資源簡介

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專題05 函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性）（考點(diǎn)清單）
目錄
TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc29900" 一、思維導(dǎo)圖 2
HYPERLINK \l "_Toc3004" 二、知識(shí)回歸 2
HYPERLINK \l "_Toc902" 三、典型例題講與練 6
HYPERLINK \l "_Toc30789" 考點(diǎn)清單01函數(shù)圖象識(shí)別與應(yīng)用 6
HYPERLINK \l "_Toc4066" 【期末熱考題型1】函數(shù)圖象識(shí)別 6
HYPERLINK \l "_Toc2288" 考點(diǎn)清單02函數(shù)的單調(diào)性 7
HYPERLINK \l "_Toc14796" 【期末熱考題型1】判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性 7
HYPERLINK \l "_Toc19" 【期末熱考題型2】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 8
HYPERLINK \l "_Toc23513" 【期末熱考題型3】求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 9
HYPERLINK \l "_Toc20776" 【期末熱考題型4】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù) 10
HYPERLINK \l "_Toc23048" 考點(diǎn)清單03函數(shù)的奇偶性 10
HYPERLINK \l "_Toc15600" 【期末熱考題型1】判斷函數(shù)的奇偶性 10
HYPERLINK \l "_Toc13264" 【期末熱考題型2】利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)，求值 11
HYPERLINK \l "_Toc26584" 【期末熱考題型3】利用函數(shù)奇偶性解不等式 12
HYPERLINK \l "_Toc23409" 考點(diǎn)清單04函數(shù)的對(duì)稱性和周期性 12
HYPERLINK \l "_Toc1159" 【期末熱考題型1】函數(shù)的對(duì)稱性和周期性 12
HYPERLINK \l "_Toc9428" 考點(diǎn)清單05函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性綜合應(yīng)用 13
HYPERLINK \l "_Toc15279" 【期末熱考題型1】函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性綜合應(yīng)用 13
HYPERLINK \l "_Toc28811" 考點(diǎn)清單06利用函數(shù)奇偶性求解析式 14
HYPERLINK \l "_Toc924" 【期末熱考題型1】利用函數(shù)奇偶性求解析式 14
HYPERLINK \l "_Toc7086" 考點(diǎn)清單07分段函數(shù)的單調(diào)性問題 14
HYPERLINK \l "_Toc27930" 【期末熱考題型1】求分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 14
HYPERLINK \l "_Toc17310" 【期末熱考題型2】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù) 15
HYPERLINK \l "_Toc22696" 【期末熱考題型3】解分段函數(shù)不等式 16
HYPERLINK \l "_Toc9470" 考點(diǎn)清單08分段函數(shù)的值域或最值問題 16
HYPERLINK \l "_Toc24075" 【期末熱考題型1】分段函數(shù)的值域或最值問題 16
HYPERLINK \l "_Toc22374" 考點(diǎn)清單09二次函數(shù)的最值問題 17
HYPERLINK \l "_Toc16835" 【期末熱考題型1】不含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題 17
HYPERLINK \l "_Toc29582" 【期末熱考題型2】含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題 18
HYPERLINK \l "_Toc28408" 考點(diǎn)清單10恒成立與能成立問題 19
HYPERLINK \l "_Toc24588" 【期末熱考題型1】恒成立與能成立問題 19
HYPERLINK \l "_Toc25031" 考點(diǎn)清單11二元變量問題 20
HYPERLINK \l "_Toc8416" 【期末熱考題型1】二元變量問題 20
HYPERLINK \l "_Toc3366" 考點(diǎn)清單12抽函數(shù)函數(shù)的綜合問題 22
HYPERLINK \l "_Toc10325" 【期末熱考題型1】抽象函數(shù)的綜合問題 22
一、思維導(dǎo)圖
二、知識(shí)回歸
知識(shí)回顧1：函數(shù)的圖象
1.1、函數(shù)圖象的平移變換（左“+”右“-”；上“+”下“-”）
①
②
③
④
注：左右平移只能單獨(dú)一個(gè)加或者減，注意當(dāng)前系數(shù)不為1,需將系數(shù)提取到外面.
1.2、函數(shù)圖象的對(duì)稱變換
①的圖象的圖象；
②的圖象的圖象；
③的圖象的圖象；
1.3、函數(shù)圖象的翻折變換（絕對(duì)值變換）
①的圖象的圖象；
（口訣；以軸為界，保留軸上方的圖象；將軸下方的圖象翻折到軸上方）
②的圖象的圖象.
（口訣；以軸為界，去掉軸左側(cè)的圖象，保留軸右側(cè)的圖象；將軸右側(cè)圖象翻折到軸左側(cè)；本質(zhì)是個(gè)偶函數(shù)）
知識(shí)回顧2：函數(shù)的單調(diào)性
2.1增函數(shù)
一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間，如果，當(dāng)時(shí)，都有，
那么就稱函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（如圖：圖象從左到右是上升的）
特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，稱它是增函數(shù)(increasing function).
2.2減函數(shù)
一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間，如果，當(dāng)時(shí)，都有，
那么就稱函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減.（如圖：圖象從左到右是下降的）
特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，稱它是減函數(shù)(decreasing function).
知識(shí)回顧3：函數(shù)的奇偶性
3.1偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻加校遥敲春瘮?shù)就叫做偶函數(shù).
3.2奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻加校遥敲春瘮?shù)就叫做奇函數(shù).
知識(shí)回顧4：函數(shù)奇偶性的判斷
4.1定義法：
（1）先求函數(shù)的定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
（2）求，根據(jù)與的關(guān)系，判斷的奇偶性：
①若是奇函數(shù)
②若是偶函數(shù)
③若既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
④若既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
4.2圖象法：
（1）先求函數(shù)的定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
（2）若的圖象關(guān)于軸對(duì)稱是偶函數(shù)
（3）若的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是奇函數(shù)
4.3性質(zhì)法：
，在它們的公共定義域上有下面的結(jié)論：
偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù)
偶函數(shù) 奇函數(shù) 不能確定 不能確定 奇函數(shù) 奇函數(shù)
奇函數(shù) 偶函數(shù) 不能確定 不能確定 奇函數(shù) 奇函數(shù)
奇函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù) 偶函數(shù) 偶函數(shù)
知識(shí)回顧5：冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)
5.1、五個(gè)冪函數(shù)的圖象(記憶五個(gè)冪函數(shù)的圖象）
當(dāng)時(shí)，我們得到五個(gè)冪函數(shù)：
；；；；
5.2、五個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)
定義域
值域
奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 非奇非偶 奇函數(shù)
單調(diào)性 在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞減在單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞增 在單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減
定點(diǎn)
三、典型例題講與練
01函數(shù)圖象識(shí)別與應(yīng)用
【期末熱考題型1】函數(shù)圖象識(shí)別
【解題方法】特殊值法，單調(diào)性，奇偶性
【典例1】（2023上·遼寧遼陽·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·山西·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【專訓(xùn)1-1】（2023上·安徽合肥·高三合肥一中校考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【專訓(xùn)1-2】（2023上·河北邢臺(tái)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
02函數(shù)的單調(diào)性
【期末熱考題型1】判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性
【解題方法】定義法
【典例1】（2023上·四川成都·高一統(tǒng)考期中）已知，
(1)求的解析式；
(2)若，試用定義證明在其定義域上是單調(diào)函數(shù)．
【典例2】（2023上·廣東深圳·高一深圳市高級(jí)中學(xué)校考期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若（且），試討論函數(shù)的單調(diào)性，并加以證明．
【專訓(xùn)1-1】（2023上·廣東·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，且.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)判斷在上的單調(diào)性，并用定義法證明.
【專訓(xùn)1-2】（2023上·福建福州·高一福建師大附中校考期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．
(1)求實(shí)數(shù)的值
(2)判斷的單調(diào)性，并用定義證明：
【期末熱考題型2】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【解題方法】圖象法
【典例1】（2022上·甘肅蘭州·高三蘭州市第五十五中學(xué)校考開學(xué)考試）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【典例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）（1）根據(jù)如圖所示，寫出函數(shù)在每一單調(diào)區(qū)間上函數(shù)是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減；

（2）寫出的單調(diào)區(qū)間．
【專訓(xùn)1-1】（2023上·江西撫州·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A． B．
C． D．
【專訓(xùn)1-2】（2023上·天津?qū)氎妗じ咭惶旖蚴袑氎鎱^(qū)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為 .
【期末熱考題型3】求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【解題方法】同增異減；
【典例1】（2021上·上海徐匯·高一上海中學(xué)校考期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為 ．
【典例2】（2023·全國·高一課堂例題）已知函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，則的定義域是 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 ．
【專訓(xùn)1-1】（2023上·浙江寧波·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 .
【專訓(xùn)1-2】4．（2023上·北京·高一北京市十一學(xué)校校考期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 .
【期末熱考題型4】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)
【解題方法】圖象法
【典例1】（2023上·海南省直轄縣級(jí)單位·高一校考期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023上·福建福州·高一福州三中校考期中）已知函數(shù)滿足對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【專訓(xùn)1-1】（2023上·浙江寧波·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【專訓(xùn)1-2】（2023上·吉林長春·高一東北師大附中校考期中）若函數(shù)與在區(qū)間上都是減函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
03函數(shù)的奇偶性
【期末熱考題型1】判斷函數(shù)的奇偶性
【解題方法】定義法，圖象法
【典例1】（2023上·北京海淀·高三統(tǒng)考期中）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·河北石家莊·高一鹿泉區(qū)第一中學(xué)校考期中）下列函數(shù)中，與函數(shù)的奇偶性相同，且在上單調(diào)性也相同的是（　　）
A． B． C． D．
【專訓(xùn)1-1】（2023上·陜西咸陽·高三校考階段練習(xí)）下列函數(shù)中為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
【專訓(xùn)1-2】（2023上·山西臨汾·高一統(tǒng)考期中）下列函數(shù)中既為減函數(shù)，又為奇函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
【期末熱考題型2】利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)，求值
【解題方法】奇偶性定義
【典例1】（2023上·河南南陽·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·江蘇連云港·高三統(tǒng)考期中）已知，若，則 .
【專訓(xùn)1-1】（2023上·江蘇鹽城·高一鹽城市田家炳中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，且，則（ ）
A．0 B． C． D．
【專訓(xùn)1-2】（2023上·浙江杭州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，是偶函數(shù)，則 ．
【專訓(xùn)1-3】（2023上·江西南昌·高一南昌二中校考期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則 ．
【期末熱考題型3】利用函數(shù)奇偶性解不等式
【解題方法】奇偶性+單調(diào)性
【典例1】（2023上·貴州六盤水·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·廣東深圳·高一深圳市高級(jí)中學(xué)校考期中）已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上遞減，則不等式的解集是 ．
【專訓(xùn)1-1】（2023上·山東臨沂·高一校考期中）已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則滿足的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【專訓(xùn)1-2】（2023上·江西南昌·高一南昌二中校考期中）已知，若恒成立，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
04函數(shù)的對(duì)稱性和周期性
【期末熱考題型1】函數(shù)的對(duì)稱性和周期性
【解題方法】公式法
【典例1】（多選）（2023上·安徽·高一和縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）定義在上的函數(shù)滿足：，且是偶函數(shù)，則（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．D．
【典例2】（多選）（2023上·浙江杭州·高二杭十四中校考期中）已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C．是以4為周期的函數(shù) D．的圖象關(guān)于對(duì)稱
【專訓(xùn)1-1】（2023上·上海嘉定·高三上海市育才中學(xué)校考期中）若是定義在R上的函數(shù)，且滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則= ．
【專訓(xùn)1-2】（2023上·山東濰坊·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，為奇函數(shù)，若，則 .
05函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性綜合應(yīng)用
【期末熱考題型1】函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性綜合應(yīng)用
【解題方法】圖象法+公式+定義
【典例1】（多選）（2023上·浙江寧波·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)滿足對(duì)任意的，都有，，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)任意的，，，都有，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B．是偶函數(shù)
C． D．
【典例2】（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學(xué)校考一模）已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，對(duì)任意，都有成立，當(dāng)，且時(shí)，都有，有下列命題：
①； ②函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱；
③函數(shù)在上有5個(gè)零點(diǎn)；④函數(shù)在上為減函數(shù)．
則以上結(jié)論正確的是 ．
【專訓(xùn)1-1】（多選）（2023上·遼寧沈陽·高一校聯(lián)考期中）定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在上是增函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 B．
C．在上為減函數(shù) D．
【專訓(xùn)1-2】（多選）（2023上·福建福州·高三校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若，則下列關(guān)于的說法正確的有（ ）
A．的一個(gè)周期為 B．是函數(shù)的一條對(duì)稱軸
C．時(shí)， D．
06利用函數(shù)奇偶性求解析式
【期末熱考題型1】利用函數(shù)奇偶性求解析式
【解題方法】奇偶性定義
【典例1】（2023上·遼寧大連·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則時(shí)， ．
【典例2】（2023上·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽中學(xué)校考期末）定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， ．
【專訓(xùn)1-1】（2023上·上海·高一上海市市西中學(xué)校考期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)， .
【專訓(xùn)1-2】（2023上·吉林遼源·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．
(1)計(jì)算，；
(2)求的解析式．
07分段函數(shù)的單調(diào)性問題
【期末熱考題型1】求分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【解題方法】圖象法
【典例1】（2023上·河南信陽·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)的單增區(qū)間為（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023上·江蘇南京·高一南京市第九中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是
【專訓(xùn)1-1】（2022·高三課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的遞減區(qū)間是 .
【期末熱考題型2】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
【解題方法】圖象法
【典例1】（2023上·云南大理·高三云南省下關(guān)第一中學(xué)校考期中）已知函數(shù)，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，則“”是“函數(shù)在R上單調(diào)遞增”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【專訓(xùn)1-1】（2023上·江蘇南京·高一南京航空航天大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)校考期中）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【專訓(xùn)1-2】（2022上·江西·高三寧岡中學(xué)校考期中）若函數(shù)滿足對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
B． C． D．
【期末熱考題型3】解分段函數(shù)不等式
【解題方法】圖象法
【典例1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)則的解集為 ．
【典例2】（2022上·廣東佛山·高一校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù),若，則的取值范圍是 .
【專訓(xùn)1-1】（2023上·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)則滿足的的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【專訓(xùn)1-2】（2023上·天津河北·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)則滿足的的取值范圍是 .
08分段函數(shù)的值域或最值問題
【期末熱考題型1】分段函數(shù)的值域或最值問題
【解題方法】圖象法
【典例1】（2023上·云南昆明·高一云南師大附中校考期中）給定函數(shù).，用表示，中的較小者，記為，則的最大值為（ ）
A．-3 B．2 C．3 D．
【典例2】（2023上·北京·高一北京市陳經(jīng)綸中學(xué)校考期中）設(shè)函數(shù)，若存在最小值，則實(shí)數(shù)的一個(gè)可能取值為 ；實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【專訓(xùn)1-1】（2023上·上海寶山·高一上海市吳淞中學(xué)校考期中）若函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【專訓(xùn)1-2】（2023上·貴州六盤水·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)畫出函數(shù)的圖象；
(2)求函數(shù)的值域.
09二次函數(shù)的最值問題
【期末熱考題型1】不含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題
【解題方法】配方法+圖象法
【典例1】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋ā　。?br/>A．
B．
C．
D．
【典例2】（2023上·北京·高一北京八中校考期中）已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則等于（ ）
A． B． C． D．或
【專訓(xùn)1-1】（2023上·浙江臺(tái)州·高一校聯(lián)考期中）已知，，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【期末熱考題型2】含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題
【解題方法】圖象法+分類討論
【典例1】（2023上·湖北孝感·高一期中）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且滿足．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)設(shè)函數(shù)在上的最小值為，求的值域．
【典例2】（2023上·廣東廣州·高一廣州空港實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，
(1)求
(2)求函數(shù)的解析式
(3)若函數(shù)，求函數(shù)的最小值．
【專訓(xùn)1-1】（2023上·北京西城·高一北京鐵路二中校考期中）設(shè)，其中．
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若函數(shù)在上不具有單調(diào)性，求的取值范圍：
(3)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值．
【專訓(xùn)1-2】（2023上·山東泰安·高一泰安一中校考期中）已知關(guān)于x的不等式的解集為或
(1)求實(shí)數(shù)b，c的值；
(2)求函數(shù)在上的最小值.
10恒成立與能成立問題
【期末熱考題型1】恒成立與能成立問題
【解題方法】判別法+變量分離法
【典例1】（2023上·河北邯鄲·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù).
(1)若，求在區(qū)間上的最大值和最小值；
(2)若在上恒成立，求a的取值范圍.
【典例2】（2023上·北京·高一清華附中校考期中）已知二次函數(shù)最小值為，且是其一個(gè)零點(diǎn)，都有．
(1)求的解析式；
(2)求在區(qū)間上的最小值；
(3)是否存在實(shí)數(shù)滿足：對(duì)，都有恒成立？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【專訓(xùn)1-1】（2023上·北京·高一北京市第一六一中學(xué)校考期中）若二次函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都滿足，最小值為，且.
(1)求的解析式；
(2)若在區(qū)間上，的圖象恒在的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
11二元變量問題
【期末熱考題型1】二元變量問題
【解題方法】變量分離法+最值法
【典例1】（2023上·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，且滿足.
(1)判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明：
(2)設(shè)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【典例2】（2023上·重慶·高一重慶市忠縣忠州中學(xué)校校聯(lián)考期中）已知是定義在上的函數(shù)，若滿足且．
(1)求的解析式；
(2)設(shè)函數(shù)，若對(duì)都有成立，求的取值范圍．
【專訓(xùn)1-1】（2023上·青海海南·高一海南藏族自治州高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，．
(1)若是關(guān)于的方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，求函數(shù)的值域；
(2)若對(duì)任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【專訓(xùn)1-2】（2023上·浙江金華·高一浙江金華第一中學(xué)校考期中）已知函數(shù)
(1)解不等式；
(2)求在區(qū)間上的值域；
(3)對(duì)任意，總存在，使得成立，求a的取值范圍
12抽函數(shù)函數(shù)的綜合問題
【期末熱考題型1】抽象函數(shù)的綜合問題
【解題方法】賦值法
【典例1】（2023上·重慶·高一重慶市忠縣忠州中學(xué)校校聯(lián)考期中）已知定義在上的函數(shù)滿足：①對(duì)任意的，都有；②當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立．
(1)求；
(2)判斷并證明的單調(diào)性；
(3)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【典例2】（2023上·河南鄭州·高一鄭州外國語學(xué)校校考期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意都有，且時(shí)，．
(1)求；
(2)求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；
(3)若，，解關(guān)于x的不等式．
【專訓(xùn)1-1】（2023上·黑龍江哈爾濱·高一哈九中校考期中）已知定義在上的函數(shù)滿足、，；，.
(1)求的值；
(2)證明是上的增函數(shù)；
(3)若，求的取值范圍.
參考答案：
【期末熱考題型1】函數(shù)圖象識(shí)別
【典例1】
【答案】B
【詳解】由已知，，
則，
故是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，則，
故AD項(xiàng)錯(cuò)誤，應(yīng)選B.
又設(shè)，且，
則，
故，則有，
即，故在上單調(diào)遞減.
綜上，函數(shù)圖象的性質(zhì)與選項(xiàng)B中圖象表示函數(shù)的性質(zhì)基本一致.
故選：B.
【典例2】
【答案】B
【詳解】的定義域?yàn)镽.
是偶函數(shù)，排除D；
又，排除A；
當(dāng)時(shí)，，，
，
在上單調(diào)遞增，排除C．
故選：B．
【專訓(xùn)1-1】
【答案】B
【詳解】的定義域?yàn)椋?br/>又，
故為奇函數(shù)，其函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故CD錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，且，則；
當(dāng)時(shí)，，且，則.
故當(dāng)，，故排除A.
故選：B.
【專訓(xùn)1-2】
【答案】C
【詳解】由于，所以，所以為偶函數(shù)，故排除AB,
由于，故當(dāng)時(shí)，，故排除D，
故選：C
【期末熱考題型1】判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性
【典例1】
【答案】(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）令，則，，
因?yàn)椋裕?br/>所以.
（2）由題意知，定義域?yàn)?br/>任取，則，
因?yàn)椋裕?br/>所以，則，即，
所以在定義域上是單調(diào)遞減函數(shù).
【典例2】
【答案】(1)
(2)答案及證明見解析
【詳解】（1）解：由題意，∵函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，，則，
∴.
（2）證明：∵由指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，當(dāng)且時(shí)，對(duì)，，
∴，，
設(shè)，則
，
當(dāng)時(shí)，，則，即，
函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則，即，
函數(shù)單調(diào)遞增；
綜上知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.
【專訓(xùn)1-1】
【答案】(1)
(2)遞增，證明見解析
【詳解】（1），且，
，解得：；
（2）由（1）得：在遞增，
證明如下：
設(shè)任意，
則
，
，
，
，
在上單調(diào)遞增.
【專訓(xùn)1-2】
【答案】(1)
(2)在上單調(diào)遞增，證明見解析
【詳解】（1）由已知可得，.
因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，
所以有，即，
所以有在上恒成立，
所以，，.
又，所以，
所以.
所以，.
（2）在上單調(diào)遞增.
，且設(shè)，
則.
因?yàn)椋遥?br/>所以，，，，
所以，，
所以，在上單調(diào)遞增.
【期末熱考題型2】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【典例1】
【答案】C
【詳解】解：由，
則為偶函數(shù)，的圖像關(guān)于軸對(duì)稱.
當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱軸為，所以在上遞增，在遞減；
則當(dāng)時(shí)，在遞增，在遞減，
則有的遞增區(qū)間為.
故選：C
【典例2】
【答案】（1）函數(shù)在上是單調(diào)遞減，在上是單調(diào)遞增；（2）單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為．
【詳解】（1）由函數(shù)圖象易知函數(shù)在上是單調(diào)遞減，在上是單調(diào)遞增；
（2）根據(jù)題意可知，當(dāng)或時(shí)，，
此時(shí);
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
所以可得
先畫出其圖象如圖所示：
由圖可知，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.
【專訓(xùn)1-1】
【答案】B
【詳解】解析：，作出圖象，
可以得到函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．
故選：B.
【專訓(xùn)1-2】
【答案】，
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)圖像對(duì)稱軸方程為，開口向下，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)圖像對(duì)稱軸方程為，開口向下，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為，.
故答案為：，
【期末熱考題型3】求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【典例1】
【答案】
【詳解】因?yàn)閺?fù)合函數(shù)是由與復(fù)合而得，
而在上單調(diào)遞減，
所以的單調(diào)減區(qū)間即為的單調(diào)增區(qū)間，
因?yàn)殚_口向下，對(duì)稱軸為，
所以的單調(diào)增區(qū)間.
則答案為：.
【典例2】
【答案】
【詳解】∵的定義域?yàn)椋啵矗獾茫?br/>故函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>令，則．
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則單調(diào)遞減．
故的單調(diào)遞減區(qū)間為．
故答案為：；.
【專訓(xùn)1-1】
【答案】
【詳解】令，解得，故函數(shù)定義域?yàn)椋?br/>其中，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
其中在上單調(diào)遞增，
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為.
故答案為：
【專訓(xùn)1-2】
【答案】
【詳解】 的定義域?yàn)椋獾茫?br/>或,
求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間, 即求函數(shù)的減區(qū)間,
, 可知單調(diào)遞減區(qū)間為,
綜上可得, 函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為 .
令 , 由 , 得或,
函數(shù) 的定義域?yàn)?,
當(dāng) 時(shí), 內(nèi)層函數(shù) 為增函數(shù),而外層函數(shù) 為減函數(shù),
函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間是 .
故答案為:.
【期末熱考題型4】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)
【典例1】
【答案】D
【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開口向上，
對(duì)稱軸為直線，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
則，所以
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象開口向下，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以不滿足題意.
綜上所述，的取值范圍是.
故選：D.
【典例2】
【答案】D
【詳解】依題意，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有成立，
不妨設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，解得.
故選：D
【專訓(xùn)1-1】
【答案】
【詳解】當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，符合題意；
當(dāng)時(shí)，為一元二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，
因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，
所以，解得，
綜上，，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故答案為：.
【專訓(xùn)1-2】
【答案】B
【詳解】因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，開口向下，且在上為減函數(shù)，
所以，
因?yàn)椋以谏蠟闇p函數(shù)，
所以在上恒成立，即在上恒成立，可得，
綜上，.
故選：B.
【期末熱考題型1】判斷函數(shù)的奇偶性
【典例1】
【答案】D
【詳解】A選項(xiàng)，的定義域?yàn)椋x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，且，故為奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，設(shè)，因?yàn)椋?br/>故在上不單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，且，故為偶函數(shù)，
又當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故滿足要求，D正確.
故選：D
【典例2】
【答案】C
【詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，
函數(shù)為奇函數(shù)，故A錯(cuò)；
函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)；
函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，故C正確；
函數(shù)為奇函數(shù)，故D錯(cuò).
故選：C.
【專訓(xùn)1-1】
【答案】B
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)為偶函數(shù)，A不滿足條件；
對(duì)于B選項(xiàng)，令，則該函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，
且函數(shù)在上單調(diào)遞增，B滿足條件；
對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)為奇函數(shù)，且該函數(shù)在上單調(diào)遞減，C不滿足條件；
對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，D不滿足條件.
故選：B.
【專訓(xùn)1-2】
【答案】C
【詳解】A選項(xiàng)，，
因?yàn)椋?br/>故不是奇函數(shù)，A項(xiàng)錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，，
由，
可知不是減函數(shù)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，，
定義域?yàn)椋?br/>則，則是奇函數(shù)；
由圖象可知既是減函數(shù)，又是奇函數(shù)，故C項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，，由，
則不是奇函數(shù)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：C.
【期末熱考題型2】利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)，求值
【典例1】
【答案】A
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>由奇函數(shù)的定義可知，則，則，
當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋瑒t，
滿足要求，所以.
故選：A.
【典例2】
【答案】0
【詳解】令，，則，
因?yàn)椋?br/>所以為奇函數(shù)，
由，得，
所以，則，
所以.
故答案為：0
【專訓(xùn)1-1】
【答案】D
【詳解】令，，則，
所以為奇函數(shù)，
則，又，所以，即，
所以，
所以.
故選：D
【專訓(xùn)1-2】
【答案】4
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，是偶函數(shù)，
則，解得，可知，
且，即，
整理得，結(jié)合的任意性可得，即，
所以.
故答案為：4.
【專訓(xùn)1-3】
【答案】/0.5
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
所以，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以，
故答案為：
【期末熱考題型3】利用函數(shù)奇偶性解不等式
【典例1】
【答案】C
【詳解】令，易知為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增.
化簡，
即，
所以，解得，
故選：C
【典例2】
【答案】
【詳解】解：因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，且在上遞減，
所以在上遞增，
不等式等價(jià)于，
所以，解得，
所以不等式的解集是.
故答案為：
【專訓(xùn)1-1】
【答案】A
【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故越靠近軸，函數(shù)值越小，
因?yàn)椋?br/>所以，解得：．
故選：A.
【專訓(xùn)1-2】
【答案】C
【詳解】的定義域?yàn)椋?br/>因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，
所以可化為，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)楹驮谏线f增，
所以在上遞增，
所以由，得在上恒成立，
所以，化簡得在上恒成立，
所以，解得，
即的取值范圍為，
故選：C
【期末熱考題型1】函數(shù)的對(duì)稱性和周期性
【典例1】
【答案】BCD
【詳解】的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；
是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
故B正確；
因?yàn)椋胫校?br/>得到，進(jìn)而，因此，
故C正確；
由此得到，
所以，故D正確.
故選：BCD.
【典例2】
【答案】ACD
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由是奇函數(shù)，可得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以有，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)，無法求出的值，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，所以有.
又函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以，
所以有，
所以，，
所以有，所以是以4為周期的函數(shù)，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?所以也是函數(shù)的對(duì)稱軸.
又是以4為周期的函數(shù)，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，故D項(xiàng)正確.
故選：ACD.
【專訓(xùn)1-1】
【答案】0
【詳解】根據(jù)題意，是定義在R上的函數(shù)，
由為偶函數(shù)，有，即，
由為奇函數(shù)，即為奇函數(shù)，有，
即，且，
綜合得，
變形可得，
，
故是周期為4的周期函數(shù)，
則.
故答案為：0.
【專訓(xùn)1-2】
【答案】
【詳解】是奇函數(shù)，故，且，
偶函數(shù)，故，
則， ，函數(shù)周期為，
，故，，即，
，，，，
故，.
故答案為：.
【期末熱考題型1】函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性綜合應(yīng)用
【典例1】
【答案】AC
【詳解】對(duì)于A、B項(xiàng)，由已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
可得，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
又定義域?yàn)镽，所以是奇函數(shù)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤.
由是奇函數(shù)，可得.
又由已知可得，，
所以有，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，由可得，，
所以有，
所以的周期為4，所以.
又是奇函數(shù)，所以.
由代入可得，，
所以，，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)，由的周期為4，可得.
又的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，，，
所以，.
由對(duì)任意的，，，都有，
可得，.
所以，，都有，
所以，在上單調(diào)遞增.
所以，，即有，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC.
【典例2】
【答案】①②
【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)是上的奇函數(shù)，則；
由得，即
所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸；
又由為奇函數(shù)，則，
變形可得，則有，
故函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，
當(dāng)，且時(shí)，都有，
則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，又由是上的奇函數(shù)，
則在區(qū)間上單調(diào)遞增；
據(jù)此分析選項(xiàng)：
對(duì)于①，，則，
，故①正確；
對(duì)于②，是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，且函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，又由函數(shù)為奇函數(shù)，則直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，故②正確；
對(duì)于③，函數(shù)在上有7個(gè)零點(diǎn)：分別為，，，0，2，4，6，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，在區(qū)間上為增函數(shù)且其周期為4，函數(shù)在上為增函數(shù)，故④錯(cuò)誤；
故答案為：①②．
【專訓(xùn)1-1】
【答案】AC
【詳解】由，得，即函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，
對(duì)于A，因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)的周期為2，所以，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由是偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，得在上是減函數(shù)，故C正確；
對(duì)于D，由的周期為2，在上是增函數(shù)，
得，在上是增函數(shù).
又，所以，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
【專訓(xùn)1-2】
【答案】ABD
【詳解】對(duì)于，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，且，函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
因?yàn)榕己瘮?shù)，所以，函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
，即，
所以，令，則，
所以，所以，故的一個(gè)周期為，故正確；
對(duì)于，圖象關(guān)于直線對(duì)稱，的一個(gè)周期為，所以直線是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱軸，故正確；
對(duì)于，，∵當(dāng)時(shí)，，，，
又，所以，解得，
因?yàn)椋裕?br/>當(dāng)時(shí)，，故不正確；
因?yàn)椋收_.
故選：.
【期末熱考題型1】利用函數(shù)奇偶性求解析式
【典例1】
【答案】
【詳解】假設(shè)，則根據(jù)為奇函數(shù)，
得：，又的定義域?yàn)椋C上可得：.
故答案為：
【典例2】
【答案】
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，解得.
設(shè)，則，所以，
又為奇函數(shù)，所以，
即當(dāng)時(shí)，.
故答案為：
【專訓(xùn)1-1】
【答案】
【詳解】設(shè)，則：，
所以：，
又因?yàn)椋菏嵌x在上的奇函數(shù)，
所以：，
所以：.
故答案為：.
【專訓(xùn)1-2】
【答案】(1)，；
(2)
【詳解】（1）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，．
（2）令，則，則，
又函數(shù)是奇函數(shù)，，所以，
所以．
【期末熱考題型1】求分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
【典例1】
【答案】D
【詳解】.
因?yàn)椋?br/>所以的增區(qū)間是．
故選：D
【典例2】
【答案】和
【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)椋?br/>可得，
作出的圖象，

由圖象可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是和.
故答案為：和.
【專訓(xùn)1-1】
【答案】
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>所以函數(shù)的遞減區(qū)間是.
故答案為：.
【期末熱考題型2】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
【典例1】
【答案】D
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有成立，
不妨設(shè)，則，則，即，
則函數(shù)在上為減函數(shù)，則，解得，
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：D．
【典例2】
【答案】A
【詳解】第一步：研究函數(shù)，的單調(diào)性
易知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
第二步：數(shù)形結(jié)合，將函數(shù)在R上單調(diào)遞增進(jìn)行轉(zhuǎn)化
在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)，的圖象如圖所示．
由圖象可知，函數(shù)的圖象始終在的下方，
所以，要使函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則．
第三步：判斷充要關(guān)系
因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，則“”是“函數(shù)在R上單調(diào)遞增”的充分不必要條件．
故選：A．
【專訓(xùn)1-1】
【答案】C
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，
則
即，
得，
故選：C.
【專訓(xùn)1-2】
【答案】A
【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，都有，故為增函數(shù).
故當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，故，即.
又當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，且對(duì)稱軸為，故，即.
又當(dāng)時(shí)，，即.
綜上有.
故選：A
【期末熱考題型3】解分段函數(shù)不等式
【典例1】
【答案】
【詳解】的圖象如下，

依題意，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在上單調(diào)遞減，
令，則為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，
故．
故答案為：.
【典例2】
【答案】
【詳解】（i）當(dāng)，即時(shí)，，，
由得，即，
因?yàn)椋院愠闪ⅲ裕?br/>（ii）當(dāng)，即時(shí)，，，
由得，即，即恒成立，
所以；
（iii）當(dāng)，即時(shí)，，，
由得，即，所以，
綜上所述：的取值范圍是.
故答案為：
【專訓(xùn)1-1】
【答案】B
【詳解】當(dāng)時(shí)，，則不成立；
當(dāng)時(shí)，，
由，得，得，與矛盾，舍去，
當(dāng)時(shí)，，
由，得，則，得．
綜上，滿足的的取值范圍是．
故選：B．
【專訓(xùn)1-2】
【答案】
【詳解】當(dāng)時(shí)，即，則；
當(dāng)時(shí)，即，解得，即，
故滿足的的取值范圍是，
故答案為：
【期末熱考題型1】分段函數(shù)的值域或最值問題
【典例1】
【答案】B
【詳解】令，解得，

所以，

由圖象可得：在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
所以的最大值為.
故選：B.
【典例2】
【答案】 （只需滿足即可）
【詳解】①當(dāng)時(shí)，則，函數(shù)在上為增函數(shù)，
此時(shí)，函數(shù)不存在最小值，不合乎題意；
②當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，函數(shù)的最小值為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
若函數(shù)存在最小值，則，即，解得，此時(shí)，；
③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，
函數(shù)在上為增函數(shù)，
若函數(shù)存在最小值，則，即，該不等式無解.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：（只需滿足即可）；.
【專訓(xùn)1-1】
【答案】
【詳解】由在上遞減，在上遞增，
若，則最小值為，不滿足題設(shè)，
所以，
在上，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以最小值，則，可得.
綜上，.
故答案為：
【專訓(xùn)1-2】
【答案】(1)圖象見解析；
(2).
【詳解】（1）依題意，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的圖象是拋物線在的部分，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的圖象是直線在的部分，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的圖象是拋物線在的部分，如圖，
（2）當(dāng)時(shí)，的取值集合為，
當(dāng)時(shí)，的取值集合為，
當(dāng)時(shí)，的取值集合為，
所以函數(shù)的值域?yàn)?
【期末熱考題型1】不含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題
【典例1】
【答案】B
【詳解】
函數(shù)對(duì)稱軸為，作出函數(shù)的圖象，觀察圖象可知
，，
所以函數(shù)的值域?yàn)?br/>故選：B.
【典例2】
【答案】C
【詳解】由函數(shù)，對(duì)稱軸的方程為，
當(dāng)時(shí)，則時(shí)，函數(shù)取得最大值，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，可函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，
解得或（舍去）.
故選：C.
【專訓(xùn)1-1】
【答案】C
【詳解】，，開口向上，對(duì)稱軸為，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為，
結(jié)合對(duì)稱性，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為5，
所以的取值范圍為.
故選：C.
【期末熱考題型2】含參數(shù)的二次函數(shù)最值問題
【典例1】
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題可得，，所以，
又因?yàn)椋?br/>所以二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，解得，
所以.
（2）由（1）知，，對(duì)稱軸，
當(dāng)，即時(shí)，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則函數(shù)的最小值；
當(dāng)，即時(shí)，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
則函數(shù)的最小值；
當(dāng)時(shí)，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則函數(shù)的最小值；
所以，
（i）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以；
（ii）當(dāng)時(shí)，；
（iii）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以；
綜上，的值域?yàn)?
【典例2】
【答案】(1)；
(2)
(3)
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，
則，.
（2）設(shè)，則，所以，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的偶函數(shù)，
所以，則時(shí)，，
所以.
（3）當(dāng)時(shí)，，所以，
對(duì)稱軸為，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，；
綜上所述，.
【專訓(xùn)1-1】
【答案】(1)，
(2)
(3)答案見解析
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
聯(lián)立方程，解得：或，
即交點(diǎn)坐標(biāo)為和.
（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
又函數(shù)在上不具有單調(diào)性，
所以，即.
（3）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增，的最小值．
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減，的最小值．
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,的最小值．
當(dāng),的最小值．
當(dāng),的最小值．
當(dāng),的最小值．
【專訓(xùn)1-2】
【答案】(1)，
(2)
【詳解】（1）由已知得關(guān)于的方程的兩根1，3，
由韋達(dá)定理，，∴.
（2）由（1）得，
圖象的對(duì)稱軸直線，，
當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
∴；
當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
（或由二次函數(shù)的性質(zhì)得）∴；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
∴；
綜上，.
【期末熱考題型1】恒成立與能成立問題
【典例1】
【答案】(1)最大值為3，最小值為2
(2)
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，
令，則，，開口向上，對(duì)稱軸為，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)也就是取得最小值，，
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值，.
（2）在上恒成立，即，令，
原不等式可化為，對(duì)任意的成立，
可轉(zhuǎn)化為，對(duì)任意的成立，
因?yàn)椋?br/>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以即可，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【典例2】
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)都有，
所以關(guān)于直線對(duì)稱，
又因?yàn)槎魏瘮?shù)的最小值為，
所以可設(shè)二次函數(shù)的解析式為，
又因?yàn)槭瞧湟粋€(gè)零點(diǎn)，
所以，解得，
所以的解析式為.
（2）由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
.
（3）因?yàn)閷?duì)，都有恒成立，
由（2）可知，對(duì)，恒成立，
即或，
解得，
故存在實(shí)數(shù)符合題意，實(shí)數(shù)的取值范圍.
【專訓(xùn)1-1】
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)滿足，
所以函數(shù)的對(duì)稱軸為，
又因?yàn)樽钚≈禐椋?br/>故可設(shè)二次函數(shù)的解析式為，
又因?yàn)椋?br/>所以，解得，
所以.
（2）由題意可知：的圖象在區(qū)間上恒在的上方，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，所以在上恒成立，
又，
所以在上單調(diào)遞減，所以，
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【期末熱考題型1】二元變量問題
【典例1】
【答案】(1)單調(diào)遞增，證明見解析；
(2)
【詳解】（1）由函數(shù)滿足，
可得，解之得，則，
在上單調(diào)遞增，證明如下：
設(shè)任意，且，則
，
由，可得，
又，，
則，則，
則在上單調(diào)遞增.
（2）對(duì)任意的，由在上單調(diào)遞增，
可得，即，
則在上的值域?yàn)?br/>對(duì)稱軸，
當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，
值域?yàn)椋?br/>由題意可得，則，解之得；
當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，
值域?yàn)椋?br/>由題意可得，則，解之得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【典例2】
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）解：因?yàn)槭嵌x在上的函數(shù)，若滿足，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以，解得，所以，
又因?yàn)椋傻茫獾茫裕?br/>此時(shí)滿足，
所以函數(shù)的解析式為.
（2）解：對(duì)都有成立，即為，
不妨設(shè)，則，
因?yàn)椋裕?br/>所以，即，
所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，最小值為，
又由在上恒成立，只需在上恒成立，
令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【專訓(xùn)1-1】
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由是關(guān)于的方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，可得,
即，解得；
所以，由二次函數(shù)性質(zhì)可得；
即可得函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>（2）根據(jù)題意可知，需滿足；
當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)可知；
當(dāng)時(shí)，若時(shí)，；
可得，解得，所以；
當(dāng)時(shí)，，
可得，解得或，所以；
當(dāng)時(shí)，，
可得，解得，所以；
綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【專訓(xùn)1-2】
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）由題意，，即可得，
即，解得，
即不等式的解集為.
（2）因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，
所以時(shí)，，
即函數(shù)的值域?yàn)?
（3）由（2）知，任意，總存在，使得成立，
即在上的最小值，
對(duì)，
①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
故不成立；
②當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，
故，解得，又，故無解；
③當(dāng)，即時(shí)，的對(duì)稱軸時(shí)，
在上單調(diào)遞增，
故，解得，故，
當(dāng)對(duì)稱軸時(shí)，成立.
綜上，.
【期末熱考題型1】抽象函數(shù)的綜合問題
【典例1】
【答案】(1)
(2)單調(diào)遞增，證明見解析
(3)
【詳解】（1）令，則，
解得；
（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，
證明：任取，
則，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，則，
所以，即，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（3）由（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以不等式恒成立，即恒成立，，
當(dāng)恒成立時(shí)，，又，所以，
當(dāng)恒成立時(shí)，，
令，則，且，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
綜合得
【典例2】
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【詳解】（1）令，，則，
即，
由可知.
（2）令，則，
即.
若，則，所以.
總之，.
，
又所以,
由且可知，所以；
可得，即，
所以在上單調(diào)遞增.
（3）令，則，
所以為偶函數(shù)，
又，
當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，解得，
當(dāng)時(shí)，，可得或；
此時(shí)成立，所以符合不等式.
綜上，原不等式的解為.
【專訓(xùn)1-1】
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【詳解】（1）解：令，得到，解得.
（2）解：、，，則，所以，，
則
，即，
所以是上的增函數(shù).
（3）解：因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，且，所以，解得.
因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
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