資源簡介

中小學教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題5.13 三角函數(shù)的應(yīng)用（重難點題型精講）
1．函數(shù)，中各量的物理意義
在物理中，描述簡諧運動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與函數(shù)
中的常數(shù)有關(guān).
2．三角函數(shù)的簡單應(yīng)用
(1)三角函數(shù)應(yīng)用的步驟
(2) 三角函數(shù)的常見應(yīng)用類型
①三角函數(shù)在物體簡諧運動問題中的應(yīng)用.
物體的簡諧運動是一種常見的運動，它的特點是周而復始，因此可以用三角函數(shù)來模擬這種運動狀態(tài).
②三角函數(shù)在幾何、實際生活中的圓周運動問題中的應(yīng)用.
物體的旋轉(zhuǎn)顯然具有周期性，因此也可以用三角函數(shù)來模擬這種運動狀態(tài).
③三角函數(shù)在生活中的周期性變化問題中的應(yīng)用.
大海中的潮汐現(xiàn)象、日常生活中的氣溫變化、季節(jié)更替等都具有周期性，因此常用三角函數(shù)模型來解
決這些問題.
【題型1 三角函數(shù)在物體簡諧運動問題中的應(yīng)用】
【方法點撥】
物體的簡諧運動是一種常見的運動，它的特點是周而復始，因此可以用三角函數(shù)來模擬這種運動狀態(tài).
【例1】（2022·全國·高三階段練習（文））如圖所示是某彈簧振子做簡諧運動的部分圖象，則下列判斷錯誤的是（ ）
A．該彈簧振子的振幅為
B．該彈簧振子的振動周期為
C．該彈簧振子在和時振動速度最大
D．該彈簧振子在和時的位移為零
【變式1-1】（2021·全國·高一專題練習）在圖中，點O為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運動到距離平衡位置最遠處時開始計時．則物體對平衡位置的位移x（單位：cm）和時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式為（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-2】（2022·湖南·高一課時練習）如圖為一簡諧運動的圖象，則下列判斷正確的是
A．該質(zhì)點的振動周期為
B．該質(zhì)點的振幅為
C．該質(zhì)點在和時的振動速度最大
D．該質(zhì)點在和時的加速度為
【變式1-3】（2022·寧夏·高三階段練習（理））我們來看一個簡諧運動的實驗：將塑料瓶底部扎一個小孔做成一個漏斗，再掛在架子上，就做成一個簡易單擺．在漏斗下方放一塊紙板，板的中間畫一條直線作為坐標系的橫軸，把漏斗灌上細沙拉離平衡位置，放手使它擺動，同時勻速拉動紙板，這樣就可在紙板上得到一條曲線，它就是簡諧運動的圖象．它表示了漏斗對平衡位置的位移（縱坐標）隨時間（橫坐標）變化的情況．如圖所示．已知一根長為的線一端固定，另一端懸掛一個漏斗，漏斗擺動時離開平衡位置的位移（單位：）與時間（單位：）的函數(shù)關(guān)系是，其中，，則估計線的長度應(yīng)當是（精確到）（ ）
A．3.6 B．3.8 C．4.0 D．4.5
【題型2 三角函數(shù)在圓周運動問題中的應(yīng)用】
【方法點撥】
這類題一般明確地指出了周期現(xiàn)象滿足的變化規(guī)律，例如，周期現(xiàn)象可用形如或
的函數(shù)來刻畫，只需根據(jù)已知條件確定參數(shù)，求解函數(shù)解析式，再將題目涉及的具
體的數(shù)值代入計算即可.
【例2】（2022·浙江溫州·高二期中）一半徑為2米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1米，已知水輪每60秒逆時針勻速轉(zhuǎn)動一圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計時，則點P距離水面的高度h（米）與t（秒）的一個函數(shù)解析式為（　　）
A． B．
C． D．
【變式2-1】（2022·全國·高一課時練習）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到應(yīng)用.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車半徑為4，筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離為2，筒車每分鐘沿逆時針方向轉(zhuǎn)動4圈.規(guī)定：盛水筒M對應(yīng)的點P從水中浮現(xiàn)（即P0時的位置）時開始計算時間，且以水輪的圓心O為坐標原點，過點O的水平直線為x軸建立平面直角坐標系.設(shè)盛水筒M從點P0運動到點P時所經(jīng)過的時間為t（單位：），且此時點P距離水面的高度為h（單位：），則點P第一次到達最高點需要的時間為（ ）.
A．2 B．3 C．5 D．10
【變式2-2】（2022·北京·高一期末）石景山游樂園“夢想之星”摩天輪采用國內(nèi)首創(chuàng)的橫梁中軸結(jié)構(gòu)，風格現(xiàn)代簡約.“夢想之星”摩天輪直徑米，總高約米，勻速旋轉(zhuǎn)一周時間為分鐘，配有個球形全透視度全景座艙.如果不考慮座艙高度等其它因素，該摩天輪的示意圖如圖所示，游客從離地面最近的位置進入座艙，旋轉(zhuǎn)一周后出艙.甲乙兩名同學通過即時交流工具發(fā)現(xiàn)，他們兩人進入各自座艙的時間相差分鐘.這兩名同學在摩天輪上游玩的過程中，他們所在的高度之和的最大值約為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【變式2-3】（2022·上海市高三期中）如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為 ，轉(zhuǎn)盤直徑為，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周需要 .游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，開始轉(zhuǎn)動 后距離地面的高度為 ，則在轉(zhuǎn)動一周的過程中，高度關(guān)于時間的函數(shù)解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【題型3 三角函數(shù)在生活中的周期性變化問題中的應(yīng)用】
【方法點撥】
大海中的潮汐現(xiàn)象、日常生活中的氣溫變化、季節(jié)更替等都具有周期性，因此常用三角函數(shù)模型來解決這
些問題.
【例3】（2021·全國·高一專題練習）如圖是某市夏季某一天從6時到14時的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)，則該市這一天中午12時天氣的溫度大約是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2022·全國·高三專題練習）夏季來臨，人們注意避暑．如圖是某市夏季某一天從時到時的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)，則該市這一天中午時天氣的溫度大約是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2022·全國·高一專題練習）某市一年12個月的月平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用函數(shù)（）來表示，已知該市6月份的平均氣溫最高，為，12月份的平均氣溫最低，為，則該市8月份的平均氣溫為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2021·全國·高一專題練習）月均溫全稱月平均氣溫，氣象學術(shù)語，指一月所有日氣溫的平均氣溫．某城市一年中個月的月均溫（單位：）與月份（單位：月）的關(guān)系可近似地用函數(shù)（）來表示，已知月份的月均溫為，月份的月均溫為，則月份的月均溫為（ ）
A． B． C． D．
【題型4 用擬合法建立三角函數(shù)模型】
【方法點撥】
數(shù)據(jù)擬合問題的實質(zhì)是根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)畫出簡圖，求相關(guān)函數(shù)的解析式進而研究實際問題.在求解與三
角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)擬合問題時，需弄清楚的具體舍義，只有掌握了這三個參數(shù)的含義，才可以實現(xiàn)
符號語言(解析式)與圖形語言(函數(shù)圖象)之間的相互轉(zhuǎn)化.
【例4】（2022·全國·高一課時練習）某港口的水深(單位：)是時間(，單位：)的函數(shù)，下面是該港口的水深數(shù)據(jù)：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
10 13 9.9 7 10 13 9.9 7 10
一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于時就是安全的．
(1)若有以下幾個函數(shù)模型：，你認為哪個模型可以更好地刻畫y與t之間的對應(yīng)關(guān)系？請說明理由，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；
(2)如果船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間？
【變式4-1】（2023·全國·高三專題練習）“八月十八潮，壯觀天下無．”——蘇軾《觀浙江濤》，該詩展現(xiàn)了湖水漲落的壯闊畫面，某中學數(shù)學興趣小組進行潮水漲落與時間的關(guān)系的數(shù)學建模活動，通過實地考察某港口水深y（米）與時間（單位：小時）的關(guān)系，經(jīng)過多次測量篩選，最后得到下表數(shù)據(jù)：
t（小時） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1
該小組成員通過查閱資料、咨詢老師等工作，以及現(xiàn)有知識儲備，再依據(jù)上述數(shù)據(jù)描成曲線，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成函數(shù)圖象．
(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出近似函數(shù)的表達式；
(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底與水面的距離）為8米，請你運用上面興趣小組所得數(shù)據(jù)，結(jié)合所學知識，給該船舶公司提供安全進此港時間段的建議．
【變式4-2】（2021·全國·高一專題練習）某“帆板”集訓隊在一海濱區(qū)域進行集訓，該海濱區(qū)域的海浪高度（米）隨著時間（，單位：小時）而周期性變化．每天各時刻的浪高數(shù)據(jù)的平均值如下表：
（時）
（米）
(1)試在圖中描出所給點；
(2)觀察圖，從，，中選擇一個合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的解析式；
(3)如果確定在一天內(nèi)的時至時之間，當浪高不低于米時才進行訓練，試安排恰當?shù)挠柧殨r間．
【變式4-3】（2022·福建·高三期中）平潭國際“花式風箏沖浪”集訓隊，在平潭龍鳳頭海濱浴場進行集訓，海濱區(qū)域的某個觀測點觀測到該處水深y（米）是隨著一天的時間t（0≤t≤24，單位小時）呈周期性變化，某天各時刻t的水深數(shù)據(jù)的近似值如表：
t（時） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y（米） 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
(1)根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點圖（坐標系在答題卷中）．觀察散點圖，從①，②，③ ．中選擇一個合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；
(2)為保證隊員安全，規(guī)定在一天中的5～18時且水深不低于1.05米的時候進行訓練，根據(jù)（1）中的選擇的函數(shù)解析式，試問：這一天可以安排什么時間段組織訓練，才能確保集訓隊員的安全．
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專題5.13 三角函數(shù)的應(yīng)用（重難點題型精講）
1．函數(shù)，中各量的物理意義
在物理中，描述簡諧運動的物理量，如振幅、周期和頻率等都與函數(shù)
中的常數(shù)有關(guān).
2．三角函數(shù)的簡單應(yīng)用
(1)三角函數(shù)應(yīng)用的步驟
(2) 三角函數(shù)的常見應(yīng)用類型
①三角函數(shù)在物體簡諧運動問題中的應(yīng)用.
物體的簡諧運動是一種常見的運動，它的特點是周而復始，因此可以用三角函數(shù)來模擬這種運動狀態(tài).
②三角函數(shù)在幾何、實際生活中的圓周運動問題中的應(yīng)用.
物體的旋轉(zhuǎn)顯然具有周期性，因此也可以用三角函數(shù)來模擬這種運動狀態(tài).
③三角函數(shù)在生活中的周期性變化問題中的應(yīng)用.
大海中的潮汐現(xiàn)象、日常生活中的氣溫變化、季節(jié)更替等都具有周期性，因此常用三角函數(shù)模型來解
決這些問題.
【題型1 三角函數(shù)在物體簡諧運動問題中的應(yīng)用】
【方法點撥】
物體的簡諧運動是一種常見的運動，它的特點是周而復始，因此可以用三角函數(shù)來模擬這種運動狀態(tài).
【例1】（2022·全國·高三階段練習（文））如圖所示是某彈簧振子做簡諧運動的部分圖象，則下列判斷錯誤的是（ ）
A．該彈簧振子的振幅為
B．該彈簧振子的振動周期為
C．該彈簧振子在和時振動速度最大
D．該彈簧振子在和時的位移為零
【解題思路】由簡諧運動圖象可得出該彈簧振子的振幅、最小正周期，可判斷AB選項的正誤，再根據(jù)簡諧振動的幾何意義可判斷CD選項的正誤.
【解答過程】由圖象及簡諧運動的有關(guān)知識知，該彈簧振子的振幅為，振動周期為，
當或時，振動速度為零，該彈簧振子在和時的位移為零.
所以，ABD選項正確，C選項錯誤.
故選：C.
【變式1-1】（2021·全國·高一專題練習）在圖中，點O為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運動到距離平衡位置最遠處時開始計時．則物體對平衡位置的位移x（單位：cm）和時間t（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系式為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】設(shè)，根據(jù)振幅確定，根據(jù)周期確定，根據(jù)確定，即可得出結(jié)果.
【解答過程】設(shè)位移關(guān)于時間的函數(shù)為，
根據(jù)題中條件，可得，周期，故，
由題意可知當時，取得最大值，故，則，
所以.
故選：D．
【變式1-2】（2022·湖南·高一課時練習）如圖為一簡諧運動的圖象，則下列判斷正確的是
A．該質(zhì)點的振動周期為
B．該質(zhì)點的振幅為
C．該質(zhì)點在和時的振動速度最大
D．該質(zhì)點在和時的加速度為
【解題思路】由簡諧運動得出周期和振幅，質(zhì)點位移為零時，速度最大，加速度最小；位移最大時，速度最小，加速度最大.振動圖象上某點的切線斜率的正負代表速度的方向，根據(jù)以上知識可判斷出各選項命題的正誤.
【解答過程】對于A、B選項，由圖可得知振幅為，周期為，A、B選項錯誤；
對于C選項，質(zhì)點在和時刻，質(zhì)點的位移為最大值，可知速度為零，C選項錯誤；
對于D選項，質(zhì)點在和時刻，質(zhì)點的位移為，則質(zhì)點受到的回復力為，所以加速度為，D選項正確.
故選D.
【變式1-3】（2022·寧夏·高三階段練習（理））我們來看一個簡諧運動的實驗：將塑料瓶底部扎一個小孔做成一個漏斗，再掛在架子上，就做成一個簡易單擺．在漏斗下方放一塊紙板，板的中間畫一條直線作為坐標系的橫軸，把漏斗灌上細沙拉離平衡位置，放手使它擺動，同時勻速拉動紙板，這樣就可在紙板上得到一條曲線，它就是簡諧運動的圖象．它表示了漏斗對平衡位置的位移（縱坐標）隨時間（橫坐標）變化的情況．如圖所示．已知一根長為的線一端固定，另一端懸掛一個漏斗，漏斗擺動時離開平衡位置的位移（單位：）與時間（單位：）的函數(shù)關(guān)系是，其中，，則估計線的長度應(yīng)當是（精確到）（ ）
A．3.6 B．3.8 C．4.0 D．4.5
【解題思路】由圖象觀察得出函數(shù)的最小正周期為，再利用余弦型函數(shù)的周期公式可求得的值.
【解答過程】解：由題意，函數(shù)關(guān)系式為，
由圖象可知，函數(shù)的最小正周期為，
，所以，，
故選：C.
【題型2 三角函數(shù)在圓周運動問題中的應(yīng)用】
【方法點撥】
這類題一般明確地指出了周期現(xiàn)象滿足的變化規(guī)律，例如，周期現(xiàn)象可用形如或
的函數(shù)來刻畫，只需根據(jù)已知條件確定參數(shù)，求解函數(shù)解析式，再將題目涉及的具
體的數(shù)值代入計算即可.
【例2】（2022·浙江溫州·高二期中）一半徑為2米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1米，已知水輪每60秒逆時針勻速轉(zhuǎn)動一圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計時，則點P距離水面的高度h（米）與t（秒）的一個函數(shù)解析式為（　　）
A． B．
C． D．
【解題思路】依據(jù)題給條件去求一個函數(shù)解析式即可解決.
【解答過程】設(shè)點P距離水面的高度h（米）與t（秒）的一個函數(shù)解析式為
，
由，可得，由，可得，
由t=0時h=0，可得，則，又，則，
則點P距離水面的高度h（米）與t（秒）的一個函數(shù)解析式為，
故選：A.
【變式2-1】（2022·全國·高一課時練習）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到應(yīng)用.假定在水流穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.如圖，將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車半徑為4，筒車轉(zhuǎn)輪的中心O到水面的距離為2，筒車每分鐘沿逆時針方向轉(zhuǎn)動4圈.規(guī)定：盛水筒M對應(yīng)的點P從水中浮現(xiàn)（即P0時的位置）時開始計算時間，且以水輪的圓心O為坐標原點，過點O的水平直線為x軸建立平面直角坐標系.設(shè)盛水筒M從點P0運動到點P時所經(jīng)過的時間為t（單位：），且此時點P距離水面的高度為h（單位：），則點P第一次到達最高點需要的時間為（ ）.
A．2 B．3 C．5 D．10
【解題思路】設(shè)點離水面的高度為，根據(jù)題意求出，再令可求出結(jié)果.
【解答過程】設(shè)點離水面的高度為，
依題意可得，，，
所以，
令，得，得，，
得，，
因為點P第一次到達最高點，所以，
所以.
故選：C.
【變式2-2】（2022·北京·高一期末）石景山游樂園“夢想之星”摩天輪采用國內(nèi)首創(chuàng)的橫梁中軸結(jié)構(gòu)，風格現(xiàn)代簡約.“夢想之星”摩天輪直徑米，總高約米，勻速旋轉(zhuǎn)一周時間為分鐘，配有個球形全透視度全景座艙.如果不考慮座艙高度等其它因素，該摩天輪的示意圖如圖所示，游客從離地面最近的位置進入座艙，旋轉(zhuǎn)一周后出艙.甲乙兩名同學通過即時交流工具發(fā)現(xiàn)，他們兩人進入各自座艙的時間相差分鐘.這兩名同學在摩天輪上游玩的過程中，他們所在的高度之和的最大值約為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【解題思路】角速度為，游客從離地面最近的位置進入座艙，游玩中到地面的距離為
，進而甲乙在摩天輪上游玩的過程中他們所在的高度之和，再利用三角函數(shù)值域的研究方法求解即可
【解答過程】因為角速度為，
所以游客從離地面最近的位置進入座艙，游玩中到地面的距離為
，
由題意可得甲乙在摩天輪上游玩的過程中他們所在的高度之和
，
因為，
所以，
所以，，
所以，
所以，即他們所在的高度之和的最大值約為，
故選：C.
【變式2-3】（2022·上海市高三期中）如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為 ，轉(zhuǎn)盤直徑為，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周需要 .游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，開始轉(zhuǎn)動 后距離地面的高度為 ，則在轉(zhuǎn)動一周的過程中，高度關(guān)于時間的函數(shù)解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解題思路】根據(jù)題意，設(shè)，進而結(jié)合題意求解即可.
【解答過程】解：根據(jù)題意設(shè)，，
因為某摩天輪最高點距離地面高度為 ，轉(zhuǎn)盤直徑為，
所以，該摩天輪最低點距離地面高度為 ，
所以，解得，
因為開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周需要 ，
所以，，解得，
因為時，，故，即，解得.
所以，
故選：B.
【題型3 三角函數(shù)在生活中的周期性變化問題中的應(yīng)用】
【方法點撥】
大海中的潮汐現(xiàn)象、日常生活中的氣溫變化、季節(jié)更替等都具有周期性，因此常用三角函數(shù)模型來解決這
些問題.
【例3】（2021·全國·高一專題練習）如圖是某市夏季某一天從6時到14時的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)，則該市這一天中午12時天氣的溫度大約是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由函數(shù)圖像分析：由圖像的最高點和=最低點求B，由周期求，根據(jù)特殊點求,得到函數(shù)解析式，把x=12帶入即可求出中午12時天氣的溫度.
【解答過程】對于函數(shù)，由圖像可知：
解得：；
從到為函數(shù)的半個周期，即，
所以，即，解得：；
所以
又有圖像經(jīng)過，
所以，解得：
所以，
當x=12時，.
故選：C.
【變式3-1】（2022·全國·高三專題練習）夏季來臨，人們注意避暑．如圖是某市夏季某一天從時到時的溫度變化曲線，若該曲線近似地滿足函數(shù)，則該市這一天中午時天氣的溫度大約是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)函數(shù)的圖象求出，令即得解.
【解答過程】解：由題意以及函數(shù)的圖象可知，，，所以，.
∵，∴. ∵，∴,
∴.
∵ 圖象經(jīng)過點，∴，
∴，
∴可以取，∴.
當時，.
故選：C.
【變式3-2】（2022·全國·高一專題練習）某市一年12個月的月平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用函數(shù)（）來表示，已知該市6月份的平均氣溫最高，為，12月份的平均氣溫最低，為，則該市8月份的平均氣溫為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)已知條件列方程可求得和的值，可得函數(shù)解析式，將代入即可求解.
【解答過程】由題意可得：
即，解得：，
所以，
所以該市8月份的平均氣溫為，
故選：A.
【變式3-3】（2021·全國·高一專題練習）月均溫全稱月平均氣溫，氣象學術(shù)語，指一月所有日氣溫的平均氣溫．某城市一年中個月的月均溫（單位：）與月份（單位：月）的關(guān)系可近似地用函數(shù)（）來表示，已知月份的月均溫為，月份的月均溫為，則月份的月均溫為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意得出關(guān)于、的方程組，可得出函數(shù)解析式，在函數(shù)解析式中令可得結(jié)果.
【解答過程】由題意可得，解得，
所以，函數(shù)解析式為，
在函數(shù)解析式中，令，可得.
因此，月份的月均溫為.
故選：A.
【題型4 用擬合法建立三角函數(shù)模型】
【方法點撥】
數(shù)據(jù)擬合問題的實質(zhì)是根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)畫出簡圖，求相關(guān)函數(shù)的解析式進而研究實際問題.在求解與三
角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)擬合問題時，需弄清楚的具體舍義，只有掌握了這三個參數(shù)的含義，才可以實現(xiàn)
符號語言(解析式)與圖形語言(函數(shù)圖象)之間的相互轉(zhuǎn)化.
【例4】（2022·全國·高一課時練習）某港口的水深(單位：)是時間(，單位：)的函數(shù)，下面是該港口的水深數(shù)據(jù)：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
10 13 9.9 7 10 13 9.9 7 10
一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于時就是安全的．
(1)若有以下幾個函數(shù)模型：，你認為哪個模型可以更好地刻畫y與t之間的對應(yīng)關(guān)系？請說明理由，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；
(2)如果船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，它在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間？
【解題思路】
(1)通過題目數(shù)據(jù)擬合函數(shù)圖像，可判斷函數(shù)模型更好，再由圖像點坐標代入函數(shù)，求出函數(shù)解析式為
(2) 根據(jù)題意已知可求出水深范圍，解三角函數(shù)不等式可得答案，船舶要在一天之內(nèi)在港口停留時間最長，就應(yīng)從凌晨1時進港，而下午的17時離港.
【解答過程】（1）
函數(shù)模型更好地刻畫y與t之間的對應(yīng)關(guān)系.
根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)的圖像.
從擬合曲線可知，函數(shù)在一個周期內(nèi)由最大變到最小需9-3=6(h)，此為半個周期，
函數(shù)的最小正周期為12，因此.
又當時，；當時，
，
所求函數(shù)的表達式為
（2）
由于船的吃水深度為7m，船底與海底的距離不少于4.5m，故在船舶航行時，水深應(yīng)大于或等于7+4.5=11.5(m).令,
可得
取 ，則 ；取，則；
取時，（不符合題意，舍去).
當與時，船能夠安全進港，船舶要在一天之內(nèi)在港口停留時間最長，就應(yīng)從凌晨1時進港，而下午的17時離港，在港內(nèi)停留的時間最長為16h.
【變式4-1】（2023·全國·高三專題練習）“八月十八潮，壯觀天下無．”——蘇軾《觀浙江濤》，該詩展現(xiàn)了湖水漲落的壯闊畫面，某中學數(shù)學興趣小組進行潮水漲落與時間的關(guān)系的數(shù)學建模活動，通過實地考察某港口水深y（米）與時間（單位：小時）的關(guān)系，經(jīng)過多次測量篩選，最后得到下表數(shù)據(jù)：
t（小時） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.1
該小組成員通過查閱資料、咨詢老師等工作，以及現(xiàn)有知識儲備，再依據(jù)上述數(shù)據(jù)描成曲線，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成函數(shù)圖象．
(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線，求出近似函數(shù)的表達式；
(2)一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底與水面的距離）為8米，請你運用上面興趣小組所得數(shù)據(jù)，結(jié)合所學知識，給該船舶公司提供安全進此港時間段的建議．
【解題思路】（1）根據(jù)數(shù)據(jù),畫出散點圖、連線，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可；
（2）根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.
【解答過程】（1）
畫出散點圖，連線如下圖所示：
設(shè)，根據(jù)最大值13，最小值7，可列方程為：，
再由，得，
；
（2）
．
∵，
∴，
∴，或
解得，或，
所以請在1：00至5：00和13：00至17：00進港是安全的．
【變式4-2】（2021·全國·高一專題練習）某“帆板”集訓隊在一海濱區(qū)域進行集訓，該海濱區(qū)域的海浪高度（米）隨著時間（，單位：小時）而周期性變化．每天各時刻的浪高數(shù)據(jù)的平均值如下表：
（時）
（米）
(1)試在圖中描出所給點；
(2)觀察圖，從，，中選擇一個合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的解析式；
(3)如果確定在一天內(nèi)的時至時之間，當浪高不低于米時才進行訓練，試安排恰當?shù)挠柧殨r間．
【解題思路】（1）利用表格數(shù)據(jù)直接描點即可；
（2）根據(jù)散點圖可確定應(yīng)選擇，結(jié)合數(shù)據(jù)計算可得模型解析式；
（3）令，可解得的范圍，進而確定結(jié)果.
【解答過程】(1)
散點圖如下，
(2)
由散點圖可知：應(yīng)選擇，
則，，，即，
將代入可得：，解得：，
該模型的解析式為：.
(3)
令，則，
，，
或或，
解得：或或，應(yīng)在白天點到點之間訓練.
【變式4-3】（2022·福建·高三期中）平潭國際“花式風箏沖浪”集訓隊，在平潭龍鳳頭海濱浴場進行集訓，海濱區(qū)域的某個觀測點觀測到該處水深y（米）是隨著一天的時間t（0≤t≤24，單位小時）呈周期性變化，某天各時刻t的水深數(shù)據(jù)的近似值如表：
t（時） 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y（米） 1.5 2.4 1.5 0.6 1.4 2.4 1.6 0.6 1.5
(1)根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點圖（坐標系在答題卷中）．觀察散點圖，從①，②，③ ．中選擇一個合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的函數(shù)解析式；
(2)為保證隊員安全，規(guī)定在一天中的5～18時且水深不低于1.05米的時候進行訓練，根據(jù)（1）中的選擇的函數(shù)解析式，試問：這一天可以安排什么時間段組織訓練，才能確保集訓隊員的安全．
【解題思路】（1）根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點圖，選②做為函數(shù)模型，由此利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)
求出該擬合模型的函數(shù)解析式即可．
（2）由，令y≥1.05，得，從而解出，即可求出結(jié)果．
【解答過程】（1）根據(jù)表中近似數(shù)據(jù)畫出散點圖，如圖所示：
結(jié)合散點圖可知，圖形進行了上下平移和左右平移，故選②做為函數(shù)模型，
∴，
∵，∴
又∵函數(shù)y＝0.9cos（φ）+1.5的圖象過點，
∴，
∴，∴，
又∵，∴φ，
∴
（2）由（1）知：
令y≥1.05，即，∴
∴，
∴，
又∵5≤t≤18，∵5≤t≤7或11≤t≤18，
∴這一天可以安排早上5點至7點以及11點至18點的時間段組織訓練，才能確保集訓隊員的安全．
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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