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第五章 圓
第一節 圓的有關概念及性質
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 圓的有關概念及性質 ☆ 吉林中考中，有關圓的有關概念及性質部分，每年考查1~3道題,分值為3~9分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考查。對于這部分的復習，需要熟練掌握圓的有關概念及性質、垂徑定理及其計算、圓周角定理及圓內接多邊形等考點。
考點2 垂徑定理及其計算 ☆☆
考點3 圓周角定理及圓內接多邊形 ☆☆☆
■考點一　圓的有關概念及性質
1．圓的定義
　　(1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓.
　　(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合.
細節剖析：
　 ①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；
　②圓是一條封閉曲線.
2．圓的性質
　　(1)旋轉不變性：圓是旋轉對稱圖形，繞圓心旋轉任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心.
　　 　在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應的其他各組分別相等.
　　(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經過圓心的任一直線都是它的對稱軸.
　　(3)垂徑定理及推論：
　　 　①垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.
　　 　②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.
　　 　③弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.
　　 　④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.
　　 　⑤平行弦夾的弧相等.
3．兩圓的性質
　　(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線.
　　(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經過切點.
4．與圓有關的角
　　(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角.
　　 　圓心角的性質：圓心角的度數等于它所對的弧的度數.
　　(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.
　　 　圓周角的性質：
　　 　①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半.
　　 　②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.
　　 　③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角.
　　 　④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.
　　 　⑤圓內接四邊形的對角互補；外角等于它的內對角.
■考點二　垂徑定理及其計算
1.圓的對稱性
圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，圓有無數條對稱軸.圓也是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心；圓還具有旋轉不變性。
2．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．
方法點撥：
關于垂徑定理的計算常與勾股定理相結合，解題時往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的垂線，構造直角三角形．
3．垂徑定理推論
（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；
（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧．
■考點三　圓周角定理及圓內接多邊形
1.圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角。
2.圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半
3.推論：同弧或等弧所對圓周角相等，
①半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。
②在同圓或等圓中，兩個圓周角、兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對應的其余各組量也相等。
4.圓內接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓.
5.圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的對角互補。
■易錯提示
1.圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；
　2.圓是一條封閉曲線.
3.直徑是圓中通過圓心的特殊弦，也是圓中最長的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.
　　4.半圓是弧，而弧不一定是半圓；
　　5.無特殊說明時，弧指的是劣弧.
6.等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視；
7.圓中兩平行弦所夾的弧相等.
8.圓心角、弧和弦之間的關系必須在同圓或等圓中才成立．
9.圓雖然不是直線形圖形，但圓的問題解決除了借助圓自身的性質之外，更多的還得借助三角形，四邊形的知識。
■考點一　圓的有關概念及性質
◇典例1：（2023上·黑龍江大慶·六年級統考期末）圓的半徑是一條（　　）
A．直線 B．射線 C．線段 D. 弧
【答案】C
【分析】本題考查了圓的半徑的定義“連接圓心和圓上任意一點的線段，叫做半徑”，據此選擇答案即可．
【詳解】解：連接圓心和圓上任意一點的線段，叫做半徑，
故選：C．
◆變式訓練
1．（2023上·河北石家莊·九年級校考階段練習）如圖，在中，，點D是半徑為4的上一動點，點M是的中點，則的最大值是（ ）
A．7 B．6 C． D．
【答案】A
【分析】本題考查直角三角形斜邊的中線的性質，三角形的中位線定理，三角形的三邊關系等知識，如圖，取的中點，連接，．利用直角三角形斜邊中線的性質，三角形的中位線定理求出，，再利用三角形的三邊關系即可解決問題．
【詳解】解：如圖，取的中點，連接，．
，，，
，
點是的中點，
，
點是的中點，點是的中點，
，
，
，
即的最大值是7．
故選：A．
2．（2021上·河北石家莊·九年級石家莊市第十七中學校考期中）如圖，的半徑為2，圓心M的坐標為，點P是上的任意一點，，且與x軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關于原點O對稱，則的最大值為（　　）
A．9 B．10 C．12 D．14
【答案】D
【分析】本題考查直角三角形斜邊中線的性質，圓外一點到圓上一點距離的最大值，連接，根據直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，可得，當點P為線段的延長線與的交點時，取最大值，由此即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，
點A、點B關于原點O對稱，
，
為斜邊上的中線，
，
點P是上的任意一點，
當點P為線段的延長線與的交點時，取最大值，如圖：
的半徑為2，圓心M的坐標為，
的最大值,
的最大值為，
故選D．
■考點二　垂徑定理及其計算
◇典例2：（2023上·廣西南寧·九年級校考階段練習）“圓材埋壁”是我國古代數學名著《九章算術》中的一個問題：今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問：徑幾何？大意是：如圖，為的直徑，弦，垂足為點E，寸，寸，則直徑為（）
A．13寸 B．18寸 C．24寸 D．26寸
【答案】D
【分析】本題考查了垂徑定理和勾股定理，正確作出輔助線構造直角三角形是關鍵．連接構成直角三角形，先根據垂徑定理，由垂直得到點為的中點，由可求出的長，再設出圓的半徑為，表示出，根據勾股定理建立關于的方程，解方程直接可得的值，即為圓的直徑．
【詳解】連接，
∵，且寸，
∴寸，
設圓的半徑的長為，則
∵，
∴，
在直角三角形中，根據勾股定理得：，
化簡得：，
即，
∴(寸)，
故選：D．
◆變式訓練
1．（2023上·湖南長沙·九年級校聯考階段練習）把半徑為的球放在長方體紙盒內，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，若，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查垂徑定理，涉及到圓的基本性質，勾股定理等知識，掌握求弦長通常運用垂徑定理構造直角三角形的方法是解題的關鍵．
設球心為，過作交于，交于，連接，結合題意可解得，，根據勾股定理求得，最后由垂徑定理求得結果．
【詳解】解：如圖，設球心為，過作交于，交于，連接，
由題意可知是矩形，，
，
，
，
，
，，
，
，
故選：D．
2．（2023上·浙江紹興·九年級校聯考期中）紹興是著名的“橋鄉”，其中有一座美麗的圓弧形石拱橋——古纖道太平橋（如圖），已知橋拱的頂部C距水面的距離為，橋弧所在的圓的半徑為，則水面的寬度是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了勾股定理，垂徑定理，熟練掌握定理，準確計算是解題的關鍵．
【詳解】如圖，連接,
∵，，，
∴，，
∴,
∴,
故選A．
■考點三　圓周角定理及圓內接多邊形
◇典例3：（2023上·重慶九龍坡·九年級重慶實驗外國語學校校考期中）如圖，內接于，是的直徑，于點F，，，連接，，則的長度為（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，等知識．連接交于點G，根據垂徑定理可得，再由，可得，從而得到，設的半徑為r，則，在中，由勾股定理求出r，然后在中，根據勾股定理，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接交于點G，
∵是的直徑，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
設的半徑為r，則，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
在中，．
故選：A
◆變式訓練
1．（2023上·浙江杭州·九年級校考階段練習）如圖，的直徑垂直弦于點E，且，，則（　　）
A．8 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，熟記垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧是解題的關鍵．連接，如圖，先計算出，，再根據垂徑定理得到，然后利用勾股定理計算出，從而得到的長．
【詳解】解：連接，如圖，
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
故選：C．
2．（2023上·浙江寧波·九年級校考期中）如圖，點A、B在上，點C在弧上，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】題目主要考查圓周角定理及圓內接四邊求角度，三角形內角和定理，根據題意得出弧所對的圓周角的度數為：，然后確定，再由三角形內角和定理即可求解，熟練掌握圓周角定理及內接四邊形的性質是解題關鍵．
【詳解】解：∵，
∴弧所對的圓周角的度數為：，
∴，
∵，
∴∠ABC=270
故選：C．
1．（2023·吉林長春·校考二模）下列命題中是真命題的是（ ）
A．確定事件發生的概率為1 B．平分弦的直徑垂直于弦
C．兩邊及其一邊的對角對應相等的兩個三角形全等 D．正多邊形都是軸對稱圖形
【答案】D
【分析】根據概率的求法、垂徑定理、軸對稱圖形的概念和三角形判定的判定定理進行判斷即可．
【詳解】解：A、確定事件發生的概率為1或0，則原命題為假命題，故本選項不符合題意；
B、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，則原命題為假命題，故本選項不符合題意；
C、兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等，則原命題為假命題，故本選項不符合題意；
D、正多邊形都是軸對稱圖形，原命題為真命題，故本選項符合題意；
故選：D
【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，掌握概率的求法、垂徑定理、軸對稱圖形的概念和三角形確定的判定定理是解題的關鍵．
2．（2023·吉林松原·校聯考三模）如圖，在中，A、B是圓上的兩點，已知，直徑，連接，則等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據等腰三角形的性質和平行線的性質求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，，
則，
故選：A．
【點睛】本題考查等腰三角形的性質、平行線的性質、圓的基本知識，熟練掌握等邊對等角是解答的關鍵．
3．（2023·吉林長春·統考一模）如圖，點P是外一點，分別以O、P為圓心，大于長為半徑作圓弧，兩弧相交于點M和點N，直線交于點C，再以點C為圓心，以長為半徑作圓弧，交于點A，連接交于點B，連接．若，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接，根據作圖痕跡，直線垂直平分，，利用線段垂直平分線性質和等腰三角形的等邊對等角求得，，再利用三角形的外角性質和三角形的內角和定理求得即可．
【詳解】解：連接，根據作圖痕跡，直線垂直平分，，
則，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
【點睛】本題考查基本尺規作圖-作垂線、等腰三角形的性質、線段垂直平分線的性質、三角形的外角性質和三角形的內角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質，得到直線垂直平分是解答的關鍵．
4．（2023·吉林·統考中考真題）如圖，，是的弦，，是的半徑，點為上任意一點（點不與點重合），連接．若，則的度數可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據圓周角定理得出，進而根據三角形的外角的性質即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴的度數可能是
故選：D．
【點睛】本題考查了圓周角定理，三角形的外角的性質，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．
5．（2022·吉林長春·統考中考真題）如圖，四邊形是的內接四邊形．若，則的度數為（ ）

A．138° B．121° C．118° D．112°
【答案】C
【分析】由圓內接四邊形的性質得，再由圓周定理可得．
【詳解】解：∵四邊形ABCD內接于圓O，
∴
∵
∴
∴
故選：C
【點睛】本題主要考查了圓內接四邊形的性質和圓周角定理，熟練掌握相關性質和定理是解答本題的關鍵
6．（2021·吉林·統考中考真題）如圖，四邊形內接于，點為邊上任意一點（點不與點，重合）連接．若，則的度數可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由圓內接四邊形的性質得度數為，再由為的外角求解．
【詳解】解：∵四邊形內接于，
∴，
∵，
∴，
∵為的外角，
∴，只有D滿足題意．
故選：D．
【點睛】本題考查圓內接四邊形的性質，解題關鍵是熟練掌握圓內接四邊形對角互補．
7．（2023·吉林松原·統考二模）如圖，在中，所對的圓周角，若為上一點，，則的度數為（ ）

A． B． C．或 D．或
【答案】A
【分析】由圓周角定理求出，再由，則．
【詳解】解：∵，
∴，
又，P為上一點，
∴．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了圓周角定理，熟知圓周角定理是解題的關鍵．
8．（2023·吉林松原·校聯考三模）如圖，點A，B，C，D，E都是上的點，，，則 ．

【答案】116
【分析】連接、，根據圓內接四邊形的性質求出，根據圓心角、弧、弦之間的關系定理求出，根據圓內接四邊形的性質計算，得到答案．
【詳解】解：連接、，

∵點A、C、D、E都是上的點，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵點A、B、C、E都是⊙O上的點，
∴，
∴，
故答案為：116．
【點睛】本題考查的是圓內接四邊形的性質、等腰三角形的性質、掌握圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．
9．（2023·吉林松原·校聯考二模）如圖，等邊是的內接三角形，若的半徑為2，則的邊長為 ．

【答案】
【分析】先在圖上作出邊心距對應的線段，連接，在直角中，，求出的長即可．
【詳解】解：是的內接正三角形；
，
過作于，連接，則長為邊心距，如下圖，

在直角中，，，
，
，
，
故答案為．
【點睛】本題考查了圓內接三角形的性質，等邊三角形的性質，掌握基本概念是解題的關鍵．
10．（2023·吉林長春·校考三模）如圖，四邊形的兩邊相切于兩點，點上，若，則的度數為

【答案】/65度
【分析】連接，由與相切，可得，再由即可求解．
【詳解】解：連接，如下圖

與相切，
，
．
故答案為．
【點睛】本題主要考查圓周角定理、切線的性質，掌握相關知識并正確作出輔助線是解題的關鍵．
11．（2022·吉林長春·校考模擬預測）一個圓周上有個點：，，，，，以它們為頂點連三角形，使每個點恰好是一個三角形的頂點，且各個三角形的邊都不相交．問：有多少種連法？
【答案】55
【分析】利用遞推的方法，根據三角形的定義，結合圖表依次推出圓上有3個點，6個點，9個點和12個點連成三角形的種數，進而得出結論．
【詳解】解：（1）如果圓上只有3個點，那么只有一種連法；
（2）如果圓上有6個點，除所在三角形的三頂點外，剩下的三個點一定只能在在三角形的一條邊所對應的圓弧上，表1給出這時有可能的連法有3種．
（3）如果圓上有9個點，考慮所在的三角形．此時，其余的6個點可能分布在：
①A1所在三角形的一個邊所對的弧上；②也可能三個點在一個邊所對應的弧上，另三個點在另一邊所對的弧上；
在表2中用“”號表示它們分布在不同的邊所對的弧；如果是情形①，則由（2），
這六個點有三種連法；如果是情形②，則由①，每三個點都只能有一種連法；共有12種連法．
（4）最后考慮圓周上有12個點．同樣考慮所在三角形，剩下9個點的分布有三種可能：
①9個點都在同一段弧上；
②有6個點是在一段弧上，另三點在另一段弧上；
③每三個點在所在三角形的一條邊對應的弧上．得到表3；
共有種．
所以共有55種不同的連法．
【點睛】本題主要考查了計數方法，利用遞推的方法，依次推出圓上有3個點，6個點，9個點和12個點連成三角形的種數，即采用了化難為易的方法解答，要注意各個三角形的邊都不相交這個要求．
12．（2022·吉林長春·統考一模）閱讀理解：輔助線是幾何解題中溝通條件與結論的橋梁，在眾多類型的輔助線中，輔助圓作為一條曲線型輔助線，顯得獨特而隱蔽．
例如：在圖(1)中，，求證：．(請寫出證明過程)
證明：
方法運用：如圖(1)已知，，，則∠CAD的度數為______．
方法拓展：
如圖(2)在矩形ABCD中，，，E是AB邊的中點，F是線段BC邊上的動點，將沿EF所在直線折疊得到，連結，則的最小值是______．
【答案】88°；．
【分析】(1)同一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，故∠BAC=2∠BDC．
(2)由AB=AC=AD，可得B，C，D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，然后由圓周角定理，證得∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，繼而可得∠CAD=2∠BAC．
(3)當∠BFE=∠，點在DE上，此時的值最小，根據勾股定理求出DE，根據折疊的性質可知，DE-即為所求．
【詳解】(1) 證明：以A點為圓心，AB為半徑畫圓，
∴AB=AC=AD，
∴B、C、D點都在圓A上，
∴∠DBC=∠DAC，∠BDC=∠BAC．
(2)解：∵，
∴B，C，D三點在以A為圓心，AB為半徑的圓上，
∴∠CAD=2∠CBD，，
∵∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，
∴∠CAD=2∠BAC=88°
∠CAD的度數為88°．
(3)如圖，當∠BFE=∠，點在DE上時，此時的值最小，
根據折疊的性質△EBF≌△,
∴⊥，
∴=EB，
∵E是AB邊的中點，AB=4，
∴AE==2，
∵AD=6，
∴DE=，
∴．
的最小值是．
【點睛】本題主要考查圓周角定理、折疊的性質、全等三角形的判定與性質、兩點之間線段最短的綜合運用，確定點在何位置時，的值最小，注意得到B,C,D在以A為圓心，AB為半徑的圓上是解決問題的關鍵．
13．（2023·吉林長春·東北師大附中校考三模）【提出問題】（1）如圖①，在中，，，為此三角形內的一點，且，，，將繞點順時針旋轉至，則兩點間的距離為______，的度數為______．
【探究問題】（2）如圖②，在四邊形中，，，探究線段之間的數量關系，并寫出解答過程．

【解決問題】（3）如圖③是某圓形公園的設計示意圖．已知四邊形是內接四邊形，為直徑，，交于點，于點，于點，按設計要求，陰影部分是室內活動區，若，，則陰影部分的面積為______．
【答案】（1），（2），理由見詳解（3）2000
【分析】（1）根據旋轉的性質，可得，，利用等腰直角三角形的性質和勾股定理的逆定理可獲得答案；
（2）延長至點，使，連接，利用（1）的解題思路，構造，利用等腰直角三角形的性質可得結論；
（3）延長至點，使，連接，結合（2）解題思路，易得平分，，為等腰直角三角形，可證明四邊形為正方形，求得，再結合為等腰直角三角形，，可求得，利用可得，易得，然后由即可獲得答案．
【詳解】解：（1）如圖，連接，

∵將繞點C沿順時針方向旋轉至，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案為：，；
（2）．理由如下：
延長至點，使，連接，如圖，

∵，
∴，
∴四點在同一個圓上，
∴，
∴
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴， ，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（3）如圖，延長至點，使，連接，如圖，

結合（2）可知，平分，，為等腰直角三角形，
又∵，，
∴，
∵，，，
∴四邊形為正方形，
∵，
∴，
∴，
∵為等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：2000．
【點睛】本題主要考查了正方形的判定與性質、三角形的全等判定與性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理及逆定理、角平分線的性質定理、圓內接四邊形的性質等知識，綜合性很強，利用旋轉構造全等三角形是解題的關鍵．
1．（2023上·吉林長春·九年級校考期中）已知的半徑是，則中最長的弦長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了圓的基本性質．根據圓中最長的弦為直徑，即可求解．
【詳解】解：∵的半徑是，
∴中最長的弦長直徑是．
故選：D
2．（2023上·江蘇宿遷·九年級校聯考期中）下列說法中，正確的是（ ）
A．半圓是弧，弧也是半圓 B．長度相等的弧是等弧
C．弦是直徑 D．在一個圓中，直徑是最長的弦
【答案】D
【分析】本題考查圓的基本概念辨析．根據弧：圓上兩點及其所夾的部分；弦：連接圓上兩點形成的線段，逐一進行判斷即可．
【詳解】解：A、半圓是弧，但弧不一定是半圓，故選項錯誤；
B、在同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，故選項錯誤；
C、弦不一定是直徑，故選項錯誤；
D、在一個圓中，直徑是最長的弦，故選項正確；
故選D．
3．（2023上·江蘇宿遷·九年級統考期中）如圖，在矩形中，，動點分別從點同時出發，以相同的速度分別沿向終點移動，當點到達點時，運動停止，過點作直線的垂線，垂足為點，在這個移動過程中點經過的路徑長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】連接，交于點，取中點，連接，根據直角三角形斜邊中線的性質，可以得出的軌跡，從而求出經過的路程長．
【詳解】解：連接，交于點，取中點，連接，如圖所示：
，
，
在與中，
，
，
，，共線，
，是中點，
在中，，則，
的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓弧，則
當與重合時，；當與重合時，與重合；
走過的路程為，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了軌跡長度的求解，涉及矩形的性質、動點軌跡、與圓有關的位置關系等知識，根據矩形的性質以及直角三角形斜邊中線的性質確定的軌跡是本題解題的關鍵．
4．（2023上·內蒙古呼和浩特·九年級校考期中）下列命題錯誤的有（ ）個
A．弧長相等的兩段弧是等弧；
B．過弦的中點的直徑平分弦所對的兩條弧；
C．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；
D．如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點在同一個圓上．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本題根據等弧的定義、垂徑定理、圓的對稱性以及四點共圓的判定逐項判斷即可．
【詳解】解：A、在同圓或等圓中，弧長相等的兩段弧是等弧，故A錯誤，符合題意．
B、過弦（弦不能是直徑）的中點的直徑平分弦所對的兩條弧，故B 錯誤，符合題意．
C、圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，故C錯誤，符合題意．
D、如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點在同一個圓上，D正確，不符合題意．
綜上所述，符合題意的總共有3個，
故選：C．
5．（2023上·江蘇常州·九年級校考期中）已知點在半徑為5的上運動，是的一條弦且，則使的面積為8的點共有（ ）個．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本題考查垂徑定理和勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關鍵，根據的面積可將高求出，即上的點到的距離為高的點都符合題意．
【詳解】解：過圓心向弦作垂線，再連接半徑，
設的高為，
∵，
∴，
∴弦心距，
∵，
∴過圓心向所在的半圓作弦心距為1的弦與的兩個點符合要求；
∵，
∴將弦心距延長與相交，交點也符合要求，
∴符合要求的點有3個，
故選：C．
6．（2023上·黑龍江佳木斯·九年級統考期末）為了測量一個鐵球的直徑，將該鐵球放入工件槽內，測得的有關數據如圖所示（單位：），則該鐵球的直徑為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了垂徑定理的應用、勾股定理，連接交于點D，根據垂徑定理求出，根據勾股定理計算即可．
【詳解】解：連接交于點D，
由題意得，，則，
設圓的半徑為，則，
在中，，
即，
解得：，
則該鐵球的直徑為，
故選：D．
7．（2023上·黑龍江綏化·九年級統考期末）如圖，經過五邊形的四個頂點，若弧等于，，，則弧的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關系，多邊形內角與外角，連接，由半徑相等得到，，都為等腰三角形，根據，，求出與的度數，根據的度數確定出度數，進而求出的度數，即可確定出的度數．
【詳解】解：連接，

∵，
∴，，，皆為等腰三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
則度數為．
故選：B．
8．（2023上·新疆烏魯木齊·九年級校考期末）如圖所示，是的直徑，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了弧與圓心角的關系．由，可求得，繼而可求得的度數；然后再根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理來求的度數．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
故選：A．
9．（2023上·浙江杭州·九年級校考階段練習）下列有關圓的一些結論，其中正確的是（　　）
A．任意三點可以確定一個圓
B．相等的圓心角所對的弧相等
C．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧
D．圓內接四邊形對角互補
【答案】D
【分析】本題考查了圓心角、弧、弦的關系定理，垂徑定理的推論，半圓與弧的定義，圓內接四邊形的性質，熟練掌握定義與性質是解題的關鍵．根據確定圓的條件、圓心角、弧、弦的關系定理、垂徑定理、圓內接四邊形的性質進行判斷即可得到正確結論．
【詳解】解：A、不共線的三點確定一個圓，故本選項不符合題意；
B、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故本選項不符合題意；
C、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故本選項不符合題意；
D、圓內接四邊形對角互補，故本選項符合題意．
故選：D．
10．（2023上·浙江溫州·九年級校聯考期中）阿基米德折弦定理：如圖1，與是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點M是的中點，于點N，則點N是折弦的中點，即．如圖2，半徑為4的圓中有一個內接矩形，，點M是的中點，于點N，若矩形的面積為20，則線段的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查圓與勾股定理的綜合應用；連接，，，根據圓周角定理，結合已知條件易證得為的直徑，，則，再根據弧、弦、圓心角的關系及等腰直角三角形的性質可求得，然后根據同弧所對的圓周角相等及勾股定理可得，，設，，其中，利用勾股定理及矩形面積公式列得方程，解方程求得，的長度，再結合可證得，則，最后利用勾股定理列得方程，解方程求出或，再進一步分析即可得到答案．
【詳解】解：如圖，連接，，，
四邊形為矩形，
，
為的直徑，，
的半徑為4，
，
點為的中點，
，
，
∴，
，，
設，，其中，
則，
解得：或 舍去，
即，，
，，
，
，
，
，
，
解得：或，
∴或，
當時，，
當時，，
∵，
∴，
∴．
故選：A．
11．（2023上·福建福州·九年級校考階段練習）如圖，點A，B，C，D，E在上，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了圓周角定理，弦與弧之間的關系，根據弦與弧之間的關系得到，再根據同圓中等弧所對的圓周角是圓心角度數的一半可得．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故選D．
12．（2023上·江蘇無錫·九年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，與軸相切于點A，與軸交于點，連接并延長交于點D，交y軸于點E，連接并延長交x軸于點F，已知點D的坐標為，且點A是的中點，則點B的橫坐標為（ ）
A． B．8 C．9 D．
【答案】C
【分析】本題考查的是直徑所對的圓周角是直角，坐標與圖形，勾股定理的應用， 由中點坐標含義先求解 連接證明 設再利用勾股定理建立方程，再解方程即可．熟練地利用圓周角定理建立直角三角形是解本題的關鍵．
【詳解】解：連接 為的中點，
∴，
設
∵為直徑，
∴
∴
∵，，，
∴，
∴ ，
解得：
∴的坐標為： ，橫坐標為9，
故選：C．
13．（2022上·上海黃浦·八年級上海市黃浦大同初級中學校考期末）在直角坐標平面內，到點的距離是10的軌跡是 ．
【答案】以點為圓心，10為半徑的圓
【分析】本題考查圓的定義，根據到定點為定長的點的軌跡為圓，即可得出結果．
【詳解】解：到點的距離是10的軌跡是以點為圓心，10為半徑的圓；
故答案為：以點為圓心，10為半徑的圓．
14．（2023上·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）已知點為外一點，點到上的點的最長距離為6，最短距離為1，則的半徑為 ．
【答案】
【分析】畫出圖形，先表示距離，再確定最值條件．本題考查求圓的半徑，確定A到圓上的點的最大距離和最小距離對應的線段是求解本題的關鍵．
【詳解】解：如圖：連接并延長交于點B，C兩點，
點到上的點的最長距離為6，此時的線段一定經過的直徑，且遠點P的直徑端點是距離最大值點，近點P的直徑端點是距離最小值點，則，
∴，
∴．
故答案為：．
15．（2023上·吉林白城·九年級統考期末）如圖，某地新建一座石拱橋，橋拱是圓弧形，它的跨度為，拱高為， 則橋拱所在圓的半徑長為 .
【答案】/50米
【分析】此題考查垂徑定理、勾股定理等知識，熟練掌握垂徑定理是解題的關鍵．
觀察圖形，根據已知以及垂徑定理可得；然后再在中利用勾股定理求出的長，即可解答．
【詳解】解：，，
，
在中，
，
．
橋拱所在圓的半徑長為：．
故答案為：．
16．（2023上·黑龍江大慶·九年級統考期末）如圖，點A是半圓上的一個三等分點，點是的中點，是直徑上一動點，的半徑是2，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了圓心角的性質，軸對稱的性質，勾股定理，解題的關鍵是作點A關于的對稱點，連接交于P，則點P即是所求作的點，根據勾股定理求出結果即可．
【詳解】解：如圖，作點A關于的對稱點，連接交于P，則點P即是所求作的點，

根據軸對稱的性質可知，，
∴，
∵兩點之間線段最短，
∴ 此時最小，即最小，
∴的最小值為的長，
∵A是半圓上一個三等分點，
∴，
又∵點B是的中點，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴的最小值是．
故答案為：．
17．（2023上·甘肅定西·九年級統考期末）如圖，四邊形內接于，若四邊形是平行四邊形，則 ．
【答案】/60度
【分析】本題考查圓內接四邊形，圓周角定理，平行四邊形的性質，由平行四邊形的性質，得，由圓周角定理可知，，可知，在結合內接四邊形對角互補可知，即可求解，熟練掌握相關圖形的性質是解決問題的關鍵．
【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
由圓周角定理可知，，
則，
又∵四邊形是圓的內接四邊形，
∴，即：，
∴，
故答案為：．
18．（2024上·吉林延邊·九年級統考期末）石拱橋是我國古代人民勤勞和智慧的結晶（如圖①），趙州橋是我國古代石拱橋的代表，圖②是根據該石拱橋畫出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧形，表示為，橋的跨度（弧所對的弦長），設所在圓的圓心為O，，為半徑，半徑，垂足為D.拱高（弧的中點到弦的距離）．
(1)直接寫出與的數量關系；
(2)求這座石拱橋主橋拱的半徑．
【答案】(1)
(2)這座石拱橋主橋拱半徑約為
【分析】此題考查垂徑定理和勾股定理，是重要考點，根據題意利用勾股定理列出方程是解題關鍵．
（1）根據垂徑定理即可得出結論；
（2）設主橋拱半徑為，在中，根據勾股定理列出方程，即可得出答案．
【詳解】（1）解：∵半徑，
∴．
（2）解:設主橋拱半徑為，
∵，，，
∴，，
在中，由勾股定理，得，
即，
解得，
因此，這座石拱橋主橋拱半徑約為．
19．（2023上·浙江杭州·九年級校考階段練習）如圖，是的直徑，點C，D是上的兩點，且，求證：．
【答案】見解析
【分析】本題考查的是圓心角、弧、弦的關系，掌握在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等是解題的關鍵．
先根據得出，再由平行線的性質得出，故可得出，據此即可證明結論．
【詳解】證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．（2023上·全國·九年級專題練習）如圖，以為直徑的經過的頂點C，，分別平分和，的延長線交于點D，連接．
(1)判斷的形狀，并證明你的結論；
(2)若， ，求的長．
【答案】(1)為等腰直角三角形．證明過程見解答部分
(2)8
【分析】（1）由角平分線的定義、結合等量代換可得，即；然后再根據直徑所對的圓周角為即可解答；
（2）如圖：連接，，，交于點．先說明垂直平分．進而求得、、的長，設，則．然后根據勾股定理列出關于t的方程求解即可．
【詳解】（1）解：為等腰直角三角形，證明如下：
證明：∵平分，平分，
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∵為直徑，
∴．
∴是等腰直角三角形．
（2）解：如圖：連接，，，交于點．
∵，
∴．
∵，
∴垂直平分．
∵是等腰直角三角形，，
∴．
∵，
∴．
設，則．
在和中，．解得，．
∴．
∴．
【點睛】本題主要考查了角平分線的定義、等腰三角形的判定與性質、勾股定理的應用、垂直平分線的判定與性質、圓的性質等知識點，靈活運用相關知識成為解答本題的關鍵．
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第五章 圓
第一節 圓的有關概念及性質
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 圓的有關概念及性質 ☆ 吉林中考中，有關圓的有關概念及性質部分，每年考查1~3道題,分值為3~9分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考查。對于這部分的復習，需要熟練掌握圓的有關概念及性質、垂徑定理及其計算、圓周角定理及圓內接多邊形等考點。
考點2 垂徑定理及其計算 ☆☆
考點3 圓周角定理及圓內接多邊形 ☆☆☆
■考點一　圓的有關概念及性質
1．圓的定義
　　(1)線段OA繞著它的一個端點O ，另一個端點A所形成的 ，叫做圓.
　　(2)圓是到 .
細節剖析：
　 ①圓心確定圓的 ，半徑確定圓的 ；確定一個圓應先確定 ，再確定 ，二者缺一不可；
　②圓是一條 .
2．圓的性質
　　(1)旋轉 圓是 ，繞圓心旋轉任一角度都和原來圖形 ；圓是 圖形，對稱中心是 .
　　 　在 中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組 ，那么它所對應的其他各組分別相等.
　　(2)軸對稱：圓是 ， 都是它的對稱軸.
　　(3)垂徑定理及推論：
　　 　①垂直于弦的直徑 這條弦，并且平分弦所對的 .
　　 　②平分弦(不是直徑)的直徑 于弦，并且平分弦所對的 .
　　 　③弦的垂直平分線過 ，且平分弦對的兩條弧.
　　 　④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且 此弦.
　　 　⑤ 相等.
3．兩圓的性質
　　(1)兩個圓是一個 圖形，對稱軸是 .
　　(2)相交兩圓的連心線 公共弦，相切兩圓的連心線經過 .
4．與圓有關的角
　　(1)圓心角： 叫圓心角.
　　 　圓心角的性質： 等于它所對的弧的度數.
　　(2)圓周角：頂點在 叫做圓周角.
　　 　圓周角的性質：
　　 　①圓周角等于它 .
　　 　② 所對的圓周角相等；在 中，相等的圓周角所對的弧相等.
　　 　③90°的圓周角所對的弦為 ；半圓或直徑所對的圓周角為 .
　　 　④如果三角形 ，那么這個三角形是直角三角形.
　　 　⑤圓內接四邊形的 互補；外角等于它的 .
■考點二　垂徑定理及其計算
1.圓的對稱性
圓是 ， 都是它的對稱軸，圓有 條對稱軸.圓也是 是它的對稱中心；圓還具有 。
2．垂徑定理：垂直于弦的直徑 ，并且平分 ．
方法點撥：
關于垂徑定理的計算常與勾股定理相結合，解題時往往需要添加輔助線，一般 ，構造 ．
3．垂徑定理推論
（1）平分弦（不是直徑）的直徑 ，并且平分弦所對的 ；
（2）弦的垂直平分線經過 ，并且 ．
■考點三　圓周角定理及圓內接多邊形
1.圓周角的定義：頂點在 ，并且兩邊都與圓 的角叫做圓周角。
2.圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于
3.推論： 所對圓周角相等，
①半圓(或直徑)所對的圓周角是 ，90°的圓周角所對的弦是 。
②在同圓或等圓中，兩個 中有一組量相等，它們所對應的其余各組量也相等。
4.圓內接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點 ，這個多邊形叫做 ，這個圓叫做這個多邊形的 .
5.圓內接四邊形的性質：圓內接四邊形的 。
■易錯提示
1.圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；
　2.圓是一條封閉曲線.
3.直徑是圓中通過圓心的特殊弦，也是圓中最長的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.
　　4.半圓是弧，而弧不一定是半圓；
　　5.無特殊說明時，弧指的是劣弧.
6.等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視；
7.圓中兩平行弦所夾的弧相等.
8.圓心角、弧和弦之間的關系必須在同圓或等圓中才成立．
9.圓雖然不是直線形圖形，但圓的問題解決除了借助圓自身的性質之外，更多的還得借助三角形，四邊形的知識。
■考點一　圓的有關概念及性質
◇典例1：（2023上·黑龍江大慶·六年級統考期末）圓的半徑是一條（　　）
A．直線 B．射線 C．線段 D. 弧
◆變式訓練
1．（2023上·河北石家莊·九年級校考階段練習）如圖，在中，，點D是半徑為4的上一動點，點M是的中點，則的最大值是（ ）
A．7 B．6 C． D．
2．（2021上·河北石家莊·九年級石家莊市第十七中學校考期中）如圖，的半徑為2，圓心M的坐標為，點P是上的任意一點，，且與x軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關于原點O對稱，則的最大值為（　　）
A．9 B．10 C．12 D．14
■考點二　垂徑定理及其計算
◇典例2：（2023上·廣西南寧·九年級校考階段練習）“圓材埋壁”是我國古代數學名著《九章算術》中的一個問題：今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問：徑幾何？大意是：如圖，為的直徑，弦，垂足為點E，寸，寸，則直徑為（）
A．13寸 B．18寸 C．24寸 D．26寸
◆變式訓練
1．（2023上·湖南長沙·九年級校聯考階段練習）把半徑為的球放在長方體紙盒內，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，若，則的長為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·浙江紹興·九年級校聯考期中）紹興是著名的“橋鄉”，其中有一座美麗的圓弧形石拱橋——古纖道太平橋（如圖），已知橋拱的頂部C距水面的距離為，橋弧所在的圓的半徑為，則水面的寬度是（）
A． B． C． D．
■考點三　圓周角定理及圓內接多邊形
◇典例3：（2023上·重慶九龍坡·九年級重慶實驗外國語學校校考期中）如圖，內接于，是的直徑，于點F，，，連接，，則的長度為（ ）
A． B．5 C． D．
◆變式訓練
1．（2023上·浙江杭州·九年級校考階段練習）如圖，的直徑垂直弦于點E，且，，則（　　）
A．8 B．4 C． D．
2．（2023上·浙江寧波·九年級校考期中）如圖，點A、B在上，點C在弧上，若，則（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·吉林長春·校考二模）下列命題中是真命題的是（ ）
A．確定事件發生的概率為1 B．平分弦的直徑垂直于弦
C．兩邊及其一邊的對角對應相等的兩個三角形全等 D．正多邊形都是軸對稱圖形
2．（2023·吉林松原·校聯考三模）如圖，在中，A、B是圓上的兩點，已知，直徑，連接，則等于（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·吉林長春·統考一模）如圖，點P是外一點，分別以O、P為圓心，大于長為半徑作圓弧，兩弧相交于點M和點N，直線交于點C，再以點C為圓心，以長為半徑作圓弧，交于點A，連接交于點B，連接．若，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·吉林·統考中考真題）如圖，，是的弦，，是的半徑，點為上任意一點（點不與點重合），連接．若，則的度數可能是（ ）

A． B． C． D．
5．（2022·吉林長春·統考中考真題）如圖，四邊形是的內接四邊形．若，則的度數為（ ）

A．138° B．121° C．118° D．112°
6．（2021·吉林·統考中考真題）如圖，四邊形內接于，點為邊上任意一點（點不與點，重合）連接．若，則的度數可能為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·吉林松原·統考二模）如圖，在中，所對的圓周角，若為上一點，，則的度數為（ ）

A． B． C．或 D．或
8．（2023·吉林松原·校聯考三模）如圖，點A，B，C，D，E都是上的點，，，則 ．

9．（2023·吉林松原·校聯考二模）如圖，等邊是的內接三角形，若的半徑為2，則的邊長為 ．

10．（2023·吉林長春·校考三模）如圖，四邊形的兩邊相切于兩點，點上，若，則的度數為______

（2022·吉林長春·校考模擬預測）一個圓周上有個點：，，，，，以它們為頂點連三角形，使每個點恰好是一個三角形的頂點，且各個三角形的邊都不相交．問：有多少種連法？
12．（2022·吉林長春·統考一模）閱讀理解：輔助線是幾何解題中溝通條件與結論的橋梁，在眾多類型的輔助線中，輔助圓作為一條曲線型輔助線，顯得獨特而隱蔽．
例如：在圖(1)中，，求證：．(請寫出證明過程)
證明：
方法運用：如圖(1)已知，，，則∠CAD的度數為______．
方法拓展：
如圖(2)在矩形ABCD中，，，E是AB邊的中點，F是線段BC邊上的動點，將沿EF所在直線折疊得到，連結，則的最小值是______．
13．（2023·吉林長春·東北師大附中校考三模）【提出問題】（1）如圖①，在中，，，為此三角形內的一點，且，，，將繞點順時針旋轉至，則兩點間的距離為______，的度數為______．
【探究問題】（2）如圖②，在四邊形中，，，探究線段之間的數量關系，并寫出解答過程．

【解決問題】（3）如圖③是某圓形公園的設計示意圖．已知四邊形是內接四邊形，為直徑，，交于點，于點，于點，按設計要求，陰影部分是室內活動區，若，，則陰影部分的面積為______．
1．（2023上·吉林長春·九年級校考期中）已知的半徑是，則中最長的弦長是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·江蘇宿遷·九年級校聯考期中）下列說法中，正確的是（ ）
A．半圓是弧，弧也是半圓 B．長度相等的弧是等弧
C．弦是直徑 D．在一個圓中，直徑是最長的弦
3．（2023上·江蘇宿遷·九年級統考期中）如圖，在矩形中，，動點分別從點同時出發，以相同的速度分別沿向終點移動，當點到達點時，運動停止，過點作直線的垂線，垂足為點，在這個移動過程中點經過的路徑長是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·內蒙古呼和浩特·九年級校考期中）下列命題錯誤的有（ ）個
A．弧長相等的兩段弧是等弧；
B．過弦的中點的直徑平分弦所對的兩條弧；
C．圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸；
D．如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點在同一個圓上．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023上·江蘇常州·九年級校考期中）已知點在半徑為5的上運動，是的一條弦且，則使的面積為8的點共有（ ）個．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2023上·黑龍江佳木斯·九年級統考期末）為了測量一個鐵球的直徑，將該鐵球放入工件槽內，測得的有關數據如圖所示（單位：），則該鐵球的直徑為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·黑龍江綏化·九年級統考期末）如圖，經過五邊形的四個頂點，若弧等于，，，則弧的度數為（ ）

A． B． C． D．
8．（2023上·新疆烏魯木齊·九年級校考期末）如圖所示，是的直徑，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·浙江杭州·九年級校考階段練習）下列有關圓的一些結論，其中正確的是（　　）
A．任意三點可以確定一個圓
B．相等的圓心角所對的弧相等
C．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧
D．圓內接四邊形對角互補
10．（2023上·浙江溫州·九年級校聯考期中）阿基米德折弦定理：如圖1，與是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，點M是的中點，于點N，則點N是折弦的中點，即．如圖2，半徑為4的圓中有一個內接矩形，，點M是的中點，于點N，若矩形的面積為20，則線段的長為（ ）
A． B． C． D．
11．（2023上·福建福州·九年級校考階段練習）如圖，點A，B，C，D，E在上，，則（ ）
A． B． C． D．
12．（2023上·江蘇無錫·九年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，與軸相切于點A，與軸交于點，連接并延長交于點D，交y軸于點E，連接并延長交x軸于點F，已知點D的坐標為，且點A是的中點，則點B的橫坐標為（ ）
A． B．8 C．9 D．
13．（2022上·上海黃浦·八年級上海市黃浦大同初級中學校考期末）在直角坐標平面內，到點的距離是10的軌跡是 ．
14．（2023上·江蘇鹽城·九年級校考階段練習）已知點為外一點，點到上的點的最長距離為6，最短距離為1，則的半徑為 ．
15．（2023上·吉林白城·九年級統考期末）如圖，某地新建一座石拱橋，橋拱是圓弧形，它的跨度為，拱高為， 則橋拱所在圓的半徑長為 ．
16．（2023上·黑龍江大慶·九年級統考期末）如圖，點A是半圓上的一個三等分點，點是的中點，是直徑上一動點，的半徑是2，則的最小值為 ．
17．（2023上·甘肅定西·九年級統考期末）如圖，四邊形內接于，若四邊形是平行四邊形，則 ．
18．（2024上·吉林延邊·九年級統考期末）石拱橋是我國古代人民勤勞和智慧的結晶（如圖①），趙州橋是我國古代石拱橋的代表，圖②是根據該石拱橋畫出的幾何圖形，橋的主橋拱是圓弧形，表示為，橋的跨度（弧所對的弦長），設所在圓的圓心為O，，為半徑，半徑，垂足為D.拱高（弧的中點到弦的距離）．
(1)直接寫出與的數量關系；
(2)求這座石拱橋主橋拱的半徑．
19．（2023上·浙江杭州·九年級校考階段練習）如圖，是的直徑，點C，D是上的兩點，且，求證：．
20．（2023上·全國·九年級專題練習）如圖，以為直徑的經過的頂點C，，分別平分和，的延長線交于點D，連接．
(1)判斷的形狀，并證明你的結論；
(2)若， ，求的長．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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