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第六章 平面向量及其應(yīng)用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
學(xué)案
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.借助向量的運算，探究三角形邊長與角度的關(guān)系.
2.掌握余弦定理、正弦定理.
3.能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題.
知識匯總
1.余弦定理：三角形中任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.即，，.
2.解三角形的定義：一般地，三角形的三個角，，和它們的對邊，，叫做三角形的三個元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.
3.正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對應(yīng)的角的正弦比相等，即.
習(xí)題檢測
1.在中，角所對邊分別為，則下列結(jié)論正確的是( )
A. B.
C. D.
2.在中，已知，則( )
A. B. C.1 D.2
3.在中，若內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列有關(guān)正弦定理及其變形錯誤的是( )
A. B.
C. D.
4.在中，角的對邊分別為，，的外接圓半徑為，則a的值為( )
A.1 B.2 C. D.
5.小明同學(xué)為了估算位于哈爾濱的索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為m，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為( )
A.20m B.30m C. D.
6.（多選）在中，給出下列4個命題，其中正確的命題是( )
A. 若，則 B. 若則
C.若，則 D. 若則
7.明孝陵位于江蘇省南京市玄武區(qū)紫金山南麓獨龍阜玩珠峰下，東毗中山陵，南臨梅花山，位于鐘山風(fēng)景名勝區(qū)內(nèi)，其占地面積達170余萬平方米，是中國規(guī)模最大的帝王陵寢之一.明孝陵景區(qū)共有8個門，1號門位于植物園路，4號門在1號門的南偏東的492m處，8號門在4號門的東偏北方向，且1號門在8號門的西偏南方向，則1號門到8號門的距離約為______m.(結(jié)果精確到整數(shù)部分，參考數(shù)據(jù)：取，，，)
8.在銳角中，內(nèi)角A，B，C的邊分別對應(yīng)a，b，c，若，則的取值范圍是______.
9.在中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，，，，則_________________.
10.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，則角__________．
11.如圖，在中，已知點D在邊上， ，，，，則的長為__________.
12.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則________.
13.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則__________.
14.如圖，保定市某中學(xué)在實施“五項管理”中，將學(xué)校的“五項管理”做成宣傳牌（CD），放置在教學(xué)樓的頂部(如圖所示)，該中學(xué)數(shù)學(xué)活動小組在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為，沿該中學(xué)圍墻邊坡AB向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為.已知山坡AB的坡度為，，.
（1）求點B距水平面AE的高度BH；
（2）求宣傳牌CD的高度.(結(jié)果保留根號).
答案解析
1.答案：C
解析：由余弦定理的結(jié)構(gòu)特征易知選C.
2.答案：B
解析：∵，∴，∴.故選B.
3.答案：B
解析：在中，由正弦定理得，則，，.
對于A，，故A正確；
對于B，當(dāng)，時，，此時，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，，故D正確.
故選B.
4.答案：B
解析：由及余弦定理，可得，故，因為，所以，又的外接圓半徑R為，所以.
5.答案：D
解析：，
由題意知：，，所以，
在中，，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，.
故選：D.
6.答案：ABD
解析：由大角對大邊知，若，則，由正弦定理得，所以，
故A正確；同理B正確；當(dāng)，時，，，故C錯誤；若，
則，，即，所以，故D正確.
7.答案：2112
解析：記1號門的位置為A，4號門的位置為B，8號門的位置為C，
則根據(jù)條件可得，.
在中，由正弦定理得，
得.
故答案：2112
8.答案：
解析：因為，由正弦定理得，，
，化簡得，
在中，則，則，
所以銳角中，，
，
故答案為：.
9.答案：2
解析：由余弦定理得到，
即，故
由正弦定理可得：.
故答案為：2.
10.答案：
解析：由題意得，
而，
由正弦定理化簡得，
故，，得
故答案為：.
11.答案：
解析：∵，且，∴，∴，在中，由余弦定理，得
12.答案：
解析：由題意，，
所以，，
所以，解得(負值舍去).
故答案為：.
13.答案：或
解析：因為，，由余弦定理，
所以，所以，
所以.
故答案為：
14.答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）由于，所以，
設(shè)，，則，
所以.
（2）過點B作，垂足為F，則，，
在中，，
又，，
故宣傳牌CD的高度為.

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