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第四講：二次函數(shù)
【教學(xué)目標(biāo)】
1、掌握一次函數(shù)，反比例函數(shù)的概念及性質(zhì)；
2、掌握二次函數(shù)的概念及性質(zhì)；
3、掌握二次函數(shù)中涉及到的幾何及相關(guān)問題.
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一、一次函數(shù)
形如，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過一、三象限，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過一、二象限；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過三、四象限.
二、反比例函數(shù)
形如，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限，在那個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大；
三、二次函數(shù)
形如，變形得，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)圖象開口向上，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)圖象開口向下；對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)；
當(dāng)時(shí)，則函數(shù)圖象開口向上，當(dāng)時(shí)，隨得增大而減小；當(dāng)時(shí)，隨得增大而增大；當(dāng)時(shí)，則函數(shù)圖象開口向下，當(dāng)時(shí)，隨得增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨得增大而減小.
【題型目錄】
考點(diǎn)一：一次函數(shù)
考點(diǎn)二：反比例函數(shù)
考點(diǎn)三：二次函數(shù)的概念及簡(jiǎn)單性質(zhì)
考點(diǎn)四：二次函數(shù)的幾何和相關(guān)問題
【考點(diǎn)剖析】
考點(diǎn)一：一次函數(shù)
形如，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過一、三象限，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過一、二象限；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過三、四象限.
例1．關(guān)于一次函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．它的圖象過點(diǎn) B．它的圖象與直線平行
C．隨的增大而增大 D．當(dāng)時(shí)，總有
變式訓(xùn)練1．在平面直角坐標(biāo)系中，把一次函數(shù)向下平移5個(gè)單位后，得到的新的一次函數(shù)的表達(dá)式是（ ）
A． B．
C． D．
變式訓(xùn)練2．如果一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，那么m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．不同于上述答案
變式訓(xùn)練3．對(duì)于函數(shù)的圖象，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．圖象必經(jīng)過點(diǎn)
B．圖象經(jīng)過第一、二、四象限
C．與軸的交點(diǎn)為
D．若兩點(diǎn)，在該函數(shù)圖象上，則
考點(diǎn)二：反比例函數(shù)
形如，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限，在那個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大；
當(dāng)時(shí)，則函數(shù)圖象開口向上，當(dāng)時(shí)，隨得增大而減小；當(dāng)時(shí)，隨得增大而增大；當(dāng)時(shí)，則函數(shù)圖象開口向下，當(dāng)時(shí)，隨得增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨得增大而減小.
例2．對(duì)于反比例函數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．函數(shù)圖象分布在第一、三象限
B．函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)
C．若點(diǎn)在其圖象上，那么點(diǎn)和點(diǎn)也一定在其圖象上
D．若點(diǎn)，都在函數(shù)圖象上，且，則
變式訓(xùn)練1．在每一象限內(nèi)的雙曲線上，都隨的增大而增大，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
變式訓(xùn)練2．已知點(diǎn)；；在函數(shù)的圖像上，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
變式訓(xùn)練3．如圖，過軸正半軸上的任意一點(diǎn)作軸的平行線交反比例函數(shù)和的圖象于，兩點(diǎn)，是軸上任意一點(diǎn)，則的面積為（ ）
A．2
B．3
C．6
D．12
考點(diǎn)三：二次函數(shù)的概念及簡(jiǎn)單性質(zhì)
形如，變形得，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)圖象開口向上，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)圖象開口向下；對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)；
例3．對(duì)于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（ ）
A．開口向下 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)是
C．對(duì)稱軸是直線 D．當(dāng)時(shí)，有最大值是
變式訓(xùn)練1．把拋物線向上平移個(gè)單位，再向右平移個(gè)單位，得到的拋物線是（ ）
A． B．
C． D．
變式訓(xùn)練2．對(duì)于二次函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．圖像的開口向上 B．圖像的對(duì)稱軸是直線
C．圖像的頂點(diǎn)是 D．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大
變式訓(xùn)練3．已知拋物線的對(duì)稱軸為直線，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：
①拋物線過原點(diǎn)；
②；
③；
④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
⑤當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增大．
其中結(jié)論正確的是（ ）
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．①③④⑤
考點(diǎn)四：二次函數(shù)的幾何和相關(guān)問題
圖形為三角形時(shí)，等腰，等邊，直角三角形，重點(diǎn)把握邊之間的關(guān)系；三角形面積的最值中，確定底或高最值即可.
圖形為四邊形時(shí)，掌握平行四邊形，矩形，菱形，正方形的性質(zhì).
例4．如圖，已知二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，B，交y軸于點(diǎn)C．
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)和直線的表達(dá)式；
(3)點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值．
變式訓(xùn)練1．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，頂點(diǎn)為C．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)求以A、B、C為頂點(diǎn)的的面積．
變式訓(xùn)練2．如圖，已知拋物線交軸于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），交軸于點(diǎn)，其頂點(diǎn)為，連接．
(1)求點(diǎn)，，的坐標(biāo)；
(2)求點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)坐標(biāo)．
【課堂小結(jié)】
1．知識(shí)清單：
(1)一次函數(shù)，反比例函數(shù)的概念及性質(zhì)．
(2)二次函數(shù)的概念，性質(zhì)，幾何及相關(guān)問題．
2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合．
3．常見誤區(qū)：函數(shù)圖象的畫法和相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用．
【課后作業(yè)】
1、若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則k、b的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2、已知點(diǎn)，，三點(diǎn)在直線的圖象上，且，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．
3、在平面直角坐標(biāo)系中，將直線向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是（ ）
A． B． C． D．2
4、如圖，函數(shù)與的圖象相交于點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
5、若點(diǎn)，，在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
6、已知反比例函數(shù)，下列說法不正確的是（ ）
A．圖象經(jīng)過點(diǎn) B．圖象分別位于第二、四象限內(nèi)
C．在每個(gè)象限內(nèi)y的值隨x的值增大而增大 D．時(shí)，
7、在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與（k為常數(shù)且）的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8、如圖，正比例函數(shù)（a為常數(shù)，且）和反比例函數(shù)（k為常數(shù)，且）的圖像相交于和B兩點(diǎn)，則不等式的解集為（ ）
A．或
B．
C．或
D．或
9、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過x軸正半軸上任意一點(diǎn)P作y軸的平行線，分別交函數(shù)（）、（）的圖象于點(diǎn)A、點(diǎn)B．若C是y軸上任意一點(diǎn)，則的面積為（ ）
A．9 B．6
C． D．3
10、將二次函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是（ ）
A． B． C． D．
11、對(duì)于拋物線，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．開口向上 B．對(duì)稱軸是直線
C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小 D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)值有最小值
12、二次函數(shù)中的自變量x與函數(shù)值y的部分對(duì)應(yīng)值如表：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 5 …
則下列結(jié)論：①；②當(dāng)函數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)x的取值范圍是；③頂點(diǎn)坐標(biāo)為；④若點(diǎn)，在拋物線上，則．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為（ ）．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
13、如圖為二次函數(shù)的圖象，該圖象與軸的交點(diǎn)是和，給由下列說法：①；②方程的根為，；③；④當(dāng)時(shí)，隨值的增大而增大；（5）當(dāng)時(shí)，或．其中，正確的說法有（ ）
A．①②④ B．①②⑤
C．①③⑤ D．②④⑤
14、如圖所示的二次函數(shù)的圖象中，某同學(xué)觀察得出了下面五條信息：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）你認(rèn)為其中錯(cuò)誤的有（ ）
A．4個(gè) B．3個(gè)
C．2個(gè) D．1個(gè)
15、已知：如圖，直線與x軸交于C點(diǎn)，與y軸交于A點(diǎn)，且是等腰直角三角形．
(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；
(3)若P點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在第一象限，那么是否有最大面積？若有，求出的最大面積；若沒有，請(qǐng)說明理由．第四講：二次函數(shù)
【教學(xué)目標(biāo)】
1、掌握一次函數(shù)，反比例函數(shù)的概念及性質(zhì)；
2、掌握二次函數(shù)的概念及性質(zhì)；
3、掌握二次函數(shù)中涉及到的幾何及相關(guān)問題.
【基礎(chǔ)知識(shí)】
一、一次函數(shù)
形如，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過一、三象限，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過一、二象限；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過三、四象限.
二、反比例函數(shù)
形如，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限，在那個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大；
三、二次函數(shù)
形如，變形得，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)圖象開口向上，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)圖象開口向下；對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)；
當(dāng)時(shí)，則函數(shù)圖象開口向上，當(dāng)時(shí)，隨得增大而減小；當(dāng)時(shí)，隨得增大而增大；當(dāng)時(shí)，則函數(shù)圖象開口向下，當(dāng)時(shí)，隨得增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨得增大而減小.
【題型目錄】
考點(diǎn)一：一次函數(shù)
考點(diǎn)二：反比例函數(shù)
考點(diǎn)三：二次函數(shù)的概念及簡(jiǎn)單性質(zhì)
考點(diǎn)四：二次函數(shù)的幾何和相關(guān)問題
【考點(diǎn)剖析】
考點(diǎn)一：一次函數(shù)
形如，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過一、三象限，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過一、二象限；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過三、四象限.
例1．關(guān)于一次函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．它的圖象過點(diǎn) B．它的圖象與直線平行
C．隨的增大而增大 D．當(dāng)時(shí)，總有
【答案】D
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，它的圖象不過點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
一次函數(shù)與直線的k不相等，
它的圖象與直線不平行，故B錯(cuò)誤；
一次函數(shù)的，
隨的增大而減小，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，
隨的增大而減小，
當(dāng)時(shí)，總有，故D正確，
故選：D．
變式訓(xùn)練1．在平面直角坐標(biāo)系中，把一次函數(shù)向下平移5個(gè)單位后，得到的新的一次函數(shù)的表達(dá)式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)一次函數(shù)平移的規(guī)律：上加下減，即可解答．
【詳解】解：把一次函數(shù)向下平移5個(gè)單位后，
可得新的一次函數(shù)的表達(dá)式是，
故選：B．
變式訓(xùn)練2．如果一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，那么m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．不同于上述答案
【答案】C
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得且，即可求解．
【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，
∴且，
解得：，
故選：C．
變式訓(xùn)練3．對(duì)于函數(shù)的圖象，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．圖象必經(jīng)過點(diǎn)
B．圖象經(jīng)過第一、二、四象限
C．與軸的交點(diǎn)為
D．若兩點(diǎn)，在該函數(shù)圖象上，則
【答案】C
【分析】求出當(dāng)時(shí)y的值，求出當(dāng)時(shí)，x的值即可判斷A、C；根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系即可判斷B、D．
【詳解】解：A、當(dāng)時(shí)，，
一次函數(shù)的圖象必過點(diǎn)，故A不符合題意；
B、，，
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故B不符合題意；
C、當(dāng)時(shí)，即，解得：，
一次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)為，故C符合題意；
D、，
隨的增大而減小，
又點(diǎn)，在一次函數(shù)的圖象上，且，
，故D不符合題意．
故選：C．
考點(diǎn)二：反比例函數(shù)
形如，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過二、四象限，在那個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而增大；
當(dāng)時(shí)，則函數(shù)圖象開口向上，當(dāng)時(shí)，隨得增大而減小；當(dāng)時(shí)，隨得增大而增大；當(dāng)時(shí)，則函數(shù)圖象開口向下，當(dāng)時(shí)，隨得增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨得增大而減小.
例2．對(duì)于反比例函數(shù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．函數(shù)圖象分布在第一、三象限
B．函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)
C．若點(diǎn)在其圖象上，那么點(diǎn)和點(diǎn)也一定在其圖象上
D．若點(diǎn)，都在函數(shù)圖象上，且，則
【答案】D
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)增減性以及所在象限和經(jīng)過的點(diǎn)的特點(diǎn)分別分析得出即可．
【詳解】A、∵，∴圖象在第一、三象限，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；
B、∵反比例函數(shù)，∴，故圖象經(jīng)過點(diǎn)，故B選項(xiàng)正確，不符合題意；
C、∵點(diǎn)在圖象上，∴，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；
D、∵不能確定點(diǎn)，是否在同一象限內(nèi)，∴不能確定的大小，故原選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．
故選：D．
變式訓(xùn)練1．在每一象限內(nèi)的雙曲線上，都隨的增大而增大，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)在每一象限內(nèi)的雙曲線上，都隨x的增大而增大，可得，從而即可得到答案．
【詳解】解：在每一象限內(nèi)的雙曲線上，都隨x的增大而增大，
，
，
故選：A．
變式訓(xùn)練2．已知點(diǎn)；；在函數(shù)的圖像上，則下列判斷正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，且第一象限同正，第三象限同負(fù)，計(jì)算選擇即可．
【詳解】∵點(diǎn)；；在函數(shù)的圖像上，
∴每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，且第一象限同正，第三象限同負(fù)，
∴，
∴，
故選C．
變式訓(xùn)練3．如圖，過軸正半軸上的任意一點(diǎn)作軸的平行線交反比例函數(shù)和的圖象于，兩點(diǎn)，是軸上任意一點(diǎn)，則的面積為（ ）
A．2
B．3
C．6
D．12
【答案】B
【分析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由此可得出點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)都為a，再將分別代入反比例函數(shù)解析式，得出A、B的縱坐標(biāo)，繼而得出的值，從而得出三角形的面積．
【詳解】解：設(shè)，則點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)都為a，
將代入得出，，故；
將代入得出，，故；
∴，
∴的面積為：．
故選：B．
考點(diǎn)三：二次函數(shù)的概念及簡(jiǎn)單性質(zhì)
形如，變形得，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)圖象開口向上，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)圖象開口向下；對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)；
例3．對(duì)于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（ ）
A．開口向下 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)是
C．對(duì)稱軸是直線 D．當(dāng)時(shí)，有最大值是
【答案】B
【分析】將二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．
【詳解】解：∵，
∴由知拋物線開口向上，
故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)是，
故選項(xiàng)正確；
∵對(duì)稱軸是直線，
故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵當(dāng)時(shí)，取得最小值2，無最大值，
故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：．
變式訓(xùn)練1．把拋物線向上平移個(gè)單位，再向右平移個(gè)單位，得到的拋物線是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”即可解答．
【詳解】解：∵拋物線向上平移個(gè)單位，再向右平移個(gè)單位，
∴平移之后的拋物線的解析式為，
故選；
變式訓(xùn)練2．對(duì)于二次函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．圖像的開口向上 B．圖像的對(duì)稱軸是直線
C．圖像的頂點(diǎn)是 D．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大
【答案】B
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，開口向下，頂點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，
當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小．
故選項(xiàng)A、C、D錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；
故選：B．
變式訓(xùn)練3．已知拋物線的對(duì)稱軸為直線，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：
①拋物線過原點(diǎn)；
②；
③；
④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
⑤當(dāng)時(shí)，y隨x增大而增大．
其中結(jié)論正確的是（ ）
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．①③④⑤
【答案】C
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，可判斷①正確；當(dāng)時(shí)，y值為正，可判斷②錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱軸為直線，且拋物線過原點(diǎn)，求得，，可判斷③正確；求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，判斷④正確；利用二次函數(shù)的增減性，可判斷⑤錯(cuò)誤．
【詳解】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)論①正確；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴當(dāng)和時(shí)，y值相同，且均為正，
∴，結(jié)論②錯(cuò)誤；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，且拋物線過原點(diǎn)，
∴，，
∴，，
∴，結(jié)論③正確；
當(dāng)時(shí)，，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)論④正確；
觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)時(shí)，y隨x增大而減小，結(jié)論⑤錯(cuò)誤．
綜上所述，正確的結(jié)論有：①③④．
故選：C．
考點(diǎn)四：二次函數(shù)的幾何和相關(guān)問題
圖形為三角形時(shí)，等腰，等邊，直角三角形，重點(diǎn)把握邊之間的關(guān)系；三角形面積的最值中，確定底或高最值即可.
圖形為四邊形時(shí)，掌握平行四邊形，矩形，菱形，正方形的性質(zhì).
例4．如圖，已知二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，B，交y軸于點(diǎn)C．
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo)和直線的表達(dá)式；
(3)點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)
【分析】（1）將，代入函數(shù)解析式，求出a、b，即可求解；
（2）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法直線解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(t，t2-4t+3)，過點(diǎn)P作軸，表示出PE長(zhǎng)，得到△BCP面積與t函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)即可求解．
【詳解】（1）解：將，代入函數(shù)解析式，得
，
解得，
∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是
（2）當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，
設(shè)的表達(dá)式為，將點(diǎn)點(diǎn)代入函數(shù)解析式，得
，
解得，
∴直線的解析是為，
（3）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)P作軸，交直線于點(diǎn)，
，
∴
∵，
∴當(dāng)時(shí)，．
變式訓(xùn)練1．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，頂點(diǎn)為C．
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)求以A、B、C為頂點(diǎn)的的面積．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答，即可求解；
（2）過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)，即可求解．
【詳解】（1）解：把點(diǎn)，代入得：
，解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：如圖，過點(diǎn)C作軸于點(diǎn)D，
∵，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
∴，
∵，，
∴，
∴
．
變式訓(xùn)練2．如圖，已知拋物線交軸于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），交軸于點(diǎn)，其頂點(diǎn)為，連接．
(1)求點(diǎn)，，的坐標(biāo)；
(2)求點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)若點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)，，
(2)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為
【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，分別令和即可求出點(diǎn)，，的坐標(biāo)；
（2）將拋物線的一般式化為頂點(diǎn)式，即可得到頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作軸于，設(shè)，可得，，再證明，可得，即，變形得，即，解得的值，即可寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：∵拋物線，
令，則，
∴，
令，則，
解得，或，
∴，．
（2）解：∵拋物線，
∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（3）解：過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作軸于，
設(shè)，
∵，，
∴，，，，
∵軸，軸，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，解得或（舍去），
∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【課堂小結(jié)】
1．知識(shí)清單：
(1)一次函數(shù)，反比例函數(shù)的概念及性質(zhì)．
(2)二次函數(shù)的概念，性質(zhì)，幾何及相關(guān)問題．
2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合．
3．常見誤區(qū)：函數(shù)圖象的畫法和相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用．
【課后作業(yè)】
1、若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，則k、b的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，
，，故D正確．
故選：D．
2、已知點(diǎn)，，三點(diǎn)在直線的圖象上，且，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)，判斷出函數(shù)的增減性，再由，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵直線中，，
∴y隨x的增大而減小，
∵，
∴．
故選：B．
3、在平面直角坐標(biāo)系中，將直線向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】先根據(jù)圖形平移的性質(zhì)得出平移后的解析式，再求出此直線與x、y軸的交點(diǎn)，利用三角形的面積公式即可求解．
【詳解】解：將直線的圖象向上平移2個(gè)單位，得到，
令，得，
令，得，
∴平移后的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是，
故選：B．
4、如圖，函數(shù)與的圖象相交于點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先把點(diǎn)代入，即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)兩函數(shù)的圖象，即可求解．
【詳解】解：函數(shù)過點(diǎn)，
，
解得：，
，
由兩函數(shù)的圖象可知，
當(dāng)時(shí)，，即．
故選：D．
5、若點(diǎn)，，在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由得到函數(shù)的圖象分別在第二象限和第四象限內(nèi)，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大，然后得到，，的大小關(guān)系即可．
【詳解】解：∵反比例系數(shù)中，，
∴反比例函數(shù)圖象分別在第二象限和第四象限內(nèi)，在每個(gè)象限內(nèi)函數(shù)值y隨x的增大而增大，
，
，
故選：C．
6、已知反比例函數(shù)，下列說法不正確的是（ ）
A．圖象經(jīng)過點(diǎn) B．圖象分別位于第二、四象限內(nèi)
C．在每個(gè)象限內(nèi)y的值隨x的值增大而增大 D．時(shí)，
【答案】D
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可．
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以A正確，不符合題意；
因?yàn)榉幢壤瘮?shù)，
所以圖象分別位于第二、四象限內(nèi)；在每個(gè)象限內(nèi)y的值隨x的值增大而增大；
所以B、C正確，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，或，
所以D錯(cuò)誤，符合題意，
故選D．
7、在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與（k為常數(shù)且）的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】同一個(gè)選項(xiàng)中分別判斷出兩個(gè)函數(shù)的k值，看符號(hào)是否一致即可得到答案．
【詳解】解：A、由函數(shù)圖象可知中，，中，，故此選項(xiàng)不符合題意；
B、由函數(shù)圖象可知中，，中，，但是函數(shù)與y軸交于y軸正半軸，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、由函數(shù)圖象可知中，，中，，故此選項(xiàng)符合題意；
D、由函數(shù)圖象可知中，，中，，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選C．
8、如圖，正比例函數(shù)（a為常數(shù)，且）和反比例函數(shù)（k為常數(shù)，且）的圖像相交于和B兩點(diǎn)，則不等式的解集為（ ）
A．或
B．
C．或
D．或
【答案】C
【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到B點(diǎn)坐標(biāo)為，然后根據(jù)函數(shù)圖像位置及交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出結(jié)論．
【詳解】解：正比例函數(shù)（a為常數(shù)，且）和反比例函數(shù)（k為常數(shù)，且）的圖像相交于和B點(diǎn)．
A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，
反比例函數(shù)圖像位于一次函數(shù)的上方，
不等式的解集為或，
故選C．
9、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過x軸正半軸上任意一點(diǎn)P作y軸的平行線，分別交函數(shù)（）、（）的圖象于點(diǎn)A、點(diǎn)B．若C是y軸上任意一點(diǎn)，則的面積為（ ）
A．9 B．6
C． D．3
【答案】C
【分析】連接、，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得，，根據(jù)C是y軸上任意一點(diǎn)，軸，可得，
結(jié)合，問題得解．
【詳解】連接、，如圖，
根據(jù)題意有：，，
∵C是y軸上任意一點(diǎn)，軸，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：C．
10、將二次函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象右移減、左移加，上移加、下移減，可得答案．
【詳解】解：將二次函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后，所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是，
故選：A．
11、對(duì)于拋物線，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）
A．開口向上 B．對(duì)稱軸是直線
C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小 D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)值有最小值
【答案】C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸是直線，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值有最小值，
故選：C．
12、二次函數(shù)中的自變量x與函數(shù)值y的部分對(duì)應(yīng)值如表：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 5 …
則下列結(jié)論：①；②當(dāng)函數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)x的取值范圍是；③頂點(diǎn)坐標(biāo)為；④若點(diǎn)，在拋物線上，則．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為（ ）．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【答案】A
【分析】由待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式為，即判斷①，求出拋物線與x軸的交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)圖象即可判斷②，把函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，即可判斷③，分別求出和的函數(shù)值，即可判斷④．
【詳解】解：把點(diǎn)，，代入得，
，
解得，
∴，
∵，
∴，故①正確；
當(dāng)時(shí)，，解得
∴拋物線與軸的交點(diǎn)為，
的圖象如下：
由圖象可知，當(dāng)函數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)x的取值范圍是，故②錯(cuò)誤；
∵，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；故③正確；
∵當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)，在拋物線上，則．故④錯(cuò)誤；
綜上可知，所有正確結(jié)論的序號(hào)為①③，
故選：A
13、如圖為二次函數(shù)的圖象，該圖象與軸的交點(diǎn)是和，給由下列說法：①；②方程的根為，；③；④當(dāng)時(shí)，隨值的增大而增大；（5）當(dāng)時(shí)，或．其中，正確的說法有（ ）
A．①②④ B．①②⑤
C．①③⑤ D．②④⑤
【答案】B
【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸判斷①，根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)判斷②，根據(jù)函數(shù)圖象判斷③④⑤．
【詳解】解：∵對(duì)稱軸是，
∴，①正確；
∵二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為、，
∴方程的根為，，②正確；
∵當(dāng)時(shí)，，③錯(cuò)誤；
∵對(duì)稱軸是，開口向上，
∴當(dāng)時(shí)，隨值的增大而減小；④錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，或．⑤正確，
綜上所述，正確的有①②⑤，
故選：B．
14、如圖所示的二次函數(shù)的圖象中，某同學(xué)觀察得出了下面五條信息：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）你認(rèn)為其中錯(cuò)誤的有（ ）
A．4個(gè) B．3個(gè)
C．2個(gè) D．1個(gè)
【答案】D
【分析】（1）根據(jù)圖象與的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求根的判別式；（2）取時(shí)，；（3）對(duì)稱軸方程，根據(jù)圖象開口方向判斷與0的關(guān)系，將不等式變形即可；（4）取時(shí)，．（5）根據(jù)圖象對(duì)稱軸分析出和同號(hào)，由（2）得，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：由圖象得：拋物線與軸交于兩個(gè)點(diǎn)，
∴，結(jié)論（1）正確；
由函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)得：
當(dāng)時(shí)，，即，結(jié)論（2）錯(cuò)誤；
由拋物線的對(duì)稱軸的位置得：，
∴，
又∵拋物線開口向下，
∴，
∴
∴，結(jié)論（3）正確；
由函數(shù)圖象可得：當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值小于0，
即，結(jié)論（4）正確；
由該函數(shù)的圖象知，開口向下，
∴，
對(duì)稱軸方程，
∴，
∴、同號(hào)，
∴；
由（2）得，
∴，結(jié)論（5）正確；
綜上所述，（2）錯(cuò)誤，故只有1個(gè)錯(cuò)誤．
故答案為：D
15、已知：如圖，直線與x軸交于C點(diǎn)，與y軸交于A點(diǎn)，且是等腰直角三角形．
(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；
(3)若P點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且在第一象限，那么是否有最大面積？若有，求出的最大面積；若沒有，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)A，B，C
(2)
(3)存在，最大面積為
【分析】（1）運(yùn)用一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)分別求出A、C坐標(biāo)，再利用是等腰直角三角形，即可解答；
（2）用待定系數(shù)法即可求解；
（3）設(shè)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)N，進(jìn)而表示，，，由可得出，代入，再化為頂點(diǎn)式即可解答．
【詳解】（1）解：令得：，
故點(diǎn)C坐標(biāo)為；
令得，，
故點(diǎn)A的坐標(biāo)為
為等腰直角三角形
點(diǎn)B的坐標(biāo)為
故點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為
（2）解：設(shè)過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為
則，解得：
解析式為：
（3）解：存在．
如圖，設(shè)P是第一象限的拋物線上一點(diǎn)，
過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)N，則，，
在拋物線上，
代入上式得：
當(dāng)時(shí)，取得最大值，
所以，在第一象限的拋物線上，存在一點(diǎn)P，使得的面積最大，面積最大值為．

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