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專題2.5 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式-重難點題型精講
1．一元二次不等式
一般地，我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0.
2．二次函數(shù)的零點
一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點．
溫馨提示：(1)二次函數(shù)的零點不是點，是二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)．
(2)一元二次方程的根是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點．
3．二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系
溫馨提示：(1)對于一元二次不等式的二次項系數(shù)為正且存在兩個根的情況下，其解集的常用口訣是：大于取兩邊，小于取中間．
(2)對于二次項系數(shù)是負(fù)數(shù)(即a<0)的不等式，可以先把二次項系數(shù)化為正數(shù)，再對照上述情況求解．
【題型1 一元二次不等式的解法】
【方法點撥】
解一元二次不等式的一般步驟
(1)通過對不等式變形，使二次項系數(shù)大于零；
(2)計算對應(yīng)方程的判別式；
(3)求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實根；
(4)根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集．
【例1】（2022春 阿拉善左旗校級期末）不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集為（　　）
A． B．
C． D．
【變式1-1】（2022春 涼州區(qū)期末）不等式3x2﹣x﹣2≥0的解集是（　　）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2022春 眉山期末）不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集為（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） B．（﹣4，1）
C．（﹣1，4） D．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）
【變式1-3】（2022春 雨城區(qū)校級期中）不等式﹣2x2+x+15≤0的解集為（　　）
A． B．{x|x或x≥3}
C． D．{x|x≤﹣3或x}
【題型2 含參的一元二次不等式的解法】
【方法點撥】
解含參數(shù)的一元二次不等式時：
(1)若二次項系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項系數(shù)大于0、等于0與小于0進(jìn)行討論；
(2)若求對應(yīng)一元二次方程的根需用公式，則應(yīng)對判別式Δ進(jìn)行討論；
(3)若求出的根中含有參數(shù)，則應(yīng)對兩根的大小進(jìn)行討論．
【例2】（2022秋 興平市校級月考）若0＜a＜1，解不等式（a﹣x）（x）＞0．
【變式2-1】（2022春 南充期末）當(dāng)a≤0時，解關(guān)于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0．
【變式2-2】（2021秋 和平區(qū)校級月考）解關(guān)于x的不等式x2﹣（a）x+1＜0．
【變式2-3】（2021秋 高州市期末）解關(guān)于x的不等式：6x2+ax﹣a2＜0．
【題型3 三個“二次”關(guān)系的應(yīng)用】
【方法點撥】
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端點值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．
(2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象在x軸上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值構(gòu)成的；圖象在x軸下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值構(gòu)成的，三者之間相互依存、相互轉(zhuǎn)化．
【例3】（2022秋 哈爾濱月考）已知不等式ax2+bx﹣2＜0的解集為{x|﹣1＜x＜2}，則不等式ax2+（b﹣1）x﹣3＞0的解集為（　　）
A．R B． C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|x＜﹣1或x＞3}
【變式3-1】（2022春 赤峰期末）二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是（2，3），則的值為（　　）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2022春 讓胡路區(qū)校級期末）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是，則ax+b＞0的解集為（　　）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2021秋 三門峽期末）二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的兩根為2，﹣3，那么關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為（　　）
A．{x|x＞3或x＜﹣2} B．{x|x＞2或x＜﹣3} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|﹣3＜x＜2}
【題型4 解簡單的分式不等式】
【方法點撥】
(1)對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．
(2)對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．
【例4】（2022春 臨夏縣校級期中）求不等式的解集：
（1）﹣x2+4x+5＜0；
（2）2x2﹣5x+2≤0；
（3）；
（4）．
【變式4-1】（2021秋 李滄區(qū)校級月考）解下列不等式并寫出解集．
（1）﹣2x2+3x+9＞0；
（2）1．
【變式4-2】（2021秋 海淀區(qū)校級期末）求下列關(guān)于x的不等式的解集：
（1）；
（2）2a2x2﹣3ax﹣2＞0．
【變式4-3】（2022春 廣安區(qū)校級月考）解不等式：
（1）4x2﹣15x+9＞0；
（2）．
【題型5 一元二次不等式恒成立、存在性問題】
【方法點撥】
不等式對任意實數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R，對于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集為R的條件為
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集為R的條件為
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為 的條件為
【例5】（2021 西青區(qū)模擬）已知關(guān)于x的不等式kx2﹣6kx+k+8≥0對任意x∈R恒成立，則k的取值范圍是（　　）
A．0≤k≤1 B．0＜k≤1 C．k＜0或k＞1 D．k≤0或k≥1
【變式5-1】（2021秋 南陽期末）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0的解集為 ，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） B．（﹣2，2）
C．（﹣2，2] D．（﹣∞，2）
【變式5-2】（2022春 雙流區(qū)校級期末）關(guān)于x的不等式x2+ax﹣2＜0在區(qū)間[1，4]上有解，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【變式5-3】（2022春 石泉縣校級期末）對任意實數(shù)x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，則a的取值范圍是（　　）
A．（﹣2，2] B．[﹣2，2]
C．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞）
【題型6 一元二次不等式的實際應(yīng)用】
【方法點撥】
一元二次不等式應(yīng)用題常以二次函數(shù)為模型，解題時要弄清題意，準(zhǔn)確找出其中的不等關(guān)系，再利用一元二次不等式求解，確定答案時應(yīng)注意變量具有的“實際含義”．
【例6】（2021秋 豐臺區(qū)期中）汽車在行駛過程中，由于慣性作用，剎車后還要繼續(xù)滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析事故的一個主要因素．在一個限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對同時剎車，但還是相撞了．事后現(xiàn)場測得甲車的剎車距離略超過12m，乙車的剎車距離略超10m．已知甲、乙兩種車型的剎車距離s（m）與車速x（km/h）之間分別有如下關(guān)系：s甲＝0.1x+0.01x2，s乙＝0.05x+0.005x2．
則交通事故的主要責(zé)任方是　 　（填“甲”或“乙”）．
【變式6-1】（2021秋 峨山縣校級期中）某產(chǎn)品的總成本y（萬元）與產(chǎn)量x（臺）之間的函數(shù)關(guān)系是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，x∈N+），若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本時（銷售收入不小于總成本）的最低產(chǎn)量是　 　臺．
【變式6-2】某輛汽車以xkm/h的速度在高速公路上勻速行駛（考慮到高速公路行車安全，要求60≤x≤120）時，每小時的油耗（所需要的汽油量）為，其中k為常數(shù)．若汽車以120km/h的速度行駛時，每小時的油耗為11.5L，則k＝　 　，欲使每小時的油耗不超過9L，則速度x的取值范圍為　 　．
【變式6-3】某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元的價格收購某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元（又稱征稅率為10個百分點）進(jìn)行納稅，計劃可收購a萬擔(dān)，政府為了鼓勵收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅降低x（x＞0）個百分點，預(yù)測收購量可增加2x個百分點．
（1）寫出稅收y（萬元）與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）要使此項稅收在稅率調(diào)整后不少于原計劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍．專題2.5 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式-重難點題型精講
1．一元二次不等式
一般地，我們把只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0.
2．二次函數(shù)的零點
一般地，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點．
溫馨提示：(1)二次函數(shù)的零點不是點，是二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)．
(2)一元二次方程的根是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點．
3．二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系
溫馨提示：(1)對于一元二次不等式的二次項系數(shù)為正且存在兩個根的情況下，其解集的常用口訣是：大于取兩邊，小于取中間．
(2)對于二次項系數(shù)是負(fù)數(shù)(即a<0)的不等式，可以先把二次項系數(shù)化為正數(shù)，再對照上述情況求解．
【題型1 一元二次不等式的解法】
【方法點撥】
解一元二次不等式的一般步驟
(1)通過對不等式變形，使二次項系數(shù)大于零；
(2)計算對應(yīng)方程的判別式；
(3)求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實根；
(4)根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集．
【例1】（2022春 阿拉善左旗校級期末）不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集為（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)不等式的解法直接求解．
【解答過程】解：方程（x+2）（2x﹣1）＝0的根，x＝﹣2或x，函數(shù)y＝（x+2）（2x﹣1）的開口方向向上，
∴不等式（x+2）（2x﹣1）＜0的解集為，
故選：B．
【變式1-1】（2022春 涼州區(qū)期末）不等式3x2﹣x﹣2≥0的解集是（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)題意，由一元二次不等式的解法分析得答案．
【解答過程】解：根據(jù)題意，3x2﹣x﹣2≥0即（3x+2）（x﹣1）≥0，
解可得：x≥1或x，即不等式的解集為{x|x或x≥1}，
故選：C．
【變式1-2】（2022春 眉山期末）不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集為（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞） B．（﹣4，1）
C．（﹣1，4） D．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）
【解題思路】解方程x2﹣3x﹣4＝0得x1＝﹣1，x2＝4，由此能求出不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集．
【解答過程】解：不等式x2﹣3x﹣4＜0，
解方程x2﹣3x﹣4＝0得x1＝﹣1，x2＝4，
∴不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集為（﹣1，4）．
故選：C．
【變式1-3】（2022春 雨城區(qū)校級期中）不等式﹣2x2+x+15≤0的解集為（　　）
A． B．{x|x或x≥3}
C． D．{x|x≤﹣3或x}
【解題思路】利用一元二次不等式的性質(zhì)、解法直接求解．
【解答過程】解：∵﹣2x2+x+15≤0，∴2x2﹣x﹣15≥0，
Δ＝1+120＝121，
解方程2x2﹣x﹣15＝0，得，x2＝3，
∴不等式﹣2x2+x+15≤0的解集為{x|x或x≥3}．
故選：B．
【題型2 含參的一元二次不等式的解法】
【方法點撥】
解含參數(shù)的一元二次不等式時：
(1)若二次項系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項系數(shù)大于0、等于0與小于0進(jìn)行討論；
(2)若求對應(yīng)一元二次方程的根需用公式，則應(yīng)對判別式Δ進(jìn)行討論；
(3)若求出的根中含有參數(shù)，則應(yīng)對兩根的大小進(jìn)行討論．
【例2】（2022秋 興平市校級月考）若0＜a＜1，解不等式（a﹣x）（x）＞0．
【解題思路】根據(jù)題意，a，轉(zhuǎn)化不等式，求解即可．
【解答過程】解：∵0＜a＜1，∴a，
原不等式可化為（x﹣a）（x）＜0，
解得a＜x．
故不等式的解集為{x|a＜x}．
【變式2-1】（2022春 南充期末）當(dāng)a≤0時，解關(guān)于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0．
【解題思路】對于二次項含參的一元二次不等式，需要對二次項系數(shù)a是否為零進(jìn)行討論，進(jìn)而求解即可．
【解答過程】解：由不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2≥0化簡可得（ax+1）（x﹣2）≥0．
由于二次項系數(shù)含參，故進(jìn)行如下討論：
①當(dāng)a＝0時，原不等式化簡為：x﹣2≥0，解得x≥2．
②當(dāng)a＜0時，不等式為：（ax+1）（x﹣2）≥0．
解得方程（ax+1）（x﹣2）＝0的兩根分別為為，x2＝2．
則：當(dāng)時，解為：x＝2．
當(dāng)時，，解為；．
當(dāng)時，，解為：．
綜上所述，當(dāng)a＝0時，解集為{x|x≥2}．
當(dāng)時，解集為{x|x＝2}．
當(dāng)時，解集為：．
當(dāng)時，解集為：．
【變式2-2】（2021秋 和平區(qū)校級月考）解關(guān)于x的不等式x2﹣（a）x+1＜0．
【解題思路】先因式分解，再分類討論，即可得到不等式的解．
【解答過程】解：∵x2﹣（a）x+1＜0．
∴（x﹣a）（x）＜0，
當(dāng)a時，即a＞1或﹣1＜a＜0時，解得x＜a，
當(dāng)a時，即a＜﹣1或0＜a＜1時，解得a＜x，
當(dāng)a時，即a＝±1時，不等式的解集為空集．
【變式2-3】（2021秋 高州市期末）解關(guān)于x的不等式：6x2+ax﹣a2＜0．
【解題思路】對于含參數(shù)的不等式，先不用考慮參數(shù)，看是什么不等式，按照解這類不等式的方法去解，不等式6x2+ax﹣a2＜0是一元二次不等式，先因式分解，在討論兩根的大小，因含參數(shù)，再按參數(shù)大小討論，得出結(jié)果．
【解答過程】解：原不等式化為；（2x+a）（3x﹣a）＜0
當(dāng)a＞0時，∵，∴
當(dāng)a＜0時，∵，∴
當(dāng)a＝0時，無解．
綜上所述，
當(dāng)a＞0時，原不等式的解集為{x|}
當(dāng)a＝0時，原不等式的解集為
當(dāng)a＜0時，原不等式的解集為（x|}.
【題型3 三個“二次”關(guān)系的應(yīng)用】
【方法點撥】
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端點值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)．
(2)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象在x軸上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值構(gòu)成的；圖象在x軸下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值構(gòu)成的，三者之間相互依存、相互轉(zhuǎn)化．
【例3】（2022秋 哈爾濱月考）已知不等式ax2+bx﹣2＜0的解集為{x|﹣1＜x＜2}，則不等式ax2+（b﹣1）x﹣3＞0的解集為（　　）
A．R B． C．{x|﹣1＜x＜3} D．{x|x＜﹣1或x＞3}
【解題思路】由題意得x＝﹣1，x＝2是方程ax2+bx﹣2＝0的兩根，結(jié)合方程根與系數(shù)關(guān)系可求a，b，進(jìn)而可求不等式．
【解答過程】解：因為不等式ax2+bx﹣2＜0的解集為{x|﹣1＜x＜2}，
所以x＝﹣1，x＝2是方程ax2+bx﹣2＝0的兩根，
故，
解得a＝1，b＝﹣1，
則不等式ax2+（b﹣1）x﹣3＝x2﹣2x﹣3＞0的解集為{x|x＞3或x＜﹣1}，
故選：D．
【變式3-1】（2022春 赤峰期末）二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是（2，3），則的值為（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】由一元二次不等式的性質(zhì)得2和3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個實數(shù)根，利用韋達(dá)定理求出b＝﹣5a，c＝6a，由此能求出的值．
【解答過程】解：∵不等式ax2+bx+c＜0的解集是（2，3），
∴2和3是一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個實數(shù)根，
∴，解得b＝﹣5a，c＝6a，
∴．
故選：B．
【變式3-2】（2022春 讓胡路區(qū)校級期末）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是，則ax+b＞0的解集為（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】利用根于系數(shù)的關(guān)系先求出a，b，再解不等式即可．
【解答過程】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是．則根據(jù)對應(yīng)方程的韋達(dá)定理得到：．
解得，
則解集為（﹣∞，）．
故選：A．
【變式3-3】（2021秋 三門峽期末）二次方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的兩根為2，﹣3，那么關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為（　　）
A．{x|x＞3或x＜﹣2} B．{x|x＞2或x＜﹣3} C．{x|﹣2＜x＜3} D．{x|﹣3＜x＜2}
【解題思路】設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c＝0（a＞0），根據(jù)二次函數(shù)與對應(yīng)的方程和不等式的關(guān)系，即可求出不等式的解集．
【解答過程】解：設(shè)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c＝0（a＞0），
因為二次函數(shù)對應(yīng)的方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的兩根為2，﹣3，
所以二次函數(shù)圖象開口向上，且與x軸交點坐標(biāo)為（﹣3，0）和（2，0），
所以關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|x＜﹣3或x＞2}．
故選：B．
【題型4 解簡單的分式不等式】
【方法點撥】
(1)對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．
(2)對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．
【例4】（2022春 臨夏縣校級期中）求不等式的解集：
（1）﹣x2+4x+5＜0；
（2）2x2﹣5x+2≤0；
（3）；
（4）．
【解題思路】（1）不等式化為x2﹣4x﹣5＞0，求出解集即可；
（2）不等式化為（2x﹣1）（x﹣2）≤0，再求解集；
（3）不等式化為，再求解集；
（4）不等式化為（x﹣1）（x+1）＜0，即可求出解集．
【解答過程】解：（1）由﹣x2+4x+5＜0，得x2﹣4x﹣5＞0，
解得x＜﹣1或x＞5，
所以不等式的解集為{x|x＜﹣1或x＞5}；
（2）由2x2﹣5x+2≤0，得（2x﹣1）（x﹣2）≤0，
解得，
所以不等式的解集為；
（3）由，可得，
解得x≤﹣1或x＞3，
所以不等式的解集為{x|x≤﹣1或x＞3}；
（4）由，可得，
等價于（x﹣1）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜1，
所以不等式的解集為{x|﹣1＜x＜1}．
【變式4-1】（2021秋 李滄區(qū)校級月考）解下列不等式并寫出解集．
（1）﹣2x2+3x+9＞0；
（2）1．
【解題思路】（1）利用一元二次不等式的解法即可求解；
（2）利用一元二次不等式的解法即可求解．
【解答過程】解：（1）因為﹣2x2+3x+9＞0，所以2x2﹣3x﹣9＜0，可得（2x+3）（x﹣3）＜0，
可得x＜3，
所以解集為{x|x＜3}．
（2）因為1，可得1≥0，
可得0，
所以（3﹣2x）（5+x）≥0，且5+x≠0，解得﹣5＜x，
所以解集為{x|﹣5＜x}．
【變式4-2】（2021秋 海淀區(qū)校級期末）求下列關(guān)于x的不等式的解集：
（1）；
（2）2a2x2﹣3ax﹣2＞0．
【解題思路】（1）將其轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，解之即可．
（2）分a＝0，a＞0和a＜0三種情況，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解之即可．
【解答過程】解：（1），∴0，
∴，∴x＞7或x≤2，
∴不等式的解集（﹣∞，2]∪（7，+∞）．
（2）①當(dāng)a＝0時，則﹣2＝0不成立，x∈ ，
②當(dāng)a≠0，即a2＞0時，
令2a2x2﹣3ax﹣2＝0，則x或x，
若a＞0時，，∴x或x，
若a＜0時，，∴x或x，
綜上，當(dāng)a＝0時，不等式的解集為 ，
若a＞0時，不等式的解集為{x|x或x}，
若a＜0時，不等式的解集為{x|x或x}．
【變式4-3】（2022春 廣安區(qū)校級月考）解不等式：
（1）4x2﹣15x+9＞0；
（2）．
【解題思路】（1）解方程4x2﹣15x+9＝0，得x1，x2＝3，由此能求出4x2﹣15x+9＞0的解集；
（2）推導(dǎo)出0，由此能求出的解集．
【解答過程】解：（1）4x2﹣15x+9＞0，
Δ＝（﹣15）2﹣4×4×9＝81，
解方程4x2﹣15x+9＝0，得x1，x2＝3，
∴4x2﹣15x+9＞0的解集為；
（2）∵，∴0，
∴0，
解得﹣4＜x＜﹣1．
∴的解集為（﹣4，﹣1）．
【題型5 一元二次不等式恒成立、存在性問題】
【方法點撥】
不等式對任意實數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R，對于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集為R的條件為
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集為R的條件為
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為 的條件為
【例5】（2021 西青區(qū)模擬）已知關(guān)于x的不等式kx2﹣6kx+k+8≥0對任意x∈R恒成立，則k的取值范圍是（　　）
A．0≤k≤1 B．0＜k≤1 C．k＜0或k＞1 D．k≤0或k≥1
【解題思路】對k進(jìn)行分類討論，當(dāng)k＝0時恒成立，k＜0時不等式不能恒成立，當(dāng)k＞0時，只需△≤0求得k的范圍，最后綜合得到答案．
【解答過程】解：當(dāng)k＝0時，不等式kx2﹣6kx+k+8≥0化為8≥0恒成立，
當(dāng)k＜0時，不等式kx2﹣6kx+k+8≥0不能恒成立，
當(dāng)k＞0時，要使不等式kx2﹣6kx+k+8≥0恒成立，
需Δ＝36k2﹣4（k2+8k）≤0，
解得0≤k≤1，
故選：A．
【變式5-1】（2021秋 南陽期末）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0的解集為 ，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） B．（﹣2，2）
C．（﹣2，2] D．（﹣∞，2）
【解題思路】由題意問題等價于（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，討論a的取值，從而求得實數(shù)a的取值范圍．
【解答過程】解：關(guān)于x的不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4≥0的解集為 ，
即 （a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立．
當(dāng)a﹣2＝0時，即a＝2時，不等式即﹣4＜0，顯然滿足條件．
當(dāng)a﹣2≠0時，應(yīng)滿足，解得﹣2＜a＜2．
綜上知，實數(shù)a的取值范圍是（﹣2，2]．
故選：C．
【變式5-2】（2022春 雙流區(qū)校級期末）關(guān)于x的不等式x2+ax﹣2＜0在區(qū)間[1，4]上有解，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【解題思路】關(guān)于x的不等式x2+ax﹣2＜0在區(qū)間[1，4]上有解，等價于a，x∈[1，4]，求出f（x）x在x∈[1，4]的最大值即可．
【解答過程】解：關(guān)于x的不等式x2+ax﹣2＜0在區(qū)間[1，4]上有解，
等價于a，x∈[1，4]；
設(shè)f（x）x，x∈[1，4]，
則函數(shù)f（x）在x∈[1，4]單調(diào)遞減，
且當(dāng)x＝1時，函數(shù)f（x）取得最大值f（1）＝1；
所以實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，1）．
故選：A．
【變式5-3】（2022春 石泉縣校級期末）對任意實數(shù)x，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，則a的取值范圍是（　　）
A．（﹣2，2] B．[﹣2，2]
C．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（2，+∞）
【解題思路】結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決，注意對二次項系數(shù)分類討論．
【解答過程】解：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0
當(dāng)a﹣2＝0，即a＝2時，﹣4＜0恒成立，合題意．
當(dāng)a﹣2≠0時，要使不等式恒成立，需a﹣2＜0，且Δ＜0
解得﹣2＜a＜2．
所以a的取值范圍為（﹣2，2]．
故選：A．
【題型6 一元二次不等式的實際應(yīng)用】
【方法點撥】
一元二次不等式應(yīng)用題常以二次函數(shù)為模型，解題時要弄清題意，準(zhǔn)確找出其中的不等關(guān)系，再利用一元二次不等式求解，確定答案時應(yīng)注意變量具有的“實際含義”．
【例6】（2021秋 豐臺區(qū)期中）汽車在行駛過程中，由于慣性作用，剎車后還要繼續(xù)滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析事故的一個主要因素．在一個限速為40km/h的彎道上，甲、乙兩車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對同時剎車，但還是相撞了．事后現(xiàn)場測得甲車的剎車距離略超過12m，乙車的剎車距離略超10m．已知甲、乙兩種車型的剎車距離s（m）與車速x（km/h）之間分別有如下關(guān)系：s甲＝0.1x+0.01x2，s乙＝0.05x+0.005x2．
則交通事故的主要責(zé)任方是　乙　（填“甲”或“乙”）．
【解題思路】先由題意列出不等式組，分別求解甲、乙兩種車型的事發(fā)前的車速，看它們是不是超速行駛，誰超速誰應(yīng)負(fù)主要責(zé)任．
【解答過程】解：由題意，解0.1x+0.01x2＞12得，x＜﹣40或x＞30，
∵x＞0，
∴x甲＞30km/h，
解0.05x+0.005x2＞10得，x＜﹣50或x＞40，
∵x＞0，
∴x乙＞40km/h，
∴乙車超過限速，應(yīng)負(fù)主要責(zé)任．
故答案為：乙．
【變式6-1】（2021秋 峨山縣校級期中）某產(chǎn)品的總成本y（萬元）與產(chǎn)量x（臺）之間的函數(shù)關(guān)系是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，x∈N+），若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本時（銷售收入不小于總成本）的最低產(chǎn)量是　150 　臺．
【解題思路】首先應(yīng)該仔細(xì)審題分析成本y與產(chǎn)量x的關(guān)系以及以及獲利與產(chǎn)量的關(guān)系，再結(jié)合企業(yè)不虧本即收入要大于等于支出即可得到關(guān)于x的一元二次不等式解之．
【解答過程】解：由題意可知：要使企業(yè)不虧本則有總收入要大于等于總支出，
又因為總收入為：25x，
總支出為：3000+20x﹣0.1x2
∴25x≥3000+20x﹣0.1 x2
解得：x≥150或x≤﹣200
又x∈（0，240）
∴x≥150
故答案為：150．
【變式6-2】某輛汽車以xkm/h的速度在高速公路上勻速行駛（考慮到高速公路行車安全，要求60≤x≤120）時，每小時的油耗（所需要的汽油量）為，其中k為常數(shù)．若汽車以120km/h的速度行駛時，每小時的油耗為11.5L，則k＝　100 　，欲使每小時的油耗不超過9L，則速度x的取值范圍為
[60，100] ．
【解題思路】（1）將x＝120代入每小時的油耗，解方程可得k＝100，
（2）由題意可得9，解不等式可得x的范圍．
【解答過程】解：記每小時的油耗為y，則根據(jù)題意：y，
則當(dāng)x＝120時，y11.5，解得k＝100，
所以y
當(dāng)y≤9時，即9，解得45≤x≤100，
又因為60≤x≤120，則x的取值范圍為[60，100]，
故答案為100；[60，100]．
【變式6-3】某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元的價格收購某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元（又稱征稅率為10個百分點）進(jìn)行納稅，計劃可收購a萬擔(dān)，政府為了鼓勵收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅降低x（x＞0）個百分點，預(yù)測收購量可增加2x個百分點．
（1）寫出稅收y（萬元）與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）要使此項稅收在稅率調(diào)整后不少于原計劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍．
【解題思路】（1）降低稅率后的稅率為（10﹣x）\%，農(nóng)產(chǎn)品的收購量為a（1+2x\% ）萬擔(dān)，收購總金額為200a（1+2x\% ）萬元，然后直接列出稅收y（萬元）與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）由題意可得原計劃稅收為200a×10%＝20a萬元，則（50+x） （10﹣x）≥20a×83.2%，求解不等式得答案．
【解答過程】解：（1）降低稅率后的稅率為（10﹣x）%，農(nóng)產(chǎn)品的收購量為a（1+2x% ）萬擔(dān)，收購總金額為200a（1+2x% ）萬元．
依題意有y＝200a（1+2x% ） （10﹣x）%（0＜x＜10）；
（2）原計劃稅收為200a×10%＝20a萬元，
依題意有（50+x） （10﹣x）≥20a×83.2%，
化簡得x2+40x﹣84≤0，解得﹣42≤x≤2，
又0＜x＜10，∴0＜x≤2．
∴x的取范圍是{x|0＜x≤2}．

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