資源簡介

第六章 平面向量及其應用
6.4.1 平面幾何的向量方法
6.4.2 向量在物理中的應用舉例
學案
學習目標
1.會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題以及其他實際問題.
2.體會向量在解決數學和實際問題中的應用.
習題檢測
1.已知是空間不共面的四點，且滿足，點為的中點，則是( )
A.鈍角三角形 B.銳角三角形
C.直角三角形 D.以上三種情況都有可能
2.在中，，AC邊上的中線，，則AC的長為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.設D為所在平面內一點，，，，則( )
A.-12 B.-24 C.12 D.24
4.一物體在力的作用下，由點移動到點，已知，則對該物體所做的功為( )
A.6 B.-6 C.3 D.-3
5.長江流域內某段南北兩岸平行，如圖，一艘游船從南岸碼頭A出發航行到北岸.已知游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為，設和所成的角為，若游船要從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，則( )
A. B. C. D.
6.第24屆冬季奧林匹克運動會，即2022年北京冬季奧運會，是由中國舉辦的國際性奧林匹克賽事.冰球運動是一種以冰刀和冰球桿為工具在冰上進行的相互對抗的集體性競技運動，在冰球運動中，冰球運動員腳穿冰鞋，身著防護裝備，以球桿擊球，球入對方球門，多者為勝.小趙同學在練習冰球的過程中，以力作用于冰球，使冰球從點移動到點，則對冰球所做的功為( )
A.-210 B.210 C.-270 D.270
7.若P為所在平面內一點，且，則的形狀為( )
A.等邊三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
8.如圖，在平行四邊形ABCD中，，則__________.
9.在中，，且，則的形狀是___________.
10.已知點，若把向量繞原點O按逆時針方向旋轉得到向量，則點B的坐標為__________.
11.已知直線過點，它的一個方向向量為，則點到直線AB的距離為___________.
12.如圖，已知電線AO與天花板的夾角為60°，電線AO所受拉力.繩BO與墻壁垂直，所受拉力，則與的合力大小為_____________，方向為______________.
13.一條兩岸平行的河流，水速為，小船的速度為，小船欲到河的正對岸，為使所走路程最短，小船應朝_______的方向行駛.
14.已知力F與水平方向的夾角為30°（斜向上），大小為50N，一個質量為8kg的木塊受力F的作用在動摩擦因數的水平平面上運動了20m.力F和摩擦力f所做的功分別為多少？（取重力加速度大小為）
15.在四邊形中，，，，，求：
(1)的值；
(2)四邊形的面積.
答案解析
1.答案：C
解析：因為點為的中點，，
為直角三角形.
2.答案：B
解析：因為，所以結合題意可得，則，所以，即.
3.答案：A
解析：D為所在平面內一點，，
如圖：建立如圖所示的坐標系，由題意可知，
則.
4.答案：D
解析：，，，
又，
.
故選：D.
5.答案：B
解析：由題意知，
則，
因為，，
即，
所以.故A，C，D錯誤.
故選：B.
6.答案：D
解析：由題意得，故力對冰球所做的功為.
故選：D.
7.答案：C
解析：，
，
根據向量加法及減法的平行四邊形法則可知，以，為鄰邊所作的平行四邊形的對角線相等
即ABCD為矩形，
則的形狀為直角三角形
故選：C.
8.答案：3
解析：因為，所以.
9.答案：等邊三角形
解析：因為，
所以，又為的內角，所以.
又，所以為等邊三角形.
10.答案：
解析：設點B的坐標為，因為，，所以解得或(舍去).故點B的坐標為.
11.答案：2
解析：因為，，
點到直線AB方向上的投影為，
所以點到直線AB的距離為，
故答案為：2
12.答案：；豎直向上
解析：以，為鄰邊作平行四邊形BOAC，則，即，
，，，
，.與的合力大小為，方向為豎直向上.
13.答案：與水速成120°角
解析：如圖，為使小船所走路程最短，應與岸垂直.
又，所以.
所以小船應朝與水速成120°角的方向行駛.
14.解析：如圖所示，設木塊的位移為s，則.
將力F分解成豎直向上的分力和水平方向的分力，則.
所以.
因此.
故力F和摩擦力f所做的功分別為和.
15.答案：(1)5
(2)24
解析：（1）四邊形中，，四邊形是平行四邊形，
，該四邊形是菱形，
，，，即.
（2）因為四邊形是菱形，
所以，
所以四邊形的面積為24.

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