資源簡介

專題02 常用邏輯用語1-【寒假自學課】（蘇教版2019）
專題02常用邏輯用語
知識聚焦
考點聚焦
知識點1 充分條件與必要條件
【注意】（1）前提p q，有方向，條件在前，結論在后；（2）p是q的充分條件或q是p的必要條件；
（3）改變說法：“p是q的充分條件”還可以換成q的一個充分條件是p；
“q是p的必要條件”還可以換成“p的一個必要條件是q”．
知識點2 充要條件
1、充要條件的定義
如果“若，則”和它的逆命題“若，則”均為真命題，即既有，又有，就記作。
此時，既是的充分條件，也是的必要條件，我們說是的充分必要條件，簡稱充要條件。
2、充要條件的含義
若是的充要條件，則也是的充要條件，雖然本質上是一樣的，但在說法上還是不同的，因為這兩個命題的條件與結論不同。
3、充要條件的等價說法：是的充要條件又常說成是成立當且僅當成立，或與等價。
知識點3 全稱量詞與全稱量詞命題
1、全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫作全稱量詞，并用符號“”表示．
【注意】（1）全稱量詞的數量可能是有限的，也可能是無限的，由有題目而定；
（2）常見的全稱量詞還有“一切”、“任給”等，相應的詞語是“都”
2、全稱量詞命題
（1）定義：含有全稱量詞的命題，稱為全稱量詞命題．
（2）符號表示：通常，將含有變量的語句用，，，…表示，變量的取值范圍用表示，那么，全稱量詞命題“對中任意一個，成立”可用符號簡記為
【注意】（1）從集合的觀點看，全稱量詞命題是陳述某集合中所有元素都具有某種性質的命題；
（2）一個全稱量詞命題可以包含多個變量；
（3）有些全稱量詞命題中的全稱量詞是省略的，理解時需要把它補出來。
如：命題“平行四邊形對角線互相平行”理解為“所有平行四邊形對角線都互相平行”。
知識點4 存在量詞與存在量詞命題
1、存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫作存在量詞，并用符號“”表示．
【注意】常見的存在量詞還有“有些”、“有一個”、“對某些”、“有的”等；
2、存在量詞命題
（1）定義：含有存在量詞的命題，叫作存在量詞命題。
（2）符號表示：存在量詞命題“存在中的元素，使成立”可用符號簡記為
【注意】（1）從集合的觀點看，存在量詞命題是陳述某集合中有一些元素具有某種性質的命題；
（2）一個存在量詞命題可以包含多個變量；
（3）有些命題雖然沒有寫出存在量詞，但其意義具備“存在”、“有一個”等特征都是存在量詞命題
知識點5 命題的否定
1、命題的否定：對命題p加以否定，得到一個新的命題，記作“”，讀作“非p”或p的否定．
（1）全稱量詞命題的否定：
一般地，全稱量詞命題“”的否定是存在量詞命題： ．
（2）存在量詞命題的否定：
一般地，存在量詞命題“ ”的否定是全稱量詞命題： ．
2、常見正面詞語的否定：
正面詞語 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是
否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是
正面詞語 至多有一個 至少有一個 任意 所有 至多有n個
否定 至少有兩個 一個都沒有 某個 某些 至少有n+1個
考點剖析
考點1 充分不必要條件的判斷
【例1】
（2023春·江西宜春·高一校聯考期中）
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式1-1】
（2023秋·四川南充·高一校考階段練習）
2．對于實數，或，那么是的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【變式1-2】
（2023秋·寧夏銀川·高一銀川一中校考階段練習）
3．設計如圖所示的四個電路圖，條件：“開關閉合”；條件：“燈泡亮”，則是的充分不必要條件的電路圖是（ ）

A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
【變式1-3】
（2023秋·重慶·高一校考階段練習）
4．已知p：，則p的充分不必要條件有（ ）
A． B． C． D．
【變式1-4】
（2023秋·安徽亳州·高一校考階段練習）
5．已知，，則“”是真命題的一個充分不必要條件是（ ）
A． B．
C． D．
考點2 必要不充分條件的判斷
【例2】
（2023秋·安徽合肥·高一校聯考期末）
6．已知p：，q：，則p是q的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分條件 D．既不充分又不必要條件
【變式2-1】
（2022秋·湖北鄂州·高一校聯考期中）
7．設，則“”是“”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【變式2-2】
（2023秋·山西運城·高一校考階段練習）
8．設，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式2-3】
（2023秋·北京·高一校考階段練習）
9．荀子曰：“故不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海.”這句來自先秦時期的名言闡述了做事情不一點一點積累，就永遠無法達成目標的哲理.由此可得，“積跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分條件 B．必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式2-4】
（2023·陜西榆林·高一校考階段練習）
10．命題p：的必要不充分條件是（ ）
A． B．
C． D．
考點3 充要條件的判斷與證明
【例3】
（2023·江蘇·高一專題練習）
11．點是第二象限的點的充要條件是（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-1】
（2023·江蘇·高一專題練習）
12．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式3-2】
（2022秋·福建泉州·高一統考期中）
13．已知實數x，y，則“”是“”的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式3-3】
（2023·高一課時練習）
14．設全集為，在下列條件中，是的充要條件的為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-4】
（2023·全國·高一專題練習）
15．設集合，若集合，，則的充要條件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
考點4 由充分不必要條件求參
【例4】
（2022秋·河南商丘·高一校考階段練習）
16．已知p：或，q：，則a取下面那些范圍，可以使q是p的充分不必要條件（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】
（2023秋·甘肅武威·高一校考階段練習）
17．已知不等式成立的一個充分不必要條件是，則實數m的取值范圍是 ．
【變式4-2】
（2023秋·北京·高一校考階段練習）
18．已知表示不大于的最大整數，，，若是的充分不必要條件，則的取值范圍是 .
【變式4-3】
（2023秋·四川南充·高一校考階段練習）
19．已知集合，．
(1)當時，求；
(2)是的充分不必要條件，求實數的取值范圍．
【變式4-4】
（2022秋·湖北荊州·高一校考階段練習）
20．已知全集，集合，
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實數的取值范圍.
考點5 由必要不充分條件求參
【例5】
（2023秋·全國·高一專題練習）
21．設，，若是的必要不充分條件，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】
（2022秋·福建福州·高一校考期中）
22．已知的必要不充分條件是或，則實數的最大值為 .
【變式5-2】
（2023秋·重慶銅梁·高一校考階段練習）
23．已知，.
(1)當時，求；
(2)若“”是“”的必要不充分條件，求實數a的取值范圍.
【變式5-3】
（2023·全國·高一專題練習）
24．已知集合，.
(1)若，求實數k的取值范圍；
(2)已知命題，命題，若p是q的必要不充分條件，求實數k的取值范圍.
【變式5-4】
（2021秋·高一課時練習）
25．已知方程在上有解.
(1)求實數的取值集合；
(2)設不等式的解集為，若是的必要條件，求a的取值范圍.
考點6 由充要條件判斷求參
【例6】
（2022秋·福建寧德·高一統考期中）
26．“不等式在上恒成立”的充要條件是（ ）
A． B．
C． D．或
【變式6-1】
（2023·江蘇·高一專題練習）
27．若“不等式成立”的充要條件為“”，則實數的值為 .
【變式6-2】
（2023·江蘇·高一專題練習）
28．設集合，；
(1)用列舉法表示集合；
(2)若是的充要條件，求實數的值.
【變式6-3】
（2023·全國·高一專題練習）
29．已知方程，求使方程有兩個大于的實數根的充要條件．
【變式6-4】
（2023·全國·高一專題練習）
30．方程與有一個公共實數根的充要條件是（ ）．
A． B． C． D．
考點7 全稱/存在量詞命題的判斷
【例7】
（2023秋·貴州遵義·高一校考階段練習）
31．判斷下列命題是存在量詞命題的個數（ ）
①每一個一次函數都是增函數；
②至少有一個自然數小于1；
③存在一個實數x，使得；
④兩直線平行，內錯角相等.
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式7-1】
（2023秋·全國·高一專題練習）
32．下列全稱量詞命題為真命題的是（ ）
A．所有的質數都是奇數
B．，
C．對每一個無理數，也是無理數
D．所有能被5整除的整數，其末位數字都是5
【變式7-2】
（2023秋·全國·高一專題練習）
33．下列命題中，是真命題且是全稱命題的是（ ）
A．對任意實數a，b，都有
B．梯形的對角線不相等
C．
D．所有的集合都有子集
【變式7-3】
（2023秋·遼寧大連·高一校考階段練習）
34．設非空集合滿足，且，則下列選項中錯誤的是（ ）
A．，有 B．，使得
C．，使得 D．，有
考點8 含有一個量詞命題的否定
【例8】
（2022秋·黑龍江佳木斯·高一校考期中）
35．命題“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【變式8-1】
（2023春·海南·高一校考期中）
36．全稱量詞命題：“{能被整除的整數}，是偶數.”的否定是（ ）
A．{能被整除的整數}，不是偶數
B．{能被整除的整數}，不是偶數
C．{能被整除的整數}，是偶數.
D．{能被整除的整數}，不是偶數.
【變式8-2】
（2023秋·吉林遼源·高一校聯考期末）
37．命題“，使”的否定是（ ）
A．，使 B．不存在，使
C．，使 D．，使
【變式8-3】
38．命題“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-4】
（2023秋·湖北荊州·高一校考階段練習）
39．命題“，有實數解”的否定是（ ）
A．，有實數解 B．，無實數解
C．，無實數解 D．，有實數解
試卷第2頁，共2頁
試卷第1頁，共1頁
參考答案：
1．A
【分析】根據不等式的關系，結合充分、必要條件的定義即可求解.
【詳解】因為，此時當且僅當，
又因為“”是“”的充分不必要條件，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
2．A
【分析】根據充分條件和必要條件的定義分析判斷即可
【詳解】“若，則或”的逆否命題為“若且，則”為真命題，
所以當時，或成立，
而當或時，不一定成立，如時，，
所以是的充分不必要條件，
故選：A
3．AD
【分析】由充分條件和必要條件的定義求解即可.
【詳解】圖（1），開關閉合，燈泡亮，燈泡亮，開關不一定閉合，
則是的充分不必要條件；
圖（2），是的充要條件；
圖（3），開關閉合，燈泡不一定亮，燈泡亮，開關一定閉合，
所以是的必要不充分條件；
圖（4），開關閉合，燈泡亮，燈泡亮，開關不一定閉合，
則是的充分不必要條件；
故選：AD.
4．BD
【分析】解不等式組化簡命題p，再利用充分不必要條件的意義，結合集合包含關系判斷作答.
【詳解】由，解得，
對于A，因為 ，則是p的必要不充分條件，A不是；
對于B，因為 ，則是p的充分不必要條件，B是；
對于C，是p的充要條件，C不是；
對于D，因為 ，則是p的充分不必要條件，D是.
故選：BD
5．BCD
【分析】根據題意分和兩種情況討論求解即可.
【詳解】因為，，若“”是真命題，
當時，則，即，解得或，
當時，則由題意可得方程有兩個非負實數根，
所以，解得，
綜上，的取值范圍是，即是真命題的充要條件為，
故其充分不必要條件為它的真子集，故B、C、D均符合題意.
故選：BCD
6．B
【分析】根據充分、必要條件結合集合間的包含關系分析判斷.
【詳解】因為 ，
所以p是q的必要不充分條件.
故選：B.
7．C
【分析】根據與之間的推出關系判斷.
【詳解】能推出，故必要性成立，
當時，取，則，不能推出，故充分性不成立，
所以“”是“”的必要不充分條件，
故選：C.
8．B
【分析】解絕對值不等式得到解集，得到是或的真子集，從而得到答案.
【詳解】，解得或，
由于 或，則“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
9．B
【分析】根據題意，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】根據“做事情不一點一點積累，就永遠無法達成目標”，即要達成目標必須一點一點積累，
所以 “積跬步”是“至千里”的必要條件.
故選：B
10．AC
【分析】利用必要不充分條件與集合的關系判斷即可.
【詳解】由必要不充分的定義和形式可知本題正確的表達形式應為：
四個選項中哪些正確的范圍所對應的命題是命題的必要不充分條件？
即命題是四個選項中哪些正確的范圍所對應的命題的充分不必要條件，
則命題的范圍被四個選項中正確選項的范圍真包含，
易得AC滿足題意，B選項對應的是充要條件，D選項對應的是既不充分也不必要條件.
故選：AC.
11．B
【分析】根據充要條件的定義和第二象限點的特點分析判斷
【詳解】因為第二象限的點橫坐標小于0，縱坐標大于0，
所以點是第二象限的點的充要條件是．
故選：B
12．C
【分析】由充分條件和必要條件的定義求解即可.
【詳解】由可得，由可得，
所以“”是“”的充要條件.
故選：C.
13．C
【分析】結合冪函數的性質，利用充分條件和必要條件的定義判斷結論.
【詳解】因為函數在R上單調遞增，
由，有，可得；
由，可得，即．
則“”是“”的充要條件．
故選：C.
14．ABD
【分析】根據充要條件的定義結合集合的運算逐個分析判斷即可
【詳解】對于A，當時，，當時，，所以是的充要條件，所以A正確，
對于B，當時，，當時，，所以是的充要條件，所以B正確，
對于C，當時，，所以C錯誤，
對于D，當時，，當時，，所以是的充要條件，所以D正確，
故選：ABD
15．A
【分析】先根據集合的運算，求得，結合，列出不等式組，即可求解.
【詳解】由題意，可得，
因為，所以，解得，反之亦成立，
所以的充要條件是．
故選：A．
16．B
【分析】設集合或，集合，根據是的充分不必要條件，得到集合是集合的真子集，最后根據集合的包含關系判斷即可.
【詳解】設集合或，集合，
因為是的充分不必要條件，所以集合是集合的真子集， 故，
所以B選項符合要求，ACD選項不符合要求.
故選：B.
17．
【分析】由得，再由充分、必要條件的定義即可得 ，利用集合的包含關系即可得實數m的取值范圍.
【詳解】由，解得，
由題意可知： ，則，解得，
所以實數m的取值范圍是．
故答案為：.
18．
【分析】先求出集合，再由充分不必要的定義以及集合之間的包含關系即可求解.
【詳解】對于集合，不失一般性我們不妨設，
此時由的定義可知，有，
所以，
若是的充分不必要條件，則 ，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由求出集合，再根據并集的定義即可得解；
（2）根據題意是的真子集，根據集合的關系求解參數的取值范圍．
【詳解】（1）∵當時，，，
∴；
（2）∵，∴，
由是的充分不必要條件得是的真子集，
若，則，解得，滿足是的真子集，符合題意；
當時，，滿足是的真子集，符合題意；
當時，，得，解得，
綜上可得：，
故實數的取值范圍為：．
20．(1)
(2)
【分析】（1）解出集合,利用集合的并運算求解即可；
（2）根據條件得到 ,列出不等式組，求解即可.
【詳解】（1）由，得，
所以，
又，
則當時，，
所以.
（2）若“”是“”的充分不必要條件,則 ,
則有，
所以實數的取值范圍是
21．A
【分析】根據充分必要條件和集合的包含關系求解即可.
【詳解】由，解得，
所以，
又由，解得，
所以，
因為是的必要不充分條件，
所以集合真包含于，
所以，解得，
經檢驗，時，，滿足題意；
時，，滿足題意；
所以實數的取值范圍是.
故選:A.
22．1
【分析】首先解不等式，再根據題意得到，即可求出的取值范圍，從而得解；
【詳解】由，得或，
因為的必要不充分條件是“或”，
所以，解得，所以實數a的最大值為1；
故答案為：
23．(1)；
(2).
【分析】（1）把代入，求出集合，再利用交集的運算求解作答.
（2）根據給定條件可得 ，再借助包含關系列出不等式組求解作答.
【詳解】（1）當時，，而，
所以．
（2）由“”是“”的必要不充分條件，得 ，
于是或，解得或，因此，
所以實數a的取值范圍.
24．(1)
(2)
【分析】（1）利用分式不等式的解法，解得集合，根據集合之間的關系，可列不等式，可得答案；
（2）根據必要不充分條件，可得集合之間的關系，利用分類討論，可列不等式，可得答案.
【詳解】（1）由，移項可得，通分并合并同類項可得，等價于，解得，則；
由，則，即，解得.
（2）p是q的必要不充分條件等價于.
①當時，，解得，滿足.
②當時，原問題等價于（不同時取等號）
解得.
綜上，實數k的取值范圍是.
25．(1)
(2)或
【分析】（1）通過分離常量，將在區間上的有解問題轉化成求兩函數圖像有交點，從而求出實數的取值范圍；
（2）對實數進行分類討論，求出集合，利再用集合與集合間的包含關系，建立不等式組，從而求出實數的取值范圍.
【詳解】（1）由，得到
令，，因為，所以，
又因為方程在上有解，所以，
所以.
（2）因為是的必要條件，所以，又由（1）知，
①當，即時，，所以，解得；
②當，即時，，所以，解得；
③當，即時，，所以此時不滿足題意.
綜上可得，實數的取值范圍是或.
26．B
【分析】分，兩種情況討論，結合韋達定理判斷即可.
【詳解】當時，恒成立；
當時，，即，解得；
綜上：.
故選：B
27．
【分析】解不等式，根據充要條件的定義可得出關于的等式，解之即可.
【詳解】解不等式得，
因為“不等式成立”的充要條件為“”，所以，解得，
所以，.
故答案為：.
28．(1)
(2)
【分析】（1）直接解方程即可；
（2）根據條件得，可得是方程的根，進而可得實數的值.
【詳解】（1）集合，
即；
（2）由已知，，
若是的充要條件，則，
，
.
29．
【分析】根據一元二次方程有兩個大于個實數根列不等式，由此求得正確答案.
【詳解】方程，有兩個大于的實數根，
，

.
由于上述變型過程是等價的，所以使方程有兩個大于1的實根的充要條件是.
30．D
【分析】先利用判別式求得的取值范圍，然后結合充要條件的知識求得的值.
【詳解】方程有實根，故，
解得或.
方程有實根，故，
解得.
綜上所述，，只有D選項符合.
若方程與有一個公共實數根，設公共實根為，
則，兩式相減得，
由于，所以，
所以.
當時，兩個方程分別為、，
方程的兩個根為；
方程的兩個根為；
即方程與有一個公共實數根.
綜上所述，方程與有一個公共實數根的充要條件是.
故選：D
31．B
【分析】利用全稱量詞命題和存在量詞命題的定義判斷.
【詳解】①因為“每一個”是全稱量詞，所以每一個一次函數都是增函數是全稱量詞命題；
②因為“至少有一個”是存在量詞，所以至少有一個自然數小于1是存在量詞命題；
③因為“存在一個”是存在量詞，所以存在一個實數x，使得是存在量詞命題；
④兩直線平行，內錯角相等是全稱量詞命題，省略了“所有的”.
故選：B
32．B
【分析】ACD選項通過舉反例排除，B選項可證明.
【詳解】質數中2不是奇數，A選項為假命題；
，都有，則，B選項為真命題；
為無理數，但是有理數，C選項為假命題；
所有能被5整除的整數，其末位數字可以是5也可以是0，D選項為假命題.
故選：B
33．D
【分析】根據全稱量詞定義可知A，B，D為全稱量詞命題，進而根據不等式性質可判斷A選項，根據梯形的性質可判斷B選項，根據子集的定義可判斷D選項.
【詳解】根據全稱命題的定義可知，全稱命題有A，B，D三項，C為特稱命題，
對于A，有，故A為假命題；
對于B，梯形的對角線不一定相等，故B為假命題；
對于D，根據子集的定義可知，D為真命題.
故選：D.
34．CD
【分析】根據集合交集運算性質，結合子集和真子集的定義進行判斷即可.
【詳解】因為，所以，
又因為，所以 .
A：因為 ，所以，有，因此本選項正確；
B：因為 ，所以，使得，因此本選項正確；
C：因為 ，所以不，使得，因此本選項不正確；
D：若，顯然，，因此本選項不正確，
故選：CD
35．B
【分析】全稱命題的否定，先把全稱量詞改為存在量詞，再把結論進行否定即可.
【詳解】由得，
故命題“，”的否定是“，”.
故選：B
36．A
【分析】根據全稱命題的否定形式直接得到結論即可.
【詳解】由全稱命題的否定知：原命題的否定為：{能被整除的整數}，不是偶數.
故選：A.
37．A
【分析】根據特稱命題的否定為全稱命題判斷即可.
【詳解】命題“，使”的否定是“，使”.
故選：A
38．D
【分析】根據存在量詞命題的否定是全稱量詞命題即得.
【詳解】因為存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，
所以命題“”的否定是“”．
故選：D．
39．C
【分析】存在量詞命題（又稱特稱命題）的否定為全稱量詞命題（又稱全稱命題），即變為.
【詳解】“，有實數解”的否定是“，無實數解”，
故選：C.
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