資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題5.11 函數（重難點題型精講）
1．勻速圓周運動的數學模型
筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中得到使用(圖5.6-2).明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理(圖5.6-2).
假定在水流量穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.
2．, A對函數的圖象的影響
(1)對的圖象的影響
函數（其中）的圖象，可以看作是把正弦曲線上所有的點向左(當>0時)
或向右(當<0時)平移||個單位長度而得到(可簡記為“左加右減”).
(2)對的圖象的影響
函數的圖象，可以看作是把的圖象上所有點的橫坐標縮短(當>1時)或
伸長(當0<<1時)到原來的倍(縱坐標不變)而得到.
(3)對的圖象的影響
函數的圖象，可以看作是把圖象上所有點的縱坐標伸長(當A>1時)
或縮短(當0(4)由函數的圖象得到函數的圖象
以上兩種方法的圖示如下：
3．函數的圖象
類似于正弦型函數，余弦型函數的圖象的畫法有以下兩種.
(1)“五點法”，令，求出相應的x值及y值，利用這五個點，可以得到
在一個周期內的圖象，然后再把這一段上的圖象向左向右延伸，即得的圖象.
(2)“變換作圖法”的途徑有兩種.
一是類似于正弦型函數的變換作圖法，可由的圖象通過變換作圖法得到 (>0,A>0)的圖象，即：
二是由誘導公式將余弦型函數轉化為正弦型函數，即，再由的圖象通過變換作圖法得到的圖象即可.
【題型1 “五點法”作函數的圖象】
【方法點撥】
用“五點法”畫函數 (x∈R)的簡圖，先作變量代換，令X=，再用方程思想由X取
來確定對應的x值，最后根據x,y的值描點、連線、擴展，畫出函數的圖象.
【例1】（2022·全國·高一課時練習）用五點法作函數的圖象時，得到如下表格：
0
0 4 0 -4 0
則，，的值分別為（ ）
A．4，2， B．4，， C．4，2， D．4，，
【變式1-1】（2022·全國·高一課時練習）用“五點法”作在的圖象時，應取的五點為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）某同學用“五點法”畫函數在一個周期內的簡圖時，列表如下：
0
x
y 0 2 0 0
則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2021·浙江臺州·高一期中）小明用“五點法”畫函數在某一個周期內的圖象時列表并填入了部分數據，如下表：
0
x
0 2 0 0
請你根據已有信息推算A，的值依次為（ ）
A．2，2， B．2，2， C．2，， D．2，2，
【題型2 三角函數間圖象的變換】
【方法點撥】
可以使用“先伸縮后平移”或“先平移后伸縮”兩種方法來進行變換.
【例2】（2022·寧夏·高三階段練習（理））為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象（ ）
A．橫坐標伸長為原來的兩倍，縱坐標不變，再向左平移個單位
B．橫坐標伸長為原來的兩倍，縱坐標不變，再向左平移個單位
C．橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，再向左平移個單位
D．橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，再向左平移個單位
【變式2-1】（2022·天津·高三階段練習）將函數的圖象先向右平移個單位長度，再把所得函數圖象上每一個點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2022·山東青島·高三期中）把函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個長度單位，得到函數的圖象，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】（2022·安徽·高二開學考試）已知函數，先將的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度，得到的圖象，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【題型3 與三角恒等變換有關的圖象變換問題】
【方法點撥】
根據三角恒等變換的相關知識對所給解析式進行化簡，利用圖象變換規律進行變換即可.
【例3】（2022·廣東廣州·高三階段練習）已知函數，將的圖像先向右平移個單位長度，然后再向下平移1個單位長度，得到函數的圖像，若圖像關于對稱，則為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2022·江西·高三階段練習（文））已知函數，現給出下列四個結論，其中正確的是（ ）
A．函數的最小正周期為
B．函數在上單調遞增
C．將函數的圖像向左平移個單位長度，所得圖像對應的函數解析式為
D．將函數的圖像向左平移個單位長度，所得圖像對應的函數解析式為
【變式3-2】（2022·全國·高三專題練習）將函數的圖象向右平移個單位長度，然后將所得函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的（縱坐標不變），得到函數的圖象，則的單調遞增區間是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-3】（2022·天津·高三期中）已知函數，現給出下列四個結論，其中正確的是（ ）
A．函數的最小正周期為
B．函數的最大值為2
C．函數在上單調遞增
D．將函數的圖象向右平移個單位長度；所得圖象對應的解析式為
【題型4 由部分圖象求函數的解析式】
【方法點撥】
根據部分圖象求出解析式中的A，，即可得解.
【例4】（2022·黑龍江·高三階段練習）函數的部分圖象如圖所示，則函數的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2022·廣東佛山·高三期中）已知函數的圖象如圖所示，則的表達式可以為（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2022·四川·高三期中（理））已知函數的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．直線是函數的圖象的一條對稱軸
B．函數的圖象的對稱中心為，
C．函數在上單調遞增
D．將函數的圖象向左平移個單位長度后，可得到一個偶函數的圖象
【變式4-3】（2022·寧夏·高三階段練習（理））函數的部分圖象如圖所示，下列說法不正確的是（ ）
A．函數的解析式為
B．函數的單調遞增區間為
C．為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象向右平移個單位長度，再向上平移一個單位長度
D．函數的圖象關于點對稱
【題型5 三角函數模型在勻速圓周運動中的應用】
【方法點撥】
利用三角函數模型解決實際問題時，首先尋找與角有關的信息，確定選用正弦、余弦還是正切型函數模型；
其次是尋找數據，建立函數解析式并解題；最后將所得結果“翻譯”成實際答案，要注意根據實際作答.
【例5】（2022·全國·高一課時練習）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉盤直徑為110m，設置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要30min.
（1）游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動tmin后距離地面的高度為Hm，求在轉動一周的過程中，H關于t的函數解析式；
（2）求游客甲在開始轉動5min后距離地面的高度；
（3）若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h（單位：m）關于t的函數解析式，并求高度差的最大值（精確到0.1）.
【變式5-1】（2022·陜西漢中·高一期中）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中使用，明朝科學家徐光啟所著《農政全書》中描繪了筒車的工作原理．如圖，一個半徑為3m的筒車，按逆時針方向轉一周的時長為2min，筒車的軸心O距離水面的高度為1.5m，筒車上均勻分布了12個盛水筒，設筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為y（單位：m）（在水面下則y為負數），若以盛水筒P裝剛浮出水面時開始計算時間，則y與時間t（單位：min）之間的關系為．
(1)求A，m，φ，b的值；
(2)盛水簡出水后至少經過多長時間就可以到達最高點？
【變式5-2】（2022·全國·高一課時練習）已知電流隨時間t變化的關系式是.
(1)求電流i的周期 頻率 振幅和初相;
(2)分別求時的電流.
【變式5-3】（2022·吉林·高一期末）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中得到應用.假定在水流穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車半徑為4，筒車轉輪的中心O到水面的距離為2，筒車每分鐘沿逆時針方向轉動4圈.規定：盛水筒M對應的點P從水中浮現（即P0時的位置）時開始計算時間，且以水輪的圓心O為坐標原點，過點O的水平直線為x軸建立平面直角坐標系.設盛水筒M從點P0運動到點P時所經過的時間為t（單位：），且此時點P距離水面的高度為h（單位：）（在水面下則h為負數）.
(1)求點P距離水面的高度為h關于時間為t的函數解析式；
(2)求點P第一次到達最高點需要的時間（單位：）.
【題型6 函數與三角恒等變換的綜合應用】
【方法點撥】
對于給角求值問題，需觀察題中角之同的關系，并能根據式子的特點構造出二倍角的形式，正用、逆用、
變形用二倍角公式求值，注意利用誘導公式和同角三角函數的基本關系對已知式進行轉化.
【例6】（2022·福建·高三期中）已知函數．
(1)求函數的單調遞減區間；
(2)將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，當時，求函數的取值范圍．
【變式6-1】（2022·湖北·高一階段練習）已知函數.
(1)求函數在區間上的單調減區間；
(2)將函數圖像向右移動個單位，再將所得圖像上各點的橫坐標縮短到原來的倍得到的圖像，若在區間上至少有100個最大值，求的取值范圍.
【變式6-2】（2022·寧夏高三階段練習（文））已知函數．
(1)若，求的值；
(2)將函數的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，求函數在上的值域．
【變式6-3】（2022·江蘇常州·高三期中）記函數的最小正周期為T．若，且的圖象關于直線對稱．
(1)求的值；
(2)將函數的圖象向左平移個單位，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，求在上的值域．
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專題5.11 函數（重難點題型精講）
1．勻速圓周運動的數學模型
筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中得到使用(圖5.6-2).明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理(圖5.6-2).
假定在水流量穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.
2．, A對函數的圖象的影響
(1)對的圖象的影響
函數（其中）的圖象，可以看作是把正弦曲線上所有的點向左(當>0時)
或向右(當<0時)平移||個單位長度而得到(可簡記為“左加右減”).
(2)對的圖象的影響
函數的圖象，可以看作是把的圖象上所有點的橫坐標縮短(當>1時)或
伸長(當0<<1時)到原來的倍(縱坐標不變)而得到.
(3)對的圖象的影響
函數的圖象，可以看作是把圖象上所有點的縱坐標伸長(當A>1時)
或縮短(當0(4)由函數的圖象得到函數的圖象
以上兩種方法的圖示如下：
3．函數的圖象
類似于正弦型函數，余弦型函數的圖象的畫法有以下兩種.
(1)“五點法”，令，求出相應的x值及y值，利用這五個點，可以得到
在一個周期內的圖象，然后再把這一段上的圖象向左向右延伸，即得的圖象.
(2)“變換作圖法”的途徑有兩種.
一是類似于正弦型函數的變換作圖法，可由的圖象通過變換作圖法得到 (>0,A>0)的圖象，即：
二是由誘導公式將余弦型函數轉化為正弦型函數，即，再由的圖象通過變換作圖法得到的圖象即可.
【題型1 “五點法”作函數的圖象】
【方法點撥】
用“五點法”畫函數 (x∈R)的簡圖，先作變量代換，令X=，再用方程思想由X取
來確定對應的x值，最后根據x,y的值描點、連線、擴展，畫出函數的圖象.
【例1】（2022·全國·高一課時練習）用五點法作函數的圖象時，得到如下表格：
0
0 4 0 -4 0
則，，的值分別為（ ）
A．4，2， B．4，， C．4，2， D．4，，
【解題思路】由表中數據求出、的值，利用周期公式可求的值，根據圖象過，，即可求得的值．
【解答過程】解：由表中的最大值為4，最小值為，可得，
由，則，，
，圖象過，，
， ，，解得，
，當時，．
故選：．
【變式1-1】（2022·全國·高一課時練習）用“五點法”作在的圖象時，應取的五點為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】取內五個關鍵點，即分別令x＝0，，，π，2π即可．
【解答過程】∵，
∴周期T＝2π．
由“五點法”作圖可知:
應描出的五個點的橫坐標分別是x＝0，，π，，2π．代入解析式可得點的坐標分別為，∴B正確．
故選：B．
【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習）某同學用“五點法”畫函數在一個周期內的簡圖時，列表如下：
0
x
y 0 2 0 0
則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由表格中的五點，由正弦型函數的性質可得、、求參數，即可寫出的解析式.
【解答過程】由表中數據知：且，則，
∴，即，又，可得.
∴.
故選：D.
【變式1-3】（2021·浙江臺州·高一期中）小明用“五點法”畫函數在某一個周期內的圖象時列表并填入了部分數據，如下表：
0
x
0 2 0 0
請你根據已有信息推算A，的值依次為（ ）
A．2，2， B．2，2， C．2，， D．2，2，
【解題思路】根據“五點法”中五點對應的值計算．
【解答過程】由已知，，
解得．
故選：D.
【題型2 三角函數間圖象的變換】
【方法點撥】
可以使用“先伸縮后平移”或“先平移后伸縮”兩種方法來進行變換.
【例2】（2022·寧夏·高三階段練習（理））為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象（ ）
A．橫坐標伸長為原來的兩倍，縱坐標不變，再向左平移個單位
B．橫坐標伸長為原來的兩倍，縱坐標不變，再向左平移個單位
C．橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，再向左平移個單位
D．橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，再向左平移個單位
【解題思路】根據三角函數的函數變換規則，結合誘導公式，可得答案.
【解答過程】由函數，將橫坐標伸長為原來的兩倍，縱坐標不變，可得函數，
由，則將函數，向左平移個單位，可得，
故選：B.
【變式2-1】（2022·天津·高三階段練習）將函數的圖象先向右平移個單位長度，再把所得函數圖象上每一個點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據三角函數圖象的變換求得，再求結果即可.
【解答過程】將函數的圖象先向右平移個單位長度，得到的圖象；
再把所得函數圖象上每一個點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象；
故.
故選：C.
【變式2-2】（2022·山東青島·高三期中）把函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個長度單位，得到函數的圖象，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據圖象變換求解析式即可.
【解答過程】向左平移得到，然后橫坐標縮短為原來的倍得到，所以.
故選：A.
【變式2-3】（2022·安徽·高二開學考試）已知函數，先將的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度，得到的圖象，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用三角函數的伸縮變換和平移變換求解.
【解答過程】解：先將的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到的圖象，
再向左平移個單位長度，則，
故選：A．
【題型3 與三角恒等變換有關的圖象變換問題】
【方法點撥】
根據三角恒等變換的相關知識對所給解析式進行化簡，利用圖象變換規律進行變換即可.
【例3】（2022·廣東廣州·高三階段練習）已知函數，將的圖像先向右平移個單位長度，然后再向下平移1個單位長度，得到函數的圖像，若圖像關于對稱，則為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據輔助角公式將化簡，利用圖像變換得到的解析式，再由對稱和的范圍求得的值.
【解答過程】由已知.
將的圖像先向右平移個單位長度，然后再向下平移1個單位長度.
得到.若圖像關于對稱，
則，所以.
故，又因為，所以.
故選：B.
【變式3-1】（2022·江西·高三階段練習（文））已知函數，現給出下列四個結論，其中正確的是（ ）
A．函數的最小正周期為
B．函數在上單調遞增
C．將函數的圖像向左平移個單位長度，所得圖像對應的函數解析式為
D．將函數的圖像向左平移個單位長度，所得圖像對應的函數解析式為
【解題思路】首先利用三角恒等變換化簡函數，再根據函數的性質依次判斷選項
【解答過程】解：
函數的最小正周期為,故A不正確；
，則，當時函數單調遞減，即時函數單調遞減，時函數單調遞增，故B不正確；
將函數的圖像向左平移個單位長度，所得圖像對應的函數解析式為，故C不正確；
將函數的圖像向左平移個單位長度，所得圖像對應的函數解析式為，故D正確；
故選：D.
【變式3-2】（2022·全國·高三專題練習）將函數的圖象向右平移個單位長度，然后將所得函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的（縱坐標不變），得到函數的圖象，則的單調遞增區間是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先利用三角恒等變換化簡，得到，再根據平移和伸縮變換得到的解析式，利用整體法求解出單調遞增區間.
【解答過程】，
則，
令，
解得：，
故選：A.
【變式3-3】（2022·天津·高三期中）已知函數，現給出下列四個結論，其中正確的是（ ）
A．函數的最小正周期為
B．函數的最大值為2
C．函數在上單調遞增
D．將函數的圖象向右平移個單位長度；所得圖象對應的解析式為
【解題思路】首先利用三角恒等變換化簡函數，再根據函數的性質依次判斷選項
【解答過程】對于A和B， ，
所以的最小正周期為，的最大值為1，故A錯誤，B錯誤，
對于C，當時，，
因為在上單調遞增，所以函數在上單調遞增，故C正確；
對于D，將函數的圖像向右平移個單位長度，所得圖像對應的函數解析式為，故D不正確，
故選：C.
【題型4 由部分圖象求函數的解析式】
【方法點撥】
根據部分圖象求出解析式中的A，，即可得解.
【例4】（2022·黑龍江·高三階段練習）函數的部分圖象如圖所示，則函數的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】由函數圖象得到、，即可求出，再根據函數過點及的取值范圍，求出，即可得解.
【解答過程】解：由函數圖象可得，，所以，又，解得，
所以，由函數過，所以，
所以，，所以，，
又，所以，
所以.
故選：B.
【變式4-1】（2022·廣東佛山·高三期中）已知函數的圖象如圖所示，則的表達式可以為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據振幅可確定根據周期可確定，進而根據最高點確定，代入中化簡即可求解.
【解答過程】由圖可知： ,
經過最高點，故,故，
所以．
故選：A．
【變式4-2】（2022·四川·高三期中（理））已知函數的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．直線是函數的圖象的一條對稱軸
B．函數的圖象的對稱中心為，
C．函數在上單調遞增
D．將函數的圖象向左平移個單位長度后，可得到一個偶函數的圖象
【解題思路】先根據函數圖象，求出函數的解析式，然后根據三角函數的周期，對稱軸，單調區間，奇偶性逐項進行檢驗即可求解.
【解答過程】由函數圖象可知，，最小正周期為，所以.將點代入函數解析式中，得.又因為，所以，故.
對于A，令，，即，，令，則，故A錯誤；
對于B，令，則，，所以，，即函數的圖象的對稱中心為，，故B正確；
對于C，令，解得，
因為，所以函數在上單調遞減，
在上單調遞增，故C錯誤；
對于D，將函數的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象，該函數不是偶函數，故D錯誤.
故選：.
【變式4-3】（2022·寧夏·高三階段練習（理））函數的部分圖象如圖所示，下列說法不正確的是（ ）
A．函數的解析式為
B．函數的單調遞增區間為
C．為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象向右平移個單位長度，再向上平移一個單位長度
D．函數的圖象關于點對稱
【解題思路】由題意求出的解析式可判斷A；利用正弦函數的單調性和對稱性可判斷BD；由三角函數的平移變換可判斷C.
【解答過程】對于A選項，不妨設，則，，
由，則，
兩式相減得，所以①，
設函數的最小正周期為，因為，
所以，結合①，，
因為，所以，可得，
因為，所以，，所以，故A正確；
對于B，由，
解得：，故B正確；
對于C，將函數向右平移個單位得到，
向上平移一個單位長度可得，故C正確；
對于D，令，解得：，
函數的圖象關于點對稱，所以D不正確；
故選：D.
【題型5 三角函數模型在勻速圓周運動中的應用】
【方法點撥】
利用三角函數模型解決實際問題時，首先尋找與角有關的信息，確定選用正弦、余弦還是正切型函數模型；
其次是尋找數據，建立函數解析式并解題；最后將所得結果“翻譯”成實際答案，要注意根據實際作答.
【例5】（2022·全國·高一課時練習）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉盤直徑為110m，設置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要30min.
（1）游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動tmin后距離地面的高度為Hm，求在轉動一周的過程中，H關于t的函數解析式；
（2）求游客甲在開始轉動5min后距離地面的高度；
（3）若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h（單位：m）關于t的函數解析式，并求高度差的最大值（精確到0.1）.
【解題思路】（1）如圖，設座艙距離地面最近的位置為點P，以軸心Q為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標系，座艙轉動的角速度約為，計算得到答案.
（2）將數據代入解析式計算得到答案.
（3）計算，，相減得到
，計算最值得到答案.
【解答過程】（1）如圖，設座艙距離地面最近的位置為點P，以軸心Q為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標系，
設時，游客甲位于點，以OP為終邊的角為；
根據摩天輪轉一周大約需要30min，可知座艙轉動的角速度約為，
由題意可得，.
（2）當時，.
所以游客甲在開始轉動5min后距離地面的高度約為37.5m.
（3）如圖，甲、乙兩人的位置分別用點A，B表示，則.
經過tmin后甲距離地面的高度為，
點B相對于點A始終落后，
此時乙距離地面的高度為.
則甲、乙距離地面的高度差
，
利用，
可得，.
當，即（或228）時，h的最大值為.
所以甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值約為7.2m.
【變式5-1】（2022·陜西漢中·高一期中）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中使用，明朝科學家徐光啟所著《農政全書》中描繪了筒車的工作原理．如圖，一個半徑為3m的筒車，按逆時針方向轉一周的時長為2min，筒車的軸心O距離水面的高度為1.5m，筒車上均勻分布了12個盛水筒，設筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為y（單位：m）（在水面下則y為負數），若以盛水筒P裝剛浮出水面時開始計算時間，則y與時間t（單位：min）之間的關系為．
(1)求A，m，φ，b的值；
(2)盛水簡出水后至少經過多長時間就可以到達最高點？
【解題思路】（1）由題可得，結合條件可得，，即得；
（2）由函數最大值為，可得，即，取得答案；
【解答過程】（1）
由題易知，解得，．
由題知，得，
∴，
∴，，
∴．
∴，，，．
（2）
由，得，
∴，，即，．
∴當時，盛水筒出水后第一次到達最高點，此時,
即盛水簡出水后至少經過就可以到達最高點.
【變式5-2】（2022·全國·高一課時練習）已知電流隨時間t變化的關系式是.
(1)求電流i的周期 頻率 振幅和初相;
(2)分別求時的電流.
【解題思路】（1）由三角函數的，和的意義進行求解即可．
（2）代入函數解析式求值即可.
【解答過程】解：（1）
，，
所以函數的周期，頻率，振幅，初期.
（2）當時,;
當時,;
當時,;
當時,;
當時,.
【變式5-3】（2022·吉林·高一期末）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，因其經濟又環保，至今還在農業生產中得到應用.假定在水流穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車半徑為4，筒車轉輪的中心O到水面的距離為2，筒車每分鐘沿逆時針方向轉動4圈.規定：盛水筒M對應的點P從水中浮現（即P0時的位置）時開始計算時間，且以水輪的圓心O為坐標原點，過點O的水平直線為x軸建立平面直角坐標系.設盛水筒M從點P0運動到點P時所經過的時間為t（單位：），且此時點P距離水面的高度為h（單位：）（在水面下則h為負數）.
(1)求點P距離水面的高度為h關于時間為t的函數解析式；
(2)求點P第一次到達最高點需要的時間（單位：）.
【解題思路】（1）根據題意，建立函數關系式；
（2）直接解方程即可求解.
【解答過程】（1）
盛水筒M從點P0運動到點P時所經過的時間為t，則以Ox為始邊，OP為終邊的角為，故P點的縱坐標為，
則點離水面的高度，（t≥0).
（2）
令，得，得，，
得，，
因為點P第一次到達最高點，所以，
所以.
【題型6 函數與三角恒等變換的綜合應用】
【方法點撥】
對于給角求值問題，需觀察題中角之同的關系，并能根據式子的特點構造出二倍角的形式，正用、逆用、
變形用二倍角公式求值，注意利用誘導公式和同角三角函數的基本關系對已知式進行轉化.
【例6】（2022·福建·高三期中）已知函數．
(1)求函數的單調遞減區間；
(2)將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再將所得圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，當時，求函數的取值范圍．
【解題思路】（1）利用三角恒等變換得到，整體法求解函數的單調遞減區間；
（2）根據伸縮變換和平移變換得到，根據，得到，結合正弦函數圖象求解出值域.
【解答過程】（1），
令，則，
所以函數的單調遞減區間為：．
（2）將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，
得到函數的圖象，再將圖象向左平移個單位，
得到的圖象，
因為，所以，
所以的值域為．
【變式6-1】（2022·湖北·高一階段練習）已知函數.
(1)求函數在區間上的單調減區間；
(2)將函數圖像向右移動個單位，再將所得圖像上各點的橫坐標縮短到原來的倍得到的圖像，若在區間上至少有100個最大值，求的取值范圍.
【解題思路】（1）先化簡，再利用正弦函數的性質即可得到答案；
（2）先利用題意的圖象變換得到，再根據的性質得到不等式即可求解
【解答過程】（1）依題意可得
，
當時，，則由得，
即在上單調遞減，
所以函數在區間上的單調遞減區間是；
（2）由（1）知，，將函數圖像向右移動個單位所得函數為，
于是得，
因為，，又在軸右側的第50個最大值點為，在軸左側的第50個最大值點為，
故，解得，所以.
所以的取值范圍.
【變式6-2】（2022·寧夏高三階段練習（文））已知函數．
(1)若，求的值；
(2)將函數的圖象向左平移個單位，得到函數的圖象，求函數在上的值域．
【解題思路】（1）利用二倍角公式、兩角差的正弦展開式進行化簡可得，再計算可得答案；
（2）利用平移可得函數的解析式，根據的范圍可得答案.
【解答過程】（1），
由，得，即，
故或，，
即或，，又∵∴；
（2）將函數的圖象向左平移個單位，可得函數圖象的解析式為，，
，
所以函數在上的值域為．
【變式6-3】（2022·江蘇常州·高三期中）記函數的最小正周期為T．若，且的圖象關于直線對稱．
(1)求的值；
(2)將函數的圖象向左平移個單位，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，求在上的值域．
【解題思路】整理函數為正弦型函數，再根據對稱性得取值情況，結合最小正周期的范圍，轉化為的取值范圍，結合可得的值；
根據三角函數的圖象變換得函數的解析式，再根據自變量的取值范圍得函數的值域.
【解答過程】（1）解：，
所以．
因為函數圖象關于直線對稱，所以，，
所以，，因為函數的最小正周期T滿足，
所以，解得，所以．
（2）解：由（1）得，，所以
則．
因為，所以，
，，
在上的值域為．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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