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第五章 圓
第二節 與圓有關的位置關系
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 點、直線與圓的位置關系 ☆☆ 吉林中考中，有關與圓有關的位置關系部分，每年考查1~3道題,分值為3~9分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考查。對于這部分的復習，需要熟練掌握點、直線與圓的位置關系、切線的性質與判定、三角形的外接圓與內切圓等考點。
考點2 切線的性質與判定 ☆☆☆
考點3 三角形的外接圓與內切圓 ☆
■考點一　點、直線與圓的位置關系
判定一個點P是否在⊙O上
　　設⊙O的半徑為，OP=，則有
　　點P在⊙O 外；　點P在⊙O 上；點P在⊙O 內.
判定幾個點在同一個圓上的方法
　　當時，在⊙O 上.
3．直線和圓的位置關系
　　設⊙O 半徑為R，點O到直線的距離為.
　　(1)直線和⊙O沒有公共點直線和圓相離.
　　(2)直線和⊙O有唯一公共點直線和⊙O相切.
　　(3)直線和⊙O有兩個公共點直線和⊙O相交.
4.圓和圓的位置關系
　　設的半徑為，圓心距.
　　(1)和沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的外部外離
　　 　.
　　(2)和沒有公共點，且的每一個點都在內部內含
　　(3)和有唯一公共點，除這個點外，每個圓上的點都在另一個圓外部外切.
　　(4)和有唯一公共點，除這個點外，的每個點都在內部內切.
　　(5)和有兩個公共點相交.
■考點二　切線的性質與判定
切線的判定：
①經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.
②到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線.
2.切線的性質：
①圓的切線垂直于過切點的半徑.
②經過圓心作圓的切線的垂線經過切點.
③經過切點作切線的垂線經過圓心.
3.切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長.
4.切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.
■考點三　三角形的外接圓與內切圓
1．三角形的外接圓相關概念
經過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內接三角形．外心是三角形三條垂直平分線的交點，它到三角形的三個頂點的距離相等．
2．三角形的內切圓
與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形．內心是三角形三條角平分線的交點，它到三角形的三條邊的距離相等．
3．三角形的內心、外心、重心、垂心
　　(1)三角形的內心：是三角形三條角平分線的交點，它是三角形內切圓的圓心，在三角形內部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.
　　(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示.
　　(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用G表示.
　　(4)垂心：是三角形三邊高線的交點.
4.三角形的外心與內心的區別：
名稱 確定方法 圖形 性質
外心(三角形外接圓的圓心) 三角形三邊中垂線的交點 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內部
內心(三角形內切圓的圓心) 三角形三條角平分線的交點 (1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)內心在三角形內部.
■易錯提示
1.點和圓的位置關系和點到圓心的距離的數量關系是相對應的，即知道位置關系就可以確定數量關系；知道數量關系也可以確定位置關系.
2. 任何一個三角形都有且只有一個內切圓，但任意一個圓都有無數個外切三角形；
3.解決三角形內心的有關問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內切圓的半徑).
4. 圓與圓的位置關系，既考慮它們公共點的個數，又注意到位置的不同，若以兩圓的公共點個數 分類，又可以分為：相離(含外離、內含)、相切(含內切、外切)、相交；
　　5.內切、外切統稱為相切，唯一的公共點叫作切點；
　　6.具有內切或內含關系的兩個圓的半徑不可能相等，否則兩圓重合.
7.切線長是指圓外一點和切點之間的線段的長，不是“切線的長”的簡稱.切線是直線，而非線段.
8.切線長定理包含兩個結論：線段相等和角相等.
■考點一　點、直線與圓的位置關系
◇典例1： （吉林省長春市2023-2024學年九年級上學期期末數學試題）已知點是外一點，且的半徑為，則的長可能為( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了點與圓的位置關系：若半徑為，點到圓心的距離為，則有當時，點在圓外；當時，點在圓上，當時，點在圓內．根據點在圓外，點到圓心的距離大于圓的半徑可對各選項進行判斷．
【詳解】解：點是外一點，
，
的長可能為，
故選：D．
◆變式訓練
1．（2023上·山東臨沂·九年級統考期中）已知的半徑為10，，則點P與的位置關系是（ ）
A．點P在內 B．點P在上 C．點P在外 D．不確定
【答案】A
【分析】本題考查了點與圓的位置關系，根據題意得的半徑為10，則點P到圓心O的距離小于圓的半徑，則根據點與圓的位置關系可判斷點P在內．
【詳解】解：∵，
∴,
則點P在內，
故選：A．
2．（2023上·湖南長沙·九年級校聯考階段練習）已知的半徑是，點到同一平面內直線的距離為，則直線與的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．無法判斷
【答案】A
【分析】本題考查了直線與圓的位置關系．熟練掌握，則直線與圓相交，則直線與圓相切，則直線與圓相離，是解題的關鍵．
根據直線與圓相交，進行判斷作答即可．
【詳解】解：由題意知，，
∵，
∴直線與的位置關系是相交，
故選：A．
■考點二　切線的性質與判定
◇典例2：（2023上·湖北武漢·九年級武漢市第一初級中學校考階段練習）如圖，在中，，，為中點，則當最大時，的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了圓的切線的性質，勾股定理，三角形中位線性質；取的中點，點在以點為圓心，為半徑的圓上，點在以點為圓心，為半徑的圓上，當與相切時，最大，即，然后運用勾股定理求解即可；解題的關鍵是掌握點、的運動軌跡．
【詳解】解：如圖，取的中點，
，，為中點，
，
點在以點為圓心，為半徑的圓上，
點在以點為圓心，為半徑的圓上，
∵當與相切時，最大，
，
，
故選：D．
◆變式訓練
1．（2023上·江蘇連云港·九年級統考期中）下列命題中正確的是（ ）
A．半圓不是弧 B．經過半徑一端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線
C．平面內三點確定一個圓 D．三角形的外心到三角形的各個頂點的距離相等．
【答案】D
【分析】本題考查圓的基本知識，圓的切線的定義，確定圓的條件，三角形的外心等，根據相關定義或性質逐項判斷即可．
【詳解】解：半圓是弧，故A選項命題不正確；
B，經過半徑的非圓心一端，并且垂直于這條半徑的直線，是圓的一條切線，故B選項命題不正確；
C，平面內不在同一直線上的三點確定一個圓，故C選項命題不正確；
D，三角形的外心到三角形的各個頂點的距離相等，故D選項命題正確；
故選D．
2．（2023上·重慶·九年級校考期中）如圖，是的一條弦，過點O作于點E，過點E作于點C，過點B作的切線交CE的延長線于點D．若，的半徑為，則的長為（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查勾股定理，垂徑定理，切線的性質，直角三角形角所對直角邊等于斜邊一半，根據垂徑定理得到，即可得到，即可得到，，，即可得到答案；
【詳解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
故選：D．
■考點三　三角形的外接圓與內切圓
◇典例3：（2023上·河北邢臺·九年級校聯考期中）已知是的內心，，為平面上一點，點恰好又是的外心，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了三角形的內心和三角形外心的性質，三角形內角和定理，利用三角形內心的性質得分別是的角平分線，進而求出的大小，再利用三角形外心的性質得出等于的一半，即可得出答案，牢記以上知識點得出各角之間的關系是解題的關鍵．
【詳解】解：連接，

∵是的內心，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵點又是的外心，
∴，
故選：．
◆變式訓練
1．（2023下·河北承德·九年級校聯考階段練習）兩直角邊的長分別為和，則其內心與外心的距離為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】先根據題意畫出圖形，的內心是三角形角平分線的交點，外心是斜邊的中點，求出，根據面積法求出，進而得出，可得，根據勾股定理即可得出答案．
【詳解】解：如圖所示：的內心是三角形角平分線的交點，外心是斜邊的中點，

設，，
∴，
∵的內心是三角形角平分線的交點，外心是斜邊的中點，
∴，，
根據三角形的面積可得：，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴內心與外心的距離為，
故選：D．
【點睛】本題考查三角形的內心與外心，勾股定理，得出三角形的內心與外心的位置是解題的關鍵．
2．（2023·山東泰安·校考二模）如圖，點I為的內心，連接并延長交的外接圓于點D，若，點E為弦的中點，連接，若，則的長為（　　）
A．5 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】由已知條件可得到，過點D作于F，連接，可得四邊形為平行四邊形，可得，即可求出IE的長．
【詳解】解：連接，如圖，
∵I為的內心，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
過點D作于F，連接，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∵點E為弦的中點
∴為的中位線，
∴，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
故選C．
【點睛】本題是三角形外接圓和內切圓綜合，考查了平行四邊形的性質與判定，三角形中位線定理，等腰三角形的性質與判定，內心等等，正確作出輔助線構造平行四邊形是解題的關鍵．
1．（2022·吉林·統考中考真題）如圖，在中，，，．以點為圓心，為半徑作圓，當點在內且點在外時，的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先利用勾股定理可得，再根據“點在內且點在外”可得，由此即可得出答案．
【詳解】解：在中，，，，
，
點在內且點在外，
，即，
觀察四個選項可知，只有選項C符合，
故選：C．
【點睛】本題考查了勾股定理、點與圓的位置關系，熟練掌握點與圓的位置關系是解題關鍵．
2．（2023·吉林長春·統考一模）如圖，在中，，圖中所作直線與射線交于點D，點D在邊上，根據圖中尺規作圖痕跡，判斷以下結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由圖中尺規作圖痕跡可得為的平分線，為線段的垂直平分線，結合角平分線和線段垂直平分線的定義與性質逐項分析即可．
【詳解】解：由圖中尺規作圖痕跡可得，為的平分線，為線段的垂直平分線，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故B選項錯誤，D選項正確；
∵，，
假設，
∴，
∴，
∵為線段的垂直平分線，
∴，
故假設不成立，則，
同理，，故A、C選項都錯誤；
故選：D．
【點睛】本題考查作圖-基本作圖、角平分線的定義與性質、線段垂直平分線的定義與性質，熟練掌握角平分線和線段垂直平分線的定義與性質是解答本題的關鍵．
3．（2022·吉林長春·校考模擬預測）有下列說法：①任意三點確定一個圓；②圓的兩條平行弦所夾的弧相等；③任意一個三角形有且僅有一個外接圓；④平分弦的直徑垂直于弦；⑤直徑是圓中最長的弦，其中錯誤的個數有（　　）
A．個 B．個 C．個 D．個
【答案】A
【分析】根據圓的確定條件，圓心角、弧、弦的關系，三角形的外接圓的定義，垂徑定理逐項判斷即可．
【詳解】解：不在同一直線上的三點確定一個圓，故①錯誤；
圓的兩條平行弦所夾的弧相等，故②正確；
任意一個三角形有且僅有一個外接圓，故③正確；
平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，故④錯誤；
直徑是圓中最長的弦，故⑤正確．
綜上可知錯誤的個數有2個．
故選A．
【點睛】本題考查圓的確定條件、垂徑定理、圓心角、弧、弦的關系等知識，解題關鍵是熟記相關知識點，準確進行判斷．
4．（2021·吉林長春·統考中考真題）如圖，AB是的直徑，BC是的切線，若，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據切線的性質，得∠ABC=90°，再根據直角三角形的性質，即可求解．
【詳解】解：∵AB是的直徑，BC是的切線，
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，
∵，
∴=90°-35°=55°，
故選C．
【點睛】本題主要考查切線的性質以及直角三角形的性質，掌握圓的切線的性質定理，是解題的關鍵．
5．（2023·吉林松原·校聯考二模）如圖，四邊形內接于，是的直徑，與相切于點，若，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意可知，，據此即可求得答案．
【詳解】∵四邊形內接于，
∴．
∴．
∵與相切于點，
∴．
∴．
故選：B．
【點睛】本題主要考查圓內接四邊形的性質和圓的切線的性質，牢記圓內接四邊形的性質（圓內接四邊形的對角互補）和圓的切線的性質（圓的切線垂直于過切點的半徑）是解題的關鍵．
6．（2023·吉林長春·長春市第八十七中學校考三模）將一個含有的直角三角板按如圖所示的位置擺放，一個頂點與的圓心重合，一條直角邊與相切，切點為．將繞點按順時針方向旋轉得到，使點落在上，邊交線段于點．則為（ ）

A．60° B．65° C．85° D．90°
【答案】D
【分析】根據題意，得出是等邊三角形，然后得出，根據，可得，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接，

∵一條直角邊與相切，切點為
∴點在上，
∵將繞點按順時針方向旋轉得到，使點落在上，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∵
∴，
故選：D．
【點睛】本題考查了旋轉的性質，切線的性質，圓的性質，等邊三角形的性質與判定，直角三角形的兩個銳角互余，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．
7．（2023·吉林·統考一模）如圖，是的直徑，為上一點，過點的切線與的延長線交于點，若，則的度數是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接，由切線性質得到，根據等邊對等角得到，結合外角，通過等量代換即可得到，從而計算出的度數．
【詳解】解：如圖連接,

是的直徑，為上一點，是的切線，
，，
，，
，，
，
，
,
故選：C．
【點睛】本題考查了圓切線的性質，三角形外角性質，等腰三角形性質等知識，適當添加輔助線并采用等量代換是解題關鍵．
8．（2022·吉林長春·校聯考模擬預測）如圖，是的直徑，與相切于點A，與相交于點C，若，則的度數是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根據切線的性質得到，再利用直角三角形的兩個銳角互余和圓周角定理得到求解即可．
【詳解】解：∵與相切于點A，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴．
故選：B．
【點睛】本題考查了切線的性質、圓周角定義以及直角三角形的兩個銳角互余，熟練掌握切線的性質和圓周角定理是解答的關鍵．
9．（2023·吉林長春·統考一模）如圖，四邊形的兩邊、與相切于、兩點，點在上，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接，由、與相切，可得，再由即可求解；
【詳解】解：連接，
∵、與相切，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故選：B．
【點睛】本題主要考查圓周角定理、圓切線的性質，掌握相關知識并正確做出輔助線是解題的關鍵．
10．（2023·吉林長春·統考一模）如圖，是的直徑，是弦，垂直于過點的切線，垂足為點．若，則的大小為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】連接，根據切線的性質可得出，從而可證，進而得出．最后根據等邊對等角即得出．
【詳解】解：如圖，連接．
由題意可知為的切線，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
故選A．
【點睛】本題考查切線的性質，平行線的判定和性質，等腰三角形的性質．連接常用的輔助線是解題關鍵．
11．（2023·吉林長春·長春市解放大路學校校考模擬預測）如圖，是的直徑，點P在的延長線上，與相切于點A，連接，若，則的度數是（　　）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【答案】A
【分析】先由切線的性質得到，再由三角形內角和定理和對頂角相等得到，再根據等邊對等角結合三角形內角和定理求出即可得到答案．
【詳解】解：∵與相切于點A，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
故選A．
【點睛】本題主要考查了切線的性質，三角形內角和定理，等邊對等角，靈活運用所學知識是解題的關鍵．
12．（2023·吉林延邊·統考一模）如圖，是的直徑，是的切線，點B為切點，線段與交于點D．點E是上的動點（不與點B、D重合）．若，則的度數可能是 ．

【答案】（答案不唯一）
【分析】先求出的度數，再根據圓周角定理推出的取值范圍，即可得出答案．
【詳解】連接，如圖，

∵線段與交于點D，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵點E是上的動點（不與點B、D重合），
∴．
故答案是：（答案不唯一）．
【點睛】本題主要考查了圓的切線的性質，三角形內角和，圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．
13．（2021·吉林長春·校考一模）如圖，點O是邊上一點，與邊相切于點D，與線段相交于點E．若點P是上一點，且，則的度數為 度．
【答案】
【分析】連接，根據切線的性質可得，再由圓周角定理可得，即可求解．
【詳解】解∶如圖，連接，
∵與邊相切于點D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：．
【點睛】此題考查了切線的性質，圓周角定理，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．
14．（2022·吉林長春·統考一模）如圖，在中，，點I為的內心．將平移到的位置，點A的對應點為點I，則圖中陰影部分圖形的周長為 ．
【答案】5
【分析】連接BI、CI，由點I為△ABC的內心，得出BI平分∠ABC，則∠ABI=∠CBI，由平移得AB∥D’I，則∠ABI=∠BID’，推出∠CBI=∠BID’，得出BD’=D’I，同理可得CE’=E’I，△D’IE’的周長=D’E’+D’I+E’I=D’E’+BD’+CE’=BC=5，即可得出結果．
【詳解】解：連接BI、CI，如圖所示：
∵點I為△ABC的內心，
∴BI平分∠ABC，
∴∠ABI=∠CBI，
由平移得：AB∥D’I，
∴∠ABI=∠BID’，
∴∠CBI=∠BID’，
∴BD’=D’I，
同理可得：CE’=E’I，
∴△D’IE’的周長=D’E’+D’I+E’I=D’E’+BD’+CE’=BC=5，
即圖中陰影部分的周長為5，
故答案為：5
【點睛】本題考查了三角形內心的定義、平移的性質及角平分線的定義等知識，熟練掌握三角形的內心是角平分線的交點是解題的關鍵．
15．（2022·吉林長春·統考模擬預測）如圖，為的內接三角形，為的直徑，切于點B，交的延長線于點D．若，則的大小為 度.
【答案】50
【分析】連接OB，由等邊對等角可得出，再根據切線的性質可得出，從而可求出，又可求出，最后由三角形內角和定理即可求出．
【詳解】如圖，連接OB．
∵，
∴．
∵切于點B，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案為：50．
【點睛】本題考查切線的性質，等腰三角形的性質，三角形內角和定理．連接常用的輔助線是解題關鍵．
16．（2023·吉林松原·統考一模）如圖，是的直徑，是的切線，連接交于點C，點D在上，，求證：．
【答案】見解析
【分析】根據切線的性質得到，根據圓周角定理得到，根據等腰三角形的判定定理證明結論．
【詳解】證明：∵是的切線，是的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查的是切線的性質、圓周角定理，掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵．
17．（2023·吉林長春·統考中考真題）【感知】如圖①，點A、B、P均在上，，則銳角的大小為__________度．

【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，是等邊三角形的外接圓，點P在上（點P不與點A、C重合），連結、、．求證：．小明發現，延長至點E，使，連結，通過證明，可推得是等邊三角形，進而得證．
下面是小明的部分證明過程：
證明：延長至點E，使，連結，
四邊形是的內接四邊形，
．
，
．
是等邊三角形．
，
請你補全余下的證明過程．
【應用】如圖③，是的外接圓，，點P在上，且點P與點B在的兩側，連結、、．若，則的值為__________．
【答案】感知：；探究：見解析；應用：．
【分析】感知：由圓周角定理即可求解；
探究：延長至點E，使，連結，通過證明，可推得是等邊三角形，進而得證；
應用：延長至點E，使，連結，通過證明得，可推得是等腰直角三角形，結合與可得，代入即可求解．
【詳解】感知：
由圓周角定理可得，
故答案為：；
探究：
證明：延長至點E，使，連結，
四邊形是的內接四邊形，
．
，
．
是等邊三角形．
，
，
∴，，
，
是等邊三角形，
，
，
即；
應用：
延長至點E，使，連結，
四邊形是的內接四邊形，
．
，
．
，
，
∴，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了圓周角定理，圓內接四邊形對角互補，鄰補角，全等三角形的判定和性質，等邊三角形、等腰直角三角形的判定和性質，勾股定理解直角三角形；解題的關鍵是做輔助線構造，進行轉換求解．
1．（2023上·黑龍江綏化·九年級校考階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．三點確定一個圓 B．經過圓心的直線是圓的對稱軸
C．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧 D．三角形的外心到三角形三個邊距離相等
【答案】B
【分析】本題考查了圓的性質，垂徑定理逆定理，確定圓的條件等知識，熟悉圓的概念和簡單性質是解題關鍵．根據圓的性質、垂徑定理逆定理，確定圓的條件即可解題．
【詳解】解：三個不在同一條直線上的點確定一個圓，A錯誤；
經過圓心的直線是圓的對稱軸，B正確；
平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，C錯誤；
三角形的外心到三角形三個頂點距離相等，D錯誤；
故選B．
2．（2023上·江蘇無錫·九年級無錫市東林中學校考期中）下列說法中，正確的是（ ）
A．長度相等的弧是等弧 B．三點確定一個圓
C．平分弦的直徑垂直于這條弦 D．弦的垂直平分線必經過圓心
【答案】D
【分析】本題考查了等弧的定義、確定圓的條件、垂徑定理等知識；熟練掌握等弧的定義、確定圓的條件、垂徑定理、三角形的內心性質是解題的關鍵．由等弧的定義、確定圓的條件、垂徑定理分別對各個選項進行判斷即可．
【詳解】解：∵在同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，
∴選項A不正確；
∵不在同一條直線上的三個點確定一個圓，
∴選項B不正確；
∵平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，
∴選項C不正確；
∵弦的垂直平分線必經過圓心，
∴選項D正確；
故選：D．
3．（2023上·浙江溫州·九年級校聯考期中）已知的半徑是，點A在外，則的長可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查點與圓的位置關系，根據點在圓外，只需點到圓心的距離大于圓的半徑即可．
【詳解】解：∵的半徑是，點A在外，
∴，則選項D符合題意，
故選：D．
4．（2023上·浙江臺州·九年級校考階段練習）數學活動課上，九（1）班同學在研究（）和等腰（）的外接圓時，有以下發現：
小明說“當時，這兩個三角形的外接圓是等圓”；
小剛說“當，時，這兩個三角形的外接圓是等圓”．
你認為說法正確的是（ ）
A．小明對小剛不對 B．小剛對小明不對
C．小明小剛都對 D．小明小剛都不對
【答案】A
【分析】本題主要考查了三角形外接圓的性質、等腰三角形的性質、三角形全等的判定與性質、三角形內角和定理、三角形三邊關系，記外接圓圓心為（如圖1），外接圓圓心為（如圖2），設，則，，證明，，再證明，即可判斷小明的說法，畫出圖形，利用三角形三邊關系即可判斷小剛的說法，得到答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
【詳解】解：如圖，
，
記外接圓圓心為（如圖1），外接圓圓心為（如圖2），
設，則，
為等腰三角形，
在底邊的垂直平分線上，
由等腰三角形的三線合一可得：平分，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，故小明說法正確，
如圖，當，時，由三角形三邊關系可得：，故小剛說法錯誤，
故選：A．
5．（2023上·浙江溫州·九年級校聯考期中）如果三角形的外心在三角形的外部，那么這個三角形一定是（ ）
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形
【答案】A
【分析】本題考查了三角形的外接圓與外心，掌握外心的形成和性質是本題突破的關鍵，根據外心的形成和性質直接判斷即可．
【詳解】解：三角形的外心是三條邊的垂直平分線的交點，外心的性質是到三角形三個頂點的距離相等，如果一個三角形的外心在三角形的外部，說明有一個圓周角大于，那么這個三角形一定是鈍角三角形，
故選：C．
6．（2024上·安徽六安·九年級校考階段練習）如圖，，，分別與相切于點，，，與，分別相交于，兩點，若，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據切線長定理可得，，然后由等邊對等角與三角形外角的性質，求得，，繼而求得的度數．
【詳解】解：∵分別切于交于兩點，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，即，，
∵，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了切線長定理，等腰三角形的判定和性質，三角形外角的性質以及三角形內角和定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角．
7．（2023上·山東德州·九年級校考階段練習）如圖，邊長為2的等邊的內切圓的半徑為（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】本題考查了三角形的內切圓與內心：三角形的內心到三角形三邊的距離相等；三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角．等邊三角形的性質，勾股定理．設為等邊的內切圓，連接的延長線交于H，如圖，利用內心的性質得平分，平分，再根據等邊三角形的性質得，，則，然后利用勾股定理計算出即可．
【詳解】解：設為等邊的內切圓，連接的延長線交于H，如圖，
∵為等邊三角形，
平分，平分，
∵為等邊三角形，
，
，
，
在中，，
，
即內切圓的半徑為．
故選：D．
8．（2023上·河南商丘·九年級校考階段練習）如圖所示，是的切線，A、B為切點，，點C是上不同于A、B的任意一點，則的度數為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本題考查了切線的性質，圓周角定理，以及四邊形的內角和定理，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．
連接，，當在優弧上時與在弧上時，分別求出的度數即可．
【詳解】解：如圖示，連接，，
、是的切線，
，，
，
，
，
當在優弧上時，；
當在劣弧上時，，
則的度數為或．
故選：C．
9．（2023上·浙江紹興·九年級校聯考期中）如圖中的數軸可以度量圖中圓的直徑，則此直徑是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了圓的切線及數軸的定義，根據“數軸上兩點的距離等于右邊的數減去左邊的數”即可得到答案．
【詳解】解：圖中圓的直徑為，
故選：B．
10．（2024上·天津南開·九年級統考期末）如圖，點P是外一定點，連接線段，與交于點A.按照如下尺規作圖的步驟進行操作：
①分別以P，O為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點M，N，作直線，交于點B；
②以點為圓心，以為半徑作，與交于點Q，R兩點；
③連接，，，，，線段與相交于點C.
則下列說法中不一定正確的是（ ）
A．，均為的切線 B．
C． D．
【答案】C
【分析】該題主要考查了尺規作圖，圓周角定理，圓與圓位置關系，切線證明，圓內接四邊形等知識點，解題的關鍵是理解題意；
根據作圖得出為的直徑，根據圓周角定理和切線證明可判斷A，根據Q、O、R、P在上，運用圓內接四邊形可判斷B，根據圓與圓位置關系及三角形面積可判斷D，根據圓周角定理可判斷C；
【詳解】解：根據作圖可得：為的直徑，Q、O、R、P在上，
是的半徑，
，均為的切線，故A正確；
Q、O、R、P在上，
Q、O、R、P四點共圓，是的內接四邊形，
，故B正確；
由作圖可知，為與的圓心連線，為與的公共弦，
，
，故D正確；
所對圓心角為，所對圓周角為，
不一定等于，
不一定等于，故C不一定正確；
故選：C．
11．（2023上·廣東韶關·九年級統考階段練習）如圖，，分別切于，兩點，如果，，那么的長為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題考查了切線長定理和等邊三角形的性質與判定，根據、為圓的切線，可得，由可證得為等邊三角形，然后根據等邊三角形的性質解答即可，解題的關鍵是熟練掌握切線長定理和等邊三角形的性質與判定的應用．
【詳解】∵、分別切于、，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
故選：．
12．（2023·河北石家莊·統考模擬預測）如圖，將折疊，使邊落在邊上，展開后得到折痕．將再次折疊，使邊落在邊上，展開后得到折痕，，交于點．則以下結論一定成立的是（ ）
A． B．
C．點到三邊的距離相等 D．點到三個頂點的距離相等
【答案】C
【分析】根據是折痕，可知平分，平分，點為的內接圓的圓心，由此即可求解．
【詳解】解：∵是折痕，
∴平分，平分，點為的內接圓的圓心，如圖所示，
于，于，于，
選項， 的度數無法確定，與的數量關系也不確定，故選項不符合題意；
選項， 的長度不確定，的數量關系也不確定，故選項不符合題意；
選項，根據角平分的性質可得，，即點到三邊的距離相等，故選項符合題意；
選項， ，故選項不符合題意；
故選：．
【點睛】本題主要考查三角形與圓的知識的綜合，理解并掌握角平分線的性質，內切圓的知識是解題的關鍵．
13．（2022上·湖北武漢·九年級校考階段練習）如圖，不等邊內接于，I是其內心，，，，內切圓半徑為（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】延長交于點，連接，交于點，利用圓周角定理，以及內心是三角形三條角平分線的交點，證明是等腰三角形，過點作，證明，得到，利用切線長定理，求出的長，過點作，連接，設，利用勾股定理，求出的高，進而求出的面積，再利用的面積等于的周長與內切圓半徑乘積的一半，求出內切圓的半徑即可．
【詳解】解：延長交于點，連接，交于點，
則：，
∵I是內心，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
過點作，
則：，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∵I是內心，
∴，
∴，
如圖2：過點作，連接，設，則：，
則：，
即：，
解得：，
∴；
∴
設的半徑為
則：
∴，
即：，
解得：；
故選A．
【點睛】本題考查三角形的內切圓和內心．熟練掌握內心是三角形角平分線的交點，合理的添加輔助線，是解題的關鍵．同時考查了圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，以及切線長定理．本題的綜合性強，難度大，對學生的思維量要求較高．
14．（2023·陜西西安·高新一中校考一模）在中，若兩直角邊長為、，則它的外接圓的面積為 ．
【答案】/平方厘米
【分析】此題考查的是求三角形的外接圓的面積，掌握圓周角為直角所對的弦是直徑是解決此題的關鍵．
根據題意，寫出已知條件并畫出圖形，然后根據勾股定理即可求出，再根據圓周角為直角所對的弦是直徑即可得出結論．
【詳解】如圖，已知：，，
由勾股定理得： ，
∵，
∴是的直徑，
∴這個三角形的外接圓直徑是，半徑為，
∴面積為，
故答案為：．
15．（2023上·福建泉州·九年級福建省泉州市培元中學校考階段練習）在平面直角坐標系中，點，以原點為圓心，為半徑作．若在內，設線段的長度為，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了點與圓的位置關系，勾股定理，二次函數的最值問題，先求出，再利用勾股定理得到，根據二次函數的性質求出有最小值，再由點P在內得到，據此可得答案．
【詳解】解：∵在平面直角坐標系中，點，
∴，
∵，
∴
，
∵，
∴當時，有最小值，即有最小值，
∵在內，
∴，
∴
故答案為：．
16．（江蘇省南京市2023-2024學年九年級上學期期末數學試題）如圖，四邊形內接于，是的直徑，過點C作的切線交的延長線于點P，若，則 ．
【答案】115
【分析】本題考查了切線的性質，圓內接四邊形的性質，等腰三角形的性質，熟練掌握切線的性質是解題的關鍵．連接，根據切線的性質和圓內接四邊形的性質即可得到答案．
【詳解】解：連接，
是的切線，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
17．（2023上·山東煙臺·九年級統考期末）如圖，平面直角坐標系中，點的坐標為，與軸相切于點，點在軸上，與相切于點．若，則點的坐標為 ．
【答案】或
【分析】本題考查了圓的切線的性質、矩形的判定和性質、勾股定理等知識，解題關鍵是把所求的線段放在直角三角形中利用勾股定理求解和已知圓的切線作半徑．連接，過點A作軸，利用根據圓的切線性質可知為直角三角形，，利用直角三角形中角的性質和勾股定理分別求出的長度，進而求出的長度即可求得答案．
【詳解】解：如圖，過點A作軸于點D，連接，
∵軸，軸，
∴四邊形為矩形．
∴．
∵與x軸相切，
∴為的半徑．
∵點A坐標為，
∴，
∵是切線，
∴．
∵，
∴．
在中，根據勾股定理，得
∴當點P在y軸的正半軸上，則
∴點P坐標為
∴當點P在y軸的負半軸上，則，
∴點P坐標為
綜上，點P坐標為或
故答案為：或
18．（2023上·江蘇蘇州·九年級蘇州市振華中學校校考階段練習）如圖，點是的內心，的延長線和的外接圓相交于點，與相交于點，則下列結論：①；②若，則；③若點為的中點，則；④．其中一定正確的選項是 ．
【答案】①③④
【分析】利用三角形內心的性質得到，則可對①進行判斷；直接利用三角形內心的性質對②進行判斷；根據圓周角定理，等弧和等弦的關系及等腰三角形的性質可對③進行判斷；通過證明得到，則可對④進行判斷．
【詳解】解：∵點是的內心，
∴平分，
∴，故①正確；
如圖，連接，，
∵點是的內心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，故②不正確；

∵，
∴，
∴，
∵點為的中點，
∴，
∴，故③正確；
∵點是的內心，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正確，
∴一定正確的是①③④，
故答案為：①③④．
【點睛】本題考查三角形內心，圓周角定理，等弧與等弦的關系，等腰三角形的性質與判定，三角形的內角和定理與三角形外角的性質．掌握三角形的內心的定義是解題的關鍵．
19．（2023上·陜西西安·九年級西安市曲江第一中學校考階段練習）如圖，在 ，，尺規作圖：求作，使得經過三點． （保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見解析
【分析】此題主要考查三角形的外接圓以及尺規作線段的垂直平分線，掌握直角三角形外接圓的圓心就是它的斜邊中點是解題的關鍵．作的垂直平分線，找到的中點，則以為直徑作圓就是三角形的外接圓．
【詳解】解：如圖所示，即為所求．
20．（2023上·山東濟南·九年級期末）如圖，在中，，點是邊上一點，以為直徑的與邊相切于點，與邊交于點，過點作于點，連接
(1)求證：；
(2)若， ，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查了切線的性質，銳角三角函數的定義，角平分線的判定與性質等知識，熟練運用切線的性質是解題的關鍵．
（1）連接，易證，繼而結合已知證明，然后利用角平分線的性質即可證得；
（2）由，設，，根據的長可求得的值，再根據即可求得答案．
【詳解】（1）如圖，連接，
與相切，
，且，
，
，
，
，
，且，，
；
（2），
設，，
，
，
，
，
．
21．（2023上·安徽蕪湖·九年級校聯考階段練習）如圖，為半圓O的直徑，C是半圓O上一點，D是的中點，過點D作直線，直線l，垂足為F，的延長線交直線l于點E．
(1)求證：直線l是的切線．
(2)若的半徑為1，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）如圖所示，連接，根據弧與弦之間的關系得到，則垂直平分線，進而證明直線，由此即可證明結論；
（2）如圖，過點D作，垂足為M，由直徑所對的圓周角是直角得到，進而證明，進一步推出，則由角平分線的性質得到，同理可得，再證明，進而證明，得到，即可推出．
【詳解】（1）證明：如圖所示，連接．
∵D是的中點，
∴，
∴，
又∵，
∴點O和點D都在線段的垂直平分線上，即垂直平分線，
∴．
又∵直線，
∴直線，
∵是的半徑，
∴直線l是的切線．
（2）解：如圖，過點D作，垂足為M，
由（1）得，
∵為半圓O的直徑，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
同理可得，
∵D是的中點，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即．
【點睛】本題主要考查了切線的判定，等邊對等角，三角形內角和定理，全等三角形的性質與判定，線段垂直平分線的判定與性質，平行線的判定，圓周角定理，角平分線的性質等等，正確作出輔助線是解題的關鍵．
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第五章 圓
第二節 與圓有關的位置關系
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 點、直線與圓的位置關系 ☆☆ 吉林中考中，有關與圓有關的位置關系部分，每年考查1~3道題,分值為3~9分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考查。對于這部分的復習，需要熟練掌握點、直線與圓的位置關系、切線的性質與判定、三角形的外接圓與內切圓等考點。
考點2 切線的性質與判定 ☆☆☆
考點3 三角形的外接圓與內切圓 ☆
■考點一　點、直線與圓的位置關系
判定一個點P是否在⊙O上
　　設⊙O的半徑為，OP=，則有
　　 ；　 ； .
判定幾個點在同一個圓上的方法
　　當時，在⊙O 上.
3．直線和圓的位置關系
　　設⊙O 半徑為R，點O到直線的距離為.
　　(1)直線和⊙O沒有公共點 .
　　(2)直線和⊙O有唯一公共點 .
　　(3)直線和⊙O有兩個公共點 .
4.圓和圓的位置關系
　　設的半徑為，圓心距.
　　(1)和沒有公共點， 外離
　　 　.
　　(2)和沒有公共點， 內含
　　(3)和有唯一公共點，除這個點外， 外切.
　　(4)和有唯一公共點，除這個點外， 內切.
　　(5)和 相交.
■考點二　切線的性質與判定
切線的判定：
① 是圓的切線.
② 是圓的切線.
2.切線的性質：
①圓的切線 于過切點的半徑.
②經過圓心作圓的切線的 經過切點.
③經過 作切線的垂線經過 .
3.切線長：從圓外一點作圓的切線，這 叫做切線長.
4.切線長定理：從圓外一點作 ，它們的切線長相等， 平分兩條切線的夾角.
■考點三　三角形的外接圓與內切圓
1．三角形的外接圓相關概念
經過三角形各頂點的圓叫做 ，外接圓的圓心叫做 ，這個三角形叫做 ．外心是三角形三條垂直平分線的交點，它到三角形的三個頂點的距離 ．
2．三角形的內切圓
與三角形各邊都相切的圓叫做 ，內切圓的圓心叫做 ，這個三角形叫做圓的 ．內心是三角形三條角平分線的交點，它到三角形的三條邊的距離相等．
3．三角形的內心、外心、重心、垂心
　　(1)三角形的內心：是 ，它是三角形內切圓的圓心，在三角形內部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.
　　(2)三角形的外心：是 ，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示.
　　(3)三角形重心：是 ，在三角形內部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用G表示.
　　(4)垂心：是 .
4.三角形的外心與內心的區別：
名稱 確定方法 圖形 性質
外心(三角形外接圓的圓心) 三角形三邊中垂線的交點 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內部
內心(三角形內切圓的圓心) 三角形三條角平分線的交點 (1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)內心在三角形內部.
■易錯提示
1.點和圓的 和點到圓心的距離的 是相對應的，即知道位置關系就可以確定 ；知道數量關系也可以確定 .
2. 任何一個三角形都 內切圓，但任意一個圓都有 外切三角形；
3.解決三角形內心的有關問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于 ，即 (S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內切圓的半徑).
4. 圓與圓的位置關系，既考慮它們公共點的個數，又注意到位置的不同，若以兩圓的公共點個數 分類，又可以分為： ；
　　5. 統稱為相切， 叫作切點；
　　6. 不可能相等，否則兩圓 .
7.切線長是指 ，不是“切線的長”的簡稱.切線是 ，而非 .
8.切線長定理包含兩個結論： 相等和 相等.
■考點一　點、直線與圓的位置關系
◇典例1： （吉林省長春市2023-2024學年九年級上學期期末數學試題）已知點是外一點，且的半徑為，則的長可能為( )
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023上·山東臨沂·九年級統考期中）已知的半徑為10，，則點P與的位置關系是（ ）
A．點P在內 B．點P在上 C．點P在外 D．不確定
2．（2023上·湖南長沙·九年級校聯考階段練習）已知的半徑是，點到同一平面內直線的距離為，則直線與的位置關系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相離 D．無法判斷
■考點二　切線的性質與判定
◇典例2：（2023上·湖北武漢·九年級武漢市第一初級中學校考階段練習）如圖，在中，，，為中點，則當最大時，的長為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023上·江蘇連云港·九年級統考期中）下列命題中正確的是（ ）
A．半圓不是弧 B．經過半徑一端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線
C．平面內三點確定一個圓 D．三角形的外心到三角形的各個頂點的距離相等．
2．（2023上·重慶·九年級校考期中）如圖，是的一條弦，過點O作于點E，過點E作于點C，過點B作的切線交CE的延長線于點D．若，的半徑為，則的長為（ ）
A．9 B． C． D．
■考點三　三角形的外接圓與內切圓
◇典例3：（2023上·河北邢臺·九年級校聯考期中）已知是的內心，，為平面上一點，點恰好又是的外心，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023下·河北承德·九年級校聯考階段練習）兩直角邊的長分別為和，則其內心與外心的距離為（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2023·山東泰安·校考二模）如圖，點I為的內心，連接并延長交的外接圓于點D，若，點E為弦的中點，連接，若，則的長為（　　）
A．5 B． C．4 D．
1．（2022·吉林·統考中考真題）如圖，在中，，，．以點為圓心，為半徑作圓，當點在內且點在外時，的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023·吉林長春·統考一模）如圖，在中，，圖中所作直線與射線交于點D，點D在邊上，根據圖中尺規作圖痕跡，判斷以下結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·吉林長春·校考模擬預測）有下列說法：①任意三點確定一個圓；②圓的兩條平行弦所夾的弧相等；③任意一個三角形有且僅有一個外接圓；④平分弦的直徑垂直于弦；⑤直徑是圓中最長的弦，其中錯誤的個數有（　　）
A．個 B．個 C．個 D．個
4．（2021·吉林長春·統考中考真題）如圖，AB是的直徑，BC是的切線，若，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·吉林松原·校聯考二模）如圖，四邊形內接于，是的直徑，與相切于點，若，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
6．（2023·吉林長春·長春市第八十七中學校考三模）將一個含有的直角三角板按如圖所示的位置擺放，一個頂點與的圓心重合，一條直角邊與相切，切點為．將繞點按順時針方向旋轉得到，使點落在上，邊交線段于點．則為（ ）

A．60° B．65° C．85° D．90°
7．（2023·吉林·統考一模）如圖，是的直徑，為上一點，過點的切線與的延長線交于點，若，則的度數是（ ）

A． B． C． D．
8．（2022·吉林長春·校聯考模擬預測）如圖，是的直徑，與相切于點A，與相交于點C，若，則的度數是（　　）

A． B． C． D．
9．（2023·吉林長春·統考一模）如圖，四邊形的兩邊、與相切于、兩點，點在上，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·吉林長春·統考一模）如圖，是的直徑，是弦，垂直于過點的切線，垂足為點．若，則的大小為（ ）．
A． B． C． D．
11．（2023·吉林長春·長春市解放大路學校校考模擬預測）如圖，是的直徑，點P在的延長線上，與相切于點A，連接，若，則的度數是（　　）
A．65° B．60° C．55° D．50°
12．（2023·吉林延邊·統考一模）如圖，是的直徑，是的切線，點B為切點，線段與交于點D．點E是上的動點（不與點B、D重合）．若，則的度數可能是 ．

13．（2021·吉林長春·校考一模）如圖，點O是邊上一點，與邊相切于點D，與線段相交于點E．若點P是上一點，且，則的度數為 度．
14．（2022·吉林長春·統考一模）如圖，在中，，點I為的內心．將平移到的位置，點A的對應點為點I，則圖中陰影部分圖形的周長為 ．
15．（2022·吉林長春·統考模擬預測）如圖，為的內接三角形，為的直徑，切于點B，交的延長線于點D．若，則的大小為 度.
16．（2023·吉林松原·統考一模）如圖，是的直徑，是的切線，連接交于點C，點D在上，，求證：．
17．（2023·吉林長春·統考中考真題）【感知】如圖①，點A、B、P均在上，，則銳角的大小為__________度．

【探究】小明遇到這樣一個問題：如圖②，是等邊三角形的外接圓，點P在上（點P不與點A、C重合），連結、、．求證：．小明發現，延長至點E，使，連結，通過證明，可推得是等邊三角形，進而得證．
下面是小明的部分證明過程：
證明：延長至點E，使，連結，
四邊形是的內接四邊形，
．
，
．
是等邊三角形．
，
請你補全余下的證明過程．
【應用】如圖③，是的外接圓，，點P在上，且點P與點B在的兩側，連結、、．若，則的值為__________．
1．（2023上·黑龍江綏化·九年級校考階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．三點確定一個圓 B．經過圓心的直線是圓的對稱軸
C．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧 D．三角形的外心到三角形三個邊距離相等
2．（2023上·江蘇無錫·九年級無錫市東林中學校考期中）下列說法中，正確的是（ ）
A．長度相等的弧是等弧 B．三點確定一個圓
C．平分弦的直徑垂直于這條弦 D．弦的垂直平分線必經過圓心
3．（2023上·浙江溫州·九年級校聯考期中）已知的半徑是，點A在外，則的長可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·浙江臺州·九年級校考階段練習）數學活動課上，九（1）班同學在研究（）和等腰（）的外接圓時，有以下發現：
小明說“當時，這兩個三角形的外接圓是等圓”；
小剛說“當，時，這兩個三角形的外接圓是等圓”．
你認為說法正確的是（ ）
A．小明對小剛不對 B．小剛對小明不對
C．小明小剛都對 D．小明小剛都不對
5．（2023上·浙江溫州·九年級校聯考期中）如果三角形的外心在三角形的外部，那么這個三角形一定是（ ）
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形
6．（2024上·安徽六安·九年級校考階段練習）如圖，，，分別與相切于點，，，與，分別相交于，兩點，若，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
7．（2023上·山東德州·九年級校考階段練習）如圖，邊長為2的等邊的內切圓的半徑為（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．（2023上·河南商丘·九年級校考階段練習）如圖所示，是的切線，A、B為切點，，點C是上不同于A、B的任意一點，則的度數為（ ）
A． B． C．或 D．或
9．（2023上·浙江紹興·九年級校聯考期中）如圖中的數軸可以度量圖中圓的直徑，則此直徑是（）
A． B． C． D．
10．（2024上·天津南開·九年級統考期末）如圖，點P是外一定點，連接線段，與交于點A.按照如下尺規作圖的步驟進行操作：
①分別以P，O為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于點M，N，作直線，交于點B；
②以點為圓心，以為半徑作，與交于點Q，R兩點；
③連接，，，，，線段與相交于點C.
則下列說法中不一定正確的是（ ）
A．，均為的切線 B．
C． D．
11．（2023上·廣東韶關·九年級統考階段練習）如圖，，分別切于，兩點，如果，，那么的長為（ ）

A． B． C． D．
12．（2023·河北石家莊·統考模擬預測）如圖，將折疊，使邊落在邊上，展開后得到折痕．將再次折疊，使邊落在邊上，展開后得到折痕，，交于點．則以下結論一定成立的是（ ）
A． B．
C．點到三邊的距離相等 D．點到三個頂點的距離相等
13．（2022上·湖北武漢·九年級校考階段練習）如圖，不等邊內接于，I是其內心，，，，內切圓半徑為（ ）
A．4 B． C． D．
14．（2023·陜西西安·高新一中校考一模）在中，若兩直角邊長為、，則它的外接圓的面積為 ．
15．（2023上·福建泉州·九年級福建省泉州市培元中學校考階段練習）在平面直角坐標系中，點，以原點為圓心，為半徑作．若在內，設線段的長度為，則的取值范圍是 ．
16．（江蘇省南京市2023-2024學年九年級上學期期末數學試題）如圖，四邊形內接于，是的直徑，過點C作的切線交的延長線于點P，若，則 ．
17．（2023上·山東煙臺·九年級統考期末）如圖，平面直角坐標系中，點的坐標為，與軸相切于點，點在軸上，與相切于點．若，則點的坐標為 ．
18．（2023上·江蘇蘇州·九年級蘇州市振華中學校校考階段練習）如圖，點是的內心，的延長線和的外接圓相交于點，與相交于點，則下列結論：①；②若，則；③若點為的中點，則；④．其中一定正確的選項是 ．
19．（2023上·陜西西安·九年級西安市曲江第一中學校考階段練習）如圖，在 ，，尺規作圖：求作，使得經過三點． （保留作圖痕跡，不寫作法）
20．（2023上·山東濟南·九年級期末）如圖，在中，，點是邊上一點，以為直徑的與邊相切于點，與邊交于點，過點作于點，連接
(1)求證：；
(2)若， ，求的長．
21．（2023上·安徽蕪湖·九年級校聯考階段練習）如圖，為半圓O的直徑，C是半圓O上一點，D是的中點，過點D作直線，直線l，垂足為F，的延長線交直線l于點E．
(1)求證：直線l是的切線．
(2)若的半徑為1，求的值．
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