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函數(shù)與導數(shù)二輪復習建議
南師大附中 孫居國 徐昌根
函數(shù)歷來是高中數(shù)學最重要的內容，不僅適合單獨命題，而且可以綜合運用于其它內容．函數(shù)是中學數(shù)學的最重要內容，它既是工具，又是方法和思想．在江蘇高考文理共用卷中，函數(shù)小題（不含三角函數(shù)）占較大的比重，其中江蘇08年為3題，07年為4題．通過對江蘇及全國各地的高考題的分類研究，對高考函數(shù)與導數(shù)問題有如下認識
一．《09考試說明》對函數(shù)與導數(shù)的要求：
內 容
要 求
A　　
B　　
C　　
函數(shù)概念與基　　
本初等函數(shù)　　
函數(shù)的有關概念　　
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√　　
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函數(shù)的基本性質　　
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√　　
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指數(shù)與對數(shù)　　
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√　　
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指數(shù)函數(shù)的圖象和性質　　
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√　　
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對數(shù)函數(shù)的圖象和性質　　
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√　　
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冪函數(shù)　　
√　　
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函數(shù)與方程　　
√　　
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函數(shù)模型及其應用　　
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√　　
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導數(shù)及其應用　　
導數(shù)的概念　　
√　　
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導數(shù)的幾何意義　　
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√　　
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導數(shù)的運算　　
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√　　
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利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極大（小）值　　
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√　　
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導數(shù)在實際問題中的應用　　
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√　　
　?　
二．考查函數(shù)的基本知識，如定義域、值域、解析式、單調性、奇偶性、周期性等．有的考題只考查函數(shù)的某一個方面的知識，而有的則體現(xiàn)出對函數(shù)知識的綜合考查，常常涉及數(shù)形結合、特殊與一般（特殊化與一般化）、存在性與全稱性問題等思想與方法．
1．考查函數(shù)的三要素（定義域、值域、解析式）．
（1）函數(shù)f(x)＝的定義域是 （－∞，0] ．　
（2）函數(shù)的值域是 ．
（3）設 2 ．
（4）若函數(shù)（常數(shù)）是偶函數(shù)，且它的值域為，則該函數(shù)的解析式 ．
2．考查函數(shù)的性質（單調性，奇偶性，對稱性，周期性，最值等）．
（1）已知函數(shù)若為奇函數(shù)，則________.
（2）若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且f(2)?0，則使得f(x)<0的x的取值范圍是 (?2,2) ．
（3）已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=－f(x),則,f(6)的值為 0 ．
（4）函數(shù)f(x)=的最大值為 ．
（5）（07年江蘇）設函數(shù)定義在實數(shù)集上，它的圖像關于直線對稱，且當時，，則的大小關系是 ．
3．考查抽象函數(shù)
（1）定義在上的函數(shù)滿足（），，則等于 2 ．
（2）函數(shù)滿足，若，則 ．
4．考查函數(shù)性質的綜合運用．
（1）若不等式對于一切成立，則的最小值是 - ．
（綜合考查一元二次不等式，數(shù)形結合，恒成立的不等式，分離變量的方法等）
（2）函數(shù)定義域為，值域為，，則_－2__．
（3）若函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，則a的取值范圍是 ．
（綜合考查函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調性等）
（4）方程的實數(shù)解的個數(shù)為 2 .
（考查函數(shù)的圖像，二分法等）
（5）（07年江蘇）設是奇函數(shù)，則使的的取值范圍是 ．
（6）對于函數(shù)f(x)定義域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下結論：
①f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)；② f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)③>0；
④.當f(x)=lgx時，上述結論中正確結論的序號是 ② .
（7）設函數(shù)的定義域為，如果對于任意的，存在唯一的，使 為常數(shù)）成立，則稱函數(shù)在上均值為，給出四個函數(shù)① ② ③ ④．則滿足在其定義域上均值可以為的函數(shù)是 ①③ ．（把你認為符合條件的函數(shù)的序號填上）
三．導數(shù)作為進入高中考試范圍的新內容，在考試中占比較大．常常運用導數(shù)確定函數(shù)的單調性，進而研究函數(shù)的最值、極值，方程及不等式的解等．
1．考查導數(shù)的意義，運用導數(shù)求極值，單調性，最值．
（1）二次函數(shù)的圖象過原點且它的導函數(shù)的圖象是如圖所示的一條直線，則圖象的頂點在第 一 象限．
（考查導數(shù)的幾何意義，數(shù)形結合等）
（2）（07年江蘇）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則_____．
（3）（08年江蘇）對于總有成立，則= 4 ．
（4）（07年江蘇）已知二次函數(shù)的導數(shù)為，，對于任意實數(shù)，有，則的最小值為 2 ．
2．運用導數(shù)求切線，包括由切點求切線，由經(jīng)過點求切線．
（1）（08江蘇）直線是曲線的一條切線，則實數(shù) ．
（2）過原點作曲線y＝ex的切線，則切點的坐標為 (1, e) ．
（由曲線外一點求切線，關鍵是先設切點，由切點寫切線，再過定點定參數(shù)）
3．主動構造函數(shù)解題．
(1)已知函數(shù),R滿足，且在R上的導數(shù)滿足，則不等式的解集為__ __.
（構造函數(shù)）
（2）函數(shù)，當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 ．
（撇開函數(shù)的具體解析式，利用函數(shù)的奇偶性和單調性解決問題）
四．應用題，探索性考題．
1．函數(shù)應用題．
（1）某工廠去年12月份的產(chǎn)值是去年1月份產(chǎn)值的m倍，則該廠去年產(chǎn)值的月平均增長率為 ．
（2）一個物體的運動方程為其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在秒末的瞬時速度是 5 米/秒．
2．探索性問題．所謂探索性，指這類問題的指向不明確，需要通過嘗試、類比、聯(lián)想、一般化與特殊化等手段摸索解題思路．
(1)若為的各位數(shù)字之和，如，，則；記，，…，，，則 11 ；
(通過嘗試，發(fā)現(xiàn)周期性的規(guī)律解決問題，本題屬于中等題)
（2）規(guī)定記號“”表示一種運算，即 若，則函數(shù)的值域是_______
（研究新定義的運算的規(guī)律解題，本題屬于中等題）
（3）半徑為r的圓的面積S(r)＝r2,周長C(r)=2r，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則(r2)`＝2r ，式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導數(shù)等于圓的周長函數(shù)。
對于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請你寫出類似于的式子：
，式可以用語言敘述為： ．
解：V球＝，又 故式可填，用語言敘述為“球的體積函數(shù)的導數(shù)等于球的表面積函數(shù)．”
（本題考查類比的思想方法，本題屬于中等題）
（4）已知函數(shù)，，若對于任一實數(shù)，與的值至少有一個為正數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是 ．
（考查對存在性與全稱性問題的認識，本題屬于難題）
（5）已知奇函數(shù)滿足：1）定義在R上；2）（常數(shù)）；3）在上單調遞增；4）對任意一個小于a的正數(shù)d，存在一個自變量，使．
請寫出滿足以上所有條件的一個函數(shù)的解析式： ．
解：，分段函數(shù)也可．
(本題需要熟練掌握常見的函數(shù)的圖像與性質，并能根據(jù)要求主動構建函數(shù)，本題屬于難題)

五．函數(shù)的綜合問題
這類問題涉及的知識點多，與數(shù)列、不等式等知識加以綜合。主要考察函數(shù)的奇偶性、單調性、極值、導數(shù)、不等式等基礎知識，考查運用導數(shù)研究函數(shù)性質的方法，以及分類與整合、轉化與化歸等數(shù)學思想方法，考查分析問題和解決問題的能力.
1．已知函數(shù)的圖象過點（-1，-6），且函數(shù)的圖象關于y軸對稱.
(Ⅰ)求m、n的值及函數(shù)y=f(x)的單調區(qū)間；
(Ⅱ)若a＞0，求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a-1,a+1）內的極值.
解：（1）由函數(shù)f(x)圖象過點（－1，－6），得m-n=-3, ……①
由f(x)=x3+mx2+nx-2，得f′（x）=3x2+2mx+n,
則g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n;
而g(x)圖象關于y軸對稱，所以－＝0，所以m=-3,
代入①得n=0.
于是f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2).
由f′(x)>得x>2或x<0,
故f(x)的單調遞增區(qū)間是（－∞，0），（2，＋∞）；
由f′(x)<0得0故f(x)的單調遞減區(qū)間是（0，2）.
(Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),
令f′(x)＝0得x=0或x=2.
當x變化時，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：
X
(-∞.0)
0
(0,2)
2
(2,+ ∞)
f′(x)
+
0
－
0
＋
f(x)
增
極大值
減
極小值
增
由此可得：
當0當a=1時，f(x)在（a-1,a+1）內無極值；
當1當a≥3時，f(x)在（a-1,a+1）內無極值.
綜上得：當02．已知是函數(shù)的一個極值點。
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函數(shù)的單調區(qū)間；
（Ⅲ）若直線與函數(shù)的圖象有3個交點，求的取值范圍。
解：（Ⅰ）因為
所以
因此
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，


當時，
當時，
所以的單調增區(qū)間是
的單調減區(qū)間是
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在內單調增加，在內單調減少，在上單調增加，且當或時，
所以的極大值為，極小值為
因此

所以在的三個單調區(qū)間直線有的圖象各有一個交點，當且僅當
因此，的取值范圍為。
3．已知函數(shù)（），其中．
（Ⅰ）當時，討論函數(shù)的單調性；
（Ⅱ）若函數(shù)僅在處有極值，求的取值范圍；
（Ⅲ）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．
解：（Ⅰ）．
當時，．
令，解得，，．
當變化時，，的變化情況如下表：
0
2
f(x)
－
0
＋
0
－
0
＋
減
極小值
增
極大值
減
極小值
增
所以在，內是增函數(shù)，在，內是減函數(shù)．
（Ⅱ），顯然不是方程的根．
為使僅在處有極值，必須成立，即有．
解些不等式，得．這時，是唯一極值．
因此滿足條件的的取值范圍是．
（Ⅲ）由條件，可知，從而恒成立．
當時，；當時，．
因此函數(shù)在上的最大值是與兩者中的較大者．
為使對任意的，不等式在上恒成立，當且僅當，即，在上恒成立．
所以，因此滿足條件的的取值范圍是．
解決函數(shù)綜合問題要注意下列幾點：
（1）第一問題通常不是太難，主要是與函數(shù)有關的概念與方法，但非常重要。往往是后面小題的知識準備或方法上的提示。所以第一小題要做好做準。再看后面問題與每一小題的聯(lián)系，然后選擇適當?shù)耐緩浇鉀Q問題。
（2）通過不同途徑了解、洞察所涉及到的函數(shù)的性質。在定義域、值域、解析式、圖象、單調性、奇偶性、周期性等方面進行考察。在上述性質中，知道信息越多，則解決問題越容易。
（3）能畫出示意圖，則對解決問題起到很大的幫助。作圖要注意圖象整體,局部,細節(jié). 細節(jié)。結合函數(shù)的定義域，奇偶性，值域，漸近線單調性，周期性，特定區(qū)間，極值最值點，坐標軸的交點，邊界點。帶有參數(shù)的函數(shù)問題要注意不動點。對于兩個圖像問題要關注交點個數(shù)，圖形的相對位置。
（4）通過求導來研究函數(shù)性質是一種非常重要而有效的方法。通常的步驟：先求導，要注意求導后定義域的情況；將導數(shù)整理變形，能看出導數(shù)的符號性質或零點。再列表，從表中回答所要求解答的問題。
（5）對于含有字母參數(shù)的問題，可以通過分類，延伸長度，從而降低難度。也可以通過分離變量，轉化為函數(shù)或不等式問題去解決。
六．針對函數(shù)小題，給各位老師提出如下建議：
（1）給自己的學生一個準確的定位，確定練習題的難度，對于高考省均分以下的同學來說，要抓好基礎問題和常用的思想方法，把基礎題做穩(wěn)做熟，一般來說，不超過2個基本知識點的問題可以算容易題，3個以上的算中等題，解題方向不明確，需要經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)思路，或需要較復雜的分類或轉化的問題可以算難題，老師要根據(jù)學生的狀況確定三個層次問題的比例．
（2）抓好基礎題型的練習，再復雜的問題經(jīng)過分解后都是由基本題型復合而成的．
（3）鼓勵學生做好解題后的反思，尤其對于做錯的問題一定要分析清楚錯誤的原因，例如分類的界點，特殊情形，有些基礎運算做錯是因為運算習慣不好（改變運算習慣而不是以粗心概論）等．并在以后的解題中有意識避免類似錯誤．
（4）對一些比較定型的問題要歸納出一般的方法，如數(shù)形結合解決一些方程、不等式的問題，用分離變量的方法解決恒成立、存在性的問題．
（5）教會一些探索性的方法，如嘗試的意識，如一般化與特殊化的方法，如數(shù)形結合、化歸、等價轉化的思想等．注意培養(yǎng)學生獨立思考以解決問題的習慣．
（6）教師在教學中要注意多讓學生談思路，不宜過多地以自己的思維代替學生的思維．

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