資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第2講 整式與因式分解
目 錄
一、考情分析
二、知識建構
考點一 代數式的相關概念 4
題型01 列代數式 4
題型02 代數式的實際意義 4
考點二 整式的相關概念 5
題型01 判斷單項式的系數、次數 5
題型02 與單項式有關的規律題 6
題型03 判斷多項式的項、項數、次數 6
考點三 整式的運算 7
題型01 判斷同類項 10
題型02 合并同類項 11
題型03 添（去）括號 11
題型04 整式的加減 11
題型05 整式加減的應用 12
題型06 冪的基本運算 13
題型07 冪的逆向運算 14
題型08 冪的混合運算 14
題型09 整式的乘法 15
題型10 整式的除法 15
題型11 利用乘法公式計算 16
考點要求 新課標要求 命題預測
代數式的相關概念 借助現實情境了解代數式，進一步理解用字母表示數的意義； 能分析具體問題中的簡單數量關系，并用代數式表示； 中考數學中，整式這個考點一般會考學生對整式化簡計算的應用，偶爾考察整式的基本概念，對整式的復習，重點是要理解并掌握整式的加減法則、乘除法則及冪的運算，難度一般不大. 因式分解作為整式乘法的逆運算，在數學中考中占比不大，但是依然屬于必考題，常以簡單選擇、填空題的形式出現，而且一般只考察因式分解的前兩步， 拓展延伸部分基本不考，所以學生在復習這部分內容時，除了要扎實掌握好基礎，更需要甄別好主次，合理安排復習方向.
整式的相關概念 理解整式的概念，掌握合并同類項和去括號的法則，能進行簡單的整式加法和減法運算；能進行簡單的整式乘法運算(其中多項式相乘僅指一次式之間以及一次式與二次式相乘)
整式的運算 能推導乘法公式；了解公式的幾何背景，并能利用公式進行簡單計算
整式化簡求值 靈活運用多種方法化簡代數式
因式分解 能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超過二次)進行因式分解(指數是正整數)
考點一 代數式的相關概念
代數式的概念：用基本的運算符號把數和表示數的字母連接起來的式子叫做代數式.
代數式的值的概念：一般地，用數值代替代數式里的字母，按照代數式中的運算關系計算得出的結果叫做代數式的值.
題型01 列代數式
【例1】（2023吉林長春中考真題）2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同學參加了7.5公里健康跑項目，他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終點的路程為 公里．（用含x的代數式表示）
【變式1-1】（2023江蘇中考真題）若圓柱的底面半徑和高均為a，則它的體積是 （用含a的代數式表示）．
題型02 代數式的實際意義
【例2】（2023河北中考真題）代數式-7x的意義可以是（ ）
A． -7與x的和 B．-7與x的差 C．-7與x的積 D．-7與x的商
【變式2-1】（2020·內蒙古通遼·中考真題）下列說法不正確的是(　　　)
A．2a是2個數a的和 B．2a是2和數a的積
C．2a是單項式 D．2a是偶數
考點二 整式的相關概念
　 判斷依據 次數 系數與項數
整式 單項式 ①數字與字母或字母與字母相乘組成的代數式 ②單獨的一個數或字母 所有字母指數的和 系數：單項式中不為零的數字因數
多項式 幾個單項式的和 次數最高項的次數 項數：多項式中所含單項式的個數
題型01 判斷單項式的系數、次數
【例1】（2023·江西·統考中考真題）單項式的系數為 ．
【變式1-1】（2023·廣東·模擬預測）單項式的系數是 ．
【變式1-2】（2023·廣東·統考模擬預測）已知一個單項式的系數是2，次數是3，則這個單項式可以是（ ）
A． B． C． D．
題型02 與單項式有關的規律題
【例2】（2023·云南·統考中考真題）按一定規律排列的單項式：，第個單項式是（ ）A． B． C． D．
【變式2-1】（2022·云南·中考真題）按一定規律排列的單項式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n個單項式是（ ）
A．(2n-1) B．(2n+1) C．(n-1) D．(n+1)
【變式2-2】（2022·云南昆明·統考三模）按一定規律排列的代數式：2，，……，第n個單項式是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2022·云南昆明·昆明市一模）按一定規律排列的單項式：3，，，，，…，第8個單項式是（　　）
A． B． C． D．
【變式2-4】（2022·云南文山·統考二模）一組按規律排列的單項式：，，，，，…，根據其中的規律，第12個單項式是（ ）
A． B． C． D．
題型03 判斷多項式的項、項數、次數
【例3】（2023·廣東茂名一模）多項式的次數和常數項分別是( )A．， B．， C．， D．，
【變式3-1】（2023·江西贛州市模擬預測）下列說法正確的是（ ）
A．的系數是 B．的次數是5次
C．的常數項為4 D．是三次三項式
【變式3-2】（2023·廣東茂名·校考一模）多項式最高次項的系數是 ，次數是 ．
考點三 整式的運算
整式的 加減 同類項 所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項.
合并同類項 把同類項中的系數相加減，字母與字母的指數不變.
添（去）括號法則 括號外是“+”，添(去) 括號不變號，
括號外是“-”，添(去) 括號都變號.
整式的加減法則 幾個整式相加減，如有括號就先去括號，然后再合并同類項.
整式的乘除 運算步驟說明 補充說明及注意事項
單項式乘單項式 ①將單項式系數相乘作為積的系數;
②相同字母的因式，利用同底數冪的乘法，作為積的一個因式;
③單獨出現的字母，連同它的指數，作為積的一個因式. 1）實質:乘法的交換律和同底數冪的乘法法則的綜合應用.
2）單項式乘單項式所得結果仍是單項式 .
單項式乘多項式 ①先用單項式和多項式的每一項分別相乘；
②再把所得的積相加. 1）單項式乘多項式實質上是轉化為單項式乘以單項式
2）單項式乘多項式的結果是多項式，積的項數與原多項式的項數相同.
多項式乘多項式 ①先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，
②再把所得的積相加． 運用法則時應注意以下兩點：
①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；
②多項式與多項式相乘，多項式的每一項都應該帶上它前面的正負號.且結果仍是多項式，在合并同類項之前，積的項數應等于原多項式的項數之積．
單項式除單項式 ①將單項式系數相除作為商的系數；
②相同字母的因式，利用同底數冪的除法，作為商的一個因式；
③只在被除式里含有的字母連同指數不變. 　
多項式除單項式 ①先把這個多項式的每一項除以這個單項式；
②再把所得的商相加 　
整式的混合運算的運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號時先算括號里面的.
完全平方公式的幾何背景
1.意義：運用幾何圖形直觀理解、解決完全平方公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數量關系對完全平方公式做出幾何解釋．
2. 常見驗證完全平方公式的幾何圖形
結論：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面積等于邊長為a和邊長為b的兩個正方形與兩個長寬分別是a，b的長方形的面積和作為相等關系）
平方差公式的幾何背景
1.意義：運用幾何圖形直觀理解、解決平方差公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數量關系對平方差公式做出幾何解釋．
2. 常見驗證平方差公式的幾何圖形
結論：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
題型01 判斷同類項
【例1】（2022·湖南湘潭·中考真題）下列整式與為同類項的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2023·浙江紹興·一模）下列每組中的兩個代數式，屬于同類項的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
題型02 合并同類項
【例2】（2023·四川自貢·中考真題）計算： ．
【變式2-1】（2022·山東淄博·中考真題）計算的結果是（ ）
A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a6b2 D．7a6b2
題型03 添（去）括號
【例3】（2023·河北衡水·校考模擬預測）關于進行的變形或運算：①；②；③；④．
其中不正確的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【變式3-1】（2022·河北邯鄲·校聯考三模）等號左右兩邊一定相等的一組是（ ）
A． B．
C． D．
題型04 整式的加減
【例4】（2022·西藏·中考真題）下列計算正確的是（　　）
A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2
C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2
【變式4-1】（2022·浙江杭州·校考二模）化簡（2a﹣b）﹣（2a+b）的結果為（　　）
A．2b B．﹣2b C．4a D．-4a
【變式4-2】（2023·浙江金華·一模）如圖是一道關于整式運算的例題及正確的解答過程，其中，是兩個關于的二項式．
【例題】先去括號，再合并同類項： 解：原式________________
(1)二項式A為________，二項式B為________．
(2)當x為何值時，A與B的值相等？
【變式4-3】（2022·河北保定·一模）已知：整式．
(1)化簡整式；
(2)若，
①求整式；
②在“”的“□”內，填入“，，，”中的一個運算符號，經過計算發現，結果是不含一次項的整式，請你寫出一個符合要求的算式，并計算出結果．
題型05 整式加減的應用
【例5】（2022·內蒙古包頭·中考真題）若一個多項式加上，結果得，則這個多項式為 ．
【變式5-1】（2023·湖南長沙·校考三模）已知有2個完全相同的邊長為a、b的小長方形和1個邊長為m、n的大長方形，小明把這2個小長方形按如圖所示放置在大長方形中，小明經過推事得知，要求出圖中陰影部分的周長之和，只需知道a、b、m、n中的一個量即可，則要知道的那個量是（ ）
A．a B．b C．m D．n
【變式5-2】（2023·河北邯鄲·二模）如圖，兩個三角形的面積分別是6和4，對應陰影部分的面積分別是m和n，則m﹣n等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式5-3】（2023·四川德陽·中考真題）在初中數學文化節游園活動中，被稱為“數學小王子”的王小明參加了“智取九宮格”游戲比賽，活動規則是：在九宮格中，除了已經填寫的三個數之外的每一個方格中，填入一個數，使每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和分別相等，且均為m．王小明抽取到的題目如圖所示，他運用初中所學的數學知識，很快就完成了這個游戲，則 ．
16
7
4
【變式5-4】（2022·四川樂山·中考真題）如果一個矩形內部能用一些正方形鋪滿，既不重疊，又無縫隙，就稱它為“優美矩形”，如圖所示，“優美矩形”ABCD的周長為26，則正方形d的邊長為 ．
【變式5-5】（2022·浙江金華·中考真題）如圖1，將長為，寬為的矩形分割成四個全等的直角三角形，拼成“趙爽弦圖”（如圖2），得到大小兩個正方形．
(1)用關于a的代數式表示圖2中小正方形的邊長．
(2)當時，該小正方形的面積是多少？
【變式5-6】（2023·江蘇鹽城·景山中學校考三模）三角形的一邊長為，第二邊比第一邊長，第三邊長為．
(1)用代數式表示三角形的周長；
(2)當，時，求三角形的周長．
題型06 冪的基本運算
【例6】（2023·安徽·中考真題）下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2023·湖北武漢·中考真題）計算的結果是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2023·黑龍江綏化·中考真題）下列計算中，結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-3】（2023·湖南·中考真題）計算的結果正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-4】（2023·江蘇泰州·中考真題）若，下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-5】（2023·內蒙古·中考真題）下列各式計算結果為的是（ ）
A． B． C． D．
題型07 冪的逆向運算
【例7】（2023·四川德陽·中考真題）已知，則（ ）
A．y B． C． D．
【變式7-1】（2023·江蘇鎮江·中考真題）如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、29個、5個，先從甲袋中取出個球放入乙袋，再從乙袋中取出個球放入丙袋，最后從丙袋中取出個球放入甲袋，此時三只袋中球的個數相同，則的值等于（ ）

A．128 B．64 C．32 D．16
【變式7-2】（2023·湖南湘潭·模擬預測）若，，則 ．
【變式7-3】（2023·河北·模擬預測）若，則代數式xy與之間關系是 ．
【變式7-4】（2023·河南焦作·一模）已知，則的值為 ．
題型08 冪的混合運算
【例8】（2023·浙江溫州·中考真題）化簡的結果是（ ）
A． B． C． D．
【變式8-1】（2023·湖南常德·校考一模）計算：（ ）
A． B． C． D．
【變式8-2】（2023·湖北襄陽·模擬預測） ．
題型09 整式的乘法
【例9】（2023·陜西·中考真題）計算：（ ）
A． B． C． D．
【變式9-1】（2022·陜西西安·校考三模）計算：（3m﹣1）（m+5）．
【變式9-2】（2022·重慶·校聯考一模）計算題
(1)
(2)
題型10 整式的除法
【例10】（2023·江蘇揚州·中考真題）若，則括號內應填的單項式是( )
A．a B． C． D．
【變式10-1】（2023·山東青島·中考真題）計算： ．
【變式10-2】（2023·北京·模擬預測）計算：．
【變式10-3】（2022·吉林·中考真題）下面是一道例題及其解答過程的一部分，其中是關于的多項式．請寫出多項式，并將該例題的解答過程補充完整．
例先去括號，再合并同類項：（）． 解：（） ．
題型11 利用乘法公式計算
【例11】（2023·甘肅蘭州·中考真題）計算：．
【變式11-1】（2023·青海西寧·中考真題）計算：．
【變式11-2】（2023·天津·中考真題）計算的結果為 ．
【變式11-3】（2023·江西·中考真題）計算：（a+1）2﹣a2= ．
題型12 通過對完全平方公式變形求值
【例12】（2022·山東濱州·中考真題）若，，則的值為 ．
【變式12-1】（2022·四川德陽·中考真題）已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，則xy= ．
【變式12-2】（2023·廣東云浮·一模）若a+b=3，，則ab等于（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【變式12-3】（2022·湖北荊門·中考真題）已知x+＝3，求下列各式的值：
(1)（x﹣）2；(2)x4+．
題型13 乘法公式的幾何驗證
【例13】（2023·四川攀枝花·中考真題）我們可以利用圖形中的面積關系來解釋很多代數恒等式．給出以下4組圖形及相應的代數恒等式：
① ②

③ ④
其中，圖形的面積關系能正確解釋相應的代數恒等式的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式13-1】（2022·貴州六盤水·中考真題）如圖，學校勞動實踐基地有兩塊邊長分別為，的正方形秧田，，其中不能使用的面積為．
(1)用含，的代數式表示中能使用的面積___________；
(2)若，，求比多出的使用面積．
【變式13-2】（2022·湖北隨州·中考真題）《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽著作，是數學發展史的一個里程碑．在該書的第2幕“幾何與代數”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數結論，利用幾何給人以強烈印象將抽象的邏輯規律體現在具體的圖形之中．
(1)我們在學習許多代數公式時，可以用幾何圖形來推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數公式，（下面各圖形均滿足推導各公式的條件，只需填寫對應公式的序號）
公式①：
公式②：
公式③：
公式④：
圖1對應公式______，圖2對應公式______，圖3對應公式______，圖4對應公式______；
(2)《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式的方法，如圖5，請寫出證明過程；（已知圖中各四邊形均為矩形）
(3)如圖6，在等腰直角三角形ABC中，，D為BC的中點，E為邊AC上任意一點（不與端點重合），過點E作于點G，作F點H過點B作BF//AC交EG的延長線于點F．記△BFG與△CEG的面積之和為，△ABD與△AEH的面積之和為．
①若E為邊AC的中點，則的值為_______；
②若E不為邊AC的中點時，試問①中的結論是否仍成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由．
考點四 整式化簡求值（高頻考點）
1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代數式計算求值.
2.間接代入法：將已知的代數式化簡后，再將已知字母的值代入化簡后的代數式中計算求值.
3.整體代入法：①觀察已知代數式和所求代數式的關系.
②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式將已知代數式和所求代數式進行變形，使它們成倍分關系.
③把已知代數式看成一個整式代入所求代數式中計算求值．
4.賦值求值法：指代數式中的字母的取值由答題者自己確定，然后求出所提供的代數式的值的一種方法．這是一種開放型題目，答案不唯一.在賦值時，要注意取值范圍，選擇合適的代數式的值．
5.隱含條件求值法：先通過隱含條件求出字母值，然后化簡再求值．
例如：①若幾個非負數的和為0，則每個非負數的值均為0
②已知兩個單項式為同類項，通過求次數中未知數的值，進而帶入到代數式中計算求值.
6.利用“無關”求值：
①若一個代數式的值與某個字母的取值無關時需先對原式進行化簡，則可得出該無關字母的系數為0；
②若給定字母寫錯得出正確答案，則該代數式的值與該字母無關．
7.配方法：若已知條件含有完全平方式，則可通過配方，把條件轉化成幾個平方和的形式，再利用非負數的性質來確定字母的值，從而求得結果．
8.平方法：在直接求值比較困難時，有時也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后結果的符號．
9.特殊值法：有些試題，用常規方法直接求解比較困難，若根據答案中所提供的信息，選擇某些特殊情況進行分析，或選擇某些特殊值進行計算，把一般形式變為特殊形式進行判斷，這時常常會使題目變得十分簡單．
10.設參法：遇到比值的情況，可對比值整體設參數，把每個字母用參數表示，然后代入計算即可．
11.利用根與系數的關系求解：如果代數式可以看作某兩個“字母”的輪換對稱式，而這兩個“字母”又可能看作某個一元二次方程的根，可以先用根與系數的關系求得其和、積式，再整體代入求值．
12. 利用消元法求值：若已知條件以比值的形式出現，則可利用比例的性質設比值為一個參數，或利用一個字母來表示另一個字母．
13. 利用倒數法求值：將已知條件或待求的代數式作倒數變形，從而求出代數式的值．
題型01 整式化簡-直接代入法
【例1】（2022·廣西梧州·中考真題）若，則 ．
【變式1-1】已知是最小的正整數，是絕對值最小的有理數，在數軸上對應的點到原點的距離是6，求的值．
題型02 整式化簡-間接代入法
【例2】（2022·山東濟寧·中考真題）已知，，求代數式的值．
【變式2-1】（2023·湖南·中考真題）先化簡，再求值：，其中．
【變式2-2】（2021·廣西河池·中考真題）先化簡，再求值：，其中．
題型03 整式化簡-整體代入法
【例3】（2023·山東棗莊·中考真題）若是關x的方程的解，則的值為 ．
【變式3-1】（2023·湖北十堰·中考真題）若，，則的值是 ．
【變式3-2】（2023·四川成都·中考真題）若，則代數式，的值為 ．
【變式3-3】（2023·四川涼山·中考真題）已知，則的值等于 ．
題型04 整式化簡-賦值法
【例4】（2023·廣東江門·一模）化簡：，若x是的整數，請選擇一個合適的數求代數式的值．
【變式4-1】（2022·江蘇蘇州·校考模擬預測）先化簡，再求值：
（1）（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中a＝1，b＝﹣2．
（2）先化簡（1+）÷，再從﹣1，0，1，2，3中選取一個合適的數作為x的值代入求值．
題型05 整式化簡-隱含條件求值
【例5】（2023·湖南衡陽·校聯考二模）已知單項式與是同類項，則 ．
【變式5-1】（2022·四川綿陽·校聯考一模）若多項式是關于x，y的三次多項式，則 ．
【變式5-2】若的整數部分是，的小數部分是，求的值．
【變式5-3】（2023·四川成都·一模）若，其中a，b均為整數，則 ．
題型06 整式化簡-利用“無關”求值
【例6】若的展開式中不含和項，求：(1) 的值．
(2)求的值．
【變式6-1】已知多項式M=x2+5x-a，N=-x+2，P=x3+3x2+5，且M·N+P的值與x的取值無關，求字母a的值．
【變式6-2】有這樣一道題：計算的值，其中，．甲同學把“”錯抄成了“”，他的計算結果也是正確的，你知道這是怎么回事嗎？
題型07 整式化簡-配方法
【例7】已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，求2a2＋4b－3的值．
【變式7-1】已知，求的值．
題型08 整式化簡-平方法
【例8】（2023·云南昆明·云南師范大學實驗中學校考模擬預測）已知x+=6，則x2+=（　　）
A．38 B．36 C．34 D．32
【變式8-1】已知且，則當時，的值等于 ．
題型09 整式化簡-特殊值法
【例9】若，則的值為 ．
【變式9-1】已知實數，滿足，那么的值為（ ）
A． B． C．1 D．2
題型10 整式化簡-設參法
【例10】（2023·廣東湛江·校考一模）已知,則的值為( )
A． B． C．2 D．
【變式10-1】（2023·上海·一模）已知，那么代數式的值是 ．
題型11 整式化簡-利用根與系數關系求值
【例11】（2023·江西九江·校考一模）已知，是一元二次方程的兩個實數根，則的值為 ．
【變式11-1】（2023·河北衡水·三模）已知，是關于的方程的兩實數根，且，，則的值為 ，的值是 ．
【變式11-2】（2023·云南臨滄·三模）已知一元二次方程的兩根分別為a，b，則的值為（　　）
A． B． C． D．
題型12 整式化簡-消元法求值
【例12】如果，則= ( )
A． B．1 C． D．2
【變式12-1】若，，則 ．
題型13 整式化簡-倒數法求值
【例13】若的值為，則的值為(　　)．
A．1 B．－1 C．- D．
【變式13-1】已知，求的值．
考點五 因式分解
題型01 判斷因式分解
【例1】（2023·山東·中考真題）下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-1】（2022·湖南永州·中考真題）下列因式分解正確的是（　　　）
A． B．
C． D．
題型02 選用合適的方法因式分解
【例2】（2023·河北·中考真題）若k為任意整數，則的值總能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【變式2-1】（2023·黑龍江綏化·中考真題）因式分解： ．
【變式2-2】（2023·湖北黃石·中考真題）因式分解： ．
【變式2-3】（2022·四川內江·中考真題）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ ．
【變式2-4】（2023·安徽蕪湖·蕪湖市第二十九中學校考二模）因式分解： ．
題型03 與因式分解有關的探究題
【例3】（2023·河北石家莊·二模）嘉淇上小學時得知“一個數的各個數字之和能被3整除，那么這個數就能被3整除”，她后來做了如下提示：
嘉淇的提示： ∵為整數，5為整數， ∴能被3整除，能被3整除，∴258能被3整除．
(1)通過計算驗證能否被3整除；
(2)用嘉淇的方法證明能被3整除；
(3)設是一個四位數．，，，分別為對應數位上的數字，請論證“若能被3整除，則這個數可以被3整除”．
【變式3-1】（2023·河北衡水·二模）發現兩個相鄰奇數中，較大奇數與較小奇數的平方差一定是的倍數．
驗證計算的值，并求這個值是的幾倍．
探究設“發現”中較小的奇數為請論證“發現”中的結論正確．
【變式3-2】（2023·河北張家口·校考模擬預測）問題情景：將下列完全平方式進行因式分解，將結果直接寫在橫線上．
；；__________；
探究發現：觀察以上多項式，發現：；；；
歸納猜想：若多項式是完全平方式，則a，b，c之間存在的數量關系為；
驗證結論：嘉琪驗證歸納猜想中的結論的過程如下，請補全嘉琪的驗證過程；
____________________
∵是完全平方式，
∴__________，即．
解決問題：
①若多項式是一個完全平方式，求n的值；
②若多項式加上一個含字母y的單項式就能變形為一個完全平方式，請直接寫出所有滿足條件的單項式．
【變式3-3】（2023·河北石家莊·三模）【提出問題】在數學課上，老師提出一個問題：“任意奇數的平方減去1后都一定是8的倍數嗎？”
（1）【解決問題】計算：______；______；______；以上計算結果均______（填“是”或“不是”）8的倍數；
（2）設奇數為（n為整數），請你先試著回答老師提出的問題，再“論證”你的結論；
（3）【拓展延伸】任意奇數的平方加上1后都一定是______的倍數．
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第2講 整式與因式分解
目 錄
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二、知識建構
HYPERLINK \l "_Toc150724343" 考點一 代數式的相關概念 4
HYPERLINK \l "_Toc150724344" 題型01 列代數式 4
HYPERLINK \l "_Toc150724345" 題型02 代數式的實際意義 4
HYPERLINK \l "_Toc150724346" 考點二 整式的相關概念 5
HYPERLINK \l "_Toc150724347" 題型01 判斷單項式的系數、次數 5
HYPERLINK \l "_Toc150724348" 題型02 與單項式有關的規律題 6
HYPERLINK \l "_Toc150724349" 題型03 判斷多項式的項、項數、次數 6
HYPERLINK \l "_Toc150724350" 考點三 整式的運算 7
HYPERLINK \l "_Toc150724351" 題型01 判斷同類項 10
HYPERLINK \l "_Toc150724352" 題型02 合并同類項 11
HYPERLINK \l "_Toc150724353" 題型03 添（去）括號 11
HYPERLINK \l "_Toc150724354" 題型04 整式的加減 11
HYPERLINK \l "_Toc150724355" 題型05 整式加減的應用 12
HYPERLINK \l "_Toc150724356" 題型06 冪的基本運算 13
HYPERLINK \l "_Toc150724357" 題型07 冪的逆向運算 14
HYPERLINK \l "_Toc150724358" 題型08 冪的混合運算 14
HYPERLINK \l "_Toc150724359" 題型09 整式的乘法 15
HYPERLINK \l "_Toc150724360" 題型10 整式的除法 15
HYPERLINK \l "_Toc150724361" 題型11 利用乘法公式計算 16
考點要求 新課標要求 命題預測
代數式的相關概念 借助現實情境了解代數式，進一步理解用字母表示數的意義；能分析具體問題中的簡單數量關系，并用代數式表示； 中考數學中，整式這個考點一般會考學生對整式化簡計算的應用，偶爾考察整式的基本概念，對整式的復習，重點是要理解并掌握整式的加減法則、乘除法則及冪的運算，難度一般不大.因式分解作為整式乘法的逆運算，在數學中考中占比不大，但是依然屬于必考題，常以簡單選擇、填空題的形式出現，而且一般只考察因式分解的前兩步， 拓展延伸部分基本不考，所以學生在復習這部分內容時，除了要扎實掌握好基礎，更需要甄別好主次，合理安排復習方向.
整式的相關概念 理解整式的概念，掌握合并同類項和去括號的法則，能進行簡單的整式加法和減法運算；能進行簡單的整式乘法運算(其中多項式相乘僅指一次式之間以及一次式與二次式相乘)
整式的運算 能推導乘法公式；了解公式的幾何背景，并能利用公式進行簡單計算
整式化簡求值 靈活運用多種方法化簡代數式
因式分解 能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超過二次)進行因式分解(指數是正整數)
考點一 代數式的相關概念
代數式的概念：用基本的運算符號把數和表示數的字母連接起來的式子叫做代數式.
代數式的值的概念：一般地，用數值代替代數式里的字母，按照代數式中的運算關系計算得出的結果叫做代數式的值.
題型01 列代數式
【例1】（2023吉林長春中考真題）2023長春馬拉松于5月21日在南嶺體育場鳴槍開跑，某同學參加了7.5公里健康跑項目，他從起點開始以平均每分鐘x公里的速度跑了10分鐘，此時他離健康跑終點的路程為 公里．（用含x的代數式表示）
【答案】（7.5-10x）
【分析】根據題意列出代數式即可．
【解析】根據題意可得，
他離健康跑終點的路程為．
故答案為：．
【點評】此題考查了列代數式，解題的關鍵是讀懂題意．
【變式1-1】（2023江蘇中考真題）若圓柱的底面半徑和高均為a，則它的體積是 （用含a的代數式表示）．
【答案】
【解析】根據圓柱的體積圓柱的底面積圓柱的高，可得
．
故答案為：．
【點評】本題主要考查代數式和整式的乘法運算，牢記整式乘法的運算性質是解題的關鍵．
題型02 代數式的實際意義
【例2】（2023河北中考真題）代數式-7x的意義可以是（ ）
A． -7與x的和 B．-7與x的差 C．-7與x的積 D．-7與x的商
【答案】C
【分析】根據代數式賦予實際意義即可解答．
【解析】解：的意義可以是-7與x的積．
故選C．
【點評】本題主要考查了代數式的意義，掌握代數式和差乘除的意義是解答本題的關鍵．
【變式2-1】（2020·內蒙古通遼·中考真題）下列說法不正確的是(　　　)
A．2a是2個數a的和 B．2a是2和數a的積
C．2a是單項式 D．2a是偶數
【答案】D
【分析】根據2a的意義，分別判斷各項即可.
【解析】解：A、=a+a，是2個數a的和，故選項正確；
B、=2×a，是2和數a的積，故選項正確；
C、是單項式，故選項正確；
D、當a為無理數時，是無理數，不是偶數，故選項錯誤；
故選D.
【點評】本題考查了代數式的意義，注意a不一定為整數是解題的關鍵.
考點二 整式的相關概念
　 判斷依據 次數 系數與項數
整式 單項式 ①數字與字母或字母與字母相乘組成的代數式 ②單獨的一個數或字母 所有字母指數的和 系數：單項式中不為零的數字因數
多項式 幾個單項式的和 次數最高項的次數 項數：多項式中所含單項式的個數
題型01 判斷單項式的系數、次數
【例1】（2023·江西·統考中考真題）單項式的系數為 ．
【答案】
【分析】根據單項式系數的定義：單項式中的數字因數，得出結果即可．
【解析】解：單項式的系數是．
故答案是：．
【點評】本題考查單項式的系數，解題的關鍵是掌握單項式系數的定義．
【變式1-1】（2023·廣東·模擬預測）單項式的系數是 ．
【答案】
【分析】根據單項式系數的定義進行解答即可．
【解析】解：單項式中的數字因數即系數，
∴單項式的系數是 ．
故答案為：．
【點評】本題考查了單項式系數的定義，即單項式中的數字因數叫做單項式的系數．
【變式1-2】（2023·廣東·統考模擬預測）已知一個單項式的系數是2，次數是3，則這個單項式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】試題分析：此題規定了單項式的系數和次數，但沒規定單項式中含幾個字母．
A．系數是﹣2，錯誤；
B．系數是3，錯誤；
C．次數是4，錯誤；
D．符合系數是2，次數是3，正確；
故選D．
題型02 與單項式有關的規律題
【例2】（2023·云南·統考中考真題）按一定規律排列的單項式：，第個單項式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據單項式的規律可得，系數為，字母為，指數為1開始的自然數，據此即可求解．
【解析】解：按一定規律排列的單項式：，第個單項式是，
故選：C．
【點評】本題考查了單項式規律題，找到單項式的變化規律是解題的關鍵．
【變式2-1】（2022·云南·中考真題）按一定規律排列的單項式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n個單項式是（ ）
A．(2n-1) B．(2n+1) C．(n-1) D．(n+1)
【答案】A
【分析】系數的絕對值均為奇數，可用(2n-1)表示；字母和字母的指數可用xn表示．
【解析】解：依題意，得第n項為（2n-1）xn，
故選：A．
【點評】本題考查的是單項式，根據題意找出規律是解答此題的關鍵．
【變式2-2】（2022·云南昆明·統考三模）按一定規律排列的代數式：2，，……，第n個單項式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】不難看出奇數項為正，偶數項為負，分母為x2n-2，分子的指數為由1開始的自然數，據此即可求解．
【解析】解：∵2=，
∴按一定規律排列的代數式為：，，，，，…，
∴第n個單項式是(-1)n-1，
故選：B．
【點評】本題考查單項式的規律，根據所給單項式的系數與次數的特點，確定單項式的規律是解題的關鍵．
【變式2-3】（2022·云南昆明·昆明市一模）按一定規律排列的單項式：3，，，，，…，第8個單項式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】觀察每個單項式的系數和所含字母的指數，總結規律，根據規律解答即可．
【解析】解：由題意可知：單項式的系數是從3起的奇數，
單項式中a的指數偶數，b的指數不變，
所以第8個單項式是：．
故選：A．
【點評】本題考查的是數字的變化規律、單項式的概念，正確找出單項式的系數和次數的變化規律是解題的關鍵．
【變式2-4】（2022·云南文山·統考二模）一組按規律排列的單項式：，，，，，…，根據其中的規律，第12個單項式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據符號的規律：n為奇數時，單項式為負號，n為偶數時，符號為正號；系數的絕對值的規律：第n個對應的系數的絕對值是3n+1．指數的規律：第n個對應的指數是n解答即可．
【解析】解：根據分析的規律，得
第12個單項式是(3×12+1)x12=37x12．故選：C．
【點評】本題考查了單項式的知識，確定單項式的系數和次數時，把一個單項式分解成數字因數和字母因式的積，是找準單項式的系數和次數的關鍵．分別找出單項式的系數和次數的規律也是解決此類問題的關鍵．
題型03 判斷多項式的項、項數、次數
【例3】（2023·廣東茂名·一模）多項式的次數和常數項分別是( )
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【分析】根據多項式的相關概念即可求解，幾個單項式的和叫做多項式，每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數項．多項式中次數最高的項的次數叫做多項式的次數．
【解析】解：多項式的次數和常數項分別是，
故選：C．
【點評】本題考查了多項式的相關概念，熟練掌握多項式的定義是解題的關鍵．
【變式3-1】（2023·江西贛州市模擬預測）下列說法正確的是（ ）
A．的系數是 B．的次數是5次
C．的常數項為4 D．是三次三項式
【答案】A
【分析】根據單項式的系數、次數的定義以及多項式次數、項數、常數項的定義可解決此題．
【解析】解：A、的系數是，故選項正確；
B、的次數是3次，故選項錯誤；
C、的常數項為-4，故選項錯誤；
D、是二次三項式，故選項錯誤；
故選A．
【點評】本題主要考查單項式的系數、次數的定義以及多項式次數、項數、常數項的定義，熟練掌握單項式的系數、次數的定義以及多項式次數、項數、常數項的定義是解決本題的關鍵．
【變式3-2】（2023·廣東茂名·校考一模）多項式最高次項的系數是 ，次數是 ．
【答案】 ﹣π 3
【分析】先找到此多項式的最高次項，再根據單項式的系數與次數的定義求解．
【解析】解：多項式最高次項是﹣πa2b，
所以最高次項的系數是﹣π，次數是3．
故答案為：﹣π，3．
【點評】本題考查了同學們對多項式的有關定義的理解．多項式中每個單項式叫做多項式的項，這些單項式中的最高次數，就是這個多項式的次數．
考點三 整式的運算
整式的加減 同類項 所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項.
合并同類項 把同類項中的系數相加減，字母與字母的指數不變.
添（去）括號法則 括號外是“+”，添(去) 括號不變號，
括號外是“-”，添(去) 括號都變號.
整式的加減法則 幾個整式相加減，如有括號就先去括號，然后再合并同類項.
SHAPE \* MERGEFORMAT
整式的乘除 運算步驟說明 補充說明及注意事項
單項式乘單項式 ①將單項式系數相乘作為積的系數;
②相同字母的因式，利用同底數冪的乘法，作為積的一個因式;
③單獨出現的字母，連同它的指數，作為積的一個因式. 1）實質:乘法的交換律和同底數冪的乘法法則的綜合應用.
2）單項式乘單項式所得結果仍是單項式 .
單項式乘多項式 ①先用單項式和多項式的每一項分別相乘；
②再把所得的積相加. 1）單項式乘多項式實質上是轉化為單項式乘以單項式
2）單項式乘多項式的結果是多項式，積的項數與原多項式的項數相同.
多項式乘多項式 ①先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，
②再把所得的積相加． 運用法則時應注意以下兩點：
①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；
②多項式與多項式相乘，多項式的每一項都應該帶上它前面的正負號.且結果仍是多項式，在合并同類項之前，積的項數應等于原多項式的項數之積．
單項式除單項式 ①將單項式系數相除作為商的系數；
②相同字母的因式，利用同底數冪的除法，作為商的一個因式；
③只在被除式里含有的字母連同指數不變. 　
多項式除單項式 ①先把這個多項式的每一項除以這個單項式；
②再把所得的商相加 　
整式的混合運算的運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號時先算括號里面的.
完全平方公式的幾何背景
1.意義：運用幾何圖形直觀理解、解決完全平方公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數量關系對完全平方公式做出幾何解釋．
2. 常見驗證完全平方公式的幾何圖形
結論：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面積等于邊長為a和邊長為b的兩個正方形與兩個長寬分別是a，b的長方形的面積和作為相等關系）
平方差公式的幾何背景
1.意義：運用幾何圖形直觀理解、解決平方差公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數量關系對平方差公式做出幾何解釋．
2. 常見驗證平方差公式的幾何圖形
結論：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
題型01 判斷同類項
【例1】（2022·湖南湘潭·中考真題）下列整式與為同類項的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據同類項的定義：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同，這樣的項叫做同類項，結合選項求解．
【解析】解：由同類項的定義可知，a的指數是1，b的指數是2．
A、a的指數是2，b的指數是1，與不是同類項,故選項不符合題意；
B、a的指數是1，b的指數是2，與是同類項,故選項符合題意；
C、a的指數是1，b的指數是1，與不是同類項,故選項不符合題意；
D、a的指數是1，b的指數是2，c的指數是1，與不是同類項,故選項不符合題意．
故選：B．
【點評】此題考查了同類項，判斷同類項只要兩看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指數是否相同．
【變式1-1】（2023·浙江紹興·一模）下列每組中的兩個代數式，屬于同類項的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】根據同類項的定義：幾個單項式的字母和字母的指數均相同，進行判斷即可．
【解析】解：A、不是同類項，不符合題意；
B、是同類項，符合題意；
C、不是同類項，不符合題意；
D、不是同類項，不符合題意；
故選B．
【點評】本題考查同類項的識別．熟練掌握同類項的定義，是解題的關鍵．
題型02 合并同類項
【例2】（2023·四川自貢·中考真題）計算： ．
【答案】
【分析】直接合并同類項即可求解．
【解析】解：．
故答案為：．
【點評】此題主要考查合并同類項，熟練掌握運算法則是解題關鍵．
【變式2-1】（2022·山東淄博·中考真題）計算的結果是（ ）
A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a6b2 D．7a6b2
【答案】C
【分析】先根據積的乘方法則計算，再合并同類項．
【解析】解：原式，
故選：C．
【點評】本題主要考查了積的乘方，合并同類項，解題的關鍵是掌握相應的運算法則．
題型03 添（去）括號
【例3】（2023·河北衡水·校考模擬預測）關于進行的變形或運算：
①；②；③；④．
其中不正確的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】B
【分析】根據去括號法則進行變形即可．
【解析】解：①，變形正確；
②，變形正確；
③，原變形不正確；
④，原變形不正確；
∴①②正確，③④錯誤，
故選B．
【點評】此題主要考查了整式的變形，熟練掌握去括號法則是解答此題的關鍵．
【變式3-1】（2022·河北邯鄲·校聯考三模）等號左右兩邊一定相等的一組是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用去括號法則與正整數冪的概念判斷即可．
【解析】解：對于A，，A錯誤，不符合題意；
對于B，，B錯誤，不符合題意；
對于C，，C正確，符合題意；
對于D，，D錯誤，不符合題意．
故選：C．
【點評】本題考查了去括號法則，以及正整數冪的概念，熟練掌握相關定義與運算法則是解題的關鍵．
題型04 整式的加減
【例4】（2022·西藏·中考真題）下列計算正確的是（　　）
A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2
C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2
【答案】A
【解析】A、2ab﹣ab＝（2﹣1）ab＝ab，選項正確，符合題意；
B、2ab+ab＝（2+1）ab＝3ab，選項不正確，不符合題意；
C、4a3b2與﹣2a不是同類項，不能合并，選項不正確，不符合題意；
D、﹣2ab2與﹣a2b不是同類項，不能合并，選項不正確，不符合題意．
故選A．
【點評】本題考查整式的加減．在計算的過程中，把同類項進行合并，不能合并的直接寫在結果中即可．
【變式4-1】（2022·浙江杭州·校考二模）化簡（2a﹣b）﹣（2a+b）的結果為（　　）
A．2b B．﹣2b C．4a D．-4a
【答案】B
【分析】先去括號，再合并同類項即可．
【解析】解：（2a﹣b）﹣（2a+b）
＝2a﹣b﹣2a﹣b
＝﹣2b．
故選：B．
【點評】本題考查了整式的加減，整式加減的實質就是去括號、合并同類項，熟練掌握去括號法則是解題的關鍵．
【變式4-2】（2023·浙江金華·一模）如圖是一道關于整式運算的例題及正確的解答過程，其中，是兩個關于的二項式．
【例題】先去括號，再合并同類項：解：原式________________
(1)二項式A為________，二項式B為________．
(2)當x為何值時，A與B的值相等？
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根據題意添括號，即可求解；
（2）根據題意，列出一元一次方程，解方程即可求解．
【解析】（1）解：∵
∴
故答案為：．
（2）解：依題意，，
解得：．
【點評】本題考查了整式的加減，解一元一次方程，掌握整式的加減運算法則是解題的關鍵．
【變式4-3】（2022·河北保定·一模）已知：整式．
(1)化簡整式；
(2)若，
①求整式；
②在“”的“□”內，填入“，，，”中的一個運算符號，經過計算發現，結果是不含一次項的整式，請你寫出一個符合要求的算式，并計算出結果．
【答案】(1)
(2)①；②或者（答案不唯一）
【分析】（1）把整式去括號，合并同類項即可；
（2）①由題意得出，把整式代入，去括號，合并同類項即可；
②經計算和都符合題意．
【解析】（1）∴．
（2）①∵∴
∴．
②
（或）．
【點評】本題考查的是整式的運算，熟練掌握整式的運算法則是解本題的關鍵．
題型05 整式加減的應用
【例5】（2022·內蒙古包頭·中考真題）若一個多項式加上，結果得，則這個多項式為 ．
【答案】
【分析】設這個多項式為A，由題意得：，求解即可．
【解析】設這個多項式為A，由題意得：，
，
故答案為：．
【點評】本題考查了整式的加減，準確理解題意，列出方程是解題的關鍵．
【變式5-1】（2023·湖南長沙·校考三模）已知有2個完全相同的邊長為a、b的小長方形和1個邊長為m、n的大長方形，小明把這2個小長方形按如圖所示放置在大長方形中，小明經過推事得知，要求出圖中陰影部分的周長之和，只需知道a、b、m、n中的一個量即可，則要知道的那個量是（ ）
A．a B．b C．m D．n
【答案】D
【分析】先用含a、b、m、n的代數式表示出陰影矩形的長寬，再求陰影矩形的周長和即可．
【解析】解：如圖，由圖和已知條件可知：AB＝a，EF＝b，AC＝n﹣b，GE＝n﹣a．
陰影部分的周長為：2（AB+AC）+2（GE+EF）
＝2（a+n﹣b）+2（n﹣a+b）
＝2a+2n﹣2b+2n﹣2a+2b
＝4n．
∴求圖中陰影部分的周長之和，只需知道n一個量即可．
故選：D．
【點評】本題主要考查了整式的加減，能用含a、b、m、n的代數式表示出陰影矩形的長寬是解決本題的關鍵．
【變式5-2】（2023·河北邯鄲·二模）如圖，兩個三角形的面積分別是6和4，對應陰影部分的面積分別是m和n，則m﹣n等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】設重合的空白部分面積為a，由題意知，兩式相減求解即可．
【解析】解：設重合的空白部分面積為
則由題意可知
兩式相減得
故選A．
【點評】本題考查了求代數式的值．解題的關鍵在于根據三角形的面積列等式．
【變式5-3】（2023·四川德陽·中考真題）在初中數學文化節游園活動中，被稱為“數學小王子”的王小明參加了“智取九宮格”游戲比賽，活動規則是：在九宮格中，除了已經填寫的三個數之外的每一個方格中，填入一個數，使每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和分別相等，且均為m．王小明抽取到的題目如圖所示，他運用初中所學的數學知識，很快就完成了這個游戲，則 ．
16
7
4
【答案】39
【分析】設第一列中間的數為，則三個數之和為，再一次把表格的每一個數據填好，從而可得答案．
【解析】解：如圖，設第一列中間的數為，則三個數之和為，可得：
16
7
4
∴，
故答案為：39
【點評】本題考查的是列代數式，整式的加減運算的應用，理解題意，設出合適的未知數是解本題的關鍵．
【變式5-4】（2022·四川樂山·中考真題）如果一個矩形內部能用一些正方形鋪滿，既不重疊，又無縫隙，就稱它為“優美矩形”，如圖所示，“優美矩形”ABCD的周長為26，則正方形d的邊長為 ．
【答案】5
【分析】設正方形a、b、c、d的邊長分別為a、b、c、d，分別求得b=c，c=d，由“優美矩形”ABCD的周長得4d+2c=26，列式計算即可求解．
【解析】解：設正方形a、b、c、d的邊長分別為a、b、c、d，
∵“優美矩形”ABCD的周長為26，
∴4d+2c=26，
∵a=2b，c=a+b，d=a+c，
∴c=3b，則b=c，
∴d=2b+c=c，則c=d，
∴4d+d =26，
∴d=5，
∴正方形d的邊長為5，
故答案為：5．
【點評】本題考查了整式加減的應用，認真觀察圖形，根據長方形的周長公式推導出所求的答案是解題的關鍵．
【變式5-5】（2022·浙江金華·中考真題）如圖1，將長為，寬為的矩形分割成四個全等的直角三角形，拼成“趙爽弦圖”（如圖2），得到大小兩個正方形．
(1)用關于a的代數式表示圖2中小正方形的邊長．
(2)當時，該小正方形的面積是多少？
【答案】(1)
(2)36
【分析】（1）分別算出直角三角形較長的直角邊和較短的直角邊，再用較長的直角邊減去較短的直角邊即可得到小正方形面積；
（2）根據（1）所得的小正方形邊長，可以寫出小正方形的面積代數式，再將a的值代入即可．
【解析】（1）解：∵直角三角形較短的直角邊，
較長的直角邊，
∴小正方形的邊長；
（2）解：，
當時，．
【點評】本題考查割補思想，屬性結合思想，以及整式的運算，能夠熟練掌握割補思想是解決本題的關鍵．
【變式5-6】（2023·江蘇鹽城·景山中學校考三模）三角形的一邊長為，第二邊比第一邊長，第三邊長為．
(1)用代數式表示三角形的周長；
(2)當，時，求三角形的周長．
【答案】(1)
(2)38
【分析】（1）先求出第二邊長，再利用三角形的周長公式列式計算即可得；
（2）將，代入計算即可得．
【解析】（1）解：由題意得：第二邊長為，
則三角形的周長為；
（2）當，時，
三角形的周長為．
【點評】本題考查了整式加減中的化簡求值，掌握整式的加減運算法則是解題關鍵．
題型06 冪的基本運算
【例6】（2023·安徽·中考真題）下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據同底數冪的乘法，同底數冪的除法，冪的乘方，合并同類項，逐項分析判斷即可求解．
【解析】解：A. ，故該選項不正確，不符合題意；
B. ，故該選項不正確，不符合題意；
C. ，故該選項正確，符合題意；
D. ，故該選項不正確，不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查了同底數冪的乘法，同底數冪的除法，冪的乘方，合并同類項，熟練掌握同底數冪的乘法，同底數冪的除法，冪的乘方，合并同類項的運算法則是解題的關鍵．
【變式6-1】（2023·湖北武漢·中考真題）計算的結果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據積的乘方與冪的乘方法則計算即可．
【解析】解：，
故選：D．
【點評】本題考查積的乘方與冪的乘方，熟練掌握積的乘方與冪的乘方運算法則是解題的關鍵．
【變式6-2】（2023·黑龍江綏化·中考真題）下列計算中，結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據積的乘方與冪的乘方運算，同底數冪的乘法、合并同類項，算術平方根，進行計算即可求解．
【解析】解：A. ，故該選項不正確，不符合題意；
B. ，故該選項不正確，不符合題意；
C. ，故該選項不正確，不符合題意；
D. ，故該選項正確，符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查了積的乘方與冪的乘方運算，同底數冪的乘法、合并同類項，算術平方根，熟練掌握以上運算法則是解題的關鍵．
【變式6-3】（2023·湖南·中考真題）計算的結果正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】運用積的乘方法則、冪的乘方法則即可得出結果．
【解析】解：，
故選：B．
【點評】本題考查了積的乘方法則、冪的乘方法則，熟練運用積的乘方法則、冪的乘方法則是解題的關鍵．
【變式6-4】（2023·江蘇泰州·中考真題）若，下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用同底數冪的乘法運算法則以及零指數冪的性質、合并同類項法則分別化簡，進而得出答案．
【解析】解：A．，故此選項符合題意；
B．，故此選項不合題意；
C．，故此選項不合題意；
D．與無法合并，故此選項不合題意．
故選：A．
【點評】此題主要考查了同底數冪的乘法運算以及零指數冪的性質、合并同類項，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
【變式6-5】（2023·內蒙古·中考真題）下列各式計算結果為的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據同底數冪的乘除法及冪的乘方運算法則即可判斷．
【解析】解：A、，不符合題意；
B、，不符合題意；
C、，符合題意；
D、，不符合題意；
故選：C．
【點評】題目主要考查同底數冪的乘除法及冪的乘方運算法則，熟練掌握運算法則是解題關鍵．
題型07 冪的逆向運算
【例7】（2023·四川德陽·中考真題）已知，則（ ）
A．y B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同底數冪的乘法的逆運算可得，再代入計算即可．
【解析】解：∵，
∴，
故選D
【點評】本題考查的是同底數冪的乘法運算的逆運算，熟記“”是解本題的關鍵．
【變式7-1】（2023·江蘇鎮江·中考真題）如圖，在甲、乙、丙三只袋中分別裝有球29個、29個、5個，先從甲袋中取出個球放入乙袋，再從乙袋中取出個球放入丙袋，最后從丙袋中取出個球放入甲袋，此時三只袋中球的個數相同，則的值等于（ ）

A．128 B．64 C．32 D．16
【答案】A
【分析】先表示每個袋子中球的個數，再根據總數可知每個袋子中球的個數，進而求出， ，最后逆用同底數冪相乘法則求出答案．
【解析】調整后，甲袋中有個球，，乙袋中有個球，，丙袋中有個球．
∵一共有（個）球，且調整后三只袋中球的個數相同，
∴調整后每只袋中有（個）球，
∴，，
∴，，
∴．
故選：A．
【點評】本題考查了冪的混合運算，找準數量關系，合理利用整體思想是解答本題的關鍵．
【變式7-2】（2023·湖南湘潭·模擬預測）若，，則 ．
【答案】
【分析】逆運用同底數冪的除法法則，先把寫成的形式，再利用冪的乘方法則把寫成|的形式后代入求值．
【解析】解：，
，
，
故答案為：．
【點評】本題考查了整式的運算，掌握同底數冪的除法法則、冪的乘方法則是解題的關鍵．
【變式7-3】（2023·河北·模擬預測）若，則代數式xy與之間關系是 ．
【答案】
【分析】由條件可得可得而從而可得答案．
【解析】解：∵，
∴
∴
而
∴
∴
故答案為：
【點評】本題考查的是同底數冪的乘法運算，積的乘方的逆運算，掌握“利用冪的運算與逆運算進行變形”是解本題的關鍵．
【變式7-4】（2023·河南焦作·一模）已知，則的值為 ．
【答案】
【分析】先逆用同底數冪相除，再將整體代入即可求解．
【解析】∵，
∴，
故答案為：．
【點評】本題主要考查了同底數冪相除的逆用，掌握同底數冪相除的運算法則是解答本題的關鍵．
題型08 冪的混合運算
【例8】（2023·浙江溫州·中考真題）化簡的結果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據積的乘方以及同底數冪的乘法進行計算即可求解．
【解析】解：，
故選：D．
【點評】本題考查了積的乘方以及同底數冪的乘法，熟練掌握積的乘方以及同底數冪的乘法的運算法則是解題的關鍵．
【變式8-1】（2023·湖南常德·校考一模）計算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據冪的乘方、同底數冪的乘法進行計算即可．
【解析】解：
故選B
【點評】本題考查了冪的運算，掌握冪的乘方、同底數冪的乘法是解題的關鍵．
【變式8-2】（2023·湖北襄陽·模擬預測） ．
【答案】
【分析】先根據冪的乘方和同底數冪的乘法進行計算，再根據同底數冪的除法進行計算，最后合并同類項即可．
【解析】解：故答案為：．
【點評】本題考查了整式的混合運算，能正確根據整式的運算法則進行計算是解此題的關鍵，注意運算順序．
題型09 整式的乘法
【例9】（2023·陜西·中考真題）計算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用單項式乘單項式的法則進行運算即可．
【解析】解：．故選：B．
【點評】本題主要考查單項式乘單項式，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．
【變式9-1】（2022·陜西西安·校考三模）計算：（3m﹣1）（m+5）．
【答案】
【分析】根據多項式與多項式相乘的法則計算．
【解析】解：原式
．
【點評】本題考查的是多項式乘多項式，掌握多項式與多項式相乘的法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另外一個多項式的每一項，再把所得的積相加是解題的關鍵．
【變式9-2】（2022·重慶·校聯考一模）計算題
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把多項式的每一項與單項式相乘，再合并即可求解；
（2）先用第一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再合并即可求解．
【解析】（1）
（2）
．
【點評】本題主要考查了整式的乘法運算，熟練掌握單項式乘以多項式，多項式乘以多項式法則是解題的關鍵．
題型10 整式的除法
【例10】（2023·江蘇揚州·中考真題）若，則括號內應填的單項式是( )
A．a B． C． D．
【答案】A
【分析】將已知條件中的乘法運算可以轉化為單項式除以單項式進行計算即可解答．
【解析】解：∵，
∴（ ）．
故選：A．
【點評】本題主要考查了整式除法的應用，弄清被除式、除式和商之間的關系是解題的關鍵．
【變式10-1】（2023·山東青島·中考真題）計算： ．
【答案】2xy
【分析】利用積的乘方及單項式除以單項式的法則進行計算即可．
【解析】解：原式，故答案為：．
【點評】本題考查整式的運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．
【變式10-2】（2023·北京·模擬預測）計算：．
【答案】
【分析】根據多項式除以單項式法則進行運算，即可求解．
【解析】解：
【點評】本題考查了多項式除以單項式法則，熟練掌握和運用多項式除以單項式法則是解決本題的關鍵．
【變式10-3】（2022·吉林·中考真題）下面是一道例題及其解答過程的一部分，其中是關于的多項式．請寫出多項式，并將該例題的解答過程補充完整．
例先去括號，再合并同類項：（）．解：（） ．
【答案】，解答過程補充完整為
【分析】利用除以可得，再根據合并同類項法則補充解答過程即可．
【解析】解：觀察第一步可知，，解得，
將該例題的解答過程補充完整如下：，故答案為：．
【點評】本題考查了多項式的乘除法、合并同類項，熟練掌握整式的運算法則是解題關鍵．
題型11 利用乘法公式計算
【例11】（2023·甘肅蘭州·中考真題）計算：．
【答案】
【分析】先計算平方差公式及單項式乘以多項式，然后計算加減法即可．
【解析】解：．
【點評】題目主要考查整式的乘法運算及加減運算，熟練掌握運算法則是解題關鍵．
【變式11-1】（2023·青海西寧·中考真題）計算：．
【答案】
【分析】運用完全平方公式，平方差公式及整式的加減運算法則處理；
【解析】解：原式

.
【點評】本題考查整式的運算，掌握乘法公式以簡化運算是解題的關鍵．
【變式11-2】（2023·天津·中考真題）計算的結果為 ．
【答案】1
【分析】根據平方差公式，二次根式的性質及運算法則處理．
【解析】解：
故答案為：1
【點評】本題考查平方差公式、二次根式性質及運算，熟練掌握平方差公式是解題的關鍵．
【變式11-3】（2023·江西·中考真題）計算：（a+1）2﹣a2= ．
【答案】2a+1
【解析】【分析】原式利用完全平方公式展開，然后合并同類項即可得到結果．
【解析】（a+1）2﹣a2
=a2+2a+1﹣a2
=2a+1，
故答案為2a+1.
【點評】本題考查了整式的混合運算，熟練掌握完全平方公式以及合并同類項的法則是解題的關鍵.
題型12 通過對完全平方公式變形求值
【例12】（2022·山東濱州·中考真題）若，，則的值為 ．
【答案】90
【分析】將變形得到，再把，代入進行計算求解．
【解析】解：∵，，
∴
．
故答案為：90．
【點評】本題主要考查了代數式求值，完全平方公式的應用，靈活運用完全平方公式是解答關鍵．
【變式12-1】（2022·四川德陽·中考真題）已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，則xy= ．
【答案】4
【分析】根據完全平方公式的運算即可.
【解析】∵，
∵+=4 =16，
∴ =4.
【點評】此題主要考查完全平方公式的靈活運用，解題的關鍵是熟知完全平方公式的應用.
【變式12-2】（2023·廣東云浮·一模）若a+b=3，，則ab等于（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【答案】B
【解析】∵a+b=3，
∴（a+b）2=9
∴a2+2ab+b2=9
∵a2+b2=7
∴7+2ab=9，7+2ab=9
∴ab=1．
故選B．
【變式12-3】（2022·湖北荊門·中考真題）已知x+＝3，求下列各式的值：
(1)（x﹣）2；(2)x4+．
【答案】(1)5
(2)47
【分析】（1）由＝、＝，進而得到﹣4x 即可解答；
（2）由＝可得=7，又＝，進而得到＝﹣2即可解答．
【解析】（1）解：∵＝
∴＝
＝
＝﹣4x
＝32﹣4
＝5．
（2）解：∵＝，
∴
＝+2
＝5+2
＝7，
∵＝，
∴
＝﹣2
＝49﹣2
＝47．
【點評】本題主要考查通過對完全平方公式的變形求值．熟練掌握完全平方公式并能靈活運用是解答本題的關鍵．
題型13 乘法公式的幾何驗證
【例13】（2023·四川攀枝花·中考真題）我們可以利用圖形中的面積關系來解釋很多代數恒等式．給出以下4組圖形及相應的代數恒等式：
① ②

③ ④
其中，圖形的面積關系能正確解釋相應的代數恒等式的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】觀察各個圖形及相應的代數恒等式即可得到答案．
【解析】解：圖形的面積關系能正確解釋相應的代數恒等式的有①②③④，
故選：．
【點評】本題考查用圖形面積解釋代數恒等式，解題的關鍵是用兩種不同的方法表示同一個圖形的面積．
【變式13-1】（2022·貴州六盤水·中考真題）如圖，學校勞動實踐基地有兩塊邊長分別為，的正方形秧田，，其中不能使用的面積為．
(1)用含，的代數式表示中能使用的面積___________；
(2)若，，求比多出的使用面積．
【答案】(1)
(2)50
【分析】（1）利用正方形秧田的面積減去不能使用的面積即可得；
（2）先求出中能使用的面積為，再求出比多出的使用面積為，利用平方差公式求解即可得．
【解析】（1）解：中能使用的面積為，
故答案為：．
（2）解：中能使用的面積為，
則比多出的使用面積為，
，，
，
答：比多出的使用面積為50．
【點評】本題考查了列代數式、平方差公式與圖形面積，熟練掌握平方差公式是解題關鍵．
【變式13-2】（2022·湖北隨州·中考真題）《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽著作，是數學發展史的一個里程碑．在該書的第2幕“幾何與代數”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數結論，利用幾何給人以強烈印象將抽象的邏輯規律體現在具體的圖形之中．
(1)我們在學習許多代數公式時，可以用幾何圖形來推理，觀察下列圖形，找出可以推出的代數公式，（下面各圖形均滿足推導各公式的條件，只需填寫對應公式的序號）
公式①：
公式②：
公式③：
公式④：
圖1對應公式______，圖2對應公式______，圖3對應公式______，圖4對應公式______；
(2)《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式的方法，如圖5，請寫出證明過程；（已知圖中各四邊形均為矩形）
(3)如圖6，在等腰直角三角形ABC中，，D為BC的中點，E為邊AC上任意一點（不與端點重合），過點E作于點G，作F點H過點B作BF//AC交EG的延長線于點F．記△BFG與△CEG的面積之和為，△ABD與△AEH的面積之和為．
①若E為邊AC的中點，則的值為_______；
②若E不為邊AC的中點時，試問①中的結論是否仍成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由．
【答案】(1)①，②，④，③
(2)證明見解析
(3)①2
②結論仍成立，理由見解析
【分析】（1）觀察圖形，根據面積計算方法即可快速判斷；
（2）根據面積關系：矩形AKHD面積=矩形AKLC面積+矩形CLHD面積=矩形DBFG面積+矩形CLHD面積=正方形BCEF面積－正方形LEGH面積，即可證明；
（3）①由題意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是正方形，設BD=a，從而用含a的代數式表示出S1、S2進行計算即可；②由題意可得△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是矩形，設BD=a，DG=b，從而用含a、b的代數式表示出S1、S2進行計算即可．
【解析】（1）解：圖1對應公式①，圖2對應公式②，圖3對應公式④，圖4對應公式③；
故答案為：①，②，④，③；
（2）解：由圖可知，矩形BCEF和矩形EGHL都是正方形，且AK=DB=a－b，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：①由題意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是正方形，
設，
∴，，，，
∴，
，
∴；
故答案為：2；
②成立，證明如下：
由題意可得：△ABD，△AEH，△CEG，△BFG都是等腰直角三角形，四邊形DGEH是矩形，
設，，
∴，，，，
∴，
，
∴仍成立．
【點評】本題主要考查了公式的幾何驗證方法，矩形和正方形的判定與性質，掌握數形結合思想，觀察圖形，通過圖形面積解決問題是解題的關鍵．
SHAPE \* MERGEFORMAT
考點四 整式化簡求值（高頻考點）
1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代數式計算求值.
2.間接代入法：將已知的代數式化簡后，再將已知字母的值代入化簡后的代數式中計算求值.
3.整體代入法：①觀察已知代數式和所求代數式的關系.
②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式將已知代數式和所求代數式進行變形，使它們成倍分關系.
③把已知代數式看成一個整式代入所求代數式中計算求值．
4.賦值求值法：指代數式中的字母的取值由答題者自己確定，然后求出所提供的代數式的值的一種方法．這是一種開放型題目，答案不唯一.在賦值時，要注意取值范圍，選擇合適的代數式的值．
5.隱含條件求值法：先通過隱含條件求出字母值，然后化簡再求值．
例如：①若幾個非負數的和為0，則每個非負數的值均為0
②已知兩個單項式為同類項，通過求次數中未知數的值，進而帶入到代數式中計算求值.
6.利用“無關”求值：
①若一個代數式的值與某個字母的取值無關時需先對原式進行化簡，則可得出該無關字母的系數為0；
②若給定字母寫錯得出正確答案，則該代數式的值與該字母無關．
7.配方法：若已知條件含有完全平方式，則可通過配方，把條件轉化成幾個平方和的形式，再利用非負數的性質來確定字母的值，從而求得結果．
8.平方法：在直接求值比較困難時，有時也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后結果的符號．
9.特殊值法：有些試題，用常規方法直接求解比較困難，若根據答案中所提供的信息，選擇某些特殊情況進行分析，或選擇某些特殊值進行計算，把一般形式變為特殊形式進行判斷，這時常常會使題目變得十分簡單．
10.設參法：遇到比值的情況，可對比值整體設參數，把每個字母用參數表示，然后代入計算即可．
11.利用根與系數的關系求解：如果代數式可以看作某兩個“字母”的輪換對稱式，而這兩個“字母”又可能看作某個一元二次方程的根，可以先用根與系數的關系求得其和、積式，再整體代入求值．
12. 利用消元法求值：若已知條件以比值的形式出現，則可利用比例的性質設比值為一個參數，或利用一個字母來表示另一個字母．
13. 利用倒數法求值：將已知條件或待求的代數式作倒數變形，從而求出代數式的值．
題型01 整式化簡-直接代入法
【例1】（2022·廣西梧州·中考真題）若，則 ．
【答案】1
【分析】將代入代數式求解即可．
【解析】解：∵，
∴，
故答案為：．
【點評】本題考查了代數式求值．解題的關鍵在于正確的計算．
【變式1-1】已知是最小的正整數，是絕對值最小的有理數，在數軸上對應的點到原點的距離是6，求的值．
【答案】7或
【分析】先根據最小正整數、絕對值最小的有理數以及到原點的距離可確定a、b、c的值，然后代入計算即可．
【解析】解：因為是最小的正整數，所以；
因為是絕對值最小的有理數，
所以；
因為到原點的距離是6，
所以；
當時，；
當時，．
【點評】本題主要考查了有理數的相關概念、代數式求值等知識點，牢記最小正整數是1、絕對值最小的數是0及絕對值的意義成為解答本題的關鍵．
題型02 整式化簡-間接代入法
【例2】（2022·山東濟寧·中考真題）已知，，求代數式的值．
【答案】－4
【分析】先將代數式因式分解，再代入求值．
【解析】
故代數式的值為．
【點評】本題考查因式分解、二次根式的混合運算，解決本題的關鍵是熟練進行二次根式的計算．
【變式2-1】（2023·湖南·中考真題）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，24
【分析】先展開，合并同類項，后代入計算即可．
【解析】
當時，原式．
【點評】本題考查了平方差公式，完全平方公式的計算，熟練掌握兩個公式是解題的關鍵．
【變式2-2】（2021·廣西河池·中考真題）先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】觀察式子，先因式分解，再化簡，最后代入字母的值求解即可
【解析】
當時，
原式
【點評】本題考查了整式的化簡求值，因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關鍵．
題型03 整式化簡-整體代入法
【例3】（2023·山東棗莊·中考真題）若是關x的方程的解，則的值為 ．
【答案】2019
【分析】將代入方程，得到，利用整體思想代入求值即可．
【解析】解：∵是關x的方程的解，
∴，即：，
∴；
故答案為：2019．
【點評】本題考查方程的解，代數式求值．熟練掌握方程的解是使等式成立的未知數的值，是解題的關鍵．
【變式3-1】（2023·湖北十堰·中考真題）若，，則的值是 ．
【答案】6
【分析】先提公因式分解原式，再整體代值求解即可．
【解析】解：，
∵，，
∴，
∴原式，
故答案為：6．
【點評】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法，利用整體思想方法是解答的關鍵．
【變式3-2】（2023·四川成都·中考真題）若，則代數式，的值為 ．
【答案】
【分析】根據分式的化簡法則，將代數式化簡可得，再將變形，即可得到答案．
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
故原式的值為，
故答案為：．
【點評】本題考查了分式的化簡法則，整式的整體代入，熟練對代數式進行化簡是解題的關鍵．
【變式3-3】（2023·四川涼山·中考真題）已知，則的值等于 ．
【答案】2023
【分析】把化為：代入降次，再把代入求值即可．
【解析】解：由得：，，
，
故答案為：．
【點評】本題考查的是代數式的求值，找到整體進行降次是解題的關鍵．
題型04 整式化簡-賦值法
【例4】（2023·廣東江門·一模）化簡：，若x是的整數，請選擇一個合適的數求代數式的值．
【答案】，當時，原式=
【分析】根據分式混合運算的法則化簡原式，再根據分式有意義的條件得出x的值，代入計算即可．
【解析】
∵x是的整數，且，
∴，
則原式．
【點評】本題主要考查了分式的化簡求值，解題的關鍵是熟練掌握分式的混合運算順序和法則進行化簡，而根據分式有意義的條件選擇x的值是易錯點．
【變式4-1】（2022·江蘇蘇州·校考模擬預測）先化簡，再求值：
（1）（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中a＝1，b＝﹣2．
（2）先化簡（1+）÷，再從﹣1，0，1，2，3中選取一個合適的數作為x的值代入求值．
【答案】（1）﹣2ab，4；（2），當x＝0 時，原式＝﹣3，當x＝2 時，原式＝﹣．
【分析】（1）原式利用多項式除以單項式，平方差公式計算得到最簡結果，把a與b的值代入計算即可求出值；
（2）原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，把x的值代入計算即可求出值．
【解析】解：（1）原式＝a2﹣2ab﹣b2﹣a2+b2＝﹣2ab，
當a＝1，b＝﹣2時，
原式＝4；
（2）原式＝
＝
＝，
∵x的值從﹣1，0，1，2，3中選取，又要使原分式有意義，
∴x可取0，2，
∴當x＝0 時，原式＝﹣3，
當x＝2 時，原式＝﹣．
【點評】本題考查了分式的混合運算，分式的化簡求值，整式的加減乘除混合運算，解題的關鍵是熟練掌握運算法則進行運算.
題型05 整式化簡-隱含條件求值
【例5】（2023·湖南衡陽·校聯考二模）已知單項式與是同類項，則 ．
【答案】3
【分析】根據同類項的定義（所含字母相同，相同字母的指數相同），求出m，n的值，再代入代數式計算即可．
【解析】解：∵單項式與是同類項，
∴2m=4，n+2=-2m+7，
解得：m=2，n=1，
則m+n=2+1=3．
故答案是：3．
【點評】本題考查同類項的定義，同類項定義中的兩個“相同”：相同字母的指數相同，是易混點．
【變式5-1】（2022·四川綿陽·校聯考一模）若多項式是關于x，y的三次多項式，則 ．
【答案】0或8
【分析】直接利用多項式的次數確定方法得出答案．
【解析】解：多項式是關于，的三次多項式，
，，
，，
或，
或，
或8．
故答案為：0或8．
【點評】本題主要考查了多項式，正確掌握多項式的次數確定方法是解題關鍵．
【變式5-2】若的整數部分是，的小數部分是，求的值．
【答案】
【分析】先根據得出，再根據，得出，再代入進行計算即可得到答案．
【解析】解：，
，
，
的整數部分是，
，
，
，
，
的小數部分是，
，
．
【點評】本題考查了無理數的估算，求代數式的值，根據題意計算得出的值是解此題的關鍵．
【變式5-3】（2023·四川成都·一模）若，其中a，b均為整數，則 ．
【答案】0，2，4
【分析】先根據絕對值和算術平方根的非負性分三種情況進行討論得出a，b的值，再代入進行計算即可求解
【解析】解：∵，其中a，b均為整數，
又∵，
①當，時，
∴，
∴
②當，時，
∴或，
∴或
③當，時，
∴或，
∴或
故答案為：4或2或0
【點評】本題考查了絕對值和算術平方根的非負性，得出a、b可能的取值是解決此題的關鍵，注意分類討論的數學思想．
題型06 整式化簡-利用“無關”求值
【例6】若的展開式中不含和項，求：
(1) 的值．
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原式利用多項式乘以多項式法則計算得到結果，由結果不含和項，列方程求出與的值即可，
（2）把與的值代入求值．
【解析】（1）
∵原式展開式中不含項和項，
∴
解得．
（2）
當時，
原式
【點評】本題考查了多項式乘以多項式，多項式的項的定義，能得出關于的方程是解此題的關鍵．
【變式6-1】已知多項式M=x2+5x-a，N=-x+2，P=x3+3x2+5，且M·N+P的值與x的取值無關，求字母a的值．
【答案】-10
【分析】先用x，a表示出M·N+P的值，然后根據“且M·N+P的值與x的取值無關”來確定a的取值．
【解析】M N+P=（x2+5x-a）（-x+2）+（x3+3x2+5），
=-x3+2x2-5x2+10x+ax-2a+x3+3x2+5，
=（10+a）x-2a+5，
∵代數式的值與x的取值無關，
∴10+a=0，即a=-10．
【點評】本題考查了多項式的乘法，合并同類項法則，“值與的取值無關，就是x的系數等于0”，把握住題目的關鍵語是解題的關鍵．
【變式6-2】有這樣一道題：計算的值，其中，．甲同學把“”錯抄成了“”，他的計算結果也是正確的，你知道這是怎么回事嗎？
【答案】見解析．
【分析】原式去括號合并得到最簡結果，即可作出判斷．
【解析】解：
，
結果與x的取值無關，故甲同學把“”錯抄成了“”，但他計算的結果也是正確的．
【點評】本題考查了整式的加減-化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．
題型07 整式化簡-配方法
【例7】已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，求2a2＋4b－3的值．
【答案】7．
【解析】
解：因為a2+b2+2a-4b+5=0，
∴（a2+2a+1）+（b2-4b+4）=0,即（a+1）2+（b-2）2=0，
∴a+1=0且b-2=0，
∴a=-1且b=2，
∴原式=2×（-1）2+4×2-3=7．
【變式7-1】已知，求的值．
【答案】9
【分析】利用配方法將變為，根據非負數的性質得到，最后求出答案．
【解析】解：∵
∴，
∴
∴，
∴，
∴．
【點評】本題考查了配方法的應用以及代數式求值，關鍵在于將已知方程的左側進行正確的配方．
題型08 整式化簡-平方法
【例8】（2023·云南昆明·云南師范大學實驗中學校考模擬預測）已知x+=6，則x2+=（　　）
A．38 B．36 C．34 D．32
【答案】C
【分析】把x+=6兩邊平方，利用完全平方公式化簡，即可求出所求．
【解析】解：把x+=6兩邊平方得：（x+）2=x2++2=36，
則x2+=34，
故選C．
【點評】本題考查了分式的混合運算以及完全平方公式，熟練掌握運算法則及公式是解本題的關鍵．
【變式8-1】已知且，則當時，的值等于 ．
【答案】
【分析】利用分式的加減運算法則與完全平方公式把原式化為：，再整體代入求值，再利用平方根的含義可得答案.
【解析】解：因為，，
所以
，
又因為，所以，
所以，
故答案為：．
【點評】本題考查的是由條件式求解分式的值，掌握變形的方法是解題的關鍵.
題型09 整式化簡-特殊值法
【例9】若，則的值為 ．
【答案】1
【分析】把代入已知計算得到；把代入已知計算得到；再利用平方差公式即可求解．
【解析】解：由，
若令，則；
若令，則，
所以．
故答案為：1．
【點評】本題考查了代數式求值，求代數式的值可以直接代入、計算．如果給出的代數式可以化簡，要先化簡再求值．
【變式9-1】已知實數，滿足，那么的值為（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】把所求分式通分，再把已知條件代入求解．
【解析】方法一（平方法）：解：∵，∴，∴．故選：C．
方法二（特殊值法）：解：∵，所以令a=1，b=1，帶入代數式中得原式=
．故選：C．
【點評】本題考查了分式的化簡求值， 妥題的關鍵是利用a b=1，把a b=1代入通分的式子就可得到，分子分母相等的一個分式，所以可求出答案是1．
題型10 整式化簡-設參法
【例10】（2023·廣東湛江·校考一模）已知,則的值為( )
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】試題解析：設=k，則a=2k，b=3k，c=4k．
所以=，
故選B．
【變式10-1】（2023·上海·一模）已知，那么代數式的值是 ．
【答案】/
【分析】已知，則設，，把和的值代入代數式化簡即可．
【解析】解：∵，
設，，
∴
故答案為：．
【點評】本題考查了比例的性質，根據已知設出，是解題的關鍵．
題型11 整式化簡-利用根與系數關系求值
【例11】（2023·江西九江·校考一模）已知，是一元二次方程的兩個實數根，則的值為 ．
【答案】
【分析】根據根與系數的關系得到，，然后利用整體代入的方法計算．
【解析】解：根據題意得，，
所以．
故答案為：．
【點評】本題考查了根與系數的關系：若，是一元二次方程的兩根，則．
【變式11-1】（2023·河北衡水·三模）已知，是關于的方程的兩實數根，且，，則的值為 ，的值是 ．
【答案】 2 /
【分析】利用一元二次方程根與系數的關系，即可求解．
【解析】解：∵，是關于的方程的兩實數根，
∴，，
∵，，
∴，
即，
∴．
故答案為：2；
【點評】本題主要考查了一元二次方程的根與系數的關系，熟練掌握若，是一元二次方程的兩個實數根，則，是解題的關鍵．
【變式11-2】（2023·云南臨滄·三模）已知一元二次方程的兩根分別為a，b，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據一元二次方程根與系數的關系可得，然后對變形后整體代入計算即可解答．
【解析】解：∵一元二次方程的兩根分別為a，b，
，
∴．
故選：D．
【點評】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，如果方程的兩個實數根是，那么，．
題型12 整式化簡-消元法求值
【例12】如果，則= ( )
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】由題意可知，，因此，故選C
【變式12-1】若，，則 ．
【答案】2
【分析】結合題意，通過求解二元一次方程組，分別的a、b和c的關系式；再通過分式性質運算，即可得到答案．
【解析】∵，∴∴
故答案為：2．
【點評】本題考查了二元一次方程組、分式運算、代數式的知識；解題的關鍵是熟練掌握二元一次方程組、合并同類項、分式、代數式的性質，從而完成求解．
題型13 整式化簡-倒數法求值
【例13】若的值為，則的值為(　　)．
A．1 B．－1 C．- D．
【答案】A
【解析】解:設 ，∵ 的值為 , ∴,計算得出y=1, ∴.所以A選項是正確的.
點評：本題主要考查了計算分式的值，設是解題關鍵，注意整體代入思想的運用.
【變式13-1】已知，求的值．
【答案】
【分析】由可得，再取倒數可得：，即，再求解原代數式的倒數從而可得答案.
【解析】解：由知，
所以，即．
所以．
故的值為．
【點評】本題考查的是利用倒數法求解分式的值，掌握是解題的關鍵.
考點五 因式分解
題型01 判斷因式分解
【例1】（2023·山東·中考真題）下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據因式分解的概念可進行排除選項．
【解析】解：A、，屬于整式的乘法，故不符合題意；
B、，不符合幾個整式乘積的形式，不是因式分解；故不符合題意；
C、，屬于因式分解，故符合題意；
D、因為，所以因式分解錯誤，故不符合題意；
故選C．
【點評】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解的概念是解題的關鍵．
【變式1-1】（2022·湖南永州·中考真題）下列因式分解正確的是（　　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據因式分解的方法，提公因式法及公式法依次進行計算判斷即可．
【解析】解：A、ax+ay=a(x+y)，故選項計算錯誤；
B、3a+3b=3(a+b)，選項計算正確；
C、，選項計算錯誤；
D、不能進行因式分解，選項計算錯誤；
故選：B．
【點評】題目主要考查因式分解的判斷及應用提公因式法與公式法進行因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題關鍵．
題型02 選用合適的方法因式分解
【例2】（2023·河北·中考真題）若k為任意整數，則的值總能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【答案】B
【分析】用平方差公式進行因式分解，得到乘積的形式，然后直接可以找到能被整除的數或式．
【解析】解：
，
能被3整除，
∴的值總能被3整除，
故選：B．
【點評】本題考查了平方差公式的應用，平方差公式為通過因式分解，可以把多項式分解成若干個整式乘積的形式．
【變式2-1】（2023·黑龍江綏化·中考真題）因式分解： ．
【答案】
【分析】先分組，然后根據提公因式法，因式分解即可求解．
【解析】解：，
故答案為：．
【點評】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．
【變式2-2】（2023·湖北黃石·中考真題）因式分解： ．
【答案】
【分析】將整式變形含有公因式，提取即可．
【解析】解：
故答案為：．
【點評】本題考查了整式中的分解因式，提取公因式是常用的分解因式的方法，解題的關鍵是找到公因式．
【變式2-3】（2022·四川內江·中考真題）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝ ．
【答案】（a2+1）（a+2）（a﹣2）
【分析】首先利用十字相乘法分解為 ，然后利用平方差公式進一步因式分解即可．
【解析】解：a4﹣3a2﹣4
＝（a2+1）（a2﹣4）
＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），
故答案為：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．
【點評】本題考查利用因式分解，解決問題的關鍵是掌握解題步驟：一提二套三檢查．
【變式2-4】（2023·安徽蕪湖·蕪湖市第二十九中學校考二模）因式分解： ．
【答案】
【分析】根據多項式特點，進行分組，兩次運用公式法分解因式即可.
【解析】解：
故答案為：
【點評】本題無法直接提公因式或運用乘法公式進行分解因式，結合式子特點，對多項式分組，兩次運用公式法進行分解，要注意符號問題，正確分組是解題關鍵.
題型03 與因式分解有關的探究題
【例3】（2023·河北石家莊·二模）嘉淇上小學時得知“一個數的各個數字之和能被3整除，那么這個數就能被3整除”，她后來做了如下分析：
嘉淇的分析：∵為整數，5為整數，∴能被3整除，能被3整除，∴258能被3整除．
(1)通過計算驗證能否被3整除；
(2)用嘉淇的方法證明能被3整除；
(3)設是一個四位數．，，，分別為對應數位上的數字，請論證“若能被3整除，則這個數可以被3整除”．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)見解析
【分析】（1）根據整數的除法計算即可；
（2）仿照例題因式分解后得到3與某數相乘即可得到結論；
（3）仿照例題因式分解后得到3與某數相乘即可得到結論．
【解析】（1）解：
∴258能被3整除；
（2）
∵為整數，6為整數，
∴能被3整除，能被3整除，
∴能被3整除．
（3）證明：
，
∵能被3整除，
∴若“”能被3整除，則能被3整除；
【點評】此題考查了因式分解的應用，正確掌握因式分解的方法及例題中的解題方法是解題的關鍵．
【變式3-1】（2023·河北衡水·二模）發現兩個相鄰奇數中，較大奇數與較小奇數的平方差一定是的倍數．
驗證計算的值，并求這個值是的幾倍．
探究設“發現”中較小的奇數為請論證“發現”中的結論正確．
【答案】；見解析
【分析】求出即可得出結果．
設“發現”中較小的奇數為則最大的數為為正整數，由平方差公式得出即可得出．
【解析】解：
故的值是的倍．
探究設“發現”中較小的奇數為則最大的數為為正整數．
且為正整數，
∴“發現”中的結論正確．
【點評】本題主要考查了因式分解的應用以及平方差公式，熟練掌握平方差公式是解此題的關鍵．
【變式3-2】（2023·河北張家口·校考模擬預測）問題情景：將下列完全平方式進行因式分解，將結果直接寫在橫線上．
；；__________；
探究發現：觀察以上多項式，發現：；；；
歸納猜想：若多項式是完全平方式，則a，b，c之間存在的數量關系為；
驗證結論：嘉琪驗證歸納猜想中的結論的過程如下，請補全嘉琪的驗證過程；
____________________
∵是完全平方式，
∴__________，即．
解決問題：
①若多項式是一個完全平方式，求n的值；
②若多項式加上一個含字母y的單項式就能變形為一個完全平方式，請直接寫出所有滿足條件的單項式．
【答案】問題情境：；
驗證結論：；（或）；（或）
解決問題：①；②，或
【分析】問題情境：根據完全平方公式分解因式即可；
驗證結論：利用配方法進行驗證即可；
解決問題：①利用題目中得出的結論列出關于n的方程，解方程即可；
②分兩種情況進行討論，寫出所有滿足條件的單項式即可．
【解析】解：問題情境：，
故答案為：．
驗證結論：
∵是完全平方式，
∴，即．
故答案為：；（或）；（或）；
解決問題：①∵多項式是一個完全平方式，
∴，
解得：；
②當添加的含字母y的單項式為中間項時，
∵，
∴此時需要添加的單項式為或；
當添加的含字母y的單項式為平方項時，
∵，
∴此時需要添加的單項式為；
綜上分析可知，需要添加的含y的單項式為，或．
【點評】本題主要考查了應用完全平方公式分解因式，解題的關鍵是熟練掌握完全平方公式，．
【變式3-3】（2023·河北石家莊·三模）【提出問題】在數學課上，老師提出一個問題：“任意奇數的平方減去1后都一定是8的倍數嗎？”
（1）【解決問題】計算：______；______；______；以上計算結果均______（填“是”或“不是”）8的倍數；
（2）設奇數為（n為整數），請你先試著回答老師提出的問題，再“論證”你的結論；
（3）【拓展延伸】任意奇數的平方加上1后都一定是______的倍數．
【答案】（1）8，24，48，是；（2）見解析；（3）2
【分析】（1）計算出結果，即可得出結論；
（2）設這個奇數為，計算的結果即可；
（3）設這個奇數為，計算的結果即可．
【解析】解：（1）；；；
；；；
所以，以上計算結果均是8的倍數；
故答案為：8，24，48，是；
（2）設這個奇數為，
則有，
又因為為兩個連續整數，
故其中必有一個是2的倍數，
所以，能被8整除；
（3）設這個奇數為，
則有，
所以，任意奇數的平方加上1后都一定是2的倍數．
故答案為：2．
【點評】本題考查了完全平方公式，因式分解，掌握完全平方公式的結構特征是解題的關鍵．
HYPERLINK \l "_Toc150724362" 題型12 通過對完全平方公式變形求值 16
HYPERLINK \l "_Toc150724363" 題型13 乘法公式的幾何驗證 17
HYPERLINK \l "_Toc150724364" 考點四 整式化簡求值（高頻考點） 19
HYPERLINK \l "_Toc150724365" 題型01 整式化簡-直接代入法 20
HYPERLINK \l "_Toc150724366" 題型02 整式化簡-間接代入法 20
HYPERLINK \l "_Toc150724367" 題型03 整式化簡-整體代入法 20
HYPERLINK \l "_Toc150724368" 題型04 整式化簡-賦值法 20
HYPERLINK \l "_Toc150724369" 題型05 整式化簡-隱含條件求值 21
HYPERLINK \l "_Toc150724370" 題型06 整式化簡-利用“無關”求值 21
HYPERLINK \l "_Toc150724371" 題型07 整式化簡-配方法 21
HYPERLINK \l "_Toc150724372" 題型08 整式化簡-平方法 21
HYPERLINK \l "_Toc150724373" 題型09 整式化簡-特殊值法 21
HYPERLINK \l "_Toc150724374" 題型10 整式化簡-設參法 22
HYPERLINK \l "_Toc150724375" 題型11 整式化簡-利用根與系數關系求值 22
HYPERLINK \l "_Toc150724376" 題型12 整式化簡-消元法求值 22
HYPERLINK \l "_Toc150724377" 題型13 整式化簡-倒數法求值 22
HYPERLINK \l "_Toc150724378" 考點五 因式分解 22
HYPERLINK \l "_Toc150724379" 題型01 判斷因式分解 23
HYPERLINK \l "_Toc150724380" 題型02 選用合適的方法因式分解 24
HYPERLINK \l "_Toc150724381" 題型03 與因式分解有關的探究題 24
1. 代數式中不含有=、<、>、≠等.
2. 單獨的一個數或一個字母也是代數式.
3. 列代數式時注意事項：
①仔細辨別詞義． 列代數式時，要先認真審題，抓住關鍵詞語，仔細辨析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區分．
②分清數量關系．要正確列代數式，只有分清數量之間的關系．
③注意運算順序．列代數式時，一般應在語言敘述的數量關系中，先讀的先寫，不同級運算的語言，且又要體現出先低級運算，要把代數式中代表低級運算的這部分用括號括起來．
④規范書寫格式．列代數時要按要求規范地書寫．像數字與字母、字母與字母相乘可省略乘號不寫，數與數相乘必須寫乘號；除法可寫成分數形式，帶分數與字母相乘需把代分數化為假分數，書寫單位名稱什么時不加括號，什么時要加括號．注意代數式括號的適當運用．
⑤正確進行代換．列代數式時，有時需將題中的字母代入公式，這就要求正確進行代換．
1.由定義可知，單項式中只含有乘法運算.
2.一個單項式中只含有字母因數時，它的系數是1或者-1，不能認為是0. 一個單項式是一個常數時，它的系數就是它本身.確定一個單項式的系數，要注意包含在它前面的符號.例如：-（3x）的系數是-3.
3.圓周率π是常數，當它出現在單項式中時，應將其作為系數的一部分，而不能當成字母.
4.單項式的指數只和字母的指數有關，與系數的指數無關.如單項式－的次數是2＋3＋4=9而不是14.
5.由定義可知，多項式中可以含有:乘法、加法、減法運算.
6. 多項式有統一的次數，但是沒有統一的系數，多項式中的每一項有自己的系數.
7. 多項式通常以它的次數和項數來命名，稱幾次（最高次項的次數）幾項（多項式項數）式.
通過觀察與歸納，分別找出單項式的系數和次數的規律是解決此類問題的關鍵．
1.所有常數項都是同類項.
2.“同類項口訣”：①兩同兩無關，識別同類項: ②一相加二不變，合并同類項.
“兩同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指數也相同，這兩點也是判斷同類項的標準，缺一不可.
“兩無關”：一是與系數大小無關；二是與所含字母的順序無關.
“一相加”：系數相加作為結果的系數.“二不變”：字母連同字母指數不變.
3.合并同類項一定要完全、徹底，不能有漏項，而且合并同類項結果可能是單項式，也可能是多項式.
4.去括號只是改變式子形式，但不改變式子的值，它屬于多項式的恒等變形．
5.去括號和添括號是兩種相反的變形，因此可以相互檢驗正誤.
1．冪的乘方法則的條件是“冪”的乘方，結論是“底數不變，指數相乘”．這里的“底數不變”是指“冪”的底數“a”不變．例如：(a3)2=a6，其中，“冪”的底數是“a”，而不是“a2”，指數相乘是指“3×2”．
2．同底數冪的乘法和冪的乘方在應用時，不要發生混淆．
3．式子(a+b)2不可以寫成a2 +b2，因為括號內的a與b是“加”的關系，不是“乘”的關系．
4．應用積的乘方時，特別注意觀察底數含有幾個因式都分別乘方；要特別注意系數及系數符號，對于系數是負數的要多加注意.
整式的加減運算的實質就是合并同類項.主要的理論依據是：去括號法則，合并同類項法則，以及分配率.因此關于整式加減的一般步驟為：①列出代數式；②去括號；③找出同類項；④合并同類項.需要注意的是整式加減的最后結果中：①不能含有同類項，要合并到不能再合并為止；
②不能出現帶分數，帶分數要化成假分數.
涉及整式加減運算的常見題型還有代數式求值，這類題目的一般步驟：①代數式化簡；②代入計算；③對于某些特殊的代數式，可采用“整體代入”進行計算.做題時特別要注意的是在整式的加減運算過程中，不多項，不漏項，交換項的位置時，要注意連同符號一起交換.
冪的運算首先要熟練掌握冪的四條基本性質，要做到不但會直接套用公式，還要能逆用. 其次要注意要求的代數式與已知條件的聯系，沒明顯關系時常常逆用公式將其分解. 第三冪的底數是常數且指數中有常數也有未知數時，通常把常數的整數指數冪化成常數作為其它冪的系數，然后進行其它運算（例：已知22x+3－22x+1=48，求x的值）. 第四底數不同而指數可變相同的，可通過比較底數確定其大小關系，還可通過積的乘方的逆運算相乘.
當我們遇到多項式與多項式相乘或者是單項式與單項式相乘時，字母前的系數可以先進行相乘，然后再把相同的字母進行相乘，這樣分類不容易出錯，也能提高大家的計算效率.
1.應用完全平方公式計算時，應注意以下幾個問題：
①公式中的a，b可是單項式，也可以是多項式；
②對形如兩數和（或差）的平方的計算，都可以用這個公式；
③對于三項的可以把其中的兩項看做一項后，也可以用完全平方公式．
2.應用平方差公式計算時，應注意以下幾個問題：
①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數；
②右邊是相同項的平方減去相反項的平方；
③公式中的a和b可以是具體數，也可以是單項式或多項式；
④對形如兩數和與這兩數差相乘的算式，都可以運用這個公式計算，且會比用多項式乘以多項式法則簡便．
乘法公式求值類的題目，關鍵在于恒等變形，反復利用平方差公式和完全平方公式，結合公式中各項的情況，做出相應的變形.
思路：利用求面積的兩種方法（公式法與補割法），列式（公式法求面積=補割法求面積），化簡求解.
1.因式分解分解對象是多項式，分解結果必須是積的形式，且積的因式必須是整式，這三個要素缺一不可；
2.因式分解必須是恒等變形；
3.因式分解必須分解到每個因式都不能分解為止.
4.因式分解與整式乘法是互逆變形，因式分解是把和差化為積的形式，而整式乘法是把積化為和差的形式．
因式分解的關鍵在于熟練掌握因式分解的兩種基本方法：提取公因式法和公式法．因式分解的一般步驟：
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