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專題01 集合及其運算1-【寒假自學課】（蘇教版2019）
專題01 集合及其運算
知識聚焦
考點聚焦
知識點1 集合的概念與元素特性
1、元素定義：一般地，把研究對象統稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母a，b，c，…表示．
2、集合定義：把一些元素組成的總體叫做集合（簡稱為集），集合通常用大寫的拉丁字母A，B，C，…表示．
3、元素的三大特性
（1）確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，任何一個元素在不在這個集合中是確定的．
（2）互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復出現的．
（3）無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．
知識點2 元素與集合的關系
1、屬于與不屬于概念：
（1）屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A．
（2）不屬于：如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a A．
2、常見數集的記法與關系圖
集合 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集
符號 N N*（或N＋） Z Q R
知識點3 集合的表示方法
1、列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“ ”括起來表示集合的方法叫列舉法.
2、描述法：設是一個集合，我們把集合中所有具有共同特征的元素所組成的集合表示為，這種表示集合的方法稱為描述法.
知識點4 集合間的基本關系
1、子集、真子集、相等、空集
表示關系 文字語言 符號語言 圖形語言
基本關系 子集 集合A的所有元素都是集合B的元素（則） 或
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個元素不屬于A 或
相等 集合A，B的元素完全相同
空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集
2、子集個數：如果集合A中含有n個元素，則有
（1）A的子集的個數有2n個．
（2）A的非空子集的個數有2n－1個．
（3）A的真子集的個數有2n－1個．
（4）A的非空真子集的個數有2n－2個．
知識點5 集合的基本運算
1、并集：由所有屬于集合或集合的元素組成的集合，稱為集合與的并集.
記作：，即.
2、交集：由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合與的交集.
記作：，即.
3、補集：對于集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，稱為集合A相對于全集U的補集，記作:，即.
考點剖析
考點1 判斷元素與集合的關系
【例1】（2023秋·全國·高一專題練習）
1．給出下列關系：①；②；③；④.其中正確的個數為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式1-1】（2023秋·吉林長春·高一東北師大附中校考階段練習）
2．已知集合，則必有（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2023秋·高一課時練習）
3．已知，那么（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2023秋·全國·高一專題練習）
4．已知集合且，則下列判斷不正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-4】（2023秋·高一課時練習）
5．下列結論中，不正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
考點2 根據元素與集合的關系求參數
【例2】（2023春·甘肅白銀·高二校考階段練習）
6．已知集合，若，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2023秋·廣東惠州·高三統考階段練習）
7．集合 ，若且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2023秋·吉林白城·高三校考階段練習）
8．已知集合中的最大元素為，則實數 .
【變式2-3】（2023秋·甘肅·高一校考階段練習）
9．已知集合，若，則實數a的可能取值為（ ）
A．－2 B．0 C．2 D．4
【變式2-4】（2023·江蘇·高一專題練習）
10．已知集合A中有個元素，，，且當時，，則可能為（　　）
A．
B．
C．
D．或或
考點3 根據集合中元素個數求參數
【例3】（2022·全國·高一專題練習）
11．若集合，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．,
【變式3-1】（2022秋·河北衡水·高一校考階段練習）
12．已知集合，則滿足中有8個元素的的值可能為（ ）
A．6 B． C．8 D．9
【變式3-2】（2023秋·甘肅武威·高一校考階段練習）
13．已知集合中只有一個元素，則實數a的可能取值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【變式3-3】（2023秋·河南商丘·高一校考階段練習）
14．若集合中有2個元素，求k的取值范圍．
【變式3-4】（2022秋·湖南長沙·高一校考階段練習）
15．已知全集，.
(1)若中有個元素，求實數的值；
(2)若中有四個元素，求實數的值.
考點4 集合相等及其應用
【例4】（2023秋·貴州遵義·高一校考階段練習）
16．給出以下幾組集合，其中是相等集合的有（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【變式4-1】（2022秋·全國·高一階段練習）
17．下列集合中，與相等的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2023秋·寧夏銀川·高一校考階段練習）
18．已知集合，，，則的值為（ ）
A．3 B． C．1 D．
【變式4-3】（2023·全國·高一專題練習）
19．已知實數集合若，則（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【變式4-4】（2023秋·山東菏澤·高一校考階段練習）
20．已知，，若集合，則的值為（ ）
A． B． C．1 D．2
考點5 判斷集合與集合之間的關系
【例5】（2023·全國·高一專題練習）
21．已知集合，則下列關系正確的是（ ）
A． B． C． D． A
【變式5-1】（2023秋·江西·高三統考開學考試）
22．已知全集，若集合滿足，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-2】（2023秋·山西晉城·高三校考階段練習）
23．設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2021秋·高一課時練習）
24．已知集合，則M，P之間的關系為（　　）
A．M=P B．
C． D．
【變式5-4】（2023秋·全國·高一專題練習）
25．已知集合，，，則集合M，S，P的關系為（ ）
A． B． C． D．
考點6 根據集合之間的關系求參數
【例6】（2023秋·江蘇連云港·高一校考開學考試）
26．已知集合，，若，則實數a的值可以是（ ）
A．0 B． C．2 D．
【變式6-1】（2023秋·甘肅武威·高一校考階段練習）
27．已知集合，，若，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2023秋·江蘇連云港·高一校考開學考試）
28．已知集合，，且，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-3】（2023·上海·高一專題練習）
29．已知，.
(1)若是的子集，求實數的值；
(2)若是的子集，求實數的取值范圍.
【變式6-4】（2022秋·河南商丘·高一校考階段練習）
30．已知集合，集合．
(1)當時，求；
(2)若，求實數的取值范圍．
考點7 求集合的子集與真子集
【例7】（2024秋·江西·高三校聯考階段練習）
31．已知集合，，則的真子集的個數為（ ）
A．6 B．7 C．8 D．15
【變式7-1】（2023秋·遼寧大連·高一校考階段練習）
32．設集合，，記，則集合的真子集個數是（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【變式7-2】（2023秋·四川南充·高一校考階段練習）
33．已知集合，，則集合的真子集的個數為（ ）
A．3 B．6
C．7 D．8
【變式7-3】（2023秋·江蘇泰州·高一校考階段練習）
34．滿足 的集合的個數有（ ）個
A．8 B．7 C．6 D．5
【變式7-4】（2023秋·山東菏澤·高一校考階段練習）
35．（多選）若{1,2} B {1,2,3,4}，則B=（ ）
A．{1,2} B．{1,2,3} C．{1,2,4} D．{1,2,3,4}
考點8 空集的運算及其性質
【例8】（2022秋·河北承德·高一校考期末）
36．有下列關系式：①；②；③；④；⑤ ；⑥.其中不正確的是（ ）
A．①③④ B．②④⑤ C．②⑤⑥ D．③④
【變式8-1】（2022秋·吉林·高一校考階段練習）
37．下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式8-2】（2023·全國·高一專題練習）
38．給出下列說法：
①空集沒有子集；
②任何集合至少有兩個子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若，則．
其中正確的說法有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【變式8-3】（2023秋·江西新余·高一校考開學考試）
39．以下四個選項表述正確的有（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-4】（2022秋·甘肅酒泉·高一校考期中）
40．已知集合，則實數k的取值范圍是 .
試卷第2頁，共2頁
試卷第1頁，共1頁
參考答案：
1．B
【分析】根據給定信息，利用元素與集合的關系判斷作答.
【詳解】顯然都是實數，①正確，②錯誤；
是自然數，③正確；是無理數，不是有理數，④錯誤，
所以正確的個數為2.
故選：B
2．C
【分析】先求出集合，再逐個分析判斷
【詳解】因為，
因為，，，，
所以C正確，ABD錯誤，
故選：C
3．A
【分析】根據元素與集合的關系即可求解.
【詳解】由題意可得
所以，
故選：A
4．D
【分析】根據題意可知集合表示奇數集，集合表示偶數集，是奇數，是偶數，然后依次對，，，進行判斷即可得出結果.
【詳解】根據集合可知，
集合表示奇數集，集合表示偶數集，又，所以是奇數，是偶數；
對于A，因為兩個奇數的乘積為奇數，所以，即A正確；
對于B，因為一個奇數和一個偶數的乘積為偶數，所以，即B正確；
對于C，因為兩個奇數的和為偶數，所以，即C正確；
對于D，因為兩個奇數與一個偶數的和為偶數，所以，所以D錯誤；
故選：D
5．AB
【分析】根據元素與集合的關系一一判定即可.
【詳解】在A中，當時，顯然不成立．
對于B，當，其平方數仍為整數, 顯然不成立；
對于C,當，其絕對值仍為有理數, 正確；
對于D項,當，其立方仍為實數，正確.
故選：AB.
6．A
【分析】根據條件，利用元素與集合的關系即可求解.
【詳解】因為集合，且，
所以，即，解得或.
故選：A.
7．B
【分析】根據元素與集合的從屬關系列出限制條件可得答案.
【詳解】因為且，所以且，解得.
故選：B.
8．1
【分析】依題意可得，解得，再檢驗即可.
【詳解】因為，所以，
所以，解得或，
顯然不滿足集合元素的互異性，故舍去，經檢驗符合題意．
故答案為：
9．AB
【分析】根據元素與集合的關系，列方程求解，代入檢驗即可.
【詳解】當，即時，，符合題意；
當，即時，不符合題意；
當，即或時．若，不符合題意；若，，符合題意．
故選:AB．
10．AB
【分析】根據元素與集合的關系分類討論即可.
【詳解】對于A，當時，，滿足題意，A正確；
對于B，當時，，滿足題意，B正確；
對于C，當時，，不合題意，C錯誤；
對于D，由ABC知：或，D錯誤.
故選：AB.
11．C
【分析】根據空集的定義結合一元二次方程解的性質運算即可.
【詳解】，∴方程無解，即，
解得：，則實數的范圍為，
故選：C.
12．ABC
【分析】根據題意依次討論當為，，，時，集合中的元素個數，即可判斷．
【詳解】當時，滿足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8個元素，符合題意，故A可選，
當時，滿足的有6，3，2，1，，，，，即集合中有8個元素，符合題意，故B可選，
當時，滿足的有8，4，2，1，，，，，即集合中有8個元素，符合題意，故C可選，
當時，滿足的有9，3，1，，，，即集合中有6個元素，不符合題意，故D不可選，
故選：ABC．
13．ABD
【分析】分別按一次方程、二次方程討論，即可確定的取值.
【詳解】當時，，解得，所以，符合題意；
當時，由題意，得，解得或.
故選：ABD
14．且．
【分析】根據一元二次方程根的情況即可由判別式求解.
【詳解】由題意得且，解得且.
故實數k的取值范圍為且．
15．(1)
(2)
【分析】（1）根據中的元素個數可得集合中有兩個元素，即二次方程有兩個不等的實根，利用根與系數關系可得；
（2）根據中的元素個數，可得集合中只有一個元素，即二次方程只有一個解，可得.
【詳解】（1）由中有個元素，集合中有兩個元素，
即方程有兩個不等的實根，，
則，且，，
則，；
（2）由中有四個元素，則集合中有且只有一個元素，
則方程有且只有一個實數根，
則，且，
則，.
16．CD
【分析】利用集合相等的定義即可判斷各選項.
【詳解】對于A，是點集，是數集，，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
對于C，，，故C正確；
對于D，，
，故D正確.
故選：CD.
17．BC
【分析】化簡各選項中的集合，利用集合相等的定義直接判斷．
【詳解】對于A選項，，A不滿足條件；
對于B選項，，B滿足條件；
對于C選項，，C滿足條件；
對于D選項，，D不滿足條件.
故選：BC.
18．A
【分析】由集合相等求解即可.
【詳解】因為集合，，，
所以，即，
所以，因為，所以的值為.
故選：A .
19．A
【分析】根據，可得兩集合元素全部相等，分別求和,再根據集合元素的互異性可確定a，b的值，進而得出答案.
【詳解】由題意可知，兩集合元素全部相等，
得到或又根據集合互異性，可知，
解得或（舍），所以
故選:A.
20．B
【分析】利用集合相等，求出，再根據互異性求出的取值情況并檢驗即可.
【詳解】根據題意,,故，則,
則，由集合的互異性知且，
故，則， 即或（舍），
當時，，符合題意，
所以.
故選：B.
21．CD
【分析】根據已知集合判斷兩個集合間關系判斷選項即可.
【詳解】因為集合，所以根據子集及真子集的定義可知 A .
故選：CD.
22．D
【分析】解一元二次不等式化簡全集，求出集合M，再利用元素下集合、集合與集合間的關系逐項判斷作答.
【詳解】依題意，，又，則或，
因此，，不是的子集，，即ABC錯誤，D正確.
故選：D
23．C
【分析】根據集合包含關系的定義交集定義判斷.
【詳解】對任意，則存在，使得，顯然，因此，
但，而，所以是的子集也是真子集，四個選項中只有C正確，
故選：C．
24．B
【分析】化簡集合，根據集合的關系即得.
【詳解】因為，
，
所以.
故選：B.
25．B
【分析】通過整理集合中的表達式，由此確定正確答案.
【詳解】∵，
，
，
因為，所以，
∴.
故選：B.
26．ABD
【分析】先求出集合，再利用條件，即可求出結果.
【詳解】由，得到或，即，
因為，由，
當時，無解，此時，滿足題意，
當時，得到，所以或，得到或，
故選：ABD.
27．C
【分析】分類討論B集合為空集及非空分別列出不等式計算求解即可.
【詳解】．
若，則，解得，符合題意；
若時，則解得．
綜上，實數m的取值范圍是．
故選:C．
28．A
【分析】先求出，再根據條件，即可求出結果.
【詳解】因為，所以，
又，，所以，得到，
故選：A.
29．(1)
(2)或
【分析】（1）首先求出集合，依題意可得，則和為方程的兩根；
（2）分、為單元素集合、為雙元素集合三種情況討論，分別求出參數的取值范圍.
【詳解】（1）因為，
若是的子集，則，
所以，解得.
（2）若是的子集，則.
①若為空集，則，解得；
②若為單元素集合，則，解得.
將代入方程，得，解得，所以，符合要求；
③若為雙元素集合，，則.
綜上所述，或.
30．(1)
(2)
【分析】（1）利用集合的并集運算即可得解；
（2）由，利用數軸法建立關于的不等式組求解即可.
【詳解】（1）當時，，已知，
由.
（2）,
若，則，解得.
31．B
【分析】首先求出集合，再根據交集的定義求出，最后根據含有個元素的集合的真子集為個可得解.
【詳解】因為，
又，
所以，所以的真子集有個.
故選：B
32．C
【分析】可求出集合，然后進行并集的運算即可求出集合，然后根據真子集個數的計算公式求 的真子集個數即可.
【詳解】.
集合的真子集個數是：.
故選：C.
33．C
【分析】根據題意求出集合，從而可求出真子集的個數
【詳解】因為，，
所以，
所以集合的真子集的個數為，
故選：C
34．B
【分析】根據子集、真子集的概念判斷出集合含有的可能情況.
【詳解】集合A中一定含有1,2,3，可能含有4,5,6，但不能同時含有4,5,6.由此可得到滿足條件的集合A的個數就是集合的真子集個數，共有個.
故選：B
35．ABC
【分析】根據子集與真子集的定義即可求解．
【詳解】∵{1,2} B {1,2,3,4}，
∴B={1,2}或B={1,2,3}或B={1,2,4}，
故選：ABC
36．D
【分析】根據集合相等的定義、子集的定義、空集的性質，結合元素與集合的關系進行判斷即可.
【詳解】對①：因為集合元素具有無序性，顯然①正確；
對②：因為集合，故正確，即②正確；
對③：空集是一個集合，而集合是以為元素的一個集合，因此，故③不正確；
對④：是一個集合，僅有一個元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正確；
對⑤：由④可知，非空，于是有 ，因此⑤正確；
對⑥：顯然成立，因此⑥正確．
綜上，本題不正確的有③④，
故選：D
37．C
【分析】根據元素與集合、集合與集合之間的關系，以及空集的定義，逐項分析判斷即可．
【詳解】對于A：，選項A錯誤；
對于B：是無理數，，選項B錯誤；
對于C：是它本身的子集，即，選項C正確；
對于D：僅當A為空集時，成立，否則不成立，選項D錯誤．
故選：C．
38．A
【分析】根據空集的定義和子集和真子集的定義即可得出結論.
【詳解】由于任何一個集合都是它本身的子集，空集的子集還是空集，故①不正確；
由于空集的子集還是空集，所以空集的子集只有一個，故②不正確；
由于空集的子集還是空集，但不是真子集，故③不正確；
由于，則 或，故④不正確；
綜上，正確的說法有0個.
故選：A.
39．BC
【分析】由元素與集合的關系判斷AD；由空集的規定與真子集概念判斷B；由子集的概念判斷C.
【詳解】對選項A，由不是的元素，故A錯誤；
對選項B，由規定：空集是任何集合的子集，則且存在，故 ，B正確；
對選項C，由子集概念，中的任意一個元素都是的元素，則，C正確；
對選項D，由不是的元素，D錯誤.
故選：BC.
40．
【分析】根據空集的定義，要使集合，則，解之即可求解.
【詳解】∵，∴，
解得，因此實數k的取值范圍是.
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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