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專題2.1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)-重難點題型精講
1．兩個實數(shù)大小的比較
如果a－b是正數(shù)，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么ab a－b>0，a＝b a－b＝0，a從上述基本事實可知，要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小．
2．等式的基本性質(zhì)
性質(zhì)1　如果a＝b，那么b＝a；
性質(zhì)2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性質(zhì)3　如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性質(zhì)4　如果a＝b，那么ac＝bc；
性質(zhì)5　如果a＝b，c≠0，那么＝.
3．不等式的性質(zhì)
(1)如果a>b，那么bb.即a>b b(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c a>c.
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
【題型1 不等關(guān)系的建立】
【方法點撥】
在用不等式(組)表示實際問題中的不等關(guān)系時，先通過審題，設(shè)出未知量，找出其中的不等關(guān)系，再將不等關(guān)系用不等式表示出來，即得不等式或不等式組．
【例1】（2021秋 石鼓區(qū)校級月考）鐵路乘車行李規(guī)定如下：乘動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過Mcm．設(shè)攜帶品外部尺寸長、寬、高分別為a、b、c（單位：cm），這個規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（　　）
A．a(chǎn)+b+c≤M B．a(chǎn)+b+c＞M C．a(chǎn)+b+c≥M D．a(chǎn)+b+c＜M
【解題思路】根據(jù)題意列出不等式即可．
【解答過程】解：∵長、寬、高之和不超過Mcm，長、寬、高分別為a、b、c，
∴a+b+c≤M，
故選：A．
【變式1-1】（2021秋 龍巖期中）為安全燃放某種煙花，現(xiàn)收集到以下信息：
①此煙花導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.6厘米；
②人跑開的速度為每秒4米；
③距離此煙花燃放點50米以外（含50米）為安全區(qū)．
為了使導(dǎo)火索燃盡時人能夠跑到安全區(qū)，導(dǎo)火索的長度x（厘米）應(yīng)滿足的不等式為（　　）
A． B． C． D．
【解題思路】直接由題意可列出不等關(guān)系式即可．
【解答過程】解：由題意可得450．
故選：B．
【變式1-2】（2021秋 龍崗區(qū)期中）在開山工程爆破時，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.5cm，人跑開的速度為每秒4m，為了使點燃導(dǎo)火索的人能夠在爆破時跑到100m以外的安全區(qū)，導(dǎo)火索的長度x（cm）應(yīng)滿足的不等式為（　　）
A．4100 B．4100 C．4100 D．4100
【解題思路】為了安全，則人跑開的距離應(yīng)大于100米，路程＝速度×?xí)r間，其中時間即導(dǎo)火索燃燒的時間，是s．
【解答過程】解：根據(jù)題意得4100，
故選：C．
【變式1-3】（2021秋 龍江縣校級月考）下列結(jié)論不正確的是（　　）
①用不等式表示某廠最低月生活費a元不低于300元為a≥300；
②完成﹣項裝修工程，請木工需付工資每人500元，請瓦工需付工資每人400元，現(xiàn)有工資預(yù)算20000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則滿足的關(guān)系式是5x+4y＜200；
③設(shè)M＝x2+3，N＝3x，則M與N的大小關(guān)系為M＞N；
④若x≠﹣2且y≠1，則M＝x2+y2+4x﹣2y的值與一5的大小關(guān)系是M＞﹣5．
A．① B．② C．③ D．④
【解題思路】由題意列出不等式，可判斷①②；由作差比較和不等式的性質(zhì)，可判斷③④．
【解答過程】解：對于①，可得a≥300，故①正確；
對于②，可得500x+400y≤20000，化為5x+4y≤200，故②錯誤；
對于③，M﹣N＝x2+3﹣3x＝（x）20，可得M＞N，故③正確；
對于④，因為x≠﹣2且y≠1，
所以M﹣（﹣5）＝x2+y2+4x﹣2y+5＝（x+2）2+（y﹣1）2＞0，即M＞﹣5，故④正確．
故選：B．
【題型2 利用不等式的性質(zhì)判斷正誤】
【方法點撥】
(1)直接法：對于說法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)證明；對于說法錯誤的只需舉出一個反例即可．
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三個原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗證計算；三是所取的值要有代表性．
【例2】（2022春 大名縣校級期末）如果a，b，c，d∈R，則正確的是（　　）
A．若a＞b，則 B．若a＞b，則ac2＞bc2
C．若a＞b，c＞d，則a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，則ac＞bd
【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解．
【解答過程】解：對于A，令a＝1，b＝﹣1，滿足a＞b，但，故A錯誤，
對于B，當(dāng)c＝0時，ac2＝bc2，故B錯誤，
對于C，a＞b，c＞d，
由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故C正確，
對于D，令a＝1，b＝﹣1，c＝1，d＝﹣1，滿足a＞b，c＞d，但ac＝bd，故D錯誤．
故選：C．
【變式2-1】（2022 孝義市開學(xué)）已知，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)+b＜ab C．|a|＞|b| D．a(chǎn)b＞b2
【解題思路】由得b＜a＜0，從而對四個選項依次判斷即可．
【解答過程】解：∵，
∴b＜a＜0，
∴b＜a，a+b＜ab，|a|＜|b|，ab＜b2，
故選項B正確，
故選：B．
【變式2-2】（2022春 包頭期末）a，b∈R，下列命題正確的是（　　）
A．若a＞b，則a2＞b2
B．c∈R，若a＞b，則ac2＞bc2
C．若﹣3a＞﹣3b，則a＜b
D．a(chǎn)≠0，b≠0，若a＞b，則
【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)直接判斷．
【解答過程】解：選項A，如a＝0，b＝﹣1，不等式不成立，選項A錯誤，
選項B，如c＝0，不等式不成立，選項B錯誤，
選項C，根據(jù)不等式兩邊同除以﹣3，不等號改變，∴選項C正確，
選項D，如a＝1，b＝﹣1，不等式不成立，選項D錯誤，
故選：C．
【變式2-3】（2021秋 賀州期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　）
A． B．a(chǎn)b＜b2 C．a(chǎn)b＞a2 D．
【解題思路】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合題意，判斷選項中的命題是否正確即可．
【解答過程】解：因為a＜b＜0，所以ab＞0，所以0，即，選項A錯誤；
因為a＜b＜0，所以ab＞b2＞0，選項B錯誤；
因為a＜b＜0，所以a2＞ab＞0，即ab＜a2，選項C錯誤；
因為a＜b＜0，所以0，所以，即，選項D正確．
故選：D．
【題型3 利用作差法比較大小】
【方法點撥】
(1)作差法比較的步驟：作差―→變形―→定號―→結(jié)論．
(2)變形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分類討論．
【例3】（2022春 九江期末）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（　　）
A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【解題思路】運用不等式的基本性質(zhì)直接比較兩數(shù)的大小．
【解答過程】解：∵，，，
∴由，且，故a＞b，
由且，故a＞c，
由且，故c＞b，∴a＞c＞b，
故選：B．
【變式3-1】（2022春 安徽期中）已知a＜b，x＝a3﹣b，y＝a2b﹣a，則x，y的大小關(guān)系為（　　）
A．x＞y B．x＜y C．x＝y(tǒng) D．無法確定
【解題思路】利用作差法直接化簡判斷即可．
【解答過程】解：x﹣y＝a3﹣b﹣a2b+a＝a2（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+1），
又a＜b，則a﹣b＜0，
又a2+1＞0，則x﹣y＝（a﹣b）（a2+1）＜0，故x＜y．
故選：B．
【變式3-2】（2021秋 靖遠(yuǎn)縣期末）已知P＝x2+xy+y2，Q＝3xy﹣1，則（　　）
A．P＞Q B．P＝Q
C．P＜Q D．P，Q的大小關(guān)系不確定
【解題思路】直接利用作差法和關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答過程】解：P﹣Q＝x2+xy+y2﹣3xy+1＝（x﹣y）2+1＞0．
故P＞Q．
故選：A．
【變式3-3】（2021秋 灤南縣校級月考）設(shè)m＞1，P＝m，Q＝5，則P，Q的大小關(guān)系為（　　）
A．P＜Q B．P＝Q C．P≥Q D．P≤Q
【解題思路】利用作差法即可判斷大小．
【解答過程】解：P﹣Q＝m5，
因為m＞1，所以（m﹣3） ≥0，m﹣1＞0，
所以0，所以P≥Q．
故選：C．
【題型4 利用作差法比較大小的應(yīng)用】
【例4】（2022春 蕪湖期末）甲、乙兩人同時從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時間步行，一半時間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則（　　）
A．甲先到教室 B．乙先到教室
C．兩人同時到教室 D．誰先到教室不確定
【解題思路】比較走完路程所用時間大小來確定誰先到教室，故應(yīng)把兩人到教室的時間用所給的量表示出來，作差比較
【解答過程】解：設(shè)步行速度與跑步速度分別為v1，v2，
顯然v1＜v2，總路程為2s，
則甲用時間為，乙用時間為，
而
0，
故，故乙先到教室，
故選：B．
【變式4-1】（2021秋 金華期末）某次全程馬拉松比賽中，選手甲前半程以速度a勻速跑，后半程以速度b速跑；選手乙前一半時間以速度a勻速跑，后半時間以速度b勻速跑（注：速度單位m/s），若a≠b，則（　　）
A．甲先到達(dá)終點 B．乙先到達(dá)終點
C．甲乙同時到達(dá)終點 D．無法確定誰先到達(dá)終點
【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)全程的距離為2s，用s、a、b表示甲、乙的時間，用作差法分析可得答案．
【解答過程】解：根據(jù)題意，設(shè)全程的距離為2s，
對于甲，前半程s的時間為，后半程的時間為，則甲的時間t1，
對于乙，前一半時間以速度a勻速跑，后半時間以速度b勻速跑，則有ab2s，
變形可得t2，
則有t1﹣t2[（a+b）2﹣4ab]（a﹣b）2，
又由a≠b，則t1﹣t2＞0，
故乙先到達(dá)終點，
故選：B．
【變式4-2】（2021秋 楊浦區(qū)校級期中）現(xiàn)有A，B，C，D四個長方體容器，A，B的底面積均為x2，高分別為x，y；C，D的底面積均為y2，高分別為x，y（其中x≠y）．現(xiàn)規(guī)定一種兩人的游戲規(guī)則：每人從四種容器中取兩個盛水，盛水多者為勝．問先取者在未能確定x與y大小的情況下有沒有必勝的方案？若有的話，有幾種？
【解題思路】當(dāng)x＞y時，利用不等式的性質(zhì)可得：x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；當(dāng)x＜y時，同理可得：y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；又x3+y3﹣（xy2+x2y）＞0．即可得出．
【解答過程】解：①當(dāng)x＞y時，則x3＞x2y＞xy2＞y3，即A＞B＞C＞D；在此種條件下取A，B能夠穩(wěn)操勝券．
②當(dāng)x＜y時，則y3＞y2x＞yx2＞x3，即D＞C＞B＞A；在此種條件下取D，C能夠穩(wěn)操勝券．
③又x3+y3﹣（xy2+x2y）＝（x3﹣x2y）+（y3﹣xy2）＝（x﹣y）2（x+y）＞0．
∴在不知道x，y的大小的情況下，取A，D能夠穩(wěn)操勝券，其他的都沒有必勝的把握．
故可能有1種，就是取A，D．
【變式4-3】（2021秋 懷仁市校級月考）某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車前往．甲車隊說：“如領(lǐng)隊買全票一張，其余人可享受7.5折優(yōu)惠”．乙車隊說：“你們屬團(tuán)體票，按原價的8折優(yōu)惠”．這兩車隊的原價、車型都是一樣的，試根據(jù)單位去的人數(shù)，比較兩車隊的收費哪家更優(yōu)惠．
【解題思路】根據(jù)兩家的政策，求出坐甲車需花y1元，坐乙車需花y2元，作差，即可得出結(jié)論．
【解答過程】解：設(shè)該單位有職工n人（n∈N*），全票價為x元，坐甲車需花y1元，坐乙車需花y2元，
則y1＝xx（n﹣1）xxn，y2nx．
所以y1﹣y2
xxnnx
xnx
x（1）．
當(dāng)n＝5時，y1＝y(tǒng)2；
當(dāng)n＞5時，y1＜y2；
當(dāng)0＜n＜5時，y1＞y2．
因此當(dāng)單位去的人數(shù)為5時，兩車隊收費相同；多于5人時，選甲車隊更優(yōu)惠；少于5人時，選乙車隊更優(yōu)惠．
【題型5 利用不等式的性質(zhì)證明不等式】
【方法點撥】
(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．
(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．
【例5】（2021春 迎澤區(qū)校級月考）證明：．
【解題思路】利用分析法，先證明，即可證得原式．
【解答過程】證明：要證，
只需證
即證
即證
即證，即
該式顯然成立，所以．
【變式5-1】（2022春 庫爾勒市校級期末）已知a＞1，求證：2．
【解題思路】利用分析法即可證明結(jié)論
【解答過程】解：要證2，
只要證a+1+a﹣1+24a，
只要證a，
只要證a2﹣1＜a2，
只要證明﹣1＜0，顯然成立，
故求證：2．
【變式5-2】（2021秋 故城縣校級月考）求證：
（1）a2+b2+c2≥ab+bc+ac
（2）（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）
【解題思路】（1）利用做差法證明不等式的大小即可；
（2）利用做差法和平方差公式即可證明不等式成立．
【解答過程】證明：（1）∵a2+b2+c2﹣（ab+bc+ac）
[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]≥0，
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac；
（2）∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2
＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2﹣a2c2﹣2acbd﹣b2d2
＝（ad﹣bc）2≥0，
∴（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）．
【變式5-3】用比較法證明以下各題：
（1）已知a＞0，b＞0．求證：．
（2）已知a＞0，b＞0．求證：．
【解題思路】（1）作差可得，由完全平方的性質(zhì)可得；
（2）作差變形可得（b﹣a），可證不等式．
【解答過程】證明：（1）∵a＞0，b＞0，
∴
2
0，
∴；
（2）∵a＞0，b＞0，
∴
＝（b﹣a）（）
＝（b﹣a）0，
∴.
【題型6 利用不等式的性質(zhì)求取值范圍】
【方法點撥】
同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除，應(yīng)用時，要充分利用所給條件進(jìn)行適當(dāng)變形來求范圍，注意變形的等價性．
【例6】（2021秋 武昌區(qū)校級月考）已知1≤a+b≤4，﹣1≤a﹣b≤2，求4a﹣2b的取值范圍．
【解題思路】根據(jù)題意需要配湊出4a﹣2b，所以結(jié)合題意，就用設(shè)未知數(shù)的方法求解即可．
【解答過程】解：令4a﹣2b＝x（a+b）+y（a﹣b），
所以4a﹣2b＝（x+y）a+（x﹣y）b．
所以
解得
因為1≤a+b≤4，﹣3≤3（a﹣b）≤6，兩式相加，
所以﹣2≤4a﹣2b≤10．
【變式6-1】（2022春 雞冠區(qū)校級期末）已知α＜β，求α﹣2β的取值范圍．
【解題思路】利用不等式的基本性質(zhì)即可得出．
【解答過程】解：∵β，∴﹣π＜﹣2β＜π，
又α，
∴．
又∵α﹣β＜0，∴．
∴．
【變式6-2】（2022春 寧江區(qū)校級期中）已知12＜a＜60，15＜b＜36，求a﹣b及的取值范圍．
【解題思路】利用不等式的基本性質(zhì)即可得出．
【解答過程】解：∵15＜b＜36，∴﹣36＜﹣b＜﹣15．
∴12﹣36＜a﹣b＜60﹣15，
∴﹣24＜a﹣b＜45．
又，∴，
∴4．
∴﹣24＜a﹣b＜45，4．
【變式6-3】（2021秋 普寧市校級月考）已知﹣2＜a≤3，1≤b＜2，試求下列各式的取值范圍．
（1）|a|；
（2）a+b；
（3）a﹣b；
（4）2a﹣3b．
【解題思路】根據(jù)絕對值運算可解決（1）；
根據(jù)不等式性質(zhì)可解決（2）（3）（4）．
【解答過程】解：（1）0≤|a|≤3；
（2）﹣1＜a+b＜5；
（3）依題意得﹣2＜﹣b≤﹣1，又﹣2＜a≤3，相加得﹣4＜a﹣b≤2；
（4）由﹣2＜a≤3得﹣4＜2a≤6①，
由1≤b＜2得﹣6＜﹣3b≤﹣3②，
①+②得，﹣10＜2a﹣3b≤3．專題2.1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)-重難點題型精講
1．兩個實數(shù)大小的比較
如果a－b是正數(shù)，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么ab a－b>0，a＝b a－b＝0，a從上述基本事實可知，要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小．
2．等式的基本性質(zhì)
性質(zhì)1　如果a＝b，那么b＝a；
性質(zhì)2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性質(zhì)3　如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性質(zhì)4　如果a＝b，那么ac＝bc；
性質(zhì)5　如果a＝b，c≠0，那么＝.
3．不等式的性質(zhì)
(1)如果a>b，那么bb.即a>b b(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c a>c.
(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.
(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
【題型1 不等關(guān)系的建立】
【方法點撥】
在用不等式(組)表示實際問題中的不等關(guān)系時，先通過審題，設(shè)出未知量，找出其中的不等關(guān)系，再將不等關(guān)系用不等式表示出來，即得不等式或不等式組．
【例1】（2021秋 石鼓區(qū)校級月考）鐵路乘車行李規(guī)定如下：乘動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過Mcm．設(shè)攜帶品外部尺寸長、寬、高分別為a、b、c（單位：cm），這個規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（　　）
A．a(chǎn)+b+c≤M B．a(chǎn)+b+c＞M C．a(chǎn)+b+c≥M D．a(chǎn)+b+c＜M
【變式1-1】（2021秋 龍巖期中）為安全燃放某種煙花，現(xiàn)收集到以下信息：
①此煙花導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.6厘米；
②人跑開的速度為每秒4米；
③距離此煙花燃放點50米以外（含50米）為安全區(qū)．
為了使導(dǎo)火索燃盡時人能夠跑到安全區(qū)，導(dǎo)火索的長度x（厘米）應(yīng)滿足的不等式為（　　）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2021秋 龍崗區(qū)期中）在開山工程爆破時，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.5cm，人跑開的速度為每秒4m，為了使點燃導(dǎo)火索的人能夠在爆破時跑到100m以外的安全區(qū)，導(dǎo)火索的長度x（cm）應(yīng)滿足的不等式為（　　）
A．4100 B．4100 C．4100 D．4100
【變式1-3】（2021秋 龍江縣校級月考）下列結(jié)論不正確的是（　　）
①用不等式表示某廠最低月生活費a元不低于300元為a≥300；
②完成﹣項裝修工程，請木工需付工資每人500元，請瓦工需付工資每人400元，現(xiàn)有工資預(yù)算20000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則滿足的關(guān)系式是5x+4y＜200；
③設(shè)M＝x2+3，N＝3x，則M與N的大小關(guān)系為M＞N；
④若x≠﹣2且y≠1，則M＝x2+y2+4x﹣2y的值與一5的大小關(guān)系是M＞﹣5．
A．① B．② C．③ D．④
【題型2 利用不等式的性質(zhì)判斷正誤】
【方法點撥】
(1)直接法：對于說法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)證明；對于說法錯誤的只需舉出一個反例即可．
(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三個原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗證計算；三是所取的值要有代表性．
【例2】（2022春 大名縣校級期末）如果a，b，c，d∈R，則正確的是（　　）
A．若a＞b，則 B．若a＞b，則ac2＞bc2
C．若a＞b，c＞d，則a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，則ac＞bd
【變式2-1】（2022 孝義市開學(xué)）已知，則下列結(jié)論正確的是（　　）
A．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)+b＜ab C．|a|＞|b| D．a(chǎn)b＞b2
【變式2-2】（2022春 包頭期末）a，b∈R，下列命題正確的是（　　）
A．若a＞b，則a2＞b2
B．c∈R，若a＞b，則ac2＞bc2
C．若﹣3a＞﹣3b，則a＜b
D．a(chǎn)≠0，b≠0，若a＞b，則
【變式2-3】（2021秋 賀州期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　）
A． B．a(chǎn)b＜b2 C．a(chǎn)b＞a2 D．
【題型3 利用作差法比較大小】
【方法點撥】
(1)作差法比較的步驟：作差―→變形―→定號―→結(jié)論．
(2)變形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分類討論．
【例3】（2022春 九江期末）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（　　）
A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【變式3-1】（2022春 安徽期中）已知a＜b，x＝a3﹣b，y＝a2b﹣a，則x，y的大小關(guān)系為（　　）
A．x＞y B．x＜y C．x＝y(tǒng) D．無法確定
【變式3-2】（2021秋 靖遠(yuǎn)縣期末）已知P＝x2+xy+y2，Q＝3xy﹣1，則（　　）
A．P＞Q B．P＝Q
C．P＜Q D．P，Q的大小關(guān)系不確定
【變式3-3】（2021秋 灤南縣校級月考）設(shè)m＞1，P＝m，Q＝5，則P，Q的大小關(guān)系為（　　）
A．P＜Q B．P＝Q C．P≥Q D．P≤Q
【題型4 利用作差法比較大小的應(yīng)用】
【例4】（2022春 蕪湖期末）甲、乙兩人同時從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時間步行，一半時間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則（　　）
A．甲先到教室 B．乙先到教室
C．兩人同時到教室 D．誰先到教室不確定
【變式4-1】（2021秋 金華期末）某次全程馬拉松比賽中，選手甲前半程以速度a勻速跑，后半程以速度b速跑；選手乙前一半時間以速度a勻速跑，后半時間以速度b勻速跑（注：速度單位m/s），若a≠b，則（　　）
A．甲先到達(dá)終點 B．乙先到達(dá)終點
C．甲乙同時到達(dá)終點 D．無法確定誰先到達(dá)終點
【變式4-2】（2021秋 楊浦區(qū)校級期中）現(xiàn)有A，B，C，D四個長方體容器，A，B的底面積均為x2，高分別為x，y；C，D的底面積均為y2，高分別為x，y（其中x≠y）．現(xiàn)規(guī)定一種兩人的游戲規(guī)則：每人從四種容器中取兩個盛水，盛水多者為勝．問先取者在未能確定x與y大小的情況下有沒有必勝的方案？若有的話，有幾種？
【變式4-3】（2021秋 懷仁市校級月考）某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車前往．甲車隊說：“如領(lǐng)隊買全票一張，其余人可享受7.5折優(yōu)惠”．乙車隊說：“你們屬團(tuán)體票，按原價的8折優(yōu)惠”．這兩車隊的原價、車型都是一樣的，試根據(jù)單位去的人數(shù)，比較兩車隊的收費哪家更優(yōu)惠．
【題型5 利用不等式的性質(zhì)證明不等式】
【方法點撥】
(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．
(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．
【例5】（2021春 迎澤區(qū)校級月考）證明：．
【變式5-1】（2022春 庫爾勒市校級期末）已知a＞1，求證：2．
【變式5-2】（2021秋 故城縣校級月考）求證：
（1）a2+b2+c2≥ab+bc+ac
（2）（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）
【變式5-3】用比較法證明以下各題：
（1）已知a＞0，b＞0．求證：．
（2）已知a＞0，b＞0．求證：．
【題型6 利用不等式的性質(zhì)求取值范圍】
【方法點撥】
同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除，應(yīng)用時，要充分利用所給條件進(jìn)行適當(dāng)變形來求范圍，注意變形的等價性．
【例6】（2021秋 武昌區(qū)校級月考）已知1≤a+b≤4，﹣1≤a﹣b≤2，求4a﹣2b的取值范圍．
【變式6-1】（2022春 雞冠區(qū)校級期末）已知α＜β，求α﹣2β的取值范圍．
【變式6-2】（2022春 寧江區(qū)校級期中）已知12＜a＜60，15＜b＜36，求a﹣b及的取值范圍．
【變式6-3】（2021秋 普寧市校級月考）已知﹣2＜a≤3，1≤b＜2，試求下列各式的取值范圍．
（1）|a|；
（2）a+b；
（3）a﹣b；
（4）2a﹣3b．

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