解得， 結合圖象可知
令 故
故，當且僅當等號成立
如右圖所示，已知點是的重心，過點作直線與兩邊分別交于兩點，且，則的最小值為
【解析】因為三點共線，所以，
因為是重心，所以，所以，
化簡得，解得題目所給圖像可知．
由基本不等式得
即．當且僅當，
即時，等號成立，故最小值為．
直角梯形中，，，是邊長為的正三角形，是平面上的動點，，設（，），則的最大值為________
【解析】
以為原點，為軸，所在直線為軸，建立直角坐標系，
∴可設， 因為，
所以
， ，
即的最大值為故答案為．
平面向量與三角函數相結合的最值問題
已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）記，求的最大值和最小值以及對應的的值．
【解析】（1）因為，，，所以．
若，則，與矛盾，故．
于是．又，所以．
（2）.
因為，所以，從而.
于是，當，即時，取到最大值3；當，即時，取到最小值
平面向量與二次函數相結合的最值問題
在平面直角坐標系中，已知點，，，是軸上的兩個動點，且，則的最小值為______．
【解析】設，，所以，
當時，取得最小值．
在四邊形中，，，，，，點在線段的延長線上，且，點在邊所在直線上，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【分析】如圖以為坐標原點建立平面直角坐標系，表示出點的坐標，根據求出的坐標，求邊所在直線的方程，設，利用坐標表示，根據二次函數性質求最大值.
【解析】依題意，如圖以為坐標原點建立平面直角坐標系，由，，，，
，，，，因為點在線段的延長線上，設，
，解得，，，，
所在直線的方程為 ，因為點在邊所在直線上，故設
，，
當時故選：
【小結】本題考查向量的數量積，關鍵是建立平面直角坐標系，屬于中檔題
平面向量與基本不等式相結合的最值問題
若平面向量，滿足：；則的最小值是．
【解析】，
在等腰梯形中,已知,,,．動點和分別在線段和上，且，，則的最小值為 ．
【解析】 因為，，
，
，
，
當且僅當即時的最小值為
已知點A在線段BC上（不含端點），O是直線BC外一點，且,則的最小值是___________
【分析】本題根據條件構造，研究的式子分別加1后變形，即可形成所需條件，應用均值不等式.
【解析】由可得， ，根據A、B、C三點共線可得，且，
所以
所以最小值為，故填.
平面向量與圓相結合的最值問題
在平面直角坐標系中，為原點，動點滿足，則的最大值是 ．
【解析】設，由，得，向量，
故的最大值為圓上的動點到點距離的最大值，其最大值為圓的圓心到點的距離加上圓的半徑，
即．
已知是單位向量，．若向量滿足，則的最大值為
A． B． C． D．
【解析】建立平面直角坐標系，令向量的坐標，
又設，代入得，
又的最大值為圓上的動點到原點的距離的最大值，
即圓心(1，1)到原點的距離加圓的半徑，即．
若過點的直線與相交于兩點，則取值范圍______
【解析】本題中因為位置不斷變化，所以不易用數量積定義求解，可考慮利用投影，即過作直線的垂線，垂足為，通過旋轉可發現，當時，，位于其他位置時，點始終位于的反向延長線上，，故，故，下面尋找最小值，即的最大值，可得當在上的投影與重合時，最大，即為，此時直線即為直線。所以。進而的范圍是
已知，且的夾角為，點是的外接圓上優弧上的一個動點，則的最大值是________
【分析】題中的模長為定值，考慮即為乘以在上的投影，從而的最大值只需尋找投影的大小，觀察圖形可得只有當與同向時，投影最大。即，只需計算的模長即可
【解析】當與同向時，在上的投影最大，
在中，，
即
，
給定兩個長度為的平面向量，它們的夾角為.如圖1所示，點在以為圓心的圓弧上變動.若其中，則的最大值是
思考方向一 ：考慮特值法
解法1 當與重合時，，
當與重合時，，
當從的端點向圓弧內部運動時，，
于是猜想當是的中點時，取到最大值.
當是的中點時，由平面幾何知識是菱形，
∴∴
猜想的最大值是.
思考方向二：考慮坐標法
建立如圖3，所示的平面直角坐標系，設，則.
于是可化為：，
∴（1）
解法2：函數法求最值
由方程組（1）得：
∴，
又，∴當時，
解法3：不等式法求最值
由方程組（1）得：，
∴，由，及得：，
∴，∴，當且僅當時取等號，∴
思考方向三：考慮向量的數量積的運算
解法：兩邊點乘同一個向量
∵∴
設，則 ，又，
∴，∴，
∴當時，
解法5：兩邊平方法
∵∴
∴
，
∴，當且僅當時取等號，
∴
思考方向四：考慮平行四邊形法則
過作∥交于，作∥交于，則是平行四邊形，由向量加法的平行四邊形法則得：，在中，設，
則 ， 且
解法6：利用正弦定理
，
，由等比性值得：，
∴，∴當時，
解法7：利用余弦定理
∴，
∴，當且僅當時取等號，∴
小結：仔細研究上面的解法，可以發現在解決向量問題時一般有三種轉化策略，一是利用向量的坐標運算，二是利用向量的代數運算特別是數量積的運算，三是利用向量的幾何意義轉化為平面幾何問題求解.在解答最值問題時，本文利用了函數法和不等式法.當然，本題作為一個填空題或者選擇題，能夠利用特值和猜想的辦法是很好的.
平面向量與三角形相結合的最值問題
在中，已知，，，則的面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【分析】，而又由余弦定理可得，再利用基本不等式即可解決.
【解析】在中，由，及余弦定理可得，又
（當且僅當時取等號），所以，即.因為，所以為的中點，所以的面積，所以，所以的面積的最大值為.故選：B.
【小結】本題考查余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，考查學生運算求解能力，是一道中檔題.
已知平面向量滿足 ，且與的夾角為，則的取值范圍是___________
【分析】本題很難找到與數量積相關的條件，那么考慮利用圖形輔助求解。從圖中可觀察到構成，，從而可利用正余弦定理求出即的取值范圍
【解析】在中，由正弦定理可得：
而
如圖，在直角三角形中，，點分別是的中點，點是內及邊界上的任一點，則的取值范圍是_______
【分析】直角三角形直角邊已知，且為圖形內動點，所求不便于用已知向量表示，所以考慮建系處理。設，可得，而所在范圍是一塊區域，所以想到用線性規劃求解
【解析】以為軸建立直角坐標系
，設
；
數形結合可得：
模塊二、真題賞析
【2019年高考浙江卷】已知正方形的邊長為1，當每個取遍時，的最小值是________；最大值是_______.
【解析】以分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系，如圖.
則,
令0.
又因為可取遍，
所以當時，有最小值.
因為和的取值不相關，或，
所以當和分別取得最大值時，y有最大值，
所以當時，有最大值.
故答案為0；.
【小結】對于此題需充分利用轉化與化歸思想，從“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的綜合題.
(2018天津)如圖，在平面四邊形中，，，，
． 若點為邊上的動點，則的最小值為
A． B． C． D．
【解析】以為坐標原點，所在直線為軸，建立如圖的平面直角坐標系，
因為在平面四邊形中，，，所以，，，
設,，所以，，
因為，所以，即，解得，
即，因為在上，所以，由，得，即，因為，，
所以
，令，
因為函數在 上單調遞減，在上單調遞增，
所以．所以的最小值為，故選A．
（2017新課標Ⅲ）在矩形中，，，動點在以點為圓心且與相切的圓上．若，則的最大值為
A．3 B． C． D．2
【解析】如圖建立直角坐標系，
則，，，，由等面積法可得圓的半徑為，所以圓的方程為，
所以，，，由，得，所以=，設，即，點在圓上，所以圓心到直線的距離小于半徑，所以，解得，所以的最大值為3，即的最大值為3，選A．
（2017新課標Ⅱ）已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內一點，則的最小值是
A． B． C． D．
【解析】如圖，以為軸，的垂直平分線為軸，為坐標原點建立平面直角坐標系，
則，，，設
所以，，
所以 ，
當時，所求的最小值為，故選B．
(2018浙江)已知，，是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是
A． B． C．2 D．
解法一：設為坐標原點，，，，由
得，即，所以點的軌跡是以為圓心，l為半徑的圓．
因為與的夾角為，所以不妨令點在射線()上，如圖，
數形結合可知．故選A．
解法二：由得．
設，，，所以，，
所以，取的中點為．則在以為圓心，為直徑的圓上，如圖．
設，作射線，使得，所以
．故選A．
模塊三、模擬題匯編
1．在平面內，定點A，B，C，D滿足 ==，===2，動點P，M滿足=1，=，則的最大值是
A． B． C． D．
【解析】由知,為的外心．由== 知為的內心，所以為正三角形，易知其邊長為，取的中點，因為是的中點，所以，所以，則．故選B．
2．已知點在圓上運動，且．若點的坐標為，則的最大值為
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】由題意得，AC為圓的直徑，故可設，，，∴而，∴的最大值為，故選B．
3．（2020·四川省綿陽南山中學高三）點是單位圓上不同的三點，線段與線段交于圓內一點M，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【分析】由題意得，再利用基本不等式即可求解．
【解析】將平方得，
（當且僅當時等號成立），，的最小值為，故選：D．
【小結】本題主要考查平面向量數量積的應用，考查基本不等式的應用，屬于中檔題．
4．（2020·內蒙古高三）已知等邊△ABC內接于圓：x2+ y2=1，且P是圓τ上一點，則的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【分析】如圖所示建立直角坐標系，設，則，計算得到答案.
【解析】如圖所示建立直角坐標系，則，，，設，
則
.
當，即時等號成立.故選：.
【小結】本題考查了向量的計算，建立直角坐標系利用坐標計算是解題的關鍵.
5．已知， ， ，若點是所在平面內一點，且 ，則 的最大值等于
A．13 B．15 C．19 D．21
【解析】以題意，以點為坐標原點，以所在的直線為軸，所在的直線為 軸建立如圖所示的平面直角坐標系，
所以點，，，所以
=（當且僅當，即時取等號），所以的最大值為13．
6．設為兩個非零向量，的夾角，已知對任意實數，是最小值為1
A．若確定，則唯一確定 B．若確定，則唯一確定
C．若確定，則唯一確定 D．若確定，則唯一確定
【解析】由于，令，而是任意實數，所以可得的最小值為，即，則知若確定，則唯一確定．
7．設，為單位向量，非零向量，，若，的夾角為，則的最大值等于________．
【解析】
，所以的最大值為2．
8．已知向量，，，若對任意單位向量，均有，則的最大值是 ．
【解析】由題意令，，，
則由 可得 ①，令 ②
得對一切實數恒成立，
所以．
故．故最大值為．
9．已知向量,滿足,,則的最小值是 ，最大值是 ．
【解析】設向量的夾角為，由余弦定理有，
，則，
令，則，據此可得：
，即的最小值是4，最大值是.
10．設向量
（I）若，求的值；
（II）設函數，求的最大值．
【解析】（I）由，，
及，又，所以.
（II）=.
當所以
更多微信掃上方二維碼碼獲取

展開更多......

收起↑