資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第五章 圓
第三節(jié) 與圓有關(guān)的計算
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 正多邊形和圓 ☆☆ 吉林中考中，有關(guān)與圓有關(guān)的計算部分，每年考查1~3道題,分值為3~9分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考查。對于這部分的復(fù)習(xí)，需要熟練掌握正多邊形和圓、弧長、扇形面積的計算和圓柱、圓錐的相關(guān)計算等考點。
考點2 弧長、扇形面積的計算 ☆
考點3 圓柱、圓錐的相關(guān)計算 ☆
■考點一　正多邊形和圓
1.正多邊形中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個 ．
2.正多邊形半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做 ．
3.正多邊形中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做 ．
4.正多邊形邊心距：正多邊形中心到正多邊形的一邊的距離叫做 ．
5.正多邊形內(nèi)角、中心角、半徑、邊長、邊心距、周長、面積的關(guān)系
■考點二　弧長、扇形面積的計算
1.弧長公式:
2.扇形面積公式: S=
S扇形面積= πRl
(n:圓心角R:扇形多對應(yīng)的圓的半徑l:扇形弧長S:扇形面積)
■考點三　圓柱、圓錐的相關(guān)計算
圓柱:
圓柱側(cè)面展開圖
S表= = 。
(2)圓柱的體積: 。
2.圓錐
(1)圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的 ，扇形的弧長等于圓錐的 ．
(2)若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為 ，
圓錐的側(cè)面積為 ．圓錐的表面積： ．
■易錯提示
1.有關(guān)正多邊形的計算問題，通常都要構(gòu)造以正多邊形的半徑、正多邊形的邊心距、正多邊形的半個邊圍成的直角三角形借助勾股定理和三角函數(shù)來解決。
2.對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，
即；
　　3.在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.
4.扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；
5.扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：.
6.在求不規(guī)則圖形的面積時，注意利用割補法與等積變化方法歸為規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的公式求解．
■考點一　正多邊形和圓
◇典例1： （2023上·山東濱州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，六邊形是的內(nèi)接正六邊形，設(shè)正六邊形的面積為的面積為，則（ ）
A．2 B．1 C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·江蘇常州·九年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長為1的正六邊形繞點順時針旋轉(zhuǎn)個，得到正六邊形，則正六邊形的頂點的坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·浙江嘉興·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在圓內(nèi)接正六邊形中，分別交于點，則的度數(shù)為（）
A． B． C． D．
■考點二　弧長、扇形面積的計算
◇典例2：（2020上·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在扇形中，，，若弦，則的長為（　?。?br/>A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·陜西延安·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）傳統(tǒng)服飾日益受到關(guān)注，如圖1為明清時期女子主要裙式之一的馬面裙，該款裙子可以近似地看作扇環(huán)，如圖2所示，其中，長度為米，長度為米，則裙長AB為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．（2023上·浙江溫州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長為4，以為直徑的半圓交對角線于點E，則陰影部分的面積是（ ）
A． B． C． D．
■考點三　圓柱、圓錐的相關(guān)計算
◇典例3：（2023上·河南信陽·九年級校考階段練習(xí)）一個圓錐的底面半徑是，側(cè)面積是，則圓錐的母線長是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·河北廊坊·九年級廊坊市第四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，矩形紙片中，，把它分割成正方形紙片和矩形紙片后，分別裁出扇形和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的側(cè)面和底面，則的長為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·河北廊坊·九年級廊坊市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）已知底面半徑是，母線長為，為母線中點，現(xiàn)在有一只螞蟻從底邊一點出發(fā)．在側(cè)面爬行到點，則螞蟻在圓錐側(cè)面爬行最短距離（ ）
A． B． C． D．6
1．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，正五邊形內(nèi)接于，過點作的切線交對角線的延長線于點，則下列結(jié)論不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·吉林松原·統(tǒng)考一模）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，P為弧DE上的一點（點P不與點D重合），則∠CPD等于（ ）
A．36° B．40° C．60° D．72°
3．（2022·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，邊長為2的正六邊形放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊在x軸正半軸上，頂點F在y軸正半軸上，將正六邊形繞原點O旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后頂點D的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·吉林·統(tǒng)考一模）圖1是等邊三角形鐵絲框，按圖2方式變形成以A為圓心，長為半徑的扇形（圖形周長保持不變），則所得扇形的圓心角的度數(shù)是（ ）
A．． B．． C．． D．．
5．（2022·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，圓心重合的兩圓半徑分別為4、2，，則陰影部分圖形的面積為（ ）
A．4π B． C．8π D．16π
6．（2022·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在邊長為2的等邊中，按下列步驟作圖：①分別以點A和點C為圓心、大于一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點D；②作射線，與邊相交于點；③以點B為圓心，長為半徑作圓弧，交邊于點F.則圖中陰影部分（扇形）的面積為（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·吉林長春·校聯(lián)考一模）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形．，，則弧的長為（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）第二十四屆北京冬奧會入場式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國結(jié)和雪花兩種元素．如圖，這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角后能夠與它本身重合，則角可以為 度．（寫出一個即可）
9．（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）跳棋是一項傳統(tǒng)的智力游戲．如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形和等邊三角形組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形．若厘米，則這個正六邊形的周長為 厘米．
10.（2023·吉林長春二模）如圖，點O是ΔABC邊AB上的一點，以0為圓心, 0B長為半徑作圓, 分別交AB.BC于F E , ⊙0與邊AC相切于點D ,點D為弧EF的中點.
(1)求證: AC⊥BC .
(2)若OB=2，∠DBC= 22.50，則陰影部分的圖形面積為____ ( 結(jié)果保留π) .
1．（2022上·吉林·九年級吉林省實驗校考期中）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點在上，則的大小為（　?。?br/>A．60° B．45° C．30° D．15°
2．（2024上·天津南開·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正五邊形內(nèi)接于，P為上一點，連接，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·河南信陽·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正六邊形的中心與原點重合，軸，將六邊形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2024次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·河北邢臺·九年級?？茧A段練習(xí)）已知一個三角形的內(nèi)心與外心重合，若它的內(nèi)切圓的半徑為2，則它的外接圓的面積為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，正六邊形內(nèi)接于，半徑為，則這個正六邊形的邊心距的長為（ ）
A． B． C． D．
6．（吉林省長春市2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在圓形紙板上裁剪兩個扇面具體操作如下：作的任意一條直徑，以點為圓心、長為半徑作圓，與相交于點、；以點為圓心、長為半徑作圓，與相交于點、；連結(jié)、、、，得到兩個扇形，并裁剪下來．若的半徑為，則剩余紙板（圖中陰影部分圖形）的面積為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·江蘇無錫·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，點是邊上的一點，與、分別相切于點、，點為上一點，連接，若四邊形是菱形，則圖中陰影部分面積是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級?？计谥校┱叫蔚倪呴L為，以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半圓，則圖中陰影部分的面積是（ ）

A． B． C． D．
9．（2023上·浙江寧波·九年級寧波市第七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，直徑的半圓繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，此時A到了點的位置，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·河北衡水·九年級?？计谀┤鐖D，在扇形中，，點為弦上一動點（不與兩點重合），連接并延長交于點，當(dāng)為最大值時，的長為（ ）
A． B． C． D．
11．（2023上·浙江湖州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，點為線段的中點，點繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，那么點的對應(yīng)點坐標(biāo)及旋轉(zhuǎn)經(jīng)過的路徑長為（ ）
A． B． C． D．
12．（2023上·河北石家莊·九年級石家莊市第二十五中學(xué)校考期中）如圖，半圓O的直徑為10，點C、D在圓弧上，連接，兩弦相交于點E．若，則陰影部分面積為（ ）
A． B． C． D．
13．（2023上·山東日照·九年級日照市新營中學(xué)校考期中）如圖，四邊形ABCD是邊長為的正方形，曲線是由多段的圓心角所對的弧組成的．其中，的圓心為，半徑為：的圓心為，半徑為的圓心為，半徑為的圓心為，半徑為…，，，，的圓心依次為A、B、C、循環(huán)，則的長是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱德強學(xué)校?？茧A段練習(xí)）正六邊形的邊心距為，則正六邊形的半徑為 ．
15．（2023上·江蘇連云港·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正五邊形內(nèi)接于圓，連接，交于點F，則的度數(shù)為 ．
16．（2023上·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，．將邊繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得線段，再將邊繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得線段，連接，則圖中陰影部分的面積是 ．
17．（2015上·江蘇揚州·九年級階段練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為，母線長為，則這個圓錐的側(cè)面積為 ．
18．（北京市昌平區(qū)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在2022年北京冬奧會開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同，天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國人的浪漫．如圖，作出“雪花”圖案（正六邊形）的外接圓，已知正六邊形的邊長是4，則長為 ．
19．（2024上·寧夏吳忠·九年級?？计谀┤鐖D，平面直角坐標(biāo)系中，正六邊形的頂點、在軸上，頂點在軸上，若，求中心的坐標(biāo)．
20．（2024上·吉林延邊·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將含角的直角三角板放入半圓中，，，，三點恰好在半圓上，延長到點，作直線，使得·
(1)求證：是半圓的切線.
(2)若，求陰影部分的面積.
21．（2023上·浙江杭州·九年級校考階段練習(xí)）如圖1，四邊形內(nèi)接于為直徑，過點C作于點E，連接AC．
(1)求證：；
(2)如圖2，連結(jié)，若，，求與弧圍成陰影部分的面積．
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第五章 圓
第三節(jié) 與圓有關(guān)的計算
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 正多邊形和圓 ☆☆ 吉林中考中，有關(guān)與圓有關(guān)的計算部分，每年考查1~3道題,分值為3~9分，通常以選擇題、填空題和解答題的形式考查。對于這部分的復(fù)習(xí)，需要熟練掌握正多邊形和圓、弧長、扇形面積的計算和圓柱、圓錐的相關(guān)計算等考點。
考點2 弧長、扇形面積的計算 ☆
考點3 圓柱、圓錐的相關(guān)計算 ☆
■考點一　正多邊形和圓
1.正多邊形中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．
2.正多邊形半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形半徑．
3.正多邊形中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形中心角．
4.正多邊形邊心距：正多邊形中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．
5.正多邊形內(nèi)角、中心角、半徑、邊長、邊心距、周長、面積的關(guān)系
■考點二　弧長、扇形面積的計算
1.弧長公式:
2.扇形面積公式: S=
S扇形面積= πRl
(n:圓心角R:扇形多對應(yīng)的圓的半徑l:扇形弧長S:扇形面積)
■考點三　圓柱、圓錐的相關(guān)計算
圓柱:
圓柱側(cè)面展開圖
S表=S側(cè) +2S底 = 2πrh + 2πr2
(2)圓柱的體積: V =πr2h
2.圓錐
(1)圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形，扇形的半徑等于圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長．
(2)若圓錐的底面半徑為r，母線長為l，則這個扇形的半徑為l，扇形的弧長為2πr，
圓錐的側(cè)面積為S圓錐側(cè)=．圓錐的表面積：S圓錐表=S圓錐側(cè)+S圓錐底=πrl+πr2=πr(l+r)．
■易錯提示
1.有關(guān)正多邊形的計算問題，通常都要構(gòu)造以正多邊形的半徑、正多邊形的邊心距、正多邊形的半個邊圍成的直角三角形借助勾股定理和三角函數(shù)來解決。
2.對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，
即；
　　3.在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.
4.扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；
5.扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：.
6.在求不規(guī)則圖形的面積時，注意利用割補法與等積變化方法歸為規(guī)則圖形，再利用規(guī)則圖形的公式求解．
■考點一　正多邊形和圓
◇典例1： （2023上·山東濱州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，六邊形是的內(nèi)接正六邊形，設(shè)正六邊形的面積為的面積為，則（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】本題考查正多邊形和圓，三角形的面積，全等三角形的判定，關(guān)鍵是由正六邊形的性質(zhì)證明．連接、、、，由正六邊形的性質(zhì)得到、、、、、把圓六等分，推出，得到、是等邊三角形，由證明，得到的面積的面積，同理：的面積的面積，的面積的面積，因此的面積的面積的面積的面積，即可得到答案．
【詳解】解：連接、、、，
六邊形是的內(nèi)接正六邊形，
、、、、、把圓六等分，
，
，
、是等邊三角形，
，，
，
的面積的面積，
同理：的面積的面積，的面積的面積，
的面積的面積的面積的面積，
，
．
故選：A．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·江蘇常州·九年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長為1的正六邊形繞點順時針旋轉(zhuǎn)個，得到正六邊形，則正六邊形的頂點的坐標(biāo)是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如圖，以為圓心，為半徑作，將邊長為1的正六邊形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)i個，即把繞點O順時針旋轉(zhuǎn)i個，求出與重合，而關(guān)于原點成中心對稱，利用正六邊形的性質(zhì)與勾股定理求出的坐標(biāo)，利用關(guān)于原點成中心對稱，從而可得答案．
【詳解】解：如圖，以為圓心，為半徑作，
將邊長為1的正六邊形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)i個45°，
即把繞點O順時針旋轉(zhuǎn)i個45°，
旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點依次記為，
周角，
繞點O順時針旋轉(zhuǎn)次回到原位置，
與重合，而關(guān)于原點成中心對稱，
連接，
正六邊形，
，
，
，
∴，
∴，
，
，
∴，
故選：A．
【點睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，求出與重合，而關(guān)于原點成中心對稱是解題的關(guān)鍵．
2．（2023上·浙江嘉興·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在圓內(nèi)接正六邊形中，分別交于點，則的度數(shù)為（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查正多邊形和圓，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】解：在圓內(nèi)接正六邊形中，
故選：B．
■考點二　弧長、扇形面積的計算
◇典例2：（2020上·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在扇形中，，，若弦，則的長為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)與等邊對等角的等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
先根據(jù)平行線的性質(zhì)求得，，再由等腰三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：連接，如圖，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的長．
故選：C．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·陜西延安·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）傳統(tǒng)服飾日益受到關(guān)注，如圖1為明清時期女子主要裙式之一的馬面裙，該款裙子可以近似地看作扇環(huán)，如圖2所示，其中，長度為米，長度為米，則裙長AB為（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】本題考查通過弧長計算半徑，熟練掌握弧長公式是解題關(guān)鍵．
通過的長度算出，通過的長度算出，兩者相減即可．
【詳解】∵米，，
∴，
∴米，
∵米，，
∴，
∴米，
∴米．
故選：B．
2．（2023上·浙江溫州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，正方形的邊長為4，以為直徑的半圓交對角線于點E，則陰影部分的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查求不規(guī)則圖形的面積，利用三角形的面積減去扇形的面積即可得出結(jié)果．
【詳解】解：∵正方形，邊長為4，
∴，
∵以為直徑的半圓交對角線于點E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴陰影部分的面積；
故選：D．
■考點三　圓柱、圓錐的相關(guān)計算
◇典例3：（2023上·河南信陽·九年級校考階段練習(xí)）一個圓錐的底面半徑是，側(cè)面積是，則圓錐的母線長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了圓錐側(cè)面積公式的靈活運用，圓錐的側(cè)面積底面半徑母線長，根據(jù)此公式計算即可，熟練掌握公式是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長為，
由題意得：，
解得：，
圓錐的母線長是，
故選：C．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023上·河北廊坊·九年級廊坊市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，矩形紙片中，，把它分割成正方形紙片和矩形紙片后，分別裁出扇形和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的側(cè)面和底面，則的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查圓錐展開圖扇形弧長等于底面圓的周長，根據(jù)圓錐展開圖扇形弧長等于底面圓的周長列式求解即可得到答案；
【詳解】解：設(shè)，由題意可得，
，
解得：，
故選：B．
2．（2023上·河北廊坊·九年級廊坊市第四中學(xué)校考階段練習(xí)）已知底面半徑是，母線長為，為母線中點，現(xiàn)在有一只螞蟻從底邊一點出發(fā)．在側(cè)面爬行到點，則螞蟻在圓錐側(cè)面爬行最短距離（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【分析】本題考查圓錐的扇形弧長等于底面圓周長及兩點間線段最短，根據(jù)扇形弧長等于底面圓周長求出圓心角，從而得到展開圖中的的度數(shù)，結(jié)合兩點間線段距離最短及勾股定理求解即可得到答案；
【詳解】解：∵底面半徑是，母線長為，
∴，
∴側(cè)面扇形圓心角為：，
∴，
∵為母線中點，
∴，
由兩點間線段距離最短得，
，
故選：B．
1．（2022·吉林長春·模擬預(yù)測）如圖，正五邊形內(nèi)接于，過點作的切線交對角線的延長線于點，則下列結(jié)論不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】連接，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)求出各個角的度數(shù)，結(jié)合平行線的判定方法，再逐個判斷即可．
【詳解】五邊形是正五邊形，
，，
，
，
，
，故A不符合題意；
，
，故B不符合題意；
連接，過點A作于點H，則，
，，
，
，故C符合題意；
連接，
五邊形是正五邊形，
，
，
，
相切于，
，
，
，
，
，故D不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查切線的性質(zhì)、圓周角定理、正多邊形與圓、等腰三角形的性質(zhì)和判定、平行線的判定等知識點，能綜合運用定理進行推理是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·吉林松原·統(tǒng)考一模）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，P為弧DE上的一點（點P不與點D重合），則∠CPD等于（ ）
A．36° B．40° C．60° D．72°
【答案】A
【分析】連接OC，OD．求出∠COD的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接OC，OD．
∵ABCDE是正五邊形，
∴∠COD==72°，
∴∠CPD=∠COD=36°，
故選：A．
【點睛】本題考查正多邊形和圓、圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．
3．（2022·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，邊長為2的正六邊形放置于平面直角坐標(biāo)系中，邊在x軸正半軸上，頂點F在y軸正半軸上，將正六邊形繞原點O旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后頂點D的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如圖，連接AD，BD．首先確定點D的坐標(biāo)，再根據(jù)中心對稱即可求解．
【詳解】如圖，連接AD，BD．
在正六邊形ABCDEF中，AB=2，則AD=4，∠ABD=90°，
∴BD=，
在Rt△AOF中，AF=1，∠OAF=60°，
∴∠OFA=30°，
∴OA=AF=，
∴OB=OA+AB=，
∴D，
將正六邊形繞原點O旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后頂點D的坐標(biāo)為，
故選A
【點睛】本題考查了正多邊形與圓，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，中心對稱，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·吉林·統(tǒng)考一模）圖1是等邊三角形鐵絲框，按圖2方式變形成以A為圓心，長為半徑的扇形（圖形周長保持不變），則所得扇形的圓心角的度數(shù)是（ ）
A．． B．． C．． D．．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意的長就是邊的長，由弧長公式即可求解．
【詳解】解：設(shè)，
，
，
解得：，
圓心角的度數(shù)為：
故選：D．
【點睛】本題考查了弧長公式的應(yīng)用，掌握公式和理解圖形變化前后對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，圓心重合的兩圓半徑分別為4、2，，則陰影部分圖形的面積為（ ）
A．4π B． C．8π D．16π
【答案】C
【分析】陰影部分的面積是一個環(huán)形，可用大圓中角所對的扇形的面積減去小圓中角所對的面積來求得．根據(jù)扇形的面積求解即可．
【詳解】解：，
故選：C．
【點睛】本題主要考查了扇形面積公式，關(guān)鍵是找出圖中的關(guān)系和熟記公式．
6．（2022·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在邊長為2的等邊中，按下列步驟作圖：①分別以點A和點C為圓心、大于一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點D；②作射線，與邊相交于點；③以點B為圓心，長為半徑作圓弧，交邊于點F.則圖中陰影部分（扇形）的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)作圖方法判斷BD是線段AC的垂直平分線，在根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知∠CBE=30°，根據(jù)等邊三角形的邊長求出BE的長度，則陰影部分扇形的面積，利用扇形面積公式可求．
【詳解】根據(jù)作圖方法可知BD是線段AC的垂直平分線，
∴BE⊥AC，AE=EC，
∴根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)有∠EBC=∠ABC=30°，
∵等邊三角形的邊長為2，
∴BC=2，EC=1，
∴利用勾股定理有BE=，
∴扇形BEF所在圓的半徑為，
∴，
故選：B．
【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、垂直平分線的尺規(guī)作圖以及求解扇形的面積等知識，求出∠EBC=30°和BE=是解答本題的關(guān)鍵．
7．（2022·吉林長春·校聯(lián)考一模）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形．，，則弧的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠A的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求出∠BOD的度數(shù)，利用弧長公式計算即可．
【詳解】解：∵四邊形是的內(nèi)接四邊形．，
∴∠A=180°-∠BCD=60°，
∴∠BOD=120°，
∴弧的長為．
故選：D
【點睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理以及弧長的計算，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補、弧長公式是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）第二十四屆北京冬奧會入場式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國結(jié)和雪花兩種元素．如圖，這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角后能夠與它本身重合，則角可以為 度．（寫出一個即可）
【答案】60或120或180或240或300（寫出一個即可）
【分析】如圖（見解析），求出圖中正六邊形的中心角，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義即可得．
【詳解】解：這個圖案對應(yīng)著如圖所示的一個正六邊形，它的中心角，
，
角可以為或或或或，
故答案為：60或120或180或240或300（寫出一個即可）．
【點睛】本題考查了正多邊形的中心角、圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
9．（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）跳棋是一項傳統(tǒng)的智力游戲．如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形和等邊三角形組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形．若厘米，則這個正六邊形的周長為 厘米．
【答案】54
【分析】設(shè)AB交EF、FD與點N、M，AC交EF、ED于點G、H，BC交FD、ED于點O、P，再證明△FMN、△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等邊三角形即可求解．
【詳解】設(shè)AB交EF、FD與點N、M，AC交EF、ED于點G、H，BC交FD、ED于點O、P，如圖，
∵六邊形MNGHPO是正六邊形，
∴∠GNM=∠NMO=120°，
∴∠FNM=∠FMN=60°，
∴△FMN是等邊三角形，
同理可證明△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等邊三角形，
∴MO=BM，NG=AN，OP=PD，GH=HE，
∴NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB，GH+PH+OP=HE+PH+PD=DE，
∵等邊△ABC≌等邊△DEF，
∴AB=DE，
∵AB=27cm，
∴DE=27cm，
∴正六邊形MNGHPO的周長為：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE=54cm，
故答案為：54．
【點睛】本題考查了正六邊的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握正六邊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
10.（2023·吉林長春二模）如圖，點O是ΔABC邊AB上的一點，以0為圓心, 0B長為半徑作圓, 分別交AB.BC于F E , ⊙0與邊AC相切于點D ,點D為弧EF的中點.
(1)求證: AC⊥BC .
(2)若OB=2，∠DBC= 22.50，則陰影部分的圖形面積為____ ( 結(jié)果保留π) .
[知識點]圓周角定理,切線的性質(zhì)定理，求扇形面積，其他不規(guī)則圖形的面積
[答案] (1)證明見解析
(2)2-
[分析] (1) 連接OD,如圖所示，根據(jù)切線性質(zhì)、圓周角定理及等腰三角形等邊對等角得到∠CBD+∠BDC=90°即可得到答案;
(2)由(1)得∠ABD= ∠DBC=22.5°， ∠A0D=45°=∠A.根據(jù)OB=2,得到AD=0D=2.從而由
S陰影=SΔAOD- S扇形OFD=2-；即可得到答案
[詳解] (1) 證明:連接OD,如圖所示:
⊙0與邊AC相切于點D,
OD⊥AC.則∠ODB+ ∠BDC= 900。
點D為弧EF的中點,
∠OBD=∠CBD,
OB= OD,
∠ODB=∠OBD,
∠ODC=∠CBD.
∠CBD+∠BDC=90°，即AC⊥BC;
(2)解:由(1)得∠ABD=∠DBC=22.50，
∠AOD=45°，
∠A=45° ,
OB= 2,
AD=OD=2,即SΔAOD=2.
S明影= 2-,
故答案為: 2-,
[點睛]本題考查圓綜合，涉及切線性質(zhì)、圓周角定理、扇形面積公式以及求陰影部分面積，熟練掌握圓的性質(zhì)及不規(guī)則圖形面積是解決問題的關(guān)鍵.
1．（2022上·吉林·九年級吉林省實驗?？计谥校┤鐖D，正六邊形內(nèi)接于，點在上，則的大小為（　?。?br/>A．60° B．45° C．30° D．15°
【答案】C
【分析】由正六邊形的性質(zhì)得出，由圓周角定理求出．
【詳解】解：連接，，
∵多邊形是正六邊形，
∴，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．
2．（2024上·天津南開·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正五邊形內(nèi)接于，P為上一點，連接，，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正多邊形的中心角的計算公式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：連接、，
∵是圓內(nèi)接五邊形，
∴，
∴，
故選B．
3．（2023上·河南信陽·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正六邊形的中心與原點重合，軸，將六邊形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2024次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了正多邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)，連接、，設(shè)交軸于點，由正多邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理求出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為，第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為，第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為，第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為，從而得到次為一個循環(huán)，由此即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，連接、，設(shè)交軸于點，
，
邊長為2的正六邊形的中心與原點重合，軸，
，軸，，，
是等邊三角形，，
，，
，
，
將六邊形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，
第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為，
第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為，
第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為，
第次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為，
…，
為次一個循環(huán)，
，
第2024次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點的坐標(biāo)為，
故選：D．
4．（2023上·河北邢臺·九年級校考階段練習(xí)）已知一個三角形的內(nèi)心與外心重合，若它的內(nèi)切圓的半徑為2，則它的外接圓的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意判斷三角形是等邊三角形，作出圖形，根據(jù)內(nèi)切圓的半徑為2求出外接圓的半徑，利用圓面積公式即可求出答案．本題考查了正多邊形與圓、等邊三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵一個三角形的內(nèi)心與外心重合，
∴該三角形是等邊三角形，
根據(jù)題意，如圖，是等邊三角形，其內(nèi)心外心均為點O，連接OB，過點O作于點D，則，
∵，平分，
∴，
在中，
，
∴的外接圓半徑為4，
∴它的外接圓的面積為，
故選：D
5．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級校考階段練習(xí)）如圖，正六邊形內(nèi)接于，半徑為，則這個正六邊形的邊心距的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了正多邊形和圓，正六邊形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形，運用垂徑定理求出是解答本題的關(guān)鍵．
連接，，證明是等邊三角形，得到，由垂徑定理求出，再利用勾股定理求出．
【詳解】解：如圖，連接，，
，，
是等邊三角形，
，
，
，
故選：．
6．（吉林省長春市2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）如圖，在圓形紙板上裁剪兩個扇面具體操作如下：作的任意一條直徑，以點為圓心、長為半徑作圓，與相交于點、；以點為圓心、長為半徑作圓，與相交于點、；連結(jié)、、、，得到兩個扇形，并裁剪下來．若的半徑為，則剩余紙板（圖中陰影部分圖形）的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】連接，，將圖中陰影部分面積拼補為扇形與扇形面積之和，進一步利用扇形的面積公式從而求出陰影部分的面積，即可求解．
本題考查扇形的面積；通過拼補將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：連接，，
∵弓形，的面積與弓形，的面積相等，弓形，的面積與弓形，的面積相等，
圖中陰影部分的面積，
，
、、、都是正三角形，
∴，
∴，
陰影部分的面積
故選：B．
7．（2023上·江蘇無錫·九年級校考階段練習(xí)）如圖，中，，點是邊上的一點，與、分別相切于點、，點為上一點，連接，若四邊形是菱形，則圖中陰影部分面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查的是切線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)、扇形面積計算、圓周角定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑、弧長公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、扇形面積公式計算，得到答案．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，
∴，
由圓周角定理得：，
∵與、分別相切于點、，
∴，
∴，
，
，
，，
，
，，
，
，
故選：A．
8．（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級?？计谥校┱叫蔚倪呴L為，以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半圓，則圖中陰影部分的面積是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了扇形的面積計算公式，熟記“”是解題關(guān)鍵．觀察圖像可得4個陰影部分的面積等于四個半圓的面積減去正方形的面積即可求解．
【詳解】解：由圖像可知：
4個陰影部分的面積等于四個半圓的面積減去正方形的面積，
，
，
故選：A．
9．（2023上·浙江寧波·九年級寧波市第七中學(xué)?？计谥校┤鐖D，直徑的半圓繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，此時A到了點的位置，則圖中陰影部分的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了扇形面積公式的應(yīng)用，扇形面積公式為，陰影面積為旋轉(zhuǎn)后為直徑的半圓面積加旋轉(zhuǎn)后扇形面積減去旋轉(zhuǎn)前為直徑的半圓面積，則陰影面積為旋轉(zhuǎn)后的扇形面積，由扇形面積公式計算即可．
【詳解】解：∵直徑的半圓，繞B點順時針旋轉(zhuǎn)，
，
又，
，
，
，
，
故選：D．
10．（2023上·河北衡水·九年級校考期末）如圖，在扇形中，，點為弦上一動點（不與兩點重合），連接并延長交于點，當(dāng)為最大值時，的長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的是垂線段最短的應(yīng)用，垂徑定理的應(yīng)用，求解弧長，先過作交于，交弧于，可得此時最短，則最長，即為的位置，為的位置，再結(jié)合垂徑定理與弧長公式可得答案．
【詳解】解：如圖，過作交于，交弧于，
此時最短，則最長，即為的位置，為的位置，
∴，，
∵，
∴的長度為：，
即的長度為：；
故選B
11．（2023上·浙江湖州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，點為線段的中點，點繞原點順時針旋轉(zhuǎn)，那么點的對應(yīng)點坐標(biāo)及旋轉(zhuǎn)經(jīng)過的路徑長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了利用弧長公式求某點運動路徑長，平面直角坐標(biāo)系中線段中點坐標(biāo)，用勾股定理解三角形，掌握利用弧長公式求某點運動路徑長是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意得出C點坐標(biāo)為，用勾股定理計算得出距離為5，點C旋轉(zhuǎn)經(jīng)過的路徑長為以點O為圓心OC為半徑圓心角為的弧長，可得．
【詳解】解：∵A點坐標(biāo)為，B點坐標(biāo)為，點C為線段的中點，
∴點C坐標(biāo)為，即，
∴，
點C繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)，如下圖所示：
作軸于點E，軸于點F，
由旋轉(zhuǎn)得：，
，
點C旋轉(zhuǎn)經(jīng)過的路徑長為弧形，
∴點C旋轉(zhuǎn)經(jīng)過的路徑長．
故選：C．
12．（2023上·河北石家莊·九年級石家莊市第二十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，半圓O的直徑為10，點C、D在圓弧上，連接，兩弦相交于點E．若，則陰影部分面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角和弧之間的關(guān)系，扇形的面積，連接、，根據(jù)，得出，得出，根據(jù)即可求得．
【詳解】連接、，
是直徑，
，
，
，
的度數(shù)為，
，
．
故選：B．
13．（2023上·山東日照·九年級日照市新營中學(xué)校考期中）如圖，四邊形ABCD是邊長為的正方形，曲線是由多段的圓心角所對的弧組成的．其中，的圓心為，半徑為：的圓心為，半徑為的圓心為，半徑為的圓心為，半徑為…，，，，的圓心依次為A、B、C、循環(huán)，則的長是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此題主要考查了弧長的計算，弧長的計算公式：，曲線是由一段段90度的弧組成的，半徑每次比前一段弧半徑，得到，，得出半徑，再計算弧長即可．
【詳解】解：由圖可知，曲線是由一段段90度的弧組成的，半徑每次比前一段弧半徑，
，，，，
，，，，
，
，，
故的半徑為，
的弧長．
故選：A．
14．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱德強學(xué)校?？茧A段練習(xí)）正六邊形的邊心距為，則正六邊形的半徑為 ．
【答案】1
【分析】本題考查正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理．正確的畫出圖形并連接輔助線是解題關(guān)鍵．
如圖，連接，過點O作于點H．由正六邊形的性質(zhì)可證明是等邊三角形，即得出．再由，結(jié)合含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求出的長，即為這個正六邊形的半徑．
【詳解】解：如圖，連接，過點O作于點H．
∵此六邊形是正六邊形，
∴．
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
由題意可知，
設(shè)，則，
∵在中，，
∴，
解得：或（舍），
∴，即這個正六邊形的半徑為1．
故答案為：1．
15．（2023上·江蘇連云港·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正五邊形內(nèi)接于圓，連接，交于點F，則的度數(shù)為 ．
【答案】/108度
【分析】本題考查了正多邊形與圓的性質(zhì)，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可知，所以四邊形為平行四邊形，然后根據(jù)正五邊形內(nèi)角和定理，求出，即可求出，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得出四邊形為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵五邊形為正五邊形，
∴
∴四邊形為平行四邊形，
∴
故答案為：．
16．（2023上·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，．將邊繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得線段，再將邊繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得線段，連接，則圖中陰影部分的面積是 ．
【答案】/
【分析】如圖，作于，由勾股定理得，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，證明，則，根據(jù)，計算求解即可．
【詳解】解：如圖，作于，
由勾股定理得，，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴
，
故答案為：．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，扇形的面積等知識．正確的表示陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．
17．（2015上·江蘇揚州·九年級階段練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為，母線長為，則這個圓錐的側(cè)面積為 ．
【答案】
【分析】本題考查了圓錐的計算，根據(jù)圓錐的側(cè)面積底面周長母線長，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．
【詳解】解：圓錐的側(cè)面積．
故答案為：．
18．（北京市昌平區(qū)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）在2022年北京冬奧會開幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同，天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國人的浪漫．如圖，作出“雪花”圖案（正六邊形）的外接圓，已知正六邊形的邊長是4，則長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，弧長公式，先根據(jù)中心角定義求出的度數(shù)，然后證明是等邊三角形，可求出圓的半徑，最后根據(jù)弧長公式求解即可．
【詳解】解∶如圖，
∵正六邊形的邊長是4，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴，
∴．
故答案為：．
19．（2024上·寧夏吳忠·九年級校考期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，正六邊形的頂點、在軸上，頂點在軸上，若，求中心的坐標(biāo)．
【答案】
【分析】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，勾股定理，平面直角坐標(biāo)系等知識，連接、，過點P作軸于Q，證明是等邊三角形，求出，然后利用含的直角三角形的性質(zhì)求出、，利用勾股定理求出，即可求解．
【詳解】解：連接、，過點P作軸于Q，
∵六邊形是正六邊形，，
∴，，，，
∴，是等邊三角形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴中心的坐標(biāo)為．
20．（2024上·吉林延邊·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將含角的直角三角板放入半圓中，，，，三點恰好在半圓上，延長到點，作直線，使得·
(1)求證：是半圓的切線.
(2)若，求陰影部分的面積.
【答案】(1)見解析；
(2).
【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得進而證明得，即可得到結(jié)論；
（）根據(jù)圖示，可知是等邊三角形，根據(jù)扇形的面積公式計算出扇形的面積，的面積，由此即可求解陰影部分的面積．
【詳解】（1）證明：如圖，連接，
∵，
∴是的直徑，即在上，
∵
∴
∴
∵
∴
∴，
∴是半圓的切線；
（2）解：∵
∴
∵，
∴是等邊三角形，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【點睛】本題主要考查扇形面積，垂徑定理，圓周角定理，掌握垂徑定理，扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
21．（2023上·浙江杭州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，四邊形內(nèi)接于為直徑，過點C作于點E，連接AC．
(1)求證：；
(2)如圖2，連結(jié)，若，，求與弧圍成陰影部分的面積．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題主要考查了圓周角定理、勾股定理、扇形的面積公式等知識點，靈活運用相關(guān)知識是解本題的關(guān)鍵．
（1）先判斷出，然后用等角的余角相等即可證明結(jié)論；
（2）求出和，再利用面積公式計算即可．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴與弧圍成陰影部分的面積為：．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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